Álgebra para Lógica

Profa. Éverlin Marques

PRD-MEC

Lógica “Moderna”

• George Boole ( 1815-1864)– Investigation of the Laws of Thought

• Augustus de Morgan ( 1806- 1871 )

ALGEBRA DA LÓGICA

Proposição ou sentença

– Declarativa com nome e predicado– Nome : Lua, Pedro , cão

• A Lua é um satélite da Terra.

• 3X5 = 5 X 3

• O cão está latindo.

• Proposições atômicas (s/ conectivos “e”, “ou”...) • São denotadas por letras proposicionais ( p, q, ...)

Proposição ou sentença

• As sentenças são declarativas ( afirmações)

• Admitem apenas valores V e F , onde um exclui o outro ( Princípio do 3º Excluído)

Proposição/sentença composta

• Considere • Pedro estuda e trabalha.

• Duas retas e um plano são paralelas e incidentes.

• Se Pedro estuda, então, tem êxito na escola.

• Vou ao cinema se e somente se conseguir dinheiro.

– São proposições compostas

Conectivos

• Não ( negação )

• E

• Ou

• Se ... Então ...

• ... Se E Somente Se ...

Conectivos

Sejam as proposições

p ( “Pedro trabalha” ) e q ( “Pedro estuda” )

Não : ~p ( ler “não p”)

E : p qOu : p qSe ... Então ... : p q

... Se E Somente Se ... : p q

Conectivo OU inclusivo

Chove ou faz frio ( c f) é verdadeira nos casos :

• Chove;

• faz frio;

• Chove ou faz frio;

É o usual

Porém, Ou Pedro trabalha OU Pedro estuda não se aplica esse raciocínio ( ou exclusivo )

Conectivo OU exclusivo

Porém,

Ou Pedro trabalha OU Pedro estuda

Só é verdadeiro se :

• Pedro trabalha

• Pedro estuda

• Ou exclusivo : v ou (eXclusive Or )

Condicional (se ... Então ...)• Lâmpada está queimada = L• Troco por nova lâmpada = N

SE há lâmpada queimada

ENTÃO troco por nova lâmpada

L N Condicional

F F V

F V V

V F F

V V VTeste : l n é equivalente a ~ l n

Bicondicional (se ... Então ...)• Lâmpada está queimada = L• Troco por nova lâmpada = N

O professor demonstra o teorema

SE E SOMENTE SE Pedro estuda a lição

L N Bicond.

F F V

F V F

V F F

V V VA proposição “vou trocar” só tem valor verdadeiro SE L e N são verdadeiros !

Exercício

1. Resolva a TV associada às formulas

• (a (b c))

• ((a b) c)

Referências• CASTRUCCI, B. Introdução à Lógica

Matemática (*)

• ALVES,E.V. Lógica da Matemática (*)

(*) existe na Biblioteca da Udesc