EJERCICIO 11. Una deuda se expresa en sentido1. Una deuda se expresa en sentido1. Una deuda se expresa en sentido1. Una deuda se expresa en sentido1. Una deuda se expresa en sentidonegativo. Luego inicalmente el estadonegativo. Luego inicalmente el estadonegativo. Luego inicalmente el estadonegativo. Luego inicalmente el estadonegativo. Luego inicalmente el estadoeconómico de Pedro es - 60 bs.económico de Pedro es - 60 bs.económico de Pedro es - 60 bs.económico de Pedro es - 60 bs.económico de Pedro es - 60 bs.Al recibir 320 bs. Aumenta su capitalAl recibir 320 bs. Aumenta su capitalAl recibir 320 bs. Aumenta su capitalAl recibir 320 bs. Aumenta su capitalAl recibir 320 bs. Aumenta su capitaltantos bs. como ha recibido; entoncestantos bs. como ha recibido; entoncestantos bs. como ha recibido; entoncestantos bs. como ha recibido; entoncestantos bs. como ha recibido; entoncesla operaciòn queda expresada comola operaciòn queda expresada comola operaciòn queda expresada comola operaciòn queda expresada comola operaciòn queda expresada comose indicase indicase indicase indicase indica

− + =+60 320 260 bs.

2. 2. 2. 2. 2. 1 170 1 515 345. .− =− sucres

3. 3. 3. 3. 3. 200 56 189 67+ − =+$

4. 4. 4. 4. 4. − − + =+665 1 178 2 280 437. . soles

5. 5. 5. 5. 5. 20 15 40 75 30− + − =−$

6. 6. 6. 6. 6. − + − + =−67 72 16 2 9$

7. 7. 7. 7. 7. 200 78 81 93 41 59 70− − − + − =− colones

8. 8. 8. 8. 8. − − − + − =45 66 79 200 10 0

EJERCICIO 2

1. 1. 1. 1. 1. 12 15 3− =− ∃

2. 2. 2. 2. 2. − + − = −3 8 6 1∃

3. 3. 3. 3. 3. ( )15 3 15 3 18− − = + = ∃

4. 4. 4. 4. 4. ( )− − + = + =8 5 8 5 13∃

5. 5. 5. 5. 5. − + + − = −4 7 2 11 6∃

6. 6. 6. 6. 6. − + ⋅ = − + = − →

− + ⋅ = − + = →

− + ⋅ = − + = + →

8 4 1 8 4 4 7

8 4 2 8 8 0 8

8 4 5 8 20 12 11

∃

∃

∃

am

am

am

7. 7. 7. 7. 7. − − ⋅ = − − = − →

− − ⋅ = − − = − →

− − ⋅ + ⋅ = − − + = − →

− − ⋅ + ⋅ = − − + = + →

1 2 2 1 4 5 10

1 2 3 1 6 7 11

1 2 3 3 1 1 6 3 4 12

1 2 3 3 3 1 6 9 2 2

∃

∃

∃

∃

am

am

am

pm

8. 8. 8. 8. 8. − + =−56 7 49∃

9. 9. 9. 9. 9.

( )− + = −

− + − =−

71 5 66

15 5 20

∃

∃

long

lat.

10. 10. 10. 10. 10. 18 3 21

65 4 61

+ =+

- =+

∃

∃

long

lat.

11. 11. 11. 11. 11. - + =+75 135 60 años

EJERCICIO 3

1. 1. 1. 1. 1. + −32 16m m;

2. 2. 2. 2. 2. + −10 4m m;

3. 3. 3. 3. 3. 50 85 35− =− m

4. 4. 4. 4. 4. − ⋅ = −6 11 66m

5. 5. 5. 5. 5. - × =-

× =+

8 6 48

9 6 54

m

m

6. 6. 6. 6. 6. 400 2 800

400 3 1 200

⋅ = + →− ⋅ =− →

m corredor

m yo.

7. Los 40 pies de longitud del poste7. Los 40 pies de longitud del poste7. Los 40 pies de longitud del poste7. Los 40 pies de longitud del poste7. Los 40 pies de longitud del poste se reparten asi: 15 pies que sobresalen se reparten asi: 15 pies que sobresalen se reparten asi: 15 pies que sobresalen se reparten asi: 15 pies que sobresalen se reparten asi: 15 pies que sobresalen - se asumen en sentido positivo- . - se asumen en sentido positivo- . - se asumen en sentido positivo- . - se asumen en sentido positivo- . - se asumen en sentido positivo- . 25 pies que se encuentran enterrados. 25 pies que se encuentran enterrados. 25 pies que se encuentran enterrados. 25 pies que se encuentran enterrados. 25 pies que se encuentran enterrados. - se asumen en sentido negativo - . - se asumen en sentido negativo - . - se asumen en sentido negativo - . - se asumen en sentido negativo - . - se asumen en sentido negativo - . Al introducir 3 pies màs, se adicionan Al introducir 3 pies màs, se adicionan Al introducir 3 pies màs, se adicionan Al introducir 3 pies màs, se adicionan Al introducir 3 pies màs, se adicionan a los que estan bajo el suelo y se deben a los que estan bajo el suelo y se deben a los que estan bajo el suelo y se deben a los que estan bajo el suelo y se deben a los que estan bajo el suelo y se deben descontar de los que estan por encima. descontar de los que estan por encima. descontar de los que estan por encima. descontar de los que estan por encima. descontar de los que estan por encima. Aritmèticamente significa: Aritmèticamente significa: Aritmèticamente significa: Aritmèticamente significa: Aritmèticamente significa:

40 15 25

25 3 28

15 3 12

= +− − =−+ − =+

pies

pies

8. 8. 8. 8. 8. 55 52 3− =+ m

9. 9. 9. 9. 9. − + =−32 15 17m

10. 10. 10. 10. 10. 35 47 12− =− m

11. 11. 11. 11. 11. − + =+39 56 17m

12. 12. 12. 12. 12. 90 58 36 4− − =− m

13. 13. 13. 13. 13. 72 30 1 72 30 42

72 30 2 72 60 12

72 30 3 72 90 18

72 30 4 72 120 48

− ⋅ = − =+− ⋅ = − =+− ⋅ = − =−− ⋅ = − =−

m

m

m

m

14. 14. 14. 14. 14. ( )( )( )( )

− − − ⋅ = − + = −

− − − ⋅ = − + =

− − − ⋅ = − + = +

− − − ⋅ = − + = +

120 60 1 120 60 60

120 60 2 120 120 0

120 60 3 120 180 60

120 60 4 120 240 120

Km

Km

Km

EJERCICIO 7.1. 1. 1. 1. 1. x x x+ =2 3

2. 2. 2. 2. 2. 8 9 17a a a+ =

3. 3. 3. 3. 3. 11 9 20b b b+ =

4. 4. 4. 4. 4. − − = −b b b5 6

5. 5. 5. 5. 5. − − =−8 9m m m

6. 6. 6. 6. 6. − − =−9 7 16m m m

7. 7. 7. 7. 7. 4 5 9a a ax x x+ =

8. 8. 8. 8. 8. 6 8 141 1 1a a ax x x+ + ++ =

9. 9. 9. 9. 9. − − =−+ + +m m mx x x1 1 15 6

10. 10. 10. 10. 10. − − =−− − −3 42 2 2a a ax x x

11. 11. 11. 11. 11. 1

2

1

2

1 1

2

2

2a a a a a+ =

+= =

12. 12. 12. 12. 12. 3

5

1

10

6

10

7

10ab ab

ab abab+ =

+=

13. 13. 13. 13. 13. 13

16

2 16

36

12

xy xy xy xy xy+ =+

= =

14. 14. 14. 14. 14. − − =− −

= − = −1

5

4

5

1 4

5

5

5xy xy xy xy

15. 15. 15. 15. 15. − − =− −

= −5

6

1

8

20 3

24

23

242 2 2 2a b a b a b a b

16. 16. 16. 16. 16. − − =− −

= −a a a a78

8 78

158

17. 17. 17. 17. 17. 8 9 6 23a a a a+ + =

18. 18. 18. 18. 18. 15 20 36x x x x+ + =

19. 19. 19. 19. 19. − − − =−7 8 9 24m m m m

20. 20. 20. 20. 20. − − − =−a b a b a b a b2 2 2 23 5

21. 21. 21. 21. 21. a a a ax x x x+ + =3 8 12

22. 22. 22. 22. 22. − − − =−+ + + +5 3 5 131 1 1 1a a a ax x x x

23. 23. 23. 23. 23. a a a a a+ + =+ +

=1

2

2

3

6 3 4

6

13

6

24. 24. 24. 24. 24. − − − =− − −

= −x x x x x2

3

1

6

6 4 1

6

11

6

25. 25. 25. 25. 25. 1

5

3

10

2 3 10

10

15

10

3

2ax ax ax ax ax ax+ + =

+ += =

26.26.26.26.26. − − − =− − −

= −3

4

5

6

9 10 12

12

31

122 2 2 2 2a x a x a x a x a x

27. 27. 27. 27. 27. 11 8 9 11 39a a a a a+ + + =

28.28.28.28.28. m m m m mx x x x x+ + + + ++ + + =1 1 1 1 13 4 6 14

29. 29. 29. 29. 29. − − − − =−x y x y x y x y x y2 2 2 2 28 9 20 38

30. 30. 30. 30. 30. − − − − =−3 5 6 9 23a a a a am m m m m

31. 31. 31. 31. 31. 12

14

18

4 2 1 88

158

a a a a a a+ + + =+ + +

=

32.32.32.32.32.2

5

1

2

1

10

1

20

8 10 2 1

20

21

20ax ax ax ax ax ax+ + + =

+ + +=

33. 33. 33. 33. 33. 0 5 0 6 0 7 0 8 2 6, , , , ,m m m m m+ + + =

34. 34. 34. 34. 34. − − − −

=− − − −

= − = −

1

7

1

14

1

284 2 1 28

28

35

28

5

4

ab ab ab ab

ab ab ab

35. 35. 35. 35. 35. − − − −

=− − − −

= −

2

3

1

6

1

9

1

1224 6 4 3

36

37

36

3 3 3 3

3 3

x y x y x y x y

x y x y

36. 36. 36. 36. 36. ab ab ab ab ab ab2 2 2 2 2 27 9 21 39+ + + + =

37. 37. 37. 37. 37. − − − − − =−m m m m m m8 7 3 20

38. 38. 38. 38. 38. − − − − − =−+ + + + + +x x x x x xa a a a a a1 1 1 1 1 18 4 5 19

39. 39. 39. 39. 39. 1

2

1

3

1

4

1

5

1

630 20 15 12 10

60

87

60

29

20

a a a a a

a a a

+ + + +

=+ + + +

= =

40. 40. 40. 40. 40. − − − − −

=− − − − −

= −

1

3

1

6

1

2

1

12

1

912 6 18 3 4

36

43

36

ab ab ab ab ab

ab ab

EJERCICIO 8

1. 1. 1. 1. 1. 8 6 2a a a− =

2. 2. 2. 2. 2. 6 8 2a a a− =−

3. 3. 3. 3. 3. 9 15 6ab ab ab− =−

4. 4. 4. 4. 4. 15 9 6ab ab ab− =

5. 5. 5. 5. 5. 2 2 0a a− =

6. 6. 6. 6. 6. − + =7 7 0b b

7. 7. 7. 7. 7. − + =14 32 18xy xy xy

8. 8. 8. 8. 8. − + =25 32 72 2 2x y x y x y

9. 9. 9. 9. 9. 40 51 113 3 3x y x y x y− =−

10. 10. 10. 10. 10. − + =m n m n m n2 2 26 5

11. 11. 11. 11. 11. − + =15 40 25xy xy xy

12. 12. 12. 12. 12. 55 81 263 2 3 2 3 2a b a b a b− = −

13. 13. 13. 13. 13. − + =x y x y2 2 0

14. 14. 14. 14. 14. − + =9 9 02 2ab ab

15. 15. 15. 15. 15. 7 7 02 2x y x y− =

16. 16. 16. 16. 16. − + =101 118 17mn mn mn

17. 17. 17. 17. 17. 502 405 97ab ab ab− =

18. 18. 18. 18. 18. − + =−1024 1018 6x x x

19. 19. 19. 19. 19. − + =15 15 0ab ab

20. 20. 20. 20. 20. 1

2

3

4

2 3

4

1

4a a a a− =

−= −

21. 21. 21. 21. 21. 34

12

3 24

14

a a a a− =−

=

22. 22. 22. 22. 22. 5

6

5

12

10 5

12

5

122 2 2 2a b a b a b a b− =

−=

23. 23. 23. 23. 23. − + =− +

=4

7

9

14

8 9

14

1

142 2 2 2x y x y x y x y

24. 24. 24. 24. 24. 3

8

5

4

3 10

8

7

8am am am am− =

−= −

25. 25. 25. 25. 25. − + =− +

= −am am am am3

5

5 3

5

2

5

26. 26. 26. 26. 26. 5

6

7

8

20 21

24

1

24mn mn mn mn− =

−= −

27. 27. 27. 27. 27. − + =− +

= −a b a b a b a b2 2 2 23

11

11 3

11

8

11

28. 28. 28. 28. 28. 3 4 5 6 2 24 3 4 3 4 3, , ,a b a b a b− =−

29. 29. 29. 29. 29. − + =12 3 4 2 2, , ,yz yz yz

30. 30. 30. 30. 30. 4 2 2a a ax x x− =

31. 31. 31. 31. 31. − + =+ +8 8 01 1a ax x

32. 32. 32. 32. 32. 25 32 71 1 1m m ma a a− − −− =−

33. 33. 33. 33. 33. − + =+ +x xa a1 1 0

34. 34. 34. 34. 34. − + =− +

=− − − −1

4

1

2

1 2

4

1

42 2 2 2a a a am m m m

35. 35. 35. 35. 35. 5

6

7

12

10 7

12

3

12

1

41 1 1 1 1a a a a am m m m m+ + + + +− =

−= =

36. 36. 36. 36. 36. 41

3

12 1

3

11

32 2 2 2a a a a− =

−=

37. 37. 37. 37. 37. − + =− +

= −534

20 34

174

mn mn mn mn

38. 38. 38. 38. 38. 8 25 172 3 2 3 2 3a b a b a bx x x x x x+ + + + + +− =−

39. 39. 39. 39. 39. − + =− +

=7

8

7 8

8

1

8a b a b a b a bm n m n m n m n

40. 40. 40. 40. 40. 0 85 0 5 0 35, , ,mxy mxy mxy− =

EJERCICIO 9

1. 1. 1. 1. 1. 9 3 5 11a a a a− + =

2. 2. 2. 2. 2. − + − =8 9 0x x x

3. 3. 3. 3. 3. 12 23 5 16mn mn mn mn− − = −

4. 4. 4. 4. 4. − + − =x x x19 18 0

5. 5. 5. 5. 5. 19 10 6 15m m m m− + =

6. 6. 6. 6. 6. − − + =11 15 26 0ab ab ab

7. 7. 7. 7. 7. − + − =−5 9 35 31a a a aX X X X

8. 8. 8. 8. 8. − − + =+ + +24 15 39 02 2 2a a aX X X

9. 9. 9. 9. 9. 2

3

1

3

2 1 3

3

0

30y y y y y+ − =

+ −= =

10. 10. 10. 10. 10. − + − =− + −

= −3

5

1

4

1

2

12 5 10

20

17

20m m m m m

11. 11. 11. 11. 11. 3

8

1

4

3 2 8

8

3

82 2 2 2 2a b a b a b a b a b+ − =

+ −= −

12. 12. 12. 12. 12. − + + − =a a a a a8 9 15

13. 13. 13. 13. 13. 7 11 20 31 15ab ab ab ab ab− + − =−

14. 14. 14. 14. 14. 25 50 11 14 02 2 2 2x x x x− + + =

15. 15. 15. 15. 15. − − − + =xy xy xy xy xy8 19 40 12

16. 16. 16. 16. 16. 7 21 80 53ab ab ab ab ab+ − − =−

17. 17. 17. 17. 17. − + + − =−25 11 60 82 362 2 2 2 2xy xy xy xy xy

18. 18. 18. 18. 18. − + − + =72 87 101 243 157ax ax ax ax ax

19. 19. 19. 19. 19. − − − + =82 71 53 206 0bx bx bx bx

20. 20. 20. 20. 20. 105 464 58 301 03 3 3 3a a a a− + + =

21. 21. 21. 21. 21. 1

2

1

3

1

4

1

5

30 20 15 12

60

13

60x x x x x x− + − =

− + −=

22. 22. 22. 22. 22. 1

3

1

3

1

6

1

12

4 4 2 1

12

1

12y y y y y y− + − =

− + −=

23. 23. 23. 23. 23. 3

5

1

6

1

318 5 10 30

30

7

30

2 2 2 2

2 2

a b a b a b a b

a b a b

− + −

=− + −

= −

24. 24. 24. 24. 24. − − + −

=− − + −

= − = −

5

6

1

6

3

820 4 24 9

24

9

24

3

8

2 2 2 2

2 2 2

ab ab ab ab

ab ab ab

25. 25. 25. 25. 25. − + − + − = −a a a a a a8 11 15 75 64

26. 26. 26. 26. 26. − + + − + =7 21 14 30 82 80c c c c c c

27. 27. 27. 27. 27. − + − − + =mn mn mn mn mn mn14 31 20

28. 28. 28. 28. 28. a y a y a y a y a y2 2 2 2 27 93 51 48 0− − + + =

29. 29. 29. 29. 29. − + − + − + =a a a a a a a3 6 3

30. 30. 30. 30. 30. 1

2

2

3

7

6

1

23 4 7 3 6

6

3

6

1

2

x x x x x

x x x

+ − + −

=+ − + −

= − = −

31. 31. 31. 31. 31. − + + + −

=− + + + −

= − = −

23

4

1

4

5

648 18 6 24 20

24

20

24

5

6

x x x x x

x x x

32. 32. 32. 32. 32. 7 30 41 9 73 0a a a a ax x x x x− − − + =

33. 33. 33. 33. 33. − + − − + =+ + + + + +a a a a a ax x x x x x1 1 1 1 1 17 11 20 26

34. 34. 34. 34. 34. a a a a a a a+ − + − + =6 20 150 80 31 88

35. 35. 35. 35. 35. − − − − − + =−9 11 17 81 110 9b b b b b b b

36.36.36.36.36. − + + − − + =−a b a b a b a b a b a b a b2 2 2 2 2 2 215 85 131 39 162

37. 37. 37. 37. 37. 84 501 604 715 231 165

1340

2 2 2 2 2 2

2

m x m x m x m x m x m x

m x

− − − + +

= −

38. 38. 38. 38. 38. 5

6

2

3

1

4

5

84

20 16 6 15 9624

11124

378

4

3 2 3 2 3 2 3 2 3 2

3 2 3 2

3 2 58

3 2

a b a b a b a b a b

a b a b

a b a b

+ − − +

=+ − − +

=

= =

39.39.39.39.39. 40 81 130 41 83 91 16 28a a a a a a a a− + + − − + =−

40.40.40.40.40. − + − + − − − =21 52 60 84 31 23 0ab ab ab ab ab ab ab

EJERCICIO 10

1. 1. 1. 1. 1. 7 6 9 4

7 6 13 9 4 13

13 13

a a b b

a a a b b b

a b

+ − −+ = − − =−

= −

2. 2. 2. 2. 2. a b c b c c a

a a b b c c c

+ − − − + −− = − = − − + =

=

2

0 0 2 0

0

3. 3. 3. 3. 3. 5 11 9 20 1

5 20 25 11 12 9 1 10

25 12 10

x y x y

x x x y y y

x y

− − + − −+ = − − =− − − =−

= − −

4. 4. 4. 4. 4. − + + − − − −− − − =− − = − =−= − + −

6 8 5 6 11

6 6 13 8 7 5 11 6

13 7 6

m n m n m

m m m m n n n

m n

5. 5. 5. 5. 5. − + + − + + −− + = + − = − + ==

a b b c a c b

a a a b b b c c

a

2 2 3 2 3

3 2 2 3 0 2 2 0

2

6. 6. 6. 6. 6. − + − + + + −− + + = + − = −= −

81 19 30 6 80 25

81 80 0 19 6 25 0 30

30

x y z y x x y

x x x y y y z

z

7. 7. 7. 7. 7. 15 6 8 20 5 31

15 8 8

6 5 12 20 31 11

8 12 11

2 2 2

2 2 2 2

2

a ab a ab a ab

a a a a

ab ab ab ab

a ab

− − + − − + −

− + =− − − =− − =−

= − −

8. 8. 8. 8. 8. − + − + − + − −− − + − =

+ − − =−= −

3 4 6 81 114 31

3 6 31 21

4 81 114 30

21 30

a b a b b a a b

a a a a a

b b b b b

a b

9. 9. 9. 9. 9. − − + + − +

− + − + = −

− + =

= −

71 84 50 84 45 18

71 50 45 18 48

84 84 0

48

3 4 2 3 4 2 3 3

3 3 3 3 3

4 2 4 2

3

a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b a b

a b a b

a b

10. 10. 10. 10. 10. − + − + + + − − − − − +− + − =− + − =− − + = − − =−= − −

a b c a b c a b c

a a a a b b b

c c c

a

8 2 2 19 2 3 3 3 3

2 3 2 2 3 0

2 3 0 8 19 3 14

2 14

11. 11. 11. 11. 11. m mn m mn m m m m

m m m m m m m m mn mn mn

m m mn

2 2 3 2 2 3

3 3 3 2 2 2 2 2

3 2

71 14 65 115 6

6 7 14 115 129 71 65 6

7 129 6

+ − − + − − +

+ = − − − =− − =

= − +

12. 12. 12. 12. 12. x y x y x y x y x y x y x y x y y

x y x y x y x y x y x y x y x y

x y x y y

x y x y y

4 3 2 2 4 2 3 2 3 2 4 3

4 4 4 4 3 2 3 2 3 2 3 2

2 2 3

4 3 2 3

8 10 7 9 21 50

8 21 14 7 7

0 10 9 50 31

14 7 31

− + − − − + − − + − +

− + = − + − =−

− = − − − + =

= − − +

13. 13. 13. 13. 13. 5 3 8 5 50 4 65 90 7

8 7 0 3 4 0 5 5 0 50 65 90 25

25

1 2 3 1 2 2 3 3

3 3 3 2 2 2 1 1

a b c a b b c c

c c c b b b a a

x x x x x x x x

x x x x x x x x

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

− − − − + − − + + +

− + + = − + − = − = − − + =−= −

14. 14. 14. 14. 14. a x a x a x

x x x x a a a a

x a

m m m m m m

m m m m m m m m

m m

+ + + + + +

+ + + + + + + +

+ +

− − + − + − + −

− + − =− − + =− − + − =−

= − − −

2 3 2 3 2 3

3 3 3 3 2 2 2 2

3 2

5 8 3 5 6 5

5 5 3 5 8 6 3

3

15. 15. 15. 15. 15. 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 9 3 3 3

0 3 0 6 3 2 7 0 4 0 7 3 3 3 0 5 0 9 3 3 4

2 7 3 3 3 4

, , , , , ,

, , , , , , , , ,

, , ,

a b c a b c a b c

a a a a b b b b c c c c

a b c

+ + − − − + − −− + = − − =− − − =−

= − −

16. 16. 16. 16. 16. 12

13

2 334

16

34

12

12

234

2 8 34

74

13

316

2 18 16

176

34

12

3 24

14

74

176

14

a b a b a b

a a a a a b b b b b

a b

+ + − − − + −

+ − = + − = − − = − − = − − = − =

= − +

17. 17. 17. 17. 17. 3

52

1

10

1

32 2

35

110

26 1 20

101310

213

26 1 6

313

1310

13

2 2 2

2 2 2 2 2

2

m mn m mn mn m

m m m m m mn mn mn mn mn

m mn

− + − + −

+ − =+ −

=− − − + =− − +

= −

= − −

18. 18. 18. 18. 18. − + − + − + − −

− + =− +

= − − =− −

= −

− + − = − + − = − = −

= − −

3

4

1

2

5

62

3

4

1

6

1

32

3

4

7

3

9 28

12

19

12

1

2

3

42

2 3 8

4

9

456

16

13

5 1 26

66

19

12

9

4

2 2 13

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

a ab b a ab b b ab

a a a a ab ab ab ab ab

b b b b b b

a ab b

19. 19. 19. 19. 19. 0 4 313

80 6

2

50 2

1

46

0 425

2 25

038

0 23 16

8148

0175

0 61

4

2 4 1

4

14

40 35 31 6 25

0175 0 35 25

2 2 3 2 2 3

2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

2 3

, , ,

, ,, ,

,

,, ,

,

, ,

x y xy y x y xy y

x y x y x y xy xy xy xy xy

y y y y y

xy y

+ + − − − + −

− =−

= − =−

= =

− + = − + = − = − − =

= − +

20. 20. 20. 20. 20. 3

25

7

50

3

5

1

250 2

1

53

25

3

50 2

3 15 5

25

13

25

7

50

1

25

1

5

7 2 10

50

1

5013

25

1

50

1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

1 2

a b a b a b

a a a a a b b b b b

a b

m m m m m m

m m m m m m m m m m

m m

− − − − − −

− − − − − − − − − −

− −

− + − − +

+ − =+ −

= − − + =− − +

=

= +

,

,

EJERCICIO 11

Para resolver los problemas del 1 al 18 las literales toman los siguientes valores:a = 1 b = 2 c = 3 m = 1/2 n = 1/3 p = 1/4a = 1 b = 2 c = 3 m = 1/2 n = 1/3 p = 1/4a = 1 b = 2 c = 3 m = 1/2 n = 1/3 p = 1/4a = 1 b = 2 c = 3 m = 1/2 n = 1/3 p = 1/4a = 1 b = 2 c = 3 m = 1/2 n = 1/3 p = 1/4

1. 1. 1. 1. 1. 3 3 1 2 6ab = ⋅ ⋅ =

2. 2. 2. 2. 2. 5 5 1 2 3 5 8 3 1202 3 2 3a b c = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

3. 3. 3. 3. 3. b mn2 221

2

1

3

4

6

2

3= ⋅ ⋅ = =

4. 4. 4. 4. 4. 24 241

2

1

3

1

46

1

27

1

4

6

108

1

182 3

2 3

m n p=

⋅ = ⋅ ⋅ = =

5. 5. 5. 5. 5. 2

3

2

31 2

1

2

2

34

1

8

8

24

1

34 2 3 4 2

3

a b m = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =

6. 6. 6. 6. 6. 7

12

7

123

1

4

1

2

189

12

1

16

1

2

189

384

63

1283 2 3

2

c p m= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =

7. 7. 7. 7. 7. m n pb c a =

⋅ = ⋅ ⋅ =

1

2

1

3

1

4

1

4

1

27

1

4

1

432

2 3

8. 8. 8. 8. 8. 5

6

5

61

1

2

5

6

1

2

5

121 2 2 1

3 2

a mb c− − −−

⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =

9. 9. 9. 9. 9. 2 2 2 3 4 9 36 62 2bc = ⋅ ⋅ = ⋅ = =

10.10.10.10.10. 4 12 41

212 2 3 2 216 2 6 1223 23 3m bc⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =

11. 11. 11. 11. 11. mn a b⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = =81

2

1

38 1 2

1

664

8

6

4

34 3 4 3

12. 12. 12. 12. 12. 43

4 13 2 3

418

29

abc

= ⋅⋅ ⋅

= =

13. 13. 13. 13. 13. 55 2

12

13

14

2014

112

51

12

602 2

22

b m

np=

⋅ ⋅

⋅=

⋅= =

14. 14. 14. 14. 14. 3423

34

2

23

3

3 84

2 93

244

183

66

1

3

2

3

2

b

c=

⋅

⋅=

⋅

⋅ = = =

15. 15. 15. 15. 15. 2 2

12

13

1

19

113

32 2

m

n=

⋅

= = =

16.16.16.16.16.24

2

2412

13

21

3

1

4

246

219

116

4

21

144

4

21

12

416

24

2 2 2 2

mn

n p⋅=

⋅ ⋅

⋅

=⋅ ⋅

=⋅

=⋅

= =

17. 17. 17. 17. 17. 3 642

3 64 2 3

21

2

3 64 8 729 3 373 248 3 72 2163 63 3 63

3 3⋅=

⋅ ⋅ ⋅

⋅= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =

b cm

.

18. 18. 18. 18. 18. 3

53

2125

3

51

1

42

32

125 212

3

5

4

4

32

2502

3

51

3

2125

3

53

25

3

515

2

6

75

2

25

2

3

2

3 33

⋅

⋅=

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅=

⋅

⋅=

⋅

⋅=

⋅= = =

apb

bm

EJERCICIO 12

Para resolver los problemas del 1 al 18 las literales toman los siguientes valores:a = 3 b = 4 c = 1/3 d = 1/2 m = 6 n = 1/4

1. 1. 1. 1. 1. a ab b2 2 2 22 3 2 3 4 4 9 24 16 1− + = − ⋅ ⋅ + = − + =

2. 2. 2. 2. 2. c cd d2 22 2

21

32

1

3

1

2

1

2

1

9

1

3

1

4

4 12 9

36

25

36+ + =

+ ⋅ ⋅ +

= + + =

+ +=

3. 3. 3. 3. 3. ac

bd

+ = + = + =313

412

9 8 17

4. 4. 4. 4. 4. cd

mn

− + = − + = − + =− +

= −2

1312

614

223

24 22 72 6

3643

5. 5. 5. 5. 5. a b m2 2 2 2 2 2

3 2 633

42

66

93

162

366

3 8 6 1− + = − + = − + = − + =

6. 6. 6. 6. 6. 3

5

1

22

3

5

1

3

1

24 2

1

2

1

52 1

1 10 5

5

4

5c b d− + = ⋅ − ⋅ + ⋅ = − + =

− += −

7. 7. 7. 7. 7. abn

acd

bdm

+ − =⋅

+⋅

−⋅

= + − = + − =+ −

= =3 4

14

313

12

412

61214

112

26

48 213

144 6 13

1493

49 23

8. 8. 8. 8. 8. b n m+ + = + + ⋅ = + + =+ +

= =6 41

46 6 2

1

26

4 1 12

2

17

28 1

2

9. 9. 9. 9. 9. c a d b n d3 16 81

33 3

1

216 4

1

48

1

2

1

33

1

216

1

42 1 8

1

2

2 16 1

2

13

262 2 1

2− + = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ = − + =− +

= − = −

10. 10. 10. 10. 10. m

d

a

b =

= = ⋅ =6

12

2161

16

216 16 34563

4 .

111111. 1. 1. 1. 1. 3

4

43

134

4146

134

146

1

12

1

24

2 1

24

3

24

1

82

2

2 2

cn

m+ =

+

= + = + =+

= =

12. 12. 12. 12. 12. 4

2

16

21 2

1

28

1

41

2

4

8

161

1

2

1

21 1 1 0

2 2 2 2d n+ − = ⋅

+ ⋅

− = + − = + − = − =

13. 13. 13. 13. 13.

a bc

b md

+−

+=

+−

+= − = − =

3 413

4 612

713

1012

21 20 1

14. 14. 14. 14. 14.

b an

m bd

a−

+−

+ =−

+−

+ ⋅ = + + = + + =54 3

14

6 412

5 3114

212

15 4 4 15 23

15. 15. 15. 15. 15. 12

216 1 12

13

3

2 4

1614

3

6112

4 38

4 36

218

16

23 4 48

244724

12324

c ab

n am d

−−

−+ =

⋅ −

⋅−

⋅ −+ =

−−

−+ = − + =

− += =

16. 16. 16. 16. 16. 43

3

6

64 4

3 3

3

6 6

616

9

3

36

64

3

3

6

64 1 1 4b

a m+ − = ⋅ +

⋅−

⋅= + − = + − = + − =

17. 17. 17. 17. 17. b d c d+ − + =+ ⋅

−⋅ + ⋅

= + − + = − = − =22

3 84

4 212

2

313

812

42 1

21 2

432

34

6 34

34

18. 18. 18. 18. 18. 2

3

3 2

4

2 3 4

3

3 212

43

1

4

2 144

3

394

43

1

2

2 12

3

332

4

3

2

24

3

924

3

28

9

8

3

2

64 9 12

8

61

87

2 2 2 2 2

2

58

⋅+

⋅ +− ⋅ =

⋅ ⋅+

⋅ +

− ⋅ =⋅

+⋅

− ⋅

=⋅

+⋅

− = + − = + − =+ −

= =

a b da n

EJERCICIO 13

Para los problemas 1 al 24 las literales toman los siguientes valores:a = 1 b = 2 c = 3 d = 4 m = 1/2 n = 2/3 p = 1/4 x = 0

1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )a b c d+ ⋅ − = + ⋅ − = ⋅ − = − =1 2 3 4 3 3 4 9 4 5

2. 2. 2. 2. 2. ( )( ) ( )( )a b b a+ − = + − = ⋅ =1 2 2 1 3 1 3

3. 3. 3. 3. 3. ( )( )b m c n a− − + = −

−

+ ⋅ =

−

−

+ = ⋅ + = + =

+= =4 2

1

23

2

34 1

4 1

2

9 2

34

3

2

7

34

7

24

7 8

2

15

272 2 1

2

4. 4. 4. 4. 4. ( )( ) ( )( )2 3 4 21

23

2

34

1

42 1 2 1 4 3 5 152 2m n p b+ + = ⋅ + ⋅

⋅ +

= + + = ⋅ =

5. 5. 5. 5. 5. ( )( )( ) ( ) ( )4 8 6 41

28

1

41 2 6

2

34 2 2 30 02 2 2 2m p a b n d+ + − = ⋅ +

+ ⋅ −

= + ⋅ ⋅ =

6. 6. 6. 6. 6. ( )( )( )( ) ( )( )( )c b d c b a m p− − − − = − − − −

= ⋅ ⋅

−

=3 2 4 3 2 1

1

2

1

41 1 1

2 1

4

1

4

7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( ) ( )b c d a m n x2 2 2 2 562 2 3 4 1

1

2

2

32 0 4 7

3 4

628

7

6

168 7

6

161

626+ − + + = + − +

+ ⋅ = ⋅ −

+

= − =

−= =

8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( ) ( )2 6 4 21

20 6 2 3 4 4 6 4 9 4 16 6 13 64 78 64 142 2 2 2 2 2mx b c d+ + − = ⋅ ⋅ + + − ⋅ = + − ⋅ = ⋅ − = − =

9. 9. 9. 9. 9. 8

9

16 812

923

1614

21

4183

4

2

4

62

2

32

2 6

3

8

32 2

3

m

n

p

ba+

=

⋅

⋅+

⋅

⋅ = + = + = + =+

= =

10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( ) ( )x m a d cb c a+ + − = + + − = + − = ⋅ =01

21 4 3

1

21 64 3

1

262 312 3 1

11. 11. 11. 11. 11. ( )4 412

14

1

1 2

34

2 1

4

1 4

94

3

4

5

9

359

27

55

2 2

2

2 2

225

m p

a

a b

c

+÷

+=

+

÷+

=+

÷

+= ⋅ ÷ = = =

12. 12. 12. 12. 12. ( )( )( )( )( )( )

2 3 4 8 6 4 9 20

21

23

2

34

1

48

1

46

2

34

1

29

2

320

1

41 2 1 2 4 2 6 5 4 4 11 176

m n p p n m n p+ + + − +

= ⋅ + ⋅ + ⋅

⋅ + ⋅ − ⋅

⋅ + ⋅

= + + + − + = ⋅ ⋅ =

13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( ) ( )c m n d m p b n p2 2 2

2 2 2 212

163

1

2

2

34

1

2

1

42

2

3

1

49

7

616

3

44

11

12

21

212

44

12

126 144 44

12

26

122 2

+ − + + +

= +

− +

+ +

= ⋅ − ⋅ + ⋅ = − + =

− += = =

14. 14. 14. 14. 14. c d

a dm

2 2 2 2

12

2 3 4

1

2

4

1

2

9 16

1

2

2

1

2

25

1

2

2

1

25

1

2

5

22

+÷

=

+÷

⋅ =

+÷

⋅ = ÷

⋅ = ⋅ = =

15. 15. 15. 15. 15. ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

4 2 18 24 2 8 2 40

41

42 2 18

2

324

1

42 8

1

22 40

1

41 1 4 12 6 2 4 2 11 5 6 2 66 30 132 162

p b n p m p a+ − + + +

= ⋅ + ⋅

⋅ − ⋅

+ ⋅ +

⋅ +

= + − + + = ⋅ + ⋅ = + =

16. 16. 16. 16. 16.

ad

bd b

mp

+

−⋅

+=

+

−⋅

+

=

+

⋅

+

= ⋅+

= ⋅+

= ⋅ = ⋅ = =5

21

42

4 2

52

12

14

2 422

5214

116

622

5 81

16

3

2

5 81

16

3

2

131

16

3

2208

624

2312

2

2

2

2

17. 17. 17. 17. 17. ( ) ( )a b c b m n+ ⋅ + − ⋅ = + ⋅ + ⋅ − ⋅

= ⋅ − ⋅ = ⋅ − = − =

−= = =2 2 2

2

46

238 1 2 3 8 2

1

2

2

33 25

1

2

2

33 5

2

615

2

6

90 2

6

88

614 14

18. 18. 18. 18. 18. ( ) ( )a c n

bc d p

++

÷ + ⋅ =

++

⋅

÷ + ⋅ = +

÷ ⋅ = =

2

6 1 3

2

623

23 4

1

4

4

2

4

27

1

2

272

4

7

19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( )

( ) ( )

3 32 2 162

3 3 2 321

22 4 1 16

1

4

223

3 16 6 46

23 4 6 2 3 12 12 3 3

c b m d a pn

− ⋅ − − ⋅ −

= − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − = ⋅ − ⋅ − = ⋅ − ⋅ − = − − = −

20. 20. 20. 20. 20. ( )

( )

6

2 8

3

2

6 1 2 3

2 8 2

312

23

2 2 1

3 423

14

1 2 3

36

2 16

1

2

2

6

6

8

1

2

1

3

18 12 8

24

22

24

11

12

abc

b

mn

b a

cdnp

abc⋅+

−−

=⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅+

⋅ ⋅

−−

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅=

⋅+ − = + − =

+ −= =

21. 21. 21. 21. 21. ( )( ) ( )( )a b

b aa b a b

2 2

2 2

2 2

2 2233 2 3

1 2

2 13 1 2 2 1 3 2

5

33 3 8

5

372

5 216

3

221

373

+−

+ + + =+−

+ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ ⋅ = + =+

= =

22. 22. 22. 22. 22. ba b b c n m

22

2

2

2 2

12

1 1 1 1 1 1

21

1

1

2

1

2

1

3

123

112

43

2

5

6

3

22 4

5

4

7

2

21

4

49

4

70

4

35

217

+ +

+

+ +

= + +

+

+ +

= + ⋅

+ +

= + +

= + = = =

23. 23. 23. 23. 23.

( )( )( )( )

2 3 4 2 4

21

23

2

34

1

42 3 4

1

2

2

31 2 1 6 4

1

4

4

93 7

4

921

4

9

189 4

9

185

920

2 2

2 2

59

m n p c m n+ + −

= ⋅ + ⋅

⋅ + ⋅

−

= + + − ⋅ ⋅ = ⋅ − = − =

−= =

24. 24. 24. 24. 24.

bc

ab mn

b m

2 2

32

233

2 1 212

23

212

3

412

2332

372

49

67

49

54 2863

2663

−

−−

−=

−

⋅ ⋅ −−

−=

−− = − = − =

−=

EJERCICIO 14

1. 1. 1. 1. 1. a b m+ +

2. 2. 2. 2. 2. m b x2 3 4+ +

3. 3. 3. 3. 3. a a+ +1 2;

4. 4. 4. 4. 4. x x− −1 2;

5. 5. 5. 5. 5. y y y+ + +2 4 6; ;

6. 6. 6. 6. 6. ( )$ a x m+ +

7. 7. 7. 7. 7. m n−

8. 8. 8. 8. 8. ( )bs x. − 6

9. 9. 9. 9. 9. ( )x m Km−

10. 10. 10. 10. 10. ( )$ x a m+ −

11. 11. 11. 11. 11. ( )m a b c Km− − −

12. 12. 12. 12. 12. ( )$ n− 300

13. 13. 13. 13. 13. ( )365− x días

14. 14. 14. 14. 14. $ ; $15 ; $8a a ma

15. 15. 15. 15. 15. 2 32

a bc

+ +

16. 16. 16. 16. 16. a b m⋅ 2

17. 17. 17. 17. 17. 23 2n m

18. 18. 18. 18. 18. x m2 2

19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( )$ ; $3 6a b ax bm+ +

20. 20. 20. 20. 20. ( )( )a b x y+ +

21. 21. 21. 21. 21. ( )$ 8 48x+

22. 22. 22. 22. 22. ( )( )bs a x. − +8 4

23. 23. 23. 23. 23. 75

xsucres

24. 24. 24. 24. 24. $a

m

25. 25. 25. 25. 25. 3 000

1.n

colones−

26. 26. 26. 26. 26. x

asoles

−3

27. 27. 27. 27. 27. m

m14

28. 28. 28. 28. 28. x

akm

h+1

EJERCICIO 15

29. 29. 29. 29. 29. $a bm

+−2

30. 30. 30. 30. 30. x xx

hab+ +

2

2.

31. 31. 31. 31. 31. 10003

2

4. − + +

aa a

sucres

1. 1. 1. 1. 1. m n m n, → +

2. 2. 2. 2. 2. ( )m n m n m n, − → + − = −

3. 3. 3. 3. 3. − → − +3 4 3 4a b a b,

4. 4. 4. 4. 4. 5 6 6 5b a a b, → − +

5. 5. 5. 5. 5. ( )7 6 7 6 7 6 1, − → + − = − =

6. 6. 6. 6. 6. − → − + =6 9 6 9 3,

7. 7. 7. 7. 7. − → − +2 3 2 3x y x y,

8. 8. 8. 8. 8. ( )5 5 5mn m mn m mn m, − → + − = −

9. 9. 9. 9. 9. 5 7 5 7 12a a a a a, → + =

10. 10. 10. 10. 10. ( )− − → − + − = − − = −8 5 8 5 8 5 13x x x x x x x,

11. 11. 11. 11. 11. − → − + =−11 8 11 8 3m m m m m,

12. 12. 12. 12. 12. 9 15 9 15 6ab ab ab ab ab, − → − =−

13. 13. 13. 13. 13. − − → − − =−xy xy xy xy xy, 9 9 10

14. 14. 14. 14. 14. ( )mn mn mn mn mn mn mn, − → + − = − = −11 11 11 10

15. 15. 15. 15. 15. 1

2

2

3

1

2

2

3a b a b, − → −

16. 16. 16. 16. 16. 35

34

35

34

b c b c, → +

17. 17. 17. 17. 17. 1

3

2

3

1

3

2

3

3

3b b b b b b, → + = =

18. 18. 18. 18. 18. − − → − − = − = −1

2

1

2

1

2

1

2

2

2xy xy xy xy xy xy,

19. 19. 19. 19. 19. − −

− − = − =−

3

5

2

53

5

2

5

5

5

abc abc

abc abc abc abc

,

20. 20. 20. 20. 20. −

− + = − + = −

43

8

438

32 38

298

2 2

2 2 2 2

x y x y

x y x y x y x y

,

21. 21. 21. 21. 21. 3

8

3

43

8

3

4

3 6

8

3

8

mn mn

mn mn mn mn

, −

− =−

= −

22. 22. 22. 22. 22. a b c a b c, , → + +

23. 23. 23. 23. 23. a b c a b c, ,− → − +

24. 24. 24. 24. 24. a b c a b c, ,− → − +2 2

25. 25. 25. 25. 25. 3 2 4 3 2 4m n p m n p, ,− → − +

26. 26. 26. 26. 26. a ab b a ab b2 2 2 27 5 7 5, ,− − → − −

27. 27. 27. 27. 27. x xy y x xy y2 2 2 23 4 3 4, ,− − → − −

28. 28. 28. 28. 28. x x y x x y3 2 3 26 6, ,− → − +

29. 29. 29. 29. 29. 2 3 2 3 5a b a a a b a b, ,− → + − = −

30. 30. 30. 30. 30. − − → − − + =− −m n n m n n m n, ,8 4 8 4 4

31. 31. 31. 31. 31. − − → − + − = −7 8 7 8a a b a a b a b, ,

32. 32. 32. 32. 32. 1

2

2

3

3

41

2

3

4

2

3

4 6

8

2

3

1

4

2

3

x y x

x x y x y x y

, , −

− + =−

+ =− +

33. 33. 33. 33. 33. − − −

− − − =− −

− =− −

3

5

2

33

5

2

3

3 5

5

2

3

8

5

2

3

m m mn

m m mn m mn m mn

, ,

34. 34. 34. 34. 34. − −

− − + + =− + +

7 5 3

7 5 3 8 5 3

2 2 2

2 2 2 2 2

a ab b a

a a ab b a ab b

, , ,

35. 35. 35. 35. 35. − + − − = −7 17 5 4 10 92 2 2mn mn m m mn m

36. 36. 36. 36. 36. x x x y x y x x y3 3 2 2 3 27 8 4 5 6 4 5− − + + = − − +

37. 37. 37. 37. 37. 5 9 6 7 4 3 72 2 2 2 2x x xy xy y x xy y− + − + = + +

38. 38. 38. 38. 38. − − + − −

= − − −

8 5 11 7

9 6 7

2 2 2 2 3

2 2 3

a b a b ab ab b

a b ab b

39. 39. 39. 39. 39. m m n m n mn n

m m n mn n

3 2 2 2 3

3 2 2 3

8 7 7

7

− + + −

= − + −

40. 40. 40. 40. 40. 1

2

1

4

2

3

1

56

2 1

4

10 3

156

1

4

13

156

a a b b

a b a b

− + + −

=−

++

− = + −

41. 41. 41. 41. 41. a a b b c c b− − + − + =3 4 8 8

42. 42. 42. 42. 42. m m m m n m n mn

m m n mn

3 3 3 2 2 2

3 2 2

5 5 4 4 7

8 7

+ − − − −

= − −

43. 43. 43. 43. 43. 9 11 6 4 6 8 17 2x x y y z z x y z− − − + − = − −

44. 44. 44. 44. 44. 6 9 5 7 8 11

15 5 15 11

2 2 2 2

2 2

a a ab b b

a ab b

+ − − − −

= − − −

45. 45. 45. 45. 45. − + − + − −

= − −

x y x y xy xy y

xy y

2 2 2 2 3 3 4

3 4

5 7 4 8

2 4 8

46. 46. 46. 46. 46. 312

12

4 6

6 1

2

1 2

22

5

2

1

22

a a b b

a b a b

− + − − +

=−

+−

+ = − +

47. 47. 47. 47. 47. 1

2

3

4

2

3

1

3

5

6

5

62 3

42 1

354

13

2 2 2 2

2 2

x x xy xy y y

x xy x xy

+ + − + −

= + + − = +

48. 48. 48. 48. 48. 5 5 6 5 8 81 1 1 2 2ax ax a a a a ax x x x x− − + + + =+ + + + +

49. 49. 49. 49. 49. 3

4

2

3

1

3

1

35

3 4

4

3

3

1 15

3

7

4

16

3

2 2 2 2

2 2 2 2

x x xy xy y y

x xy y x xy y

+ − − + +

=+

− ++

= − +

50. 50. 50. 50. 50. 3

4

1

4

1

2

1

2

5

63 1 4

43 3 5

632

16

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

a b a b a b ab ab ab

a b ab a b ab

− + + + −

= − + + + − = +

EJERCICIO 16

1. 1. 1. 1. 1. 3 2

2 3

5 5

a b c

a b c

a b

+ −+ +

+

2. 2. 2. 2. 2. 7 4 5

7 4 6

a b c

a b c

c

− +− + −

−

3. 3. 3. 3. 3. m n p

m n p

+ −− − +

0

4. 4. 4. 4. 4. 9 3 5

4

5 4 9

3

x y

x y

x y

x

− +− − +

− + −

5. 5. 5. 5. 5. a b c

a b c

a b c

b

+ −+ −

− − +2 2 2

3 3

2

6. 6. 6. 6. 6. p q r

p q r

p q r

r

+ +− − +

+ −

−

2 6 3

5 8

4

7. 7. 7. 7. 7. − − +− −

− + +

−

7 4 6

10 20 8

5 24 2

2

x y z

x y z

x y z

x

8. 8. 8. 8. 8. − + −− +

− + −

− − −

2 3 6

3 8 8

5 10

4 4 8

m n

m n

m n

m n

9. 9. 9. 9. 9. − − −− +

− + −

− −

5 2 3

7 3 5

8 5 3

6

a b c

a b c

a b c

a c

10.10.10.10.10. ab bc cd

ab bc cd

ab bc cd

ab

+ +− − −

+ +

−

8 3 3

5 2 2

2

11. 11. 11. 11. 11. ax ay az

ax ay az

ax ay az

ay az

− −− − −

+ +

+

5 7 6

4 9 8

12. 12. 12. 12. 12. 5 7 8

4 6

3 8 9

2 23

x y

x y

x y

x

− +− − +− + +

− +

13. 13. 13. 13. 13. − + −− − +

− −

−

am mn s

am mn s

am mn s

am mn

6 4

5 6

3 5 2

4

14. 14. 14. 14. 14. 2 3

6 4

8

9 4

a b

b c

a c

a b c

+−

− +

+ +

15. 15. 15. 15. 15. 6 3

4 5

5

5 7

m n

n p

m p

m n

−− +

− −

−

16. 16. 16. 16. 16. 2 3

5 4

8 6

7 9

10 3 12 7

a b

c

a

c

a b c

++ −

++ −

+ + −

17. 17. 17. 17. 17. 2 3

5 9

6 4

3 5

8 5

x y

z

x

y

x z

−+ +

−−

+

21. 21. 21. 21. 21. 5 3 7

8 5 9

11 5 16

14 7

a a a

a a a

a a a

a a

x m n

x m n

x m n

x m

− −

− + −

− + +

− +

22.22.22.22.22. 6 7 5

4 7

5 3 12

5 11 6

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

m m m

m m m

m m m

m m m

a a a

a a a

a a a

a a a

+ + +

+ + +

+ + +

+ + +

− −

− −

− + +

− +

23. 23. 23. 23. 23. 8

3 4 2 3

4 5 3 4

9 2

3 2

x y z u

x y z u

x y z u

x y z u

y z u

+ + +− − − +

+ + −− − + +

+ +

7. 7. 7. 7. 7. m n

n mn

m n

m mn

2 2

2

2 2

2

4 3

5 5

4 3

+

+ −

− −

− −

8. 8. 8. 8. 8. 3

4 5

4 6

3 1

3

2

3 2

x x

x

x x

x

+

− +

− + −

−

9. 9. 9. 9. 9. x xy y

x xy y

x xy y

x xy y

2 2

2 2

2 2

2 2

3

3 2

3

3 2

− +

− + −

+ −

+ −

10. 10. 10. 10. 10. a ab b

a ab b

a ab b

b

2 2

2 2

2 2

2

3

5

2 8

− +

+ − −

− + −

−

11. 11. 11. 11. 11. − + −

+ −

− − +

− + −

7 5 6

4 8 9

7 14

4 6 1

2

2

2

2

x x

x x

x x

x x

18. 18. 18. 18. 18. 8 3

5

7 4

19 3

a b c

a b c

a b c

a b c

a c

+ −− +

− − −− +

+

19. 19. 19. 19. 19. 7 2 4

9 6 5

3 6

8 3 5

15 7 3 10

x y

y z

y z

x y

x y z

+ −+ − +− + −− −

+ − −

20. 20. 20. 20. 20. − − −+ −

− + ++ −

− + + −

m n p

m n

m p

m n

m n p

2 5

6 3 4

5 2 8

3 2 9

24. 24. 24. 24. 24. a b c d

a b c d

a b c d

a b c d

a c

+ − +− + −

− + − +− − + −

− +

2 3 2

3 3 4

3 2

25. 25. 25. 25. 25. 5 3 4

2 2 3

2 4 3

3 6

2

ab bc cd

bc cd de

ab bc de

ab bc cd

ab

− ++ + −

− + +− − −

26. 26. 26. 26. 26. a b

b c

c d

a c

c d

a d

a d

a

−−

+−

−− +

−

2

12. 12. 12. 12. 12. a a

a a

a a

a a a

3

3 2

2

3 2

4 5

2 6

7 4

2 11 15

− +

− +

+ − +

− − +

13. 13. 13. 13. 13. − + −

− +

− + −

− + −

x x

x x

x x

x x

2

3 2

3

2

6

7 5

8 5

8 9 6

14. 14. 14. 14. 14. a b

a b ab

a ab b

a a b ab b

3 3

2 2

3 2 3

3 2 2 3

5 4

7

2 5 11 2

−

+ −

− −

+ − −

15. 15. 15. 15. 15. x xy y

x x y y

x xy y

x x y xy y

3 2 3

3 2 3

3 2 3

3 2 2 3

5

2 4 5

4 5 3 5

+ +

− −

− −

− − −

16. 16. 16. 16. 16. − +

+ + −

− + +

+ +

7 4

6

7 5

6 8

2 3

3 2 3

3 2 3

2 3

m n n

m mn n

m m n n

mn n

1. 1. 1. 1. 1. x x

x x

x x

2

2

2

4

5

2

+

−

−

2. 2. 2. 2. 2. a ab

ab b

a ab b

2

2

2 2

2

+

− +

− +

3. 3. 3. 3. 3. x x

x

x x x

3

2

3 2

2

4

2 4

+

− +

− + +

4. 4. 4. 4. 4. a a

a a

a a a a

4 2

3

4 3 2

3

4

3 4

−

+ +

+ − +

5. 5. 5. 5. 5. − +

+

− + +

x x

x

x x x

2

3

3 2

3

6

3 6

6. 6. 6. 6. 6. x x

x

x

x x

2

2

2

4

7 6

3 5

4 11 1

−− +

−

− +

EJERCICIO 17

17. 17. 17. 17. 17. x x x

x x

x x

x x x x

4 2

3 2

2

4 3 2

4 5

7 4 6

2 3 11

− +

+ − +

+ − +

+ + − +

18. 18. 18. 18. 18. + + +

+ − +

+ − −

+ + + − −

a a

a a

a a

a a a a a

6 4

5 3

3 2

6 5 4 3 2

6

3 8

14

2

19. 19. 19. 19. 19. x x

x x

x x

x x x x x

5

4 2

3

5 4 3 2

9

3 7 6

3 4 5

3 3 7 3 2

+ −

+ − +

− − +

+ − − − +

20. 20. 20. 20. 20. a a

a

a a

a

a a

3

2

2

2

3

5

4 7

8 6

5 1

+

+ +

+ +

− −

+ −

21. 21. 21. 21. 21. x x y

x y xy

xy y

x y

x x y x y xy y

4 2 2

3 3

3 4

2 2

4 3 2 2 3 4

5 6

4

4 6

5 5 2 6

−

− +

− +

− −

− − + + −

22. 22. 22. 22. 22. + +

− + −

− + +

− − +

− + −

x xy

x xy y

x xy y

x xy y

x xy y

2

2 2

2 2

2 2

2 2

4 7

6 5

6 4

7 7

23. 23. 23. 23. 23. a ax x

ax x a x

a x a x

a ax x

a x

3 2 3

2 3 2

3 3 2

3 2 3

3 3

8

6 5

3 5

14

5 2

− +

− − +

− −

+ −

−

24. 24. 24. 24. 24. − + −

+ − +

− + −

+ − −

− + − −

8 6

5

4 4 3

7 4 6

3 3 6 6

2 2 3

3 2 3

3 2 2

2 2

3 2 2

a m am m

a am m

a a m am

a m am

a a m am

25. 25. 25. 25. 25. x x y xy

x y x y y

x y xy y

x xy y

x x y x y x y

5 3 2 4

4 2 3 5

3 2 4 5

5 4 5

5 4 3 2 2 3

2 3

3 4

5 2

2 2 2 3

− −

+ + −

+ − −

+ +

+ + +

26. 26. 26. 26. 26. a a a

a a

a a

a a a

a a a

5 6 2

4 3

2

5 2

6 4 3

6

3 8 5

4 6 5

4

+ +

+ + +

+ − +

− − + −

+ + + +

27. 27. 27. 27. 27. a b

a b a b ab

a a b a b

a b a b b

a ab b

4 4

3 2 2 3

4 3 2 2

3 2 2 4

4 3 4

3 5 4

4 3 3

2 4

−

− + −

− + −

− + −

− − −

28. 28. 28. 28. 28. m n m n

n m n mn

m n mn

m n m n

mn

3 3 2

3 2 2

3 3 2

3 3 2

2

6

4 5

6

2 2

11

− +

+ − +

− +

− + −

29. 29. 29. 29. 29. a a

a a

a a

a a

a a a a

x x

x x

x x

x x

x x x x

−

+ +

+ +

+ −

+ − +

−

− −

− −

− −

− − −

3

5 6

7

13

6 3

2

1 3

3 4

1 3

1 2 4

30. 30. 30. 30. 30. − + +

− − +

− + −

+ − +

− + + −

⇒ − + −

+ +

+ − −

+ +

− − +

+ + +

+ + +

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a a

a a a a

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x x

x x x x

1 2

3 1 2

3 2

1 2 2

1 3 2

3 2 1

3

4 5

2 3

3 2

EJERCICIO 18

1. 1. 1. 1. 1. 12

131

2

1

4

1

2

2 3

6

1

4

1

2

5

6

1

4

2

2

2 2 2 2

x xy

xy y

x xy y x xy y

+

+ +

++

+ = + +

2. 2. 2. 2. 2. a ab

ab b

ab b

a ab b a b

2

2

2

2 2 2 2

1214

12

14

15

2 1 14

5 210

310

+

− +

− −

+− −

+−

= +

3. 3. 3. 3. 3. x xy

xy y

xy y

x xy y

x xy y x xy y

2

2

2

2 2

2 2 2 2

231656

23

4 1 56

3 23

26

53

13

53

+

− +

− +

+− −

++

= − + = − +

4. 4. 4. 4. 4. 34

12

25

16

110

13

34

4 110

3 1 26

34

310

2 2

2

2

2 2 2

x y

xy y

xy y

x xy y x xy

−

− +

+ +

+− +

+− + +

= −

5. 5. 5. 5. 5. 23

15

12

56

110

16

112

120

13

8 10 112

4 2 120

3 1 26

1712

320

46

1712

320

23

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

a ab b

a ab b

a ab b

a ab b

a ab b a ab b

+ −

− +

− + −

+ −+

− ++

− + −

= + − = + −

6. 6. 6. 6. 6. 56

23

34

16

18

12

13

14

56

5 1 26

16 3 624

9 6 1012

26

724

1312

13

1312

724

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

x y xy

x y xy

x y xy

x y xy

x y xy x xy y

− +

− + −

− + +

− −+

− + ++

− +

= − + ⇒ + −

7. 7. 7. 7. 7. a ab b

ab b a b

a b a b

a ab b a b

a ab b a b a a b ab b

3 2 3

2 3 2

3 3 2

3 2 3 2

3 2 3 2 3 2 2 3

1

23

82

5

61

4

3

5

1

2

4 1

4

4 3

8

5 10 3

5

5 3

65

4

7

8

8

5

2

6

5

4

1

3

7

8

8

5

− +

− − +

− −

++

− −+

− −+

−

= − − + ⇒ + − −

8. 8. 8. 8. 8. x x

x x

x x x

x x x x

x x x x x x x x

4 2

3

4 3

4 2 3

4 2 3 4 3 2

5

32

3

3

83

5

5

6

3

4

5 3

52

4 5

6

3 6

82

52

9

6

9

8

2

5

3

2

9

82

− +

− + −

− + −

−− + +

++

− −

= − + + − ⇒ + − − +

9. 9. 9. 9. 9. 2

3

1

4

2

51

8

3

5

1

61

2

2 3

3

2 1

8

2 3 5

5

1 3

65

3

1

8

6

5

2

6

5

3

1

3

1

8

6

5

3 2 3

2 3 2

3 3 2

3 2 3 2

3 2 3 2 3 2 2 3

m mn n

mn n m n

m n m n

m mn n m n

m mn n m n m m n mn n

− +

+ − +

− −

++

− ++

− −+

−

= − − − ⇒ − − −

10. 10. 10. 10. 10. x x y y

x x y y xy

x y y x y

x x y y xy x y

x x y y xy x y

x x y x y xy y

4 2 2 4

4 2 2 4 3

2 2 4 3

4 2 2 4 3 3

4 2 2 4 3 3

4 3 2 2 3 4

22

75

6

3

8

1

14

1

61

4

1

7

5

6

6 5

6

16 3 2

8

4 1 2

14

1

6

5

61

6

17

8

5

14

1

6

5

61

6

5

6

17

8

1

6

5

14

+ +

− + − −

− + −

−+

+ −+

− +− −

= + + − −

⇒ − + − +

11. 11. 11. 11. 11. x x x

x x x

x x x

x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

5 3

5 2

3 2 4

3

5 3 2 4

5 3 2 4

5 4 3 2

2

3

4

5

31

10

3

81

6

1

4

2

31

12

3

54

28 2 1

12

8 1 6

10

3 2

8

2

34

27

12

13

10

1

8

2

34

22

3

7

12

1

8

13

104

− +

− − +

+ − −

− + −

− +− + −

+− +

+−

− −

= − − + + − −

⇒ − − − + + −

12.12.12.12.12.29

56

13

37

78

19

23

12

14

2 69

6 714

20 21 624

3 19

49

114

724

49

3 2 3

2 2 3

3 2 2

3 2 2 3

3 2 2 3

a ax x

a x ax x

a a x ax

a a x ax x

a a x ax x

+ −

− − −

− + −

−+

− ++

− −+

− −

= − + − −

13. 13. 13. 13. 13. a a a

a a a

a a

a

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

6 4 2

5 3

4 2

6 4 2 5 3

6 4 2 5 3

6 5 4 3 2

3

5

3

8

1

23

7

5

86

3

86

7 3

7

8 5

8

3

5

3

8

4 3

810

7

3

8

3

5

3

8

7

83

5

10

7

3

8

3

8

7

8

− +

+ − −

− − +

− −

+− −

+−

+ − +− −

= − + + − −

⇒ + − − + −

14. 14. 14. 14. 14. x y

x y xy y

y x y x y

x y y x y

x x y xy y x y x y

x x y xy y x y x y

x x y x y x y xy y

5 5

3 2 4 5

5 4 2 3

3 2 5 4

5 3 2 4 5 4 2 3

5 3 2 4 5 4 2 3

5 4 3 2 2 3 4 5

1

10

3

4

1

61

9

3

5

5

62

5

1

32

1 4

10

3

4

18 3 2 6

18

3 10

5

5

63

10

3

4

29

18

13

5

5

613

5

3

10

5

6

3

4

29

18

−

+ − −

− + −

− − +

+−

− +− − − −

++

−

= − − − + −

⇒ + − − − −

EJERCICIO 19

Para los problemas 1 al 14 las literales toman los siguientes valores:a = 2 b = 3 c = 10 x = 5 y = 4 m = 2/3 n = 1/5

1. 1. 1. 1. 1. 4 5

3 6 8

2 8

2 4 8 8 8 0

x y

x y

x y

y

−− + −− +

−⇒ ⋅ − = − =

2. 2. 2. 2. 2. x x

x x

x x

x x

2

2

2

2

2

5 8

10 30

6 5 50

6 10 72

6 5 10 5 72 6 25 50 72

150 50 72 172

− +

− + −

− + −

− + −

⇒ − ⋅ + ⋅ − = − ⋅ + −= − + − = −

3. 3. 3. 3. 3. x y

x x y

x x y xy

x y x y x y xy

x x y x y xy y

4 4

4 2 2

4 3 3

4 4 2 2 3 3

4 3 2 2 3 4

4 3 2 2 3 4

2 5 8

4 7 10

5 8 7 10

7 5 10 8

5 7 5 4 5 5 4 10 5 4 4 8

625 28 125 5 25 16 50 64 256 8

625 3 500 2 000 3 200 256 8 3 811

−

− −

− + +

− − − − + +

⇒− + − + − −

= − + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − −= − + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − −= − + − + − − =. . . .

4. 4. 4. 4. 4. 3 5 6

6 20 8

12 20 12

9 45 2

923

4515

2183

455

2 6 9 2 1

m n

m n

m n

m n

− +− − +

− −

− +

⇒ ⋅ − ⋅ + = − + = − + = −

5. 5. 5. 5. 5. nx cn ab

nx cn ab

nx ab

nx cn ab

+ −− −

− −

− − −

⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −

= − − ⋅ −

= − − − =−

8 2

5

10 3 5

1015

5 1015

3 2 3 5

50

5

10

56 3 5

10 2 18 5 15

6. 6. 6. 6. 6. a b

a b ab b

a ab

a b b

a ab b

3 3

2 2 3

3 2

2 3

3 2 3

3 2 3

3 8

5 6 8

3 2

4 2 2 8

4 2 2 2 3 2 3 8

4 8 4 9 2 27 8

32 36 54 8 42

+

− + −

− − +

+ −

− + − +

⇒− ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ += − ⋅ + ⋅ − ⋅ += − + − + = −

7. 7. 7. 7. 7. 27 125

9 25

14 8

10 11

27 22 125 8

272

3

2

3

1

522

2

3

1

5125

1

58

278

27

4

9

1

5

44

3

1

25125

1

1258

84

45

44

751 8

4

45

44

751

20 132

3 3

2 2

2

2 2

3 2 2 3

3 2 2 3

m n

m n mn

mn

m n mn

m mn mn n

+

− +

− −

+ +

+ + + −

⇒ ⋅

+

⋅ + ⋅ ⋅

+ ⋅

−

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ −

= + + + − = + +

=+ + 225

225

377

2251152

225= =

8. 8. 8. 8. 8. x y m

x y m

y m

x y m

a b x

a b x

b x

a b x

− − −

− − −

− −

− − −

− −−

+ +

− −+ −

+ −

⇒ ⋅ + ⋅ −

= + − =

1 2 4

1 2 4

2 4

1 2 4

2 1 3 25 4

2 2 2

3 2

3 2 3

3 5 2 4 32

315 8 2 21

9. 9. 9. 9. 9. n m

n m

n m

m

b x

b x

b x

x

− −

− −

− −

−

−

− +

− − ++ −

⇒

=

=

1 3

1 3

1 3

3

5 3 2

8

5 3 10

4 5 18

2

3

2

3

4

9

10. 10. 10. 10. 10. x y xy

x y x x y

xy x y

xy y

x y xy x y

x x y xy y

3 3

3 4 2 2

3 2 2

3 4

3 3 4 4

4 3 3 4

4 3 3 4

5

5 6

6 2

3 1

6 4 2

6 4 2

5 6 5 4 4 5 4 4 2

625 24 125 20 64 256 2

625 3 000 1280 256 2 2 091

− +

− + −

− + +

+ + −

− + + −

⇒ + − − +

= + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − += + ⋅ − ⋅ − += + − − + =. . .

11. 11. 11. 11. 11. 34

23

13

19

16

13

34

2 16

6 1 39

34

16

49

34

216

2 349

3

34

416

649

9 3 1 4 6

2 2

2

2

2 2

2 2

2 2

a b

ab b

ab b

a ab b

a ab b

+

− +

+ −

−− +

++ −

= − +

⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅

= ⋅ − ⋅ + ⋅ = − + =

12. 12. 12. 12. 12. 9

17

25

34

1

47

34

5

17

1

215

7

34

1

430

3

18 7 7

34

25 10

34

1 2 1 12

445

18

34

35

34

12

445

9

1745

35

343

9

17

2

345

2

3

1

5

35

34

1

53

9

17

4

9

90

15

35

34

1

253

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

m n

m n mn

m mn

m n mn

m n mn

m mn n

+ −

+ + −

− − −

+

+ −+

++

− + − +−

= + + −

⇒ − + +

=

− ⋅ ⋅ +

+

= ⋅ − + ⋅ +

= − + + = + −

=+ −

= − = −

4

176

35

8503

4

17

7

1703

40 7 510

170

463

1702 123

170

14. 14. 14. 14. 14. 0 2 0 4 0 5

0 6 0 3 0 8

0 4 0 8 6

0 2 15 0 9

01 01 6

01 01 6

01 2 3 2 3 01 3 6

0 3 4 2 9 01 27 6

12 18 2 7 6

25 5

3 2 2

2 2 3

3 2

3 2 3

2 2 3

2 2 3

2 2 3

, , ,

, , ,

, ,

, , ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

,

a ab a b

ab a b b

a a b

a a b b

ab a b b

a b ab b

+ −

+ − −

− − +

+ +

− + +

⇒− + + +

= − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ += − ⋅ + ⋅ + ⋅ += − + + +=

13. 13. 13. 13. 13. 1

2

3

52

3

4

1

106

1

4

1

254

1

82

3

5

4 6 2 1

8

30 5 2 100

50

10 30 20 3

57

8

67

50

43

5

7

83

2

3

67

5010

1

5

43

57 9 2

24

67

50

43

5

126

24

670

250

43

5

21

4

67

25

43

5525 268 860

100

1 653

10016

2

2

2

2

2

2 2

53100

b m cn

b m cn

b m cn

b m cn

b m cn

b m cn

− −

− +

− + +

− + +

+ − −+

− − + ++

− + + +

⇒ + + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

=⋅ ⋅

+ + = + + = + +

=+ +

= =.

EJERCICIO 20

1. 1. 1. 1. 1. − − = −8 5 13

2. 2. 2. 2. 2. − − = −7 4 11

3. 3. 3. 3. 3. 8 11 3− = −

4. 4. 4. 4. 4. ( )− − − = − + =8 11 8 11 3

5. 5. 5. 5. 5. ( )− − − = − + =1 9 1 9 8

6. 6. 6. 6. 6. 2 3 2 3a b a b− = −

7. 7. 7. 7. 7. 3 2 3 2b b− = −

8. 8. 8. 8. 8. 4 6 4 6x b x b− = −

9. 9. 9. 9. 9. − − =− −5 6 5 6a b a b

10. 10. 10. 10. 10. ( )− − − =− +8 3 8 3x x

11. 11. 11. 11. 11. − − =− −9 5 9 52 2 2 2a b a b

12. 12. 12. 12. 12. ( )− − − = − +7 5 7 5xy yz xy yz

13. 13. 13. 13. 13. 3 4a a a− =−

14. 14. 14. 14. 14. 11 25 142 2 2m m m− =−

15. 15. 15. 15. 15. ( )− − − = − + = −6 6 52 2 2 2 2x y x y x y x y x y

16. 16. 16. 16. 16. ( )11 7 11 7 183 2 3 2 3 2 3 2 3 2a m a m a m a m a m− − = + =

17. 17. 17. 17. 17. ( )− − − = − + =8 8 8 8 02 2 2 2ab ab ab ab

18. 18. 18. 18. 18. ( )31 46 31 46 772 2 2 2 2x y x y x y x y x y− − = + =

19. 19. 19. 19. 19. ( )− − − = − + =84 84 84 84 02 2 2 2a b a b a b a b

20. 20. 20. 20. 20. 3 5 3 51 2 1 2a b a bx x x x+ + + +− = −

21. 21. 21. 21. 21. − − =− −+ +8 11 8 112 2x xa a

22. 22. 22. 22. 22. ( )6 5 6 5 11a a a a an n n n n− − = + =

23.23.23.23.23. ( )− − − = − + =− − − − −45 60 45 60 151 1 1 1 1a a a a ax x x x x

24. 24. 24. 24. 24. ( )54 86 54 86 1401 1 1 1 1b b b b bn n n n n− − − − −− − = + =

25.25.25.25.25. ( )− − − = − + =35 60 35 60 25m m m m ma a a a a

26. 26. 26. 26. 26. 51

25

1

2

10 1

2

11

25 1

2− −

= + =

+= =

27. 27. 27. 27. 27. − − =− −

= −2

3

3

4

8 9

12

17

12

28. 28. 28. 28. 28. 1

3

2

3

1

3

2

3

3

32 2 2 2 2 2x x x x x x− −

= + = =

29. 29. 29. 29. 29. 4

5

5

6

24 25

30

49

303 3 3 3x y x y x y x y− −

=

+=

30. 30. 30. 30. 30. − − −

=

− +=

1

8

3

4

1 6

8

5

82 2 2 2ab ab ab ab

31. 31. 31. 31. 31. − − = −2 3 5

32. 32. 32. 32. 32. ( )7 1 7 1 8− − = + =

33. 33. 33. 33. 33. ( )− − − = − + = −8 5 8 5 3

34. 34. 34. 34. 34. ( )5 4 5 4 9− − = + =

35. 35. 35. 35. 35. ( )− − − = − + =7 7 7 7 0

36. 36. 36. 36. 36. ( )2 5 2 5a a− − = +

37. 37. 37. 37. 37. − − =− −3 3x b x b

38. 38. 38. 38. 38. − − =− −2 5 2 5n m n m

39. 39. 39. 39. 39. ( )3 6 6 3b a a b− − = +

40. 40. 40. 40. 40. ( )8 5 5 83 3b a a b− − = +

41. 41. 41. 41. 41. ( )− − − =− +7 9 7 9a a

42. 42. 42. 42. 42. ( )25 25 25 25ab ab− − = +

43. 43. 43. 43. 43. ( )3 3 4a a a a a− − = + =

44. 44. 44. 44. 44. ( )− − − = − + = −4 3 4 3b b b b b

45. 45. 45. 45. 45. ( )54 11 54 11 653 3 3 3 3x x x x x− − = + =

46. 46. 46. 46. 46. 78 14 642 2 2a b a b a b− =

47. 47. 47. 47. 47. ( )− − − = − + = −54 43 54 43 112 2 2 2 2a y a y a y a y a y

48. 48. 48. 48. 48. − − =−ab ab ab9 10

49. 49. 49. 49. 49. ( )− − − = − + =31 31 31 31 02 2 2 2x y x y x y x y

50. 50. 50. 50. 50. − − = −3 4a a ax x x

51. 51. 51. 51. 51. ( )311 7 311 7 3181 1 1 1 1a a a a ax x x x x+ + + + +− − = + =

52. 52. 52. 52. 52. 105 9 96m m mx x x− =

53. 53. 53. 53. 53. − − =−− − −31 18 491 1 1a a ax x x

54.54.54.54.54. ( )− − − = − + = −236 19 236 19 217m m m m ma a a a a

55. 55. 55. 55. 55. − − =−+ + +85 54 1392 2 2a a ax x x

56. 56. 56. 56. 56. ( )1

46

1

46− − = +a a

57. 57. 57. 57. 57. ( )− − − =− +

=2

35

2 15

3

13

3

58. 58. 58. 58. 58. − −

=− −

= − = −

7

10

3

856 30

80

86

80

43

40

3 3

3 3 3

m m

m m m

59. 59. 59. 59. 59. 5

6

11

12

10 11

12

21

12

7

4

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

a b a b

a b a b a b

− −

=+

= =

60. 60. 60. 60. 60. − −

=− −

=−

= −

1

945

1 405

9

406

945

3 2 3 2

3 2 3 2 19

3 2

a b a b

a b a b a b

EJERCICIO 21

1.1.1.1.1. a b

a b

b

+− +

2

2. 2. 2. 2. 2. 2 3

2

3 5

x y

x y

x y

−−

−

3. 3. 3. 3. 3. 8

3 4

11 4

a b

a

a b

+−

+ −

4. 4. 4. 4. 4. x x

x

x x

2

2

3

5 6

2 6

−−

+ −

5. 5. 5. 5. 5. a a b

a b ab

a a b ab

3 2

2 2

3 2 2

7 9

8 9

−

− −

− −

6. 6. 6. 6. 6. x y z

x y z

− +− + −

0

7. 7. 7. 7. 7. x y z

x y z

x y z

+ −+ −

+ −2 2 2

8. 8. 8. 8. 8. x y xy

x y xy

x y xy

x xy y

2 2

2 2

2 2

2 2

3

3 4

2 2

2 2

+ −

− + +

− + +

⇒ − + +

9. 9. 9. 9. 9. x x

x x

x x x

3 2

2

3 2

6

5 6 4

6 4

− +

− − +

− +

10. 10. 10. 10. 10. y y

y y y

y y y y

y y y y

2 3

2 4

2 4 3

4 3 2

6 8

3 2 6

4 2 6 6 8

2 6 4 6 8

+ −

− −

− + − −

⇒ − + + − −

11.11.11.11.11. a ab a

a a b

a ab a a b

a a b ab a

3 2

2

3 2 2

3 2 2

6 9

8 15 5

6 17 15 5

15 6 17 5

− +

+ − −

− + − −

⇒ − − + −

12. 12. 12. 12. 12. x xy y

y x y x y

x xy y x y x y

x x y x y xy y

4 3 4

4 3 2 2

4 3 4 3 2 2

4 3 2 2 3 4

9 11

20 8 6

9 31 8 6

8 6 9 31

+ −

− + +

+ − + +

⇒ + + + −

13. 13. 13. 13. 13. a b c d

a b c d

a b

+ + −+ − +

+2 2

14. 14. 14. 14. 14. ab ac cd de

ab ac cd de

ab ac cd de

+ − −− + + −

− + + −

2 3 5

8 4 5 5

7 6 2 10

15. 15. 15. 15. 15. x x x

x x x

x x x

3 2

3 2

3 2

6 9 19

6 11 21 43

5 17 30 24

+ − −

− + − +

− + − +

16. 16. 16. 16. 16. y y y

y y y y

y y y y y y y y y y

5 3 2

3 2 4

5 3 2 4 5 4 3 2

9 6 31

31 8 11 19

40 14 11 19 31 11 40 14 19 31

− + −

− + + +

− + + + − ⇒ + − + + −

17. 17. 17. 17. 17. 5 9 6 8

5 21 14 18

9 27 22 18 27 22 9 18

3 3 2 2

3 2 2

3 2 2 2 2 3

m n m n mn

m m n mn

n m n mn m n mn n

− + −

− + − +

− + − + ⇒ − − +

18. 18. 18. 18. 18. 4 19 6

25 51 32

29 32 38 29 38 32

3 3 4 2 2

3 3 2 2 4

3 3 4 2 2 4 4 3 2 2 3 4

x y xy y x y

x y xy x y x

x y xy y x y x x x y x y xy y

− + −

+ − +

+ + − + ⇒ + − + +

19. 19. 19. 19. 19. m m n m n

m n m n mn

m m n m n m n mn m m n m n m n mn

6 4 2 2 4

2 4 3 3 5

6 4 2 2 4 3 3 5 6 4 2 3 3 2 4 5

9 19

30 61 13 16

21 80 13 16 13 21 16 80

+ − +

+ + + −

+ + + + − ⇒ + + + − +

20. 20. 20. 20. 20. − + − +

+ + −

− + + + − − +

a b a b ab

a a b a b b

a a b a b a b a b ab b

5 3 3 5

6 4 2 2 4 6

6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

6 18 42

8 11 11 9

8 11 6 11 18 9 42

21. 21. 21. 21. 21. 1 3 6

24 30 8 15

25 29 7 12 6 6 7 29 12 25

2 4 3 5

2 4 6

2 4 3 5 6 6 5 4 3 2

− + − + −

+ − − +

+ − − − − + ⇒ − − − + − +

x x x x x

x x x x

x x x x x x x x x x x x

22. 22. 22. 22. 22. − + − + −

+ + − + −

− + + + − + − ⇒ + + − − + −

6 8 23 80 18

51 21 80 9

6 8 28 101 98 9 8 28 101 6 9 98

2 3 5 4 3 2

4 3 2 5 4

2 3 5 4 3 2 5 4 5 4 3 2 2 3 4 5

x y x x y x y

x y x y y xy

x y x x y x y y xy x x y x y x y xy y

23. 23. 23. 23. 23. m m n m n mn

m n m n mn n

m m n m n m n m n mn n

6 4 2 2 4 5

5 3 3 5 6

6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

8 21 6 8

23 14 24 8 14

23 8 14 21 18 8 22

− + − +

− + − +

+ − − + + − +

24. 24. 24. 24. 24. x x x x

x x x x

x x x x x x x x x x x x x x

7 5 2

6 4 3

7 5 2 6 4 3 7 6 5 4 3 2

8 16 23 15

51 18 8 25 30

59 16 23 3 8 25 30 8 16 25 30 23 59 3

− + − −

− + + − +

− + − + + − + ⇒ + + − + − − +

25. 25. 25. 25. 25. 9 15 31 14

15 3 25 53 9

9 31 4 25 53 9 14 9 25 53 31 9 4 14

6 4 2 2 4 6

4 2 6 5 3 3 5

6 2 4 6 5 3 3 5 6 5 3 3 2 4 5 6

a a b a b b

a b b a b a b ab

a a b b a b a b ab a a b a b a b ab b

− + − +

+ − − − +

+ − − − + + ⇒ − − + + − +

26. 26. 26. 26. 26.

a a a

a a a

a a

x x x

x x x

x x

+ −

− + +

− +

+ +

+ +

+

1 2

1 2

1

5 6

4 7

27. 27. 27. 27. 27. m m m

m m m m

m m m m m m m m m m

a a a

a a a a

a a a a a a a a a a

− +

− − −

− − − − ⇒ − + − − −

− −

− + −

− − + − + − − −

1 2

2 1 3

1 2 1 3 1 1 2 3

3

4 5 3 8

5 2 3 8 3 5 2 8

28. 28. 28. 28. 28. a a a a

a a a a

a a a a a a a a a a a a

m m m m

m m m m

m m m m m m m m m m m m

+ + −

+ − + +

+ + − + + + + + + −

− − +

+ + + +

+ − + + + ⇒ + + + − +

4 2 1

2 1 3 1

4 2 1 3 1 4 3 2 1 1

7 8 6

14 8 5 11

7 8 14 5 11 5 7 11 8 14

29. 29. 29. 29. 29. x x x x

x x x x

x x x x x x x x x x x x

a a a a

a a a a

a a a a a a a a a a a a

+ − −

− + −

+ − − + − + + − − −

− + +

− − + −

− − + + − ⇒ + − − + −

2 1 2

1 1 3

2 1 2 1 3 2 1 1 2 3

7 9 25

19 45 11 60

26 36 25 11 60 11 26 36 25 60

30. 30. 30. 30. 30. m m m m

m m m m m

m m m m m m m m m m m m

n n n n

n n n n n

n n n n n n n n n n n n

+ − − −

− − − −

+ − − − − + − − − −

− + −

− − − − −

− + − − − ⇒ − − + − −

1 2 3 5

2 3 5 4

1 2 3 5 4 1 2 3 4 5

6 8 19

5 6 9 8

11 2 28 8 8 11 2 28

EJERCICIO 22

1. 1. 1. 1. 1.

b a

b a

b a a b

−−

− ⇒ − +2 2 2 2

2. 2. 2. 2. 2. 2 3

4

x y

x y

x y

+− +

+

3. 3. 3. 3. 3. − +−

− + − ⇒ − − +

7 5

5

2 5 2 5

a

a b

a b a b

4. 4. 4. 4. 4. − +

− +

− + + ⇒ − + +

x

x x

x x x x

2

2

2 2

6

5

2 6 5 2 5 6

5. 5. 5. 5. 5. x y xy

xy x

x y xy x x x y xy

2 2

2 3

2 2 3 3 2 2

5

6 6

+

+ −

+ − ⇒ − + +

6. 6. 6. 6. 6. 7 5

6 8

5 8 8 5

2 2

2 3

2 2 3 3 2 2

a b ab

a b a

a b ab a a a b ab

+

− +

+ + ⇒ + +

7. 7. 7. 7. 7. − + −− + −

− + −

a b c

a b c

a b c

2 3

2

2 3 5

8. 8. 8. 8. 8. − + ++ − −

− + + ⇒ − +

3 4 5

2 3 4 3 2 4

n m p

n m p

n m p m n p

9. 9. 9. 9. 9. x y z

x y z

x y z

+ −− +

+ −

3 6

2 2 5

10. 10. 10. 10. 10. − + +

− −

+ − ⇒ − + +

5 8

6 3

7 2 2 7

2 2

2 2

2 2 2 2

b ab a

b ab a

b ab a a ab b

11. 11. 11. 11. 11.

− − +

− + +

− +

5 6

3

6 9

2 2

2 2

2

m n mn

m n mn

m mn

12. 12. 12. 12. 12. − + −

+ − +

− + − + ⇒ − + −

8 5 4

6

8 6 10 8 6 10

2

3

2 3 3 2

x x

x x

x x x x x x

13. 13. 13. 13. 13. 14 8 16

14 9

8 7 8 7

2

2 3

3 3

m n

m m

n m m n

− +

− − −

− + − ⇒ − − +

14. 14. 14. 14. 14. 8 5 6

6

7 6

ab bc cd

ab bc cd

ab bc

+ +− + −

+

15. 15. 15. 15. 15. a a b b

a b b ab

a a b ab

3 2 3

2 3 2

3 2 2

9

25 8

34 8

− −

− + +

− +

16. 16. 16. 16. 16. 6 8 6

6 4

6 8 7 6 4

3 2 2

2 3

3 2 2 3

x x y xy

xy y

x x y xy y

− −

− + −

− − + −

17. 17. 17. 17. 17. m n c

m n c d

n c d c d n

2

2

9 11 14

7 8

16 19 14 19 16 14

− + +

− − + −

− + + − ⇒ − − +

18. 18. 18. 18. 18. 5 9 40 6

7 8 5

5 2 8 45 5

4 3 3 4

3 2 2 3 4

4 3 2 2 3 4

a a b ab b

a b a b ab b

a a b a b ab b

+ − +

− + − −

+ + − +

19. 19. 19. 19. 19. x x x

x x x

x x x x x

x x x x x

5 4 2

2 3

5 4 2 3

5 4 3 2

8 25 15

6 7 6 9

8 19 22 6 9

8 6 19 9 22

− + +

− + − +

− + + − +

⇒ − − + + +

20. 20. 20. 20. 20. − − − +

− − − +

− − − + − +

⇒ − − + − − +

3 8 19 18

6 25

9 8 44 18

8 9 44 18

4 3 2 5

4 5 5 2 3

4 3 2 5 5 2 3

5 3 2 2 3 4 5

xy x y y

xy y x x y

xy x y y x x y

x x y x y xy y

21. 21. 21. 21. 21. x x x x

x x x x

x x x x x

x x x x x

3 4 2

3 2 5

3 4 2 5

5 4 3 2

6 8 9 15

25 18 46 25 11

24 6 26 37 10 11

11 6 24 26 10 37

− + − +

− + + − +

− − + + − +

⇒ − − + − +

22. 22. 22. 22. 22. a a b ab b

a b a b a b ab

a a b a b a b ab b

5 3 2 4 5

4 3 2 2 3 4

5 4 3 2 2 3 4 5

26 8 6

8 15 45 8

8 27 15 53 14

− + − +

− − + + +

− − + + − +

23. 23. 23. 23. 23. y y y

y y y y

y y y y y y

y y y y y y

6 3 2

3 4 5

6 3 2 4 5

6 5 4 3 2

9

23 5 8 15 8

22 14 8 15 8

15 8 22 8 14

+ + +

− + − + +

− + + − + +

⇒ + − − + + +

24.24.24.24.24. x x x x

x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x

8 6 4 2

7 5 3

8 6 4 2 7 5 3

8 7 6 5 4 3 2

3 5 9

36 7 5 23 51

3 5 45 7 5 23 51

7 5 3 23 5 51 45

− + − −

− − − + −

− + − − − − + −

⇒ − − − + + − − −

25.25.25.25.25. x x y x y x y

x y x y y x y xy

x x y x y x y y x y xy

x x y x y x y x y xy y

7 5 2 4 3 2 5

4 3 2 5 7 3 4 6

7 5 2 4 3 2 5 7 3 4 6

7 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7

3 35 8 60

60 90 50

3 95 7 60 90 50

3 95 90 7 50 60

− + − +

+ + − − +

− + − + − − +

⇒ − + − − + − +

26. 26. 26. 26. 26. a a

a a a

a a a a

a a a a

x x

x x x

x x x x

x x x x

+ +

+ +

+ + +

+ + +

− −

+ − +

− − − +

⇒ − − + −

3 1

1 2

3 1 2

3 2 1

8 5

5 6

3 5 6

3 6 5

27. 27. 27. 27. 27. − + + +

− − − −

− + + −

⇒− − + +

− − −

− − −

− − −

− − −

8 16 15

7 5 8

15 16 10 8

15 8 10 16

4 2 3

2 3 1

4 2 1

1 2 4

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

n n n n

n n n n

n n n n

n n n n

28. 28. 28. 28. 28. 15 5 6 41

9 18 31

15 14 6 59 31

15 14 31 6 59

3 2 1

2 1 1 4

3 2 1 1 4

4 3 2 1 1

x x x x

x x x x

x x x x x x

x x x x x x

a a a a

a a a a

a a a a a a

a a a a a a

+ + −

+ − + +

+ + − + +

+ + + + −

+ − +

+ + − +

+ − + − +

⇒ + + − − +

29. 29. 29. 29. 29. 9 21 26 14

5 12 8

14 33 26 14 8

14 33 26 8 14

1 2 3 5

1 2 4

1 2 3 5 4

1 2 3 4 5

a a a

a a a a

a a a a a

a a a a a

m m m m

m m m m

m m m m m m

m m m m m m

− − − −

− − −

− − − − −

− − − − −

− + +

− + +

− + + + +

⇒ + − + + +

30.30.30.30.30. − + − − +

+ + +

− + + − − +

+ + − −

+ + + −

+ + + + − −

15 50 14 6 8

23 6

15 23 56 14 5 8

3 1 1 2

4 2 1 1

4 3 2 1 1 2

m m m m m

m m m m

m m m m m m m

x x x x x

x x x x

x x x x x x x

EJERCICIO 23

1. 1. 1. 1. 1. 1

1

2

− +

− +

a

a

2. 2. 2. 2. 2. 0

8

8

− +

− +

a

a

3. 3. 3. 3. 3. −

− − +

− − − ⇒ − − −

9

3 5

3 4 3 4

2

2 2

a a

a a a a

4. 4. 4. 4. 4. +

− + −

− + ⇒ −

16

5 16

5 5

2

2 2

xy x

xy x x xy

5. 5. 5. 5. 5. 1

1 1

3 2 2

3 2 2 3 2 2

− + −

− + − ⇒ − + − +

a a b ab

a a b ab a a b ab

6. 6. 6. 6. 6. x

x x y xy

x x y xy

3

3 2 2

3 2 2

8 6

2 8 6

+ +

+ +

7. 7. 7. 7. 7. a

a b ab b

a a b ab b

3

2 2 3

3 2 2 3

8 6

8 6

+ − +

+ − +

8. 8. 8. 8. 8. +

− +

− + +

y

x y x y xy

x y x y xy y

4

3 2 2 3

3 2 2 3 4

5 7 8

5 7 8

9. 9. 9. 9. 9. m

m am a m a m a

m am a m a m a

4

4 3 2 2 3 4

4 3 2 2 3 4

5 18 7

4 18 7

− + − − +

− + − − +

10. 10. 10. 10. 10. 16

14

30 30

− + − −

− + − − ⇒ − − − +

b a c d

b a c d a b c d

11. 11. 11. 11. 11. x

xy y

x xy y x xy y

2

2

2 2 2 2

1

1 1

−

− −

− − − ⇒ − − −

12. 12. 12. 12. 12. a

a b ab b

a a b ab b

3

2 2 3

3 2 2 3

6

5 8

5 8 6

+

− + −

− + − +

13. 13. 13. 13. 13. x y

x y xy

x x y xy y

3 3

2 2

3 2 2 3

5 17 5

5 17 5

+

+ − +

+ − + +

14. 14. 14. 14. 14. x

x y x y xy

x x y x y xy

4

3 2 2 3

4 3 2 2 3

1

9 8 15

9 8 15 1

−

− + +

− + + −

15. 15. 15. 15. 15. a b

a b a b a b ab

a a b a b a b ab b

a a b a b a b ab b

5 5

4 2 3 3 2 4

5 4 2 3 3 2 4 5

5 4 3 2 2 3 4 5

11 2 8 4

11 2 8 4

11 8 2 4

+

+ − − +

+ − − + +

⇒ + − − + +

16. 16. 16. 16. 16. x x

x x

x x x x

4 2

3

4 3 2

50

5 25

5 25 50

+ +

− +

− + + +

17. 17. 17. 17. 17. y y

y y y y

y y y y y y

y y y y y y

6

5 4 3 2

6 5 4 3 2

6 5 4 3 2

41

9 17 18

41 9 17 18

9 17 18 41

+ −

− − + −

+ − − − + −

⇒ − − + − + −

18. 18. 18. 18. 18. a a b a b

a b a b ab b

a a b a b a b a b ab b

6 4 2 2 4

5 3 3 5 6

6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

9

15 17 14

15 9 17 14

+ +

+ − + +

+ + − + + +

19. 19. 19. 19. 19. x x x

x x

x x x x x x x x

4 3

2

4 3 2 4 3 2

11

5 34

16 34 16 34

+ −

− + +

+ − + + ⇒ + + − +

20. 20. 20. 20. 20. m

m n mn n

m m n mn n

3

2 2 3

3 2 2 3

1

7 3

7 3 1

−

− − +

− − + −

EJERCICIO 24

1. 1. 1. 1. 1. 121

4

1

3

2

5

2 14

13

25

34

13

25

2

2 2

2 2

2 2

a

a ab b

a ab b

a ab b

+ −

+ + −

= + −

2. 2. 2. 2. 2. 15

4

5

2

3

5

9

4

5

2

3

135 5

94

5

2

3

140

94

5

2

315 5

9

− − +

− − ++

= − − +

= − − +

xy yz

xy yz

xy yz

xy yz

3. 3. 3. 3. 3. 3516

34

29

18 530

34

29

34

1330

29

bc

bc ab cd

bc ab cd

ab bc cd

− + +

− + +

⇒ + +

4. 4. 4. 4. 4. 12

23

45

29

12

5 810

6 29

12

310

89

12

a b

a b

a b

a b

−

− − +

− − + +

= − − +

5. 5. 5. 5. 5. 5

9

3

81

10

5

7

3

11

5

9

30 8

80

5

7

3

115

9

38

80

5

7

3

115

9

5

7

19

40

3

11

2 2

2

2 2

2 2

2 2

x y

y xy

x y xy

x y xy

x xy y

−

− − +

−+

− +

= − − +

⇒ − − +

6. 6. 6. 6. 6. 56

2915

12

38

56

10 945

12

38

56

12

38

1945

3 3

3 2 2

3 3 2 2

3 2 2 3

m n

n m n mn

m n m n mn

m m n mn n

+

+ + −

+ + + −

⇒ + − +

7. 7. 7. 7. 7. 3

7

1

3

3

55

1412

18

6 514

2 36

114

16

35

18

2 2

2

2

2 2

a ab b

a ab

a ab

a ab b

+ −

− − +

− + −

− − +

8. 8. 8. 8. 8. 38

56

110

35

310

2

15 2440

50 1860

1 2010

3940

6860

2110

3940

1715

2110

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

x xy y

x xy y

x xy y

x xy y x xy y

+ −

+ −

+ + + − +

= + − = + −

9. 9. 9. 9. 9. a a a

a a

a a a

a a a

3 2

2

3 2

3 2

56

78

910

78

8 78

10 910

20 2124

158

1910

124

+ − +

+ − −

+ + − + + −

= + − −

10 . 10 . 10 . 10 . 10 . m mn n

mn n m n

m mn n m n

m m n mn n

3 2 3

2 3 2

3 2 3 2

3 2 2 3

712

47

59

521

18

21 2036

4 77

521

18

521

136

117

18

+ −

− − + +

+−

−+

+ +

⇒ + + − +

12. 12. 12. 12. 12. 1

2

3

5

7

8

8

9720

18

19

78

12

12 720

7 18

8 19

78

12

1920

88

99

78

12

1920

78

a b c d

b c d

a b c d

a b c d

a b c d

+ − +

+ − + −

+ + − + + + −

= + − + −

= + − + −

6. 6. 6. 6. 6. 58

14

13

7

86

5

6

58

2 78

1 183

56

58

98

193

56

5

6

5

8

9

8

19

3

2 2

2 3

2 2 3

2 2 3

3 2 2

a b ab

ab a

a b ab a

a b ab a

a a b ab

+ −

+ − −

++

−+

−

= + − −

⇒− + + −

7. 7. 7. 7. 7. 211

514

13

6

78

29

211

20 4956

3 29

6

211

2956

59

6

3 2 2 3

4 2 2 3

4 3 2 2 3

4 3 2 2 3

m n m n mn

m m n mn

m m n m n mn

m m n m n mn

+ + −

− +

+ + − + + −

= + − + −

8. 8. 8. 8. 8. − + + + −

− + −

− + − + + + − +

= − − + + −

= − − + + −

7

8

1

14

2

3

1

37

12

37

18

29

12

78

1 614

23

8 324

63 29

12

78

514

23

1124

659

12

78

514

23

1124

7

4 3 2 2 3 4

5 3 2 4

5 4 3 2 2 3 4

5 4 3 2 2 3 4

5 4 3 2 2 3 4 29

x y x y x y xy

x x y xy

x x y x y x y xy

x x y x y x y xy

x x y x y x y xy

1. 1. 1. 1. 1. 38

56

5

6

9 2024

56

1124

56

2

2

2 2

a a

a

a a a a

−

−

− − =− −

2. 2. 2. 2. 2. 8 6 5

1

2

3

5

16 12

30 35

5152

335

5

a b

a b

a b a b

+ −

− +

−+

+− = + −

3. 3. 3. 3. 3. x x y

x y

x x y x x y

3 2

2

3 2 3 2

23

6

7

9

6 79

619

6

+ −

−

+ − − = − −

4. 4. 4. 4. 4. a b c

a b c

a b c a b c

+ −

− + −

− + + − + = + −

12

34

23

2 12

4 34

3 23

12

74

53

5. 5. 5. 5. 5. 23

56

12

2 33

5 66

1 22

13

16

32

m n p

m n p

m n p m n p

+ +

− − +

−+

−+

+= − − +

11. 11. 11. 11. 11. 35

34

57

23

58

13

56

3 55

34

58

15 721

4 56

25

34

58

821

16

4 3 3 4

4 2 2 3 4

4 3 2 2 3 4

4 3 2 2 3 4

x x y xy y

x x y xy y

x x y x y xy y

x x y x y xy y

+ − +

− − + −

− + − − − + −

= − + − − −

EJERCICIO 25

9. 9. 9. 9. 9. 7

9

2

3

1

8

2

1379

111

79

6 79

18

11 111

2 1313

79

139

18

1211

1513

5 4 2 3 3 2 4 5 6

6 4 2 2 4 5 6

6 5 4 2 3 3 2 4 6 6 5 4 2 3 3 2 4 6

x y x y x y x y xy y

x x y x y xy y

x x y x y x y x y y x x y x y x y x y y

+ − − + +

− + − − +

− + + + − − + + + = − + + − − +

10. 10. 10. 10. 10. 13

79

58

711

25

2

3

1

6

3

46

1 23

14 318

5 68

711

2 305

1118

18

711

325

3 2 2 3

3 2 2

3 2 2 3 3 2 2 3

x x y xy y

x x y xy

x x y xy y x x y xy y

− + − −

+ − −

+ − − + − − − + = − − − −

11. 11. 11. 11. 11. 3

1037

59

2

13

7

20

5

14

1

3

3

5

213

6 720

6 514

5 39

35

213

1320

1114

29

35

4 2 2 4 6

6 4 2 2 4 6

6 4 2 2 4 6 6 4 2 2 4 6

m n m n n

m m n m n n

m m n m n n m m n m n n

− +

+ − − +

+ + − + + − + = + − + +

12. 12. 12. 12. 12. 38

722

712

12

13

35

511

56

34

313

38

7 1022

7 1012

12

34

13 939

35

38

1722

1712

12

34

2239

35

5 4 3 2 2 3 5

4 3 2 4 5

5 4 3 2 2 3 4 5

5 4 3 2 2 3 4 5

c c d c d c d d

c d c d cd d

c c d c d c d cd d

c c d c d c d cd d

+ + + − −

+ + − −

+ + + + + − − + −

= + + + − − −

EJERCICIO 26

Para los problemas 1 al 14 las literales toman los siguientes valores:a = 1 b = 2 c = 3 x = 4 y = 5 m = 3/2 n = 2/5

1. 1. 1. 1. 1. a ab

ab b

a ab b

2

2

2 2

2 2

3

4

1 4 1 2 2 1 8 4 11

−

− −

− −

= − ⋅ ⋅ − = − − =−

2. 2. 2. 2. 2. a b

b a b ab

a b a b ab a a b ab b

3 3

3 2 2

3 3 2 2 3 2 2 3

3 2 2 3

2 5 6

3 5 6 5 6 3

1 5 1 2 6 1 2 3 2 1 5 2 6 4 3 8

1 10 24 24 11

+

+ + −

+ + − ⇒ + − +

= + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ = + ⋅ − ⋅ + ⋅= + − + =

3. 3. 3. 3. 3. 12

12

53

1 22

12

53

12

12

53

12

112

253

312

1 5

1 2 102

72

3 12

a

a b c

a b c a b c

− − +

− − + =− − +

⇒− ⋅ − ⋅ + ⋅ = − − +

= − − + = =

4. 4. 4. 4. 4. 3 5

10 8

2 15 8 2 8 15

23

28

3

2

2

515

2

52

9

4

48

103

4

5

9

2

24

5

12

5

45 48 24

10

27

10

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

m n

m n mn

m n mn m mn n

−

− − −

− − ⇒ − −

=

− ⋅ ⋅ −

= ⋅ − − ⋅

= − − = =− −

= −

5. 5. 5. 5. 5. x x y y

x y xy y

x x y x y xy y

4 2 2 4

3 3 4

4 3 2 2 3 4

4 3 2 2 3 4

18 15

16 6 9

16 18 6 6

4 16 4 5 18 4 5 6 4 5 6 5

256 80 64 18 16 25 24 125 6 625

256 5120 7 200 3 000 3 750 4 926

− +

+ −

+ − + +

= + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅= + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅= + − + + =. . . . .

6. 6. 6. 6. 6. a am m

am m am

a am m am a a m am m

3 2 3

2 3 2

3 2 3 2 3 2 2 3

3 22 3

7

5 5 8

2 6 8 8 2 6

1 8 13

22 1

3

26

3

21

24

22

9

46

27

8

1 129

2

81

4

4 48 18 81

4

19

4

− ++ + −

− + − ⇒ − − +

= − ⋅ ⋅ − ⋅

+

= − − ⋅ + ⋅

= − − + =− − +

=

7. 7. 7. 7. 7. 23

78

15

1

6

1

10

4 16

7 88

2 110

12

18

110

12

118

1 21

102

12

28

410

1

2

1

4

2

5

10 5 8

20

3

20

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

a ab b

a ab b

a ab b a ab b

+ −

− − +

−+

−−

−= − −

⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ = − −

= − − =− −

= −

8. 8. 8. 8. 8. 2

3

3

4

1

21

6

1

4

1

2

4 1

6

3 1

4

5

6

3

2

5

6

3

2

2

5

3

2

2

5

27

8

5

6

18

20

3

2

4

25

27

8

3

4

12

50

675 150 48

200

873

200

2 2 3

2 2 3 3

2 2 3 3 2 2

3 2 2

m n mn n

m n mn n m

m n mn m m m n mn

+ −

+ + +

++

++ = + +

=

+

⋅ +

= + ⋅ + ⋅

= + + =+ +

=

9.9.9.9.9. a a b b

a b a b

a a b a b a b b

5 2 4 5

4 2 3 3

5 4 2 3 3 2 4 5

5 4 2 3 3 2 4 5

3

5

5 3

1 1 2 5 1 2 3 1 2 2

1 4 5 8 3 16 32 1 4 40 48 32 21

− +

− +

− + − +

= − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ += − + ⋅ − ⋅ + = − + − + =

10. 10. 10. 10. 10. − + −−

− + −

= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

= − + − = −

ab mn mx

ab

ab mn mx

10 8

15

16 10 8

16 1 2 103

2

2

58

3

24

32 6 48 74

11. 11. 11. 11. 11. a

a b ab b

a a b ab b

3

2 2 3

3 2 2 3

3 2 2 3

11 9

11 9

1 11 1 2 9 1 2 2

1 22 36 8 7

− + −

− + −

= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −= − + − =

12. 12. 12. 12. 12. 1

642

3

5

6

3

8

1

64

2

3

5

6

3

81

644

2

34

5

64

3

8

4323

206

38

96 256 80 924

23124

778

9

4

2

4 2

4 2

58

x

x x

x x x

− − +

− − +

= ⋅ − ⋅ − ⋅ +

= − − + = − − +

= − = − = −

13. 13. 13. 13. 13. x x y xy

x xy y

x x y xy y

x x y xy y

3 2 2

3 2 3

3 2 2 3

3 2 2 3

3 2 2 3

316

25

34

35

125

4 34

316

2 35

125

14

316

15

125

14

43

164 5

15

4 51

255

14

641516

1645

2512525

16 15 20 5 56

+ −

− + +

−+ −

−+

⇒ + + +

= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅ +

= + + + =

EJERCICIO 27

1. 1. 1. 1. 1. + +

− − − +

+ − − +

ab b a

a b a ab b

a ab b ab b

2 2

2 2 2 2

2 2 2

5 4

4 4

2. 2. 2. 2. 2. a

a

+− + −

−

8 1

6 14

14 13

3. 3. 3. 3. 3. − +

+ +

− + + +

−

− − −

− − −

x xy

x y y

x x y xy y

x y

x x y xy y

x x y xy y

3 2

2 3

3 2 2 3

2

3 2 2 3

3 2 2 3

4

5

5 4

7

5 4

12 4

4. 4. 4. 4. 4. − + −

− + −

+ −

3 4 5

3 4 5 4

4 5 4

3 2 3 4

3 2 3 3

3 4 3

m n mn n m

m n mn n n

n m n

5. 5. 5. 5. 5. 8 9 3 6

7 9 3

5

a b c a

a b c a

a a

+ −− − + −

6. 6. 6. 6. 6. a b c a b c

a b c a

a a b c

− + + −− + −

− + −

2

2

14.14.14.14.14. 25

56

9

2 55

5 546

3

5

49

6

135

1496

1

135

496

30 18 24530

25730

8

1 3 2

1 3 2

1 3

1 3

4 4 1 4 3

1730

a a a a

a a a

a a a

a a a

x x x x

x x x

x x x

x x x

− − −

− − −

− −

− −

− −

+ − +

− + −

− + − −

⇒ − +

= − ⋅ + ⋅

= − + =+ − +

= =

7. 7. 7. 7. 7. − + − − +− + − + −

− +

m n p m n p

m n p m n p

m n p

2 2 2

0

8. 8. 8. 8. 8. 9 5 3

9 7 25 25 6

6 25 24 5 3

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

ax a x ax a

ax a x x a

a x x ax a

− − +

− + + − −

+ − − −

9. 9. 9. 9. 9. 5 6 4 1

2 8 6 2 5 2 2

2 5 2 2 5 2 3

2 3

3 3 2

3 2 3 2

a a a

a a a a a

a a a a a a

+ − −

− + − − + −

+ − + − − + −

10. 10. 10. 10. 10.

5 9 4 1

11 7 6 11 2 9 6 4

11 2 9 6 4 12 2 9 6 5

3 2 4

4 3 4 3 2

4 3 2 4 3 2

x x x

x x x x x x x

x x x x x x x x

− + −

− − − + + + −

− − − − + + + + −

11. 11. 11. 11. 11. 35 7 11

7 35 8 6 7 5

7 5 8 5

2 2 3 3

3 2 2 3 2

3 2 3 2 3

a b ab a b

a a b ab a ab

a ab a ab b

− − +

− − + + − +

− + − − + +

12. 12. 12. 12. 12. − + − +

− + −

− + + − +

− +

− − + −

+ − − + −

11 14 25 8

19 6 9 4

11 19 8 16 4

7 4

11 19 8 16 4

11 26 8 20 4

4 2

3 2

4 3 2

5 3

4 3 2

5 4 3 2

n n n

n n n

n n n n

n n n

n n n n

n n n n n

13. 13. 13. 13. 13. − + −

− − −

− − + − −

− +

− + + − + +

− + + − + +

6 5 6

7 5 11 6

7 11 11 5 6 6

8

7 11 11 5 6 6

6 11 3 5 7 6

3 3

4 3 2 2 4

4 3 2 2 3 4

4 2 2 4

4 3 2 2 3 4

4 3 2 2 3 4

a m am

a a m a m m

a a m a m am m

a a m m

a a m a m am m

a a m a m am m

14. 14. 14. 14. 14. − + −

− + + −

− − + + − −

− + +

+ − − + +

+ − − + +

4 13 9

6 8 2

6 4 8 13 8 2

30 40

6 4 8 13 8 2

7 4 38 13 48 3

4 2 3 4

5 3 2 4 5

5 4 3 2 2 3 4 5

5 3 2 4 5

5 4 3 2 2 3 4 5

5 4 3 2 2 3 4 5

x y x y xy

x x y xy y

x x y x y x y xy y

x x y xy y

x x y x y x y xy y

x x y x y x y xy y

15. 15. 15. 15. 15. a b a

a b a b

a b

+− − +

2

2

2

16. 16. 16. 16. 16. 8 9 8 6 4

6 5 2

8 6 4 8 6 6

x x y

y

x y x y

+ + +−

+ + + +

17. 17. 17. 17. 17. x y x xy y

xy y y

x xy y x xy y

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

6 7 34

7 40 9 16

7 34 7 43 16

− − +

− + −

− + − + −

18. 18. 18. 18. 18. 4 8 5 5

7 6 4

5 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

a ab b a ab b

a ab b a ab b

a ab b a b

+ − + +

− + − − +

+ + +

19. 19. 19. 19. 19. x y

x y xy

x x y xy y

x x y xy y

x y

x x y xy y

3 3

2 2

3 2 2 3

3 2 2 3

3 3

3 2 2 3

14 5

14 5

14 5

3 19

4 14 5 20

−

− +

− + −

− + −

−

− + −

20. 20. 20. 20. 20. x x y y x x y y

x y y x x y y

x x y y

4 2 2 4 4 2 2 4

2 2 4 4 2 2 4

4 2 2 4

6 2 32

8 31 2 32

2 32 0

− + − +

+ + − − −

+ +

21. 21. 21. 21. 21. − + +

+ − − −

− + + − −

− + + − −

+ + −

− + + − −

6

7 8 6

6 7 8 6

6 7 8 6

3 8 19

6 4 15 8 25

5 4 2

3 2

5 4 3

5 4 3

6 4 3

6 5 4 3

n n n

n n n

n n n n

n n n n

n n n

n n n n n

22. 22. 22. 22. 22. a a b ab

a b a b ab b

a a b a b ab b

a a b a b ab b

a b a b b

a a b a b a b ab b

5 3 2 4

4 3 2 4 5

5 4 3 2 4 5

5 4 3 2 4 5

4 2 3 5

5 4 3 2 2 3 4 5

3 6

22 10 11

22 7 5

22 7 5

5 7

17 7 7 5 2

− +

+ + − −

+ + − −

+ + − −

− + −

+ + + − −

23. 23. 23. 23. 23. 4 5 2 3 5 6 4

7 8 4 5

3 5 6 4 3 5 6 1

3 2 3 2

3 4

3 2 4 3 2

m m m m m m

m m m

m m m m m m m

− − − − + +

− + + −

− − + + − − + −

24. 24. 24. 24. 24. 7 11 2 8

7 11 8 4

2 8 2 4

2 2 2

2 2

2 2

a ab b b

a ab b

b b

− + −

− + + − +

− −

25. 25. 25. 25. 25. 3 4 5

7 8 11 5 6 2 11

2 7 2

5 6 2 11 6 7 11

a b c

a b a b c

a b c a b c

a b c a b

− +− + − − + − −− + − − + +

− + − − − + −

26. 26. 26. 26. 26. 5 14 19 8

9 1

3 1

5 17 10 6

3 5

2 8 17 10 1

3 2

5

4 2

5 4 3 2

4 3

5 4 3 2

a a a

a a

a a

a a a a a

a a

a a a a a

+ − +

+ −

− + −

− + + − +

− + −

− + + − +

27. 27. 27. 27. 27. m m n n

m n m n mn n

m m n m n mn n

m m n mn n

m m n m n mn n

m m n m n mn n

4 2 2 4

3 2 2 3 4

4 3 2 2 3 4

4 2 2 3 4

4 3 2 2 3 4

4 3 2 2 3 4

10 15

11 14 3

11 4 3 16

6 7 8

11 4 3 16

5 11 11 11 17

+ +

− − − +

− − − +

+ + −

− + + + −

+ + + −

28. 28. 28. 28. 28. a a b ab b

a b a b ab b

a b a b ab

a a b a b a b ab b

a a b ab

a a b a b a b ab b

a a b a b a b ab b

5 3 2 4 5

4 2 3 4 5

3 2 2 3 4

5 4 3 2 2 3 4 5

5 2 3 4

5 4 3 2 2 3 4 5

5 4 3 2 2 3 4 5

4 8

7 15 25 3

3 5

7 3 18 22 2

3 6 21 6

7 3 18 22 2

2 7 3 24 2 6

+ + −

− + − +

− + −

− + + − +

− − −

− + − − + −

+ − − + − −

EJERCICIO 28

29. 29. 29. 29. 29. x y

x y x y x y y

x x y x y x y

x x y x y x y xy y

x x y x y x y

x y x y xy y

5 5

4 3 2 2 3 5

5 4 3 2 2 3

5 4 3 2 2 3 4 5

5 4 3 2 2 3

4 3 2 4 5

3 21 18

3 21 18

32 26 18 2

3 21 18

29 47 2

+

+ + −

+ + +

+ − + − +

− − − −

− − +

30. 30. 30. 30. 30. 3 6

7

4

8 7 12

4

8 7 5 13

1

1 2

1 2

2 1 1

1 2

2 1 1 2

a a

a a a

a a a

a a a a

a a a

a a a a a

x x

x x x

x x x

x x x x

x x x

x x x x x

+

− +

− +

− − +

− + −

− − + −

−

− −

− −

+ + −

− −

+ + − −

6. 6. 6. 6. 6. a x x a x ax x

a ax a a x ax x

a a x ax x a a x ax x

a a x ax x

a a x ax x

a x ax

2 3 2 2 3

3 2 3 2 2 3

3 2 2 3 3 2 2 3

3 2 2 3

3 2 2 3

2 2

3 5 11 11

3 4 6 8

3 3 9 17 3

3 3

9 17 3

10 14

− − + −

+ − + +

+ + − − + −

+ + −

− + − +

−

7. 7. 7. 7. 7. x x

x x x x x

x x x x

x x x x x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

4 2

3 3 2

4 2 4

4 3 2 4 3 2

4 3 2

4 3 2

4 3 2

3

3 5 7 8 3 4

5 4 3

2 4 2 7 8 3 1

2 4 2

7 8 3 1

6 12 4 1

+ −

− − + − + − +

− + −

− − + + − + − +

− − + +

− + − + −

+ − + +

1. 1. 1. 1. 1. x x x x

x x

x x x x

2 2

2 2

5 4 2 1

2 6 6 2

2 1 2 2 3

+ − + −− − + −

+ − + −

2. 2. 2. 2. 2. 3 5 7 4 6 2

3 8 3 7 7 3

4 6 2 7 7 3 3

a b c a b a b c

a b c b c a b c

a b c a b c a b c

− + + − −− − − − − + +

− − − − − + +

3. 3. 3. 3. 3. x x x x

x x x x x x

x x x x x x x

3 3 2

3 2 2 2

3 2 2 3 2

1 9 4 6 8

5 7 3 1 3 8 5

6 8 3 8 5 6 2 8 3

+ + − +

− + − − + − −

− + − + + + − +

4. 4. 4. 4. 4. a a a a

a a a a

a a a a a a a a

2 4 3 2

3 4

3 2 4 4 3 2

1 2

1 2

+ + +

− − − −

+ + − + + −

5. 5. 5. 5. 5. ab bc ac ab bc ac ab bc ac

bc ac ab bc ac ab ac

ab bc ac ab ac ab bc

+ + − + − + −− + − − + + − −

− + − + − − −

5 3 4 6 9 9

7 8 9 3 5 4 9

6 9 9 4 9 3 6 9

8. 8. 8. 8. 8. m n

m n m n mn m m n m n mn n

m m n n m n mn m m n mn

m n m n mn n m m n mn m m n m n mn n

4 4

3 2 2 3 4 3 2 2 3 4

4 2 2 4 2 2 3 4 2 2 3

3 2 2 3 4 4 2 2 3 4 3 2 2 3 4

17 4 7 6 17 2 7 81

6 80 4 2

17 2 7 81 2 17 3 8 81 2

−

− − − + + − −

− + − − + − + − −

+ − − − − + + + + − − −

9. 9. 9. 9. 9. + + −

− − + − − + − + − − +

− − + − − − + − + + +

− + − − + − + − − − − − − +

a a

a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a a

3

5 4 2 4 3 2 5 4 3 2

2 3 2 4 3 2

5 4 3 2 4 3 2 5 3 2

7

6 8 4 11 10 27

5 11 26 16 8 7 15 12 7 7 15

11 10 27 12 7 7 15 11 4 3 42

10. 10. 10. 10. 10. 3 3 20 11 8

11 9 14 19 8 9 3 11 8 14

3 11 8 14 20 11 8 17 14

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

x y x xy y x xy y

xy y x xy y x xy y

x xy y x xy y x

− − − − +

− + − − + − + − +

− + − − + +

11. 11. 11. 11. 11. a a

a a

a

a a

− −− + −

− +

− +

1 3

1 4

0 3 8

2 1

2

2

12. 12. 12. 12. 12. a ab b

a ab b a ab b a ab b

a ab b ab b a ab b

a ab b a ab b ab b

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 8 7 9 3 4

5 11 17 8 7 2 9

2 9 4 5

− +

− + − + + − + −

− + − − − − +

− + − − + − − +

13. 13. 13. 13. 13. m

m m m m m m m

m m m m m m m m

m m m m m m m m m m m

4

3 2 5 5 4 2

2 4 2 4 3 2

4 3 2 5 4 2 5 4 3

1

8 6 5 16 16 7 19

7 1 16 7 3 7 13 5

7 13 5 16 7 19 17 13 24

−

− + − + − − + −

− − + − + − − + − + −

− + − + − + − − + + −

14.14.14.14.14. x y

x y x y x y y x y x y xy x x y x y x y xy y

x y xy xy x y x y xy

x x y x y x y xy y x y x y xy x x y x y x y xy y

5 5

4 3 2 2 3 5 4 3 2 4 5 4 3 2 2 3 4 5

3 2 4 4 4 3 2 4

5 4 3 2 2 3 4 5 4 3 2 4 5 4 3 2 2 3 4 5

2 5 7 3 7 11 2 2 7 6 4 8

7 6 8 1 7 10 1

2 2 7 6 4 8 7 10 1 9 7 4 4 7

−

− + − − − + − + + + − + +

− + − − − − + −

− − − + − − − + − − + + + + + +

15.15.15.15.15. − + −

− + − +

− − − + − + − + − − + − +

− + − + − + − + + − + − + −

− − + − + − + − − + − + + − − +

a a a

a a a

a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a

6 4

5 3 2

4 3 4 2 5 4 3 2

3 2 5 3 2 6 5 4 3 2

6 5 4 3 2 5 4 3 2 6 5 4 3

7 8

3 11 4

6 11 2 8 3 7 8 5 5 3 7 48 58 13

5 5 4 1 5 7 41 50 8 3 5 4 14 13

3 5 4 14 13 5 3 7 48 58 13 8 4 2 44 2 44− a

16. 16. 16. 16. 16. a a x a x x

a x a x ax a x a x a x

a x ax x a

a a x a x a x ax x a a x a x a x x

a a x a x a x x

a a x a x a x ax x

5 3 2 3 2 5

4 2 3 4 4 3 2 2 3

3 2 4 5 5

5 4 3 2 2 3 4 5 5 4 3 2 2 3 5

5 4 3 2 2 3 5

5 4 3 2 2 3 4 5

7 9 18 4 8

20 21 19 9 17 11

9 7 80 36

20 2 21 26 71 9 11 4 28

9 11 4 28

20 2 21 26 71

11

− + + − −

− + − − − +

+ − + − +

− + + − + − − + + − +

− + + − +

− + − − + − +

a x a x a x ax x4 3 2 2 3 4 510 26 5 99− − + − +

1. 1. 1. 1. 1. a b a

a b a b

a b a b

a b a b

+

− + − −

−+

+ −−

= + = −

12

34

23

34

13

54

3 23

2 34

9 412

54

13

54

512

54

2. 2. 2. 2. 2. 3

86

1

2

3

55

6

3

5

5

6

3

5

3

86

5

6

3

5

3

86

3 5

6

3

86

4

3

3

86

3 2

3 2 3 2

3 2 3

3

a a a

a a a a a

a a a a a

a a

− +

− + − − +

− + + −+

− +

= − +

3. 3. 3. 3. 3. a b a b

a b a b

a b a b

a b a b

+ + +

− − + − +

− + − + − + + +

= + + = + +

335

73

6

25

23

615

16

5 25

9 23

63 1

514 1

66

35

73

625

52

6

4. 4. 4. 4. 4. 13

37

15

114

29

6

13

6 114

29

1 305

13

514

29

315

5613

514

29

315

5 26

514

29

315

76

514

29

6

3 2

2

3 2

3 2

3

3 2

3 2

3 2 15

x x

x x

x x x

x x x

x

x x x

x x x

x x x

− +

− +

−−

− ++

= − − +

−

− + + −

−+

+ + −

= − + + −

EJERCICIO 29

5. 5. 5. 5. 5. 7

12

7

12

3

7

2

56

37

25

634

15

13

712

37

25

67 912

37

25

15

18 13

43

37

25

15

173

4 4 3 2

3 2 4

4 3 2 4 3 2

4 3 2

a a a a

a a a a

a a a a a a a

a a a a

− + −

− + − − +

− + −+

− + − −−

= − + − −

6. 6. 6. 6. 6. − + − −

− − + − + −

− + − − + + + − +

= − + − + = + −

12

23

14

59

25

19

25

312

59

1320

3

12

6 19

5 820

312

1320

2 155

12

59

1320

312

1320

175

x y z y

y z x y z

x y z x z

x y z x z

7. 7. 7. 7. 7. − + −

− +

− − + − − −

= − − −

−

+ +

+ +

32

34

18

56

23

12 18

9 1012

3 23

118

112

13

12

13

11

8

1

12

1

3

12

118

112

2 2 3

2 2 3

2 2 3

2 2 3

3 3

2 2 3

3 2 2

a b ab b

a b ab b

a b ab b

a b ab b

a b

a b ab b

a a b ab

8. 8. 8. 8. 8. 12

29

23

15

12

19

35

13

35

59

110

19

110

12

2 39

35

6 59

2 110

12

6 110

12

19

35

19

110

12

710

a b b c a b c

b c b c b c

a b c b c a c

a b c b c a c

− + + −

− − − − −

− − − − + − − +

= + − = + = −

9. 9. 9. 9. 9. 13

18

15

14

23

14

13

1940

23

18

35

34

110

13

2940

18

13

1940

34

110

13

5 2440

34

2 110

13

10 2940

23

2 18

8 912

10 880

13

1940

34

110

13

1940

23

18

112

280

112

140

3 2 2 3 2

2 3 2 3 2

3 2 3 2

3 2 3 2

a a a a a a a

a a a a a a a

a a a a a a a

a a a a a a a a

+ + − + − − +

− − − − − − + + −

+ − − + − + − − + − − − + −

= − − + = − − + = + = +

10. 10. 10. 10. 10. 3

5

5

6

2

9

2

9

1

9

2

3

3

5

7

3

13

6

1

232

13

14

1745

229

32

12

35

73

19

14

35

10 1812

2 39

14

10 1745

1 229

4 96

12

39 218

2 14

35

2812

19

14

2745

219

136

12

3718

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

x xy y x xy y x xy y

xy y x xy y x xy y

x xy y x xy y y

x xy y x xy y y

− + + − − + + +

− − + − − − − − +

− + + − + + + − − + − − + +

= − − + = − − − = +

= − − + = − − −

34

35

73

19

14

35

73

136

12

2 2 2 2x xy y x xy y

11. 11. 11. 11. 11. 2

7

1

5

1

2

1

4

1

5

3

4

3

8

3

2

7

103

4

3

8

1

10

5

4

1

8

3

2

1

2

2

7

3

4

3

8

1

10

2

7

3

4

3

8

2 1

10

2 5

4

2 1

8

3

2

2 5

10

2

7

15 1

10

7

102

7

3

4

3

8

1

10

3 3 2 2 2 2 3

2 2 3 2 2 3 3 2 2 3

3 2 2 3 2 2 3 3 3

3 2 2 3

a b a b ab a b ab b

a b ab b a b ab b a a b ab b

a a b ab b a b ab b a b

a a b ab b

− + − − + − −

− + + − + − − − + − +

− + −− −

++

− −+

− −−

−

= − + − =− + − − =− − − = − − −3

4

3

8

3

2

7

10

2

7

14

10

7

10

2

7

7

5

7

102 2 3 3 3 3 3a b ab b a b a b

12. 12. 12. 12. 12. 13

14

2

7

3

5

2

5

5

3

5

14

2

51

14

7

20

1

4

2

3

5

14

1

4

11

60

1

4

4 1

14

12 7

20

20 24 15

60

1

4

3 5 2

3

1

4

11

60

1

4

2

55

14520

1160

14

03

2 2 3 4

4 3 2 2 4 4 4

4 3 2 2 4 4 3 2 2 3

4 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4

4 3 2 2 3

m n mn n

m m n m n n m n

m m n m n n m m n m n mn

m m n m n mn n m n m n mn n

m m n m n mn n

− −

+ − + −

− + − − − − +

++

−+

− +− −

− +− − + −

= + + − − 4

4 3 2 2 3514

14

1160

14

= + + −m m n m n mn

13. 13. 13. 13. 13. 12

133

4

1

62

5

1

45

12

13

38

12

1312

730

14

13

38

12

4 912

5 1230

1 24

13

38

12

1312

730

14

13

40 38

12

1312

730

14

13

38

12

1312

730

14

13

378

x y

y z

z m

m n x y z m n

x y z m n x y z m n

x y z m n x y z m n

+

−

+

− + + − − − + − −

+ + − − + − + + − − − + − + −

= + + − + + =− − − + − +

14. 14. 14. 14. 14. 56

12

35

2

3

3

85

3

8

3

4

1

6

2

3

11

24

1

12

1

2

152

3316

3940

311

112

38

20 924

6 9 212

4 16

24 15 3940

165 22 933

11 2424

12

1216 99264

1124

112

36

040

15233

1124

112

12

15233

4 3

2

4 3 2 4 3 2

3 4 3

4 3 2 4 2

4 3 2 4 3 2

a a a

a a

a a a a a a

a a a a

a a a a a a

a a a a a a a

+ −

− − +

− − + − − − +

+ + + − + −

− + − + − − − + − + − + − − + −

= − − − + = − − + =

.

− − +1324

12

1117264

4 2a a.

EJERCICIO 30

1. 1. 1. 1. 1. x x

x x x

x

Rta x x x

3 2

3 2

3 2

5

3 5 6

3 6

3 11

− +

− + + − −

−

− + + −.

4. 4. 4. 4. 4. x x

x x x

x

Rta x x x

3 2

3 2

3 2

4 8

4 13

5

4 13

− +

− + + −

−

− − +.

7. 7. 7. 7. 7. 5 8 11

4 8 11

5 8 11

3 2 3

3 3

3 2

3 2 3

a ab b

a b

a ab

Rta a ab b

+ − −

− +

+ −

+ − −.

2. 2. 2. 2. 2. − + −− + + +

+− + + +

5 9 6

5 9 6 8 9

8 9

5 9 6 8 9

a b c

a b c x

x

Rta a b c x.

5. 5. 5. 5. 5. m mn n

m m n mn n

m n

Rta m m n mn n

4 3 4

4 2 2 3 4

2 2

4 2 2 3 4

3 6

4 3 6 8

4 8

4 3 6 8

− +

− + + − −

−

− − + +.

8. 8. 8. 8. 8. 1

2

1

34

12

13

4

x y

x y

− −

− +

−

3. 3. 3. 3. 3. a b

a a b ab b

a b ab b

Rta a a b ab b

3 3

3 2 2 3

2 2 3

3 2 2 3

8 5 3

8 5 4

8 5 3

−

− − + −

− + −

− − + −.

6. 6. 6. 6. 6. 4 5 5 2

5 4 8

4 9 6

4 5 5 2

3 2

2

3

3 2

x x x

x x

x x

Rta x x x

+ − −

− − +

− +

+ − −.

Rta x y.1

2

1

34− −

9. 9. 9. 9. 9. 5 7 8

5 7 8 1

1

5 7 8 1

2 2

2 2

2 2

x xy y

x xy y

Rta x xy y

− −

− + + +

− + + +.

10. 10. 10. 10. 10. n

m m n mn n

m m n mn n

m m n mn n

m

Rta m m n mn n

3

3 2 2 3

3 2 2 3

3 2 2 3

3

3 2 2 3

9 8 5

9 8 5 2

10 8 5 2

10 8 5 2

− + − +

− + − +

− + −

− + −.

11. 11. 11. 11. 11. 0

5 8

5 8

0

3

3

− + −

− + −

a a

a a

Rta.

EJERCICIO 31

1. 1. 1. 1. 1. ( )x x y

x x y

y

− −= − +=

6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( )a a b a b

a a b a b

a a a

+ − + − += + − − += − =2

11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( )x y x y z x y z

x y x y z x y z

x y z

+ + − + − + −= + + − + − − += − +2

2. 2. 2. 2. 2. ( )x x x

x x x

x

2 2

2 2

3 5

3 5

3 5

+ − − +

= − − += − +

7. 7. 7. 7. 7. a b a a b

a b a a b

a a a

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

2

2

3 2

+ − + − −

= − + − +

= − =

12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( ) ( )a b a a b a b

a b a a b a b

b

− + + − + − − += − − − + + −= −

2

2

2

3. 3. 3. 3. 3. ( )a b a

a b a

a b

+ − − += + + −= + −

2 3

2 3

3 3

8. 8. 8. 8. 8. { } { }2 1 3

2 1 3

1 3 4

a x a a x

a x a a x

− − + − − + −= + − + − − += + =

13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( ) [ ]− − + + − + − − +

= − + + − + + −

= − + +

x y xy x xy y xy

x y xy x xy y xy

x xy y

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 3

2 3

3 3 2

4. 4. 4. 4. 4. ( )4 2

4 2

6

m m n

m m n

m n

− − −= + += +

9. 9. 9. 9. 9. ( ) [ ]x y x xy y x y

x y x xy y x y

x xy y

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2

2

2

+ − + + + − +

= + − − − − +

= − − +

14. 14. 14. 14. 14. [ ] { } ( )8 2 3 3

8 2 3 3

8 4

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

x xy y x xy y x xy

x xy y x xy y x xy

x y

+ − + − − + − − −

= − + + − + − += +

5. 5. 5. 5. 5. ( )2 3 4 3

2 3 4 3

2

x y x y

x y x y

x

+ − += + − −= −

10. 10. 10. 10. 10.( ) ( )− + + − + −= − + − + −= − +

5 6 5 6

5 6 5 6

6 5

m m

m m

m

15. 15. 15. 15. 15. ( ) ( ) ( ) ( )− + + − − − − + + += − − − − + − + +=

a b a b b a a b

a b a b b a a b

3

3

0

EJERCICIO 32

1. 1. 1. 1. 1. ( )[ ][ ]

2

2

2

2

a a a b

a a a b

a a a b

a b

+ − +

= + − −= + − −= −

2. 2. 2. 2. 2. ( )[ ][ ]

3 2

3 2

3 2

4

x x y x y

x x y x y

x x y x y

x

− + − +

= − + − −= − − + +=

3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )[ ][ ]

2

2

2

2 2

m m n m n

m m n m n

m m n m n

m n

− − − +

= − − − −= − + + += +

4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( ) ( )[ ][ ]

4 3 2 3

4 3 2 3

4 3 2 3

6 3 4

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

x x xy y xy x y

x x xy y xy x y

x x xy y xy x y

x xy y

+ − − + − + − − +

= + − + − + + −

= − + − + + −

= + −

5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( ){ }{ }

a a b a b c a

a a b a b c a

a a b a b c a

a c

+ − + − − + − +

= + − + + − + += − + + − + += +

2

2

2

6. 6. 6. 6. 6. ( )[ ] ( )[ ][ ] [ ]

4 2 3 4 2 1

4 2 3 4 2 1

4 2 3 4 2 1

5 2

m m n n m

m m n n m

m m n n m

n

− + − + − − +

= − + − + − − −= − − + − − −= − +

7. 7. 7. 7. 7. { }( )[ ]( )[ ]

[ ]

2 5 2

2 5 2

2 5 2

2 5 2

2

x x y x y

x x y x y

x x y x y

x x y x y

x y

+ − − − + − +

= + − − − − +

= + − + + −= − + + −= − +

8. 8. 8. 8. 8. ( )[ ]{ }[ ]{ }

{ }

x xy y x xy y

x xy y x xy y

x xy y x xy y

x xy y x xy y

x xy y

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

7 3 2

7 3 2

7 3 2

7 3 2

2 4 3

− − + − + − + −

= − − + − − + −

= − − − − + −

= + + + − +

= + +

9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ){ }[ ]{ }[ ]

[ ]

− + + − + − − + − − +

= − − + − + − − + − +

= − − + − + + − + −= − − − + + − + −= −

a b a b a b a b a

a b a b a b a b

a b a b a b a b

a b a b a b a b

a b

3 2 2

2

2

2

2

10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( )[ ]{ }[ ]{ }

{ }

− + − + + − − − +

= − + − + + − − − −

= − + − + − − − −= − + − − + + + += − +

x y x y x y x y

x y x y x y x y

x y x y x y x y

x y x y x y x y

x y

4 2

4 2

4 2

4 2

3

11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ]

− − + + − + − − + + − + −

= − + − − + − − + −= − − − + − − + −= −

a b a b a b b a b

a b a b a b b a b

a b a b a b b a b

a b

2 3

2 3

2 3

3 7

12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( )[ ]{ } ( )[ ]{ }

{ }

7 3 5 3 2 3

7 3 5 3 2 3

7 3 5 3 2 3

7 3 5 3 2 3

7 2 5

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

m m n n m n

m m n n m n

m m n n m n

m m n n m n

m n

− − + − − − − + − +

= − − + − + + − − −

= − − − + − − + − −

= + + − + + − − −

= + −

13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( ) ( )[ ]{ }[ ]{ }

{ }

2 4 4

2 4 4

6 4

6 4

a a b a b a b a

a a b a b a b a

a b a b a b a

a b a b a b a

b

− − + − − − + − − − +

= + − − − − + − + −

= − − − + − += − − + − + −=

14. 14. 14. 14. 14. ( ){ } ( )[ ]( ){ }[ ]( )

[ ]( )( )

3 5 2 6

3 5 2 6

3 5 2 6

3 5 2 6

3 5 2 6

5 5 6

x y x y x x y

x y x y x x y

x y x y x x y

x y x y x x y

x y x y x x y

x y

− + − + − + − − +

= − + − + − − + −

= − + − + − − + −

= − − + − − + −= − + − + + − += − +

15. 15. 15. 15. 15. ( ) ( ) ( ){ }[ ]{ }[ ]

[ ]

6 2 2 2

6 2 2 2

6 2 2 2

6 2 2 2

6 7

c a c a c a a c c

c a c a c a a c c

c a c a c a a c c

c a c a c a a c c

a c

− − + + − + − − + +

= − − − + − − − − − +

= − − − − − − − − += + + + + + + + −= +

16. 16. 16. 16. 16. ( ) ( )( ){ } ( )[ ]( ){ }[ ]

{ }[ ][ ]

− + − + − + − − − +

= − − − + − + − + − −

= − − − + − + − + − −

= − − − − + − + − −= − − − + − + − + += − + +

3 2 2 2 5 6

3 2 2 2 5 6

3 2 2 2 5 6

3 2 2 2 5 6

3 2 2 2 5 6

6 2 1

m n m m m n n

m n m m m n n

m n m m m n n

m n m m m n n

m n m m m n n

m n

17.17.17.17.17. ( ) ( )( )[ ] ( ){ }( )[ ]{ }

[ ]{ }{ }

2 5 3 2 4

2 5 3 2 4

2 5 3 2 4

2 5 3 2 4

2 5 3 2 4

5 6

a b a c a b c a b

a b a c a b c a b

a b a c a b c a b

a b a c a b c a b

a b a c a b c a b

a b

+ − + − + − − + − + − − +

= + − + − + − − + − − + −

= + − + − + + − + + + −

= + − − + − − + − − + −= − − + − − + − − + −= − − −

18.18.18.18.18. ( )( )[ ] ( ) ( ) ( ){ }( )[ ] { }

[ ]

− − + − − − + − + + − − + − +

= − − + − − + + − − − − + − −

= − − − − + − − − − + − −= + + − − − −= −

3 2 3 2 3 2

3 2 3 2 3 2

3 2 3 2 3 2

3 2 3 4 2 1

4

x x y x y x x y

x x y x y x x y

x x y x y x x y

x x y x y

19. 19. 19. 19. 19. ( )[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ]{ }[ ] [ ] [ ]{ }

{ }

− − − − + − + − − + − + −

= − − − + − − −

= − + + − += − +=

a a b c c

a a b c c

a a b c c

b c c

b

20. 20. 20. 20. 20. ( )[ ]{ } ( )[ ]{ } ( )[ ]{ } [ ]{ }

{ } { }

− − − + − + − − − − +

= − − − − − + + − −

= − + − + − −= − − − − − −=− −

a b b a a b

a b b a a b

a b b a a b

a b b a a b

a b3 3

21. 21. 21. 21. 21. ( )[ ]{ } ( )[ ]{ } ( ){ }[ ][ ]{ } [ ]{ } { }[ ]

{ } { } [ ]

− − − + − − + − − + + − − + −

= − − − − + − + − + − + − − −

= − + − − − + − + += − − + + − + + += − + +

a b c c a b a b

a b c c a b a b

a b c c a b a b

a b c c a b a b

a b c2

22. 22. 22. 22. 22. ( )( ){ } ( ) ( ){ }[ ]( ){ } { }[ ]

{ }[ ][ ]

− + − − − + + − + + − +

= − + − − − − + − − − +

= − + − − + + − − − +

= − − − + + − − − += − + + − − + + + −= − + −

3 4 2 3

3 4 2 3

3 4 2 3

3 4 2 3

3 4 2 3

2 4 7

m m n m m n n

m m n m m n n

m m n m m n n

m m n m m n n

m m n m m n n

m n

23. 23. 23. 23. 23. ( ) ( ) ( )[ ]{ }[ ][ ]{ }[ ]

{ }[ ][ ]

− + − + − − + − − − + −

= − + − − − − + − + − −

= − + − − + − + − + −

= − − − += − + + − = −

x x y x y z x y y

x x y x y z x y y

x x y x y z x y y

x x y z

x x y z y z

2

2 2

24. 24. 24. 24. 24. ( ) ( ) ( )[ ]{ }[ ][ ]{ }[ ]

{ }[ ][ ]

− − + − + − − − + − − − +

= − − + − + − − + − − +

= − − + − − − −

= − − − − − − = + +

a a a b a b c a b

a a a b a b c a b

a a c a b

a a c a b a b c3

EJERCICIO 33

1. 1. 1. 1. 1.

( )a b c d

a b c d

− + −

= + − + −

2. 2. 2. 2. 2.

( )x xy y

x xy y

2 2

2 2

3 6

3 6

− − +

= + − − +

3. 3. 3. 3. 3.

( )x x x

x x x

3 2

3 2

4 3 1

4 3 1

+ − +

= + − +

4. 4. 4. 4. 4.

( )a a b ab b

a a b ab b

3 2 2 3

3 2 2 3

5 3

5 3

− + −

= + − + −

5. 5. 5. 5. 5.

( )x x x x

x x x x

4 3 2

4 3 2

2 2 1

2 2 1

− + − +

= − + − +

6. 6. 6. 6. 6.

( )2

2

a b c d

a b c d

+ − +

= − − + −

7. 7. 7. 7. 7.

( )x x x

x x x

3 2

3 2

3 4

3 4

+ + −

= − − − +

8. 8. 8. 8. 8.

( )x x y xy y

x x y xy y

3 2 2 3

3 2 2 3

5 3

5 3

− + −

= − − +

9. 9. 9. 9. 9.

( )a x xy y

a x xy y

2 2 2

2 2 2

2

2

− − −

= − + +

10. 10. 10. 10. 10.

( )a b bc c

a b bc c

2 2 2

2 2 2

2

2

+ − −

= − − + +

EJERCICIO 34

1. 1. 1. 1. 1. ( )( )[ ]

x y x y

x y x y

+ + −

= − − − −

2

2

2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )( ) ( )[ ]

4 2 3 2

4 2 3 2

m n m n m n

m n m n m n

− + − − + + −

= − − + − + − −

3. 3. 3. 3. 3. ( )[ ]( )[ ]{ }

x xy x xy y

x xy x xy y

2 2 2

2 2 2

3

3

− + − +

= − − − +

4. 4. 4. 4. 4. [ ] ( )[ ] ( )[ ]

x x x x x

x x x x x

3 2

3 2

3 4 2 3 2 3

3 4 2 3 2 3

− + − + − − +

= − − − + + + +

5. 5. 5. 5. 5. ( )[ ]{ }( )[ ]{ }[ ]

2 3 2

2 3 2

a b a a b a

a b a a b a

+ − − + + −

= − − + − + + −

EJERCICIO 35

6.6.6.6.6. ( )( )[ ]

− + − +

= − − − +

2 3

2 3

a a b

a a b

7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( )( ) ( )[ ]

2 3

2 3

2 2 2 2

2 2 2 2

x xy y xy x y

x xy y xy x y

+ − + + − +

= − − − + + − − +

8. 8. 8. 8. 8. x x x

x x x

3 2

3 2

3 4 2

3 4 2

− − + −

= − − + − + −{ }

9. 9. 9. 9. 9. ( )[ ] ( )( )[ ] ( ){ }

m m m m

m m m m

4 2

4 2

3 2 3 2 3

3 2 3 2 3

− + + + − +

= − − − + + − − +

1. 1. 1. 1. 1. 2 3 6⋅ − = −

2. 2. 2. 2. 2. − ⋅− =4 8 32

3. 3. 3. 3. 3. − ⋅ =−15 16 240

4. 4. 4. 4. 4. ab ab a b a b⋅− = − = −+ +1 1 1 1 2 2

5. 5. 5. 5. 5. 2 3 6 62 2 1 3x x x x⋅− = − = −+

6. 6. 6. 6. 6. − ⋅ − = =+ +4 4 42 2 2 1 1 2 3 3a b ab a b a b

7. 7. 7. 7. 7. − ⋅ = − = −+ +5 5 53 2 3 1 1 2 4 3x y xy x y x y

8. 8. 8. 8. 8. a b a x a b x a b x2 3 2 2 2 3 4 33 3 3⋅ = =+

9. 9. 9. 9. 9. − ⋅− = =+4 5 20 202 2 2 1 2 3 2m mn p m n p m n p

10. 10. 10. 10. 10. 5 6 302 2 2 2a y x a x y⋅− = −

11. 11. 11. 11. 11. − ⋅− = =+x y y z x y z x y z2 3 3 4 2 3 3 4 2 6 44 4 4

12. 12. 12. 12. 12. abc cd abc d abc d⋅ = =+1 1 2

13. 13. 13. 13. 13. − ⋅− = =+15 16 240 2404 3 2 3 2 4 3 3 2 7 3x y a x a x y a x y

14. 14. 14. 14. 14. 3 4 122 3 2 2 3 2a b x y a b x y⋅− = −

15. 15. 15. 15. 15. 3 7 21 212 3 5 2 1 3 1 5 2 4 6a bx b x a b x a b x⋅ = =+ +

16. 16. 16. 16. 16. − ⋅− = =+8 9 72 722 3 2 4 2 2 1 3 4 2 3 3 4m n a mx a m n x a m n x

17. 17. 17. 17. 17. a b ab a bm n m n⋅− = − + +1 1

18. 18. 18. 18. 18. − ⋅− = + +5 6 302 3 2 3a b a b x a b xm n m n

19. 19. 19. 19. 19. x y c x y c x y c x y cm n m n x m m n n x m n x⋅− = − = −+ + + +1 2 2 1

20. 20. 20. 20. 20. − ⋅− = + +m n m n m nx a x a6 62 2 1

EJERCICIO 36

1. 1. 1. 1. 1. a a a am m m m m⋅ = =+ + + +1 1 2 1

2. 2. 2. 2. 2. − ⋅− = =+ + + +x x x xa a a a a2 2 2 2

3. 3. 3. 3. 3. 4 4 41 1 1 1 2 1a b ab a b a bn x x n x x n x⋅− = − = −+ + + + + +

4. 4. 4. 4. 4. − ⋅ = − =−+ + + + + + + + + +a b a b a b a bn n n n n n n n n n1 2 2 1 2 2 2 3 2 2

5. 5. 5. 5. 5. − ⋅− =+ + + + + +3 4 124 1 2 3 2 6 2 4a b a b a bn n n n n n

6. 6. 6. 6. 6. 3 4 12 122 3 1 2 2 1 3 2 3 5x y x y x y x ym m m m m m⋅ = =+ + + + + + + +

7. 7. 7. 7. 7. 4 5 202 4 5 1 2 7 2 5x b x b x ba a a a a a+ + + + + +⋅− = −

8. 8. 8. 8. 8. a b c a b a b c a b cm n m n m m n n m n⋅− = − = −+ +2 2 2 3

9. 9. 9. 9. 9. − ⋅− =+ + − − − −x y x y c x y cm a m a m a1 2 3 5 2 2 2 2 3 24 4

10.10.10.10.10. − ⋅− =− − − − −5 7 351 2 3 4 3 3 2 5m n c m n m n ca b a b a b

EJERCICIO 37

1. 1. 1. 1. 1. 1

2

4

5

1

2

4

5

4

10

2

52 3 5 5 5a a b a b a b a b⋅ = ⋅ = =

2. 2. 2. 2. 2. − ⋅−

= − ⋅− = =

3

7

7

1437

714

2198

314

2 2 3

2 5 2 5 2 5

m n a m

a m n a m n a m n

3. 3. 3. 3. 3. 2

3

3

5

6

15

2

52 3 2 4 2 6 4 2 6 4x y a x y a x y a x y⋅− = − = −

4. 4. 4. 4. 4. − ⋅− = =1

8

4

5

4

40

1

103 4 3 2 3 5 5 3 5 5m n a m n a m n a m n

5. 5. 5. 5. 5. − ⋅ =− =−78

27

1456

14

3 4 4abc a a bc a bc

6. 6. 6. 6. 6. − ⋅ − = =3

5

5

6

3

6

1

23 4 2 5 2 3 9 2 3 9x y a by a bx y a bx y

7. 7. 7. 7. 7. 1

3

3

5

3

15

1

51 1a a a am m m⋅ = =+ +

EJERCICIO 38

8. 8. 8. 8. 8. − ⋅ − = ⋅ =+ +3

4

2

5

3

2

1

5

3

103 1 3 1 3a ab a b a bm m m

9. 9. 9. 9. 9. 56

310

1

2

1

2

1

4

2

1 2 1 2

a b ab c

a b c a b c

m n

m n m n

⋅ −

= − ⋅ = −+ + + +

10. 10. 10. 10. 10. − ⋅ −

= ⋅ =

+ −

− + − +

2

9

3

52

3

1

5

2

15

1 1

2 1 2 1 2 1 2 1

a b a b

a b a b

x m x m

x m x m

11. 11. 11. 11. 11. 3

8

4

5

12

40

3

102 3 2 3 2a b a b a b a bm n m n m n m n⋅ − = − = −

12. 12. 12. 12. 12. − ⋅ −

= ⋅ =

+ − −

− − − −

2

11

44

7

247

87

1 3 2 3 2

2 2 1 2 2 2 1 2

a b c a b

a b c a b c

x x x

x x x x

1. 1. 1. 1. 1. a a a a a⋅− ⋅ = − = −+ +3 3 32 1 1 2 4

2. 2. 2. 2. 2. 3 3 32 3 2 2 2 3 1 2 6x x y a x a x y a x y⋅− ⋅− = =+ +

3. 3. 3. 3. 3. − ⋅− ⋅− =− =−+ + +m n m mn m n m n2 2 3 2 2 1 1 3 5 43 5 15 15

4. 4. 4. 4. 4. 4 5 20 202 3 2 2 2 3 1 2 2 6 2 2a a x ay a x y a x y⋅− ⋅− = =+ +

5. 5. 5. 5. 5. − ⋅− ⋅− =− =−+ + + + +a ab a b a b a bm x m x m x2 3 6 62 1 2 1 3 1

6. 6. 6. 6. 6. 1

2

2

3

3

5

6

30

1

53 2 4 2 4 3 1 6 4x a x a m a x m a x m⋅− ⋅− = =+ +

7. 7. 7. 7. 7. 2

3

3

43

18

12

3

2

2 4 4 1

2 4 4 1 6 5

a a b a b

a b a b

m x

m x m x

⋅ ⋅−

= − = −

+

+ + + + + +

EJERCICIO 39

8. 8. 8. 8. 8. − ⋅− ⋅−

= − = −+ + + + +

3

55

1

1015

50

3

10

3 2

2 3 1 2 4

m a m a m

a m a m

x a

x a x a

9. 9. 9. 9. 9. 2 3 4 24 242 3 1 2 3 1 7a a a a a a⋅− ⋅− ⋅ = =+ + +

10. 10. 10. 10. 10. − ⋅− ⋅ ⋅−

= − = −+ + + +

3 4 5

60 60

2 3 2

3 1 2 2 1 1 6 4

b a b ab a x

a b x a b x

11. 11. 11. 11. 11. a b a ab a x

a b x a b x

m x

m x m x

⋅− ⋅− ⋅−

= − = −+ + + + + +

2 2

2 1 2 1 5 1

2 3

6 6

12. 12. 12. 12. 12. − ⋅− ⋅− ⋅−

= =+ + + + +

1

2

3

5

10

3

3

46

8

3

4

2 2 3 2

2 1 3 2 1 2 1 8 4

x y xy x x y

x y x y

1. 1. 1. 1. 1. 3

2

6 2

3 2

4 3

x x

x

x x

−−

− +

2.2.2.2.2. 8 3

2

16 6

2 2

3

5 3 2

x y y

ax

ax y ax y

−

−

3.3.3.3.3. x x

x

x x x

2

3 2

4 3

2

2 8 6

− +−

− + −

4.4.4.4.4. a a a

ab

a b a b a b

3 2

4 3 2

4 6

3

3 12 18

− +

− +

5.5.5.5.5. a ab b

ab

a b a b ab

2 2

3 2 2 3

2

2

− +−

− + −

6.6.6.6.6. x x x

a x

a x a x a x

5 3

2 2

2 7 2 5 2 3

6 8

3

3 18 24

− −

− −

7.7.7.7.7. m m n n

m x

m x m n x m n x

4 2 2 4

3

7 5 2 3 4

3 7

4

4 12 28

− +

−

− + −

8.8.8.8.8. x x y xy

ax y

ax y ax y ax y

3 2 2

3

6 5 2 4 3

4 6

4 6

− +

− +

9.9.9.9.9. a a b ab

a m

a m a bm a b m

3 2 2

4 2

7 2 6 2 5 2 2

5 8

4

4 20 32

− −

−

− + +

10.10.10.10.10. a a a

a

a a a

a a a

m m m

m m m

m m m

− +−

− + −

= − + −

− −

+ − + − +

+ −

1 2

1 1 1 2 1

1 1

2

2 2 2

2 2 2

11. 11. 11. 11. 11. x x x

x

x x x

m m m

m

m m m

+ −

+ −

+ −

+ −

1 1

2

3 1 3 3 1

3

3

3 9 3

12. 12. 12. 12. 12. a b a b a b

a b

a b a b a b

m n m n m n

m n m n m n

+ −

+ −

− + − +

+ + + + +

1 1 2 2

2

2 1 1 2 3

3

3 3 3

EJERCICIO 40

13. 13. 13. 13. 13. x x x

x

x x x x

3 2

2

5 4 3 2

3 5 6

4

4 12 20 24

− + −

−

− + − +

14.14.14.14.14. a a x a x

bx

a bx a bx a bx bx

4 3 2 2

3

4 3 3 4 2 5 3

6 9 8

3

3 18 27 24

− + −

− + −

15.15.15.15.15. a a a a

a x

a x a x a x a x

n n n n

n

n n n n

+ + +

+ + +

− − −

−

− + + +

3 2 1

2

2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 2

3 4

3 4

16. 16. 16. 16. 16. x x x x

a x

a x a x a x a x a x

4 3 2

2 3

2 7 2 6 2 5 2 4 2 3

6 8 7 5

3

3 18 24 21 15

− + − +

−

− + − + −

17. 17. 17. 17. 17. − + − −

− + − −

3 5 7 4

5

15 25 35 20

3 2 2 3

2 2

2 4 2 2 3 3 2 2 4 2 5

x x y xy y

a xy

a x y a x y a x y a xy

18. 18. 18. 18. 18. x x x x

x

x x x x

a a a a

a a a a

+ + + +

+ + + +

− + −

−

− + − +

5 4 3 1

2

7 6 5 3

3 5

2

2 6 2 10

19. 19. 19. 19. 19. a a b a b a b b

a y

a y a b y a b y a b y a b y

8 6 2 4 4 2 6 8

3 2

11 2 9 2 2 7 4 2 5 6 2 3 8 2

3 3

5

5 15 5 15 5

− + − +

−

− + − + −

20. 20. 20. 20. 20. a b a b a b a b

a b

a b a b a b a b

m n m n m n m n

m

m n m n m n m n

+ − +

+ − +

− + − + − +

+ − + − + − +

3

4

4 12 4 4

1 2 2 4 3 6

3

2 3 2 1 5 2 2 7 2 3 9

1. 1. 1. 1. 1. 1

2

2

325

210

415

15

415

2

1 2 2

3 2

a b

a

a a b

a a b

−

−

= −

+

2. 2. 2. 2. 2.2

3

3

423

49

612

49

12

3

3 1 3 1 1

4 3 2

a b

a b

a b a b

a b a b

−

−

− +

= − +

+ +

3. 3. 3. 3. 3. 3

5

1

6

2

553

1515

518

1015

518

23

2

1 1 2 2 2 1

2 2 2 3

a b c

ac

a c abc ac

a c abc ac

− +

−

− + −

= − + −

+ +

4. 4. 4. 4. 4. 25

13

29

3

65

33

69

65

23

2 2

2

2 2 2 1 2 2

4 3 2 2

a ab b

a x

a x a bx a b x

a x a bx a b x

+ −

+ −

= + −

+ +

5. 5. 5. 5. 5. 1

3

2

5

1

432

36

610

38

12

35

38

2 2

3

2 3 3 1 2 3

2 3 4 5

x xy y

y

x y xy y

x y xy y

− −

− −

= − −

+ +

6. 6. 6. 6. 6. 3 5 6

310

910

1510

1810

910

32

95

2 3

2 1 3 2 3 2 3

3 3 2 3 2 3

a b c

a x

a x a bx a cx

a x a bx a cx

− +

−

− + −

= − + −

+

7. 7. 7. 7. 7. 2

9

1

337

663

37

321

221

37

17

4 2 2 4

3 4

4 3 4 2 3 2 4 3 4 4

7 4 5 6 3 8

x x y y

x y

x y x y x y

x y x y x y

− +

− +

= − +

+ + + +

EJERCICIO 41

8. 8. 8. 8. 8.

1

2

1

3

1

4

1

55

8

5

16

5

24

5

32

5

405

16

5

24

5

32

1

8

2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2 2 2

4 2 2 2 2 2 2

a b x y

a m

a m a b m a mx a my

a m a b m a mx a my

− + −

−

− + − +

= − + − +

+

9. 9. 9. 9. 9. 2

3

1

2

5

6

1

934

612

38

1524

336

12

38

58

112

3 2 2 3

2 3

3 2 3 2 2 1 3 1 2 2 3 2 3 3

5 3 4 4 3 5 2 6

m m n mn n

m n

m n m n m n m n

m n m n m n m n

+ − −

+ − −

= + − −

+ + + + + +

10. 10. 10. 10. 10.

2

5

1

3

3

5

1

1057

1035

521

1535

570

27

521

37

114

6 4 2 2 4 6

3 4 3

3 6 4 3 3 4 4 2 3 3 2 4 4 3 3 4 6 3

3 10 3 3 8 5 3 6 7 3 4 9

x x y x y y

a x y

a x y a x y a x y a x y

a x y a x y a x y a x y

− + −

−

− + − +

= − + − +

+ + + + + +

1. 1. 1. 1. 1. a

a

a a

a

a a

+−

+− −

+ −

3

1

3

3

2 3

2

2

3. 3. 3. 3. 3. x

x

x x

x

x x

+−

+− −

+ −

5

4

5

4 20

20

2

2

5. 5. 5. 5. 5. − +− +

−− +

− +

x

x

x x

x

x x

3

5

3

5 15

8 15

2

2

7. 7. 7. 7. 7. 3 2

2

6 4

3 2

6 2

2

2

2 2

x y

x y

x xy

xy y

x xy y

−+

−

+ −

− −

2. 2. 2. 2. 2. a

a

a a

a

a a

−+

−−

− −

3

1

3

3

2 3

2

2

4. 4. 4. 4. 4. m

m

m m

m

m m

−−

−− +

− +

6

5

6

5 30

11 30

2

2

6. 6. 6. 6. 6. − −− −

++ +

+ +

a

a

a a

a

a a

2

3

2

3 6

5 6

2

2

8. 8. 8. 8. 8. 5 4

3 2

15 12

10 8

15 22 8

2

2

2 2

x y

x y

x xy

xy y

x xy y

−− +

− +

+ −

− + −

9. 9. 9. 9. 9. 5 7

3

5 7

15 21

5 8 21

2

2

2 2

a b

a b

a ab

ab b

a ab b

−+

−

+ −

+ −

11. 11. 11. 11. 11. − +−

− +

+ −

− + −

a b

a b

a ab

ab b

a ab b

8 4

8 8

4 4

8 12 4

2

2

2 2

13. 13. 13. 13. 13. − ++

− +

− +

− + +

9 8

6 4

54 48

36 32

54 12 32

2

2

2 2

m n

m n

m mn

mn n

m mn n

10. 10. 10. 10. 10. 7 3

2 4

14 6

28 12

14 22 12

2

2

x

x

x x

x

x x

−+

−+ −

+ −

12. 12. 12. 12. 12. 6 5

6 5

6 5

6 11 5

2

2

2 2

m n

m n

m mn

mn n

m mn n

−−

−

− +

− +

14. 14. 14. 14. 14. − −−

− −+ +

− + +

7 3

2 11

14 6

77 33

14 71 33

2

2

y

y

y y

y

y y

EJERCICIO 42

1. 1. 1. 1. 1. x xy y

x y

x x y xy

x y xy y

x y

2 2

3 2 2

2 2 3

3 3

+ +−

+ +

− − −

−

5. 5. 5. 5. 5. a a a

a

a a a

a a a

a a a

3 2

4 3 2

3 2

4 2

1

2

+ −−

+ −

− − +

− +

9. 9. 9. 9. 9. m m m

am a

am am am am

am am am a

am am a

3 2

4 3 2

3 2

4

2

2

2

2

− + −+

− + −

+ − + −

− −

2. 2. 2. 2. 2. a ab b

a b

a a b ab

a b ab b

a a b ab b

2 2

3 2 2

2 2 3

3 2 2 3

2

2

2

3 3

− +−

− +

− + −

− + −

6. 6. 6. 6. 6. m m n n

m n

m m n m n

m n m n n

m n

4 2 2 4

2 2

6 4 2 2 4

4 2 2 4 6

6 6

+ +

−

+ +

− − −

−

10. 10. 10. 10. 10. 3 5 2

4 5

12 20 8

15 25 10

12 35 33 10

2 2

3 2 2

2 2 3

3 2 2 3

a ab b

a b

a a b ab

a b ab b

a a b ab b

− +−

− +

− + −

− + −

3. 3. 3. 3. 3. a ab b

a b

a a b ab

a b ab b

a a b ab b

2 2

3 2 2

2 2 3

3 2 2 3

2

2

2

3 3

+ ++

+ +

+ + +

+ + +

7. 7. 7. 7. 7. x x x

x

x x x x

x x x

x x x

3 2

4 3 2

3 2

4 3

2 3 1

2 3

2 4 6 2

3 6 9 3

2 7 3

− + −+

− + −

+ − + −

− + −

11. 11. 11. 11. 11. 5 3

3

15 9 3

5 3

15 5 9 3 3

4 2 2 4

5 3 2 4

4 2 3 5

5 4 3 2 2 3 4 5

m m n n

m n

m m n mn

m n m n n

m m n m n m n mn n

− +−

− +

− + −

− − + + −

4. 4. 4. 4. 4. x x

x

x x x

x x

x x x

3 2

4 3

3 2

4 2

3 1

3

3

3 9 3

9 3

− ++

− +

+ − +

− + +

9. 9. 9. 9. 9. 3 6 5

2

3 6 5

6 12 10

3 5 12 10

3

2

5 3 2

3

5 2

y y

y

y y y

y y

y y y

− +

+

− +

+ − +

+ − +

12. 12. 12. 12. 12. a a

a a

a a a

a a a

a a

a a a

2

2

4 3 2

3 2

2

4 2

1

1

1

2 1

+ +

− −

+ +

− − −

− − −

− − −

13. 13. 13. 13. 13. x x x

x x

x x x

x x x

x x x

x x x

3 2

2

5 4 3

4 3 2

3 2

5 2

2

2 5

2

2 4 2

5 10 5

12 5

+ −

− +

+ −

− − +

+ + −

+ −

19. 19. 19. 19. 19. x xy y

x xy y

x x y x y

x y x y xy

x y xy y

x x y xy y

2 2

2 2

4 3 2 2

3 2 2 3

2 2 3 4

4 3 3 4

2

3

2

2

3 6 3

3 5 3

− +

− + +

− + −

+ − +

+ − +

− + − +

14. 14. 14. 14. 14. m m n mn

m mn n

m m n m n

m n m n m n

m n m n mn

m m n m n mn

3 2 2

2 2

5 4 3 2

4 3 2 2 3

3 2 2 3 4

5 4 2 3 4

3 2

2 8

3 2

2 6 4

8 24 16

5 20 16

− +

− −

− +

− + −

− + −

− + −

20. 20. 20. 20. 20. n n

n

n n n

n n

n n n

2

2

4 3 2

2

4 3

2 1

1

2

2 1

2 2 1

− +

−

− +

− + −

− + −

15. 15. 15. 15. 15. x x

x x

x x x

x x x

x x

x x x

2

2

4 3 2

3 2

2

4 2

1

1

1

2 1

+ +

− −

+ +

− − −

− − −

− − −

21. 21. 21. 21. 21. a a b ab

a b ab b

a b a b a b

a b a b a b

a b a b ab

a b a b a b ab

3 2 2

2 2 3

5 4 2 3 3

4 2 3 3 2 4

3 3 2 4 5

5 4 2 2 4 5

3 4

2 10

3 4

2 6 8

10 30 40

5 22 40

− +

− −

− +

− + −

− + −

− + −

16. 16. 16. 16. 16. x x

x x

x x x

x x x

x x

x x x x x

4 2

2

6 4 2

5 3

4 2

6 5 3 2

3 2

2 3

3 2

2 6 4

3 9 6

2 6 7 4 6

− +

− +

− +

− + −

+ − +

− + − − +

22.22.22.22.22. 8 12 6 9

2 3

16 24 12 18

24 36 18 27

16 24 27

3 2 2 3

4 3 2 2 3

3 2 2 3 4

4 2 2 4

x x y xy y

x y

x x y x y xy

x y x y xy y

x x y y

− + −+

− + −

+ − + −

− −

17. 17. 17. 17. 17. m m m

m

m m m m

m m m

m m m m m

3 2

3

6 5 4 3

3 2

6 5 4 2

4 1

1

4

4 1

4 4 1

+ − −

+

+ − −

+ + − −

+ − + − −

23. 23. 23. 23. 23. 2 3 4

2 5

4 6 2 8

10 15 5 20

4 4 13 3 20

3 2

4 3 2

3 2

4 3 2

y y y

y

y y y y

y y y

y y y y

− + −+

− + −

+ − + −

+ − − −

18. 18. 18. 18. 18. a a

a a

a a a

a a a

a a

a a a a

3

2

5 3 2

4 2

3

5 4 2

5 2

5

5 2

5 2

5 25 10

7 27 10

− +

− +

− +

− + −

+ − +

− + − +

24. 24. 24. 24. 24. − + +

− −

− + +

+ − −

+ − −

− + + − −

a ax x

a ax x

a a x a x

a x a x ax

a x ax x

a a x a x ax x

3 2 3

2 2

5 3 2 2 3

4 2 3 4

3 2 4 5

5 4 3 2 4 5

2 3

2 3

2 4 6

3 6 9

2 3

2 3 5 11 3

25. 25. 25. 25. 25. x x y x y xy

x xy y

x x y x y x y

x y x y x y x y

x y x y x y xy

x x y x y xy

4 3 2 2 3

2 2

6 5 4 2 2 3

5 4 2 3 3 2 4

4 2 3 3 2 4 5

6 5 2 4 5

3 2

3 2

3 2

3 2

2 3

− + +

− − −

− + − −

− + − −

− + − −

− + − −

30. 30. 30. 30. 30. y y

y y

y y y

y y y

y y

y y y y y

2

4 2

6 5 4

4 3 2

2

6 5 4 3

2 1

2 2

2

2 4 2

2 4 2

2 4 4 2

− +

− +

− +

− + −

+ − +

− − + − +

26. 26. 26. 26. 26. a a a

a a

a a a a

a a a a

a a a

a a a a

3 2

3

6 5 4 3

4 3 2

3 2

6 5 2

5 2 3

2 7

5 2 3

2 10 4 6

7 35 14 21

5 31 8 21

− + −

− −

− + −

− + − +

− + − +

− + − +

31. 31. 31. 31. 31. m m

m m

m m m

m m m

m m

m m m m m m

4 2

3

7 5 3

5 3

4 2

7 5 4 3 2

3 4

3 2 1

3 9 12

2 6 8

3 4

3 11 18 3 8 4

− +

− +

− +

− + −

+ − +

− + + − − +

27. 27. 27. 27. 27. m m m

m m

m m m m

m m m m

m m m

m m m m

4 3 2

2

6 5 4 2

5 4 3

4 3 2

6 5 3

3

2 3

3

2 2 2 6

3 3 3 9

5 6 9

+ − +

− +

+ − +

− − + −

+ + − +

− + − +

32. 32. 32. 32. 32. a a a

a a a

a a a a

a a a a

a a a a

a a a

a a a a a a

3 2

3 2

6 5 4 3

5 4 3 2

4 3 2

3 2

6 5 4 3 2

1

2 1

2 2 2 2

1

2 2 3 2 1

+ − +

+ − −

+ − +

+ + − +

− − + −

− − + −

+ − − + − −

28. 28. 28. 28. 28. a a b a b ab b

a ab b

a a b a b a b a b

a b a b a b a b ab

a b a b a b ab b

a a b a b a b ab b

4 3 2 2 3 4

2 2

6 5 4 2 3 3 2 4

5 4 2 3 3 2 4 5

4 2 3 3 2 4 5 6

6 5 4 2 3 3 5 6

3

2

3

2 2 6 2 2

3

4 6 3

+ − − +

− +

+ − − +

− − + + −

+ + − − +

− − + − +

33.33.33.33.33. 8 12 6

3 2 4

24 36 18 3

16 24 12 2

32 48 24 4

24 52 38 33 26 4

3 2 2 3

2 2

5 4 3 2 2 3

4 3 2 2 3 4

3 2 2 3 4 5

5 4 3 2 2 3 4 5

x x y xy y

x xy y

x x y x y x y

x y x y x y xy

x y x y xy y

x x y x y x y xy y

− − +

− +

− − +

− + + −

+ − − +

− + − − +

29. 29. 29. 29. 29. x x y x y xy y

x xy y

x x y x y x y x y

x y x y x y x y xy

x y x y x y xy y

x x y x y x y xy y

4 3 2 2 3 4

2 2

6 5 4 2 3 3 2 4

5 4 2 3 3 2 4 5

4 2 3 3 2 4 5 6

6 4 2 3 3 2 4 5 6

2

2 2 2 2 2

2 2 2 3 2

− + − +

+ −

− + − +

+ − + − +

− + − + −

− + − + −

34. 34. 34. 34. 34. 5 4 2 3 1

2 2

5 4 2 3

10 8 4 6 2

10 8 4 6 2

5 4 8 5 5 2 6 6 2

4 3 2

4 2

8 7 6 5 4

6 5 4 3 2

4 3 2

8 7 6 5 4 3 2

a a a a

a a

a a a a a

a a a a a

a a a a

a a a a a a a a

− + − −

− +

− + − −

− + − + +

+ − + − −

− − + + − + − −

35. 35. 35. 35. 35. x x x x

x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x

x x x x x

4 3 2

3 2

7 6 5 4 3

6 5 4 3 2

5 4 3 2

4 3 2

7 6 5 2

1

2 3 6

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

6 6 6 6 6

3 6 3 6

− + − +

− + +

− + − +

− + − + −

+ − + − +

+ − + − +

− + + − +

40. 40. 40. 40. 40. 3 6 2 3 2

3 4 5

3 6 2 3 2

9 18 6 9 6

12 24 8 12 8

15 30 10 15 10

3 15 14 28 47 28 23 10

5 3 2

4 2

9 7 6 5 4

7 5 4 3 2

6 4 3 2

5 3 2

9 7 6 4 3 2

a a a a

a a a

a a a a a

a a a a a

a a a a a

a a a a

a a a a a a a

− + − +− + −

− + − +− + − + −

+ − + − +− + − + −

− + − + − + −

36. 36. 36. 36. 36. 3 2 5 4

2 1

3 2 5 4

3 2 5 4

6 4 10 8

3 2 5 4

3 5 9 10 8 3 4

3 2

3 2

6 5 4 3

5 4 3 2

4 3 2

3 2

6 5 4 3 2

a a a

a a a

a a a a

a a a a

a a a a

a a a

a a a a a a

+ − −

+ − +

+ − −

+ + − −

− − + +

+ + − −

+ − − + + −

41. 41. 41. 41. 41. a b c

a b c

a ab ac

ab b bc

ac bc c

a b bc c

+ −− +

+ −

− − +

+ + −

− + −

2

2

2

2 2 22

37. 37. 37. 37. 37. 5 3 4 2

3 1

5 3 4 2

15 9 12 6

5 3 4 2

5 3 11 11 17 3 4 2

4 3 2

4 2

8 7 6 5

6 5 4 3

4 3 2

8 7 6 5 4 3 2

y y y y

y y

y y y y

y y y y

y y y y

y y y y y y y y

− + +

− −

− + +

− + − −

− + − −

− − + − − − −

42. 42. 42. 42. 42. x y z

x y z

x xy xz

xy y yz

xz yz z

x xy y yz z

+ −− +

+ −

− − +

+ + −

+ − + −

2

2

2

2

2 3

2

2

2

2 2 2

38.38.38.38.38. m m n m n n

m m n mn n

m m n m n m n

m n m n m n m n

m n m n m n mn

m n m n m n n

m m n m n m n m n m n mn n

4 3 2 2 4

3 2 2 3

7 6 5 2 3 4

6 5 2 4 3 2 5

5 2 4 3 3 4 6

4 3 3 4 2 5 7

7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7

2 3 4

3 5

2 3 4

3 6 9 12

5 10 15 20

2 3 4

5 14 20 13 9 20 4

− + −− + − +

− + − ++ − + −

− + − ++ − + −

− + − + − − + −

43. 43. 43. 43. 43. 2 3 5

2

2 3 5

2 3 5

4 6 10

2 5 3 10

2

2

2

2 2 2

x y z

x y z

x xy xz

xy y yz

xz yz z

x xy xz y yz z

− +− + +

− + −

+ − +

+ − +

− + − − − +

39. 39. 39. 39. 39. x x y x y y

x x y xy

x x y x y x y

x y x y x y x y

x y x y x y xy

x x y x y x y x y xy

6 4 2 2 4 6

5 3 2 4

11 9 2 7 4 5 6

9 2 7 4 5 6 3 8

7 4 5 6 3 8 10

11 9 2 7 4 5 6 3 8 10

3

2 3

3

2 6 2 2

3 9 3 3

5 8 6 5 3

− − +

− +

− − +

− + + −

+ − − +

− + − − +

44. 44. 44. 44. 44. x xy xz y yz z

x y z

x x y x z xy xyz xz

x y xy xyz y y z yz

x z xyz xz y z yz z

x xyz y z

2 2 2

3 2 2 2 2

2 2 3 2 2

2 2 2 2 3

3 3 33

− − + − ++ +

− − + − +

+ − − + − +

+ − − + − +

− + +

EJERCICIO 43

1. 1. 1. 1. 1. a a a

a

a a a

a a a

a a

x x x

x x x

x x x

x x

+ +

+ + +

+ +

+

− ++

− +

+ − +

+

2 1

3 2 1

2 1

3

1

2. 2. 2. 2. 2. − + +

+

− + +

− + +

− + + +

+ + +

+ + +

+ + +

+ + + +

x x x

x x

x x x

x x x

x x x x

n n n

n n n

n n n

n n n n

3 2 1

2

5 4 3

4 3 2

5 4 3 2

2

2

2

3

3. 3. 3. 3. 3. m m m m

m m

m m m m

m m m m

m m m m

m m m m m

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a a

+ + −

+ + + +

+ + +

+ + −

+ + + −

+ − +

− +

+ − +

− − + −

+ + − +

− + − +

2 1 1

2

4 3 2 1

3 2 1

2 1 1

4 3 1 1

2 3

2 2 2 2

3 3 3 3

6 5 3

4. 4. 4. 4. 4. a a a

a a

a a a

a a a

a a a a

n n n

n n

n n n

n n n

n n n n

+ +

+

+ + +

+ +

+ + +

+ −

+

+ −

+ + −

+ + −

2 1

1

2 3 2 2 2 1

2 2 2 1 2

2 3 2 2 2 1 2

3 2

3 2

3 2

4 2

5. 5. 5. 5. 5. x x x

x x

x x x

x x x

x x x x x

a a a

a a

a a a

a a a

a a a a a

+ +

+ +

+ + +

+ + +

+ + + + +

+ −

−

+ −

− − +

+ − − +

2 1

3 1

2 5 2 4 2 3

2 3 2 2 2 1

2 5 2 4 2 3 2 2 2 1

2

2

2

2 4 2

2 3 4 2

6. 6. 6. 6. 6. a a a

a a

a a a

a a a

a a a

a a a a

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x x

− +

+ −

− +

+ − +

− + −

− + −

− −

+ +

+ −

− −

+ − −

2 3

2 1

2 3

2 4 6

2 3

2 8 3

1 2

2

2 1

1 1

1 2

2 1 2

7. 7. 7. 7. 7. a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a a a

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x x x

+ −

− +

+ −

− − +

+ + −

+ − + −

− −

− −

− −

− − −

− − −

− − − −

3 2

3 2

3 2

3 2

2 4 5 2

1 2

1 2

2 2 1 2 2

2 1 2 2 2 3

2 2 2 3 2 4

2 2 1 2 2 2 3 2 4

8. 8. 8. 8. 8. m m m m

m m m

m m m m

m m m m

m m m m

m m m m m m

a a a a

a a a

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a a a

+ + + +

− − −

+ + +

+ + −

+ − −

+ + + − −

− − +

− + +

− + + −

+ − − +

+ − − +

− + + − − +

4 3 2 1

1 2 3

2 3 2 2 2 1 2

2 2 2 1 2 2 1

2 1 2 2 1 2 2

2 3 2 2 2 1 2 2 1 2 2

2

2

2

2

2 2 4

9. 9. 9. 9. 9. x x x x

x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

a a a a

a a a

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

− − − −

− − −

− − − −

− − − −

− − − −

− − − −

+ − +

− −

+ − +

− − + −

− − + −

+ − −

1 2 3 4

1 2 3

2 2 2 3 2 4 2 5

2 3 2 4 2 5 2 6

2 4 2 5 2 6 2 7

2 2 2 3 2 4 2 7

2

2

2

2

4

10. 10. 10. 10. 10. a b a b a b a b

a b a b

a b a b a b a b

a b a b a b a b

a b a b a b a b a b

n n n n

n n

n n n n

n n n n

n n n n n

− + −

−

− + −

− + − +

− + − +

− − −

−

− − −

− − − −

− − − −

1 2 2 3 3 4

2 2 4

2 3 2 1 4 2 2 5 2 3 6

2 2 5 2 3 6 2 4 7 2 5 8

2 3 2 1 4 2 2 5 2 4 7 2 5 8

2

2

2

2

11. 11. 11. 11. 11. a b

a b

a a b

a b b

a a b a b b

x x

m m

m x m x

x m m x

m x m x x m m x

+

+

+

+ +

+ + +

+

+

+ +

12. 12. 12. 12. 12. a b

a b

a ab

a b b

a ab a b b

x n

x n

x n

x n x n

− −

−

−

− −

−−

−

− +

− − +

1 1

1

1

1 1

13. 13. 13. 13. 13. − + +

− +

− + +

+ − −

− + +

− + + − +

+ +

− − −

+ −

− −

− − −

+ − − −

5 3

6 8

30 6 18

40 8 24

5 3

30 46 5 23 3

2 2 2 1 2

3 1 3 2 3 3

5 1 5 5 1

5 5 1 5 2

5 1 5 2 5 3

5 1 5 5 1 5 2 5 3

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a a a

m m m

m m m

m m m

m m m

m m m

m m m m m

14. 14. 14. 14. 14. x y x y x y

x y x y x y

x y x y x y

x y x y x y

x y x y x y

x y x y x

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

a x a x

+ − + +

− − − − −

+ − − − −

− − − −

− − − − +

+ − −

− +

− − −

− + −

− + −

− + −

− + +

2 1 1 1

2 1 2 2 2 1 2 3

3 1 2 3 3 2 2 3 1 2 1

3 2 2 3 1 2 1 3 2 2

3 1 2 1 3 2 2 3 3 2 1

3 1 2 3 3 2 2 3

4 3

2 4 10

2 8 6

4 16 12

10 40 30

2 4 28 a x a xy x y− − +−2 2 3 3 2 130

EJERCICIO 44

1. 1. 1. 1. 1. 12

13

13

12

16

1914

16

16

4 936

16

16

536

16

2

2

2 2

2 2

a b

a b

a ab

ab b

a ab b

a ab b

−

+

−

+ −

− − −

= + −

2. 2. 2. 2. 2. x y

x y

x xy

xy y

x xy y

x xy y

x xy y

−

+

−

+ −

−−

−

= + −

= + −

25

13

56

13

21556

1030

13

4 2530

1030

13

2130

13

13

710

13

2

2

2 2

2 2

2 2

3. 3. 3. 3. 3. 12

13

14

23

32

26

29

212

34

36

38

26

8 2736

2 612

38

13

3536

812

38

13

3536

23

38

2 2

3 2 2

2 2 3

3 2 2 3

3 2 2 3

3 2 2 3

x xy y

x y

x x y xy

x y xy y

x x y xy y

x x y xy y

x x y xy y

− +

−

− +

− + −

−+

++

−

= − + −

= − + −

4. 4. 4. 4. 4. 14

23

14

32

1

16

1

4

2

1238

32

66

116

2 38

2 1812

116

58

2012

116

58

53

2 2

3 2 2

2 2 3

3 2 2 3

3 2 2 3

3 2 2

a ab b

a b

a a b ab

a b ab b

a a b ab b

a a b ab b

a a b ab b

− +

−

− +

− + −

−+

++

−

= − + −

= − + −

5. 2

5

1

3

1

23

22

6

10

3

6

3

42

5

1

3

1

24

5

2

3

2

2

6

10

15 12

30

45 20 48

60

3 4

6

2

26

10

3

30

17

60

7

63

5

1

10

17

60

7

6

2 2

2 2

4 3 2 2

3 2 2 3

2 2 3 4

4 3 2 2 3 4

4 3 2 2 3 4

4 3 2 2 3 4

m mn n

m mn n

m m n m n

m n m n mn

m n mn n

m m n m n mn n

m m n m n mn n

m m n m n mn n

+ −

− +

+ −

− − +

+ + −

+−

−+ −

++

−

= + − + −

= + − + −

7. − + +

− +

− + +

+ − −

− + +

− ++

+− −

−−

+

= − + + − +

= − + + − +

1

2

1

3

3

23

2

2

3

3

4

3

6

9

41

2

1

3

3

22

6

2

9

6

6

3

4

3 3

6

27 4 4

12

27 4

18

6

63

4

6

6

19

12

23

18

6

63

4

19

12

23

18

2 2

2 2

4 3 2 2

3 2 2 3

2 2 3 4

4 3 2 2 3 4

4 3 2 2 3 4

4 3 2 2 3 4

x ax a

x ax a

x ax a x

ax a x a x

a x a x a

x ax a x a x a

x ax a x a x a

x ax a x a x a

9. 14

13

14

12

32

110

15

38

36

38

34

140

130

140

120

120

115

120

110

38

60 3120

45 4 6120

90 3 8120

1 120

110

38

63120

47120

79120

220

110

38

2140

47120

79120

110

110

3 2

2

5 4 3 2

4 3 2

3 2

5 4 3 2

5 4 3 2 5 4 3 2

x x x

x x

x x x x

x x x x

x x x

x x x x x

x x x x x x x x x x

+ − +

+ −

+ − +

+ + − +

− − + −

++

−− +

+− −

++

−

= + − + + − = + − + + −

6. 3

8

1

4

2

5

21

32

6

8

2

4

4

53

24

1

12

2

156

8

2

4

4

5

6

8

2

4

96 15

120

2 18

24

8 30

60

4

53

4

1

2

111

120

16

24

38

60

4

53

4

1

2

37

40

2

3

19

30

4

5

2

3

5 4 3

3 2

2

5 4 3 2

5 4 3 2

5 4 3 2

x x

x x

x x x

x x x

x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

+ −

− +

+ −

− − +

+ + −

+ −+

−−

++

−

= + − + + −

= + − + + −

8. 2

7

1

5

1

21

4

2

3

5

6

2

28

1

20

1

84

21

2

15

2

610

42

5

30

5

12

2

28

21 80

420

105 112 200

840

10 5

30

5

122

28

101

420

417

840

15

30

5

121

14

101

420

139

280

1

2

3 2 2

2 2

5 4 3 2

4 3 2 2 3

3 2 2 3 4

5 4 3 2 2 3 4

5 4 3 2 2 3 4

5 4 3 2 2 3

x x y xy

x xy y

x x y x y

x y x y x y

x y x y xy

x x y x y x y xy

x x y x y x y xy

x x y x y x y

− +

− +

− +

− + −

+ − +

−+

++ +

−+

+

= − + − +

= − + − +5

124xy

10.10.10.10.10.3

4

1

2

2

5

1

42

3

2

3

5

2

6

12

2

6

4

15

2

126

12

2

6

4

15

2

1215

8

5

4

10

10

5

8

6

12

4 6

12

32 40 225

120

10 16 75

60

20 120

120

5

81

2

10

12

297

120

101

60

3 2 2 3

2 2

5 4 3 2 2 3

4 3 2 2 3 4

3 2 2 3 4 5

5 4 3 2 2 3 4 5

5 4 3 2 2 3

m m n mn n

m mn n

m m n m n m n

m n m n m n mn

m n m n mn n

m m n m n m n mn n

m m n m n m n

− + −

− +

− + −

− + − +

+ − + −

−+

++ +

−+ +

++

−

= − + − +140

120

5

8

1

2

5

6

99

40

101

60

7

6

5

84 5 5 4 3 2 2 3 4 5mn n m m n m n m n mn n− = − + − + −

EJERCICIO 45

1. 1. 1. 1. 1. x x x por x

x x x x

3 2 2

5 4 2

1

1 1 1

1 0 1

1 1 1

1 1 1

1 1 0 1 1

− + −− ++ −

− +− + −

− + + −

= − + −

2. 2. 2. 2. 2. x x x por x x

x x x x x x

4 3 2 3 2

7 6 5 4 3 2

3 5 8 2 7

1 3 5 0 8

1 2 0 7

1 3 5 0 8

2 6 10 0 16

7 21 35 0 56

1 1 11 3 13 19 0 56

11 3 13 19 56

+ − + − −+ − + +− + −

+ − + +− − + + −

− − + + −

+ − + − + + −

= + − + − + −

3. 3. 3. 3. 3. a a b a b ab b por a ab b

a a b a b a b a b ab b

4 3 2 2 3 4 2 2

6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

3 2 5 2

1 3 2 5 1

1 2 1

1 3 2 5 1

2 6 4 10 2

1 3 2 5 1

1 1 7 12 13 7 1

7 12 13 7

+ − + − − ++ − + −− +

+ − + −− − + − +

+ + − + −

+ − + − + −

= + − + − + −

4. 4. 4. 4. 4. m m n mn n por m mn n

m m n m n m n m n mn n

3 2 2 3 3 2 3

6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

5 6 4

1 5 6 1

1 0 4 1

1 5 6 1

4 20 24 4

1 5 6 1

1 5 2 20 19 10 1

5 2 20 19 10

− + + − −− + ++ − −

− + +− + − −

− + − −

− + + − − −

= − + + − − −

5. 5. 5. 5. 5. x x por x x

x x x x

4 2 4 2

8 6 4 2

8 3 6 5

1 0 8 0 3

1 0 6 0 5

1 0 8 0 3

6 0 48 0 18

5 0 40 0 15

1 0 2 0 50 0 58 0 15

2 50 58 15

− + + −+ − + ++ + + −

+ − + ++ + − + +

− + + + −

+ − + − + + + −

= − − + −

6. 6. 6. 6. 6. a a a por a a a a

a a a a a a a

6 4 2 8 6 4 2

14 12 10 8 6 4 2

3 6 10 4 3 2

1 0 3 0 6 0 10

1 0 4 0 3 0 2

1 0 3 0 6 0 10

4 0 12 0 24 0 40

3 0 9 0 18 0 30

2 0 6 0 12 0 20

1 0 7 0 9 0 23 0 52 0 42 0 20

7 9 23 52 42 20

− − + − + −+ − + − + ++ − + + + −

+ − + − + +− + + + + + −

+ + − + − + +− + + + + + −

+ − + + + + + − + + + −

= − + + − + −

7. 7. 7. 7. 7. x x x por x x

x x x x x

9 6 3 6 3

15 12 9 6 3

4 3 2 3 8 10

1 0 0 4 0 0 3 0 0 2

3 0 0 8 0 0 10

3 0 0 12 0 0 9 0 0 6

8 0 0 32 0 0 24 0 0 16

10 0 0 40 0 0 30 0 0 20

3 0 0 20 0 0 51 0 0 70 0 0 46 0 0 20

3 20 51 70 46 20

− + − − ++ + − + + + + + −+ + − + + +

+ + − + + + + + −− + + + + + − + + +

+ + + − + + + + + −

+ + − + + + + + − + + + + + −

= − + − + −

9. 9. 9. 9. 9. x x y x y x y y por x y

x x y x y x y x y x y y

5 4 3 2 2 3 5 2 2

7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 7

3 6 4 2 4

1 3 6 4 0 1

2 0 4

2 6 12 8 0 2

4 12 24 16 0 4

2 6 8 20 24 18 0 4

2 6 8 20 24 18 4

− − − − +− − − + −+ +

− − − + −+ − − − + −

− − − − − + −

= − − − − − −

11.11.11.11.11. n n n n por n n

n n n n n n n n n

6 4 3 4 2

10 8 7 6 5 4 3 2

3 5 8 4 3 4

1 0 3 5 0 8 4

1 0 3 0 4

1 0 3 5 0 8 4

3 0 9 15 0 24 12

4 0 12 20 0 32 16

1 0 6 5 13 23 8 44 12 32 16

6 5 13 23 8 44 12 32 16

− + − + − ++ − + + − ++ − + +

+ − + + − +− + + − + + −

+ + − + + − +

+ − + + − − + − − +

= − + + − − + − − +

13. 13. 13. 13. 13. x x y x y y por x x y x y y10 6 4 2 8 10 6 4 2 2 4 65 3 6 4 5

1 0 0 0 5 0 0 0 3 0 6

1 0 4 0 5 0 1

1 0 0 0 5 0 0 0 3 0 6

4 0 0 0 20 0 0 0 12 0 24

5 0 0 0 25 0 0 0 15 0 30

1 0 0 0 5 0 0 0 3 0 6

1 0 4 0 10 0 21 0 28 0 23 0

− + − − − ++ + + − + + + + + −+ − + − + +

+ + + − + + + + + −− + + + + + + + − + +

− + + + + + + + − + ++ + + + − + + + + + −

+ − + − + + + + + − + + + + + −

− − + + − + + −

9 0 33 0 6

4 10 21 28 23 9 33 616 14 2 12 4 10 6 8 8 6 10 4 12 2 14 16x x y x y x y x y x y x y x y y

14.14.14.14.14. a a a por a

a a a a a

m m m

m m m m m

− + −− + ++ −

− + +− + + −

− − + + −

= − − + −

− −

+ + − −

3 5 5

1 3 0 5

1 0 5

1 3 0 5

5 15 0 25

1 3 5 20 0 25

3 5 20 25

1 3 2

2 1 1 3

8. 8. 8. 8. 8. m m m por m m m m

m m m m m m m

12 8 4 16 12 8 4

28 24 20 16 12 8 4

7 9 15 5 9 4 3

1 7 9 15

1 5 9 4 3

1 7 9 15

5 35 45 75

9 63 81 135

4 28 36 60

3 21 27 45

1 12 53 127 187 192 87 45

12 53 127 187 192 87 45

− + − − + − +− + −− + − +

− + −− + − +

+ − + −− + − +

+ − + −

− + − + − + −

= − + − + − + −

10. 10. 10. 10. 10. 6 4 6 2 2 7

6 0 0 4 6 2

1 0 2 1 7

6 0 0 4 6 2

12 0 0 8 12 4

6 0 0 4 6 2

42 0 0 28 42 14

6 0 12 2 36 6 16 38 44 14

6 12 2 36 6 16 38 44 14

5 2 4 2

9 7 6 5 4 3 2

a a a por a a a

a a a a a a a a

− + − − + −+ + − + −+ − + −

+ + − + −− + + + − +

+ + + − + −− + + + − +

+ − + − + − + − +

= − + − + − + − +

12.12.12.12.12. 3 4 5 3

3 4 0 0 1

1 0 5 3

3 4 0 0 1

15 20 0 0 5

9 12 0 0 3

3 4 15 29 13 0 5 3

3 4 15 29 13 5 3

4 3 4 3 2 3

7 6 5 2 4 3 3 4 6 7

x x y y por x xy y

x x y x y x y x y xy y

− − − +− + + −+ − +

− + + −− + + + +

+ − + + −

− − + − + + −

= − − + − + −

15. 15. 15. 15. 15. a a a por a a a

a a a

a a a a

x x x x x x

x x x

x x x x

+ + − + +

+ + +

+ + −

− − + +− + −+ + +

− + −+ − + −

+ − + −

− + − − − −

= − +

− − − −

2 1 1 3 1

2 5 2 4 2 3

2 2 2 1 2 2 1

5 7 7 6

1 5 0 7

7 0 6 1

7 35 0 49

6 30 0 42

1 5 0 7

7 35 6 78 5 42 7

7 35 6

78 5 42 7

16.16.16.16.16. x x x por x x x x

x x x x

x x x x

a a a a a a a

a a a a

a a a a

+ − + − −

+ + +

− − − −

− − − + ++ − + −− + +

+ − + −− + + + +

+ + − + −+ + − + −

− − + − + − −

= − − +

− + − −

2 2 1 1 2

2 3 2 2 2 1 2

2 1 2 2 2 3 2 4

5 6 6 4 2

1 0 5 0 6

6 4 2 1

6 0 30 0 36

4 0 20 0 24

2 0 10 0 12

1 0 5 0 6

6 4 28 21 46 19 12 6

6 4 28 21

46 19 12 6

17. 17. 17. 17. 17. a a a a por a a a

a a a a a a

x x x x x x x

x x x x x x

2 2 2 1 2 2 1 3 1 3 3 1

5 3 5 2 5 1 5 5 1 5 2

3 5 6 5 3

1 3 1 5

6 5 3

6 18 6 30

5 15 5 25

3 9 3 15

6 23 12 34 22 15

6 23 12 34 22 15

+ + − + −

+ + + − −

− − − − +− − −− +

− − −− + + +

+ − − −

− + − + −= − + − + −

EJERCICIO 46

1. 1. 1. 1. 1. ( )( )4 5 3

4 20

3

4 20

12 60

4 8 60

2

2

a a

a

a

a a

a

a a

+ −+−

+− −

+ −

2. 2. 2. 2. 2. ( )( )3 1 1

3 3

1

3 3

3 3

3 3

2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

a x x

a x a

x

a x a x

a x a

a x a

+ −

+−

+

− −

−

3. 3. 3. 3. 3. ( )( )( )2 3 1 4

2 6

1

2 6

2 6

2 8 6

4

2 8 6

8 32 24

2 26 24

2

2

3 2

2

3

a a a

a

a

a a

a

a a

a

a a a

a a

a a

− − +−

−

−− +

− ++

− +

+ − +

− +

4. 4. 4. 4. 4. ( )( )( )x x x

x

x

x x

x

x x

x

x x x

x x

x x x

2 2 2

2

2

4 2

2

4 2

2

6 4 2

4 2

6 4 2

1 1 1

1

1

1

2 1

1

2

2 1

1

+ − +

+

+

+

+ +

+ +

−

+ +

− − −

+ − −

5. 5. 5. 5. 5. ( )( )( )m m m m

m m

m

m m

m m

m m m

m

m m m

m m m

m m m m

− − +

−−

−

− +

− ++

− +

+ − +

− + +

4 6 3 2

4

6

4

6 24

10 24

3 2

3 30 72

2 20 48

3 28 52 48

2

3 2

2

3 2

4 3 2

3 2

4 3 2

6. 6. 6. 6. 6. ( )( )( )a b a ab b a b

a ab b

a b

a a b ab

a b ab b

a a b ab b

a b

a a b a b ab

a b a b ab b

a a b ab b

− − + +

− ++

− ++ − +

− − +−

− − +− + + −

− + −

2 2

2 2

3 2 2

2 2 3

3 2 2 3

4 3 2 2 3

3 2 2 3 4

4 3 3 4

2

2

2

2

2 2

7. 7. 7. 7. 7. ( )( )( )3 2 1 1 1

3 6 3

1

3 6 3

3 6 3

3 9 9 3

1

3 9 9 3

3 9 9 3

3 6 6 3

2

3 2

4 3 2

3 2

4 3 2

5 4 3 2

4 3 2

5 4 2

x x x x x

x x x

x

x x x

x x x

x x x x

x

x x x x

x x x x

x x x x

− + − +

− +−

− +− + −

− + −+

− + −+ − + −

− + −

11. 11. 11. 11. 11. ( )( )( )( )x x x x

x x

x x

x x x x

x x

x x x x

x x

x x x

x x x

x x

x x x x

− + − +− −+ +

− −+ − + −

+ − − −

− −

+ −

− − +− − +

− − + +

3 4 5 1

3 5

4 1

3 5

4 12 5

12 4 5

4 5

12

4 4 48

5 5 60

3 21 43 60

2 2

2 2

2

4 3 2

3 2

2

4 3 2

12. 12. 12. 12. 12. ( )( )( )( )x x x x x

x x x

x x

x x x x x

x x x

x x x x x x x

x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x

2 2 2

2 2

2

4 3 2 3

2 2

4 3 2 3 2

3 2

7 6 5 4 3

6 5 4 3 2

5 4 3 2

3 2 1 1 3

2 1 3

3 1

2 3

3 6 3 3

2 4 6 3 3 3

3 3

2 4 6 3

2 4 6 3

3 6 12 18

− + + − +

+ + −

+ −

+ + −

+ + + − +

+ + + + − − +

− − +

+ + + +

− − − − −

− − − − −

+ + + + +

+ − − − − + +

9

3 6 12 18 9

9 9 9 9

4 3 2

7 6 5 4 3 2

x

x x x x

x x x x x x x

13. 13. 13. 13. 13. ( )( )( )( )9 3 2 2 1 1 2 1

27 18 2 1

2 1 1

54 36 2

27 18 2 1

54 9 18 2 3 1

2 3 1

108 18 36

162 27 54

54 9 18

108 180 45 45 18

2

3 2

4 3 2

3 2

4 3 2 2

2

6 5 4

5 4 3

4 3 2

6 5 4 3 2

a a a a a

a a a

a a

a a a a

a a a

a a a a a

a a

a a a

a a a

a a a

a a a a a

− + − −

− −+ −

− −+ − − +

− − − +− +

− −

− + ++ − −

− + − −

14. 14. 14. 14. 14. ( )( )a a b a b b

a a b

a b b

a b a b

a b a b

a b a b

x x x x x x

x x x

x x x

x x x x

x x x x

x x x x

+ + + +

+ +

+ +

+ + +

+ + +

+ +

+ −

+−

+

− −

−

1 2 1 2

2 1 2

1 2 2

3 2 2 1 2 2

2 1 2 2 3 4

3 2 3 4

8.8.8.8.8. ( )( )( )x x x x x

x x

x x

x x x

x x x

x x

x x x

x

x x x x

x x x

x x x x x

2 2

2

2

4 3 2

3 2

2

4 2

5 3 2

4 2

5 4 3 2

1 1 2

1

1

1

2 1

2

2

2 2 4 2

2 4 5 2

− + + − −

− ++ −

− +

+ − +− + −

− + −−

− + −− + − +

− − + − +

9. 9. 9. 9. 9. ( )( )( )a a a

a

a

a a

a

a a a

a

a a a a

a a a

a a a a a

a a

m m m

m

m

m m

m

m m m

m

m m m m

m m m

m m m m m

m m

− + −

−

+

+ −

−

+ − −

−

+ − −

− + − +

+ − − − +

⇒ + −

− −

−

− −

− −

−

− − − −

− −

− − − −

− −

3 2 1

3

2

3

2 6

2 3 6

1

2 3 6

3 2 6

3 3 2 6

3

1 1

1

2 1 1

2 1 1

1

2 1 3 2 2 2 1

2 1 1

2 1 3 2 2 2 1

3 2 2 1 a a am m m2 2 12 3 6− −− − +

10. 10. 10. 10. 10. ( )( )( )a a a a

a a

a

a a

a a

a a a

a

a a a

a a a

a a a a

− − −

−−

−

− +

− +−

− +

− + −

− + −

1 2 3

2

2 2

3 2

3

3 2

3 9 6

6 11 6

2

3 2

2

3 2

4 3 2

3 2

4 3 2

EJERCICIO 47

1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )4 3 5 2

4 12 5 10

9 22

x x

x x

x

+ + += + + += +

2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( ) ( )6 4 3 1 5 2

6 24 3 3 5 10

8 31

2 2 2

2 2 2

2

x x x

x x x

x

+ − + + +

= + − − + += +

3.3.3.3.3. ( ) ( ) ( )a a x a x a a x a

a ax ax a ax a

a ax

− + + − −

= − + + − +

= +

3 2 3

3 6 3

10

2 2 2

2

4.4.4.4.4. ( ) ( )x y y x x y

x y x x y y x y

x y x y

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 3

3

+ + + −

= + + + −= − + +

5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )4 5 3 3

4 5 3 3 3 3

3 3 2

3 2 2 2 2 2 2

3 2 4 2 2 3 2

4 3 2 2 2

m mn m m n mm n

m mn m mn m mn

m m m n mn

− + + − −

= − + + − += + + −

6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( ) ( )y x y y x y x y x

y x y x y y x y y x y y

y y

2 2 3 3 2 2 2 2 2

2 2 3 2 3 3 2 2 2 2 2 2

3 2

1 1 1

3

+ − + + + − −

= + − − + + − +

= − +

7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( )( )( )

5 2 1 4 6

5 10 4 4 6

10 4 4

6 6

2

2

2

x x x x

x x x x x

x x x x

x x

+ − + + −

= + − + + + −

= − + − − − −= − − +

8. 8. 8. 8. 8. ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )

a a a a a

a a a a a a a

a a a

a a a

a a

+ − − + − + +

= − + − − − + − + +

= + − − −

= + − − +

= − + +

5 5 3 2 2 5 4

5 5 25 3 2 2 4 5 20

5 5 3 4

5 5 3 12

2 5 7

2 2

2 2

2 2

2

9. 9. 9. 9. 9. ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

a b a b a b a b a b a b

a ab b a ab b a ab b

a ab b a ab b a ab b

a ab b

+ − − − + − + −

= + − − − − − − −

= + − − + + − + +

= − + +

4 3 5 2 3 3 6

4 3 15 2 3 3 6

4 3 15 2 3 3 6

14 5 5

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( )( )( ) ( )( )

( )

a c a c

a c a c a c a c

a ac ac c a ac ac c

a ac c a ac ac c

ac

+ − −

= + + − − −

= + + + − − − +

= + + − + + −=

2 2

2 2 2 2

2 2 2 22

4

11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

3 4 3 3

3 4 3 3

3 4 3 3

3 2 4 2 3 3

3 6 3 4 8 4 3 3

2 14 4

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

x y x y x y

x y x y x y x y x y

x xy xy y x xy xy y x y

x xy y x xy y x y

x xy y x xy y x y

x xy y

+ − − + −

= + + − − − + −

= + + + − − − + + −

= + + − − + + −

= + + − + − + −

= + −

12.12.12.12.12.( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( )

m n m n m n

m n m n m n m n m n m n

m mn n m mn n m mn n

m mn n m mn n

m mn n

+ − + + −

= + + − + + + − −

= + + − + + + − +

= − + − − −= − − +

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 4

2 2 4 4

2 4 4 8 16

2 6 17 4 4

2 10 16

13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )

x a x x a x a x a x

ax x ax x ax x a x a x a x

ax x x ax x a x a ax ax x

ax x x a a ax ax x

x x ax a a

+ + + − + + − −

= + + + − + + + − − −

= + + − − − − − − − +

= − + − − + + −

= − + + − −

3 1 1 2

3 3 2 2

4 3 2 2

3

2 5

2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( ) ( )a b c a b c a b c

a b c a b c

a b c a b c

a ab ac a ab ac

ab b bc ab b bc

ac bc c ac bc c

a ab ac b bc c a ab ac b bc c

a b c

a b c

a ab ac

ab b bc

ac bc c

a ab

+ − + − + − + ++ − − ++ − − +

+ − − ++ + − − + −

− − + + − +

+ − + − + − + + − +

+ ++ +

+ ++ + +

+ + +

+ +

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2 2 2 2 2 2

2 2ac b bc c

a ab ac b bc c

a ab ac b bc c

a ab ac b bc c

a ab ac b bc c

a b c ab ac bc

+ + +

+ − + − +− + + − +

− − − − − −

− − + − +

⇒ + + − − −

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 6

2 2 6

15. 15. 15. 15. 15. ( ) ( ) ( )x x x x x x

x x x x

x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x x x x x

x x

x x

x x x x

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

4 3 2 4 3 2

3 2 3 2

2 2

4 3 2 4 3 2

2

2

4 3 2

3 2 3

3 2

3 2

3 2

3 2

3 3 9 2 2 4

2 5 6 9 2 3 4 4

3

3

3

+ − − − + + − −

+ − + −+ − + −

+ − + −+ + − + + −

− − + − − +

+ − − + + − − +

− −− −

− − 4 3 2

3 2 4 3 2

2 4 3 2

4 3 2 4 3 2

2 5 6 9

3 2 3 4 4

3 3 9 2 5 6 9

2 5 6 9 2 7 4 14

+ − − +− + + − − + + −

− + + − − + +

− − + + − − + +

x x x

x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x

17. 17. 17. 17. 17. ( )[ ] ( )[ ][ ][ ][ ][ ]

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x x

x x

+ − − + + −

= + − − − + −

= − − + −

= − − + + −

= − +

2 3 3 1 4

2 3 3 1 4

3 3 2 1 4

6 3 6 3 4

5 5 3

2

2

2

2 2

2

19. 19. 19. 19. 19. ( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]( )[ ] [ ]

[ ][ ][ ] [ ]

m n m n m n m n m n m n

m n m mn n m n m n

m n m mn n m n

mn n m n

m n mn mn n

m n mn n

+ − − + + + − −

= − − + + + − +

= − − − − − +

= − − − +

= − + −

= − −

2 3

2 2 2 3 3

2 5

2 2 5

2 10 2 10

2 8 10

2 2 2 2

2 2 2 2

2

2 2 2 3

2 2 3

EJERCICIO 48

1. 1. 1. 1. 1. ( )[ ][ ]

x a x

x a x

x a x

x a

− + − +

= − − += − + −= − −

3 2 1

3 2 2

3 2 2

3 3 2

2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )[ ][ ]

− + − + − +

= − − − − += − − − + −= − − + ⇒ − + −

a b a b a

a b a ab b

a b a ab b

a b ab a ab b

3 2 2

3 2 2

6 3 6

7 7 3 7 3 7

16. 16. 16. 16. 16. ( ) ( )( ) ( )x y z x y x y x xy y

x y z x y

x y z x y

x xy xz x xy

xy y yz xy y

xz yz z x y

x xy xz y yz z

x xy xz y yz z

x y

x xy y

x xy xz y yz z

x y z

+ + − + − + + ++ + ++ + −

+ + ++ + + − −

+ + + −

+ + + + +

+ + + + +− +

+ +

+ + + + +⇒ + +

2 2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

3

2 2 2

2 2 2

3 3 3

3 5 2 5 2

3 5 + + +5 2 2xy xz yz

18. 18. 18. 18. 18. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ][ ][ ][ ][ ]

3 2 4 1 3 4 2 2

3 6 4 4 3 12 2 4

2 8

8 2 16

6 16

2

2

x x x x

x x x x

x x

x x x

x x

+ − + + − +

= + − − + − −

= − + +

= − − + += − − +

20. 20. 20. 20. 20. ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ]( )[ ][ ]

[ ][ ][ ][ ]

x y x y x y x y x y x

x xy y x xy y x y xy x

x xy y x xy y xy y

x xy y xy y

x y x y x y xy xy y

x y x y xy y

+ − − + − + −

= + + − − + − + −

= + + − + − −

= − + − −

= − + + − − +

= − + − +

2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

3 2 2 2 2 3 3 4

3 2 2 3 4

3

2 3 2

2 3 6 3

2 8 2

2 2 8 8 2 2

2 10 10 2

3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( ) ( )[ ][ ][ ]

− − + − − + − +

= − − + − − − − −

= − − − −= + +

3 2 2 2 3 2 1

3 2 2 2 2 6 3

4 6 3

4 6 3

x y x y x y x

x y x y x y x

x y

x y

4. 4. 4. 4. 4. ( )[ ]{ }[ ]{ }

{ }{ }

4 3 5 2

4 3 5 2

4 3 5 2

4 4 5

4 4 5

3 4 5

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x

x x x

x x

− − + − − + −

= − − + − − + −

= − − + + − +

= − − + +

= + − −= + −

5. 5. 5. 5. 5. ( )( )[ ]{ }( )[ ]{ }

[ ]{ }[ ]{ }

{ }

2 3 2 3 2 2

2 3 2 3 2 2

2 3 2 3 2 2 4 2

2 3 2 3 3 2 4

2 3 6 6 4 8

2 3 6 6 4 8

4 3 4 8 4 4 3 8

a x a x a b a

a x a x a b a

a x a x a b a

a x a x b

a x a x b

a x a x b

a x b a b x

− − + − + − − + − +

= − − + − + − − + − −

= − − + − + + − + +

= − − + + − +

= − − + + − += + − − + −= − − + − ⇒ − + − −

6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ]

[ ]

a x y x y x y x y

a x y x y x y x y

a x y x y

a x y x y

a x y

− + − − + − − − − −

= − − − + + − + + +

= − + + += − + + += − +

3 2 2 2

3 3 2 2 2 2

4 2 2 4

4 2 2 8

2 10

7.7.7.7.7. ( ) ( ) ( )[ ]{ }[ ]{ }

[ ]{ }{ }{ }

m m n m m n n m n

m m n m m n n m n

n m m n

n m m n

n m n

n m n

n m m n

− + − − + − + + − + − + −

= − − − − + − + − + − − +

= − − − + − + −

= − − − − + −

=− − − + −= − + − += − + + ⇒ − +

3 2 2 2 1 1

3 2 2 2 2 1

3 2 3 2 1

3 2 3 2 1

3 5 2 1

15 6 3

7 15 3 15 7 3

8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( ) ( )[ ]{ }[ ]{ }

[ ]{ }{ }{ }

− − − + − − + − + − + −

= − + − − − − + − + − + −

= − − − − + − −

= − − − − + − −

= − − − − −= − − − + += − + +

2 3 2 4 2 2 1 2

2 2 3 6 4 2 2 1 2 2

5 4 4 2 2 1

5 4 4 2 2 2 2

5 4 4 3 4 2

5 4 12 16 8

17 12 8

a b a b a b a b a b

a b a b a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

a b a b

a b a b

a b

9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ){ }[ ]{ }[ ]{ }[ ]

[ ][ ]

− + − − + − + − − − − +

= − − − − + − + − − + + +

= − − − − + − + −

= − − − − − + −

= − − − − + −= − − + − += − − +

5 2 2 3 1 2

5 5 2 2 3 1 2

3 5 2 2 2 2 2

3 5 2 4 4 4

3 5 2 3 4

3 5 2 3 4

8 4

x y x y x y x y x

x y x y x y x y x

x y x y x y

x y x y x y

x y x y

x y x y

x y

10.10.10.10.10. ( ) [ ]( ){ }[ ]( ){ }[ ]

( ){ }[ ]{ }[ ]{ }[ ]

[ ]

m m n m n m n m

m m n m n m n m

m n m n m

m n m n m

m n m n

m n m n

m n m n

m n

− + + − − − + − − − + +

= − − + − − − + − − + − +

= − − + − − − + − +

= − − + − − + +

= − − + − − +

= − − + − + −= − − − + −= − + −

3 2 2 3 1

3 3 2 2 3 3 3

2 3 5 4 5

2 3 5 4 5

2 3 6 4 5

2 3 6 4 5

2 3 6 4 5

8 5

11.11.11.11.11. ( ) ( )[ ]{ } ( )[ ]{ }[ ]{ } [ ]{ }[ ]{ } { }

{ }

− − + − − − + − − − +

= − + + − − − − − − − −

= − + + − − − − +

= − + + + − −= − + + += +

3 2 2 4 2 3

3 6 2 4 2 3 3

3 6 2 4 5 3

3 6 2 20 12

4 5 40 24

36 29

x y x x y x y

x y x x y x y

x y x y x y

x y x y x y

x y x y

x y

12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }[ ]{ }[ ]{ }

{ }{ }

5 3 2 3 2

5 3 2 3 2 2

5 3 6 3

5 2 18 9

5 16 10

80 50

− + − − + − + + − − + − + −

= − − − − + − − − − − + −

= − − − − + −

= − − + −

= −= −

a b a b a b a b a b a

a b a b a b a b a b a

a b a b a

a b a b

a b

a b

13. 13. 13. 13. 13. ( )[ ]{ } ( )[ ]{ }[ ]{ } [ ]{ }

{ } { }

− − + − + − − − − −

= − − − + − − +

= − − − − −= − + + += +

3 4

3 4

3 4

3 3 4 4

7

a b a b

a b a b

a b a b

a b a b

a b

14.14.14.14.14. ( ) ( )[ ]{ } ( )[ ]{ }[ ]{ } [ ]{ }

{ }{ }{ }{ }

− + − − + − + − + − − − + − +

= − + − + + − + − − + − − − +

= − − + + + − − +

= − − + + + + −

= − − + −= − +

a b a b a b a b a a

a b a b a b a b a a

a b a b a

a b a b

a b

a b

2 3 2 3 1 3 2 1

2 2 3 2 3 3 3 3 2 2

3 3 2 3 3 6

4 3 6 3 6 9

9 3

9 3

EJERCICIO 49

1. 1. 1. 1. 1. − ÷ =−24 8 3

2. 2. 2. 2. 2. − ÷− =63 7 9

3. 3. 3. 3. 3. − ÷− = =−5 5 52 2 1a a a a

4.4.4.4.4. 14 2 7 73 4 2 3 1 4 2 2 2a b ab a b a b÷ − = − = −− −

5. 5. 5. 5. 5. − ÷ = − = −− −a b c a b a b c c3 4 3 4 3 3 4 4

6.6.6.6.6. − ÷− = =− −a b ab a b a2 2 1 1 1

7. 7. 7. 7. 7. 54 6 9 92 2 3 2 3 2 1 2 2 3 3x y z xy z x y z x÷ − = − = −− − −

8. 8. 8. 8. 8. − ÷ = − =−− −5 5 52 2 2 2 1 1m n m n m n

9. 9. 9. 9. 9. − ÷− = =− −8 8 12 3 2 3 2 2 3 3a x a x a x

10. 10. 10. 10. 10. − ÷ = − = −−

xy yxy xy2

2 1

22 2

11. 11. 11. 11. 11. 5 65

6

5

64 5 4 4 4 5 1 4x y x y x y y÷ − = − = −− −

12. 12. 12. 12. 12. − ÷ =− =−−a b c c a b c a b8 9 4 4 8 9 4 4 8 981

8

1

8

13. 13. 13. 13. 13. 16 516

5

16

56 4 3 6 4 3 6m n n m n m n÷ − = − = −−

14. 14. 14. 14. 14. − ÷− = =− −108 2010820

275

7 6 8 6 8 7 6 6 8 8 7a b c b c a b c a

15. 15. 15. 15. 15. − ÷− = =− −2 32

3

2

32 6 6 2 1 6 6m n mn m n m

16. 16. 16. 16. 16. a a ax x÷ = −2 2

17. 17. 17. 17. 17. − ÷ =− − −3 32 1 2a b ab a bx m x m

18. 18. 18. 18. 18. 5 65

6

5

63 4 3 4 1 1 3 4a b c a b c a b c a bm n m n m n÷ − = − = −− − − − −

19. 19. 19. 19. 19. a b a b a bx m m n x m m n÷ − = − − −41

4

20. 20. 20. 20. 20. − ÷ − = =− − − − −3 53

5

3

53 2 3 2 3 3 2m n x m n x m n x m na x x a x x a x x

EJERCICIO 50

1. 1. 1. 1. 1. a a a a am m m m m m+ + + − + + − −÷ = = =3 2 3 2 3 2b g

3.3.3.3.3. − ÷ − = = =− − − − − − − +3 53

5

3

5

3

52 5 2 5 2 5 3a a a a am m m m m mb g

5. 5. 5. 5. 5. − ÷− = =− − − − − −4 54

5

4

52 3 2 2 3 2 5 2a b a b a b a bx n x n x n

7.7.7.7.7. 5 65

6

5

62 1 3 2 2 4 2 1 2 2 3 4a b a b a b abm x m x m m x x− − − − − − + − − +÷ − = − = −

9. 9. 9. 9. 9. a b a b a b a bm n x a m a m n m x a a n x+ + + − + −÷ = =

2. 2. 2. 2. 2. 2 2 2 24 2 4 2 4 2 2x x x x xa a a a a a+ + + − + + − −÷ − = − = − = −b g

4.4.4.4.4. x x x x xn n n n n n n2 3 4 2 3 4 2 3 4 141

4

1

4

1

4+ + + − + + − − −÷ − = − = − = −b g

6. 6. 6. 6. 6. − ÷− = =+ − + − − − − −7 87

8

7

83 1 4 2 3 4 1 2 1 3x y x y x y x ym m m m m m

8. 8. 8. 8. 8. − ÷ =− = −− + − + − − + + − −4 545

45

1 1 1 1 1 1 1 1x y x y x yn n n n n n n n

10. 10. 10. 10. 10. − ÷ =− − − −5 65

62 3 1 2 3ab c a b c a b cm n x m n x

EJERCICIO 51

1. 1. 1. 1. 1. 12

23

1223

34

2 2 2x x x÷ = =

2.2.2.2.2.− ÷− = = =− −3

545

3545

1520

34

3 2 3 2 1 1a b a b a b a a

3.3.3.3.3.2

3

1

6

2316

12

345 3 3 5 3 3 5 5xy z z xy z xy xy÷ − = − = − = −−

4.4.4.4.4.− ÷ − = = =− − − − − −7

8

3

4

7834

28

24

7

62 1 2 1 2 1 2a b ab a b a b a bm n m n m n m n

5.5.5.5.5. − ÷− = = =2

92

292

2

18

1

94 5 4 5 4 5 4 5x y x y x y x y

6. 6. 6. 6. 6. 31

3

313

94 5 6 4 5 4 4 5 1 6 5 4m n p m np m n p n p÷ − = − = −− − −

7. 7. 7. 7. 7. − ÷ − = = =− − −7

8

5

2

7852

14

40

7

202 5 6 5 6 2 1 5 5 6 6a b c ab c a b c a a

8. 8. 8. 8. 8. 23

35

2335

109

2 1 2 1 2a b ab a b a bx m x m x m÷ − = − = −− − − −

9. 9. 9. 9. 9. − ÷ = − = − = −− − −3

8

3

4

3834

12

24

1

23 5 3 5 3 5 3 5c d d c d c d c dx x x x

10.10.10.10.10.3

4

3

2

3432

6

12

1

23 3 3 3a b b a b a b a bm n m n m n m n÷ − = − = − = −− − −

11.11.11.11.11. − ÷ − = =+ − + − − − −212

212

44 3 4 3 4 4 3 3 6a b a b a b a bx m x m x m

12.12.12.12.12. − ÷

= − = − = −

− + − −

− − + + − +

1

15

3

51

1535

5

45

1

9

3 5 2 4 1

3 4 5 1 2 6 2 6 2

a b c a b

a b c ab c ab c

x m x m

x x m m

EJERCICIO 52

1. 1. 1. 1. 1. a ab aa ab

aaa

aba

a b22 2

− ÷ = − = − = −

2.2.2.2.2. 3 5 3

3 5

3

3

3

5

3

5

3

2 3 2 4 2

2 3 2 4

2

2 3

2

2 4

23 2 2

x y a x x

x y a x

x

x y

x

a x

xy a x

− ÷ −

=−

−=

−−

−= − +

3. 3. 3. 3. 3. 3 5 6

2

3

2

5

2

6

2

3

2

5

23

3 2 2 3

3 2 2 32 2 3

a ab a b

a

a

a

ab

a

a b

aa b ab

− −−

=−

−−

−−

= − + +

4. 4. 4. 4. 4. x x x

xxx

xx

xx

x x3 2 3 2

24 44 1

− + = − + = − +

5. 5. 5. 5. 5. 4 10 5

2

42

102

52

2 552

8 6 4

3

8

3

6

3

4

35 3

x x x

x

x

x

x

x

x

xx x x

− −

= − − = − −

6. 6. 6. 6. 6. 6 8 20

2

6

2

8

2

20

23 4 10

3 2 2

3 2 22 2

m m n mn

m

m

m

m n

m

mn

mm mn n

− +−

=−

−−

+−

= − + −

7. 7. 7. 7. 7. 6 33

63

33 3

213

8 8 6 6 2 3

2 3

8 8

2 3

6 6

2 3

2 3

2 36 5 4 3

a b a b a ba b

a ba b

a ba b

a ba b

a b a b

− −

= − − = − −

8.8.8.8.8. x x x x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx x x

4 3 2

4 3 23 2

5 10 15

5

5

5

5

10

5

15

5

1

52 3

− − +−

=−

−−

−−

+−

= − + + −

9. 9. 9. 9. 9. 8 10 20 122

82

102

202

122

4 5 10 6

9 2 7 4 5 6 3 8

2

9 2

2

7 4

2

5 6

2

3 8

2

7 2 5 4 3 6 8

m n m n m n m nm

m nm

m nm

m nm

m nm

m n m n m n mn

− − +

= − − +

= − − +

10. 10. 10. 10. 10. a a

aaa

aa

a ax m x m

x m+ = + = +− −

− −1

2 2

1

22 3

11. 11. 11. 11. 11. 2 3 63

2

3

3

3

6

3

2

32

2 4

3

3

2

3

4

33 1 1

a a aa

aa

aa

aa

a a a

m m m

m m mm m m

− +−

=−

−−

+−

= − + −

+ +

+ +− − +

12. 12. 12. 12. 12. a b a b a ba b

a ba b

a ba b

a ba b

a b a b a b

m n m n m n

m n m n m n

m n m n m n

+ −

= + −

= + −

− + − +

− + − +

− − − − − +

1 2 2 4

2 3

2 3

1 2

2 3

2 4

2 3

2 3 3 1 4 1

13. 13. 13. 13. 13. x x x xx

xx

xx

xx

xx

x x x x x x x x

m m m m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

+ + −

−

+

− −

+

−

−

−

− + −

= − + −

= − + − ⇒ + − −

2 1 1

2

2

2 2

1

2

1

2

4 2 3 4 3 2

5 6

5 6

5 6 6 5

14. 14. 14. 14. 14. 4 6 82

42

62

82

2 3 4

4 1 3 2 2 3

2 4

4 1

2 4

3 2

2 4

2 3

2 4

2 3 2

a b a b a ba b

a ba b

a ba b

a ba b

a b ab b

x m x m x m

x m

x m

x m

x m

x m

x m

x m

+ − + − + −

+ −

+ −

+ −

+ −

+ −

+ −

+ −

− +−

=−

−−

+−

= − + −

EJERCICIO 53

1.1.1.1.1. 1223

2323

34

66

34

1

2x

x

x

xx x− = − = −

2. 2. 2. 2. 2.

13

35

35

35

14

35

59

1515

512

59

512

3 2

3 2 3 2

a a a

a a a a a a

−−

−+

−

= − + − = − + −

3.3.3.3.3. 1414

2314

3814

4

4

8

3

12

8

8

3

3

2

4

2

3

2

2 2

2

2 2 2 2

m

m

m n

m

m n

m

m mn n m mn n

− +

= − + = − +

4. 4. 4. 4. 4. 23

15

15

15

14

15

15

10

3

5

5

5

45

10

3

5

45

4 3

3

3 4

3

2 5

3

6

3

3 2 2 3

3 2 2 3

x y

xy

x y

xy

x y

xy

xy

xy

x x y xy y

x x y xy y

−−

−+

−−

−

= − + − +

= − + − +

5. 5. 5. 5. 5.

255

13

5 5

2

25

1

15

1

5

5 3 35

4 2 3 5a

a

a b

aab

aa a b b− − = − −

EJERCICIO 54

6. 6. 6. 6. 6.

1312

14

12

23

24

23

12

1

1 2 1 2a

a

a

aa a a a

m m

m m m m+ = + = +−

− − − −

7. 7. 7. 7. 7. 2316

1416

25

16

123

64

125

4125

32

1

2

1

2 2

3 2 3 2

a

a

a

a

a

a

a a a a a a

x

x

x

x

x

x

+

−

−

− −− −

= − − ⇒ − −

8. 8. 8. 8. 8. −

−+

−−

−

= − +

= − +

− + + +

− − − − −

− − − − −

34

25

18

25

23

25

158

516

106

158

516

53

1 2

3 2

1

3 2

1

3 2

4 3 1 2 2

4 3 1 2 2

a x

a x

a x

a x

a x

a x

a x a x a x

a x a x a x

n m n m n m

n m n m n m

n m n m n m

1. 1. 1. 1. 1. a a a

a a a

a

a

2

2

2 3 3

3 1

3

3

+ − +

− − −

− −+ +

2.2.2.2.2. a a a

a a a

a

a

2

2

2 3 1

3

3 3

3 3

− − +

− − −

− −+ +

3 .3 .3 .3 .3 . x x x

x x x

x

x

2

2

20 5

5 4

4 20

4 20

+ − +

− − −

− −+ +

4. 4. 4. 4. 4. m m m

m m m

m

m

2

2

11 30 6

6 5

5 30

5 30

− + −

− + −

− ++ −

5. 5. 5. 5. 5. x x x

x x x

x

x

2

2

8 15 3

3 5

5 15

5 15

− + − +

− + − +

− ++ −

6. 6. 6. 6. 6. a a a

a a a

a

a

2

2

5 6 2

2 3

3 6

3 6

+ + +

− − +

+− −

7. 7. 7. 7. 7. 6 2 2

6 3 3 2

4 2

4 2

2 2

2

2

2

x xy y x y

x xy x y

xy y

xy y

− − +

− − −

− −

+ +

8. 8. 8. 8. 8. − + − − +

+ − −

−

− +

15 22 8 3 2

15 10 5 4

12 8

12 8

2 2

2

2

2

x xy y x y

x xy x y

xy y

xy y

9. 9. 9. 9. 9. 5 8 21 3

5 15 5 7

7 21

7 21

2 2

2

2

2

a ab b a b

a ab a b

ab b

ab b

+ − +

− − −

− −

+ +

10. 10. 10. 10. 10. 14 22 12 7 3

14 6 2 4

28 12

28 12

2

2

x x x

x x x

x

x

+ − −

− + +

−− +

11.11.11.11.11. − + − − +

+ − −

−

− +

8 12 4

8 8 8 4

4 4

4 4

2 2

2

2

2

a ab b a b

a ab a b

ab b

ab b

12. 12. 12. 12. 12. 6 11 5

6 6 6 5

5 5

5 5

2 2

2

2

2

m mn n m n

m mn m n

mn n

mn n

− + −

− + −

− +

+ −

13. 13. 13. 13. 13. − + + − +

+ − +

− +

+ −

54 12 32 9 8

54 48 6 4

36 32

36 32

2 2

2

2

2

m mn n m n

m mn m n

mn n

mn n

14. 14. 14. 14. 14. − + + − −

+ + −

+ +− −

14 71 33 7 3

14 6 2 11

77 33

77 33

2

2

y y y

y y y

y

y

15. 15. 15. 15. 15. x y x y

x x y x xy y

x y

x y xy

xy y

xy y

3 3

3 2 2 2

2

2 2

2 3

2 3

− −

− + + +

− +

−

− +

16. 16. 16. 16. 16. a a b ab b a b

a a b a ab b

a b ab

a b ab

ab b

ab b

3 2 2 3

3 2 2 2

2 2

2 2

2 3

2 3

3 3

2

2 3

2 2

− + − −

− + − +

− +

+ −

−

− +

17. 17. 17. 17. 17. x x x x

x x x x

x x

x x

x

x

4 2

4 3 3 2

3 2

3 2

9 3 3

3 3 1

3 9

3 9

3

3

− + + +

− − − +

− −

+ +

+− −

18. 18. 18. 18. 18. a a a

a a a a a

a

a a

a a

a a

4

4 3 3 2

3

3 2

2

2

1+ +

− − − +

−

+ +

+

− −

19. 19. 19. 19. 19. m n m n

m m n m m n n

m n

m n m n

m n n

m n n

6 6 2 2

6 4 2 4 2 2 4

4 2

4 2 2 4

2 4 6

2 4 6

− −

− + + +

− +

−

− +

20.20.20.20.20. 2 7 3 2 3

2 3 2 3 1

4

4 6

6 7

6 9

2 3

2 3

4 3

4 3 3 2

3

3 2

2

2

x x x x

x x x x x

x

x x

x x

x x

x

x

− + − +

− − − + −

−

+ +

+

− −

− −+

21. 21. 21. 21. 21. 3 12 5 10 2

3 6 3 6 5

6 12

6 12

5 10

5 10

5 2 2

5 3 3

3

3

2

2

y y y y

y y y y

y y

y y

y

y

− + + +

− − − +

− −

+ +

+

− −

22. 22. 22. 22. 22. am am a am a

am am m m m

am

am am

am am

am am

am a

am a

4

4 3 3 2

3

3 2

2

2

2

2

2 2

2 2

− − +

− − − + −

−

+ +

−

− −

− −+ +

23. 23. 23. 23. 23. 12 35 33 10 4 5

12 15 3 5 2

20 33

20 25

8 10

8 10

3 2 2 3

3 2 2 2

2 2

2 2

2 3

2 3

a a b ab b a b

a a b a ab b

a b ab

a b ab

ab b

ab b

− + − −

− + − +

− +

+ −

−

− +

24. 24. 24. 24. 24. 15 5 9 3 3 3

15 5 5 3

9 3

9 3

3

3

5 4 3 2 2 3 4 5

5 4 4 2 2 4

3 2 2 3

3 2 2 3

4 5

4 5

m m n m n m n mn n m n

m m n m m n n

m n m n

m n m n

mn n

mn n

− − + + − −

− + − +

− +

+ −

−

− +

EJERCICIO 55

1.1.1.1.1. a a a a a

a a a a a

a a a

a a a

a a

a a

4 2 2

4 3 2 2

3 2

3 2

2

2

2 1 1

1

2 2

1

1

− − − + +

− − − − −

− − −

+ + +

− − −

+ + +

2. 2. 2. 2. 2. x x x x x

x x x x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

5 2 2

5 4 3 3 2

4 3 2

4 3 2

3 2

3 2

12 5 2 5

2 5 2

2 5 12

2 4 10

2 5

2 5

+ − − +

− + − + −

− +

− + −

− + −

+ − +

3. 3. 3. 3. 3. m m n m n mn m mn n

m m n m n m m n mn

m n m n m n

m n m n m n

m n m n mn

m n m n mn

5 4 2 3 4 2 2

5 4 3 2 3 2 2

4 3 2 2 3

4 3 2 2 3

3 2 2 3 4

3 2 2 3 4

5 20 16 2 8

2 8 3 2

3 8 20

3 6 24

2 4 16

2 4 16

− + − − −

− + + − +

− + +

+ − −

− −

− + +

4. 4. 4. 4. 4. x x x x x

x x x x x

x x

x x x

x x

x x

4 2 2

4 3 2 2

3

3 2

2

2

2 1 1

1

2

1

1

− − − − −

− + + + +

+ −

− + +

− −

− + +

5. 5. 5. 5. 5. x x x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x

x x

x x

6 5 3 2 4 2

6 4 2 2

5 4 3 2

5 3

4 2

4 2

2 6 7 4 6 3 2

3 2 2 3

2 3 6 9 4

2 6 4

3 9 6

3 9 6

− + − − + − +

− + − − +

− + + − −

+ − +

− +

− + −

6. 6. 6. 6. 6. m m m m m m m m

m m m m m

m m m

m m m

6 5 4 2 3 2

6 5 4 3 3

3 2

3 2

4 4 1 4 1

4 1

4 1

4 1

+ − + − − + − −

− − + + +

+ − −

− − + +

7. 7. 7. 7. 7. a a a a a a

a a a a a

a a a

a a a

a a

a a

5 4 2 2

5 4 3 3

3 2

3 2

2

2

7 27 10 5

5 5 2

5 7 27

5 5 25

2 2 10

2 2 10

− + − + − +

− + − − +

− + −

+ − +

− +

− + −

8. 8. 8. 8. 8. − + − + − +

+ − + − + +

+ −

− + −

− +

− + −

x x y xy y x xy y

x x y x y x xy y

x y x y xy

x y x y xy

x y xy y

x y xy y

4 3 3 4 2 2

4 3 2 2 2 2

3 2 2 3

3 2 2 3

2 2 3 4

2 2 3 4

3 5 3 2

2 3

5

2

3 6 3

3 6 3

9. 9. 9. 9. 9. n n n n n

n n n n

n n

n n

4 3 2

4 3 2 2

2

2

2 2 1 2 1

2 1

2 1

2 1

− + − − +

− + − −

− + −

+ − +

10.10.10.10.10. a b a b a b ab a b ab b

a b a b a b a a b ab

a b a b a b

a b a b a b

a b a b ab

a b a b ab

5 4 2 2 4 5 2 2 3

5 4 2 3 3 3 2 2

4 2 3 3 2 4

4 2 3 3 2 4

3 3 2 4 5

3 3 2 4 5

5 22 40 2 10

2 10 3 4

3 10 22

3 6 30

4 8 40

4 8 40

− + − − −

− + + − +

− + +

+ − −

− −

− + +

11. 11. 11. 11. 11. 16 24 27 8 12 6 9

16 24 12 18 2 3

24 36 18 27

24 36 18 27

4 2 2 4 3 2 2 3

4 3 2 2 3

3 2 2 3 4

3 2 2 3 4

x x y y x x y xy y

x x y x y xy x y

x y x y xy y

x y x y xy y

− − − + −

− + − + +

− + −

− + − +

12.12.12.12.12. 4 4 13 3 20 2 5

4 10 2 3 4

6 13

6 15

2 3

2 5 20

8 20

8 20

4 3 2

4 3 3 2

3 2

3 2

2

2

y y y y y

y y y y y

y y

y y

y y

y y

y

y

+ − − − +

− − − + −

− −

+ +

−

− − −

− −+

13.13.13.13.13. − − + − − − + +

+ − − − −

+ − −

− + +

− −

− + +

2 3 5 11 3 2 3

2 4 6 2 3

3 6 11

3 6 9

2 3

2 3

5 4 3 2 4 5 3 2 3

5 3 2 2 3 2 2

4 3 2 2 3 4

4 2 3 4

3 2 4 5

3 2 4 5

a a x a x ax x a ax x

a a x a x a ax x

a x a x a x ax

a x a x ax

a x ax x

a x ax x

14. 14. 14. 14. 14. − + − − − + +

+ − + + − − −

− + + −

+ − + +

− + − −

+ − + +

x x y x y xy x x y x y xy

x x y x y x y x xy y

x y x y x y x y

x y x y x y x y

x y x y x y xy

x y x y x y xy

6 5 2 4 5 4 3 2 2 3

6 5 4 2 3 3 2 2

5 4 2 3 3 2 4

5 4 2 3 3 2 4

4 2 3 3 2 4 5

4 2 3 3 2 4 5

2 3 3 2

3 2

2 3

3 2

3 2

3 2

15. 15. 15. 15. 15. a a a a a a

a a a a a a

a a a a

a a a

a a a a

a a a

a a

a a

6 5 2 3

6 4 3 3 2

5 4 3 2

5 3 2

4 3 2

4 2

3

3

5 31 8 21 2 7

2 7 5 2 3

5 2 7 31

5 10 35

2 3 4 8

2 4 14

3 6 21

3 6 21

− + − + − −

− + + − + −

− + + +

+ − −

− − −

− + +

− + +

+ − −

16. 16. 16. 16. 16. m m m m m m m

m m m m m m

m m m m m

m m m m

m m m

m m m

6 5 3 4 3 2

6 5 4 2 2

5 4 3 2

5 4 3

4 3 2

4 3 2

5 6 9 3

3 2 3

2 5 3 6

2 2 2 6

3 3 3 9

3 3 3 9

− + − + + − +

− − + − − +

− + + − −

+ + − +

+ − +

− − + −

17. 17. 17. 17. 17. a a b a b a b ab b a ab b

a a b a b a a b a b ab b

a b a b a b

a b a b a b

a b a b

a b a b a b

a b a b ab

a b a b ab

a b ab b

a b ab b

6 5 4 2 3 3 5 6 2 2

6 5 4 2 4 3 2 2 3 4

5 4 2 3 3

5 4 2 3 3

4 2 3 3

4 2 3 3 2 4

3 3 2 4 5

3 3 2 4 5

2 4 5 6

2 4 5 6

4 6 3 2

2 3

5 6

2

3 5

3 6 3

3 3

2

2

2

− − + − + − +

− + − + − − +

− +

− + −

− +

+ − +

− + −

+ − +

− +

− + −

18. 18. 18. 18. 18. x x y x y x y xy y x xy y

x x y x y x x y x y xy y

x y x y

x y x y x y

x y x y

x y x y x y

x y xy

x y x y xy

x y xy y

x y xy y

6 4 2 3 3 2 4 5 6 2 2

6 5 4 2 4 3 2 2 3 4

5 3 3

5 4 2 3 3

4 2 2 4

4 2 3 3 2 4

3 3 5

3 3 2 4 5

2 4 5 6

2 4 5 6

2 2 2 3 2 2

2

2

2

2

2

3

2

2

2

− + − + − + −

− − + − + − +

− +

+ −

+ −

− − +

− +

+ + −

+ −

− − +

19.19.19.19.19. y y y y y y y

y y y y y

y y y y y

y y y

y y

y y

6 5 4 3 4 2

6 4 2 2

5 4 3 2

5 3

4 2

4 2

2 4 4 2 2 2

2 2 2 1

2 4 2 4

2 4 4

2 2

2 2

− − + − + − +

− + − − +

− + + − −

+ − +

− +

− + −

20. 20. 20. 20. 20. 3 11 18 3 8 4 3 4

3 9 12 3 2 1

2 6 8

2 6 8

3 4

3 4

7 5 4 3 2 4 2

7 5 3 3

5 4 3

5 3

4 2

4 2

m m m m m m m m

m m m m m

m m m m

m m m

m m

m m

− + + − − + − +

− + − − +

− + + −

+ − +

− +

− + −

21. 21. 21. 21. 21. a a a a a a a a a

a a a a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

a a a

a a a

6 5 4 3 2 3 2

6 5 4 3 3 2

5 4 3 2

5 4 3 2

4 3 2

4 3 2

3 2

3 2

2 2 3 2 1 1

2 1

4 2

2 3

2 2 2 2 1

1

1

+ − − + − − + − +

− − + − + − −

− − +

− − + −

− − + −

+ + − + −

− − + −

+ + − +

22. 22. 22. 22. 22. 24 52 38 33 26 4 8 12 6

24 36 18 3 3 2 4

16 56 36 26

16 24 12 2

32 48 24 4

32 48 24 4

5 4 3 2 2 3 4 5 3 2 2 3

5 4 3 2 2 3 2 2

4 3 2 2 3 4

4 3 2 2 3 4

3 2 2 3 4 5

3 2 2 3 4 5

x x y x y x y xy y x x y xy y

x x y x y x y x xy y

x y x y x y xy

x y x y x y xy

x y x y xy y

x y x y xy y

− + − − + − − +

− + + − − +

− + − −

+ − − +

− − +

− − + −

23.23.23.23.23. 5 4 8 5 6 2 4 6 2 2

5 10 10 5 4 2 3

4 2 5 4 2

4 8 8

2 3 4 6 4

2 4 4

3 6 6

3 6 6

8 7 6 5 4 3 2 4 2

8 6 4 4 3 2

7 6 5 4 3

7 5 3

6 5 4 3 2

6 4 2

5 3

5 3

a a a a a a a a a a

a a a a a a a

a a a a a

a a a

a a a a a

a a a

a a a

a a a

− − + + − + − − +

− + − − + −

− + + − −

+ − +

+ − − + +

− + −

− + −

− +

24.24.24.24.24. x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x

x x x x

x x x x

x x x x x

x x x x

x x x x

x x x

x x x

7 6 5 2 3 2

7 6 5 4 4 3 2

6 5 4

6 5 4 3

5 4 3 2

5 4 3 2

4 3 2

4 3 2

3 2

3 2

3 6 3 6 2 3 6

2 3 6 1

3 6

2 3 6

3 6

2 3 6 3

3 5 3

2 3 6 6

2 3 6

2 3 6

− + + − + − + +

− + − − − + − +

− + −

+ − + +

− + +

− + − − −

− + − −

+ − + + +

− + +

− + − −

25. 25. 25. 25. 25. 3 5 9 10 8 3 4 3 2 5 4

3 2 5 4 2 1

3 4 6 8

3 2 5 4

6 12 3

6 4 10 8

3 2 5 4

3 2 5 4

6 5 4 3 2 3 2

6 5 4 3 3 2

5 4 3 2

5 4 3 2

4 3 2

4 3 2

3 2

3 2

a a a a a a a a a

a a a a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

a a a

a a a

+ − − + + − + − −

− − + + + − +

+ − − +

− − + +

− − + +

+ + − −

+ − −

− − + +

26. 26. 26. 26. 26. 5 3 11 11 17 3 4 2 5 3 4 2

5 3 4 2 3 1

15 9 17 3

15 9 12 6

5 3 4 2

5 3 4 2

8 7 6 5 4 3 2 4 3 2

8 7 6 5 4 2

6 5 4 3

6 5 4 3

4 3 2

4 3 2

y y y y y y y y y y y y

y y y y y y

y y y y

y y y y

y y y y

y y y y

− − + − − − − − + +

− + − − − −

− + − −

+ − + +

− + − −

+ − + +

27. 27. 27. 27. 27. − + − + − − + − − + − +

+ − + − − + −

− + −

− + − +

− + − −

+ − + −

m m n m n m n m n m n mn n m m n mn n

m m n m n m n m m n m n n

m n m n m n m n

m n m n m n m n

m n m n m n m n

m n m n m n

7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7 3 2 2 3

7 6 5 2 4 3 4 3 2 2 4

6 5 2 4 3 3 4

6 5 2 4 3 3 4

5 2 4 3 3 4 2 5

5 2 4 3 3 4

5 14 20 13 9 20 4 3 5

3 5 2 3 4

2 9 19 13

2 6 10 2

3 9 11 9

3 9 15 3m n

m n m n mn n

m n m n mn n

2 5

3 4 2 5 6 7

3 4 2 5 6 7

4 12 20 4

4 12 20 4

− + −

− + − +

28. 28. 28. 28. 28. x x y x y x y x y xy x x y xy

x x y x y x x y x y y

x y x y x y

x y x y x y

x y x y x y

x y x y x y

x y x y xy

x y x y xy

11 9 2 7 4 5 6 3 8 10 5 3 2 4

11 9 2 7 4 6 4 2 2 4 6

9 2 7 4 5 6

9 2 7 4 5 6

7 4 5 6 3 8

7 4 5 6 3 8

5 6 3 8 10

5 6 3 8 10

5 8 6 5 3 2 3

2 3 3

3 5 6

3 6 9

3 5

2 3

2 3

2 3

− + − − + − +

− + − − − +

− + −

+ − +

− + −

+ − +

+ − +

− + −

29.29.29.29.29. 3 15 14 28 47 28 23 10 3 6 2 3 2

3 6 2 3 2 3 4 5

9 12 3 30 47 28

9 18 6 9 6

12 15 24 38 22 23

12 24 8 12 8

15 30 10 15 10

9 7 6 4 3 2 5 3 2

9 7 6 5 4 4 2

7 6 5 4 3 2

7 5 4 3 2

6 5 4 3 2

6 4 3 2

5 3 2

a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a

a a a a a a

a a a a a

a a a a a a

a a a a a

a a a a

− + − + − + − − + − +

− + − + − − + −

− + + − + −

+ − + − +

+ − − + − +

− + − + −

− + − + −

+15 30 10 15 105 3 2a a a a− + − +

30.30.30.30.30. a b bc c a b c

a ab ac a b c

ab b ac bc

ab b bc

ac bc c

ac bc c

2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

− + − + −

− − + − +

− − + +

+ + −

+ −

− − +

31. 31. 31. 31. 31. − + − − − + − +

+ − + − + +

+ − −

− + −

− +

− + −

2 5 3 10 2 3 5

2 3 5 2

2 4 3

2 3 5

4 6 10

4 6 10

2 2 2

2

2

2

2

2

x xy xz y yz z x y z

x xy xz x y z

xy xz y yz

xy y yz

xz yz z

xz yz z

32.32.32.32.32. x y xyz z x xy xz y yz z

x x y x z xy xyz xz x y z

x y x z y xy xyz z xz

x y y xy xyz y z yz

x z xyz z xz y z yz

x z xyz z xz y z yz

3 3 3 2 2 2

3 2 2 2 2

2 2 3 2 3 2

2 3 2 2 2

2 3 2 2 2

2 3 2 2 2

3

2

+ − + − − + − +

− + + − + − + +

+ + − − + −

− − + + + −

− + − + −

− + − + − +

33.33.33.33.33. a b a b

a a b a a b a b ab b

a b

a b a b

a b

a b a b

a b

a b ab

ab b

ab b

5 5

5 4 4 3 2 2 3 4

4

4 3 2

3 2

3 2 2 3

2 3

2 3 4

4 5

4 5

+ +

− − − + − +

−

+ +

− −

−

+ +

+

− −

34. 34. 34. 34. 34. 21 21 3 3

21 21 7 7 7 7 7

21

21 21

21

21 21

21

21 21

21 21

21 21

5 5

5 4 4 3 2 2 3 4

4

4 3 2

3 2

3 2 2 3

2 3

2 3 4

4 5

4 5

x y x y

x x y x x y x y xy y

x y

x y x y

x y

x y x y

x y

x y xy

xy y

xy y

− −

− + + + + +

− +

− +

− +

−

− +

35. 35. 35. 35. 35. 16 16 2 2

16 16 8 8 8 8

16

16 16

16

16 16

16 16

16 16

8 8 2 2

8 6 2 6 4 2 2 4 6

6 2

6 2 4 4

4 4

4 4 2 6

2 6 8

2 6 8

x y x y

x x y x x y x y y

x y

x y x y

x y

x y x y

x y y

x y y

− +

− − − + −

−

+ +

− −

− −

+ +

36. 36. 36. 36. 36. x y x y

x x y x x y x y x y y

x y

x y x y

x y

x y x y

x y

x y x y

x y y

x y y

10 10 2 2

10 8 2 8 6 2 4 4 2 6 8

8 2

8 2 6 4

6 4

6 4 4 6

4 6

4 6 2 8

2 8 10

2 8 10

− −

− + + + + +

− +

− +

− +

−

− +

37. 37. 37. 37. 37. x y x y

x x y x x y x y x y y

x y

x y x y

x y

x y x y

x y

x y x y

x y y

x y y

15 15 3 3

15 12 3 12 9 3 6 6 3 9 12

12 3

12 3 9 6

9 6

9 6 6 9

6 9

6 9 3 12

3 12 15

3 12 15

+ +

− − − + − +

−

+

− −

−

+

+

− −

38.38.38.38.38. x x y xy y x xy x y y

x x y xy x xy x x y

x y xy y x xy x

x y xy y xy y y

x xy x y y

x xy x y y

3 2 2 3 2 2

3 2 2 2

2 2 3 2

2 2 3 2

2 2

2 2

3 3 1 2 1

2 1

2 1

2

1 2

1 2

+ + + − + + + + +

− − − − − − + −

+ + − − − −

− − − − − −

− − − − − −

+ + + + + +

39.39.39.39.39. x y x x y x y xy y

x x y x y x y xy x y

x y x y x y xy y

x y x y x y xy y

5 5 4 3 2 2 3 4

5 4 3 2 2 3 4

4 3 2 2 3 4 5

4 3 2 2 3 4 5

+ − + − +

− + − + − +

− + − +

− + − + −

EJERCICIO 56

1. 1. 1. 1. 1. a a a

a a a a a

a

a a

a a

a a

x x

x x x x x

x

x x

x x

x x

+

+ + + +

+

+ +

+

+

+ +

− − − +

−

+ +

+

− −

3

3 2 2 1

2

2 1

1

1

1

2. 2. 2. 2. 2. − + + + +

+ + − + +

+ +

− −

+

− −

+ + + +

+ + + + +

+ +

+ +

+ +

+ +

x x x x x x

x x x x x

x x

x x

x x

x x

n n n n

n n n n n

n n

n n

n n

n n

5 4 3 2 2

5 4 3 2 1

4 3

4 3

3 2

3 2

3

2

2 3

2 2

3. 3. 3. 3. 3. m m m m m m m

m m m m m m m

m m m

m m m

m m m

m m m

m m m

m m m

a a a a a

a a a a a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

+ + + −

+ + + + + −

+ + +

+ + +

+ +

+ +

+ −

+ −

− + − + − +

− + − + − +

− +

− + −

− + −

+ − +

− +

− + −

4 3 1 1 2

4 3 2 2 1 1

3 2 1

3 2 1

2 1

2 1

1 1

1 1

6 5 3 2 3

2 3

3 6

2 3

3 5

2 3

2 3

2 3

4. 4. 4. 4. 4. a a a a a a

a a a a a

a a

a a

a a

a a

n n n n n n

n n n n n

n n

n n

n n

n n

2 3 2 2 2 1 2 1

2 3 2 2 2 1

2 2 2 1

2 2 2 1

2 1 2

2 1 2

4 2

3 2

3

3 3

2 2

2 2

+ + + +

+ + + +

+ +

+ +

+

+

+ + − +

− − + −

+

− −

− −

+

5. 5. 5. 5. 5. x x x x x x x

x x x x x

x x

x x

x x

x x

a a a a a a a

a a a a a

a a

a a

a a

a a

2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 3 1

2 5 2 3 2 1

2 4 2 3

2 4 2 2

2 3 2 1

2 3 2 1

2 3 4 2 2

2 2

2

2 4

2

2

+ + + + + + +

+ + + +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ − − + −

− + + −

+ −

− +

− +

+ −

6. 6. 6. 6. 6. a a a a a a a

a a a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

x x x x x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

+ − − − −

+ +

+ −

+ −

− −

− −

− + − − +

− + − + −

− +

− + −

− + −

+ − +

2 1 2 1 2

2 1 2

1 1

1 1

1 2

1 2

2 8 3 2 3

2 3 2 1

2 5 8

2 4 6

2 3

2 3

7. 7. 7. 7. 7. a a a a a a a a

a a a a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

x x x x x x x x

x x x x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

2 2 1 2 2 2 3 2 4 1 2

2 2 1 2 2 1 2

2 1 2 2 2 3

2 1 2 2 2 3

2 2 2 3 2 4

2 2 2 3 2 4

2 4 5 2

3 2

3 5 5

3 3 3

2 2 2

2 2 2

+ − + − − +

− + − + −

− +

− + −

− + −

+ − +

− − − − − −

− − − −

− − −

− − −

− − −

− − −

9. 9. 9. 9. 9. x x x x x x x

x x x x x x x

x x

x x x

x x

x x x

x x x

x x x

a a a a a a a

a a a a a a a

a a

a a a

a a

a a a

a a a

a a a

2 2 2 3 2 4 2 7 1 2 3

2 2 2 3 2 4 1 2 2 3 4

2 3 2 4

2 3 2 4 2 5

2 4 2 5

2 4 2 5 2 6

2 5 2 6 2 7

2 5 2 6 2 7

4

2

2 3

2 2 2

2

− − − − − − −

− − − − − − −

− −

− − −

− −

− − −

− − −

− − −

+ − − − −

− + + + − +

+ −

− + +

− +

+ − −

+ − −

− + +

10. 10. 10. 10. 10. a b a b a b a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b

a b a b a b a b

n n n n n n n n n

n n n n n n

n n n n

n n n n

2 3 2 1 4 2 2 5 2 4 7 2 5 8 1 2 2 3 3 4

2 3 2 1 4 2 2 5 2 3 6 2 2 4

2 2 5 2 3 6 2 4 7 2 5 8

2 2 5 2 3 6 2 4 7 2 5 8

2 2

2

2

2

− + − + − + −

− + − + −

− + − +

+ − + −

− − − − − − −

− − − −

− − − −

− − − −

11. 11. 11. 11. 11. a a b a b b a b

a a b a b

a b b

a b b

m x m x x m m x x x

m x m x m m

x m m x

x m m x

+ +

+

+

+

+ + + +

− − +

+

− −

12. 12. 12. 12. 12. a a b b ab a b

a a b a b

b ab

b ab

x x n n

x x x n

n n

n n

− + − −

− + −

−

− +

− −

− − −

−

−

1 1

1 1 1

1

1

8.8.8.8.8. − + + − − + − + +

+ − − − − +

+ + −

− + +

− −

− + +

− + +

+ −

+ + + − − − − −

+ + + + + + +

+ +

+ +

+ −

+ −

− −

m m m m m m m m m

m m m m m m m

m m m

m m m

m m m

m m m

m m m

m m

a a a a a a a a a

a a a a a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

a

2 3 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 3

2 3 2 2 2 1 4 3 2 1

2 2 2 1 2

2 2 2 1 2

2 1 2 2 1

2 1 2 2 1

2 2 1 2 2

2

2 2 4

2

4

2 3

2 2 2

2 1 2 2a am− −−

13. 13. 13. 13. 13. 3 23 5 46 30 8 6

3 24 18 3 5

13 46

8 6

5 40 30

5 40 30

5 3 5 2 5 1 5 5 1 3 3 3 2 3 1

5 3 5 2 5 1 2 2 1 2 2

5 2 5 1 5

5 2 5 1 5

5 1 5 5 1

5 1 5 5 1

a a a a a a a a

a a a a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

m m m m m m m m

m m m m m m

m m m

m m m

m m m

m m m

− − − + − − −

− − − + +

− −

− −

− +

− +

− + + − − +

− + − + −

+ − +

− + −

− + −

− +

14.14.14.14.14. 2 4 28 30 4 3

2 8 6 2 4 10

4 6 28

4 16

3 1 2 3 3 2 2 3 2 2 3 3 2 1 2 1 1 1

3 1 2 3 3 2 2 3 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 3

3 2 2 3 1 2 1 3 2 2

3 2 2 3

x y x y x y x y x y x y x y

x y x y x y x y x y x y

x y x y x y

x y x

a x a x a x a x a x a x a x

a x a x a x a x a x a x

a x a x a x

a x a

+ − − − − + + − + +

+ − − − − − − − − −

− − − −

−

− − + − + −

− + − − − −

+ − −

− + − − −

− − − − +

− − − − +

−

− +

− + −

1 2 1 3 2 2

3 1 2 1 3 2 2 3 3 2 1

3 1 2 1 3 2 2 3 3 2 1

12

10 40 30

10 40 30

y x y

x y x y x y

x y x y x y

x a x

a x a x a x

a x a x a x

EJERCICIO 57

1. 1. 1. 1. 1. 1

6

5

36

1

6

1

3

1

216

14

12

13

19

16

1

9

1

6

2 2

2

2

2

a ab b a b

a ab a b

ab b

ab b

+ − +

− − −

− −

+

2. 2. 2. 2. 2. 1

3

7

10

1

3

2

513

215

13

56

56

13

5

6

1

3

2 2

2

2

2

x xy y x y

x xy x y

xy y

xy y

+ − −

− + +

−

− +

3. 3. 3. 3. 3. 1

3

35

36

2

3

3

8

1

2

1

3

1

413

29

16

23

32

34

12

38

34

12

38

3 2 2 3 2 2

3 2 2

2 2 3

2 2 3

x x y xy y x xy y

x x y xy x y

x y xy y

x y xy y

− + − − +

− + − −

− + −

− +

4. 4. 4. 4. 4. 1

1658

53

14

32

116

38

14

23

14

53

14

32

1616

3 2 2 3

3 2 2 2

2 2

2 2

2 3

2 3

a a b ab b a b

a a b a ab b

a b ab

a b ab

ab b

ab b

− + − −

− + − +

− +

−

−

− +

5. 5. 5. 5. 5. 3

5

1

10

17

60

7

6

3

22

3

5

2

5

4

5

2

5

1

3

1

2

1

2

65

60

7

61

2

1

3

2

3

3

4

1

23

4

1

2

4 3 2 2 3 4 2 2

4 3 2 2 2 2

3 2 2 3

3 2 2 3

2 2 3 4

2 2 3 4

m m n m n mn n m mn n

m m n m n m mn n

m n m n mn

m n m n mn

m n mn n

m n mn n

+ − + − − +

− + − + −

− +

− + −

− + −

− +

6. 6. 6. 6. 6. 3

4

1

2

37

40

2

3

19

30

4

52

1

32

3

4

1

8

3

4

3

8

1

4

2

5

1

2

4

5

1

12

19

301

2

1

12

1

2

4

5

2

15

4

54

5

2

15

4

5

5 4 3 2 3

5 3 2 2

4 3 2

4 2

3

3

x x x x x x x

x x x x x

x x x x

x x x

x x

x x

+ − + + − − +

− + − + −

− − +

− + −

− + −

− +

7. 7. 7. 7. 7. 9

4

1

12

13

18

1

3

3

2

2

39

4

3

2

3

2

1

3

1

2

1

2

13

12

13

181

2

1

3

2

9

3

4

1

2

1

33

4

1

2

1

3

4 3 2 2 3 4 2 2

4 3 2 2 2 2

3 2 2 3

3 2 2 3

2 2 3 4

2 2 3 4

a a x a x ax x a ax x

a a x a x a ax x

a x a x ax

a x a x ax

a x ax x

a x ax x

− − + − − +

− + − + −

− +

− + −

− + −

− +

8. 8. 8. 8. 8. 1

14

101

420

139

280

1

2

5

12

2

7

1

5

1

21

14

1

20

1

8

1

4

2

3

5

6

4

21

13

35

1

24

21

2

15

1

3

5

21

1

6

5

125

21

1

6

5

12

5 4 3 2 2 3 4 3 2 2

5 4 3 2 2 2

4 3 2 2 3

4 3 2 2 3

3 2 2 3 4

3 2 2 3 4

x x y x y x y xy x x y xy

x x y x y x xy y

x y x y x y

x y x y x y

x y x y xy

x y x y xy

− + − + − +

− + − − +

− + −

+ − +

− +

− + −

10. 10. 10. 10. 10. 1

2

5

6

99

40

101

60

7

6

5

8

3

4

1

2

2

5

1

41

2

1

3

4

15

1

6

2

3

2

3

5

2

1

2

53

24

91

60

7

61

2

1

3

4

15

1

6

15

8

5

4

5

815

8

5

4

5 4 3 2 2 3 4 5 3 2 2 3

5 4 3 2 2 3 2 2

4 3 2 2 3 4

4 3 2 2 3 4

3 2 2 3 4 5

3 2 2 3 4

m m n m n m n mn n m m n mn n

m m n m n m n m mn n

m n m n m n mn

m n m n m n mn

m n m n mn n

m n m n mn

− + − + − − + −

− + − + − +

− + − +

− + −

− + −

− + − +5

85n

EJERCICIO 58

9. 9. 9. 9. 9. 3

8

21

40

47

120

79

120

1

10

1

10

1

4

1

3

1

4

1

23

8

1

2

3

8

3

4

3

2

1

10

1

5

1

40

1

60

11

120

1

101

40

1

30

1

40

1

20

1

20

1

15

1

20

1

101

20

1

15

1

20

1

10

5 4 3 2 3 2

5 4 3 2 2

4 3 2

4 3 2

3 2

3 2

x x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x

x x x x

x x x

x x x

+ − + + − + − +

− − + − + −

− − +

− − + −

− − + −

+ − +

1. 1. 1. 1. 1. x x x x x x x

x

5 4 2 3 2

2

1 1 0 1 1 1 1 1

1 1 1 1 0 1

1 1 1 1

1 1 1

− + − ÷ − +− + + − − +

− + − + −

− + − ⇒ −+ − +

2. 2. 2. 2. 2. x x x x x x x x

x x x

7 6 5 4 3 2 3 2

4 3 2

11 3 13 19 56 2 7

1 1 11 3 13 19 0 56 1 2 0 7

1 2 0 7 1 3 5 0 8

3 11 10 13 3 5 8

3 6 0 21

5 10 8 19

5 10 0 35

8 16 0 56

8 16 0 56

+ − + − + − ÷ − −+ − + − + + − − + −

− + − + + − + +

− + − ⇒ + − +− + − +

− + + ++ − + −

− + −− + − +

3. 3. 3. 3. 3. a a b a b a b a b ab b a ab b6 5 4 2 3 2 2 4 5 6 2 27 12 13 7 2+ − + − + − ÷ − +

1 1 7 12 13 7 1 1 2 1

1 2 1 1 3 2 5 1

3 8 12 3 2 5

3 6 3

2 9 13

2 4 2

5 11 7

5 10 5

1 2 1

1 2 1

4 3 2 2 3 4

+ − + − + − − +− + − + − + −

− + ⇒ + − + −− + −

− + −− +

− +− + −

− + −+ − +

a a b a b ab b

4. 4. 4. 4. 4. m m n m n m n m n mn n m mn n

m m n mn n

6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 3 2 3

3 2 2 3

5 2 20 19 10 4

1 5 2 20 19 10 1 1 0 4 1

1 0 4 1 1 5 6 1

5 6 21 19 5 6

5 0 20 5

6 1 24 10

6 0 24 6

1 0 4 1

1 0 4 1

− + + − − − ÷ − −− + + − − − + − −

− − + + − + +

− + + − ⇒ − + ++ − −

+ − −− − + +

+ − −− − + +

5. 5. 5. 5. 5. x x x x x x

x x

8 6 4 2 4 2

4 2

2 50 58 15 6 5

1 2 50 58 15 1 6 5

1 6 5 1 8 3

8 45 58 8 3

8 48 40

3 18 15

3 18 15

− − + − ÷ + −− − + − + −

− − + − +

− − + ⇒ − ++ + −

+ −− − +

6. 6. 6. 6. 6. a a a a a a a a a a a14 12 10 8 6 4 2 8 6 4 27 9 23 52 42 20 4 3 2− + + − + − ÷ − + −

1 7 9 23 52 42 20 1 4 3 2

1 4 3 2 1 3 6 10

3 6 25 52 3 6 10

3 12 9 6

6 34 58 42

6 24 18 12

10 40 30 20

10 40 30 20

6 4 2

− + + − + − − + −− + − + − − +

− + + − ⇒ − − +− + −

− + − ++ − + −

− + −− + − +

a a a

7. 7. 7. 7. 7. 3 20 51 70 46 20 3 8 10

3 20 51 70 46 20 3 8 10

3 8 10 1 4 3 2

12 41 70 4 3 2

12 32 40

9 30 46

9 24 30

6 16 20

6 16 20

15 12 9 6 3 6 3

9 6 3

x x x x x x x

x x x

− + − + − ÷ − +− + − + − − +

− + − − + −

− + − ⇒ − + −− +

− +− + −

− + −− +

8.8.8.8.8. m m m m m m m m m m28 24 20 16 12 8 4 12 8 412 53 127 187 192 87 45 7 9 15− + − + − + − ÷ − + −

1 12 53 127 187 192 87 45 1 7 9 15

1 7 9 15 1 5 9 4 3

5 44 112 187 5 9 4 3

5 35 45 75

9 67 112 192

9 63 81 135

4 31 57 87

4 28 36 60

3 21 27 45

3 21 27 45

16 12 8 4

− + − + − + − − + −− + − + − + − +

− + − + ⇒ − + − ++ − + −

− + −− + − +

− + − ++ − + −

− + −− + − +

m m m m

9. 9. 9. 9. 9. 2 6 8 20 24 18 4 2 47 6 5 2 4 3 3 4 2 5 7 2 2x x y x y x y x y x y y x y− − − − − − ÷ +

2 6 8 20 24 18 0 4 2 0 4

2 0 4 1 3 6 4 0 1

6 12 20 3 6 4

6 0 12

12 8 24

12 0 24

8 0 18

8 0 16

2 0 4

2 0 4

5 4 3 2 2 3 5

− − − − − + − + +− − − − − − + −

− − − ⇒ − − − −+ +

− − −+ + +

− + −+ + +

− + −+ +

x x y x y x y y

10.10.10.10.10. 6 12 2 36 6 16 38 44 14 2 79 7 6 5 4 3 2 4 2a a a a a a a a a a a− + − + − + − + ÷ − + −

6 0 12 2 36 6 16 38 44 14 1 0 2 1 7

6 0 12 6 42 6 0 0 4 6 2

4 6 6 16 38 6 4 6 2

4 0 8 4 28

6 2 12 10 44

6 0 12 6 42

2 0 4 2 14

2 0 4 2 14

5 2

+ − + − + − + − + + − + −− − + − + + + − + −

− + + − + ⇒ − + −+ + − + −

− − + −− − + − +

− + + − ++ − − + −

a a a

11.11.11.11.11. n n n n n n n n n n n n n

n n

10 8 7 6 5 4 3 2 6 4 3

4 2

6 5 13 23 8 44 12 32 16 3 5 8 4

1 0 6 5 13 23 8 44 12 32 16 1 0 3 5 0 8 4

1 0 3 5 0 8 4 1 0 3 0 4

3 0 13 15 12 44 12 3 4

3 0 9 15 0 24 12

4 0 12 20 0 36 16

4 0 12 20 0 36 16

− + + − − + − − + ÷ − + − ++ − + + − − + − − + + − + + − +

− − + − − + − + − + +

− + + − − + − ⇒ − ++ + − + + − +

+ − + + − +− + + − − + −

13. 13. 13. 13. 13. x x y x y x y x y x y x y x y y x x y x y y

x x y x y y

16 14 2 12 4 10 6 8 8 6 10 4 12 2 14 16 6 4 2 2 4 6

10 6 4 2 8 10

4 10 21 28 23 9 33 6 4 5

1 4 10 21 28 23 9 33 6 1 4 5 1

1 4 5 1 1 0 5 0 3 6

5 20 28 23 5 3 6

5 20 25 5

3 18 9 33

3 12 15 3

6 24 30 6

6 24 30 6

− − + + − + + − ÷ − − +− − + + − + + − − − +

− + + − + − + + −

− + + − ⇒ − + −+ − − +

− + +− + + −

− + + −+ − − +

15. 15. 15. 15. 15. 7 35 6 78 5 42 7 7 62 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 2 1 3 1a a a a a a a a a ax x x x x x x x x x+ + + + + − + +− + − − − − ÷ + +7 35 6 78 5 42 7 7 0 6 1

7 0 6 1 1 5 0 7

35 0 79 5 5 7

35 0 30 5

49 0 42 7

49 0 42 7

2 1 1

− + − − − − + + +− − − − − + −

− + − − ⇒ − −+ + + +

− + − −− + +

+ + −a a ax x x

16. 16. 16. 16. 16. 6 4 28 21 46 19 12 6 6 4 22 3 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 3 2 4 1 1 2x x x x x x x x x x x xa a a a a a a a a a a a+ + + − − − − + − −− − + − + − − ÷ − + +6 4 28 21 46 19 12 6 6 4 2 1

6 4 2 1 1 0 5 0 6

30 20 46 19 5 6

30 20 10 5

36 24 12 6

36 24 12 6

2 2

− − + − + − − − + +− + − − + − + −

− + − + ⇒ − −+ − + +

− + − −− + +

+ −x x xa a a

17. 17. 17. 17. 17. 6 23 12 34 22 15 3 55 3 5 2 5 1 5 5 1 5 2 2 2 2 1 2 2 1a a a a a a a a a ax x x x x x x x x x+ + + − − + + −− + − + − ÷ − − −

6 23 12 34 22 15 1 3 1 5

6 18 6 30 6 5 3

5 18 4 22 6 5 3

5 15 5 25

3 9 3 15

3 9 3 15

3 1 3 3 1

− + − + − − − −− + + + − +

− + − + ⇒ − ++ − − −

− − −− + + +

+ −a a ax x x

12. 12. 12. 12. 12. 3 4 15 29 13 5 3 5 37 6 5 2 4 3 3 4 6 7 3 2 3x x y x y x y x y xy y x xy y− − + − + − ÷ − +

3 4 15 29 13 0 5 3 1 0 5 3

3 0 15 9 3 4 0 0 1

4 0 20 13 3 4

4 0 20 12

1 0 5 3

1 0 5 3

4 3 4

− − + − + + − + − +− − + − − + + −

− + + − ⇒ − −+ + − +

− + + −− − +

x x y y

14.14.14.14.14. a a a a a am m m m m+ + − −− − + − ÷ −2 1 1 3 23 5 20 25 5

1 3 5 20 0 25 1 0 5

1 0 5 1 3 0 5

3 0 20 3 5

3 0 15

5 0 25

5 0 25

1 3

− − + + − + −− − + − + +

− + + ⇒ − ++ + −

+ + −− − +

− −a a am m m

EJERCICIO 59

1. 1. 1. 1. 1. a b a

aba

b

2 2 2

22

2

2

1

+

− +

2. 2. 2. 2. 2. a a

a aa

4 3

43

2

2

2

+

− +

+

4. 4. 4. 4. 4. 16 20 8 7 4

16 4 5 27

4

20

20

8

8

7

4 3 2 2 3 2

4 2 23

3

3

2 2

2 2

3

a a b a b ab a

a a ab bb

a

a b

a b

a b

a b

ab

− + +

− − + +

−

+

−

+

5. 5. 5. 5. 5. x x x

x x xx

x

x

2

2

7 10 6

6 14

6

10

6

4

+ + +

− − + ++

+− −

+

6. 6. 6. 6. 6. x x x

x x xx

x

x

2

2

5 7 4

4 13

4

7

4

3

− + −

− + − +−

− +−

+

7.7.7.7.7. m m m

m m mm

m

m

4 2 2

4 2 22

2

2

11 34 3

3 810

3

8 34

8 24

10

− + −

− + − +−

− +

−

+

8. 8. 8. 8. 8. x xy y x y

x xy x yy

x y

xy y

xy y

y

2 2

22

2

2

2

6

78

7

7 7

8

− + +

− − − ++

− +

+ +

+

3.3.3.3.3. 9 6 7 3

9 3 27

3

6

6

7

3 2 2

32

2

2

x x x

x xx

x

x

+ +

− + +

+

−

+

9. 9. 9. 9. 9. x x x x x

x x x xx

x x

x

3 2 2

3 22

3 2 1

2 21

2 2

− + + − +

− + − ++

− ++ +

10. 10. 10. 10. 10. x y x y

x x y x xy yy

x y

x y

x y xy

xy y

xy y

y

3 3

3 2 2 23

2

2 2

2 3

2 3

3

2

2

+ −

− + + + +−

− +

+

− +

11. 11. 11. 11. 11. x y x y

x x y x x y x y xy yy

x y

x y

x y x y

x y

x y x y

x y

x y xy

xy y

xy y

y

5 5

4 4 4 3 2 2 3 45

4

4 3 2

3 2

3 2 2 3

2 3

2 3 4

4 5

4 5

5

2

2

+ −

− + + + + + +−

− +

− +

− +

+ +

− +

12. 12. 12. 12. 12. x x x x x

x x x xx

x x

x x

x x

x

3 2 2

3 22

2

2

4 5 8 2 1

2 66 2

2 1

6 6 8

6 12 6

6 2

+ − + − +

− + − + ++

− +− +

− + −

+

13.13.13.13.13. 8 6 5 9 2 3

8 12 4 3 712

2 3

6 5

6 9

14 9

14 21

12

3 2 2 3

3 2 2 23

2 2

2 2

2 3

2 3

3

a a b ab b a b

a a b a ab bb

a b

a b ab

a b ab

ab b

ab b

b

− + − −

− + + + +−

+

− +

−

− +

EJERCICIO 60

14.14.14.14.14. x x x x x x

x x x x xx

x x

x x x

x x x

x x

x x

x

5 4 2 2

5 4 3 32

3 2

3 2

2

2

3 9 7 4 3 2

3 2 2 320 10

3 2

2 9 7

2 6 4

3 11 4

3 9 6

20 10

− + + − − +

− + − − + +−

− +

− + +

+ − +

+ −

− + −

−

Para los problemas del 1 al 9 las literales toman los siguentes valores:a = - 1 b = - 2 c = - 1/2

1.1.1.1.1.

( ) ( )a ab b2 2

2 2

2

1 2 1 2 2

1 2 2 4 1 4 4 9

− +

= − − − ⋅ += + ⋅ + = + + =

2. 2. 2. 2. 2.

( ) ( ) ( )3 4 3

3 1 4 1 2 3 1 2 2

3 4 2 3 4 8 3 8 12 8 31

3 2 2 3

3 2 2 3

a a b ab b− + −

= − − − ⋅ + − −= − − ⋅ − ⋅ − = − − − − = −

3. 3. 3. 3. 3.

( ) ( ) ( )a a ac bc4 3

4 3

3 2 3

1 3 1 2 11

23 2

1

2

1 3 21

26

1

21 3 1 3 8

− + −

= − − − + − −

− ⋅ −

= + + ⋅ + ⋅ = + + + =

4. 4. 4. 4. 4.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a c a c a c ac c5 4 3 2 2 3 4 5

5 4 32

23 4 5

8 16 20 40

1 8 11

216 1

1

220 1

1

240 1

1

2

1

2

1 81

216

1

420

1

840

1

16

1

321 4 4

5

2

5

2

1

321

1

32

32 1

− + − + −

= − − − −

+ − −

− − −

+ − −

− −

= − + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + = − + − + − + = − + =− +

32

31

32= −

5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( ) ( )

( )

( )

a b b c a c− + − − −

= − − + − −

− − − −

= − + +

− − +

= +

− −

= + − = + = + =

2 2 2

22 2

22 2 2 2

1 2 21

21

1

2

3 21

21

1

29

5

2

1

2

925

4

1

49

24

49 6 15

6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( ) ( )

( )[ ]

[ ]

b a b c a c+ − − − −

= + − − − −

− − − −

= − − +

− − +

= −

− −

= − + = − = − =−

= − = −

3 3 3

33 3

33 3

33 3

12

2 1 21

21

1

2

2 1 21

21

1

21

5

2

1

2

1125

8

1

81

124

81

31

2

2 31

2

29

214

7. 7. 7. 7. 7. ab

c

ac

b

bc

a+ −

=− ⋅

−+

− −

−−

−= + −

= + − = + =+

= =

1 212

112

2

212

1

212

122

2

2

41

41 3

1

4

12 1

4

13

43 1

4

8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( )a b c a b c c+ + − − − +

= − + + −

− − − − −

+ −

= −

− − +

− =

− −

−

= − − =− −

= − = − = −

2 2

2 2

2 2 2 2

24

12

1 21

21 2

1

2

1

2

11

23

1

2

1

2

1

2

5

2

1

2

1

4

25

4

1

2

1 25 2

4

26

46 6

9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) [ ] ( )

3 2 4 2

3 2 1 2 4 1 21

22

1

21 2 3 2 2 4 2

1

2

2

23 3 0 4

3

2

6

26 3 3

a b a b c c a b+ − + − −

= − + − − + −

− −

− − = − + + −

+ − = ⋅ +

− = − =

Para los problemas 10 al 16 las literales toman los siguientes valores:a = 2 b = 1/3 x = - 2 y = - 1 m= 3 n = 1/2

10. 10. 10. 10. 10.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

x x y xyy

4 2 23

4 2 23

8 2

3

2

2

8

2 1

2

3 2 1

21

16

8

4

2

6

21 2 2 3 1 2

− + −

=−

−− −

+− −

− −

= −−

+−

+ = + − + =

11.11.11.11.11.( ) ( ) ( )( )( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

a x x y x y m x n− + − + − + −

= − − + − − − + − − − + − −

= + + − + + − − −

= + − + −

= + +

= + =+

= =

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

12

2 2 2 1 2 1 3 21

2

2 2 2 1 4 1 3 21

24 1 3 1

1

2

16 1 31

217

3

2

34 3

2

37

218

12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) [ ] [ ][ ]

[ ]

− − + + − − + + +

= − − − − + − + − − − − − + ⋅ − + − +

= − − + + + − + + − − +

= + − + − +

= − + −

= − − = −+

= − = −

x y x y x y m b x y n2 2

2 2

12

3

2 1 2 1 2 1 3 31

32 1

1

22 1 4 1 5 1 2 1

1

2

1 5 4 31

21 20

5

219

5

2

38 5

2

43

221

13.13.13.13.13. ( )( )

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

[ ][ ] [ ]

3 2 2 4 42

3 2 2 1 21

24 3 4 2 1

2 1

2

6 2 1 12 4 4 12 1

24 11 16

1

2

44 161

260

1

260

2 2

2 2

12

x y n m x yx y

− − + −−

= − − − ⋅ − ⋅

+ − − −− − −

= − + − + ⋅ ⋅ −− +

= − − + −−

= + + = + =

15. 15. 15. 15. 15. ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ][ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] ( )

x x y m x y x y n x y m n2 2 2 2 2

2 2 2 22

2 2

2

2 2 1 3 2 1 2 11

22 1 3 2

1

2

4 1 1 2 1 4 11

22 1 9 1 4 2 1 5

1

23 8 8

9

29 8 80

9

2

160 9

2

− + − − + − + + −

= − − − − + − − − − − + − −

+ − + − − ⋅

= + − − + + −

+ − − − = ⋅ − − −

+ − = + + ⋅ = + =+

= =169

284 1

2

16.16.16.16.16. ( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ]

[ ]

3 2 32 4

3 2

2

2 1

3

3121

312

2 2 1 4 32

3

3

26 2 8 1 4

94 9

62 5 9

13

610 19

13

6

114 13

6

127

621

3 2 3 2

16

a

x

y

m

n

y

m

nx y+ + − + − + =

⋅−

+−

+⋅

−− + − − − + = − − − − + − − +

= − −+

+ − = − − − = − − = −+

= − = −

14.14.14.14.14.

( )( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

4

3 2

1 1

4 2

3 1

2

2 1

112

113

2 2 3

8

3

8

2 12 3 2 16 3

8

38 1 2 13

8

321 2

8

323

8 69

3

77

325

3

34

3

3

4

23

x

y

x

y n bx x m−

++ −

+ −

=−−

−−

+ −+ −

− + − −

=−−

−−−

+ − − + − = + + − − +

= + + = + =+

= =

1. 1. 1. 1. 1. 7 8 9 10

5 2 1 4

am am am am

↓ ↓ ↓ ↓

+ + − −∃ ∃ ∃ ∃

3. 3. 3. 3. 3. x xy x

xy y x y

x y y Rta

2 2

2 2 2

2 2 2

3

3

−

− − +

−4. 4. 4. 4. 4. 3 5 6

3 8 6

3

2

2

x x

x x Rta

x

− +− + −

5. 5. 5. 5. 5. 3 2 3 8

2 3 5 8 5

2 3 8 2 5 13

2

2

2 2

a a

a a a

a a a a Rta

− +

− + +

− + + +

6. 6. 6. 6. 6. ( )( )[ ]{ }( )[ ]{ }

[ ]{ }{ }

− − − + − − +

= − − − + − − −

= − − − + − + +

= − − − − − =− + + + = +

3 4 5 6

3 4 5 6

3 4 5 6

3 3 6 6 3 3 6 6 6 6

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x x x

EJERCICIO 61

7. 7. 7. 7. 7. ( )( ) ( )( )( )

( )

x y x y x y

x xy xy y x y x y

x y x xy y

x y x xy y

xy y

+ − − +

= − + − − + +

= − − + +

= − − − −

= − −

2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

2

2

2 2

8. 8. 8. 8. 8.

( ) ( )

( ) ( )

( )

a b c

a b c bc b

a

= = =

+ − − +−

−

= + − − +−

−

= ⋅ − − +−−

= + + = + =

2 3 1

3 4

3 2 3 4 1 31 3

2

3 5 4 22

2

15 8 1 23 1 24

9. 9. 9. 9. 9. 3 5 2 5 6

3 5

2 3 6 6

2 3 6

6

3 3

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2

x y x xy y

x xy y x xy

x xy y x y

x xy y

x y

x xy Rta

− + +

− + − − −

+ − +

+ −

+

+

10. 10. 10. 10. 10. 23

12

15

12

34

2

13

14

110

12

38

320

43

25

13

14

193120

2320

25

2 2

2 2

4 3 2 2

3 2 2 3

2 2 3 4

4 3 2 2 3 4

a ab b

a ab b

a a b a b

a b a b ab

a b ab b

a a b a b ab b

− +

+ −

− +

+ − +

− + −

+ − + −

11. 11. 11. 11. 11. x x x

x x x

x x

x x x x x x x

x x x x x

x x x

x x x

x x

x x

5 3 2

4 2

3

5 4 3 2 2

5 4 3 3

3 2

3 2

2

2

5

2 2 10

6 6 30

2 5 7 16 30 2 6

2 6 5

7 16

2 6

5 10 30

5 10 30

− +

− + −

+ − +

− + + − + − +

− + − − +

− + −

+ − +

− +

− + −

12. 12. 12. 12. 12. 14

190

115

12

13

14

16

12

13

15

16

190

16

19

12

15

110

115

12

13

15

110

115

3 13

43

3 2 3

3 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 3 2 2

2 3

a ab b a b

a a b a ab b

a b ab

a b ab a ab b

ab b a ab b

ab b ab ab

− + +

− − − +

− −

+ + +

+ − + −

− −+

=

13. 13. 13. 13. 13. − − − +

+ − − +

− − +

− +

− +

− +

− + −

+ − +

− + − +

3

2 3 2 2

2 2 3 3

3 3

3 3

3 3

3 3

4 4 3 3

2 3 3 2 3

2 2 3 2 3

2 3 3 2 3

3 2 3

2 2

5 4 2 3

4 3 2 4

3 2 2 3 5

5 4 3 2 4 5

ab b a a b b

a b ab b a b b

a b b a a b b

a a b b

a ab b

a a b a b

a b a b ab

a b a b b

a a b a b ab b

14. 14. 14. 14. 14. x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x x

x x x x x

x x x x

x x

x x

3 2

2 3 2

2 3 2

3 2 3 2

3 2 2

3 2

2

2

5 4

6 6 3 2 16 5 12

8 8 3 19 6

19 6 3 12

3 12 3

3 4

4 4 12

4 4 12

− +

− − + − + +

− + − − + −

− + + − +

+ − + − +

− + − +

− +

− + −

15.15.15.15.15. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 1 2 3 3 10 2 3 1

4 4 1 5 2 6 3 10 6 2

4 5 4 4 5 2 6 3 10 6 2

3 10 6 2 3 10 6 2

2 2 2 2 2

2 2 4 3 2 3 2

2 3 3 2 3 2

3 2 3 2

+ + − − + − = + + −

+ + + − + − − + = + + −

+ + + − + + − = + + −

+ + − = + + −

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x

16. 16. 16. 16. 16.

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

x y

x y x y x y x y

= − =

+ − + + −

= − + − − + − + − −

= − − + − −= ⋅ + ⋅ = + =

2 1

2

2 1 2 1 2 2 1 2 1

1 3 2 1 3

1 9 2 3 9 6 15

2 2

2 2

2 2

17. 17. 17. 17. 17. x x

x x x

x x x Rta

x x x x

2

2

2

2 2

2 8

4 4 6

6 4 8 3

4 6 5 4 3

+ +

+ + +

− − −

+ + − +

18. 18. 18. 18. 18. ( ) ( ){ } ( ) ( )[ ]{ } [ ]{ } [ ]

− + − + − + − + − −

= − − + − − = − + − +

= − − = −= − + = −

−−

−

3 2 2

3 2 2 2

2 3 2 2

2 3 4

4

2 3

2 7

a b a a b a b a b

a b a a b a b a b

a b b

a b b

b

a b

a b Rta

19. 19. 19. 19. 19. ( )( )[ ] ( )[ ]( )[ ] [ ]

[ ]

5 3 8 2

5 3 8 2

5 2 8 3

5 2 5

3

5

3

15 3

5

15 2

2

2

2 2

x x x y x x x y

x x x y x x x y

x x y x x y

x x y x y

x y

x y

x y

x xy

xy y

x xy y Rta

+ − − − + − + − +

= + − − + = + − − +

= + − − = − += − − = += −

+−

+

− −

− −

20.20.20.20.20.

( )[ ][ ]

[ ]

1

4

1

24

5

12

1

3

1

2

1

41

4

1

8

1

2

1

2

1

3

1

6

1

12

1

31

6

1

12

1

3

2 5 4

2 51

2

1

3

2 68 1

2

3 1

3

2 69

2

3 2 2 3 2 2

3 2 2

2 2 3

2 2 3

x x y xy y x xy y

x x y xy x y

x y xy y

x y xy y

x x x y x y

x x x y x y

x x y x y

x x y x

+ + + − +

− + − +

− +

− + −

+ − − − − +

= + − − + − −

= + − + −+

+−

= − + − +2

34

y Rta

x y= − +

21. 21. 21. 21. 21. ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ][ ]x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x

2 2 2 2

2 2 4 3 2

4 3 2 3 2 2 4 3 2

4 3 2 4 3 2

3 2 3 4 4 7 6

3 2 3 4 4 7 6

3 3 3 9 2 2 6 4 4 7 6

4 4 7 6 4 4 7 6

− + + − + = − + − +

− − − + = − + − −

− + − + − − + − = − + − −

− + − − = − + − −

22. 22. 22. 22. 22. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]x x y x x y x y x y

x xy x xy x y x y

xy x y

x y x y xy

xy x y xy Rta

x y xy x y xy

+ − − + − −

= + − + = + − +

= = − +

− + − +

−

− + +

2 3

2 2 3 3

2 5

5 2 10

2 4 7

2 10 2 3

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 3 3

3 3

3 3 3 3

23.23.23.23.23. x y x y x xy y

x x y x xy y x xy y

x y x x y x y

x y xy x y x y xy

xy x y xy y

xy y x x y x y xy y Rta

3 3 2 2

3 2 2 2 2 2

2 4 3 2 2

2 2 3 2 2 3

2 2 2 3 4

2 3 4 3 2 2 3 4

3

3

3

3

4 3 2

− − + −

− + + + + +

+ −

− + + + −

+ + −

− + + + + −

24. 24. 24. 24. 24. ( )( ) ( )( )[ ]

[ ]

x y x xy y x y x xy y

x x y xy x y xy y x x y xy x y xy y

x y x y

x y x y

y

− + + − + − +

= + + − − − − − + + − +

= − − +

= − − −

= −

2 2 2 2

3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 3

3 3 3 3

3 3 3 3

32

25. 25. 25. 25. 25.

( ) ( )

( ) ( )

a b c

ab

cb a

b

ac b

c

b

= = =

+ − − −

=⋅

+ −⋅

− −

= + ⋅ − ⋅ ⋅ = + ⋅ − ⋅

= + − =+ −

=−

= −

4 9 25

29

3

4 9

252 9 4

9 9

43 25 9

25

9

36

252 5

81

163 16

5

3

6

510

9

448

5

36

5

45

280

12 225 800

10

563

1056

2

2

310

26. 26. 26. 26. 26. x x x x x x

x x x

x

x x x

x x x Rta

x

x

3 2 2

3 2 2

2

2

3 4 12 3 4 2

3 4

4 12

4 12 4 2

2 2

2 4

2 4

+ − − + − = −

− − −

− −

+ + − −

+ +

−− +

?

27. 27. 27. 27. 27. ( )( ){ } ( ){ }[ ]( ){ } { }[ ]

{ } [ ]( ) ( )

( )

4 3 4 3

4 3 4 3 2

4 3 4 3 6 5 1

4 4 4 3 6 2 5 2 1

6 5 1 6 4 10 1

24 10 1 33

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

x x x x x x

x x x x x x Si x

x x x x x x x x

x x x x x

x x

− − − + + − + −

= − − − − + − − =−

= − − + + + − + − −

= − + − + − + = − − − −

= − − = + −= + − =

29.29.29.29.29. ( )( )( ) ( ) ( )[ ]( )( ) [ ]

( )( ) [ ]

a b a b a b a a a a a b

a b a ab ab b a a a a a b

a b a b a b

a a b a b b a b

a b a b

2 2 4 4

2 2 2 2 4 4

2 2 2 2 4 4

4 2 2 2 2 4 4 4

4 4 4 4

3 2 2 4 1

3 2 4 4 4

+ + − = − + + − + − +

+ − + − = − + + − − − +

+ − = −

− + − = −

− = −

EJERCICIO 62

28. 28. 28. 28. 28. x x

x x x x Rta

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

2

2 4 3

4 3 2 3 2

2 4 3 2

4 3 2

7 5

9 11 21

7 5 18 14 84 45

9 63 45 7 14 63 45

7 14 63 45

+ −

− − +

+ − − − +

− − + + − − +

+ − − +

30. 30. 30. 30. 30. ( ) ( )[ ][ ][ ]

3 3 4 3

5 6 3 4 3

5 3 2 1

2 1

5 3 2

1 2 1

5 2 1

2

3 2 2

3 2 2

2

3 2 2

2

3 2

− + − + − − +

+ − = − − + + −

+ − = − − +

= − + −

+ − − ++ − + −

+ + − +

x x x

x x x x x

x x x x

x x

x x x x

x x x

x x x Rta x

1. 1. 1. 1. 1. ( )m m m+ = + +3 6 92 2

2. 2. 2. 2. 2. ( )5 25 102 2+ = + +x x x

3.3.3.3.3.( )6 36 122 2 2a b a ab b+ = + +

4. 4. 4. 4. 4. ( )9 4 81 72 162 2+ = + +m m m

5. 5. 5. 5. 5. ( )7 11 49 154 1212 2x x x+ = + +

6. 6. 6. 6. 6. ( )x y x xy y+ = + +2 2 22

7. 7. 7. 7. 7. ( )1 3 1 6 92 2 2 4+ = + +x x x

8.8.8.8.8.( )2 3 4 12 92 2 2x y x xy y+ = + +

9.9.9.9.9.( )a x by a x a xby b y2 2 2 4 2 2 2 2 42+ = + +

EJERCICIO 63

10. 10. 10. 10. 10. ( )3 8 9 48 643 4 2 6 3 4 8a b a ab b+ = + +

11.11.11.11.11. ( )4 5 16 40 255 6 2 10 5 6 12m n m mn n+ = + +

12. 12. 12. 12. 12. ( )7 5 49 70 252 3 4 2 4 6 2 3 4 8a b x a b a b x x+ = + +

13. 13. 13. 13. 13. ( )4 5 16 40 252 3 2 2 4 2 3 2 6ab xy a b ab xy x y+ = + +

14. 14. 14. 14. 14. ( )8 9 64 144 812 3 2 4 2 2 3 6x y m x y x ym m+ = + +

15. 15. 15. 15. 15. ( )x y x x y y10 12 2 20 10 12 2410 20 100+ = + +

16. 16. 16. 16. 16. ( )a a a a am n m m n n+ = + ++2 2 22

17. 17. 17. 17. 17. ( )a b a a b bx x x x x x+ = + ++ + +1 2 2 1 2 22

18. 18. 18. 18. 18. ( )x y x x y ya x a a x x+ − + + − −+ = + +1 2 2 2 2 1 2 2 42

1. 1. 1. 1. 1. ( )a a a− = − +3 6 92 2

2. 2. 2. 2. 2. ( )x x x− = − +7 14 492 2

3. 3. 3. 3. 3. ( )9 81 182 2− = − +a a a

4. 4. 4. 4. 4. ( )2 3 4 12 92 2 2a b a ab b− = − +

5. 5. 5. 5. 5. ( )4 1 16 8 12 2 2ax a x ax− = − +

6. 6. 6. 6. 6. ( )a b a a b b3 3 2 6 3 3 62− = − +

7. 7. 7. 7. 7. ( )3 5 9 30 254 2 2 8 4 2 4a b a ab b− = − +

8. 8. 8. 8. 8. ( )x x x2 2 4 21 2 1− = − +

9. 9. 9. 9. 9. ( )x ay x ax y a y5 2 2 10 5 2 2 43 6 9− = − +

10. 10. 10. 10. 10. ( )a b a a b b7 7 2 14 7 7 142− = − +

11. 11. 11. 11. 11. ( )2 3 4 12 92 2 2m n m mn n− = − +

12. 12. 12. 12. 12. ( )10 9 100 180 813 5 2 6 4 5 2 10x xy x x y x y− = − +

13. 13. 13. 13. 13. ( )x y x x y ym n m m n n− = − +2 2 22

14. 14. 14. 14. 14. ( )a a ax x x− − −− = − +2 2 2 4 25 10 25

15. 15. 15. 15. 15. ( )x x x x xa a a a a+ − + − −− = − +1 2 2 2 2 2 1 2 43 6 9

EJERCICIO 64

1. 1. 1. 1. 1. ( )( )x y x y x y+ − = −2 2

2. 2. 2. 2. 2. ( )( )m n m n m n− + = −2 2

3. 3. 3. 3. 3. ( )( )a x x a a x− + = −2 2

4. 4. 4. 4. 4. ( )( )x a x a x a2 2 2 2 4 4+ − = −5. 5. 5. 5. 5. ( )( )2 1 1 2 4 12a a a− + = −

6. 6. 6. 6. 6. ( )( )n n n− + = −1 1 12

7. 7. 7. 7. 7. ( )( )1 3 3 1 1 9 2 2− + = −ax ax a x

8. 8. 8. 8. 8. ( )( )2 9 2 9 4 812m m m+ − = −

9. 9. 9. 9. 9. ( )( )a b a b a b3 2 3 2 6 4− + = −

10.10.10.10.10. ( )( )y y y y y y2 2 4 23 3 9− + = −

11. 11. 11. 11. 11. ( )( )1 8 8 1 1 64 2 2− + = −xy xy x y

12. 12. 12. 12. 12. ( )( )6 6 362 2 2 2 4 4 2x m x x m x x m x− + = −

13. 13. 13. 13. 13. ( )( )a b a b a bm n m n m n+ − = −2 2

14. 14. 14. 14. 14. ( )( )3 5 5 3 9 252 2x y y x x ya m m a a m− + = −

15.15.15.15.15. ( )( )a b b a a bx x x x x x+ − − + + −− + = −1 1 1 1 2 2 2 22 2 4

EJERCICIO 65

1. 1. 1. 1. 1. ( )( )x y z x y z x xy y z+ + + − = + + −2 2 22

2. 2. 2. 2. 2. ( )( )x y z x y z x y yz z− + + − = − + −2 2 22

3. 3. 3. 3. 3. ( )( )x y z x y z x y yz z+ + − − = − − −2 2 22

4. 4. 4. 4. 4. ( )( )m n m n m mn n+ + + − = + + −1 1 2 12 2

5. 5. 5. 5. 5. ( )( )m n m n m n mn− − − + = + − −1 1 2 12 2

6. 6. 6. 6. 6. ( )( )x y x y x y y+ − − + = − + −2 2 4 42 2

7. 7. 7. 7. 7. ( )( )n n n n n n n2 2 4 22 1 2 1 4 4 1+ + − − = − − −

EJERCICIO 66

8. 8. 8. 8. 8. ( )( )a a a a a a2 2 4 22 3 2 3 2 9− + + + = + +

9. 9. 9. 9. 9. ( )( )m m m m m m2 2 4 21 1 3 1− − + − = − +10. 10. 10. 10. 10. ( )( )2 2 4 42 2 2a b c a b c a ab b c− − − + = − + −

11. 11. 11. 11. 11. ( )( )2 2 4 22 2 2x y z x y z x y yz z+ − − + = − + −

12. 12. 12. 12. 12. ( )( )x x x x x x x2 2 4 25 6 5 6 25 60 36− + + − = − + −

13. 13. 13. 13. 13. ( )( )a ab b a b ab a a b b2 2 2 2 4 2 2 4− + + + = + +

14. 14. 14. 14. 14. ( )( )x x x x x x x x x x3 2 3 2 6 4 3 22− − + + = − − −

1. 1. 1. 1. 1. ( )a a a a+ = + + +2 6 12 83 3 2

2. 2. 2. 2. 2. ( )x x x x− = − + −1 3 3 13 3 2

3. 3. 3. 3. 3. ( )m m m m+ = + + +3 9 27 273 3 2

4. 4. 4. 4. 4. ( )n n n n− = − + −4 12 48 643 3 2

5. 5. 5. 5. 5. ( )2 1 8 12 6 13 3 2x x x x+ = + + +

6. 6. 6. 6. 6. ( )1 3 1 9 27 273 2 3− = − + −y y y y

7. 7. 7. 7. 7. ( )2 8 12 62 3 2 4 6+ = + + +y y y y

8.8.8.8.8. ( )1 2 1 6 12 83 2 3− = − + −n n n n

9. 9. 9. 9. 9. ( )4 3 64 144 108 273 3 2n n n n+ = + + +

10. 10. 10. 10. 10. ( )a b a a b a b b2 3 6 4 2 2 32 6 12 8− = − + −11. 11. 11. 11. 11. ( )2 3 8 36 54 27

3 3 2 2 3x y x x y xy y+ = + + +

12. 12. 12. 12. 12. ( )1 1 3 32 3 2 4 6− = − + −a a a a

EJERCICIO 67

1. 1. 1. 1. 1. ( )( )a a a a+ + = + +1 2 3 22

2. 2. 2. 2. 2. ( )( )x x x x+ + = + +2 4 6 82

3. 3. 3. 3. 3. ( )( )x x x x+ − = + −5 2 3 102

4. 4. 4. 4. 4. ( )( )m m m m− − = − +6 5 11 302

5. 5. 5. 5. 5. ( )( )x x x x+ − = + −7 3 4 212

6. 6. 6. 6. 6. ( )( )x x x x+ − = + −2 1 22

7. 7. 7. 7. 7. ( )( )x x x x− − = − +3 1 4 32

8. 8. 8. 8. 8. ( )( )x x x x− + = − −5 4 202

9. 9. 9. 9. 9. ( )( )a a a a− + = − −11 10 1102

10. 10. 10. 10. 10. ( )( )n n n n− + = − −19 10 9 1902

11. 11. 11. 11. 11. ( )( )a a a a2 2 4 25 9 4 45+ − = − −

12. 12. 12. 12. 12. ( )( )x x x x2 2 4 21 7 8 7− − = − +

13. 13. 13. 13. 13. ( )( )n n n n2 2 4 21 20 19 20− + = + −

14. 14. 14. 14. 14. ( )( )n n n n3 3 6 33 6 3 18+ − = − −

15. 15. 15. 15. 15. ( )( )x x x x3 3 6 37 6 42+ − = + −

16. 16. 16. 16. 16. ( )( )a a a a4 4 8 48 1 7 8+ − = + −

17.17.17.17.17.( )( )a a a a5 5 10 52 7 5 14− + = + −

18. 18. 18. 18. 18. ( )( )a a a a6 6 12 67 9 2 63+ − = − −19. 19. 19. 19. 19. ( )( )ab ab a b ab+ − = − −5 6 302 2

20. 20. 20. 20. 20. ( )( )xy xy x y xy2 2 2 4 29 12 3 108− + = + −

21. 21. 21. 21. 21. ( )( )a b a b a b a b2 2 2 2 4 4 2 21 7 6 7− + = + −

22.22.22.22.22.( )( )x y x y x y x y3 3 3 3 6 6 3 36 8 2 48− + = + −

23. 23. 23. 23. 23. ( )( )a a a ax x x x− + = + −3 8 5 242

24. 24. 24. 24. 24. ( )( )a a a ax x x x+ + + +− − = − +1 1 2 2 16 5 11 30

EJERCICIO 68

1. 1. 1. 1. 1. ( )x x x+ = + +2 4 42 2

2. 2. 2. 2. 2. ( )( )x x x x+ + = + +2 3 5 62

3. 3. 3. 3. 3. ( )( )x x x+ − = −1 1 12

4. 4. 4. 4. 4. ( )x x x− = − +1 2 12 2

5. 5. 5. 5. 5. ( )( )n n n n+ + = + +3 5 8 152

6. 6. 6. 6. 6. ( )( )m m m− + = −3 3 92

7. 7. 7. 7. 7. ( )( )a b a b a ab b+ − + + = + + −1 1 2 12 2

8. 8. 8. 8. 8. ( )1 1 3 33 2 3+ = + + +b b b b

9. 9. 9. 9. 9. ( )( )a a a2 2 44 4 16+ − = −

10. 10. 10. 10. 10. ( )3 5 9 30 252 2 2 2 2 4ab x a b abx x− = − +11. 11. 11. 11. 11. ( )( )ab ab a b+ − = −3 3 9 2 2

12. 12. 12. 12. 12. ( )1 4 1 8 162 2 2− = − +ax ax a x

13. 13. 13. 13. 13. ( )( )a a a a2 2 4 28 7 56+ − = + −14. 14. 14. 14. 14. ( )( )x y x y x y y+ + − − = − − −1 1 2 12 2

15. 15. 15. 15. 15. ( )( )1 1 1 2− + = −a a a

16. 16. 16. 16. 16. ( )( )m m m m− + = + −8 12 4 962

17. 17. 17. 17. 17. ( )( )x x x x2 2 4 21 3 2 3− + = + −

18. 18. 18. 18. 18. ( )( )x x x x3 3 6 36 8 2 48+ − = − −

19. 19. 19. 19. 19. ( )5 6 25 60 363 4 2 6 3 4 8x m x xm m+ = + +

EJERCICIO 69

20. 20. 20. 20. 20. ( )( )x x x x4 4 8 42 5 3 10− + = + −21. 21. 21. 21. 21. ( )( )1 1 1 22 2− + − − = − + − +a b b a a ab b

22. 22. 22. 22. 22. ( )( )a b a b a bx n x n x n+ − = −2 2

23. 23. 23. 23. 23. ( )( )x x x xa a a a+ + + +− + = − −1 1 2 2 18 9 72

24. 24. 24. 24. 24. ( )( )a b c a b c a b c2 2 2 2 2 2 4 4 4+ − = −

25. 25. 25. 25. 25. ( )2 8 12 63 3 2 2 3a x a a x ax x+ = + + +

26. 26. 26. 26. 26. ( )( )x x x x2 2 4 211 2 13 22− − = − +

27. 27. 27. 27. 27. ( )2 5 4 20 253 4 2 6 3 4 8a b a ab b− = − +

28. 28. 28. 28. 28. ( )( )a a a a3 3 6 312 15 3 180+ − = − −

29. 29. 29. 29. 29. ( )( )m m n n m m m m n n m2 2 4 2 2 22− + + + = + + −

30. 30. 30. 30. 30. ( )( )x x x x4 4 8 47 11 4 77+ − = − −

31. 31. 31. 31. 31. ( )11 121 222 2 2− = − +ab ab a b

32. 32. 32. 32. 32. ( )( )x y x y x y x y2 3 2 3 4 6 2 38 6 2 48− + = − −

33.33.33.33.33.( )( )( )a b a b a b a a b b+ − − = − +2 2 4 2 2 42

34. 34. 34. 34. 34. ( )( )( )x x x x x+ − − = − +1 1 2 3 22 4 2

35. 35. 35. 35. 35. ( )( )( )a a a a+ + − = −3 9 3 812 4

36. 36. 36. 36. 36. ( )( )( )x x x x x+ − + = − −5 5 1 24 252 4 2

37. 37. 37. 37. 37. ( )( )( )( )a a a a a a+ − + − = − +1 1 2 2 5 44 2

38. 38. 38. 38. 38. ( )( )( )( )a a a a a a+ − − + = − +2 3 2 3 13 364 2

1. 1. 1. 1. 1. x

xx

2 1

11

−+

= −

2. 2. 2. 2. 2. 1

11

2−−

= +x

xx

3. 3. 3. 3. 3. x y

x yx y

2 2−+

= −

4. 4. 4. 4. 4. y x

y xy x

2 2−−

= +

5. 5. 5. 5. 5. x

xx

2 4

22

−+

= −

6. 6. 6. 6. 6. 9

33

4

22−

−= +

x

xx

7. 7. 7. 7. 7. a b

a ba b

2 24

22

−+

= −

8. 8. 8. 8. 8. 25 36

5 65 6

4

22−

−= +

x

xx

9. 9. 9. 9. 9. 4 9

2 32 3

2 2 4

22x m n

x mnx mn

−+

= −

10. 10. 10. 10. 10. 36 49

6 76 7

2 2 4

22m n x

m nxm nx

−−

= +

11. 11. 11. 11. 11. 81 100

9 109 10

6 8

3 43 4a b

a ba b

−+

= −

12. 12. 12. 12. 12. a b x y

a b x ya b x y

4 6 8 10

2 3 4 52 3 4 54

22

−+

= +

13. 13. 13. 13. 13. x y

x yx y

n n

n nn n

2 2−+

= −

14. 14. 14. 14. 14. a

aa

x

xx

2 2

11100

1010

+

++−

−= +

15. 15. 15. 15. 15. 1 9

1 31 3

2 4

22−

+= −

+

++x

xx

m

mm

16. 16. 16. 16. 16. ( )( )x y z

x y zx y z

+ −+ −

= + +2 2

17. 17. 17. 17. 17. ( )( )

1

11

2− ++ +

= − −a b

a ba b

18. 18. 18. 18. 18. ( )( )

4

22

2− ++ +

= − −m n

m nm n

19. 19. 19. 19. 19. ( )( )

x x y

x x yy

2 2− −+ −

=

20. 20. 20. 20. 20. ( )( )a x

a xa x

+ −+ +

= + −2

9

33

EJERCICIO 70

1. 1. 1. 1. 1. 1

11

32+

+= − +

a

aa a

2. 2. 2. 2. 2. 1

11

32−

−= + +

a

aa a

3. 3. 3. 3. 3. x y

x yx xy y

3 32 2+

+= − +

4. 4. 4. 4. 4. 8 1

2 14 2 1

32a

aa a

−−

= + +

5. 5. 5. 5. 5. 8 27

2 34 6 9

3 32 2x y

x yx xy y

++

= − +

6. 6. 6. 6. 6. 27 125

3 59 15 25

3 32 2m n

m nm m n

−−

= + +

7. 7. 7. 7. 7. 64 343

4 716 28 49

32a

aa a

++

= − +

8. 8. 8. 8. 8. 216 125

6 536 30 25

32−

−= + +

y

yy y

9. 9. 9. 9. 9. 1

11

3 32 2+

+= − +

a b

abab a b

10. 10. 10. 10. 10. 729 512

9 881 72 64

32−

−= + +

b

bb b

11. 11. 11. 11. 11. a x b

ax ba x axb b

3 3 32 2 2+

+= − +

12. 12. 12. 12. 12. n m x

n mxn nmx m x

3 3 32 2 2−

−= + +

13. 13. 13. 13. 13. x y

x yx x y y

6 3

24 2 227

33 9

−−

= + +

14. 14. 14. 14. 14. 8

24 2

9 9

3 36 3 3 6a y

a ya a y y

++

= − +

15. 15. 15. 15. 15. 1

11

12

44 8−

−= + +

x

xx x

16. 16. 16. 16. 16. 27 1

3 19 3 1

6

24 2x

xx x

++

= − +

17. 17. 17. 17. 17. 64

416 4

3 9

32 3 6a b

a ba ab b

++

= − +

18. 18. 18. 18. 18. a b

a ba a b b

6 6

2 24 2 2 4−

−= + +

19. 19. 19. 19. 19. 125 343

5 725 35 49

15

55 10−

−= + +

x

xx x

20. 20. 20. 20. 20. n

nn n

6

24 21

11

++

= − +

EJERCICIO 71

1. 1. 1. 1. 1. x y

x yx x y xy y

4 43 2 2 3−

−= + + + 2. 2. 2. 2. 2.

m n

m nm m n m n mn n

5 54 3 2 2 3 4+

+= − + − +

3. 3. 3. 3. 3. a n

a na a n a n an n

5 54 3 2 2 3 4−

−= + + + +

4. 4. 4. 4. 4. x y

x yx x y x y x y xy y

6 65 4 3 2 2 3 4 5−

+= − + − + −

5. 5. 5. 5. 5. a b

a ba a b a b a b ab b

6 65 4 3 2 2 3 4 5−

−= + + + + +

6. 6. 6. 6. 6. x y

x yx x y x y x y x y xy y

7 76 5 4 2 3 3 2 4 5 6+

+= − + − + − +

7. 7. 7. 7. 7. a m

a ma a m a m a m a m am m

7 76 5 4 2 3 3 2 4 5 6−

−= + + + + + +

8. 8. 8. 8. 8. a b

a ba a b a b a b a b a b ab b

8 87 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7−

+= − + − + − + −

9. 9. 9. 9. 9. x y

x yx x y x y x y x y x y x y x y xy y

10 109 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 8 9−

−= + + + + + + + + +

10. 10. 10. 10. 10. m n

m nm m n m n m n m n m n m n mn n

9 98 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 8+

+= − + − + − + − +

11. 11. 11. 11. 11. m n

m nm m n m n m n m n m n m n mn n

9 98 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 8−

−= + + + + + + + +

12. 12. 12. 12. 12. a x

a xa a x a x a x a x a x a x a x ax x

10 109 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 8 9−

+= − + − + − + − + −

13. 13. 13. 13. 13. 1

11

52 3 4−

−= + + + +

n

nn n n n 14. 14. 14. 14. 14.

1

11

62 3 4 5−

−= + + + + +

a

aa a a a a

15. 15. 15. 15. 15. 1

11

72 3 4 5 6+

+= − + − + − +

a

aa a a a a a

16. 16. 16. 16. 16. 1

11

82 3 4 5 6 7−

+= − + − + − + −

m

mm m m m m m m

17. 17. 17. 17. 17. x

xx x x

43 216

22 4 8

−−

= + + +

18. 18. 18. 18. 18. x

xx x x x x

65 4 3 264

22 4 8 16 32

−+

= − + − + −

19. 19. 19. 19. 19. x

xx x x x x x

76 5 4 3 2128

22 4 8 16 32 64

−−

= + + + + + +

20. 20. 20. 20. 20. a

aa a a a

54 3 2243

33 9 27 81

++

= − + − +

21. 21. 21. 21. 21. x

xx x x x x

65 4 3 2729

33 9 27 81 243

−−

= + + + + +

22. 22. 22. 22. 22. 625

5125 25 5

42 3−

+= − + −

x

xx x x 23. 23. 23. 23. 23.

m

mm m m m m m m

87 6 5 4 3 2256

22 4 8 16 32 64 128

−−

= + + + + + + +

24. 24. 24. 24. 24. x

xx x x x x x x x x

109 8 7 6 5 4 3 21

11

−−

= + + + + + + + + + 25. 25. 25. 25. 25. x y

x yx x y x y xy y

5 54 3 2 2 3 4243

33 9 27 81

++

= − + − +

26. 26. 26. 26. 26. 16 81

2 38 12 18 27

4 43 2 2 3a b

a ba a b ab b

−−

= + + +

27. 27. 27. 27. 27. 64 729

2 332 48 72 108 162 243

6 65 4 3 2 2 3 4 5m n

m nm m n m n m n mn n

−+

= − + − + +

28. 28. 28. 28. 28. 1 024 1

2 1512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

109 8 7 6 5 4 3 2. x

xx x x x x x x x x

−−

= + + + + + + + + +

29. 29. 29. 29. 29. 512

2256 128 64 32 16 8 4 2

9 98 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 8a b

a ba a b a b a b a b a b a b ab b

++

= − + − + − + − +

30. 30. 30. 30. 30. a

aa a a a a

65 4 3 2729

33 9 27 81 243

−−

= + + + + +

EJERCICIO 72

1. 1. 1. 1. 1. x y

x yx x y y

6 6

2 24 2 2 4+

+= − +

2. 2. 2. 2. 2. a b

a ba a b a b b

8 8

2 26 4 2 2 4 6−

+= − + −

3. 3. 3. 3. 3. m n

m nm m n m n m n n

10 10

2 28 6 2 4 4 2 6 8−

−= + + + +

4. 4. 4. 4. 4. a b

a ba a b a b b

12 12

3 39 6 3 3 6 9−

+= − + −

5. 5. 5. 5. 5. a x

a xa a x a x x

12 12

3 39 6 3 3 6 9−

−= + + +

6. 6. 6. 6. 6. x y

x yx x y x y x y y

15 15

3 312 9 3 6 6 3 9 12+

+= − + − +

7. 7. 7. 7. 7. m

mm m

12

48 41

11

++

= − +

EJERCICIO 73

8. 8. 8. 8. 8. m n

m nm m n m n n

16 16

4 412 8 4 4 8 12−

−= + + +

9. 9. 9. 9. 9. a b

a ba a b a b a b a b b

18 18

3 315 12 3 9 6 6 9 3 12 15−

+= − + − + −

10. 10. 10. 10. 10. x y

x yx x y x y y

20 20

5 515 10 5 5 10 15−

+= − + −

11. 11. 11. 11. 11. m n

m nm m n m n m n m n m n n

21 21

3 318 15 3 12 6 9 9 6 12 3 15 18+

+= − + − + − +

12. 12. 12. 12. 12. x

xx x x

24

618 12 61

11

−−

= + + +

13. 13. 13. 13. 13. a b

a ba a b a b a b b

25 25

5 520 15 5 10 10 5 15 20+

+= − + − +

14 14 14 14 14 a m

a ma a m a m a m m

30 30

6 624 18 6 12 12 6 18 24−

−= + + + +

4. 4. 4. 4. 4. x y

x yx x y y

6 3

24 2 227

33 9

−−

= + +

5. 5. 5. 5. 5. x y

x yx y

6 6

3 33 349

77

−+

= −

6. 6. 6. 6. 6. a b

a ba a b a b a b a b a b b

14 14

2 212 10 2 8 4 6 6 4 8 2 10 12−

−= + + + + + +

1. 1. 1. 1. 1. x

xx

4

221

11

−+

= −

2. 2. 2. 2. 2. 8

24 2

3 6

22 2 4m n

m nm mn n

++

= − +

3. 3. 3. 3. 3. 1

11

52 3 4−

−= + + + +

a

aa a a a

7. 7. 7. 7. 7. 1

11

32+

+= − +

a

aa a

8. 8. 8. 8. 8. 16 25

4 54 5

2 4 6

2 32 3x y m

xy mxy m

−+

= −

9. 9. 9. 9. 9. x y

x yx x y x y x y x y x y x y x y y

27 27

3 324 21 3 18 6 15 9 12 12 9 15 6 18 3 21 24+

+= − + − + − + − +

10. 10. 10. 10. 10. a y

a ya a y y

27 27

9 918 9 9 18+

+= − +

11. 11. 11. 11. 11. a b x

a b xa b x

4 4 6

2 2 32 2 364

88

−+

= −

12. 12. 12. 12. 12. 1

11

2 4 8

2 42 4−

−= +

a b c

ab cab c

13. 13. 13. 13. 13. 32 243

2 316 24 36 54 81

5 54 3 2 2 3 4x y

x yx x y x y xy y

++

= − + − +

14. 14. 14. 14. 14. ( )( )

25 1

5 14

2− ++ +

= −a

aa

15. 15. 15. 15. 15. 1

11

12

44 8−

−= + +

x

xx x

EJERCICIO 74

16.16.16.16.16.64 343

4 716 28 49

6 9

2 34 2 3 6x y

x yx x y y

−−

= + +

17. 17. 17. 17. 17. a b

a ba a b a b a b a b b

18 18

3 315 12 3 9 6 6 9 3 12 15−

+= − + − + −

18. 18. 18. 18. 18. ( )( )a x y

a x ya x y

+ −+ −

= + +2 2

19. 19. 19. 19. 19. 1

11

1110 9 8 7 6 5 4 3 2+

+= − + − + − + − + − +

x

xx x x x x x x x x x

20. 20. 20. 20. 20. x y

x yx x y x y x y y

40 40

8 832 24 8 16 16 8 24 32−

−= + + + +

21. 21. 21. 21. 21. 9 36

3 63 6

10

55−

+= −

x

xx

22. 22. 22. 22. 22. x

xx x x x x x x

87 6 5 4 3 2256

22 4 8 16 32 64 128

−−

= + + + + + + +

1.1.1.1.1. x x x2

2

2 3 1

1 2 1 3

1 2 3 2

− + ÷ −

= − ⋅ += − + =

4.4.4.4.4.( ) ( ) ( )

( )

a a a a4 3 2

4 3 2

5 2 6 3

3 5 3 2 3 6

81 5 27 2 9 6

81 135 18 6 228

− + − ÷ +

= − − − + − −

= − − + ⋅ −= + + − =

7. 7. 7. 7. 7. a a a a5 3

5 3

2 2 4 5

5 2 5 2 5 4

3 125 2 125 10 4

3 125 250 10 4 2 881

− + − ÷ −

= − ⋅ + ⋅ −= − ⋅ + −= − + − =

.

. .

10.10.10.10.10.15 11 10 18 3 2

152

311

2

310

2

318

158

2711

4

9

20

318

40

9

44

9

20

318

40 44 60 162

9

18

92

3 2

3 2

x x x x− + + ÷ +

= −

− −

+ −

+

= −

− ⋅ − +

= − − − +

=− − − +

= =

2. 2. 2. 2. 2.

( ) ( ) ( )x x x x3 2

3 2

3 2 2 1

1 3 1 2 1 2

1 3 2 2 8

− + − ÷ +

= − − − + − −= − − − − = −

5. 5. 5. 5. 5. m m m m4 3 2

4 3 2

5 4

4 4 4 5

256 64 16 5 309

+ − + ÷ −

= + − += + − + =

8. 8. 8. 8. 8. 6 3 5 2 1

61

2

1

23

1

25

61

8

1

4

3

25

3

4

1

4

3

25

3 1 6 20

4

12

43

3 2

3 2

x x x x+ + + ÷ +

= −

+ −

+ −

+

= −

+ − + = − + − +

=− + − +

= =

11. 11. 11. 11. 11.5 12 9 22 21 5 2

52

512

2

59

2

522

2

521

516

62512

8

1259

4

25

44

521

16

125

96

125

36

25

44

521

80

125

36

25

44

521

80 180 1 100 2 625

125

1 625

12513

4 3 2

4 3 2

x x x x x− + − + ÷ −

=

−

+

−

+

= ⋅ − ⋅ + ⋅ − +

= − + − +

= − + − +

=− + − +

= =. . .

3. 3. 3. 3. 3. x x x4 3

4 3

5 2

2 2 5

16 8 5 13

− + ÷ −

= − += − + =

6. 6. 6. 6. 6.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

x x x x x x5 4 3 2

5 4 3 2

3 2 4 2 2 3

3 3 3 2 3 4 3 2 3 2

243 3 81 2 27 4 9 6 2

243 243 54 36 8 98

+ − + − + ÷ +

= − + − − − + − − − +

= − + ⋅ − − + ⋅ + += − + + + + =

9. 9. 9. 9. 9. 12 21 90 3 3

12 1 21 1 90

12 21 90 81

3

3

x x x− + ÷ −

= ⋅ − ⋅ += − + =

12. 12. 12. 12. 12. a a a a a6 4 2

6 4 2

8 4 1 2 3

3

2

3

28

3

24

3

21

729

64

81

168

9

4

12

21

729

64

81

1618 6 1

729

64

81

1623

729 324 1 472

64

419

64

+ − + + ÷ +

= −

+ −

− −

+ −

+

= + − ⋅ − +

= + − − + = + −

=+ −

= −.

1. 1. 1. 1. 1. x x x

x s

2 7 5 3

1 7 5 3

3 12

1 4 7

4 7

− + ÷ −−

−

− −= − −Re .

2. 2. 2. 2. 2. a a a

a s

2 5 1 2

1 5 1 2

2 14

1 7 15

7 15

− + ÷ +− −−

−= − Re .

3. 3. 3. 3. 3. x x x x

x x s

3 2

2

2 2 1

1 1 2 2 1

1 2 4

1 2 4 6

2 4 6

− + − ÷ +− − −− −

− −

= − + −Re .

4. 4. 4. 4. 4. x x x x

x s

3 2

2

2 2 2

1 2 1 2 2

2 0 2

1 0 1 0

1 0

− + − ÷ −− −

= + Re .

5. 5. 5. 5. 5. a a a

a a s

3 2

2

3 6 3

1 3 0 6 3

3 18 54

1 6 18 60

6 18 60

− − ÷ +− − −− −

− −

= − + −Re .

EJERCICIO 76

1. 1. 1. 1. 1. x x x2 6 3− − ÷ −Exacta (6 múltiplo de 3)Exacta (6 múltiplo de 3)Exacta (6 múltiplo de 3)Exacta (6 múltiplo de 3)Exacta (6 múltiplo de 3)

2. 2. 2. 2. 2. x x x x3 24 10 2+ − − ÷ +Exacta (10 múltiplo de 2)Exacta (10 múltiplo de 2)Exacta (10 múltiplo de 2)Exacta (10 múltiplo de 2)Exacta (10 múltiplo de 2)

3. 3. 3. 3. 3. 2 5 7 9 3 14 3 2x x x x x− + − + ÷ −Inexacta (1 no anula el polinomio)Inexacta (1 no anula el polinomio)Inexacta (1 no anula el polinomio)Inexacta (1 no anula el polinomio)Inexacta (1 no anula el polinomio)

4. 4. 4. 4. 4. x x x x x5 4 35 7 8 3+ − − + ÷ +Inexacta (8 no es múltiplo de 3)Inexacta (8 no es múltiplo de 3)Inexacta (8 no es múltiplo de 3)Inexacta (8 no es múltiplo de 3)Inexacta (8 no es múltiplo de 3)

5. 5. 5. 5. 5. 4 8 11 4 2 13 2x x x x− − − ÷ −Exacta (4 múltiplo de 1)Exacta (4 múltiplo de 1)Exacta (4 múltiplo de 1)Exacta (4 múltiplo de 1)Exacta (4 múltiplo de 1)

6. 6. 6. 6. 6. 6 2 3 3 3 3 15 4 3 2x x x x x x+ − − + + ÷ +Inexacta (- 1 no anula el polinomio)Inexacta (- 1 no anula el polinomio)Inexacta (- 1 no anula el polinomio)Inexacta (- 1 no anula el polinomio)Inexacta (- 1 no anula el polinomio)

EJERCICIO 756. 6. 6. 6. 6. n n n n

n n n s

4 3

3 2

5 4 48 2

1 5 0 4 48 2

2 14 28 48

1 7 14 24 0

7 14 24 0

− + − ÷ +− − −− −

− −

= − + − Re .

7. 7. 7. 7. 7. x x x

x x x s

4

3 2

3 5 1

1 0 0 3 5 1

1 1 1 2

1 1 1 2 3

2 3

− + ÷ −−

−

−

= + + − Re .

8.8.8.8.8. x x x x x x

x x x s

5 4 3 2

4 3

12 4 2 4

1 1 12 1 4 2 4

4 12 0 4 0

1 3 0 1 0 2

3 2

+ − − − − ÷ +− − − − −

−

− − −

= − − −Re .

9. 9. 9. 9. 9. a a a a

a a a a s

5 3

4 3 2

3 4 6 2

1 0 3 0 4 6 2

2 4 2 4 16

1 2 1 2 8 10

2 2 8 10

− + − ÷ −− −

= + + + + Re .

10.10.10.10.10.

x x x

x x x x s

5 2

4 3 2

208 2076 5

1 0 0 208 0 2 076 5

5 25 125 415 2 075

1 5 25 83 415 1

5 25 83 415 1

− + ÷ −−

− −

− −

= + + − −

.

.

Re .

11.11.11.11.11. x x x x x x

x x x x x s

6 5 4 3 2

5 4 3 2

3 4 3 2 3

1 3 4 3 1 0 2 3

3 18 66 207 618 1 854

1 6 22 69 206 618 1 856

6 22 69 206 618 1 856

− + − − + ÷ +− − − −− − −

− − −

= − + − + −

.

.

Re . .

12. 12. 12. 12. 12. 2 3 7 5 2 1

2 3 7 51

21 1 3

2 2 6 2

3 2

3 2

2

x x x x

x x s

− + − ÷ −

− −

−

− −

= − + −Re .

13. 13. 13. 13. 13. 3 4 5 6 3 2

3 4 5 62

32 4 6

3 6 9 0

2 3 0

3 2

2

a a a a

a a s

− + + ÷ +

− −

− −

−

= − + Re .

14.14.14.14.14. 3 4 4 10 8 3 1

3 4 4 10 81

31 1 1 3

3 3 3 9 5

3 5

4 3 2

3 2

x x x x x

x x x s

− + − + ÷ −

− −

− −

− −

= − + − Re .

15. 15. 15. 15. 15. x x x x x

x x x x s

6 4 3 2

5 4 3

15

81 2 3

1 0 115

81 0 1

3

23

2

9

4

15

80

3

2

9

4

13

2

5

40 1

3

2

5

41

2

3

4

5

8

1

2

3

4

5

4

− + + − ÷ +

− − −

− − −

− −

= − + + − Re .

7. 7. 7. 7. 7. a +1 Es factor de Es factor de Es factor de Es factor de Es factor de a a a3 22 2 5− + +

( ) ( ) ( )− − − + − += − − − + =

1 2 1 2 1 5

1 2 2 5 0

3 2

No existe residuo, luego a + 1 divide exacta- No existe residuo, luego a + 1 divide exacta- No existe residuo, luego a + 1 divide exacta- No existe residuo, luego a + 1 divide exacta- No existe residuo, luego a + 1 divide exacta- mente al polinomio, por lo que se deduce es mente al polinomio, por lo que se deduce es mente al polinomio, por lo que se deduce es mente al polinomio, por lo que se deduce es mente al polinomio, por lo que se deduce es un factor de este. un factor de este. un factor de este. un factor de este. un factor de este.

8. 8. 8. 8. 8. x −5 divide a divide a divide a divide a divide a x x x x x5 4 3 26 6 5 2 10+ + − + −

5 6 5 6 5 5 5 2 5 10

3125 3750 750 125 10 10 0

5 4 3 2+ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ −= − + + + − =

Al sustituir x por 5 en el polinomio, este se Al sustituir x por 5 en el polinomio, este se Al sustituir x por 5 en el polinomio, este se Al sustituir x por 5 en el polinomio, este se Al sustituir x por 5 en el polinomio, este se anula, entonces x - 5 divide con exactitud a anula, entonces x - 5 divide con exactitud a anula, entonces x - 5 divide con exactitud a anula, entonces x - 5 divide con exactitud a anula, entonces x - 5 divide con exactitud a

x x x x x5 4 3 26 6 5 2 10+ + − + −

9. 9. 9. 9. 9. 4 3x − divide a divide a divide a divide a divide a 4 7 7 7 34 3 2x x x x− + − +

43

47

3

47

3

47

3

43

324

256

189

64

63

16

21

43

324 756 1 008 1 344 768

256

0

2560

4 3 2

−

+

−

+

= − + − +

=− + − +

= =. .

La variable x del dividendo se reemplazaLa variable x del dividendo se reemplazaLa variable x del dividendo se reemplazaLa variable x del dividendo se reemplazaLa variable x del dividendo se reemplazapor 3/4 (4x - 3 = 0 luego x = 3/4) que es elpor 3/4 (4x - 3 = 0 luego x = 3/4) que es elpor 3/4 (4x - 3 = 0 luego x = 3/4) que es elpor 3/4 (4x - 3 = 0 luego x = 3/4) que es elpor 3/4 (4x - 3 = 0 luego x = 3/4) que es elvalor de la variable del divisorvalor de la variable del divisorvalor de la variable del divisorvalor de la variable del divisorvalor de la variable del divisor. Se observa. Se observa. Se observa. Se observa. Se observasu anulación, por consiguiente, 4x - 3 essu anulación, por consiguiente, 4x - 3 essu anulación, por consiguiente, 4x - 3 essu anulación, por consiguiente, 4x - 3 essu anulación, por consiguiente, 4x - 3 esun divisor exacto de tal polinomio.un divisor exacto de tal polinomio.un divisor exacto de tal polinomio.un divisor exacto de tal polinomio.un divisor exacto de tal polinomio.

10. 3n + 2 no es factor de10. 3n + 2 no es factor de10. 3n + 2 no es factor de10. 3n + 2 no es factor de10. 3n + 2 no es factor de

3 2 3 2 6 75 4 3 2n n n n n+ − − + + porque 7 no es porque 7 no es porque 7 no es porque 7 no es porque 7 no esmúltiplo de - 2 / 3, lo cual significa que almúltiplo de - 2 / 3, lo cual significa que almúltiplo de - 2 / 3, lo cual significa que almúltiplo de - 2 / 3, lo cual significa que almúltiplo de - 2 / 3, lo cual significa que alreemplazar tal valor en el polinomio re-reemplazar tal valor en el polinomio re-reemplazar tal valor en el polinomio re-reemplazar tal valor en el polinomio re-reemplazar tal valor en el polinomio re-sultará un residuo, por ende la divisiónsultará un residuo, por ende la divisiónsultará un residuo, por ende la divisiónsultará un residuo, por ende la divisiónsultará un residuo, por ende la divisiónno será exacta y 3n + 2 no se puedeno será exacta y 3n + 2 no se puedeno será exacta y 3n + 2 no se puedeno será exacta y 3n + 2 no se puedeno será exacta y 3n + 2 no se puedeconcebir como factor de dicho polinomio.concebir como factor de dicho polinomio.concebir como factor de dicho polinomio.concebir como factor de dicho polinomio.concebir como factor de dicho polinomio.

11. 11. 11. 11. 11. 2 2 4 16 2

4 12 16

2 6 8 0

2 6 8

3 2

2

a a a a

Exacta coc a a

− − + ÷ +− −

−

− +; .

12. 12. 12. 12. 12. a a a a

Exacta coc a a

4 2

3 2

2 2 1

1 1 0 2

1 1 0 2 0

2

− + + ÷ +− −

−

− +; .

13. 13. 13. 13. 13. x x x

Exacta coc x x x

4

3 2

5 6 1

1 1 1 6

1 1 1 6 0

6

+ − ÷ −

+ + +; .

14. 14. 14. 14. 14. x x x x x x

Exacta coc x x x x x

6 4 3 2

5 4 3 2

39 26 52 29 30 6

6 36 18 48 24 30

1 6 3 8 4 5 0

6 3 8 4 5

− + − + − ÷ −− −

− −

+ − + − +; .

15. 15. 15. 15. 15. a a a a a a a

Inexacta coc a a a s

6 5 4 3 2

5 3

4 4 8 25 4

4 0 4 0 4 16

1 0 1 0 1 4 9

4 9

− − + + − + ÷ −− −

− −

− + −; . ; Re .

16. 16. 16. 16. 16. 16 24 37 24 4 4 1

4 5 8 4

16 20 32 16 0

4 5 8 4

4 3 2

3 2

x x x x x

Exacta coc x x x

− + − + ÷ −− −

− −

− + −; .

17. 17. 17. 17. 17. 15 25 18 18 17 11 3 5

25 0 30 20 5

15 0 18 12 3 6

5 6 4 1 6

5 4 3 2

4 2

n n n n n n

Inexacta coc n n n s

+ − − + − ÷ +− −

− − −

− + − −; . ; Re .

18. 18. 18. 18. 18. 7 5 5

35 150

7 30 0

150

2x x k x

Sik se anula

− + ÷ −

= −

19. 19. 19. 19. 19. x x x k x

k luegok

3 23 4 2

2 2 4

1 1 2 0

4 0 4

− + + ÷ −−

−+ = = −,

20. 20. 20. 20. 20. 2 25 3

6 18 54 87

2 6 18 29 0

87 87 0

4a a k a

Parak secumpleque k

+ + ÷ +− −

− −= − + =

21. 21. 21. 21. 21. 20 7 29 4 1

5 3 8

20 12 32 0

8 0 8

3 2x x x k x

k entoces k

− + + ÷ +− −

−− = =

EJERCICIO 77

1. 1. 1. 1. 1. x

xInexacta s

5 1

12

+−

Re .

2. 2. 2. 2. 2. a b

a bInexacta s b

4 442

++

Re .

3. 3. 3. 3. 3. x

xExacta

8

2

1

1

−+

4. 4. 4. 4. 4. a

aInexacta s

11 1

12

+−

Re .

5. 5. 5. 5. 5. a ba b

Inexacta s b6 6

2 262

++

Re .

6. 6. 6. 6. 6. x

xExacta

7 1

1

−−

7. 7. 7. 7. 7. x

xInexacta s

3 8

216

−+

−Re .

8. 8. 8. 8. 8. x

xExacta

4 16

2

−+

9. 9. 9. 9. 9. a

aInexacta s

5 32

264

+−

Re .

10. 10. 10. 10. 10. x

xInexacta s

7 128

2256

−+

−Re .

11. 11. 11. 11. 11. 16 81

2 3

4 4a b

a bExacta

−+

12. 12. 12. 12. 12. a x b

ax bExacta

3 6 9

2 3

++

EJERCICIO 78

1. 1. 1. 1. 1. 5 8 15

5 8 15

3 15

153

5

x x

x x

x

x

x

= −− =−− =−

= −−

=

2. 2. 2. 2. 2. 4 1 2

4 2 1

4 1

14

x

x

x

x

+ == −=

=

3. 3. 3. 3. 3. y y

y y

y

y

y

− = −− =− +− =−

= −−

=

5 3 25

3 25 5

2 20

202

10

4. 4. 4. 4. 4. 5 6 10 5

5 10 5 6

5 1

15

15

x x

x x

x

x

x

+ = +− = −− =−

= −−

=

5. 5. 5. 5. 5. 9 11 10 12

9 12 10 11

3 1

1

3

y y

y y

y

y

− = − +− =− +− =

= −

6. 6. 6. 6. 6. 21 6 27 8

6 8 27 21

2 6

623

− = −− + = −

=

=

=

x x

x x

x

x

x

7. 7. 7. 7. 7. 11 5 1 65 36

16 65 36 1

16 65 35

49 35

3549

57

x x x

x x

x x

x

x

x

+ − = −= − +

− =−− =−

= −−

=

8. 8. 8. 8. 8. 8 4 3 7 14

11 4 8 14

11 8 14 4

3 18

183

6

x x x x

x x

x x

x

x

x

− + = + +− = +

− = +=

=

=

9. 9. 9. 9. 9. 8 9 12 4 13 5

4 9 13

4 13 9

3 22

223

22

3

x x x x

x x

x x

x

x

x

+ − = − −− + =− −− + =− −

− =−

=−−

=

10. 10. 10. 10. 10. 5 6 81 7 102 65

11 81 72 102

11 72 102 81

61 183

18361

3

y y y y

y y

y y

y

y

y

+ − = + +− = +

− = +− =

=−

= −

11. 11. 11. 11. 11. 16 7 5 11 3

8 11 10 3

8 10 3 11

2 14

142

7

+ − + = − −+ = −

− =− −− =−

= −−

=

x x x x

x x

x x

x

x

x

12. 12. 12. 12. 12. 3 101 4 33 108 16 100

68 8 16

16 8 68

15 60

60154

x x x

x x

x x

x

x

x

+ − − = − −− + = −

− + = −= −

=−

= −

13.13.13.13.13. 14 12 39 18 256 60 657

9 14 717 256

9 717 256 14

726 242

2427261

3

− + − = − −+ =− +

+ = −=

=

=

x x x x x

x x

x x

x

x

x

14. 14. 14. 14. 14. 8 15 30 51 53 31 172

88 84 172

88 84 172

172 172

172172

1

x x x x x x

x x

x x

x

x

x

− − − = + −− = −

− − =−− =−

= −−

=

EJERCICIO 79

1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )x x x

x x x

x x

x x

x

x

x

− + = − +− − = − −

− − = −− + = +

=

=

=

2 1 8 3 3

2 1 8 3 3

1 5 3

3 5 1

2 6

6

23

2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )15 10 6 2 3

15 10 6 2 3

15 10 4 1

15 4 10 1

11

111

x x x x

x x x x

x x

x x

x

x

− = − + + − +− = − − − +− = +− = +

=

=

3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( ) ( ) ( )5 3 4 6 8 11 3 6

5 3 4 6 8 11 3 6

1 5 17

5 17 1

4 18

18

4

9

2

− − − + = + − −− + − = + − +

− = +− = +− =

=−

= −

x x x x

x x x x

x x

x x

x

x

x

4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( ) ( ) ( )30 6 5 4 5 6 8 3

30 6 5 4 5 6 8 3

26 2 2 14

26 2 14 2

28 12

12

283

7

x x x x x

x x x x x

x x

x x

x

x

x

− − + + − + =− + + − ++ − − + = − − − +

− = − −+ = − +

= −

= −

= −

5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( ) ( ) ( )15 6 5 2 3 7 23 3 2

15 6 5 2 3 7 23 3 2

10 10 20

10 10 20

20 20

20

201

x x x x x x

x x x x x x

x x

x x

x

x

x

+ − + − − − + = − + − + −− + − + − =− − − + −

= − −+ = −

= −

=−

= −

6. 6. 6. 6. 6. ( )[ ] ( )[ ]

[ ]

3 5 3 8 5 9

3 5 3 8 5 9

3 6 3 3 9

3 6 3 3 9

3 3 3 9

1 3

3 1

2 22

21

x x x x x

x x x x x

x x x

x x x

x x

x x

x x

x x

+ − − + = + − −

+ − − − = − −

+ − − = −− − = −− − = −

− − = −− − = − +

− = − ⇒ =−−

=

7. 7. 7. 7. 7. ( )[ ] ( ) ( )[ ][ ] [ ]

[ ] [ ]

16 3 6 9 30 3 2 3

16 3 6 9 30 3 2 3

16 12 6 30 4 5

16 12 6 30 4 5

4 6 26 5

4 26 5 6

22 11

11

22

1

2

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x

x x

x x

x

x

− − − = + − + − +

− − + = + − − − −

− − = + − −− + = − −

+ = −− = − −− = −

=−−

=

9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ){ }{ }

{ }

9 5 1 2 8 7 5 9 0

9 5 1 2 8 7 5 9 0

4 1 7 9 0

4 1 7 9 0

12 8 0

12 8

8

122

3

x x x x x

x x x x x

x x x

x x x

x

x

x

x

− + − + − − + =

− − − + − + + =

− − + + =− − − + =

− ==

=

=

11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( )[ ]{ }[ ]{ }

[ ]{ }{ }

{ }

− + − − + − − + − + − =−

− + − − + + − − − − =−

− − − − + = −

− − + − =−

− − = −= −

3 8 15 6 3 2 5 4 29 5

3 8 15 6 3 2 5 4 29 5

3 21 21 4 5

3 21 21 4 5

5

5

x x x x

x x x x

x x

x x

x

x

EJERCICIO 80

1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )x x x

x x x

x x

x x

x

x x

+ − = − ++ − = − −

− = − −+ = − +

= −

=−

⇒ = −

3 1 6 4 2 3

3 3 6 8 12

4 3 8 6

4 8 6 3

12 3

3

12

1

4

2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( ) ( )5 1 16 2 3 3 2 7

5 5 32 48 6 21

37 43 5 21

37 5 21 43

32 64

64

322

x x x x

x x x x

x x

x x

x

x x

− + + = − −− + + = − −

+ = −− = − −

= −

=−

⇒ = −

3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( ) ( ) ( )2 3 3 4 5 3 3 5

6 6 20 12 3 5

14 18 8

14 8 18

6 18

18

63

2 2

x x x x x x

x x x x x x

x x

x x

x

x x

+ − − = − − +

+ − + = − − −− + = −− + = −

− = −

=−−

⇒ =

10. 10. 10. 10. 10. ( )[ ] ( ) ( )[ ][ ] [ ]

[ ] [ ]

71 5 2 3 25 3 4 4 3

71 5 2 3 25 3 4 4 3

71 7 3 25 7 7

71 7 3 25 7 7

74 7 32 7

74 32 7 7

42 14

42

143

+ − + − + = − − + − +

+ − − + = − − − − −

+ − + = − − −− + = + +

− = +− = +

=

=

=

x x x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

x

x

x

8. 8. 8. 8. 8. ( ){ }[ ]{ }[ ]

{ }[ ][ ]

[ ]

x x x x

x x x x

x x x

x x x

x x

x x

x

x x

− + − − + = −

− + − − − = −

− + − − = −

− + − + = −

− − = −− + = −

= − +

= ⇒ = =

5 3 5 6 3

5 3 5 6 3

5 3 4 6 3

5 3 4 6 3

11 3

11 3

2 3 11

2 88

24

4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( )184 7 2 5 301 6 1 6

184 14 35 301 6 6 6

149 14 289 6

149 289 6 14

140 20

140

207

− + = + − −− − = + − −

− = +− = +− =

−=

− =

x x

x x

x x

x x

x

x

x

5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( ) ( ) ( )7 18 6 3 5 7 9 3 2 5 12

126 7 18 30 7 9 6 15 12

108 23 13 36

23 13 36 108

36 144

144

364

− − − =− + − + −− − + =− − − − −

+ = − −+ = − −

= −

=−

= −

x x x x

x x x x

x x

x x

x

x

x

6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( ) ( ) ( )3 3 5 7 1 2 7 4 0

3 9 5 35 2 14 4 0

5 25 0

5 25

25

5

5

2

2 2 2

x x x x x x

x x x x x x

x

x

x

x

− + + − + − + + =

− + + − − − − + =− + =

− = −

=−−

=

7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( ) ( ) ( )− + + − + − − − − =− − − + − + − + =

− ==

=

=

3 2 7 5 6 8 1 2 3 0

6 21 5 6 8 16 3 0

4 20 0

4 20

20

45

x x x x

x x x x

x

x

x

x

8. 8. 8. 8. 8. ( )( ) ( )( )3 4 4 3 6 4 2 5

12 9 16 12 12 38 20

25 38 20 12

13 8

8

13

2 2

x x x x

x x x x x

x x

x

x

− − = − −

− − + = − +− + = −

=

=

9. 9. 9. 9. 9. ( )( ) ( )( )4 5 4 5 10 3 7 2

20 41 20 20 76 21

41 76 21 20

35 1

1

35

1

35

2 2

− − = − −

− + − = − + −− = − +− = −

=−

−

=

x x x x

x x x x

x x

x

x

x

10. 10. 10. 10. 10. ( )( ) ( )( )x x x x

x x x x

x x

x

x

x

+ + = + − +

+ + = − − ++ = − −

= −

=−

= −

1 2 5 2 3 4 5

2 7 5 2 5 12 5

7 5 7 5

12 12

12

121

2 2

11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( )x x

x x x x

x

x

x

x

− − − =

− + − + − =− =

=

=

=

2 3 1

4 4 9 6 1

2 5 1

2 6

623

2 2

2 2

12. 12. 12. 12. 12. ( )( ) ( )( )( ) ( )

14 5 1 2 3 17 10 1 6

14 10 13 3 17 10 59 6

14 10 13 3 17 10 59 6

13 59 6

72 6

6

72

1

12

2 2

2 2

− − + = − + −

− + − = − − −

− − + = − + +− − =

− =

=−

= −

x x x x

x x x x

x x x x

x x

x

x

x

13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x

x

x

x

− + − = + − − + − +

− + + − = + − − + − +

− + = + − − − + +

− + = + − +− − = −

− = −

=−−

=

2 3 3 4 3 2 1 2

4 4 3 3 12 2 2

2 7 4 3 3 36 2 2

2 7 4 2 2 36 4

7 2 36

9 36

36

9

4

2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( ) ( ) ( )( )3 1 5 2 2 3 5 2 1 0

9 6 1 5 10 4 12 9 5 3 2 0

20 4 0

20 4

4

20

1

5

2 2

2 2 2

x x x x x

x x x x x x x

x

x

x

x

− − − − + − + − =

− + − + − − − − + + =− + =

− = −

=−−

=

15. 15. 15. 15. 15. ( ) ( ) ( )( ) ( )2 3 3 1 5 3 4 5 1 4 12

2 12 18 3 6 3 8 15 4 20 4 4 12

4 46 34 4 12

46 12 34

46 46

46

46

1

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x

x

x

x

x

− − + + − − + − + = −

− + − − − + − + + − + = −

− + = −− = − −− = −

=−−

=

16. 16. 16. 16. 16. ( ) ( ) ( )( )5 2 5 3 2 1 5 2 10 0

5 20 20 5 30 45 10 2 10 0

51 27 0

51 27

27

51

9

17

2 2 2

2 2 2 2

x x x x x

x x x x x x x

x

x

x

x

− − + + − + − =

− + − − − + − − − =− − =

− =

=−

= −

17. 17. 17. 17. 17. ( ) ( ) ( )x x x x x x

x x x x x x

x x

x x

x

x

2

2 2

5 15 3 14 5 2 3 13 2

5 15 3 14 5 10 39 6

5 15 4 15

5 4 0

0

0

− + = − − + − + −

− + = − − + − + −− + = − +− + =

− ==

18. 18. 18. 18. 18. ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )

3 5 6 3 2 6 3 4 1 3 9 1 2 0

3 15 8 12 6 3 4 3 9 17 2 0

45 24 36 18 6 24 27 51 6 0

21 6 0

21 6

6

212

7

2 2 2

2 2 2

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x

x

x

x

− + − + − − + − =

− − − + − − − − =

− − − − + − + + =− =

=

=

=

EJERCICIO 81

19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( ) ( )( )7 4 3 5 4 1 1 2

7 56 112 3 30 75 4 4 2

4 86 37 4 6

86 6 37

86 43

43

86

1

2

2 2

2 2 2

2 2

x x x x

x x x x x

x x x

x

x

x

x

− − + = + − −

− + − − − = − −

− + = −− = − −− = −

=−−

=

20. 20. 20. 20. 20. ( ) ( ) ( ) ( )5 1 6 3 7 3 2 5 2

5 10 5 6 18 42 3 2 10 2

8 47 13 2

8 13 2 47

21 49

49

217

3

2 2

2 2 2 2

2 2

− − − − = − − + −

− + − + + = − − − −

− + + =− − −+ = − −

= −

=−

= −

x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x

x x

x

x

x

1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )[ ][ ]

[ ]

14 3 2 5 2 1 0

14 3 2 5 2 1 0

11 2 4 3 0

11 2 4 3 0

7 1 0

7 1

1

7

x x x x

x x x x

x x

x x

x

x

x

− − − + − − =

− + − + − + =

+ − + =+ − − =

− ==

=

2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )( ) ( )[ ]( ) [ ]

3 7 5 2 1 2 3 1

9 42 49 5 2 3 2 3 1

9 42 49 10 15 10 3 1

27 59 3 1

27 3 1 59

30 58

58

30

29

15

2 2

2 2 2

2 2 2

x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x

x x

x

x x

− − + − =− − − +

− + − − − =− − − −

+ − + − + + = +− + = +− − = −

− = −

=−−

⇒ =

3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )[ ]{ }[ ]{ }

{ }{ }

6 2 1 5 2 1

6 2 1 5 2 1

4 1 5 2 1

4 1 3 1

4 1 3 1

4 3 1 1

0

x x x x

x x x x

x x x

x x

x x

x x

x

− + = − − + − − −

− − = − − + +

− = − − + +

− = − − +− = −

− = − +=

4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( ) ( ){ }{ }{ }

2 3 1 3 2 1 3 2

2 3 3 3 2 2 3 6

2 3 3 3 8

2 3 3 3 8

2 8 3

11

2 2

2 2

2 2

2 2

x x x x x

x x x x x

x x x x

x x x x

x x

x

+ − − = − + − − +

− − = − + − − −

− − = − − −

− − = − + +− = +

=

5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )[ ]{ }[ ]{ }

[ ]{ }{ }

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x

x x x

x

x

x

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

3 1 4 1 4 0

3 4 4 4 0

3 4 0

3 4 0

4 4 0

4 4

4

4

1

− + + + − − =

− + + + − − =

− + + − =

− + + − =

− − + =− = −

=−−

=

6. 6. 6. 6. 6. ( )( ) ( ) ( ){ }[ ]( ) { }[ ]

[ ]

3 2 1 3 2 5 3 5 10

3 2 5 3 4 20 25 3 15 10

6 15 9 4 20 25 3 15 10

10 5 16 3 15 10

5 3 16 15

2 1

1

2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x

x

x

+ − + − + =− − − + +

− + + − − − =− − − − +

− + + − − − =− + +

− − − = − − −− + = −

− =

= −

7. 7. 7. 7. 7. ( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x

x x

x

x x

+ + − = − + +

+ + − = − − +

− + − + − = + − − − −− − = − −

− + = − +− =

=−

⇒ = −

1 2 3 2 1 1

3 2 3 2 1

3 3 9 2 6 2 2

7 6 3 2

7 3 2 6

4 4

4

41

2 2

3 2 2 3 2 2

8. 8. 8. 8. 8. ( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )x x x x x x

x x x x x

x x x x x x x x

x x x x

x x

x

x x

+ + − = + + − +

+ + − = + − +

− + − + − = − + − +

+ − = − −+ = − +

= −

=−

⇒ = −

2 3 1 4 4 4 7

5 6 1 4 16 7

5 5 6 6 16 4 64 7

4 6 4 16 57

16 57 6

17 51

51

173

2 2

3 2 2 3 2

2 2

9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ) ( )( )

x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x

x

x x

+ − − = −

+ + + − − + − = −

+ + + − + − + = −+ = −

= −

−= ⇒ − =

1 1 6 3

3 3 1 3 3 1 6 18

3 3 1 3 3 1 6 18

6 2 6 18

2 18

2

18

1

9

3 3

3 2 3 2 2

3 2 3 2 2

2 2

10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

3 2 5 3 1 1 3

3 4 4 5 3 2 1 1 3

3 12 12 5 3 6 3 1 3

3 15 12 60 12 60 3 3 6 6 3 3 3

3 48 60 3 3

48 3 60

45 60

6045

43

2 2

2 2

2 2

3 2 2 3 2 2

2 2

x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x

x x

x

x x

− + = + − +

− + + = + + − +

− + + = + + − +

+ − − + + = − + − + − +

− + = −− + = −

− = −

=−−

⇒ =

EJERCICIO 82

1. 1. 1. 1. 1. x N mayor

x N menor

x x

x

x

x

x N mayor

x

N menor

→− →+ − =

− == +

=

= →

− ⇒ −= →

º

º

º

º

8

8 106

2 8 106

2 106 8

114

257

8 57 8

49

2. 2. 2. 2. 2. x N mayor

x N menor

x x

x

x

x

x N mayor

x

N menor

→− →+ − =

= +=

=

= →

− ⇒ −= →

º

º

º

º

32

32 540

2 540 32

2 572

5722

286

32 286 32

254

3. 3. 3. 3. 3. A B bs

A B

A A

A

A

A

A bs

A B

B

bs B

+ =− =+ − =

= +=

=

=

− =⇒ − =

=

1 154

506

506 1 154

2 1 154 506

2 1660

1660

2830

506

830 506

324

. .

.

.

.

.

.

.

4. 4. 4. 4. 4. x N mayor

x N menor

x x

x

x

x x N mayor

x

N menor

→− →+ − =

= +

=

= →

− ⇒ −= →

º

º

º

º

24

24 106

2 106 24

130

265

24 65 24

41

5. 5. 5. 5. 5. A B años

A B

A A

A

A

A años

A B

B

años B

+ =+ =+ + =

= −

=

=

+ =+ =

=

56

14

14 56

2 56 14

422

21

14

21 14

35

6. 6. 6. 6. 6. A B soles

A B

A A

A

A

A soles

A B

B

soles B

+ =− =+ − =

= +

=

=

− =⇒ − =

=

1080

1014

1014 1080

2 1080 1014

2 0942

1047

1014

1047 1014

33

.

.

. .

. .

.

.

.

. .

7. 7. 7. 7. 7. x N mayor

x N menor

x x

x

x

x N mayor

x

N menor

→− →+ − =

= +

=

= →

− ⇒ −= →

º

º

º

º

1

1 103

2 103 1

104

252

1 52 1

51

8. 8. 8. 8. 8. x N menor

x N medio

x N mayor

x x x

x

x

x

x N menor

x

N medio

x

N mayor

→+ →+ →+ + + + =

+ == −

=

= →

+ ⇒ += →

+ ⇒ += →

º

º

º

º

º

º

1

2

1 2 204

3 3 204

3 204 3

201

367

1 67 1

68

2 67 2

69

9. 9. 9. 9. 9. x N x N

x N x N

x x x x

x

x

x

x N

x

N

x x

N N

→ + →+ → + →+ + + + + + =

+ == −

=

= →+ ⇒ +

= →+ ⇒ + + ⇒ +

= → = →

º º

º º

º

º

º º

1 1 2

2 3 3 4

1 2 3 74

4 6 74

4 74 6

684

17 1

1 17 1

18 2

2 17 2 3 17 3

19 3 20 4

10. 10. 10. 10. 10. 2

2 2

2 2 2 194

4 194 2

1924

48

2 2 48

96

2 2 2 48 2

96 2

98

x N menor

x N mayor

x x

x

x

x

x

N menor

x

N mayor

→+ →+ + =

= −

=

=⇒ ⋅= →+ ⇒ ⋅ +

= += →

º

º

º

º

11. 11. 11. 11. 11. x N mayor

x N medio

x N menor

x x x

x

x

x

x N mayor

x

N medio

x

N menor

→− →

− →+ − + − =

− ==

=

= →− ⇒ −

= →− ⇒ −

= →

º

º

º

º

º

º

1

2

1 2 186

3 3 186

3 189

1893

63

1 63 1

62

2 63 2

61

12. 12. 12. 12. 12. caballo coche arreos

coche caballo

coche arreos

coche coche coche

coches

coches

coche

coche

coche caballo

caballo

caballo

coche arreos

arreos

arreos

+ + =+ =− =

+ + + − =+ =

=

=

=

+ =⇒ + =

=− =

⇒ − ==

325

80

25

80 25 325

3 55 325

3 270

270390

80

90 80

170

25

90 25

65

$

$

$

13. 13. 13. 13. 13. x N mayor

x N medio

x N menor

x x x

x

x

x

x N mayor

x

N medio

x

N menor

→− →− →+ − + − =

− ==

=

= →− ⇒ −

= →− ⇒ −

= →

º

º

º

º

º

º

32

65

32 65 200

3 97 200

3 297

2973

99

32 99 32

67

65 99 65

34

14. 14. 14. 14. 14. x cesto

x cesto

x cesto

x x x

x

x

x

x cesto

x

cesto

x

cesto

→− →− →+ − + − =

− ==

=

= →− ⇒ −

= →− ⇒ −

= →

1

10 2

15 3

10 15 575

3 25 575

3 600

6003

200 1

10 200 10

190 2

15 200 15

185 3

º

º

º

º

º

º

15. 15. 15. 15. 15. x mayor

x medio

x menor

x x x

x

x

x

x

x mayor

x

medio

x

menor

→− →− →+ − + − =

− == +=

=

= →− ⇒ −

= →− ⇒ −

= →

55

70

55 70 454

3 125 454

3 454 125

3 579

579

3193

55 193 55

138

70 193 70

123

16. 16. 16. 16. 16. x

x

x

x

x x x

x

x

x

x

x

x

→− →

− − →⇒ − →

+ − + − == +=

=

= →− ⇒ −

= →− ⇒ −

= →

1

20 2

20 40 3

60 3

20 60 310

3 310 80

3 390

390

3130 1

20 130 20

110 2

60 130 60

70 3

º

º

º

º

º

º

º

17. 17. 17. 17. 17. x mayor

x menor

x medio

x x x

x

x

x

x

x mayor

x

menor

x

medio

→− →− →+ − + − =

− == +=

=

= →− ⇒ −

= →− ⇒ −

= →

20

18

20 18 88

3 38 88

3 88 38

3 126

126

342

20 42 20

22

18 42 18

24

18. 18. 18. 18. 18. x mayor

x menor

x x

x

x

x

x

x mayor

x

menor

→− →+ − =

− == +=

=

= →

− ⇒ −= →

36

36 642

2 36 642

2 642 36

2 678

678

2339

36 339 36

303

EJERCICIO 831. 1. 1. 1. 1. x edadJuan

x edadPedro

x x

x

x

x edadJuan

x

edadPedro

→→

+ ==

=

= →⇒ ⋅= →

3

3 40

4 40

40

410

3 3 10

30

2. 2. 2. 2. 2. x Arreos

x Caballo

x x

x

x

x Arreos

x

Caballo

→→

+ ==

=

= →⇒ ⋅= →

4

4 600

5 600

6005120

4 4 120

480

$

$

3. 3. 3. 3. 3. x piso

xpiso

xx

x x

x

x

x

x Habt piso

x

Habt piso

→

→

+ =

+ =

= ⋅=

=

= →

⇒

= →

1

22

248

22

48

3 48 2

3 96

963

32 1

2322

16 2

º

º

. º

. º

4. 4. 4. 4. 4. A B C

B A

C A

A A A

A

A

A colones

B A

colones

C A

colones

+ + ===

⇒ + + ==

=

== ⇒ ⋅

== ⇒ ⋅

=

300

2

3

2 3 300

6 300

300

650

2 2 50

100

3 3 50

150

5. 5. 5. 5. 5. A B C

AB

C B

BB B

BB

B B

B

B

B Sucres

AB

Sucres

C B

Sucres

+ + =

=

=

⇒ + + =

+ =

+ =

= ⋅

=

=

= ⇒

== ⇒ ⋅

=

133

22

22 133

23 133

62

133

7 133 2

2667

38

2382

19

2 2 38

76

6. 6. 6. 6. 6. x N mayor

xN menor

xx

x x

x

x

x

x N mayor

x

N menor

→

→

+ =

+=

= ⋅=

=

= →

⇒

= →

º

º

º

º

6

6147

6

6147

7 147 6

7 882

8827

126

6126

621

7. 7. 7. 7. 7. A B C

BA

B A

BC

B C

B B B

B

B

B Quetz

A B

Quetz

C B

Quetz

+ + =

= ⇒ =

= ⇒ =

+ + ==

=

== ⇒ ⋅

== ⇒ ⋅

=

140

22

44

2 4 140

7 140

1407

20

2 2 20

40

4 4 20

80

.

.

.

8. 8. 8. 8. 8. x parte

x parte

x parte

x x x

x

x

x parte

x

parte

x

parte

→→→

+ + ==

=

= →⇒ ⋅= →⇒ ⋅= →

1

4 2

5 3

4 5 850

10 850

85010

85 1

4 4 85

340 2

5 5 85

425 3

º

º

º

º

º

º

9. 9. 9. 9. 9. x N buscado

x x

x x

x N buscado

→= +

− == →

º

º

2 111

2 111

111

10. 10. 10. 10. 10. x edadRosa

x edadMaría

x x

x

x

x

x edadRosa

x

edadMaría

→+ →

+ + == −=

=

= →+ ⇒ ⋅ +

= += →

3 15

3 15 59

4 59 15

4 44

444

11

3 15 3 11 15

33 15

48

11. 11. 11. 11. 11. x N buscado

x x

x x

x

x

x N buscado

→= +

− ==

=

= →

º

º

8 21

8 21

7 21

21

73

12. 12. 12. 12. 12. x Mi edad

x

x

x

x

x Mi edad

→+ =

= −=

=

= →

3 7 100

3 100 7

3 93

933

31

13. 13. 13. 13. 13. x parte

xparte

xparte

xx x

x x x

x

x

x

x parte

xparte

xparte

→

→

→

+ + =

+ +=

= ⋅=

=

= →

⇒ = →

⇒⋅

= ⋅ = →

1

32

43

3

343

96

3 43

96

8 96 3

8 288

2888

36 1

3363

12 2

43

4 363

4 12 48 3

º

º

º

º

º

º

14. 14. 14. 14. 14. x EdadEnrique

x EdadPedro

x EdadJuan

x EdadEugenio

x x x x

x

x

x EdadEnrique

x EdadPedro

x EdadJuan

x EdadEugenio

→→→→

+ + + ==

=

= →⇒ ⋅ = →⇒ ⋅ = →⇒ ⋅ = →

2

3

6

2 3 6 132

12 132

13212

11

2 2 11 22

3 3 11 33

6 6 11 66

EJERCICIO 84

1. 1. 1. 1. 1. x parte

x parte

x parte

x x x

x

x

x

x parte

x parte

x

parte

→→

− →+ + − =

= +=

=

= →⇒ ⋅ = →− ⇒ ⋅ −

= − = →

1

3 2

3 40 3

3 3 40 254

7 254 40

7 294

294

742 1

3 3 42 126 2

3 40 3 42 40

126 40 86 3

º

º

º

º

º

º

2. 2. 2. 2. 2. A B C

C A

B C B A

B A

A A A

A

A

A

A Balb

B A Balb

C A Balb

+ + ==

− = ⇒ − == +

+ + + == −=

=

== + ⇒ ⋅ + = + == ⇒ ⋅ =

130

2

15 15 2

2 15

2 15 2 130

5 130 15

5 115

1155

23

2 15 2 23 15 46 15 61

2 2 23 46

.

.

.

3. 3. 3. 3. 3. x Número

xNúmero

x Número

xx

x

xx

x x

x

x

x Número

xNúmero

x Número

→− →

− →

+ − + − =

+ − =

+ = +

= ⋅

=

= →− ⇒ − = = →

− ⇒ − = →

1

82

2

18 3

82

18 238

22

8

2256

42

256 4

5 260 2

520

5104 1

82

104 82

962

48 2

18 104 18 86 3

º

º

º

º

º

º

4. 4. 4. 4. 4. x Costo traje

xCosto sombrero

x Costo bastón

xx

x

xx

x x

x

x

x Costo traje

xCosto sombrero

x Costo bastón

→

→

− →

+ + − =

+ = +

+=

= ⋅

=

= →

⇒ = →

− ⇒ − = →

830

830 259

28

259 30

168

289

17 289 8

2 31217136

8136

817

30 136 30 106

.

$

$

$

5. 5. 5. 5. 5. x Número

xNúmero

x Número

xx

x

xx

x x

x

x

x

x Número

x

Número

x Número

→−

→

− →

+−

+ − =

+ − =

+= +

=+

=

=

= →−

⇒−

= = →

− ⇒ − = →

1

6

52

6 3

6

56 72

25

6

578

10

578

6

511

5

390 6

511 396

39611

36 1

65

36 65

305

6 2

6 36 6 30 3

º

º

º

º

º

º

6. 6. 6. 6. 6. A B

B A

A A

A

A

A

A bs

B A

bs

+ == +

+ + == −=

=

== + ⇒ ⋅ +

= + =

99

3 19

3 19 99

4 99 19

4 80

804

20

3 19 3 20 19

60 19 79

.

.

7. 7. 7. 7. 7. x cm de azúl

xcm deblanco

xx

xx

x x

x

x

x cmde azúl

x

cmde blanco

→− →

+ − =

+ − =

+= +

= ⋅

=

= →− ⇒ −

= = →

142

142

74

2142

74

22

74 7

3 81 2

1623

54

142

54 142

402

20

8. 8. 8. 8. 8. A B C

B AB

A

B C

BB B

BB

B B

B

B

B

AB

C B

+ + =

= − ⇒+

=

− =+

+ + − =

+ + = +

+= −

= ⋅

=

=

=+

⇒+

= =

= − ⇒ − =

152

2 88

232

8

232 152

282

2 152 32

4

2184 4

5 180 2

360572

8

2

72 8

2

80

240

32 72 32 40

$

$

$

9. 9. 9. 9. 9. x N buscado

x x

x x

x

x

x N buscado

→− = −+ = +

=

=

= →

º

º

80 220 2

2 220 80

3 300

300

3100

10. 10. 10. 10. 10. x Tengo ahora

x x

x x

x S Tengo ahora

→+ = +− = −

= →

2 10 60

2 60 10

50 /.

11. 11. 11. 11. 11. x Parte separada

x Laotraparte

x x

x

x

x cm

m Parte separada

x cm

m Laotraparte

→+ →+ + =

= −

=

=⇒ →

+ ⇒ + =⇒ →

80

80 910

2 910 80

830

2415

4 15

80 415 80 495

4 95

,

,

12. 12. 12. 12. 12. x Edad padre

xEdad hijo

xx

xx

x x

x

x

x Edad padre

xEdad hijo

→−

→

+−

=

+ − =

+ = +

= ⋅

=

= →−

⇒−

= = →

33

33

83

333

83

33

83 1

4 84 3

2524

63

33

63 33

603

20

EJERCICIO 85

13. 13. 13. 13. 13. A B C

B A

B C

B B B

B

B

B Votos

A B Votos

C B Votos

+ + =+ =− =

+ + + − == +

=

== + ⇒ + == − ⇒ − =

9 000

500

800

500 800 9 000

3 9 000 300

9 3003

3 100

500 3 100 500 3 600

800 3 100 800 2 300

.

.

.

.

.

. .

. .

14. 14. 14. 14. 14. x N buscado

x x

x x

x

x

x N buscado

→− = −

+ = +=

=

= →

º

º

8 60 60 7

8 7 60 60

15 120

120

158

15. 15. 15. 15. 15. x Edad bre

x x

x x

x

x

x Edad bre

→− = −+ = +

=

=

= →

hom

hom

2 17 100

2 100 17

3 117

117

339

1. 1. 1. 1. 1. x N mayor

xN menor

xx

x x

x

x

x N mayor

xN menor

→

→

+ =

+ =

= ⋅

=

= →

⇒ ⋅ = →

º

º

º

º

23

23

100

3 23

100

5 100 3

3005

60

23

2 603

40

2. 2. 2. 2. 2. x Edad padre

xEdad hijo

xx

xx

x x

x

x

x

x Edad padre

xEdad hijo

→− →

+ − =

+ − =

+= +

= +

=

=

= →−

⇒−

= →

152

152

60

2152

60

22

60152

32

120 152

3 135

1353

45

152

45 152

15

3. 3. 3. 3. 3. x Partemayor

x Partemenor

x x

x

x

x Partemayor

x

Partemenor

→− →+ − =

= +

=

= →− ⇒ −

= →

232

232 1 080

2 1 080 232

1 312

2656

232 656 232

424

.

.

.

4. 4. 4. 4. 4. A B

A B

A A

A

A

A Soles

B A

Soles

+ =− =+ − =

= +

=

== − ⇒ −

=

150

46

46 150

2 150 46

196

298

46 98 46

52

5. 5. 5. 5. 5. x Ang mayor

xAng menor

xx

xx

x x

x

x

x

x Ang mayor

xAng menor

→+

→

++

=

+ + =

+= −

=−

=

=

= →+

⇒+

= →

.

.

.

.

45

245

2180

2

45

2180

2

2180

45

23

2

360 45

23 315

315

3

105

45

2

105 45

275

∃

∃

6. 6. 6. 6. 6. x N mayor

xN menor

xx

xx

x x

x

x

x

x N mayor

x

N menor

→−

→

+−

=

+ − =

+= +

=+

=

=

= →−

⇒−

= = →

º

º

.

.

.

º

º

88

388

3540

3

88

3540

3

3540

88

34

3

1 620 88

34 1 708

1708

4427

88

3

427 88

3339

3113

7. 7. 7. 7. 7. x N mayor

xN menor

xx

xx

x x

x

x

x

x N mayor

xN menor

→−

→

−−

=

− + =

−= −

= ⋅=

=

= →−

⇒−

= →

º

º

º

º

12

412

436

4

12

436

4

436 3

3 33 4

3 132

132

344

12

4

44 12

48

8 8 8 8 8 x Costo perro

xCosto collar

xx

x x

x

x

x

x Costo perro

xCostocollar

→

→

+ =

+=

= ⋅=

=

= →

⇒ = →

8

854

8

854

9 54 8

9 432

432

948

8

48

86

$

$

11. 11. 11. 11. 11. x Parte mayor

xParte menor

xx

xx

x x

x

x

x Parte mayor

x

Parte menor

→+

→

++

=

+ = −

+=

−

=

=

= →+

⇒+

= = →

16

316

3160

3160

16

33

3

480 16

34 464

464

4116

16

3

116 16

3132

344

EJERCICIO 86

9. 9. 9. 9. 9. A B

A B

A B

A B

A A

A

A

A

B A

+ =− = +

⇒ − − =− =

+ − == +

=

== − ⇒ − =

84

16 20

16 20

36

36 84

2 84 36

120

260

36 60 36 24

$

$

12.12.12.12.12. x N mayor

xN menor

xx

xx

x x

x

x

x N mayor

x

N menor

→+ →

++

=

+ = −

+=

−

=

=

= →+ ⇒ +

= = →

º

º

.

.

.

º

º

1503

1503

506

3506

1503

33

1518 1503

4 1368

1 3684

342

1503

342 1503

4923

164

10. 10. 10. 10. 10. x N Señoritas

xN Jovenes

xx

xx

x x

x

x

x N Señoritas

xN jovenes

→−

→

+−

=

+ = +

+=

+

=

=

= →−

⇒−

= →

º

º

º

º

15

215

260

260

15

22

2

120 15

23 135

135

345

15

2

45 15

215

13. 13. 13. 13. 13. x Esti ráfica

x Lapicero

x x

x

x

x bs Esti ráfica

x bs Lapicero

→− →+ − =

=

=

= →− ⇒ − = →

log

. log

.

10

10 18

2 28

28

214

10 14 10 4

14. 14. 14. 14. 14. x Parte roja

x Parte negra

x x

x

x cm Parte roja

x cm Parte negra

→+ →+ + =

== →

+ ⇒ + = →

4

4 84

2 80

40

4 40 4 44

1. 1. 1. 1. 1.

( )

2

2 10 3 10

2 10 3 30

2 3 30 10

20

20

2 2 20 40

x Edad actual A

x Edad actual B

x x

x x

x x

x

x Edad actual B

x Edad actual A

→→

− = −− = −

− = − +− = −

= →⇒ ⋅ = →

2. 2. 2. 2. 2.

( )

3

3 5 2 5

3 5 2 10

3 2 10 5

5

3 3 5 15

x Edad A

x Edad B

x x

x x

x x

x Edad B

x Edad A

→→

+ = ++ = +

− = −= →

⇒ ⋅ = →

3. 3. 3. 3. 3. 2

2 30 5

2 30 5

25

2 2 25 50

x TieneA

x TieneB

x x

x x

x TieneB

x TieneA

→→− = −− = −

= →⇒ ⋅ = →

$

$

4. 4. 4. 4. 4.

( )

( )( )

xTiene A

x Tiene B

xx

xx

x x

x x

x

x

x colones Tiene B

xcolonesTiene A

2

266 2 90

132

22 90

132 4 90

132 4 360

3 492

492

3

164

2

164

282

→

→

+ = −

+= −

+ = −+ = −− = −

=−

−= →

⇒ = →

5. 5. 5. 5. 5. x N ones

xN Srtas

xx

xx

x x

x

x N ones

xN Srtas

→

→

+ = −

− = − −

− = −

− =−= →

⇒ = →

ºvar

º

ºvar

º

3

314 10

310 14

33

24

2 72

36

3363

12

6.6.6.6.6.

( )

3

3 5 2 10

3 5 2 20

25

3 3 25 75

x Edad padre

x Edad hijo

x x

x x

x Edad hijo

x Edad padre

→→

− = +− = +

= →⇒ ⋅ = →

7. 7. 7. 7. 7. x N mayor

x N menor

x x

x

x

x N mayor

x

N menor

→− →

+ − ==

=

= →− ⇒ ⋅ −

= − = →

º

º

º

º

2 56

2 56 85

3 141

1413

47

2 56 2 47 56

94 56 38

10. 10. 10. 10. 10. 4

4 15 21

4 21 15

3 36

363

12

4 4 12

48

x DíasTrab Pedro

x DíasTrab Enrique

x x

x x

x

x

x DíasTrab Enrique

x

DíasTrab Pedro

→→− = +− = +

=

=

= →⇒ ⋅= →

.

.

.

.

EJERCICIO 87

8. 8. 8. 8. 8. 5

5 0 5 0 5

5 0 5 0 5

4 1

14

0 25

5 5 0 25

1 25

x Tiene Enrique

x Tienesuhno

x x

x x

x

x

x Tiene suhno

x

Tiene Enrique

→→− = +

− = +=

=

= →⇒ ⋅= →

.

, ,

, ,

$ ,

,

$ ,

11. 11. 11. 11. 11.

( )

2

2 14 3 14

2 14 3 42

2 3 42 14

28

28

14

2 14 2 28 14

42

14 28 14

14

x Edad act padre

x Edad act hijo

x x

x x

x x

x

x Edad act hijo

Edadeshace años

x

años padre

x

años hijo

→→

− = −− = −− = − +

− = −= →

− ⇒ ⋅ −= →

− ⇒ −= →

.

.

.

:

9. 9. 9. 9. 9. x Bolsa

x Bolsa

x x

x

x S Bolsa

x S Bolsa

→− →+ − =

== →

− ⇒ − = →

1

400 2

400 1 400

2 1 800

900 1

400 900 400 500 2

.

.

/.

/.

12. 12. 12. 12. 12.

( )

3

3 22 2 22

3 2 44 22

22

3 3 22 66

x Edad actual Juan

x Edad actual hijo

x x

x x

x Edad actualhijo

x Edad actual Juan

→→

+ = += + −= →

⇒ ⋅ = →

13. 13. 13. 13. 13. ( )

A B A B

A B

B B

B B

B

B

B

A B

+ = ⇒ = −

+ = +⇒ − + = +

− − = −− = −

=−−

== − ⇒ − =

84 84

80 3 4

84 80 3 12

3 12 164

4 152

152

4

38

84 84 38 46

$

$

1. 1. 1. 1. 1. 2

4 50 702

54 702

70254

13

2 2 13

26

x N Sombreros

x N trajes

x x

x

x

x N trajes

x

N Sombreros

→→+ =

=

=

= →⇒ ⋅= →

º

º

º

º

2. 2. 2. 2. 2.

( )

x Cab

x Vacas

x x

x x

x

x

x Cab

x Vacas

→− →

+ − =+ − =

=

=

= →− ⇒ − = →

.

.

. .

. .

.

.

.

6

600 800 6 40 000

600 800 4 800 40 000

1 400 44 800

44 800

1 400

32

6 32 6 26

3. 3. 3. 3. 3.

( )

16

12 16 5 73

192 12 5 73

17 73 192

119

17

7

16 16 7 9

− →→

− − =− − =

− = −

=−−

= →− ⇒ − = →

x ob reslt

x ob noreslt

x x

x x

x

x

x ob noreslt

x ob reslt

Pr . .

Pr . .

Pr . .

Pr . .

4. 4. 4. 4. 4.

( )

50

3 50 2 90

150 3 2 90

5 60

60

5

12

50 50 12 38

− →→

− − =− − =

− = −

=−−

= →− ⇒ − = →

x Días trab

x Días no trab

x x

x x

x

x

x Días no trab

x Días trab

.

.

.

.

5. 5. 5. 5. 5.

( )

35 30

25

30 35 25 1 015

1 050 30 25 1 015

5 1 015 1 050

35

5

7 25

35 35 7 28 30

− →→

− + =− + =

− = −

=−−

= →− ⇒ − = →

x Trajesde Q

x Trajes de Q

x x

x x

x

x

x Trajes de Q

x Trajesde Q

.

. .

. .

6.6.6.6.6.

( )

x TrajeCal

x Traje

x x

x x

x

x

x balb TrajeCal

x balb Traje

→− →

+ − =+ − =

=

=

= →− ⇒ − = →

.

inf.

.

.

.

.

. .

. inf.

7

32 18 7 1 624

32 18 126 1 624

50 1 750

1 750

5035

7 35 7 28

8. 8. 8. 8. 8.

( )

3 5

6 3 5 5 582

18 30 5 582

23 552

552

2324

24

3 5 3 24 5

77

x Sac Frij

x Sac azúc

x x

x x

x

x

x

Sac azúc

x

Sac Frij

+ →→

+ + =+ + =

=

=

=⇒ →

+ ⇒ ⋅ += →

. .

. .

. .

. .

9. 9. 9. 9. 9.

( )

80

0 75 80 0 90 68 40

60 0 75 0 90 68 40

0 15 8 40

8 40

0 15

56

56

80 80 56

24

3

3

− →→

− + =− + =

=

=

=

⇒ →− ⇒ −

= →

x Cedro

x Caoba

x x

x x

x

x

x

pies Caoba

x

pies Cedro

, , ,

, , ,

, ,

,

,

10. 10. 10. 10. 10.

( )

1 050

3 1 050 2 1 825

3 150 3 2 1 825

5 1 825 3 150

5 1 325

1 325

5

265

265

1 050 1 050 265

785

. .

.

. .

. .

. .

.

.

.

. .

.

− →→

− − =− − =

− = −− = −

=−

−=

⇒ →− ⇒ −

= →

x P mayor

x P menor

x x

x x

x

x

x

x

P menor

x

P mayor

7. 7. 7. 7. 7. 3

0 05 3 0 06 1 47

0 15 0 06 1 47

0 21 1 47

1 47

0 21

7

7

3 3 7 21

x N Lápices

x N cuad

x x

x x

x

x

x

N cuad

x N Lápices

→→

⋅ + =+ =

=

=

=⇒ →

→ ⋅ = →

º

º .

, , ,

, , ,

, ,

,

,

º .

º

EJERCICI0 88

1. 1. 1. 1. 1. x

x

x x

x

x x x

x

x

x

x

x

→→

+ − →⇒ − →+ + − =

= +

=

= →⇒ ⋅ = →− ⇒ ⋅ −

= − = →

1

2 2

2 20 3

3 20 3

2 3 20 196

6 196 20

216

636 1

2 2 36 72 2

3 20 3 36 20

108 20 88 3

º

º

º

º

º

º

º

2. 2. 2. 2. 2.

( )

3

3 5 4 5

3 5 4 20

3 4 20 5

15

15

3 3 15 45

x Edad A

x Edad B

x x

x x

x x

x

x Edad B

x Edad A

→→

− = −− = −

− = − +− = −

= →⇒ ⋅ = →

3. 3. 3. 3. 3.

( )

x Par zap

x Traje

x x

x x

x

x

x soles Par zap

x soles Traje

→+ →

+ + =+ + =

= −

=

= →+ ⇒ ⋅ + = →

.

.

. .

. .

.

.

2 50

50 2 50 35 16 000

100 2 500 35 16 000

135 16 000 2 500

13 500

135100

2 50 2 100 50 250

4.4.4.4.4. x Costocasa

x x

x x

x x

x

x

x bs Costocasa

→

= +

= +

= +=

=

= →

4 62 000

412 000

66 4 48 000

2 48 000

48 000

224 000

.

.

.

.

.

. .

5. 5. 5. 5. 5. x N mayor

xN menor

xx

xx

x x

x

x

x N mayor

x

N menor

→−

→

+−

=

+ = +

+=

+

=

=

= →−

⇒⋅ −

= = →

º

º

º

º

2 156

32 156

3108

2

3108

156

33 2

3

324 156

35 480

480

596

2 156

3

2 96 156

336

312

6. 6. 6. 6. 6. x Ancho

x

x

x

x

pies Ancho

→− =

=

=

=⇒ →

461 11 9

450 9

450

950

50

7. 7. 7. 7. 7. x Gasté

x x

x

x

x

Gasté

→− =

=

=

=⇒ →

85 4

85 5

855

17

17$

8. 8. 8. 8. 8. ( )( ) ( )

( ) ( )

x Edad act B

x Edad Ahace años

x x

x x

x x

x

x Edad act B

Edad actual de A

x

años

→

− →

− + + = +− + = +

− = −− = −

= →

− + ⇒ − += ⋅ + =

.

.

:

2 12 12

2 12 24 68 3 12

2 24 92 3 36

2 3 36 68

32

32

2 12 12 2 32 12 12

2 20 12 52

9. 9. 9. 9. 9.

( )

x mon cts

x mon cts

x x

x x

x

x

x

x mon cts

x mon cts

→− →

+ − =+ − =

= −=

=

= →− ⇒ − = →

. .

. .

, , ,

, , , ,

, , ,

, ,

,

,

. .

. .

10

22 5

0 10 0 05 22 1 85

0 10 1 10 0 05 1 85

0 05 1 85 1 10

0 05 0 75

0 75

0 05

15 10

22 22 15 7 5

10. 10. 10. 10. 10.

( ) ( )x N buscado

x x

x x

x x

x

x

x N buscado

→

− = −− = −− = − +− = −

=−−

= →

º

º

12 24 24 27

12 288 24 648

12 24 648 288

12 360

360

12

30

11. 11. 11. 11. 11.

( )x c cab

x x

x x

x

x

x c cab

→

= −= −

− = −

=−

−= →

/ .

$ / .

35 40 10

35 40 400

5 400

400

5

80

12. 12. 12. 12. 12. x N buscado

x x

x x

x

x

x N buscado

→− = −+ = +

=

=

= →

º

º

3 55 233

3 233 55

4 288

2884

72

13. 13. 13. 13. 13.

( ) ( )

x N menor

x N medio

x N mayor

x x x

x x x

x

x

x

N menor

x N medio

x N mayor

→+ →+ →

+ + + + =+ + + + =

= −

=

=⇒ →

+ ⇒ + = →+ ⇒ + = →

º

º

º

º

º

º

1

2

2 3 1 4 2 740

2 3 3 4 8 740

9 740 11

729

981

81

1 81 1 82

2 81 2 83

14. 14. 14. 14. 14. x A caballo

x Enauto

x Apie

x x x

x

x

x Km A caballo

x Km Enauto

x Km Apie

→→

− →+ + − =

= +

=

= →⇒ ⋅ = →

− ⇒ − = →

3

20

3 20 150

5 150 20

1705

34

3 3 34 102

20 34 20 14

15. 15. 15. 15. 15.

( )

x Partehijo

x Partehijas

x x

x x

x

x

x

colones Partehijo

x

colones Partehijas

→+ →

+ + =+ + =

=

=

=⇒ →

+ ⇒ + =⇒ →

2 000

3 2 2 000 16 500

3 2 4 000 16 500

5 12 500

12 500

52 500

2 500

2 000 2 500 2 000 4 500

4 500

.

. .

. .

.

.

.

.

. . . .

.

16. 16. 16. 16. 16.

( )

x N mayor

x N menor

x x

x x x

x

x N mayor

x N menor

→− →

− − =

− + − === →

− ⇒ − = →

º

º

º

º

1

1 31

2 1 31

2 32

16

1 16 1 15

2 2

2 2

17. 17. 17. 17. 17.

( )

3

512

512

5 12

5 60

4 60

15

3 3 15 45

12 15 12 3

x Edad A

x Edad B

xEdad C

x Edad C

Luego

xx

x x

x x

x

x Edad B

x Edad A

x Edad C

→→

→

− →

= −

= −= −

− = −= →

⇒ ⋅ = →− ⇒ − = →

:

18. 18. 18. 18. 18.

( ) ( )

x Edad act A

xEdad B en años

xEdad Ben años

Luego

x x

x x

x x

x x

x

x Edad act A

Edad actual de B

x

años

→+

→

+→

++ =

+

+ +=

+

+ = ++ = +

− = −= →

+− ⇒

+−

= − =

.

:

.

:

5

35

20

220

5

315

20

25 45

3

20

2

2 50 3 20

2 100 3 60

40

40

20

220

40 20

220

30 20 10

19.19.19.19.19. x Lunes

x Martes

x Miercoles

x Jueves

x Viernes

x Sábado

x x x x x x

x

x

x

x Lunes

x Martes

x Miercoles

x Jueves

x Viernes

x Sábado

→→→→

− →− →

+ + + + − + − =− =

= +

=

= →⇒ ⋅ = →⇒ ⋅ = →⇒ ⋅ = →− ⇒ ⋅ − = →− ⇒ ⋅ − = →

2

4

8

8 30

8 20

2 4 8 8 30 8 20 911

31 50 911

31 911 50

961

3131

2 2 31 62

4 4 31 124

8 8 31 248

8 30 8 31 30 218

8 20 8 31 20 228

$

$

$

$

$

$

20. 20. 20. 20. 20. x N

x N

x x

x

x

x N

x N

→− →+ − = ⋅

= +

=

= →− ⇒ − = →

º

º

º

º

1

18 2

18 3 18

2 54 18

72

236 1

18 36 18 18 2

21. 21. 21. 21. 21.

( )( )

( ) ( )

x Tiene A

x Tiene B

x x

x x

x

x

x Tiene A

x

Tiene B

→

− →

+ − =+ − =

=

=

= →

− ⇒ −= ⋅ = →

3 16

3 16 36

3 48 36

4 84

84

421

3 16 3 21 16

3 5

$

$15

22. 22. 22. 22. 22.

( )

3

2

3 1 3 22

20

3 1 3 40

2 40 2

38

3 3 38 114

2

38

2

x Tiene A

x Tiene B

xTieneC

x xx

x x x

x x

x Tiene B

x Tiene A

xTieneC

→→

→

− − − = +

− − + = +− = −

= →⇒ ⋅ = →

⇒ = →

$

$19

23. 23. 23. 23. 23. x Costo tienda

x x

x x

x x

x

x

bs Costo tienda

→

− =

−=

− ===

⇒ →

5800

74 000

5 77 28 000 5

2 28 000

14 000

14 000

.

.

.

.

. .

24. 24. 24. 24. 24. ( )

( )

( ) ( )

x Cab peor

x Cab mejor

x x

x x

x

x Cab peor

x

Cab mejor

→

+ →

+ + =+ + =

== →

+ = += ⋅ = →

.

.

$ .

$ .

2 15

2 15 120

2 30 120

3 90

30

2 15 2 30 15

2 45 90

25. 25. 25. 25. 25. x queda A

x queda B

x x

x

x

Como A tenía Q

loqueperdío A

x Q

→→

+ ===

⇒= − ⇒ − =

3

3 160

4 160

40

80

80 80 40 40

.

.

26. 26. 26. 26. 26.

( )

2

2 2 400 400

4 800 400

3 1 200

400

2 2 400 800

x Emp A

x Emp B

x x

x x

x

x Emp B

x Emp A

→→

− = +− = +

== →

⇒ ⋅ = →

.

.

.

$ .

$ .

EJERCICIO 89

27. 27. 27. 27. 27.

( )

4

4 5 3 5

4 5 3 15

10

4 4 10 40

x Cab

x Vacas

x x

x x

x Vacas

x Cab

→→

+ = ++ = +

= →⇒ ⋅ = →

.

.

2828282828 x Lunes

x Martes

x Miercoles

x Jueves

x Jueves

x x

x

x Lunes

x Martes

x Miercoles

x Jueves

→+ →

+ →+ →

→+ =− =−

= →+ ⇒ + = →+ ⇒ + = →⇒ ⋅ = →

6

12

18

4

18 4

3 18

6

6 6 6 12

12 6 12 18

4 4 6 24

$

$

$

29. 29. 29. 29. 29.

( )x Tenía ppio

x x

x x

x

x

x

soles Tenía ppio

→

− + − − =− + − =

=

=

=⇒ →

.

.

2 50 2 2 50 390 0

2 440 4 100 0

6 540

540

690

90

30. 30. 30. 30. 30.

( )( )

2

2 6 4 2

2 2 24 2

2 24

12

2 2 12 24

2

2 2

x L o

x Ancho

x x x

x x x

x

x m Ancho

x m L o

→→

− + =

+ − === →

⇒ ⋅ = →

arg

arg

31. 31. 31. 31. 31.

( )

3 5

5

3 10 2 10

3 10 2 20

10

3 5 310 5 35

5 10 5 15

x Padrehace años

x Hijohace años

x x

x x

x años

Edad actual Padre

x años

Edad actual Hijo

x años

→→

+ = ++ = +

=

+ ⇒ ⋅ + =

+ ⇒ + =

:

:

32. 32. 32. 32. 32.

( )

3 4

4

3 6 5 6

3 6 5 30

2 24

12

3 4 312 4 32

4 12 4 8

x Edad Aen años

x Edad B en años

x x

x x

x

x años

Edad Actual A

x años

Edad Actual B

x años

→→

− = −− = −

− = −=

− ⇒ ⋅ − =

− ⇒ − =

:

:

1. 1. 1. 1. 1. ( )a ab a a b2 + = +

2. 2. 2. 2. 2. ( )b b b b+ = +2 1

3. 3. 3. 3. 3. ( )x x x x2 1+ = +

4. 4. 4. 4. 4. ( )3 3 13 2 2a a a a− = −

5. 5. 5. 5. 5. ( )x x x x3 4 34 1 4− = −

6. 6. 6. 6. 6. ( )5 15 5 1 32 3 2m m m m+ = +

7. 7. 7. 7. 7. ( )ab bc b a c− = −

8. 8. 8. 8. 8. ( )x y x z x y z2 2 2+ = +

9. 9. 9. 9. 9. ( )2 6 2 32 2a x ax ax a x+ = +

10. 10. 10. 10. 10. ( )8 12 4 2 32m mn m m n− = −

11. 11. 11. 11. 11. ( )9 18 9 23 2 3 2 2a x ax ax a x− = −

12. 12. 12. 12. 12. ( )15 60 15 43 2 2 3 2 2c d c d c d c d+ = +

13. 13. 13. 13. 13. ( )35 70 35 22 3 3 2 3m n m m n m− = −

14. 14. 14. 14. 14. ( )abc abc abc c+ = +2 1

15.15.15.15.15. ( )24 36 12 2 32 2 2 4 2 2 2a xy x y xy a xy− = −

16. 16. 16. 16. 16. ( )a a a a a a3 2 2 1+ + = + +

17. 17. 17. 17. 17. ( )4 8 2 2 2 4 12 2x x x x− + = − +

18. 18. 18. 18. 18. ( )15 20 5 5 3 4 13 2 2y y y y y y+ − = + −

19. 19. 19. 19. 19. ( )a a x ax a a ax x3 2 2 2 2− + = − +

20. 20. 20. 20. 20.

( )2 2 3

2 2 3

2 2a x ax ax

ax a x

+ −

= + −

21. 21. 21. 21. 21. ( )x x x x x x3 5 7 3 2 41+ − = + −

22. 22. 22. 22. 22.

( )14 28 56

14 2 4

2 2 3 4

2 2 2

x y x x

x y x x

− +

= − +

23. 23. 23. 23. 23.

( )34 51 68

17 2 3 4

2 2 2

2 2

ax a y ay

a x ay y

+ −

= + −

24. 24. 24. 24. 24.

( )96 48 144

48 2 3

2 3

2 3

− +

= − +

mn n

mn n

25. 25. 25. 25. 25.

( )a b c a c x a c y

a c b x y

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

− +

= − +

26. 26. 26. 26. 26.

( )55 110 220

55 2 4

2 3 2 3 2 2 3

2 3 3 2 3

m n x m n x m y

m n x n x y

+ −

= + −27. 27. 27. 27. 27.

( )93 62 124

31 3 2 4

3 2 2 3 2 2

2 2 2

a x y a x y a x

a x axy x y

− −

= − −

28. 28. 28. 28. 28. ( )x x x x x x x x− + − = − + −2 3 4 2 31

29. 29. 29. 29. 29. ( )a a a a a a a a6 4 3 2 2 4 23 8 4 3 8 4− + − = − + −30. 30. 30. 30. 30.

( )25 10 15 5

5 5 2 3 1

7 5 3 2

2 5 3

x x x x

x x x x

− + −

= − + −

31. 31. 31. 31. 31. ( )x x x x x x x x15 12 9 6 6 9 6 32 3 2 3− + − = − + −32. 32. 32. 32. 32.

( )9 12 15 24

3 3 4 5 8

2 3 2 3

2 2 3

a ab a b ab

a a b a b b

− + −

= − + −

33. 33. 33. 33. 33.

( )16 8 24 40

8 2 1 3 5

3 2 2 4 2 2 3

2 2 2

x y x y x y x y

x y xy x y y

− − −

= − − −

34. 34. 34. 34. 34.

( )12 24 36 48

12 1 2 3 4

2 3 2 4 3 5 4

2 2 2 3 3

m n m n m n m n

m n mn m n m n

+ − +

= + − +

35. 35. 35. 35. 35.

( )100 150 50 200

50 2 3 4

2 3 2 2 3 3 2

2 2 2

a b c ab c ab c abc

abc ab bc b c c

− + −

= − + −

36. 36. 36. 36. 36. ( )x x x x x x x x x x5 4 3 2 4 3 2 1− + − + = − + − +

37. 37. 37. 37. 37.

( )a a a a a

a a a a a

2 3 4 5 6

2 2 3 4

2 3 4 6

1 2 3 4 6

− + − +

= − + − +

38. 38. 38. 38. 38.

( )3 6 5 8 4

3 6 5 8 4

2 3 2 2 2

2

a b ab a b a bx ab m

ab a a b ax bm

+ − + +

= + − + +

39. 39. 39. 39. 39.

( )a a a a a a

a a a a a a

20 16 12 8 4 2

2 18 14 10 6 2 1

− + − + −

= − + − + −

EJERCICIO 90

1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( ) ( )( )a x b x x a b+ + + = + +1 1 1

2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( ) ( )( )x a a a x+ − + = + −1 3 1 1 3

3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( ) ( )( )2 1 1 1 2x y x x y− + − = − +

4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( ) ( )( )m a b a b n a b m n− + − = − +

5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( ) ( )( )2 1 3 1 1 2 3x n y n n x y− − − = − −

6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( )( )a n n n a+ + + = + +2 2 2 1

7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( )( )x a a a x+ − − = + −1 1 1 1

8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( )( )a b a a b2 2 21 1 1 1+ − + = + −9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ) ( )( )3 2 2 2 2 3 2x x y x x x y− − − = − −

10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( )( )1 2 1 1 1 2− + − = − +x a x x a

11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( )( )4 4 1x m n n m m n x− + − = − −

12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( )( )− − + + = + −m n x m n m n x 1

13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( ) ( )( )a a b b a b a b a b3 2 3 21 1 1− + − − + = − + −

14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( ) ( )( )4 1 3 1 1 4 32 2 2m a x n x a a x m n+ − + − + = + − +

15. 15. 15. 15. 15. ( )( ) ( ) ( )( )

x a b c a b c

x a b c a b c a b c x

2 2

2 2 2 1

+ + − − −

= + + − + + = + + −

16. 16. 16. 16. 16. ( )( ) ( ) ( )( )x y n n n x y+ + − + = + + −1 3 1 1 3

17. 17. 17. 17. 17. ( )( ) ( ) ( )( )x x y x x x y+ − + − = − + +1 2 3 2 2 1 3

18. 18. 18. 18. 18. ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )a a a a a a a+ + − + = + + − = + −3 1 4 1 1 3 4 1 1

19. 19. 19. 19. 19. ( )( ) ( ) ( )( )x m n m n m n x2 22 2 4+ − + − = − +

20. 20. 20. 20. 20. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )a x a x x a a x− − + − = − − − = − −1 2 1 1 2 2 1

21. 21. 21. 21. 21. ( ) ( ) ( ) ( )( )5 1 1 1 1 6 12 2 2x a x a a x+ + + + = + +

22. 22. 22. 22. 22. ( )( ) ( )( )( )( ) ( )

a b a b a b a b

a b a b a b b a b

+ − − − −

= − + − + = −2

23. 23. 23. 23. 23. ( )( ) ( )( ) ( )m n a m n a m a+ − + − − = −2 2 2 2

24. 24. 24. 24. 24. ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

x m x x x n

x x m x n x m n

+ + − + −

= + + − + = + +

1 1

1 1

25. 25. 25. 25. 25. ( )( ) ( )( ) ( )x x x x x x− − + − + = −3 4 3 4 32

26. 26. 26. 26. 26. ( )( ) ( )( )a b a a a a b+ − + − − = + + −1 1 1 1 22 2 2

27. 27. 27. 27. 27. ( )( ) ( )( )( )( ) ( )

a b c x b c a x

x a b c a b c x a

+ − − − − − −

= − + − + − + = −

3 3

3 3 2

28. 28. 28. 28. 28. ( ) ( ) ( ) ( )( )3 1 2 1 1 1 3 2x x y x z x x x y z− − − + − = − − +

29. 29. 29. 29. 29. ( ) ( ) ( )( )a n b n n n a b+ − + − − = + − −1 1 1 1 1

30.30.30.30.30. ( ) ( ) ( )( )x a a a a x+ − − + + = + +2 2 3 2 2 2

31. 31. 31. 31. 31. ( )( ) ( ) ( ) ( )( )1 3 1 2 1 3 1 1 4+ + − + + + = + +a x a x x x a

32. 32. 32. 32. 32. ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )

3 2 3 2 1 3 2

3 2 1 1 3 2

x x y z x x y x

x x y z x y z x

+ + − − + − + − +

= + + − − − − + = − +

EJERCICIO 91EJERCICIO 91EJERCICIO 91EJERCICIO 91EJERCICIO 91

1. 1. 1. 1. 1.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

a ab ax bx

a ab ax bx

a a b x a b

a b a x

2

2

+ + +

= + + +

= + + +

= + +

2. 2. 2. 2. 2.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

am bm an bn

am bm an bn

m a b n a b

a b m n

− + −

= − + −

= − + −

= − +

3. 3. 3. 3. 3.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

ax bx ay by

ax bx ay by

x a b y a b

a b x y

− − +

= − − −

= − − −

= − −

2 2 4

2 2 4

2 2 2

2 2

4. 4. 4. 4. 4.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

a x bx a y by

a x bx a y by

x a b y a b

a b x y

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

3 3

3 3

3 3

3

− + −

= − + −

= − + −

= − +

5. 5. 5. 5. 5.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

3 2 2 3

3 3 2 2

3 1 2 1

1 3 2

4 4

4 4

4 4

4

m n nx mx

m mx n nx

m x n x

x m n

− − +

= + − +

= + − +

= + −

6. 6. 6. 6. 6.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

x a x a x

a a x x x

a x x x

x x a

2 2 2

2 2 2

2

2

1 1

1

− + −

= − + + +

= − + + +

= + −

7. 7. 7. 7. 7.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

4 1 4

4 4 1

4 1 1

1 4 1

3 2

3 2

2 2

2

a a a

a a a

a a a

a a

− − +

= + − +

= + − +

= + −

8. 8. 8. 8. 8.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

x x xy y

x x xy y

x x y x

x x y

+ − −

= + − +

= + − +

= + −

2 2 2

2 2 2

2

2

1 1

1

9. 9. 9. 9. 9.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

3 2 2 3

3 3 2 2

3 2

3 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

abx y x aby

abx aby y x

ab x y x y

x y ab

− − +

= + − +

= + − +

= + −

10. 10. 10. 10. 10.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

3 2 6

3 6 2

3 1 2 1 2

1 2 3

2 2

2 2

2

2

a b b x ax

a ax b b x

a x b x

x a b

− + −

= − − −

= − − −

= − −

11. 11. 11. 11. 11.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( )

4 4 3 3

4 4 3 3

4 3

4 3

4 3

3 2

3 2

2

2

2

a x a b bm amx

a x a b bm amx

a ax b m b ax

a ax b m ax b

ax b a m

− + −

= − + −

= − + −

= − − −

= − −

12. 12. 12. 12. 12.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

6 3 1 2

6 3 1 2

3 2 1 2 1

2 1 3 1

ax a x

ax a x

a x x

x a

+ + +

= + + +

= + + +

= + +

13. 13. 13. 13. 13.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

3 9 3

3 9 3

3 1 3 3 1

3 1 3

3 2

3 2

2 2

2

x ax x a

x x ax a

x x a x

x x a

− − +

= − − −

= − − −

= − −

14. 14. 14. 14. 14.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( )

2 5 15 6

2 5 15 6

2 5 3 5 2

2 5 3 2 5

2 5 3

2 2

2 2

2

2

2

a x a y by bx

a x a y by bx

a x y b y x

a x y b x y

x y a b

− + −

= − + −

= − + −

= − − −

= − −

15. 15. 15. 15. 15.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

2 2

2 2

2 2

2

2 2 2 2 3

2 3 2 2 2

2 2 2

2 2

x y xz y z xy

x y xy xz y z

xy x y z x y

x y xy z

+ + +

= + + +

= + + +

= + +

16. 16. 16. 16. 16.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

6 9 21 14

6 14 9 21

2 3 7 3 3 7

3 7 2 3

m n nx mx

m mx n nx

m x n x

x m n

− + −

= − − −

= − − −

= − −

17. 17. 17. 17. 17.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( )

n x a y n y a x

n x n y a y a x

n x y a y x

n x y a x y

x y n a

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

5 5

5 5

5

5

5

− − +

= − − −

= − − −

= − + −

= − +

18. 18. 18. 18. 18.

( ) ( )( ) ( )( )( )

1 3 3

1 3 3

1 3 1

1 3 1

+ + +

= + + +

= + + +

= + +

a ab b

a ab b

a b a

a b

19. 19. 19. 19. 19.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

4 12 3

4 12 3

4 3 3

3 4 1

3 2

3 2

2 2

2

am amn m n

am amn m n

am m n m n

m n am

− − +

= − − −

= − − −

= − −

20. 20. 20. 20. 20.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

20 5 2 8

20 8 5 2

4 5 2 5 2

5 2 4

ax bx by ay

ax ay bx by

a x y b x y

x y a b

− − +

= + − +

= + − +

= + −

21. 21. 21. 21. 21.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )

3 2 6

3 2 6

3 2 3

3 2 3

3 1 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

− + −

= − + −

= − + −

= − − −

= − −

x abx ab

x abx ab

x ab x

x ab x

x ab

22. 22. 22. 22. 22.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

a a a

a a a

a a a

a a

3 2

3 2

2

2

1

1

1 1

1 1

+ + +

= + + +

= + + +

= + +

23. 23. 23. 23. 23.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

3 7 3 7

3 3 7 7

3 7

3 7

2 2 2

2 2 2

2

2

a b x ax ab

a ax b x ab

a a x b x a

a x a b

− + −

= + − +

= + − +

= + −

24. 24. 24. 24. 24.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

2 2 2 1

2 2 2 1

2 1 1

2 1 1

am an a m n

am an a m n

a m n m n

a m n

− + − + −

= − + − − +

= − + − − +

= − − +

25. 25. 25. 25. 25.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

3 2 2 6 3 4

3 6 3 2 2 4

3 2 2 2

2 3 2

ax by bx a ay b

ax a ay by bx b

a x y b y x

x y a b

− − − + +

= − + − + −

= − + − + −

= + − −

26. 26. 26. 26. 26.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

a a a x a x

a a a x a x

a a x a x

a a x

3 2 2 2 2

3 2 2 2 2

2 2 2

2 2

1

1

1 1

1 1

+ + + + +

= + + + + +

= + + + + +

= + + +

27. 27. 27. 27. 27.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

3 3 9 3

3 3 9 3

3 3 3

3 1 3

3 2 2 2 2

3 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

a a b ab a ab b

a a b ab a ab b

a a ab b a ab b

a a ab b

− + − + −

= − + − − +

= − + − − +

= − − +

EJERCICIO 92

28. 28. 28. 28. 28.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

2 2 3 6

3 2 2 6

3 2 3

2 3

3 2 2 2 2 2

2 2 2 3 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

x nx xz nz ny xy

nx nz ny x xz xy

n x z y x x z y

x n x y z

− + − − +

= − + + + + +

= − + + + + +

= − + +

29. 29. 29. 29. 29.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( )

3 2 2 3 2 3

3 3 3 2 2 2

3 2

3 2

3 2

3 2 2 2 2

3 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

x axy ay xy ax x y

x xy x y axy ay ax

x x y xy a xy y x

x x y xy a xy y x

x a x xy y

+ + − − −

= − − + + −

= − − + + −

= − − − − − +

= − − −

30 30 30 30 30

( ) ( )( ) ( )

( )( )

a b n a b x n x a b x n x

a b a b x a b x n n x n x

a b x x n x x

a b n x x

2 3 4 2 3 2 4 2 2 3 4

2 3 2 3 2 2 3 4 4 2 4

2 3 2 4 2

2 3 4 2

3 3

3 3

1 3 1 3

1 3

− + − − +

= + − − + −

= + − − + −

= − + −

1. 1. 1. 1. 1. ( )a ab b a b2 2 22− + = −

2. 2. 2. 2. 2. ( )a ab b a b2 2 22+ + = +

3. 3. 3. 3. 3. ( )x x x2 22 1 1− + = −

4. 4. 4. 4. 4. ( )y y y4 2 2 22 1 1+ + = +

5. 5. 5. 5. 5. ( )a a a2 210 25 5− + = −

6. 6. 6. 6. 6. ( )9 6 32 2− + = −x x x

7. 7. 7. 7. 7. ( )16 40 25 4 52 4 2 2+ + = +x x x

8. 8. 8. 8. 8. ( )1 14 49 1 72 2− + = −a a a

9. 9. 9. 9. 9. ( )36 12 62 4 2 2+ + = +m m m

10. 10. 10. 10. 10. ( )1 2 13 6 3 2− + = −a a a

11. 11. 11. 11. 11. ( )a a a8 4 4 218 81 9+ + = +

12. 12. 12. 12. 12. ( )a a b b a b6 3 3 6 3 3 22− + = −

13.13.13.13.13. ( )4 12 9 2 32 2 2x xy y x y− + = −

14. 14. 14. 14. 14. ( )9 30 25 3 52 2 4 2 2b a b a b a− + = −

15. 15. 15. 15. 15. ( )1 14 49 1 72 4 2 2 2+ + = +x y x y x y

16. 16. 16. 16. 16. ( )1 2 15 10 5 2− + = −a a a

17. 17. 17. 17. 17.

( )49 70 25

7 5

6 3 2 2 4

3 2 2

m am n a n

m an

− +

= −

18. 18. 18. 18. 18.

( )100 60 9

10 3

10 4 5 6 8 12

5 4 6 2

x a x y a y

x a y

− +

= −

19. 19. 19. 19. 19. ( )121 198 81 11 96 12 6 2+ + = +x x x

20. 20. 20. 20. 20.

( )a am x m x

a m x

2 2 2 4 4

2 2 2

24 144

12

− +

= −

21. 21. 21. 21. 21. ( )16 104 169 4 132 4 2 2− + = −x x x

22. 22. 22. 22. 22. ( )400 40 1 20 110 5 5 2x x x+ + = +

23. 23. 23. 23. 23. a

ab ba

b2

22

4 2− + = −

24. 24. 24. 24. 24. 12

3 91

3

2 2

+ + = +

b b b

25. 25. 25. 25. 25. a a bb

ab4 2 2

42

2 2

4 2− + = −

26. 26. 26. 26. 26. 1

25 3

25

36

1

5

5

6

2 4 2 2

− + = −

x x x

27. 27. 27. 27. 27. 16 216

44

6 3 24

32 2

x x yy

xy

− + = −

28. 28. 28. 28. 28. n

mn mn

m2

22

92 9

33+ + = +

29. 29. 29. 29. 29. ( ) ( )( ) ( )

a a a b a b

a a b a b

2 2

2 2

2

2

+ + + +

= + + = +

30. 30. 30. 30. 30. ( ) ( )( ) ( )

4 4 1 1

2 1 1

2

2 2

− − + −

= − + = +

a a

a a

31. 31. 31. 31. 31. ( ) ( )( ) ( )

4 4

2 3

2 2

2 2

m m n m n m

m n m m n

− − + −

= − + = −

32. 32. 32. 32. 32. ( ) ( )( )

m n m n

m n

− + − +

= − +

2

2

6 9

3

33. 33. 33. 33. 33. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

a x a x x y x y

a x x y a y

+ − + + + +

= + − − = −

2 2

2 2

2

34.34.34.34.34. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

m n a m m n a m

m n a m m n a

+ − − + + −

= + − + = + −

2 2

2 2

2

2

35. 35. 35. 35. 35. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

4 1 4 1 1 1

2 2 1 2 3

2 2

2 2

+ − + − + −

= + − + = − +

a a b b

a b a b

36.36.36.36.36. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

9 12 4

3 3 2 2 5

2 2

2 2

x y x y x y x y

x y x y x y

− + − + + +

= − + + = −

EJERCICIO 93

1. 1. 1. 1. 1. ( )( )x y x y x y2 2− = + −

2. 2. 2. 2. 2. ( )( )a a a2 1 1 1− = + −

3. 3. 3. 3. 3. ( )( )a a a2 4 2 2− = + −

4. 4. 4. 4. 4. ( )( )9 3 32− = + −b b b

5. 5. 5. 5. 5. ( )( )1 4 1 2 1 22− = + −m m m

6. 6. 6. 6. 6. ( )( )16 4 42− = + −n n n

7. 7. 7. 7. 7. ( )( )a a a2 25 5 5− = + −

8. 8. 8. 8. 8. ( )( )1 1 12− = + −y y y

9. 9. 9. 9. 9. ( )( )4 9 2 3 2 32a a a− = + −

10. 10. 10. 10. 10. ( )( )25 36 5 6 5 64 2 2− = + −x x x

11. 11. 11. 11. 11. ( )( )1 49 1 7 1 72 2− = + −a b ab ab

12. 12. 12. 12. 12. ( )( )4 81 2 9 2 92 4 2 2x y x y x y− = + −

13. 13. 13. 13. 13. ( )( )a b c ab c ab c2 8 2 4 4− = + −

14. 14. 14. 14. 14. ( )( )100 10 102 6 3 3− = + −x y xy xy

15. 15. 15. 15. 15. ( )( )a b a b a b10 12 5 6 5 649 7 7− = + −

16. 16. 16. 16. 16. ( )( )25 121 5 11 5 112 4 2 2x y xy xy− = + −17. 17. 17. 17. 17.

( )( )100 169

10 13 10 13

2 4 6

2 3 2 3

m n y

mn y mn y

−

= + −

18. 18. 18. 18. 18. ( )( )a m n am n am n2 4 6 2 3 2 3144 12 12− = + −19. 19. 19. 19. 19.

( )( )196 225

14 15 14 15

2 4 12

2 6 2 6

x y z

xy z xy z

−

= + −

20. 20. 20. 20. 20.

( )( )256 289

16 17 16 17

12 4 10

6 2 5 6 2 5

a b m

a b m a b m

−

= + −

21.21.21.21.21. ( )( )1 9 1 3 1 32 4 6 8 2 3 4 2 3 4− = + −a b c d ab c d ab c d

22. 22. 22. 22. 22. ( )( )361 1 19 1 19 114 7 7x x x− = + −

23. 23. 23. 23. 23. 1

49

1

23

1

232− = +

−

a a a

24. 24. 24. 24. 24. 125

15

15

2

− = +

−

a a a

25. 25. 25. 25. 25. 1

16

4

49

1

4

2

7

1

4

2

7

2

− = +

−

x x x

26. 26. 26. 26. 26. a x a x a x2 6 3 3

36 25 6 5 6 5− = +

−

27. 27. 27. 27. 27. x y z x yz x yz2 2 4 2 2

100 81 10 9 10 9− = +

−

28. 28. 28. 28. 28. x a x a x a6 10 3 5 3 5

49

4

121 7

2

11 7

2

11− = +

−

29. 29. 29. 29. 29. 1001

1610

1

410

1

42 4 8 2 4 2 4m n x mn x mn x− = +

−

30.30.30.30.30. ( )( )a b a b a bn n n n n n2 2− = + −

31. 31. 31. 31. 31. 41

92

1

32

1

32x x xn n n− = +

−

32. 32. 32. 32. 32. ( )( )a b a b a bn n n4 4 2 2 2 2225 15 15− = + −

33. 33. 33. 33. 33. 1649

47

47

62

3 3xy

xy

xym

nm

nm

n

− = +

−

34. 34. 34. 34. 34. 4981

79

79

1012

56

56

ab

ab

abn

xn

xn

x

− = +

−

35. 35. 35. 35. 35. a b a b a bn n n n n n2 4 2 21

25

1

5

1

5− = +

−

36. 36. 36. 36. 36. 1

100

1

10

1

102− = +

−

x x xn n n

EJERCICIO 94

1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )( )x y a x y a x y a+ − = + + + −2 2

2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )( ) ( )( )4 1 2 1 2 1 3 12

− + = + + − − = + −a a a a a

3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )( )9 3 32

− + = + + − −m n m n m n

4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( )( )m n m n m n− − = − + − −2

16 4 4

5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )( )x y z x y z x y z− − = − + − −2 24 2 2

6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( )( )a b a b a b+ − = + + + −2 1 2 1 2 12

7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( )( )1 2 1 2 1 22

− − = + − − +x y x y x y

8. 8. 8. 8. 8. ( )( )( ) ( )( )

x a x

x a x x a x x a a x

+ −

= + + + − = + −

2 4

2 2 2 2 3 2 2

2 2

9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ) ( )( )a b c d a b c d a b c d+ − + = + + + + − −2 2

10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( ) ( )( )a b c d a b c d a b c d− − − = − + − − − +2 2

11. 11. 11. 11. 11. ( )( )( ) ( )( )

x x

x x x x x x

+ −

= + + + − = + −

1 16

1 4 1 4 5 1 1 3

2 2

12. 12. 12. 12. 12. ( )( )( ) ( )( )

64 2

8 2 8 2 9 2 7 2

2 2m m n

m m n m m n m n m n

− −

= + − − + = − +

13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( ) ( )( )a b x y a b x y a b x y− − + = − + + − − −2 2 22 2

14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( )( )( ) ( )( )

2

2 2 3 2

2 2a c a c

a c a c a c a c a a c

− − +

= − + + − − − = −

15. 15. 15. 15. 15. ( )( )( ) ( )( )

x x

x x x x x x

+ −

= + + + − = + −

1 4

1 2 1 2 3 1 1

2 2

16. 16. 16. 16. 16. ( )( )( ) ( )( )

36 3

6 3 6 3 9 3

2 2x a x

x a x x a x x a x a

− +

= + + − − = + −

17. 17. 17. 17. 17. ( ) ( )( )a a a a a a6 2 3 31 1 1− − = + − − +

18. 18. 18. 18. 18. ( ) ( )( )( ) ( )( )

a m

a m a m a m a m

− − −

= − + − − − + = + − − +

1 2

1 2 1 2 3 1

2 2

19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( )( )( ) ( )( )

2 3 5

2 3 5 2 3 5 3 8 2

2 2x x

x x x x x x

− − −

= − + − − − + = − +

20. 20. 20. 20. 20. ( ) ( )( )1 5 2 1 5 2 1 5 22

− + = + + − −a x a x a x

21. 21. 21. 21. 21. ( ) ( )( )7 81 7 9 7 92

x y x y x y+ − = + + + −

22. 22. 22. 22. 22. ( ) ( )( )m m m m m m6 2 2 3 2 3 21 1 1− − = + − − +

23. 23. 23. 23. 23. ( ) ( )( )16 2 3 4 2 3 4 2 310 2 2 5 2 5 2a a a a a a− + = + + − −

24. 24. 24. 24. 24. ( ) ( ) ( )( )x y c d x y c d x y c d− − + = − + + − − −2 2

25. 25. 25. 25. 25. ( ) ( )( )( )( )( )

2

2 2

3 2

2 2a b c a b

a b c a b a b c a b

a b c a c

+ − − +

= + − + + + − − −

= + − −

26. 26. 26. 26. 26. ( ) ( )( )100 10 102

− − + = + − + − + −x y z x y z x y z

27. 27. 27. 27. 27. ( ) ( )( ) ( )( )x y x x y x x y x y x y2 22− − = + − − + = −

28. 28. 28. 28. 28. ( ) ( )( )( ) ( )( )

2 3 5 1

2 3 5 1 2 3 5 1 7 2 4 3

2 2x x

x x x x x x

+ − −

= + + − + − + = + −

29. 29. 29. 29. 29. ( ) ( )( )( )( )( )

x y z y z x

x y z y z x x y z y z x

x z y x

− + − − +

= − + + − + − + − + −

= − −

2 22

2 2

3 2 2

30. 30. 30. 30. 30. ( ) ( )( )( ) ( )( )

2 1 4

2 1 4 2 1 4 3 5 3

2 2x x

x x x x x x

+ − +

= + + + + − − = + −

31. 31. 31. 31. 31. ( ) ( )( )( )( )( )

a x x a

a x x a a x x a

a x x

+ + − + −

= + + + + − + + − − +

= + +

2 1 1

2 1 1 2 1 1

2 3 2

2 2

32. 32. 32. 32. 32. ( ) ( )( )4 49 2 2 7 2 2 72 2x a y x a y x a y+ − = + + + −

33. 33. 33. 33. 33. ( ) ( )( )( )( )( )

25 4

5 5 2 2 5 5 2 2

7 3 3 7

2 2x y x y

x y x y x y x y

x y x y

− − +

= − + + − − −

= − −

34. 34. 34. 34. 34. ( ) ( )( )( )( )( )

36 121

6 6 11 11 6 6 11 11

17 5 17 5

2 2m n m n

m n m n m n m n

m n n m

+ − −

= + + − + − +

= − −

EJERCICIO 95

1. 1. 1. 1. 1.

( )( )( )

a ab b x

a b x

a b x a b x

2 2 2

2 2

2+ + −

= + −

= + + + −

2. 2. 2. 2. 2.

( )( )( )

x xy y m

x y m

x y m x y m

2 2 2

2 2

2− + −

= − −

= − + − −

3. 3. 3. 3. 3.

( )( )( )

m mn n

m n

m n m n

2 2

2

2 1

1

1 1

+ + −

= + −

= + + + −

4. 4. 4. 4. 4.

( )( )( )

a a b

a b

a b a b

2 2

2 2

2 1

1

1 1

− + −

= − −

= − + − −

5. 5. 5. 5. 5.

( )( )( )

n n c

n c

n c n c

2 2

2 2

6 9

3

3 3

+ + −

= + −

= + + + −

6.6.6.6.6.

( )( )( )

a x ax

a x

a x a x

2 2

2

2 4

4

2 2

+ + −

= + −

= + + + −

7. 7. 7. 7. 7.

( )( )( )

a a b

a b

a b a b

2 2

2 2

4 4 9

2 9

3 2 3 2

+ − −

= − −

= + − − −

8. 8. 8. 8. 8.

( )( )( )

x y xy

x y

x y x y

2 2

2

4 4 1

2 1

2 1 2 1

+ − −

= − −

= − + − −

9. 9. 9. 9. 9.

( )( )( )

a ay y x

a y x

a y x a y x

2 2 2

2 2

6 9 4

3 4

3 2 3 2

− + −

= − −

= − + − −

10. 10. 10. 10. 10.

( )( )( )

4 25 36 20

2 5 36

2 5 6 2 5 6

2 2

2

x y xy

x y

x y x y

+ − +

= + −

= + + + −

11. 11. 11. 11. 11.

( )( )( )

9 1 16 24

3 4 1

3 4 1 3 4 1

2 2

2

x a ax

x a

x a x a

− + −

= − −

= − + − −

12. 12. 12. 12. 12.

( )( )( )

1 64 16

8 1

8 1 8 1

2 2 4

2 4

2 2

+ − −

= − −

= − + − −

a b x ab

ab x

ab x ab x

13. 13. 13. 13. 13.

( )( )

( )( )

a b bc c

a b bc c

a b c

a b c a b c

2 2 2

2 2 2

2 2

2

2

− − −

= − + +

= − +

= + + − −

14. 14. 14. 14. 14.

( )( )

( )( )

1 2

1 2

1

1 1

2 2

2 2

2

− + −

= − − +

= − −

= + − − +

a ax x

a ax x

a x

a x a x

15. 15. 15. 15. 15.

( )( )

( )( )

m x xy y

m x xy y

m x y

m x y m x y

2 2 2

2 2 2

2 2

2

2

− − −

= − + +

= − +

= + + − −

16. 16. 16. 16. 16.

( )( )

( )( )

c a a

c a a

c a

c a c a

2 2

2 2

2 2

2 1

2 1

1

1 1

− + −

= − − +

= − −

= + − − +

17. 17. 17. 17. 17.

( )( )

( )( )( )( )

9 25 10

9 10 25

9 5

3 5 3 5

8 2

2

2

2

− − −

= − + +

= − +

= + + − −

= − + +

n n

n n

n

n n

n n

18. 18. 18. 18. 18.

( )( )

( )( )

4 4 4

4 4 4

4 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

a x x

a x x

a x

a x a x

− + −

= − − +

= − −

= + − − +

19. 19. 19. 19. 19.

( )( )

( )( )

1 9 6

1 6 9

1 3

3 1 1 3

2 2

2 2

2

− − −

= − + +

= − +

= + + − −

a n an

a an n

a n

a n a n

20. 20. 20. 20. 20.

( )( )

( )( )

25 16 8

25 8 16

25 4

5 4 5 4

2 2

2 2

2

− − +

= − − +

= − −

= + − − +

x y xy

x xy y

x y

x y x y

21. 21. 21. 21. 21.

( )( )

( )( )

9 4 4

9 4 4

9 2

3 2 3 2

2 2 2

2 2 2

2 2

x a m am

x a am m

x a m

x a m x a m

− − +

= − − +

= − −

= + − − +

22. 22. 22. 22. 22.

( )( )

( )( )

16 12 4 9

16 4 12 9

16 2 3

4 2 3 4 2 3

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

x y ab a b

x y a ab b

x y a b

xy a b xy a b

+ − −

= − − +

= − −

= + − − +

23. 23. 23. 23. 23.

( )( )

( )( )

− + − −

= − + +

= − +

= + + − −

a m a

m a a

m a

m a m a

2 2

2 2

2 2

25 1 2

25 2 1

25 1

5 1 5 1

24. 24. 24. 24. 24.

( )( )

( )( )

49 25 9 30

49 25 30 9

49 5 3

7 5 3 7 5 3

4 2 2

4 2 2

4 2

2 2

x x y xy

x x xy y

x x y

x x y x x y

− − +

= − − +

= − −

= + − − +

25. 25. 25. 25. 25.

( ) ( )( )( )

a ab b c cd d

a b c d

a b c d a b c d

2 2 2 2

2 2

2 2− + − − −

= − − +

= − + + − − −

26. 26. 26. 26. 26.

( ) ( )( )( )

x xy y m mn n

x y m n

x y m n x y m n

2 2 2 2

2 2

2 2+ + − + −

= + − −

= + + − + − +

27. 27. 27. 27. 27.

( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )

a b ab x ax a

a ab b x ax a

a b x a

a b x a a b x a

a b x b x

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

4 4 2

4 4 2

2

2 2

2 2 2

+ + − − −

= + + − + +

= + − +

= + + + + − −

= + + −

28. 28. 28. 28. 28.

( ) ( )( ) ( )( )( )

x a ax y b by

x ax a y by b

x a y b

x a y b x a y b

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

4 4 9 6

4 4 6 9

2 3

2 3 2 3

+ − − − +

= − + − − +

= − − −

= − + − − − +

29. 29. 29. 29. 29.

( ) ( )( ) ( )( )( )

m x n mn ax a

m mn n x ax a

m n x a

m n x a m n x a

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

9 6 4 4

6 9 4 4

3 2

3 2 3 2

− + + − −

= + + − + +

= + − +

= + + + + − −

30. 30. 30. 30. 30.

( ) ( )( ) ( )( )( )

9 4 12 25 10

9 12 4 10 25

3 2 5

3 2 5 3 2 5

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

x y a xy b ab

x xy y a ab b

x y a b

x y a b x y a b

+ − − − −

= − + − + +

= − − +

= − + + − − −

31. 31. 31. 31. 31.

( ) ( )( ) ( )( )( )

2 9 6

2 6 9

3

3 3

2 2 2

2 2 2

2 2

am x a m x

a am m x x

a m x

a m x a m x

− − + + −

= + + − + +

= + − +

= + + + + − −

32. 32. 32. 32. 32.

( ) ( )( ) ( )( )( )

x a a b x b

x x b ab a

x b a

x b a x b a

2 4 2 2

2 2 2 4

2 2 2

2 2

9 6 1 2

2 1 6 9

1 3

1 3 1 3

− + + + −

= + + − − +

= + − −

= + + − + − +

33. 33. 33. 33. 33.

( ) ( )( ) ( )( )( )

16 1 10 9 24 25

16 24 9 25 10 1

4 3 5 1

4 3 5 1 4 3 5 1

2 2 2

2 2 2

2 2

a m x ax m

a ax x m m

a x m

a x m a x m

− − + − −

= − + − + +

= − − +

= − + + − − −

34. 34. 34. 34. 34.

( ) ( )( ) ( )( )( )

9 2 100 60

2 9 60 100

3 10

3 10 3 10

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

m a acd c d m

a acd c d m m

m a cd

m a cd m a cd

− + − + −

= − − + + − +

= − − −

= − + − − − +

35. 35. 35. 35. 35.

( ) ( )( ) ( )( )( )

4 9 49 30 25 28

4 28 49 9 30 25

2 7 3 5

2 7 3 5 2 7 3 5

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

a x b xy y ab

a ab b x xy y

a b x y

a b x y a b x y

− + − − −

= − + − + +

= − − +

= − + + − − −

36. 36. 36. 36. 36.

( ) ( )( ) ( )( )( )

225 169 1 30 26

225 30 1 169 26

15 1 13

15 1 13 15 1 13

2 2 2

2 2 2

2

a b a bc c

a a b bc c

a b c

a b c a b c

− + + + −

= + + − − +

= + − −

= + + − + − +

37. 37. 37. 37. 37.

( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )

x y x y

x x y y

x y

x y x y

x y x y

2 2

2 2

2 2

4 4 1 2

4 4 2 1

2 1

2 1 2 1

3 1

− + + − −

= + + − + +

= + − +

= + + + + − −

= + + − +

38. 38. 38. 38. 38.

( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )

a x a x

a a x x

a x

a x a x

a x a x

2 2

2 2

2 2

16 36 12 8

12 36 8 16

6 4

6 4 6 4

10 2

− − + + −

= + + − + +

= + − +

= + + + + − −

= + + − +

EJERCICIO 96

1. 1. 1. 1. 1.

( )( )( )( )

a a

a a

a a a

a a

a a a a

4 2

2 2

4 2 2

2 2 2

2 2

1

2 1

1

1 1

+ ++ −

+ + −

= + −

= + + − +

2. 2. 2. 2. 2.

( )( )( )

m m n n

m n m n

m mn n mn

m n m n

m n mn m n mn

4 2 2 4

2 2 2 2

4 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

+ +

+ −

+ + −

= + −

= + + + −

3. 3. 3. 3. 3.

( )( )( )

x x

x x

x x x

x x

x x x x

8 4

4 4

8 4 4

4 2 4

4 2 4 2

3 4

4 4

2

2 2

+ +

+ −

+ + −

= + −

= + + − +

4. 4. 4. 4. 4.

( )( )( )

a a

a a

a a a

a a

a a a a

4 2

2 2

4 2 2

2 2 2

2 2

2 9

4 4

6 9 4

3 4

2 3 2 3

+ +

+ −

+ + −

= + −

= + + − +

5. 5. 5. 5. 5.

( )( )( )

a a b b

a b a b

a a b b a b

a b a b

a ab b a ab b

4 2 2 4

2 2 2 2

4 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

3

2

− +

+ −

− + −

= − −

= + − − −

6. 6. 6. 6. 6.

( )( )( )

x x

x x

x x x

x x

x x x x

4 2

2 2

4 2 2

2 2 2

2 2

6 1

4 4

2 1 4

1 4

2 1 2 1

− +

+ −

− + −

= − −

= + − − −

7. 7. 7. 7. 7.

( )( )( )

4 3 9

9 9

4 12 9 9

2 3 9

2 3 3 2 3 3

4 2 2 4

2 2 2 2

4 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

a a b b

a b a b

a a b b a b

a b a b

a ab b a ab b

+ +

+ −

+ + −

= + −

= + + − +

8. 8. 8. 8. 8.

( )( )( )

4 29 25

9 9

4 20 25 9

2 5 9

2 3 5 2 3 5

4 2

2 2

4 2 2

2 2 2

2 2

x x

x x

x x x

x x

x x x x

− +

+ −

− + −

= − −

= + − − −

9. 9. 9. 9. 9.

( )( )( )

x x y y

x y x y

x x y y x y

x y x y

x x y y x x y y

8 4 4 8

4 4 4 4

8 4 4 8 4 4

4 4 2 4 4

4 2 2 4 4 2 2 4

4 16

4 4

8 16 4

4 4

2 4 2 4

+ +

+ −

+ + −

= + −

= + + − +

10. 10. 10. 10. 10.

( )( )( )

16 25 9

16 24 9

4 3

4 3 4 3

4 2 2 4

2 2 2 2

4 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

m mn n

m n m n

m mn n mn

m n mn

m mn n m mn n

− +

+ −

− + −

= − −

= + − − −

11. 11. 11. 11. 11.

( )( )( )

25 54 49

16 16

25 70 49 16

5 7 16

5 4 7 5 4 7

4 2 2 4

2 2 2 2

4 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

a a b b

a b a b

a a b b a b

a b a b

a ab b a ab b

+ +

+ −

+ + −

= + −

= + + − +

12. 12. 12. 12. 12.

( )( )( )

36 109 49

25 25

36 84 49 25

6 7 25

6 5 7 6 5 7

4 2 2 4

2 2 2 2

4 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

x x y y

x y x y

x x y y x y

x y x y

x xy y x xy y

− +

+ −

− + −

= − −

= + − − −

13. 13. 13. 13. 13.

( )( )( )

81 2 1

16 16

81 18 1 16

9 1 16

9 4 1 9 4 1

8 4

4 4

8 4 4

4 2 4

4 2 4 2

m m

m m

m m m

m m

m m m m

+ +

+ −

+ + −

= + −

= + + − +

14. 14. 14. 14. 14.

( )( )( )

c c

c c

c c c

c c

c c c c

4 2

2 2

4 2 2

2 2 2

2 2

45 100

25 25

20 100 25

10 25

5 10 5 10

− +

+ −

− + −

= − −

= + − − −

15.15.15.15.15.

( )( )( )

4 53 49

25 25

4 28 49 25

2 7 25

2 5 7 2 5 7

8 4 4 8

4 4 4 4

8 4 4 8 4 4

4 4 2 4 4

4 2 2 4 4 2 2 4

a a b b

a b a b

a a b b a b

a b a b

a a b b a a b b

− +

+ −

− + −

= − −

= + − − −

16. 16. 16. 16. 16.

( )( )( )

49 76 64

36 36

49 112 64 36

7 8 36

8 6 7 8 6 7

2 4

2 2

2 4 2

2 2 2

2 2

+ +

+ −

+ + −

= + −

= + + − +

n n

n n

n n n

n n

n n n n

17. 17. 17. 17. 17.

( )( )( )

25 139 81

49 49

25 90 81 49

5 9 49

5 7 9 5 7 9

4 2 2 4

2 2 2 2

4 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

x x y y

x y x y

x x y y x y

x y x y

x xy y x xy y

− +

+ −

− + −

= − −

= + − − −

18. 18. 18. 18. 18.

( )( )( )

49 76 100

64 64

49 140 100 64

7 10 64

7 8 10 7 8 10

8 4 4 8

4 4 4 4

8 4 4 8 4 4

4 4 2 4 4

4 2 2 4 4 2 2 4

x x y y

x y x y

x x y y x y

x y x y

x x y y x x y y

+ +

+ −

+ + −

= + −

= + + − +

19. 19. 19. 19. 19.

( )( )( )

4 108 121

64 64

4 44 121 64

2 11 64

2 8 11 2 8 11

2 4

2 2

2 4 2

2 2 2

2 2

− +

+ −

− + −

= − −

= + − − −

x x

x x

x x x

x x

x x x x

20.20.20.20.20.

( )( )( )

121 133 36

121 132 36

11 6

11 6 11 6

4 2 4 8

2 4 2 4

4 2 4 8 2 4

2 4 2 2 4

2 2 4 2 2 4

x x y y

x y x y

x x y y x y

x y x y

x xy y x xy y

− +

+ −

− + −

= − −

= + − − −

21. 21. 21. 21. 21.

( )( )( )

144 23 9

49 49

144 72 9 49

12 3 49

12 7 3 12 7 3

6 12

6 6

6 12 6

6 2 6

3 6 3 6

+ +

+ −

+ + −

= + −

= + + − +

n n

n n

n n n

n n

n n n n

22. 22. 22. 22. 22.

( )( )( )

16 9

16 8

4

4 4

4 8

4 4

4 8 4

4 2 4

2 4 2 4

− +

+ −

− + −

= − −

= + − − −

c c

c c

c c c

c c

c c c c

23. 23. 23. 23. 23.

( )( )( )

64 169 81

25 25

64 144 81 25

8 9 25

8 5 9 8 5 9

4 2 4 8

2 4 2 4

4 2 4 8 2 4

2 4 2 2 4

2 4 2 4

a a b b

a b a b

a a b b a b

a b a b

a ab b a ab b

− +

+ −

− + −

= − −

= + − − −

24. 24. 24. 24. 24.

( )( )( )

225 5

25 25

225 30 25

15 25

5 15 5 15

2 4

2 2

2 4 2

2 2 2

2 2

+ +

+ −

+ + −

= + −

= + + − +

m m

m m

m m m

m m

m m m m

EJERCICIO 97

1. 1. 1. 1. 1.

( )( )( )

x y

x y x y

x x y y x y

x y x y

x xy y x xy y

4 4

2 2 2 2

4 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

64

16 16

16 64 16

8 16

4 8 4 8

+

+ −

+ + −

= + −

= + + − +

2. 2. 2. 2. 2.

( )( )( )

4

4 4

4 4 4

2 4

2 2 2 2

8 8

4 4 4 4

8 4 4 8 4 4

4 4 2 4 4

4 2 2 4 4 2 2 4

x y

x y x y

x x y y x y

x y x y

x x y y x x y y

+

+ −

+ + −

= + −

= + + − +

25. 25. 25. 25. 25.

( )( )( )

1 126 169

100 100

1 26 169 100

1 13 100

1 10 13 1 10 13

2 4 4 8

2 4 2 4

2 4 4 8 2 4

2 4 2 2 4

2 2 4 2 2 4

− +

+ −

− + −

= − −

= + − − −

a b a b

a b a b

a b a b a b

a b a b

ab a b ab a b

26.26.26.26.26.

( )( )( )

x y x y

x y x y

x y x y x y

x y x y

x y xy x y xy

4 4 2 2

2 2 2 2

4 4 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

21 121

22 121

11

11 11

+ +

+ −

+ + −

= + −

= + + − +

27. 27. 27. 27. 27.

( )( )( )

49 75 196

121 121

49 196 196 121

7 14 121

7 11 14 7 11 14

8 4 2 2 4 4

4 2 2 4 2 2

8 4 2 2 4 4 4 2 2

4 2 2 2 4 2 2

4 2 2 2 4 2 2 2

c c m n m n

c m n c m n

c c m n m n c m n

c m n c m n

c c mn m n c c mn m n

+ +

+ −

+ + −

= + −

= + + − +

28. 28. 28. 28. 28.

( )( )( )

81 292 256

4 4

81 288 256 4

9 16 4

9 2 16 9 2 16

4 8 2 4 8 16

2 4 8 2 4 8

4 8 2 4 8 16 2 4 8

2 4 8 2 2 4 8

2 4 2 4 8 2 4 2 4 8

a b a b x x

a b x a b x

a b a b x x a b x

a b x a b x

a b ab x x a b ab x x

− +

+ −

− + −

= − −

= + − − −

3. 3. 3. 3. 3.

( )( )( )

a b

a b a b

a a b b a b

a b a b

a ab b a ab b

4 4

2 2 2 2

4 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

324

36 36

36 324 36

18 36

6 18 6 18

+

+ −

+ + −

= + −

= + + − +

4. 4. 4. 4. 4.

( )( )( )

4 81

36 36

4 36 81 36

2 9 36

2 6 9 2 6 9

4 4

2 2 2 2

4 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

m n

m n m n

m mn n mn

m n mn

m mn n m mn n

+

+ −

+ + −

= + −

= + + − +

5. 5. 5. 5. 5.

( )( )( )

4 625

100 100

4 100 625 100

2 25 100

25 10 2 25 10 2

8

4 4

4 8 4

4 2 4

4 2 4 2

+

+ −

+ + −

= + −

= + + − +

x

x x

x x x

x x

x x x x

6. 6. 6. 6. 6.

( )( )( )

64

16 16

64 16 16

8 16

4 8 4 8

12

6 6

6 12 6

6 2 6

6 3 6 3

+

+ −

+ + −

= + −

= + + − +

a

a a

a a a

a a

a a a a

7. 7. 7. 7. 7.

( )( )( )

1 4

4 4

1 4 4 4

1 2 4

2 2 1 2 2 1

4

2 2

2 4 2

2 2 2

2 2

+

+ −

+ + −

= + −

= + + − +

n

n n

n n n

n n

n n n n

8. 8. 8. 8. 8.

( )( )( )

64

16 16

64 16 16

8 16

8 4 8 4

8 8

4 4 4 4

8 4 4 8 4 4

4 4 2 4 4

4 2 2 4 4 2 2 4

x y

x y x y

x x y y x y

x y x y

x x y y x x y y

+

+ −

+ + −

= + −

= + + − +

9. 9. 9. 9. 9.

( )( )( )

81 64

144 144

81 144 64 144

9 8 144

9 12 8 9 12 8

4 4

2 2 2 2

4 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

a b

a b a b

a a b b a b

a b a b

a ab b a ab b

+

+ −

+ + −

= + −

= + + − +

EJERCICIO 98

1. 1. 1. 1. 1. ( )( )x x x x2 7 10 5 2+ + = + +

2. 2. 2. 2. 2. ( )( )x x x x2 5 6 3 2− + = − −

3. 3. 3. 3. 3. ( )( )x x x x2 3 10 5 2+ − = + −

4. 4. 4. 4. 4. ( )( )x x x x2 2 2 1+ − = + −

5. 5. 5. 5. 5. ( )( )a a a a2 4 3 3 1+ + = + +

6. 6. 6. 6. 6. ( )( )m m m m2 5 14 7 2+ − = + −

7. 7. 7. 7. 7. ( )( )y y y y2 9 20 5 4− + = − −

8. 8. 8. 8. 8. ( )( )x x x x2 6 3 2− − = − +

9. 9. 9. 9. 9. ( )( )x x x x2 9 8 8 1− + = − −

10. 10. 10. 10. 10. ( )( )c c c c2 5 24 8 3+ − = + −

11. 11. 11. 11. 11. ( )( )x x x x2 3 2 2 1− + = − −

12. 12. 12. 12. 12. ( )( )a a a a2 7 6 6 1+ + = + +

13. 13. 13. 13. 13. ( )( )y y y y2 4 3 3 1− + = − −

14. 14. 14. 14. 14. ( )( )n n n n2 8 12 6 2− + = − −

15. 15. 15. 15. 15. ( )( )x x x x2 10 21 7 3+ + = + +

16. 16. 16. 16. 16. ( )( )a a a a2 7 18 9 2+ − = + −

17. 17. 17. 17. 17. ( )( )m m m m2 12 11 11 1− + = − −

18. 18. 18. 18. 18. ( )( )x x x x2 7 30 10 3− − = − +

19. 19. 19. 19. 19. ( )( )n n n n2 6 16 8 2+ − = + −

20. 20. 20. 20. 20. ( )( )a a a a2 21 20 20 1− + = − −

21. 21. 21. 21. 21. ( )( )y y y y2 30 6 5+ − = + −

22. 22. 22. 22. 22. ( )( )a a a a2 11 28 7 4− + = − −

23. 23. 23. 23. 23. ( )( )n n n n2 6 40 10 4− − = − +

24. 24. 24. 24. 24. ( )( )x x x x2 5 36 9 4− − = − +

25. 25. 25. 25. 25. ( )( )a a a a2 2 35 7 5− − = − +

26. 26. 26. 26. 26. ( )( )x x x x2 14 13 13 1+ + = + +

27.27.27.27.27. ( )( )a a a a2 14 33 11 3− + = − −

28. 28. 28. 28. 28. ( )( )m m m m2 13 30 15 2+ − = + −

29. 29. 29. 29. 29. ( )( )c c c c2 13 14 14 1− − = − +

30. 30. 30. 30. 30. ( )( )x x x x2 15 56 8 7+ + = + +

31. 31. 31. 31. 31. ( )( )x x x x2 15 54 9 6− + = − −

32. 32. 32. 32. 32. ( )( )a a a a2 7 60 12 5+ − = + −

33. 33. 33. 33. 33.

( )( )

x x

x x

2 17 60

60 2

30 2 2 2 5 20

15 3 3 1 3

5 5 20 3 17

1 20 3

− −

⋅ ⋅ =⋅ =

⇒ − =

= − +

34. 34. 34. 34. 34.

( )( )

x x

x x

2 8 180

180 2

90 2 2 3 3 18

45 3 2 5 10

15 3 18 10 8

5 5 18 10

1

+ −

⋅ ⋅ =⋅ =

⇒ − =

= + −

35. 35. 35. 35. 35.

( )( )

m m

m m

2 20 300

300 2

150 2 2 3 5 30

75 3 2 5 10

25 5 30 10 20

5 5 30 10

1

− −

⋅ ⋅ =⋅ =

⇒ − =

= − +

36. 36. 36. 36. 36.

( )( )

x x

x x

2 132

132 2

66 2 2 2 3 12

33 3 11 1 11

11 11 12 11 1

1 12 11

+ −

⋅ ⋅ =⋅ =

⇒ − =

= + −

37. 37. 37. 37. 37.

( )( )

m m

m m

2 2 168

168 2

84 2 2 2 3 12

42 2 2 7 14

21 3 14 12 2

7 7 14 12

1

− −

⋅ ⋅ =⋅ =

⇒ − =

= − +

38. 38. 38. 38. 38.

( )( )

c c

c c

2 24 135

135 3

45 3 3 3 9

15 3 3 5 15

5 5 15 9 24

1 15 9

+ +

⋅ =⋅ =

⇒ + =

= + +

39. 39. 39. 39. 39.

( )( )

m m

m m

2

4

2

41 400

400 2

200 2 2 16

100 2 5 25

50 2 25 16 41

25 5 25 16

5 5

1

− +

=

=⇒ + =

= − −

40. 40. 40. 40. 40.

( )( )

a a

a a

2

2

380

380 2

190 2 2 5 20

95 5 19 1 19

19 19 20 19 1

1 20 19

+ −

⋅ =⋅ =

⇒ − =

= + −

41. 41. 41. 41. 41.

( )( )

x x

x x

2 12 364

364 2

182 2 2 13 26

91 7 2 7 14

13 13 26 14 12

1 26 14

+ −

⋅ =⋅ =

⇒ − =

= + −

42. 42. 42. 42. 42.

( )( )

a a

a a

2

3

2

42 432

432 2

216 2 2 3 24

108 2 2 3 18

54 2 24 18 42

27 3 24 18

9 3

3 3

1

+ +

⋅ =

⋅ =⇒ + =

= + +

43. 43. 43. 43. 43.

( )( )

m m

m m

2 30 675

675 3

225 5 3 5 3 45

45 3 3 5 15

15 3 45 15 30

5 5 45 15

1

− −

⋅ ⋅ =⋅ =

⇒ − =

= − +

44. 44. 44. 44. 44.

( )( )

y y

y y

2

3

50 336

336 3

112 2 3 7 2 42

56 2 2 8

28 2 42 8 50

14 2 42 8

7 7

1

+ +

⋅ ⋅ =

=⇒ + =

= + +

45. 45. 45. 45. 45.

( )( )

x x

x x

2

3

2 528

528 2

264 2 2 3 24

132 2 2 11 22

66 2 24 22 2

33 3 24 22

11 11

1

− −

⋅ =⋅ =

⇒ − =

= − +

46. 46. 46. 46. 46.

( )( )

n n

n n

2

4

3

43 432

432 2

216 2 2 16

108 2 3 27

54 2 16 27 43

27 3 16 27

9 3

3 3

1

+ +

=

=⇒ + =

= + +

47. 47. 47. 47. 47.

( )( )

c c

c c

2

4

2

4 320

320 2

160 2 2 16

80 2 2 5 20

40 2 20 16 4

20 2 20 16

10 2

5 5

1

− −

=

⋅ =⇒ − =

= − +

48. 48. 48. 48. 48.

( )( )

m m

m m

2

2

2 2

8 1 008

1 008 2

504 2 2 7 28

252 2 2 3 36

126 2 36 28 8

63 3 36 28

21 3

7 7

1

− −

⋅ =

⋅ =⇒ − =

= − +

.

.

EJERCICIO 99

1. 1. 1. 1. 1. ( )( )x x x x4 2 2 25 4 4 1+ + = + +

2. 2. 2. 2. 2. ( )( )x x x x6 3 3 36 7 7 1− − = − +

3.3.3.3.3. ( )( )x x x x8 4 4 42 80 10 8− − = − +4. 4. 4. 4. 4. ( )( )x y xy xy xy2 2 12 4 3+ − = + −

5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( ) ( )( )4 2 4 15 4 5 4 32x x x x− − = − +

6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( ) ( )( )5 13 5 42 5 7 5 62x x x x+ + = + +

7. 7. 7. 7. 7. ( )( )x ax a x a x a2 22 15 5 3+ − = + −

8. 8. 8. 8. 8. ( )( )a ab b a b a b2 24 21 7 3− − = − +

9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ) ( )( )x y x y x y x y− + − − = − + − −2

2 24 6 4

10. 10. 10. 10. 10.

( ) ( )( ) ( )( )− + +

= − − − = − − + = − +

x x

x x x x x x

2

2

4 5

4 5 5 1 5 1

11. 11. 11. 11. 11. ( )( )x x x x10 5 5 520 5 4+ − = + −12. 12. 12. 12. 12. ( )( )m mn n m n m n2 256 8 7+ − = + −

13. 13. 13. 13. 13.

( )( )x ax a

x a x a

4 2 2

2 2

7 60

12 5

+ −

= + −

14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( )

( )( )2 4 2 3

2 3 2 1

2x x

x x

− +

= − −

15. 15. 15. 15. 15. ( ) ( )( )( )

m n m n

m n m n

− + − −

= − + − −

25 24

8 3

16. 16. 16. 16. 16.

( )( )

x x

x x

8 4

4

4 4

240

240 2

120 2 2 16

60 2 3 5 15

30 2 16 15 1

15 3 16 15

5 5

1

+ −

=⋅ =

⇒ − =

= + −

17. 17. 17. 17. 17.

( )( )( ) ( )( )

− + +

= − − −

= − − + = − +

y y

y y

y y y y

2

2

2 15

2 15

5 3 5 3

18. 18. 18. 18. 18.

( )( )

a b a b

a b a b

4 4 2 2

2 2 2 2

2 99

99 3 3 3 9

33 3 11 1 11

11 11 11 9 2

1 11 9

− −⋅ =⋅ =

⇒ − =

= − +

19. 19. 19. 19. 19.

( )( )c cd d

c d c d

2 211 28

7 4

+ +

= + +

20. 20. 20. 20. 20. ( )

( )( )

25 5 5 84

84 2

42 2 2 3 12

21 3 7 1 7

7 7 12 7 5

1 5 12 5 7

2

2

x x

x x

− −

⋅ =⋅ =

⇒ − =

= − +

21. 21. 21. 21. 21.

( )( )

a ab b

a b a b

2 221 98

98 2 2 7 14

49 7 7 1 7

7 7 14 7 21

1 14 7

− +⋅ =⋅ =

⇒ + =

= − −

22.

( )( )

x y x y

x y x y

4 4 2 2

2 2 2 2

132

132 2

66 2 2 2 3 12

33 3 11 1 11

11 11 12 11 1

1 12 11

+ −

⋅ ⋅ =⋅ =

⇒ − =

= + −

23.

( )( )( ) ( )( )

− + +

= − − −

= − − + = − +

x x

x x

x x x x

4 2

4 2

2 2 2 2

2 48

2 48

8 6 8 6

24. ( ) ( )( )( )

c d c d

c d c d

+ − + +

= + − + −

218 65

13 5

25.

( )( )

a axy x y

a xy a xy

2 2 2

2

2 440

440 2

220 2 2 5 20

110 2 11 2 22

55 5 22 20 2

11 11 22 20

1

+ −

⋅ =⋅ =

⇒ − =

= + −

26.

( )( )

m n m n

m n m n

6 6 3 3

3

3 3 3 3

21 104

104 2

52 2 2 8

26 2 13 1 13

13 13 13 8 21

1 13 8

− +

=⋅ =

⇒ + =

= − −

27.

( )( )( ) ( )( )

− + +

= − − −

= − − + = − +

n n

n n

n n n n

2

2

5 14

5 14

7 2 7 2

28.

( )( )

x x

x x

6 3

3 3

930

930 2

465 5 2 5 3 30

93 3 31 1 31

31 31 31 30 1

1 31 30

+ −

⋅ ⋅ =⋅ =

⇒ − =

= + −

29. ( ) ( )

( )( )

4 8 4 105

105 5

21 3 5 3 15

7 7 7 1 7

1 15 7 8

4 15 4 7

2 2 2

2 2

x x

x x

− −

⋅ =⋅ =

⇒ − =

= − +

30.

( )( )x abx a b

x ab x ab

4 2 2 2

2 2

5 36

9 4

+ −

= + −

31.

( )( )

a a b b

a b a b

4 2 2 4

2

2 2 2 2

156

156 2

78 2 2 3 12

39 3 13 1 13

13 13 13 12 1

1 13 12

− −

⋅ =⋅ =

⇒ − =

= − +

32.

( )( )( )

( )( )

− + +

= − − −

= − − +

= − +

x ax a

x ax a

x a x a

a x x a

2 2

2 2

4 21

4 21

7 3

7 3

33.

( )( )x y x y a

x y a x y a

8 8 4 4 2

4 4 4 4

15 100

20 5

− −

= − +

34. ( ) ( )

( )( )( )( )

a a

a a

a a

− + − −

⋅ ==

⇒ − =

= − + − −

= + −

1 3 1 108

108 2

54 2 2 3 12

27 3 3 9

9 3 12 9 3

3 3 1 12 1 9

1 11 10

2

2

2

35.

( )( )m abcm a b c

m abc m abc

2 2 2 256

8 7

+ −

= + −

36. ( ) ( )

( )( )

7 24 7 128

128 4

32 4 4 16

8 4 4 2 8

2 2 16 8 24

1 7 16 7 8

2 2 2

2

2 2

x x

x x

+ +

=⋅ =

⇒ + =

= + +

EJERCICIO 100

1.

( )

( )( )

( )( )

2 3 2

4 3 2 4

2 4 2 1

2

2 2 1

2

2

x x

x x

x x

x x

+ −= + −

=+ −

= + −

2.

( )

( )( )

( )( )

3 5 2

9 5 3 6

3 6 3 1

3

2 3 1

2

2

x x

x x

x x

x x

− −= − −

=− +

= − +

3.

( )

( )( )

( )( )

6 7 2

36 7 6 12

6 4 6 3

2 3

3 2 2 1

2

2

x x

x x

x x

x x

+ +

= + +

=+ +

⋅

= + +

4.

( )

( )( )

( )( )

5 13 6

25 13 5 30

5 15 5 2

5

3 5 2

2

2

x x

x x

x x

x x

+ −= + −

=+ −

= + −

5.

( )

( )( )

( )( )

6 5 6

36 5 6 36

6 9 6 4

3 2

2 3 3 2

2

2

x x

x x

x x

x x

− −

= − −

=− +

⋅

= − +

6.

( )

( )( )

( )( )

12 6

144 1 12 72

12 9 12 8

3 4

4 3 3 2

2

2

x x

x x

x x

x x

− −

= − −

=− +

⋅

= − +

7. ( )

( )( )

( )( )

4 15 9

16 15 4 36

4 12 4 3

4

3 4 3

2

2

a a

a a

a a

a a

+ += + +

=+ +

= + +

8. ( )

( )( )

( )( )

10 11 3

100 11 10 30

10 6 10 5

2 5

5 3 2 1

2

2

a a

a a

a a

a a

+ +

= + +

=+ +

⋅

= + +

9.

( )

( )( )

( )( )

12 13 35

144 13 12 420

420 4 4 7 28

105 5 5 3 15

21 3 28 15 13

7 712 28 12 15

4 3

1 3 7 4 5

2

2

m m

m m

m m

m m

− −

= − −⋅ =

⋅ =⇒ − =

=− +

⋅

= − +

10.

( )( )( )

( )( )

20 1

400 1 20 20

20 5 20 4

5 4

4 1 5 1

2

2

y y

y y

y y

y y

+ −

= + −

=+ −

⋅

= + −

11.

( )

( )( )

( )( )

8 14 15

64 14 8 120

120 2

60 2 2 2 5 20

30 2 2 3 6

15 3 20 6 14

5 58 20 8 6

4 2

1 2 5 4 3

2

2

a a

a a

a a

a a

− −

= − −

⋅ ⋅ =⋅ =

⇒ − =

=− +

⋅

= − +

12.

( )

( )( )

( )( )

7 44 35

49 44 7 245

245 5

49 7 7 7 49

7 7 51 5

1 49 5 44

7 49 7 5

7

7 7 5

2

2

x x

x x

x x

x x

− −

= − −

⋅ =⋅ =

⇒ − =

=− +

= − +

13.

( )

( )( )

( )( )

15 16 15

225 16 15 225

225 5

45 5 5 5 25

9 3 3 3 9

3 3 25 9 16

115 25 15 9

5 3

3 5 5 3

2

2

m m

m m

m m

m m

+ −

= + −

⋅ =⋅ =

⇒ − =

=+ −

⋅

= + −

14.

( )

( )( )

( )( )

2 5 2

4 5 2 4

2 4 2 1

2

2 2 1

2

2

a a

a a

a a

a a

+ += + +

=+ +

= + +

15.

( )

( )( )

( )( )

12 7 12

144 7 12 144

144 2

72 2 2 16

36 2 3 9

18 2 16 9 7

9 312 16 12 9

4 3

3 3 3 4 4 3

1

2

2

4

2

x x

x x

x x

x x

− −

= − −

=

=⇒ − =

=− +

⋅

= − +

16.

( )

( )( )

( )( )

9 10 1

81 10 9 9

9 9 9 1

9

1 9 1

2

2

a a

a a

a a

a a

+ += + +

=+ +

= + +

17.

( )

( )( )

( )( )

20 9 20

400 9 20 400

400 2

200 2 2 16

100 2 5 25

50 2 25 16 9

25 520 25 20 16

5 4

5 5 4 5 5 4

1

2

2

4

2

n n

n

n n

n n

− −

= − −

=

=⇒ − =

=− +

⋅

= − +

18.

( )

( )( )

( )( )

21 11 2

441 11 21 42

21 14 21 3

7 3

3 2 7 1

2

2

x x

x x

x x

x x

+ −

= + −

=+ −

⋅

= + −

19.

( )( )

( )( )

15 6

225 15 90

15 10 15 9

5 3

3 2 5 3

2

2

m m

m m

m m

m m

+ −

= + −

=+ −

⋅

= + −

20. ( )

( )( )

( )( )

15 8 12

225 8 15 180

180 2

90 2 2 3 18

45 5 5 2 10

9 3 18 10 8

3 315 18 15 10

3 5

1 5 6 3 2

2

2

2

a a

a a

a a

a a

− −= − −

⋅ =⋅ =

⇒ − =

=− +

⋅

= − +

21.

( )

( )( )

( )( )

9 37 4

81 37 9 36

9 36 9 1

9

4 9 1

2

2

x x

x x

x x

x x

+ += + +

=+ +

= + +

22. ( )

( )( )

( )( )

20 44 15

400 44 20 300

300 2

150 2 2 5 50

75 5 2 3 6

15 5 50 6 44

3 320 50 20 6

10 2

1 2 5 10 3

2

2

2

n n

n n

n n

n n

+ −= + −

⋅ =⋅ =

⇒ − =

=+ −

⋅

= + −

23. ( )

( )( )

( )( )

14 31 10

196 31 14 140

140 2

70 2 5 7 35

35 5 2 2 4

7 7 35 4 31

114 35 14 4

7 2

2 5 7 2

2

2

m m

m m

m m

m m

− −= − −

⋅ =⋅ =

⇒ − =

=− +

⋅

= − +

24.

( )

( )( )

( )( )

2 29 90

4 29 2 180

180 2

90 2 2 5 20

45 3 3 9

15 3 20 9 29

5 52 20 2 9

2

1 2 10 2 9

2

2

2

2

x x

x x

x x

x x

+ += + +

⋅ =

=⇒ + =

=+ +

= + +

25.

( )

( )( )

( )( )

20 7 40

400 7 20 800

800 4

200 4 4 2 32

50 5 5 25

10 5 32 25 7

2 220 32 20 25

4 5

1 5 8 4 5

2

2

2

2

a a

a a

a a

a a

− −

= − −

⋅ =

=⇒ − =

=− +

⋅

= − +

26.

( )( )

( )( )

4 33

16 4 132

132 2

66 2 2 3 12

33 3 11 1 11

11 11 12 11 1

14 12 4 11

4

3 4 11

2

2

2

n n

n n

n n

n n

+ −

= + −

⋅ =⋅ =

⇒ − =

=+ −

= + −

27.

( )

( )( )

( )( )

30 13 10

900 13 30 300

300 2

150 2 5 25

75 5 2 3 12

15 5 25 12 13

3 330 25 30 12

5 6

1 6 5 5 2

2

2

2

2

x x

x x

x x

x x

+ −

= + −

=

⋅ =⇒ − =

=+ −

⋅

= + −

EJERCICIO 101

1.

( ) ( )( )( )

( )( )

6 5 6

6 5 6 36

6 9 6 4

3 2

2 3 3 2

4 2

2 2 2

2 2

2 2

x x

x x

x x

x x

+ −

= + −

=+ −

⋅

= + −

2.

( ) ( )( )( )

( )( )

5 4 12

5 4 5 60

5 10 5 6

5

2 5 6

6 3

3 2 3

3 3

3 3

x x

x x

x x

x x

+ −

= + −

=+ −

= + −

3.

( ) ( )( )( )

( )( )

10 29 10

10 29 10 100

10 25 10 4

5 2

2 5 5 2

8 4

4 2 4

4 4

4 4

x x

x x

x x

x x

+ +

= + +

=+ +

⋅

= + +

4.

( ) ( )

( )( )

( )( )

6 5 21

6 5 6 126

126 2

63 3 2 7 14

21 7 3 3 9

3 3 14 9 5

16 14 6 9

2 3

3 7 2 3

2 2

2

a x ax

ax ax

ax ax

ax ax

+ −

+ −

⋅ =⋅ =

⇒ − =

=+ −

⋅

= + −

5.

( ) ( )

( )( )

( )( )

20 9 20

20 9 20 400

400 2

200 2 5 25

100 2 2 16

50 2 25 16 9

25 520 25 20 16

5 4

5 5 4 5 5 4

1

2 2

2

2

4

x y xy

xy xy

xy xy

xy xy

+ −

= + −

=

=⇒ − =

=+ −

⋅

= + −

6.

( ) ( )

( )( )

( )( )

15 2

15 15 30

15 6 15 5

3 5

5 2 3

2 2

2 2

x ax a

x a x a

x a x a

x a x a

− −

= − −

=− +

⋅

= − +

7.

( )( ) ( )[ ]

( )( )[ ]

( )( )( )( )

− − +

= − + −

= − + −

⋅ =

=⇒ − =

=− + −

⋅

= − + −

= + −

10 7 12

10 7 12

10 7 10 120

120 2

60 2 5 3 15

30 2 2 8

15 5 15 8 7

3 310 15 10 8

5 2

1 2 3 5 4

2 3 4 5

2

2

2

3

x x

x x

x x

x x

x x

x x

8.

( )

( )( )

( )( )

21 29 72

441 29 21 1 512

1 512 2

756 2 2 7 56

378 2 3 27

189 3 56 27 29

63 321 56 21 27

7 3

21 3 3 8 7 9

7 7

1

2 2

2 2

3

3

x xy y

x xy y

x y x y

x y x y

− −

= − −

⋅ ==

⇒ − =

=− +

⋅

= − +

.

.

9.

( )

( )( )

( )( )

6 13 15

36 13 6 90

6 18 6 5

6

3 6 5

2 2

2 2

m am a

m am a

m a m a

m a m a

− −= − −

=− +

= − +

10.

( ) ( )

( )( )

( )( )

14 45 14

14 45 14 196

196 2

98 2 7 7 49

49 7 2 2 4

7 7 49 4 45

114 49 14 4

7 2

2 7 7 2

4 2

2 2 2

2 2

2 2

x x

x x

x x

x x

− −

= − −

⋅ =⋅ =

⇒ − =

=− +

⋅

= − +

11.

( )

( )( )

( )( )

30 13 3

900 13 30 90

30 18 30 5

6 5

5 3 6

2 2

2 2

a ab b

a ab b

a b a b

a b a b

− −

= − −

=− +

⋅

= − +

12.

( ) ( )( )( )

( )( )

7 33 10

7 33 7 70

7 35 7 2

7

5 7 2

6 3

3 2 3

3 3

3 3

x x

x x

x x

x x

− −

= − −

=− +

= − +

13.

( )( )( )

( )( )

( )( )( )( )

− + +

= − − −

= − − −

= −− +

= − − +

= − +

3 13 30

3 13 30

9 13 3 90

3 18 3 5

3

6 3 5

6 3 5

2

2

2

a a

a a

a a

a a

a a

a a

14.

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )( )( )

− + +

= − − −

= − − −

= −− +

⋅

= − − +

= − +

6 7 5

6 7 5

6 7 6 30

6 10 6 3

2 3

3 5 2 1

5 3 2 1

8 4

8 4

4 2 4

4 4

4 4

4 4

x x

x x

x x

x x

x x

x x

15.

( )( )

( )( )

6 15

36 6 90

6 10 6 9

2 3

3 5 2 3

2 2

2 2

a ax x

a ax x

a x a x

a x a x

− −

= − −

=− +

⋅

= − +

16.

( ) ( )

( )( )

( )( )

4 7 15

4 7 4 60

4 12 4 5

4

3 4 5

2 2 2

2 2 2

x mnx m n

x mn x m n

x mn x mn

x mn x mn

+ −

= + −

=+ −

= + −

17.

( ) ( )

( )( )

( )( )

18 17 15

18 17 18 270

270 2

135 5 3 27

27 3 5 2 10

9 3 27 10 17

3 318 27 18 10

9 2

1 2 3 9 5

2 2

2 2

3

a ay y

a y a y

a y a y

a y a y

+ −

= + −

=⋅ =

⇒ − =

=+ −

⋅

= + −

18.

( )( ) ( )( )( )( )

( )( )( )( )

− + +

= − − −

= − − −

= −− +

⋅

= − − +

= − +

8 2 15

8 2 15

8 2 8 120

8 12 8 10

4 2

2 3 4 5

3 2 4 5

4 2

4 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

x x

x x

x x

x x

x x

x x

19.

( )( ) ( )( )( )( )

( )( )( )( )

− + +

= − − −

= − − −

= −− +

⋅

= − − +

= − +

25 5 6

25 5 6

25 5 25 150

25 15 25 10

5 5

5 3 5 2

3 5 5 2

8 4

8 4

4 2 4

4 4

4 4

4 4

x x

x x

x x

x x

x x

x x

20.

( ) ( )( )( )

( )( )

30 91 30

30 91 30 900

30 100 30 9

10 3

3 10 10 3

10 5

5 2 5

5 5

5 5

x x

x x

x x

x x

− −

= − −

=− +

⋅

= − +

21.

( ) ( )

( )( )

( )( )

30 17 21

30 17 30 630

630 2

315 5 5 7 35

63 3 2 3 18

21 3 35 18 17

7 730 35 30 18

5 6

1 6 7 5 3

2 2

2 2

2

m am a

m a m a

m a m a

m a m a

+ −

= + −

⋅ =

⋅ =⇒ − =

=+ −

⋅

= + −

22.

( )( ) ( )( )( )( )

( )( )( )( )

− + −

= − − +

= − − +

= −− −

⋅

= − − −

= − −

15 16 4

15 16 4

15 16 15 60

15 10 15 6

5 3

3 2 5 2

3 2 2 5

2

2

2

a a

a a

a a

a a

a a

a a

23.

( )( ) ( )( )( )( )

( )( )( )( )

− + −

= − − +

= − − +

= −− −

⋅

= − − −

= − −

6 11 4

6 11 4

6 11 6 24

6 8 6 3

2 3

3 4 2

4 3 2

2 2

2 2

2 2

y xy x

y xy x

y x y x

y x y x

y x y x

x y y x

24.

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )( )( )

− + −

= − − +

= − − +

⋅ =⋅ =

⇒ + =

= −− −

⋅

= − − −

= − −

20 27 9

20 27 9

20 27 20 180

180 2

90 2 2 3 12

45 5 5 3 15

9 3 15 12 27

3 320 15 20 12

5 4

1 4 3 5 3

4 3 3 5

2 2

2 2

2 2

2

a ab b

a ab b

a b a b

a b a b

a b a b

a b b a

EJERCICIO 102

1. ( )a a a a3 2 33 3 1 1+ + + = +

2. ( )27 27 9 32 3 3− + − = −x x x x

3. ( )m m n mn n m n3 2 2 3 33 3+ + + = +

4. ( )1 3 3 12 3 3− + − = −a a a a

5. ( )8 12 6 22 4 6 2 3+ + + = +a a a a

6. ( )125 75 15 1 5 13 2 3x x x x+ + + = +

7. ( )8 36 54 27 2 33 2 2 3 3a a b ab b a b− + − = −

8. ( )27 108 144 64 3 43 2 2 3 3m mn mn n m n+ + + = +

9. x x x No es cubo perfecto3 23 3 1− + + =

10. 1 12 6 82 3 3+ − − =a b ab a b No es cubo perfecto

11. ( )125 150 60 8 5 23 2 2 3 3a a b ab b a b+ + + = +

12. ( )8 36 54 27 2 32 3 3+ + + = +x x x x

13. 8 12 642 4 6− − − =a a a No es cubo perfecto

14. ( )a a b a b b a b6 4 3 2 6 9 2 3 33 3+ + + = +

15. ( )x x y x y y x y9 6 4 3 8 12 3 4 39 27 27 3− + − = −

16. ( )64 240 300 125 4 53 2 2 3 3x x y xy y x y+ + + = +

17. ( )216 756 882 343 6 72 4 6 2 3− + − = −a a a a

18. ( )125 600 960 512 5 812 8 5 4 10 15 4 5 3x x y x y y x y+ + + = +

19. ( )a a a a18 12 6 6 33 3 1 1+ + + = +

20. ( )m am n a mn a n m an3 2 2 2 3 3 33 3− + − = −

21. ( )1 18 108 216 1 62 3 4 6 6 9 2 3 3+ + + = +a b a b a b a b

22. ( )64 240 300 125 4 59 6 4 3 8 12 3 4 3x x y x y y x y− + − = −

EJERCICIO 103

1. ( )( )1 1 13 2+ = + − +a a a a

2. ( )( )1 1 13 2− = − + +a a a a

3. ( )( )x y x y x xy y3 3 2 2+ = + − +

4. ( )( )m n m n m mn n3 3 2 2− = − + +

5. ( )( )a a a a3 21 1 1− = − + +

6. ( )( )y y y y3 21 1 1+ = + − +

7. ( )( )y y y y3 21 1 1− = − + +

8. ( )( )8 1 2 1 4 2 13 2x x x x− = − + +

9. ( )( )1 8 1 2 1 2 43 2− = − + +x x x x

10. ( )( )x x x x3 227 3 3 9− = − + +

11. ( )( )a a a a3 227 3 3 9+ = + − +

12. ( )( )8 2 4 23 3 2 2x y x y x xy y+ = + − +

13. ( )( )27 3 9 33 3 2 2a b a b a ab b− = − + +

14. ( )( )64 4 16 46 2 2 4+ = + − +a a a a

15. ( )( )a a a a3 2125 5 5 25− = − + +

16. ( )( )1 216 1 6 1 6 363 2− = − + +m m m m

17. ( )( )8 27 2 3 4 6 93 6 2 2 2 4a b a b a ab b+ = + − +

18. ( )( )x b x b x x b b6 9 2 3 4 2 3 6− = − + +

19. ( )( )8 27 2 3 4 6 93 3 2 2x y x y x xy y− = − + +

20. ( )( )1 343 1 7 1 7 493 2+ = + − +n n n n

21. ( )( )64 729 4 9 16 36 813 2a a a a− = − + +

22. ( )( )a b x ab x a b abx x3 3 6 2 2 2 2 4− = − + +

23. ( )( )512 27 8 3 64 24 99 3 3 6+ = + − +a a a a

24. ( )( )x y x y x x y y6 12 2 4 4 2 4 88 2 2 4− = − + +

25. ( )( )1 729 1 9 1 9 816 2 2 4+ = + − +x x x x

26. ( )( )27 64 3 4 9 12 163 9 3 2 3 6m n m n m mn n+ = + − +

27. ( )( )343 512 7 8 49 56 643 6 2 2 2 4x y x y x xy y+ = + − +

28. ( )( )x y y xy y x y xy y3 6 9 2 3 2 4 5 6216 6 6 36− = − + +

29. ( )( )a b x abx a b x abx3 3 3 2 2 21 1 1+ = + − +

30. ( )( )x y x y x x y y9 9 3 3 6 3 3 6+ = + − +

31. ( )( )1 000 1 10 1 100 10 13 2. x x x x− = − + +

32. ( )( )a b a b a a b b6 12 2 4 4 2 4 8125 5 5 25+ = + − +

33. ( )( )x y x y x x y y12 12 4 4 8 4 4 8+ = + − +

34. ( )( )1 27 1 3 1 3 93 3 2 2− = − + +a b ab ab a b

35. ( )( )8 729 2 9 4 18 816 2 4 2x x x x+ = + − +

36. ( )( )a b a b a ab b3 12 4 2 4 88 2 2 4+ = + − +

37. ( )( )8 125 2 5 4 10 259 3 6 3 2 6 3 2 2 4x y z x yz x x yz y z− = − + +

38. ( )( )27 343 3 7 9 21 496 9 2 3 4 2 3 6m n m n m mn n+ = + − +

39. ( )( )216 6 36 612 4 4 8− = − + +x x x x

EJERCICIO 104

1. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )( )

1 1 1

1 1 2

3 2

2 2

+ + = + + − + + +

= + + − − + + +

x y x y x y x y

x y x y x xy y

2. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )( )

1 1 1

1 1 2

3 2

2 2

− + = − + + + + +

= − − + + + + +

a b a b a b a b

a b a b a ab b

3. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )( )

27 3 9 3

3 9 3 3 2

3 2

2 2

+ − = + − − − + −

= + − − + + − +

m n m n m n m n

m n m n m mn n

4. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )( )

x y x y x y x y

x y x xy y x y

− − = − − − + − +

= − − − + + − +

3 2

2 2

8 2 2 4

2 2 2 2 4

5. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )( )

x y x y x y x y

x y x xy y x y

+ + = + + + − + +

= + + + + − − +

2 1 2 1 2 2 1

2 1 4 4 2 1

3 2

2 2

6. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )( )

1 2 1 2 1 2 2

1 2 1 2 4 4

3 2

2 2

− − = − − + − + −

= − + + − + − +

a b a b a b a b

a b a b a ab b

7. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )( )( )( )

a a a a a a a a

a a a a a a

a a a

3 3 2 2

2 2 2

2

1 1 1 1

2 1 2 1

2 1 1

+ + = + + − + + +

= + − − + + +

= + + +

8. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )( )( )( )

8 1 2 1 4 2 1 1

2 1 4 2 2 2 1

1 7 4 1

3 3 2 2

2 2 2

2

a a a a a aa a

a a a a a a a

a a a

− − = − − + − + −

= − + + − + − +

= + − +

9. ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]

( )( )( )( )

27

3 9 3

3 9 3 3 2

2 13 5

3 3

2 2

2 2 2 2

2 2

x x y

x x y x x x y x y

x x y x x xy x xy y

x y x xy y

− −

= − − + − + −

= − + + − + − +

= + − +

10. ( )( ) ( ) ( )[ ]( )( )

2 27

2 3 2 3 2 9

2 3 4 4 6 3 9

3

2

2 2

a b

a b a b a b

a b a ab b a b

− −

= − − − + − +

= − − − + + − +

11. ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]

( )( )( ) ( )

x x

x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x

6 3

2 4 2 2

2 4 3 2 2

2 4 3 2

2

2 2 2

2 2 4 4

2 3 4 4

− +

= − + + + + +

= − − + + + + +

= − − + + + +

12. ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]( )( )( )( )

a a

a a a a a a

a a a a a a a

a a a

+ + −

= + + − + − − + + −

= − + + − + + + − +

= − − +

1 3

1 3 1 3 1 3

2 2 2 1 2 3 6 9

2 2 2 13

3 3

2 2

2 2 2

2

13. ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]

( )( )( ) ( )

x x

x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x

− − +

= − − + − + − + + +

= − − − − + + + − + + +

= − + + = − + +

1 2

1 2 1 1 2 2

1 2 2 1 2 4 4

3 3 3 3 9 1

3 3

2 2

2 2 2

2 2

14. ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]( )( )

( )

x y x y

x y x y x y x y x y x y

x y x y x xy y x y x xy y

y x y

− − +

= − − + − + − + + +

= − − − − + + − + + +

= − +

3 3

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 3

15. ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]( )( )( )( )

m m

m m m m m m

m m m m m m m m

m m m

− + −

= − + − − − − − + −

= − + − − + − + − + − +

= − − +

2 3

2 3 2 2 3 3

2 3 4 4 5 6 6 9

2 5 5 7

3 3

2 2

2 2 2

2

16. ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]( )( )( )( )

2 3

2 3 2 2 3 3

2 3 4 4 6 9 6

5 7 3 3

3 3

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

x y x y

x y x y x y x y x y x y

x y x y x xy y x xy y x xy y

x x xy y

− + +

= − + + − − − + + +

= − + + − + − + + + + +

= + +

17. ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]

( )( )( )( )

8

2 4 2

2 2 4 8 4 2 2 2

3 3 6 7

3 3

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

a b a b

a b a b a b a b a b a b

a b a b a ab b a b a ab b

a b a ab b

+ + −

= + + − + − + − + −

= + + − + + − + + − +

= + + +

18. ( )( )[ ] ( ) ( )( )[ ]

( )( )

64 125

4 5 16 4 5 25

4 4 5 16 32 16 20 20 25

3

2

2 2

m n

m n m n m n

m n m mn n m n

+ −

= + − + + + +

= + − + + + + +

EJERCICIO 105

1. ( )( )a a a a a a5 4 3 21 1 1+ = + − + − +

2. ( )( )a a a a a a5 4 3 21 1 1− = − + + + +

3. ( )( )1 1 15 2 3 4− = − + + + +x x x x x x

4.

( )( )a b

a b a a b a b a b a b ab b

7 7

6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

+

= + − + − + − +

5.

( )( )m n

m n m m n m n m n m n mn n

7 7

6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

−

= − + + + + + +

6. ( )( )a a a a a a5 4 3 2243 3 3 9 27 81+ = + − + − +

7. ( )( )32 2 16 8 4 25 2 3 4− = − + + + +m m m m m m

8. ( )( )1 243 1 3 1 3 9 27 815 2 3 4+ = + − + − +x x x x x x

9.

( )( )x

x x x x x x x

7

6 5 4 3 2

128

2 2 4 8 16 32 64

+

= + − + − + − +

10. ( )( )243 32 3 2 81 54 36 24 165 2 3 4− = − + + + +b b b b b b

11. ( )( )a b c a bc a a bc a b c ab c b c5 5 5 4 3 2 2 2 3 3 4 4+ = + − + − +12.

( )( )m a x

m ax m m ax m a x m a x m a x ma x a x

7 7 7

6 5 4 2 2 3 3 3 2 4 4 5 5 6 6

−

= − + + + + + +

13. ( )( )1 1 17 2 3 4 5 6+ = + − + − + − +x x x x x x x x

14.

( )( )x y

x y x x y x y x y x y xy y

7 7

6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

−

= − + + + + + + 15.

( )( )a

a a a a a a a

7

6 5 4 3 2

2 187

3 3 9 27 81 243 729

+

= + − + − + − +

.

16. ( )( )1 128 1 2 1 2 4 8 16 32 647 2 3 4 5 6− = − + + + + + +a a a a a a a a

17. ( )( )x y x y x x y x y x y y10 5 2 8 6 4 2 2 3 432 2 2 4 8 16+ = + − + − + 18.

( )( )1 128

1 2 1 2 4 8 16 32 64

4

2 2 4 6 8 10 12

+

= + − + − + − +

x

x x x x x x x

EJERCICIO 106

1. ( )5 5 12a a a a+ = +

2. ( )m mx x m x2 2 22+ + = +

3. ( ) ( )( ) ( )

( )( )

a a ab b a a ab b

a a b a

a a b

2 2

1 1

1

+ − − = + − −

= + − +

= + −

4. ( )( )x x x x2 2 236 6 6 6− = − = + −

5. ( )9 6 32 2 2x xy y x y− + = −

6. ( )( )x x x x2 3 4 1 4− − = − +7.

( )( )

( )( )

6 2

36 6 12

6 4 6 3

3 2

3 2 2 1

2

2

x x

x x

x x

x x

− −

= − −

=− +

⋅

= − +

8. ( )( )1 1 13 2+ = + − +x x x x

9. ( )( )27 1 3 1 9 3 13 2a a a a− = − + +

10. ( )( )x m x m x x m x m xm m5 5 4 3 2 2 3 4+ = + − + − +

11. ( )a a b ab a a ab b3 2 2 2 23 5 3 5− + = − +12.

( ) ( ) ( )( )2 6 3

2 3 3 3 2

xy y xz z

y x z x x y z

− + −

= − + − = − +

13. ( )1 4 4 1 22 2− + = −b b b

14.

( )( )( )

4 3

4 4

2

2 2

4 2 2 4

2 2 2 2

4 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

x x y y

x y x y

x x y y x y

x y x y

x xy y x xy y

+ +

+ −

+ + −

= + −

= + + − +

15.

( )( )( )

x x y y

x y x y

x x y y x y

x y x y

x x y y x x y y

8 4 4 8

4 4 4 4

8 4 4 8 4 4

4 4 2 4 4

4 2 2 4 4 2 2 4

6

2 4

2 4

4

2 2

− +

+ −

− + −

= − −

= + − − −

16. ( )( )a a a a2 30 6 5− − = − +

17.

( )

( )( )

( )( )

15 11 14

225 11 15 210

15 21 15 10

3 5

5 7 3 2

2

2

m m

m m

m m

m m

+ −

= + −

=+ −

⋅

= + −

18. ( )( )a a a a6 2 4 21 1 1+ = + − +

19. ( )( )8 27 2 3 4 6 93 6 2 2 2 4m y m y m my y− = − + +20. ( )16 24 9 4 32 2 2

a ab b a b− + = −

21. ( )( )1 1 17 2 3 4 5 6+ = + − + − + − +a a a a a a a a

22. ( )8 12 6 1 2 13 2 3a a a a− + − = −

23. ( )( )1 1 12− = + −m m m

24. ( )( )x x x x4 2 2 24 21 7 3+ − = + −

25. ( )( )125 1 5 1 25 5 16 2 4 2a a a a+ = + − +26.

( ) ( )( )a ab b m

a b m a b m a b m

2 2 2

2 2

2+ + −

= + − = + + + −

27. ( )8 16 24 8 1 2 32 3 2 2 2a b a b a b a b a b+ − = + −

28.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )x x x

x x x x x x x x

5 4

5 4 4 4

1

1 1 1 1 1

− + −

= − + − = − + − = + −

29.

( )

( )( )

( )( )

6 19 20

36 19 6 120

120 2

60 2 2 3 24

30 2 5 1 5

15 3 24 5 19

5 56 24 6 5

6

1 4 6 5

2

2

3

x x

x x

x x

x x

+ −

= + −

⋅ =⋅ =

⇒ − =

=+ −

= + −

30. ( )( )25 81 5 9 5 94 2 2 2x y x y x y− = + −

31. ( )( )1 1 13 2− = − + +m m m m

32.

( ) ( )( ) ( )( )( )

x a xy y ab b

x xy y a ab b

x y a b

x y a b x y a b

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

− + + + −

= + + − − +

= + − −

= + + − + − +

33. ( )21 7 7 7 7 3 15 4 2 3 3 2 2 3 2 2m n m n m n m n m n m m n mn− + − = − + −34. ( ) ( ) ( ) ( )( )a x b x c x a b c x+ − + + + = − + +1 1 1 1

35. ( ) ( ) ( )4 4 22 2

+ − + − = + −x y x y x y

36. ( )( )1 1 12 4 2 2− = + −a b ab ab

37. ( )b ab a b a2 2 212 36 6+ + = +

38. ( )( )x x x x6 3 3 34 77 11 7+ − = + −

39.

( ) ( )( )( )

( )( )

15 17 4

15 17 15 60

15 20 15 3

5 3

3 4 5 1

4 2

2 2 2

2 2

2 2

x x

x x

x x

x x

− −

= − −

=− +

⋅

= − +

40. ( )( ) ( ) ( )[ ]( )( )

1 3

1 3 1 3 3

1 3 1 3 6 9

3

2

2 2

+ −

= + − − − + −

= + − − + + − +

a b

a b a b a b

a b a b a ab b

41.

( )( )( )

x x

x x

x x x

x x

x x x x

4 2

2 2

4 2 2

2 2 2

2 2

25

9 9

10 25 9

5 9

3 5 3 5

+ +

+ −

+ + −

= + −

= + + − +

42.

( )( )( )

a a

a a

a a a

a a

a a a a

8 4

4 4

8 4 4

4 2 4

4 2 4 2

28 36

16 16

12 36 16

6 16

4 6 4 6

− +

+ −

− + −

= − −

= + − − −

43. ( )( )343 8 7 2 49 14 43 2+ = + − +a a a a

44. ( )12 15 3 4 52 2 2a bx a by a b x y− = −

45. ( )( )x xy y x y x y2 22 15 5 3+ − = + −46.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

6 4 2 3

6 3 4 2

3 2 1 2 2 1

3 2 2 1

am an n m

am m an n

m a n a

m n a

− − +

= + − +

= + − +

= − +

47. ( )( )81 4 9 2 9 26 2 8 3 4 3 4a b c a bc a bc− = + −48. ( ) ( )( )16 2 4 2 4 2

2− + = + + − −a b a b a b

49.

( )( )( )

( )( )

20

20

5 4

5 4

2

2

− −

= − + −

= − + −

= + −

x x

x x

x x

x x

50. ( )( )n n n n2 42 7 6+ − = + −

51.

( ) ( )( ) ( )( )( )

a d n c an cd

a an n c cd d

a n c d

a n c d a n c d

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

− + − − −

= − + − + +

= − − +

= − + + − − −

52. ( )( )1 216 1 6 1 6 369 3 3 6+ = + − +x x x x

53 ( )( )x x x x3 264 4 4 16− = − + +54. ( )x x x x3 4 364 1 64− = −

55. ( )18 36 54 18 2 35 3 4 3 2 8 2 3 3 2 5ax y x y x y x y ax x y− − = − −56. ( )49 14 1 7 12 2a b ab ab− + = −

57. ( ) ( )( ) ( )( )x x x x x+ − = + + + − = + −1 81 1 9 1 9 10 82

58. ( ) ( )( )a b c a b c a b c2 2− + = + + − −

59. ( ) ( ) ( )m n m n m n+ − + + = + −2 2

6 9 3

60.

( ) ( )

( )( )

( )( )

7 31 20

7 31 7 140

140 2

70 2 7 5 35

35 5 2 4

7 7 35 4 31

17 35 7 4

7

5 7 4

2

2

2

x x

x x

x x

x x

+ −

= + −

⋅ =

=⇒ − =

=+ −

= + −

64.

( )( )( )

1 27

25 25

1 2 25

1 25

1 5 1 5

2 4

2 2

2 4 2

2 2 2

2 2

− +

+ −

− + −

= − −

= + − − −

b b

b b

b b b

b b

b b b b

66. ( )( )c d c d c d4 4 2 2 2 24 2 2− = + −

67. ( )15 15 20 5 3 3 44 3 2 2 2x x x x x x− + = − +68.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )a x a x

a x a x a x a x a x a x a x

2 2

2 2 1

− − −

= − − + = + − − + = + − −

61.

( )9 63 45

9 7 5

3 2

2

a a a

a a a

+ −

= + −62.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

ax a x

ax a x

a x x

a x

+ − −

= + − +

= + − +

= − +

1

1

1 1

1 1

63.

( )

81 25 90

81 90 25

9 5

4 2 2

4 2 2

2 2

x y x y

x x y y

x y

+ −

⇒ − +

= −

65.

( )( )( )

m m n n

m n m n

m mn n mn

m n m n

m mn n m mn n

4 2 2 4

2 2 2 2

4 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

+ +

+ −

+ + −

= + −

= + + − +

69.

( )( )

x x

x x

4 2

2 2

8 240

240 4

60 4 4 5 20

15 3 4 3 12

5 5 20 12 8

1 20 12

− −

⋅ =⋅ =

⇒ − =

= − +

70.

( ) ( )

( )( )

( )( )

6 7 20

6 7 6 120

120 4

30 3 4 2 8

10 5 5 3 15

2 2 15 8 7

16 15 6 8

3 2

2 5 3 4

4 2

2 2 2

2 2

2 2

m m

m m

m m

m m

+ −

= + −

⋅ =⋅ =

⇒ − =

=+ −

⋅

= + −

71.

( )9 4 12 9 12 4

3 2

2 2 2 2

2

n a an n an a

n a

+ − ⇒ − +

= −

72. ( )2 2 2 12 2x x+ = +73. ( ) ( ) ( )( )7 1 3 1 7 3 1a x y b x y a b x y+ − − + − = − + −

74. ( )( )x x x x2 3 18 6 3+ − = + −

75. ( ) ( ) ( )( )a m b n a m b n a m b n+ − + = + + + + − −2 2

76 ( )x x y xy y x y3 2 2 3 36 12 8 2+ + + = +

77. ( ) ( )

( )( )

( )( )

8 22 21

8 22 8 168

168 4

42 2 3 2 6

21 3 4 7 28

7 7 28 6 22

18 28 8 6

4 2

2 7 4 3

2

2

a a

a a

a a

a a

− −

= − −

⋅ =⋅ =

⇒ − =

=− +

⋅

= − +

78. ( )1 18 81 1 92 2 2+ + = +ab a b ab

79. ( )( )4 1 2 1 2 16 3 3a a a− = + −80.

( )( )

x x

x x

6 3

3 3

4 480

480 4

120 3 5 4 20

40 4 4 3 2 24

10 5 24 20 4

2 2 24 20

1

− −

⋅ =⋅ ⋅ =

⇒ − =

= − +

81.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

ax bx b a by ay

ax ay a bx by b

a x y b x y

a b x y

− + − − +

= + − − + −

= + − − + −

= − + −

1 1

1

82

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

6 3 2 1

6 3 2 1

3 2 1 2 1 3 1 2 1

am m a

am m a

m a a m a

− − +

= − − −

= − − − = − −

83.

( )( ) ( )[ ]

( )( )

( )( )( )( )

15 14 8

8 14 15

8 14 8 120

120 4

30 3 4 5 20

10 5 3 2 6

2 2 20 6 14

18 20 8 6

4 2

2 5 4 3

5 2 4 3

2

2

2

+ −

= − − −

= − − −

⋅ =⋅ =

⇒ − =

= −− +

⋅

= − − +

= − +

x x

x x

x x

x x

x x

x x

84. ( )a a a a a a a a10 8 6 4 4 6 4 2 1− + + = − + +85. ( ) ( ) ( ) ( )( )2 1 1 2 1 1 1 2 1x a a x a a a x− − + = − − − = − −

86.( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )m n m n n m n m n m n n m n m n+ − + − = − + + = − +3 3 4

87.

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

a b b x a x

b b x a a x

b x a x x a b

2 3 3 2 2 2

3 3 2 2 2 2

3 2 2 2 2 2 3

2 2

2 2

1 2 1 2 1 2

− + −

= − − + −

= − − + − = − −

88.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( )

2 3 3 2

2 3 3 2

2 3 3 2

2 3 2 3

2 3 1

am b c cm bm a

am cm bm b c a

m a c b b c a

m a b c a b c

a b c m

− − − − +

= − − − + −

= − − − + −

= − − + − −

= − − +

91. ( ) ( )( ) ( )( )81 9 9 10 82 2x a x x a x x a x x a x a− + = + + − − = + −

92.

( ) ( ) ( )( )a a x

a a x a x a x a x

2 2

2 2 2 2

9 6 16

6 9 16 3 16 3 4 4 3

+ − −

= − + − = − − = − + − −

93.

( ) ( ) ( )( )9 4 4

9 4 4 9 2 3 2 3 2

2 2

2 2 2 2

a x x

a x x a x a x a x

− − +

= − − + = − − = + − − +

94.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )9 3

9 3 3 3 3 3 3 1

2 2

2 2

x y x y

x y x y x y x y x y x y x y

− + −

= − + − = + − + − = − + +

95. ( )( )x x x x2 72 9 8− − = − +

96.

( )( )( )

36 120 49

36 36

36 84 49 36

6 7 36

6 6 7 6 6 7

4 2 2 4

2 2 2 2

4 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

a a b b

a b a b

a a b b a b

a b a b

a ab b a ab b

− +

+ −

− + −

= − −

= + − − −

97.

( ) ( )( ) ( )( )( )

a m n mn ab b

a ab b m mn n

a b m n

a b m n a b m n

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

9 6 4 4

4 4 6 9

2 3

2 3 2 3

− − − + +

= + + − + +

= + − +

= + + + + − −

98. 14

91

2

31

2

38 4 4− = +

−

a a a

99.

( )( )( )

81 64

144 144

81 144 64 144

9 8 144

9 12 8 9 12 8

8 12

4 6 4 6

8 4 6 12 4 6

4 6 2 4 6

4 2 3 6 4 2 3 6

a b

a b a b

a a b b a b

a b a b

a a b b a a b b

+

+ −

+ + −

= + −

= − + + +

89. x x x222

3

1

9

1

3− + = −

90.

( )( )4

2 2

2 4

2 2

a b

a b a b

n n

n n n n

−

= + −

101.

( )( )( )( )( )

x abx a b

a b a b

x abx a b a b

x ab a b

x ab ab x ab ab

x ab x ab

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

2 35

36 36

2 36

36

6 6

5 7

− −

+ −

− + −

= − −

= − + − −

= + −

100.

( ) ( )

( )( )

( )( )

49 77 30

49 77 49 1 470

1 470 7

210 7

30 5

6 6 7 5 35

1 7 6 42

42 35 77

49 35 49 42

7 7

7 5 7 6

2

2

x x

x x

x x

x x

− +

= − +

⋅ =⋅ =

⇒ + =

=− −

⋅

= − −

.

.

102. ( )125 225 135 27 5 33 2 3x x x x− + − = −

103. ( ) ( )( )( ) ( )( )

a a

a a a a a

− − +

= − + + − − − = + −

2 3

2 3 2 3 2 1 5

2 2

104.

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

4 12 5 15

4 12 5 15

4 3 5 3 3 4 5

2 2

2 2

2 2

a m a n bm bn

a m a n bm bn

a m n b m n m n a b

+ − −

= + − +

= + − + = + −

105. ( )1 6 9 1 33 6 3 2+ + = +x x x

106. ( )( )a a b b a b a b4 2 2 2 23 40 8 5+ − = + −

107. ( )( )m a x m ax m axm a x3 3 3 2 2 28 2 2 4+ = + − +

108.

( )[ ]( )[ ]( )( )[ ]

( )( )

1 9 24 16

9 24 16 1

3 4 1

3 4 1 3 4 1

3 4 1 1 4 3

2 2

2 2

2

− + −

= − − + −

= − − −

= − − + − −

= − + + −

x xy y

x xy y

x y

x y x y

x y y x

109.

( ) ( )

( )( )

( )( )

1 11 24

24 11 24 24

24 8 24 3

8 3

3 1 8 1

2

2

+ +

= + +

=+ +

⋅

= + +

x x

x x

x x

x x

110. ( )9 27 9 9 1 32 3 3 3 5 3 2 3 3x y x y x y x y x x− − = − −

111. ( )( )( )

a b c x y

a b c xy a b c xy

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

9

3 3

+ − −

= + − + + − −

112. ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]

( )( )( )( )

8 1 1

2 1 1 4 1 2 1 1

2 2 1 4 8 4 2 2 1

2 1 4 10 7

3

2

2

2

a

a a a

a a a a

a a a

+ −

= + − + + + +

= + − + + + + +

= + + +

113.

( )( )100 121

10 11 10 11

4 6 4

2 3 2 2 3 2

x y m

x y m x y m

−

= + −

114. ( ) ( )( )( ) ( )( )

a a

a a a a

2 2 2

2 2 2 2

1 5 1 24

1 8 1 3 9 2

+ + + −

= + + + − = + −

115. ( )( )1 1 000 1 10 1 10 1006 2 2 4+ = + − +. x x x x

116.

( )[ ]( )[ ]( )( )

( )( )

49 9 6

6 9 49

3 49

7 3 7 3

7 3 7 3

2 2 2

2 2 2

2 2

a x y xy

x xy y a

x y a

a x y a x y

a x y a x y

− − +

= − − + −

= − − −

= − + − − + −

= + − − +

117.

( ) ( )( ) ( )( )( )

x y x yz z

x x y yz z

x y z

x y z x y z

4 2 2 2

4 2 2 2

2 2 2

2 2

4 4 4 4

4 4 4 4

2 2

2 2 2 2

− + + − −

= + + − + +

= + − +

= + + + + − −

118. ( )( )a a a a3 264 4 4 16− = − + +

119. ( )( )a x a x a a x a x ax x5 5 4 3 2 2 3 4+ = + − + − +

120. ( )( )a a b b a b a b6 3 2 3 33 54 9 6− − = − +

121.

( )

( )( )( ) ( )

165 4

4 165

165 5

33 3 5 3 15

11 11 11 1 11

1 15 11 4

15 11

15 11

2

2

+ −

= − − −

⋅ =⋅ =

⇒ − =

= − − +

= − +

x x

x x

x x

x x

122.

( )( )( )

a a

a a

a a a

a a

a a a a

4 2

2 2

4 2 2

2 2 2

2 2

1

2 1

1

1 1

+ +

+ −

+ + −

= + −

= + + − +

123. x y x y x y2 6 3 3

4 81 2 9 2 9− = +

−

124. 168

5 254

52

2 2

xxy y

xy

+ + = +

125.

( )( )( )( )( )

a b a b

a b a b

a b

a b a b

a b a b

4 4 2 2

4 4 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

4 96

100 100

4 4 100

2 100

2 10 2 10

12 8

+ −+ −

+ + −

= + −

= + + + −

= + −

126.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

8 7 21 7 8 24

7 21 7 8 8 24

7 1 3 8 1 3

1 3 7 8

2 3 2

2 3 2

2

2

a x y by ay a x a bx

y by ay a x a x a bx

y b a a x a b

b a y a x

+ + − − +

= + − + − +

= + − + − +

= + − +

127.

( )( )

x x

x x

4 2

2 2

11 390

390 3

130 2 13 2 26

65 5 5 3 15

13 13 26 15 11

1 26 15

+ −

⋅ =⋅ =

⇒ − =

= + −

128.

( )( ) ( )[ ]( )( )

( )( )( )( )

7 33 10

10 33 7

10 33 10 70

10 35 10 2

5 2

2 7 5 1

7 2 5 1

2

2

2

+ −

= − − −

= − − −

= −− +

⋅

= − − +

= − +

m m

m m

m m

m m

m m

m m

129. ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( )( )

4 9

2 3 2 3

2 2 3 3 2 2 3 3

2 2a b c d

a b c d a b c d

a b c d a b c d

+ − +

= + + + + − +

= + + + + − −

130. ( )( )729 125 9 5 81 45 253 12 4 4 2 8− = − + +x y xy xy x y

131. ( ) ( ) ( ) ( )( )x y x y x y x y x y x y+ + + = + + + = + + +2 2

1

132. ( )

( )( )

( )( )

4 2

4 2

4 2

4 2

4

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

− + +

− − +

+ −

− + −

= − − +

= − −

= + − − +

a b ab

a b ab

b b

a ab b

a ab b

a b

a b a b

133.

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

x y x y

x y x y

x y x xy y x y x y x xy y

3 3

3 3

2 2 2 2 1

− + −

= − + −

= − + + + − = − + + +

134.

( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )

a b a b

a b a b

a b a b a b a ab b

a b a b a ab b

2 2 3 3

2 2 3 3

2 2

2 2

− + −

= − + −

= + − + − + +

= − + + + +

EJERCICIO 107

1.

( ) ( )( )3 3

3 1 3 1 1

2

2

ax a

a x a x x

−

= − = + −

2.

( ) ( )( )3 3 6

3 2 3 2 1

2

2

x x

x x x x

− −

= − − = − +

3.

( )( ) ( )( )

2 4 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

a x abx b x

x a ab b

x a b x a b a b

− +

= − +

= − = − −

4.

( ) ( )( )2 2

2 1 2 1 1

3

3 2

a

a a a a

−

= − = − + +

5.

( ) ( )( )a a a

a a a a a a

3 2

2

3 28

3 28 7 4

− −

= − − = − +

6.

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( )

x x x

x x x

x x x

x x x x x

3 2

3 2

2

2

4 4

4 4

1 4 1

4 1 2 2 1

− + −

= + − +

= + − +

= − + = + − +

7.

( )( )( )

3 3

3

3

3 3

3 3

2 2

ax ay

a x y

a x y x xy y

+

= +

= + − +

8.

( ) ( )4 4

4 4 2

2 2

2 2 2

ab abn an

a b bn n a b n

− +

= − + = −

9.

( )( )( )( )( )

x x

x x

x x x

4 2

2 2

2

3 4

4 1

2 2 1

− −

= − +

= + − +

10.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( )

a a a

a a a

a a a

a a

a a a

3 2

3 2

2

2

1

1

1 1

1 1

1 1 1

− − +

= − − −

= − − −

= − −

= − + −

11.

( ) ( )2 4 2

2 2 1 2 1

2

2 2

ax ax a

a x x a x

− +

= − + = −

12.

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( )

x x x y y

x x x y y

x x y x

x x y x x x y

3 2

3 2

2 2

2

1 1

1 1 1

− + −

= − + −

= − + −

= − + = + − +

13.

( ) ( )( )2 6 8

2 3 4 2 4 1

3 2

2

a a a

a a a a a a

+ −

= + − = + −

14.

( ) ( )16 48 36

4 4 12 9 4 2 3

3 2 2

2 2 2

x x y xy

x x xy y x x y

− +

= − + = −

15.

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( )

3 3

3 3

3 3

3 3

3 2 2 3

3 2 2 3

2 2

2 2

x x y xy y

x x y xy y

x x y y x y

x y x y x y x y x y

− − +

= − − −

= − − −

= − − = − + −

16.

( ) ( )( )5 5

5 1 5 1 1

4

3 2

a a

a a a a a a

+

= + = + − +

17.

( )( )( )( )

( )( )

6 2

6 2

36 6 12

6 4 6 3

2 3

3 2 2 1

2

2

2

ax ax a

a x x

a x x

a x x

a x x

− −

= − −

= − −

=− +

⋅

= − +18.

( )( ) ( )( )( )n

n n n n n

4

2 2 2

81

9 9 3 3 9

−

= − + = + − +19.

( ) ( )( )8 2

2 4 1 2 2 1 2 1

2

2

ax a

a x a x x

−

= − = − +20.

( ) ( )( )ax ax ax

ax x x ax x x

3 2

2

10 25

10 25 5 5

+ +

= + + = + +

21.

( )( )( )( )[ ]( )( )( )( )

x x x

x x x

x x x

x x x

x x

x x x

x x x

3 2

2

2

2

2 2

6 7

6 7

6 7 16 16

6 9 16

3 4

3 4 3 4

1 7

− −

= − −

= − − + −

= − + −

= − −

= − + − −

= + −

22.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( )

m m m

m m m

m m m

m m

m m m

3 2

3 2

2

2

3 16 48

3 16 48

3 16 3

3 16

3 4 4

+ − −

= + − +

= + − +

= + −

= + − +

23.

( ) ( )( )( )x x y xy y

x y x y x y x y

3 2 2 3

3

6 12 8

2 2 2 2

− + −

= − = − − −

24. ( )( ) ( )( )( )( )( )( )

a b a b a b

a b a b

a b a b a b

+ − − −

= − + −

= + − + −

2 2 2 2

2 2 1

1

25.

( )( )( )( )

32 48 18

2 16 24 9

2 4 3

2 4 3 4 3

5 3 2

4 2 2

2 2

2 2

a x a bx ab x

ax a a b b

ax a b

ax a b a b

− +

= − +

= −

= − −26.

( )( ) ( )[ ] ( )( )[ ]

x x x x

x x x x

x x x x x x x

4 3 2

3 2

2 2

1

1 1 1 1

− + −

= − + −

= − + − = − +

27.

( )

( )( )

( )( )( )( )

4 32 36

16 32 4 144

144 2

72 2 2 4

36 4 4 3 3 36

9 3 36 4 32

3 34 36 4 4

4

1 9 4 4

4 9 1

2

2

2

x x

x x

x x

x x

x x

+ −

= + −

=⋅ ⋅ =

⇒ − =

=+ −

= + −

= + −

28. ( )( )( )( )( )( )

a a

a a a a

a a a a

4 2

2 2

2

2

2 2

2 2 1

− +

= + + − −

= + + − +

29.

( )( )( )( )( )

x x

x x

x x x x

6 3

3 3

2 3

25 54

27 2

3 3 9 2

− −

= − +

= − + + +

30.

( )( )( )

a a

a a

a a a a a a

6

5

4 3 2

1

1 1

+

= +

= + − + − +

31.

( )( )[ ]( )( )

a b a bx abx aby

ab a ax x y

ab a x y

ab a x y a x y

3 2 2 2

2 2 2

2 2

2

2

+ + −

= + + −

= + −

= + + + −

32.

( )( )( )

3 3

3 1

3 1 1

2

2

abm ab

ab m

ab m m

−

= −

= + −

33.

( )( )( )

81 3

3 27

3 3 9 3

4 4

3 3

2 2

x y xy

xy x y

xy x y x xy y

+

= +

= + − +

34.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( )

a a a

a a a

a a a

a a

a a a a

4 3

4 3

3

3

2

1

1

1 1

1 1

1 1 1

− + −

= − + −

= − + −

= − +

= − + − +

35.

( )( )( ) ( )[ ]( )( )

( )( )( )( )

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

− −

= − −

= − + −

= − + −

=− + −

⋅

= − + −

= + −

3 18

1 3 18

18 3 1

18 3 18 18

18 6 18 3

6 3

3 1 6 1

3 1 1 6

2 3

2

2

2

36.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )

6 2 6 2

6 2 6 2

2 3 2 3

3 2 2

2 3

2

2

ax bx ab b

ax bx ab b

x a b b a b

a b x b

x b a b

− + −

= − + −

= − + −

= − +

= + −

37.

( )( )( )

am am am

am m m

am m m

3 2

2

7 12

7 12

4 3

− +

= − +

= − −

38.

( )( )( )

4 4

4 1

4 1 1

2 3 2

2 3

2 2

a x a

a x

a x x x

−

= −

= − + +

39.

( )( )( )

28 7

7 4

7 2 2

3 3

2 2

x y xy

xy x y

xy x y x y

−

= −

= − +

40.

( )( )( )

3 3 18

3 6

3 3 2

2

2

abx abx ab

ab x x

ab x x

− −

= − −

= − +

41.

( )( )( )( )( )

x x

x x

x x x

4 2

2 2

2

8 128

128 4

32 4 4 4 16

8 4 4 2 8

2 2 16 8 8

1 16 8

4 4 8

− −

⋅ =⋅ =

⇒ − =

= − +

= + − +

42.

( )( )( )

18 60 50

2 9 30 25

2 3 5 3 5

2 2 3

2 2

x y xy y

y x xy y

y x y x y

+ +

= + +

= + +

43. ( )( ) ( )( )( )( )( )( )

x xy a y a

a x xy y

a x y x y

2 2

2 2

2 1 1

1 2

1

− + + +

= + − +

= + − −

44.

( )( )( )

x x y xy

x x xy y

x x y x y

3 2 2

2 2

2 3

2 3

3

+ −

= + −

= + −

45.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( )

a x b x a y b y

a x b x a y b y

x a b y a b

a b x y

a b a b x y

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

4 2 8

4 2 8

4 2 4

4 2

2 2 2

− + −

= − + −

= − + −

= − +

= − + +

46.

( )( )( )

45 20

5 9 4

5 3 2 3 2

2 4 2

2 4

2 2 2

a x a

a x

a x x

−

= −

= + −

47. ( )( )( )( )( )( )

a a

a a a a

a a a a

4 2

2 2

2

12

12 12

4 3 12

− −

= + − − +

= + − − +

48.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( )

bx b x

bx x b

x b b

b x

b x x

2 2

2 2

2

2

1

1

1 1

1 1

1 1 1

− − +

= − − −

= − − −

= − −

= − + −

49.

( )( )( )

2 6 56

2 3 28

2 7 4

4 3 2

2 2

2

x x x

x x x

x x x

+ −

= + −

= + −

50. ( ) ( )

( )( )

( )( )( )( )

30 55 50

30 55 30 1 500

1 500 2

750 2 5 2 20

375 5 5 3 75

75 5 75 20 55

15 530 75 30 20

15 2

3 3 2 5 15 10

1 5 2 5 3 2

2

2

2

2

a a

a a

a a

a a

a a

− −

= − −

⋅ =

⋅ =⇒ − =

=− +

⋅

= − +

= − +

.

.

51. ( ) ( )( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( )[ ]( )( )( )

9

9 1

3 1 3 1

3 3 1 3 3 1

3

2

x y x y

x y x y

x y x y x y

x y x y x y

− − −

= − − −

= − − + − −

= − − + − −

52.

( )( )( )( )

( )( )

6 9

6 9

6 9

3 3

3 3

2 3 2

2 2

2 2

a x a ax

a ax a x

a x ax a

a x a x a

a a x x a

− −

= − −

= − − +

= − − −

= − −

53.

( )( )( )

64 125

64 125

4 5 16 20 25

4

3

2

a a

a a

a a a a

−

= −

= − + +

54.

( )( ) ( )[ ]

( )( )

( )( )

70 26 24

2 35 13 12

2 35 13 35 420

420 2

210 2

105 5

21 3

7 7

1

2 7 28

3 5 15

28 15 13

35 28 35 15

7 5

2 5 4 7 3

4 3 2

2 2

2 2

2

2

x x x

x x x

x x x

x x

x x x

+ −

= + −

= + −

⋅ =⋅ =

⇒ − =

=+ −

⋅

= + −

55.

( )( )( )

a a a

a a a

a a a

7 6 3

3 4 3

3 2 2

6 55

6 55

11 5

+ −

= + −

= + −

56.

( )( )

16 56 49

16 56 49

4 7

5 3 3 5

4 2 2 4

2 2 2

a b a b ab

ab a a b b

ab a b

− +

= − +

= −

57.

( )( ) ( )[ ]

( )( )

( )( )

7 32 15

7 32 15

7 32 7 105

105 5

21 3 5 7 35

7 7 31 3

1 35 3 32

7 35 7 3

7

5 7 3

6 2 4 4 2

2 4 2 2 4

2 2 2 2 2 4

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

x a x a x

x x a x a

x x a x a

x x a x a

x x a x a

+ −

= + −

= + −

⋅ =⋅ =

⇒ − =

=+ −

= + −

58.

( )( )( ) ( )( )( )

x x y

x xy x xy

x x y x x y

x x y x y

m n

m n m n

m n m n

m n m n

2 2 2 2

1 1

2

+

+ +

−

= + −

= + −

= + −

59.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( )

2 5 54 135

2 54 5 135

2 27 5 27

27 2 5

3 3 9 2 5

4 3

4 3

3 3

3

2

x x x

x x x

x x x

x x

x x x x

+ − −

= − + −

= − + −

= − +

= − + + +

60.

( )( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]( )( )

ax ax y axy ax axy ay

a x x y xy x xy y

a x x y xy x xy y

a x x xy y x xy y

a x x xy y

3 2 2 2 2

3 2 2 2 2

3 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

+ + − − −

= + + − − −

= + + − + +

= + + − + +

= − + +

61.( )( )[ ] ( )[ ]( )( )( )

x y

x y x y

x xy y x y x y

+ −

= + + + −

= + + + + + + −

4

2 2

2 2

1

1 1

2 1 1 1

62.

( )( )( )[ ]( )[ ]( )( )

3 3 3

3 1

3 1

3 2 1

3 1

3 1 1

5 3

4 2

4 2 2 2

4 2 2

2 2 2

2 2

a a a

a a a

a a a a a

a a a a

a a a

a a a a a

+ +

= + +

= + + + −

= + + −

= + −

= + + − +

EJERCICIO 1081.

( )( )( )( )( )( )( )( )( )

1

1 1

1 1 1

1 1 1 1

8

4 4

4 2 2

4 2

−

= + −

= + + −

= + + + −

a

a a

a a a

a a a a

2.

( )( )( ) ( )( )( )

a

a a

a a a a a a

6

3 3

2 2

1

1 1

1 1 1 1

−

= + −

= + − + − + +

3.

( )( )( )( )( )( )

x x

x x

x x x x

4 2

2

2

2 2

41 400

400 4

100 5 4 16

20 5 5 25

4 4 25 16 41

1 25 16

5 5 4 4

− +

==

⇒ + =

= − −

= + − + −

4.

( )( )( )[ ] ( ) ( )

a a b b

a b

a b a b a b a b

4 2 2 4

2 2 2

2 2 2

2− +

= −

= + − = + −

5.

( )( )( )( )( )( )

x x x

x x x

x x x

x x x x

5 3

4 2

2 2

2

2

2

2 1

2 1 1

+ −

= + −

= + −

= + + −

6.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( )( )

2 6 2 6

2 6 2 6

2 3 2 3

2 2 3

2 1 3

2 1 1 3

4 3

4 3

3

3

3

2

x x x

x x x

x x x

x x

x x

x x x x

+ − −

= + − +

= + − +

= − +

= − +

= − + + +

7.

( )( )( )( )( )( )

3 243

3 81

3 9 9

3 9 3 3

4

4

2 2

2

x

x

x x

x x x

−

= −

= + −

= + + −

8.

( )( )( )[ ]( )( )( )( )

16 8

4

2 2

2 2 2 2

4 2 2 4

2 2 2

2

x x y y

x y

x y x y

x y x y x y x y

− +

= −

= + −

= + − + −

9.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( )( )

9 9

9 9

9

9

9 1

3 1 3 1

4 3 2

4 3 2

3

3

2

x x y x xy

x x y x xy

x x y x x y

x x x y

x x x y

x x x x y

+ − −

= + − +

= + − +

= − +

= − +

= + − +

10.

( )( ) ( )[ ]( )( )

( )( )( )( )( )

12 33 9

3 4 11 3

3 4 11 4 12

3 4 12 4 1

4

3 3 4 1

3 3 2 1 2 1

4 2

4 2

2 2 2

2 2

2 2

2

ax ax a

a x x

a x x

a x x

a x x

a x x x

+ −

= + −

= + −

=+ −

= + −

= + + −

11.

( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )

x y

x y x y

x y x y x y

x y x y x y x y

8 8

4 4 4 4

4 4 2 2 2 2

4 4 2 2

−

= + −

= + + −

= + + + −

12.

( )( )( )( )( )( )( )( )( )

x x

x x

x x x x

x x x x x x

6 3

3 3

2 3

2 2

7 8

8 1

2 2 4 1

2 2 4 1 1

− −

= − +

= − + + +

= − + + + − +

13.

( )( )( )( )( )( )

64

8 8

2 4 2 2 4 2

6

3 3

2 2

−

= + −

= + − + − + +

x

x x

x x x x x x

14.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( )

a a b a b b

a a b a b b

a a b b a b

a b a b

a b a b a b a ab b

5 3 2 2 3 5

5 3 2 2 3 5

3 2 2 3 2 2

2 2 3 3

2 2

− − +

= − − −

= − − −

= − −

= + − − + +15.

( )( ) ( )[ ]( )( )

( )( ) ( )( )( )

8 6 2

2 4 3 1

2 4 3 4 4

2 4 4 4 1

4

2 1 4 1 2 1 2 1 2 1

4 2

4 2

2 2 2

2 2

2 2 2

x x

x x

x x

x x

x x x x x

+ −

= + −

= + −

=+ −

= + − = + + −

16

( )( )( )( )( )( )

a a

a a

a a a a

4 2

2

2

2 2

25 144

144 4

36 4 4 16

9 3 3 9

3 3 16 9 25

1

16 9

4 4 3 3

− +

=

=⇒ + =

= − −

= + − + −

17.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( )

a x a y ax ay

a x a y ax ay

a x y a x y

a a x y

a a x y x xy y

2 3 2 3 3 3

2 3 2 3 3 3

2 3 3 3 3

2 3 3

2 2

2 2

2 2

2

2

2

− + −

= − + −

= − + −

= + −

= + − + +

18.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( )( )

a a a a

a a a a

a a a a

a a a

a a a

a a a a

4 3 2

4 3 2

3

3

2

2 2

2 2

2 2

2

1 2

1 1 2

+ − −

= + − +

= + − +

= − +

= − +

= + − +

19.

( )( )( )[ ]( ) ( )

1 2

1

1 1

1 1

3 6

3 2

22

2 2 2

− +

= −

= − + +

= − + +

a a

a

a a a

a a a

20.

( )( )( )( )( )( )( ) ( )[ ]( )( ) ( )[ ]( )( )( )( )

m

m m m

m m m m m m

m m m m m

m m m m

m m m m m m

6

2 4 2

4 2 2 2

4 2 2

2 2 2

2 2

729

9 9 81

3 3 9 81 9 9

3 3 18 81 9

3 3 9 9

3 3 3 9 3 9

−

= − + +

= + − + + + −

= + − + + −

= + − + −

= + − + + − +

21.

( )( )( )( )( )( )

x x

x x

x x x

x x x x

5

4

2 2

2

1

1 1

1 1 1

−

= −

= + −

= + + −

22.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( )

x x y x y y

x x y x y y

x x y y x y

x y x y

x y x xy y x y x y

5 3 2 2 3 5

5 3 2 2 3 5

3 2 2 3 2 2

3 3 2 2

2 2

− + −

= − + −

= − + −

= + −

= + − + + −

23.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( )( )

a b a b a b ab

a b a b a b ab

a b a b ab a b

a b ab a b

ab a b a b

ab a b a b a b

4 3 2 2 3 4

4 3 2 2 3 4

3 3

3 3

2 2

− − +

= − − −

= − − −

= − −

= − −

= + − −

24.

( )( )( )( )( )( )

5 3 125

5 625

5 25 25

5 25 5 5

4

4

2 2

2

a

a

a a

a a a

−

= −

= + −

= + + −

.

25. ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )[ ]{ }( )( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )

a a a a

a a a a

a a a a

a a

a a a a

a a a a

a a a

a a a

a a

a a a

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2 2 2 3

2 2 2 3 4 4

2 2 2 1 4

2 1 4

2 1 2 2 1 2

2 1 2 3

1 2 3 4 4

1 2 1 4

1 1 4

1 1 2 1

+ − + −

= + − + − + −

= + − + + −

= + − −

= + − + + − −

= + + + −

= + + − + −

= + + + −

= + + −

= + + + + −( )( ) ( )( )

2

1 3 12

= + + −a a a

26.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( )( )

a x ax a a

a x ax a a

ax a a a

ax a a

a x a

a x x x a

2 3 3 2

2 3 3 2

3

3

3

2

2 8 16

2 8 16

2 8 2

8 2

8 2

2 2 4 2

+ − −

= + − +

= + − +

= − +

= − +

= − + + +

27.

( )( )( )( )( )( )( )( )( )

1

1 1

1 1 1

1 1 1 1

6 6

3 3 3 3

2 2 3 3

2 2 2 2

−

= − +

= − + + +

= − + + + − +

a b

a b a b

ab ab a b a b

ab ab a b ab ab a b

28.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( )( )

5 10 5 10

5 10 5 10

5 2 5 2

5 5 2

5 1 2

5 1 1 2

3 2

3 2

2

2

2

ax ax ax a

ax ax ax a

ax x a x

ax a x

a x x

a x x x

+ − −

= + − +

= + − +

= − +

= − +

= + − +

29.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( )

a x b y b x a y

a x b x b y a y

x a b y b a

x a b y a b

a b x y

a b a b x y x y

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

+ − −

= − + −

= − + −

= − − −

= − −

= + − + −

30.

( )( )( )( )( )( )( )( )( )

x x

x x

x x x

x x x x

8 4

4 4

4 2 2

4 2

2

2 1

2 1 1

2 1 1 1

+ −

= + −

= + + −

= + + + −

31.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( )( )

a a a a

a a a a

a a a a

a a a

a a a

a a a a

4 3 2

4 3 2

3

3

2

9 9

9 9

1 9 1

9 1

9 1

3 3 1

+ − −

= + − +

= + − +

= − +

= − +

= + − +

32.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( )

a x a x a x x

a x a x a x x

a x x x x

a x x

a a x x

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

6 6

6 6

6 6

1 6

1 1 3 2

+ − − − +

= + − − + −

= + − − + −

= − + −

= + − + −

33.

( ) ( )

( )( )

( )( )( )( )( )( )

16 25 9

16 25 16 144

144 4

36 4 4 16

9 3 3 9

3 3 16 9 25

1

16 16 16 9

16

1 16 9

1 1 4 3 4 3

4 2

2 2 2

2

2

2 2

2 2

m m

m m

m m

m m

m m m m

− +

= − +

==

⇒ + =

=− −

= − −

= + − + −

34.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( )( )

3 12 3 12

3 3 12 12

3 1 12 1

3 12 1

3 4 1

3 2 2 1

2 2

2 2

2

2

2

abx ab bx b

abx bx ab b

bx a b a

bx b a

b x a

b x x a

− + −

= + − +

= + − +

= − +

= − +

= + − +

35.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( )

3 9 30 3 9 30

3 9 30 3 9 30

3 3 10 3 3 10

3 3 3 10

3 1 5 2

2 2

2 2

2 2

2

a m am m a a

a m am m a a

m a a a a

m a a

m a a

+ − + + −

= + − + + −

= + − + + −

= + + −

= + + −

36.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( )

a x a x a x x

a x a x a x x

a x x x x

a x x

a a a x x

3 2 3 3 2

3 2 3 3 2

3 2 2

3 2

2

5 6 5 6

5 6 5 6

5 6 5 6

1 5 6

1 1 3 2

− + + − +

= − + + − +

= − + + − +

= + − +

= + − + − −

37. ( ) ( )( )( ) ( )[ ]( )( )( )( )( )( )

x x y x x y

x y x x

x y x y x x

x y x y x

2 2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 1

2 1

2 1

1

− − − −

= − − −

= + − − +

= + − −

38. ( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )[ ]( )( )( )( )

( )( )( )( ) ( )

a x ax x

a x x x ax x

x a x x ax

x ax ax a ax

x ax ax a

a x x x

a x x a x

3

2

2

2

2

2

2 3

1 3 1

1 1 3 1

1 1 3

1 3

1 2

1 2 1

1 1 1

+ + +

= + − + + +

= + − + +

= + − + +

= + + +

= + + +

= + + = +

EJERCICIO 109

1.

( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

x xy

x x y

x x y x y

x x y x y x y

x x y x y x y x y

9 8

8 8

4 4 4 4

2 2 2 2 4 4

2 2 4 4

−

= −

= − +

= + − +

= + + − +

2.

( )( )( )( )( )( )( )

x x x

x x x

x x x

x x x x x

5 3

4 2

2 2

40 144

40 144

36 4

6 6 2 2

− +

= − +

= − −

= − + + −

3.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( )( )( )( )

a a b a ab

a a b a ab

a a b a a b

a a a b

a a a b a ab b

a a a a b a ab b

6 3 3 4 3

6 3 3 4 3

3 3 3 3 3

3 3 3

2 2 2

2 2

1

1 1

+ − −

= + − +

= + − +

= − +

= − + − +

= + − + − +

4.

( )( )( )( ) ( )

4 8 4

4 2 1

4 1 1

4 1 1

4 2

4 2

2 2

2 2

x x

x x

x x

x x

− +

= − +

= − −

= + −

5.

( )( )( )( )( )( )( )

a ab

a a b

a a b a b

a a b a ab b a b a ab b

7 6

6 6

3 3 3 3

2 2 2 2

−

= −

= + −

= + − + − + +

6.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( )

2 2 4 2 2 4

2 2 4 2 2 4

2 2 2 2

2 2

2 2 1

4 3 2 2 2 2 2

4 3 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

a a a a b ab b

a a a a b ab b

a a a b a a

a a a b

a a a b a b

− − − + +

= − − − − −

= − − − − −

= − − −

= − + + −

7.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

x x x x

x x x x

x x x x

x x x

x x x

x x x x

x x x x x

6 5 2

6 5 2

5

5

4

2 2

2

5 81 405

5 81 405

5 81 5

81 5

81 5

9 9 5

3 3 9 5

+ − −

= + − +

= + − +

= − +

= − +

= − + +

= + − + +

8.

( )( )( )( )( )( )( )

3 3

3 1

3 1 1

3 1 1 1 1

6

6

3 3

2 2

−

= −

= − +

= − + + + − +

a

a

a a

a a a a a a

9. ( )( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( )( )

4 2 2

4 2

4

4

4 1

2 1 2 1

2 2 2 3 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2

ax a ax x a a x ax

ax a x a a ax x

ax a x a a x

ax a a x

a x a x

a x x a x

− + − + −

= − − − +

= − − −

= − −

= − −

= + − −

10.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

x x x

x x x

x x x

x x

x x x x x

x x x x x x

7 4 3

7 4 3

4 3 3

4 3

2 2 2

2 2

81 81

81 81

1 81 1

81 1

9 9 1 1

9 3 3 1 1

+ − −

= + − +

= + − +

= − +

= + − + − +

= + + − + − +

11.

( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

x x

x x

x x x

x x x x

x x x x x

x x x x x x

17

16

8 8

8 4 4

8 4 2 2

8 4 2

1

1 1

1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1

−

= −

= + −

= + + −

= + + + −

= + + + + −

12.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

3 75 48 1 200

3 75 48 1 200

3 25 48 25

3 48 25

3 16 5 5

3 4 4 5 5

3 4 2 2 5 5

6 4 2

6 4 2

4 2 2

4 2

4

2 2

2

x x x

x x x

x x x

x x

x x x

x x x x

x x x x x

− − +

= − − −

= − − −

= − −

= − + −

= + − + −

= + + − + −

.

.

13.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

a x x a x x

a x x a x x

x a x a

x x a

x x a a

x x a a a a a a

6 2 2 6

6 2 2 6

2 6 6

2 6

3 3

2 2

1 1

1

1 1 1

1 1 1 1 1

− + −

= − + −

= − + −

= + −

= + − +

= + − + + + − +

14. ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

a ax x x

a a x x x

a a x x x x x

2 4 2

2 2

82 81

81 1

9 9 1 1

− − +

= − − −

= − + − + −EJERCICIO 110

1.

( )( )( ) ( )

x x x

x x x

x x

3 2

2

2

1

1 1 1 1 1

1 2 1

1 2 1 0

2 1 1

1 1

+ − −− − +

= + + −

= + −

2.

( )( )( )( )( )

x x x

x x x

x x x

3 2

2

4 6

1 4 1 6 1

1 5 6

1 5 6 0

5 6 1

3 2 1

− + +− −− −

−

= − + +

= − − +

3.

( )( )( )( )( )

a a a

a a a

a a a

3 2

2

3 4 12

1 3 4 12 2

2 2 12

1 1 6 0

6 2

3 2 2

− − +− − +

− −

− −

= − − −

= − + −

4.

( )( )( )( )( )( )( )

m m

m m m

m m m

m m

3

2

2

12 16

1 0 12 16 2

2 4 16

1 2 8 0

2 8 2

4 2 2

4 2

− +− +

−

−

= + − −

= + − −

= + −

5.

( )( )

( )( )( )

2 18 9

2 1 18 9 3

6 15 9

2 5 3 0

2 5 3 3

2 5 3 3

6 3

2 1 0

2 1 3 3

3 2

2

x x x

x x x

x x x

− − +− − +

−

−

= + − −− −

−

−

= − − +

6.

( )( )

a a a

a a a

3 2

2

13 28

1 1 13 28 4

4 20 28

1 5 7 0

5 7 4

+ − −− − +

= + + −

7.

( )( )

x x x

x x

3 2

2

2 2

1 2 1 2 2

2 0 2

1 0 1 0

1 2

+ + +−

− −

= + +

8.

( )( )( )( )( )

n n

n n n

n n n

3

2

7 6

1 0 7 6 1

1 1 6

1 1 6 0

6 1

3 2 1

− +− +

−

−

= + − −

= + − −

9.

( )( )( ) ( )

x x

x x x

x x

3 2

2

2

6 32

1 6 0 32 2

2 16 32

1 8 16 0

8 16 2

4 2

− +− −− −

−

= − + +

= − +

10.

( )( )( ) ( )[ ] ( )( )( )( )

( )( )( )

6 23 9 18

6 23 9 18 3

18 15 18

6 5 6 0

6 5 6 3

6 5 6 36 3

6 9 6 4 3

3 2

2 3 3 2 3

3 2

2

2

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

+ + −− −

− −

−

= + − +

= + − +

=+ − +

⋅

= + − +

11.

( )( )

( )( )( )( ) ( )( )

x x x x

x x x

x x x x

x x x

4 3 2

3 2

2

2

4 3 4 4

1 4 3 4 4 1

1 3 0 4

1 3 0 4 0

3 4 1

1 3 0 4 1

1 4 4

1 4 4 0

4 4 1 1

2 1 1

− + + −− − +

−

−

= − + −− −− −

−

= − + − +

= − − +

12.

( )( )

( )( )( )( )( )( )( )

x x x x

x x x

x x x x

x x x x

4 3 2

3

2

2 13 14 24

1 2 13 14 24 2

2 0 26 24

1 0 13 12 0

13 12 2

1 0 13 12 1

1 1 12

1 1 12 0

12 2 1

4 3 2 1

− − + +− − +

− −

− −

= − − −− − −

−

− −

= − − − +

= − + − +

13.

( )( )

( )( )( )( )( )( )( )

a a a

a a a a

a a a a

a a a a

4 2

3 2

2

15 10 24

1 0 15 10 24 1

1 1 14 24

1 1 14 24 0

14 24 1

1 1 14 24 2

2 2 24

1 1 12 0

12 1 2

4 3 1 2

− − +− − +

− −

− −

= + − − −− − −

−

− −

= − − − +

= − + − +

14.

( )( )

( )( )( )( )( )( )( )

n n n

n n n n

n n n n

n n n n

4 2

3 2

2

27 14 120

1 0 27 14 120 2

2 4 46 120

1 2 23 60 0

2 23 60 2

1 2 23 60 3

3 3 60

1 1 20 0

20 2 3

5 4 2 3

− − +− − +

− −

− −

= + − − −− − −

−

− −

= − − − +

= − + − +

15.

( )( )

( )( )( )

x x x

x x x x

x x x x

4 3

3 2

2

6 3 140

1 6 0 3 140 4

4 8 32 140

1 2 8 35 0

2 8 35 4

1 2 8 35 5

5 15 35

1 3 7 0

3 7 4 5

+ + +−

− − −

−

= + − + +− −

− −

−

= − + + +

16.

( )( )

( )( )( )( ) ( )[ ] ( )( )

( )( )( )( )

8 18 75 46 120

8 18 75 46 120 2

16 68 14 120

8 34 7 60 0

8 34 7 60 2

8 34 7 60 4

32 8 60

8 2 15 0

8 2 15 2 4

8 2 8 120 2 4

120 4

30 3 4 3 12

10 2 5 2 10

5 5 12 10 2

1

8 12 8 10 2 4

4 2

2

4 3 2

3 2

2

2

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

a

− − + +− − −− −

− −

= − − + +− − +

− −

− −

= − − + −

= − − + −

⋅ =⋅ =

⇒ − =

=− + + −

⋅

= −( )( )( )( )3 4 5 2 4a a a+ + −

17.

( )( )

( )( )( )

x x

x x x x

x x x

4 2

3 2

2

22 75

1 0 22 0 75 5

5 25 15 75

1 5 3 15 0

5 3 15 5

1 5 3 15 5

5 0 15

1 0 3 0

3 5 5

− −− − +

= + + + −−

− −

= + − +

18.

( )( )

( )( )( )( ) ( )[ ] ( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )

15 94 5 164 60

15 94 5 164 60 1

15 109 104 60

15 109 104 60 0

15 109 104 60 1

15 109 104 60 6

90 114 60

15 19 10 0

15 19 10 1 6

15 19 15 150 1 6

15 25 15 6 1 6

5 3

3 5 5 2 1 6

4 3 2

3 2

2

2

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

+ − − +− − +

−

−

= + + − −− −

− −

−

= + − − +

= + − − +

=+ − − +

⋅

= + − − +

19.

( )( )

( )( )( )

( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x

5 3 2

4 3 2

3 2

2

21 16 108 144

1 0 21 16 108 144 2

2 4 34 36 144

1 2 17 18 72 0

2 17 18 72 2

1 2 17 18 72 3

3 3 42 72

1 1 14 24 0

14 24 2 3

1 1 14 24 2

2 2 24

1 1 12 0

12 2 3 2

4 3 2 3 2

4

− + + −− − +

− −

− −

= + − − + −− − −

− −

− −

= − − + − +− − +

−

−

= + − − + −

= + − − + −

= + ( ) ( )( )x x x− + −3 3 22

20.

( )( )

( )( )( )

( )( )( )( )( )( )( )( )( )

a a a a

a a a a a

a a a a a

a a a a

a a a a a

5 3 2

4 3 2

3 2

2

23 6 112 96

1 0 23 6 112 96 1

1 1 22 16 96

1 1 22 16 96 0

22 16 96 1

1 1 22 16 96 2

2 6 32 96

1 3 16 48 0

3 16 48 1 2

1 3 16 48 3

3 0 48

1 0 16 0

16 1 2 3

4 4 1 2 3

− − + +− − −

− − −

− −

= − − + + +− − −− −

− −

= − − + + +− − +

−

−

= − + + −

= + − + + −

21.

( )( )

( )( )( )

( )( )( )( )( ) ( )

4 3 108 25 522 360

4 3 108 25 522 360 2

8 10 196 342 360

4 5 98 171 180 0

4 5 98 171 180 2

4 5 98 171 180 3

12 21 231 180

4 7 77 60 0

4 7 77 60 2 3

4 7 77 60 4

16 92 60

4 23 15 0

4 23 15 2 3 4

4 23 4

5 4 3 2

4 3 2

3 2

2

2

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x

+ − − + +− − −

− − −

− −

= − − + + +− − +

− −

− −

= + − − + −− − +

= + + + − −

= + +[ ] ( )( )( )( )( )( )( )( )[ ]( )( )( )( )( )

60 2 3 4

4 20 4 3 2 3 4 4

5 4 3 2 3 4

x x x

x x x x x

x x x x x

+ − −

= + + + − − ÷

= + + + − −

22.

( )( )

( )( )( )

( )( )( )( )

n n n n

n n n n n

n n n n n

n n n n n

5 3 2

4 3 2

3 2

2

30 25 36 180

1 0 30 25 36 180 2

2 4 52 54 180

1 2 26 27 90 0

2 26 27 90 2

1 2 26 27 90 5

5 35 45 90

1 7 9 18 0

7 9 18 2 5

1 7 9 18 6

6 6 18

1 1 3 0

3 2 5 6

− − − −− − − − −

− −

− − −

= − − + − +− − − −− −

− −

= − + − + +− − +

−

−

= − + + + −

24.

( )( )

( )( )( )

( )( )( )( )

x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

5 3 2

4 3 2

3 2

2

25 25

1 0 25 1 0 25 1

1 1 24 25 25

1 1 24 25 25 0

24 25 25 1

1 1 24 25 25 5

5 20 20 25

1 4 4 5 0

4 4 5 1 5

1 4 4 5 5

5 5 5

1 1 1 0

1 1 5 5

− + −− − −

− −

− − −

= − − + − +− − − +

−

−

= + − + + −− −

− −

−

= − + + − +

25.

( )( )

2 8 3 12

2 8 0 0 3 12 4

8 0 0 0 12

2 0 0 0 3 0

2 3 4

5 4

4

a a a

a a

− + −− − +

= + −

26.

( )( )

( )( )( )

x x x x x

x x x x

x x x

5 4 3 2

4 3

3

2 15 3 6 45

1 2 15 3 6 45 3

3 15 0 9 45

1 5 0 3 15 0

5 3 15 3

1 5 0 3 15 5

5 0 0 15

1 0 0 3 0

3 3 5

+ − − − +− − − +

− −

− −

= + − − −− − −

−

−

= − − +

23.

( )( )

( )( )( )

( )( )( )( )( )

6 13 81 112 180 144

6 13 81 112 180 144 2

12 2 166 108 144

6 1 83 54 72 0

6 83 54 72 2

6 1 83 54 72 3

18 57 78 72

6 19 26 24 0

6 19 26 24 2 3

6 19 26 24 4

24 20 24

6 5 6 0

6 5 6 2 3 4

6 5

5 4 3 2

4 3 2

3 2

2

2

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x

− − + + −− − − +

− − −

− − −

= − − − + −− − − −− −

− −

= − − + − +− − +

−

−

= + − − + −

= + ( )[ ] ( )( )( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

6 36 2 3 4

6 9 6 4 2 3 4

3 2

2 3 3 2 2 3 4

x x x x

x x x x x

x x x x x

− − + −

=+ − − + −

⋅

= + − − + −

27.

( )( )

( )( )( )

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

6 5 4 3 2

5 4 3 2

4 3 2

6 4 42 113 108 36

1 6 4 42 113 108 36 1

1 5 1 41 72 36

1 5 1 41 72 36 0

5 41 72 36 1

1 5 1 41 72 36 1

1 4 5 36 36

1 4 5 36 36 0

4 5 36 36 1 1

1 4 5 36 36 2

2 4 18 36

1 2 9 18 0

+ + − − − −− − − − −

− −

− − − −

= + − − − − +− − − − −

− −

− − −

= + − − − + +− − − −

− −

− −

= ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( )( ) ( )

x x x x x

x x x

x x x x

3 2 2

2 2 2

2 2

2 9 18 1 2

1 2 9 18 2

2 0 18

1 0 9 0

9 1 2

3 3 1 2

+ − − + +− − −

−

−

= − + +

= + − + +

28.

( )( )

( )( )( )

a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

a a

6 4 3 2

5 4 3 2

4 3 2

3 2

32 18 247 162 360

1 0 32 18 247 162 360 1

1 1 31 49 198 360

1 1 31 49 198 360 0

31 49 198 360 1

1 1 31 49 198 360 2

2 2 58 18 360

1 1 29 9 180 0

29 9 180 1 2

1 1 29 9 180 3

3 12 51 180

1 4 17 60 0

4

− + + − −− − − −

− − −

− − −

= − − + + − +− − − +

− −

− −

= + − − + + −− − +

− −

− −

= + −( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

17 60 1 2 3

1 4 17 60 3

3 3 60

1 1 20 0

20 1 2 3 3

5 4 1 2 3 3

2

a a a a

a a a a a a

a a a a a a

− + − −− − −

− −

−

= + − + − − +

= + − + − − +

30.

( )( )

( )( )( )

2 10 34 146 224 424 480

2 10 34 146 224 424 480 1

2 12 22 168 56 480

2 12 22 168 56 480 0

2 12 22 168 56 480 1

2 12 22 168 56 480 2

4 32 20 296 480

2 16 10 148 240 0

2 16 10 148 240 1 2

2 16 10 148 240 2

4 24 28 240

2

6 5 4 3 2

5 4 3 2

4 3 2

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

− − + + − −− − − − −− − −

− − −

= − − + + − +− − − −− − −

− −

= − + + − + +− − +

− −

−

( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( ) ( )[ ] ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

12 14 120 0

2 12 14 120 1 2 2

2 12 14 120 4

8 16 120

2 4 30 0

2 4 30 1 2 2 4

2 4 2 60 1 2 2 4

2 10 2 6 1 2 2 4

2

5 2 6 1 2 2 4

2 5 3 1 2 2 4

3 2

2

2

−

= − − + + + −− − +

− −

− −

= − − + + − −

= − − + + − −

=− + + + − −

= − + + + − −

= − + + + − −

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

29.

( )( )

( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x

x x x x x x

6 4 2

5 4 3 2

4 2

2 2

41 184 144

1 0 41 0 184 0 144 1

1 1 40 40 144 144

1 1 40 40 144 144 0

40 40 144 144 1

1 1 40 40 144 144 1

1 0 40 0 144

1 0 40 0 144 0

40 144 1 1

36 4 1 1

6 6 2 2 1 1

− + −− − +

− −

− −

= + − − + + −− − −

− −

−

= − + − +

= − − − +

= + − + − − +

31.

( )( )

( )( )( )

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

6 5 4 3 2

5 4 3 2

4 3 2

8 6 103 344 396 144

1 8 6 103 344 396 144 2

2 12 12 182 324 144

1 6 6 91 162 72 0

6 6 91 162 72 2

1 6 6 91 162 72 2

2 8 28 126 72

1 4 14 63 36 0

4 14 63 36 2 2

1 4 14 63 36 3

3 3 51 36

1 1 17 12

− + + − + −− − − +

− − −

− − −

= − − + − + −− − − +

− − −

− − −

= − − + − − −− − − +

− −

− −

( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

0

17 12 2 3

1 1 17 12 4

4 20 12

1 5 3 0

5 3 2 3 4

3 2 2

2 2

= − − + − −− − −− −

−

= − + − − +

a a a a a

a a a a a

32.

( )( )

( )( )( )

x x x x x

x x x x x x x

x x x x x

7 5 4 3 2

6 5 4 3 2

5 3 2

20 2 64 40 128

1 0 20 2 64 40 0 128 2

2 4 32 68 8 64 128

1 2 16 34 4 32 64 0

2 16 34 4 32 64 2

1 2 16 34 4 32 64 2

2 0 32 4 0 64

1 0 16 2 0 32 0

16 2 32 2 2

1 0 16 2 0 32 4

4 16 0 8 32

1 4 0

− − + + −− − − +

− − −

− − −

= + − − − + + −− − − + −

− −

− −

= − − + − +− − +

− −

−

( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

2 8 0

4 2 8 2 2 4

1 4 0 2 8 4

4 0 0 8

1 0 0 2 0

2 2 2 4 4

4 3

3

−

= + − − − + −− − −

−

−

= − − + − +

x x x x x x

x x x x x

EJERCICIO 111

1. a x ax mcd ax2 2,

2. ab c a bc mcd abc2 2,

3. 2 2 2 3 2x y x y mcd x y,

4. 6 15

6 3 15 3

2 2 5 5

1 1

3 2 6 3 5 15

3 3

2 3 3 4

2 3

a b a b

mcd a b

,

⋅ = ⋅ =

⇒

5. 8 20

8 2 20 2

4 2 10 2

2 2 5 5

1 1

2 8 2 5 20

2 4

4

3 2 2

3 2

2

2

am n x m

mcd

m

,

= ⋅ =

=

⇒

6. 18 27

18 3 27 3

6 3 9 3

2 2 3 3

1 1

3 2 18 3 27

3 9

9

2 2 3 4

2 3

2

2

mn a m n

mcd

mn

,

⋅ = =

=

⇒

7. 15 24 36

15 5 24 3 36 3

3 3 8 4 12 4

1 2 2 3 3

1 1

5 3 15 3 4 2 24 3 4 36

3 3

2 3 2 4 2

2

2

a b c ab x b x

mcd b

, ,

⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =

⇒

8. 12 18 24

12 3 18 3 24 3

4 2 6 3 8 4

2 2 2 2 2 2

1 1 1

3 2 12 3 2 18 3 4 2 24

3 2 6

2 3 2 3 2

2 2

x yz xy z x yz

mcd xyz

, ,

⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =⋅ ⇒

9. 28 35 42

28 7 35 7 42 7

4 4 5 5 6 6

1 1 1

7 4 28 7 5 35 7 6 42

7 7

2 3 4 3 4 5 4 5 6

2 3 4

a b c a b c a b c

mcd a b c

, ,

⋅ = ⋅ = ⋅ =

⇒

10. 72 96 120

72 8 96 8 120 8

9 3 12 3 15 3

3 3 4 4 5 5

1 1 1

8 3 72 8 3 4 96 8 3 5 120

8 3 24

3 4 4 2 2 3 4 5 7

2

2 2 3

x y z x y z x y z

mcd x y z

, ,

⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

⋅ ⇒

11. 42 56 70

42 14 56 14 70 14

3 3 4 4 5 5

1 1 1

14 3 42 14 4 56 14 5 70

14 14

2 3 2 4 2

2

am n m n x m n y

mcd m n

, ,

⋅ = ⋅ = ⋅ =

⇒

12. 75 150 225

75 15 150 15 225 15

5 5 10 5 15 5

1 2 2 3 3

1 1

15 5 75 15 5 2 150 15 5 3 225

15 5 75

4 3 2 5 7 2 3 6 2

3 3

a b c a b x a b y

mcd a b

, ,

⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

⋅ ⇒

13. 4 8 2 10

4 2 8 2 2 2 10 2

2 2 4 4 1 5 5

1 1 1

2 4 2 4 8 2 2 2 5 10

2 2

2 3 2 2 3 2

2

a b a b a bc ab c

mcd ab

, , ,

= ⋅ = = ⋅ =⇒

14. 38 76 95

38 19 76 19 95 19

2 2 4 4 5 5

1 1 1

19 2 38 19 4 76 19 5 95

19 19

2 6 4 4 7 5 6

4 4

a x y mx y x y

mcd x y

, ,

⋅ = ⋅ = ⋅ =

⇒

EJERCICIO 112

1. ( )( )

2 2 2

4 4 2

2

2

2 2

a ab a a b

a ab a a b

mcd a

+ = +

− = −

2. ( )( )

6 6 2 3 1

9 18 3 2

3

3 2 2

3 2 2 2 2 2 2

2

x y x y x y x

x y x y x y x

mcd x y

− = ⋅ −

+ = +

3.

( )12 4 3

4 8 4 2

4

2 3 2 3

3 2 2 3 2 2

2 2

a b a b

a b a b a b a b

mcd a b

= ⋅

− = −

4. ( )( )

ab b b a

a a a a

mcd a

+ = +

+ = ++

1

1

1

2

5. ( )( )

( )

x x x x

x x x x

mcd x x

2

3 2 2

1

1

1

− = −

− = −

−

6. ( )( )

30 15 5 3 2

10 20 5 2 2

5

2 3 2

2 2 2 2

ax x x a x

axy x y xy a x

mcd x

− = ⋅ −

− = ⋅ −

7.

( )18 6 3

6 18 6 3

6

2 3 4 2 3 4

2 2 4 2 4 2 4

2 4

a x y a x y

a x y a xy a xy x

mcd a xy

= ⋅

− = −

8. ( )( )

( )

5 15 5 3

3 3

3

2

3 2 2

a a a a

a a a a

mcd a a

− = −

− = −

−

9. ( )( )

( )

3 15 3 5

5 5

5

3 2 2

2

x x x x

ax ax ax x

mcd x x

+ = +

+ = +

+

10. ( )( )( )

( )

a b a b a b

a ab b a b

mcd a b

2 2

2 2 22

− = + −

− + = −

−

11. ( )( )( )

m n m n m mn n

am an a m n

mcd m n

3 3 2 2

3 3 3

+ = + − +

+ = ++

12. ( )( )( )( )

x x x

x x x x

mcd x

2

3 2

4 2 2

8 2 2 4

2

− = + −

− = − + +−

13. 13. 13. 13. 13. ( )( ) ( )( )

( )

2 4 2 2

6 6 3 2

2

2

3 2 2

ax ax ax x

x x x x x x x x x

mcd x x

+ = +

− − = − − = − +

+

14. 14. 14. 14. 14. ( )( )( )

9 1 3 1 3 1

9 6 1 3 1

3 1

2

2 2

x x x

x x x

mcd x

− = + −

− + = −−

15. 15. 15. 15. 15. ( )( ) ( )

( ) ( )( )( )

4 4 2

2 2 2 2

2

2

2

2 2 2

2 2 2 2

a ab b a b

a ab ab b a ab ab b

a a b b a b

a b a b

mcd a b

+ + = +

− + − = − + −

= − + −

= + −+

16. 16. 16. 16. 16. ( )( )( )

( )( )( )

( )

3 3 60 3 20

3 5 4

6 18 24 6 3 4

3 2 4 1

3 4

2 2

2 2

x x x x

x x

x x x x

x x

mcd x

+ − = + −

= + −

− − = − −

= ⋅ − +

−

17. 17. 17. 17. 17. ( )( )( )( )( )

8 2 4 2

4 4

2 2

2

3 3 2 2

2 2 2 2

x y x y x xy y

ax ay a x y

a x y x y

mcd x y

+ = + − +

− = −

= + −+

18. 18. 18. 18. 18. ( )( )

( )( )( )

( )

2 12 18 2 6 9

2 3

9 9

3 3

3

3 2 2 2 2

2

3 2 2 2

a a b ab a a ab b

a a b

a x ab x ax a b

ax a b a b

mcd a a b

− + = − +

= −

− = −

= + −

−

19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )

ac ad bc bd ac ad bc bd

a c d b c d

a b c d

c cd d c cd d

c d

mcd c d

+ − − = + − +

= + − +

= − +

+ + = + +

= ++

2 2 2 2

2

2

2 4 2 2 2

2

2 2 2 2

2

20. 20. 20. 20. 20. ( )( )( )

( )( )( )

( )

3 6 45 3 2 15

3 5 3

6 24 30 6 4 5

3 2 5 1

3 5

2 2 2 2 2 2

2

2 2

a m a m a a m m

a m m

am x amx ax ax m m

ax m m

mcd a m

+ − = + −

= + −

+ − = − −

= ⋅ + −

+

21. 21. 21. 21. 21. ( )( )( ) ( )( )

4 2 2

2 2 2

2

4 2 2 2

2 2 2 2

2

x y x y x y

x y x y x y

mcd x y

− = + −

+ = + +

+

22. 22. 22. 22. 22. ( ) ( )( )( )( )( )

( ) ( )( )( )( )

3 3 3 1 3 1 1

3 1 1 1

9 9 9 1 3 1 1

3 1 1

5 4 2 2

2

3 2 2

x x x x x x x

x x x x

x x x x x x x

mcd x x x

− = − = + −

= + + −

− = − = + −

+ −

23. 23. 23. 23. 23. ( )( )( )

a ab a a b

ab b b a b

a a b a a b

mcd a b

2

2

3 2 2

+ = +

+ = +

+ = ++

24. 24. 24. 24. 24. ( )( )

( )( )

2 2 2 1

3 3 3 1

4 4 4 1

1

3 2 2

2

3 2 2

x x x x

x x x x

x x x x

mcd x x

− = −

− = −

− = −

−

25. 25. 25. 25. 25. ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )

( )

x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x

mcd x x

4 2 2 2 2

4 3 2 2 2 2

4 3 2 2 2 2 2

2

9 9 3 3

5 6 5 6 3 2

6 9 6 9 3

3

− = − = + −

− + = − + = − −

− + = − + = −

−

26. 26. 26. 26. 26. ( ) ( )( ) ( )( )

( )

a b a b ab ab a ab b ab a b

a b a b a b a b a b a b a b

mcd ab a b

3 2 2 3 2 2 2

4 2 3 2 2 2 2

2 2+ + = + + = +

− = − = + −

+

27. 27. 27. 27. 27. ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )

2 2 4 2 2 2 2 1

2 8 6 2 4 3 2 3 1

2 2 2 1 2 1 1

2 1

2 2

2 2

3 2

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

mcd x

+ − = + − = + −

− + = − + = − −

− = − = + −

−

28. 28. 28. 28. 28. ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )

( )

ax ax ax ax x x ax x x

ax ax a a x x a x x

a x a x a x a x x x a x x x

mcd a x

3 2 2

2 2

2 3 2 2 2 2 2 2

2 8 2 8 4 2

6 6 3 2

3 10 3 10 5 2

2

− − = − − = − +

− − = − − = − +

− − = − − = − +

+

29. 29. 29. 29. 29. ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( )( )

( )

2 16 32 2 8 16

2 4 4 2 2 2

2 8 2 4 2 2 2

2 16 2 8 2 2 2 4

2 2

4 2 4 2

2 2 2 2

3 2

2 3 2 2 3 2 2

an an a a n n

a n n a n n

an an an n an n n

a n a a n a n n n

mcd a n

− + = − +

= − − = + −

− = − = + −

+ = + = + − +

+

30. 30. 30. 30. 30. ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )

( )

4 8 12 4 2 3 2 3 1

2 6 4 2 3 2 2 2 1

6 18 24 6 3 4 32 4 1

2 1

2 2 2

2 2

2 2

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

mcd a

+ − = + − = + −

− + = − + = − −

+ − = + − = ⋅ + −

−

31. 31. 31. 31. 31. ( )( )( )( )( )

4 2 2

8 2 4 2

4 4 2

2

2 2

3 3 2 2

2 2 2

a b a b a b

a b a b a ab b

a ab b a b

mcd a b

− = + −

+ = + − +

+ + = ++

32. 32. 32. 32. 32. ( )( )( )( )

( ) ( )( )

x x x x

x x x x

x x x x x x x x x

mcd x

2

2

3 2 2

2 8 4 2

12 4 3

9 20 9 20 5 4

4

− − = − +

− − = − +

− + = − + = − −−

33. 33. 33. 33. 33. ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )

a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a

mcd a a

2

3 2 2

6 5 4 3 2

1

6 7 6 7 7 1

1 1 1

1

+ = +

− − = − − = − +

+ = + = + − + − +

+

34. 34. 34. 34. 34. ( )( )( )( )

x x x x

x x x x

x x x x x x

mcd x x

3 2

2 2

4 3 2 2 2

2

27 3 3 9

2 6 18 2 3 9

3 9 3 9

3 9

+ = + − +

− + = − +

− + = − +

− +

35. 35. 35. 35. 35. ( )( )( )( )( )

x ax a x a x a

x ax a x a x a

x ax a x a

mcd x a

2 2

2 2

2 2 2

6 3 2

2 3 3

6 9 3

3

+ − = + −

+ − = + −

+ + = ++

36. 36. 36. 36. 36. ( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

54 250 2 27 125 2 3 5 9 15 25

18 50 2 9 25 2 3 5 3 5

18 60 50 2 9 30 25 2 3 5

2 3 5

3 3 2

2 2

2 2 2

x x x x x

ax a a x a x x

x x x x x

mcd x

+ = + = + − +

− = − = + −

+ + = + + = +

+

37. 37. 37. 37. 37. ( ) ( )( )[ ]( )( )

( )( ) ( )( )( )

x x x

x x x x

x x x x x x

mcd x

2 2 2

2

4 2 2 2

1 1 1

4 5 5 1

1 1 1 1 1 1

1

− = + −

− − = − +

− = + − = + + −+

38. 38. 38. 38. 38. ( )( ) ( )( )( ) ( )( )

( )

4 28 4 7

8 7 8 7 7 1

15 56 15 56 8 7

7

2

2 3 2 2 2 2 2 2

4 3 2 2 2 2

ax ax ax x

a x a x a x a x x x a x x x

ax ax ax ax x x ax x x

mcd ax x

− = −

− + = − + = − −

− + = − + = − −

−

39. 39. 39. 39. 39. ( )( ) ( )( )

( )( )( )

3 6 3 2

4 4 2 2

2 2

2 2 1

2

2

3 2

2

2

a a a a

a a a a a a a

a b ab ab a

a a a a

mcd a

− = −

− = − = + −

− = −

− − = − +−

40. 40. 40. 40. 40. ( )( )( )( )( ) ( )

( ) ( )( )( )

3 3 1

27 1 3 1 9 3 1

9 6 1 3 1

3 6 2 3 6 2

3 1 2 3 1

2 3 1

3 1

2

3 2

2 2

x x x x

x x x x

x x x

ax a x ax a x

a x x

a x

mcd x

− = −

− = − + +

− + = −

− + − = − + −

= − + −

= + −−

41. 41. 41. 41. 41. ( )( ) ( )( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a

a x a x ax x a x a x ax x

a x a x a

a x x a x a a

a a a a a a

a a a

a a

4 2 2 2

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2

2 2

5 3 2 5 3 2

3 2 2

3

1 1 1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

1 1

1 1 1

1 1

1 1

1

− = + − = + + −

+ + + = + + +

= + + + = + +

+ + + = + + +

= + + +

= + + = + +

+ + + = + + +

= + + +

= + ( ) ( )( )( )( )( )

2 2 2

2

1 1 1 1

1 1

+ = + − + +

+ +

a a a a

mcd a a

42. 42. 42. 42. 42. ( )( )( ) ( )

( )( )( )( )

( )( )( )

2 4 2 2 2

2

2 2 2 2

2

3 2 2 3 2 2

2 2

3 3 2 2

3 2 2 2

m mn n m mn n

m n

m m n mn n m m n n m n

m n m n

m n m n m mn n

m mn m m n

m m n m n

mcd m n

+ + = + +

= +

+ + + = + + +

= + +

+ = + − +

− = −

= + −+

43. 43. 43. 43. 43. ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

( )( )

a a a a a a

a a a a a

a a a a

a a a a a

a a a

a a a a a a a

a a a a

mcd a

3 2 3

2

2

2 2

2 2

3 2

2

3 3 1 1 3 1

1 1 3 1

1 1 3

1 2 1 1 1

2 1 1

1 1 1

4 3 3 1

1

− + − = − − −

= − + + − −

= − + + −

= − − + = − −

− + = −

− = − = + −

− + = − −−

44. 44. 44. 44. 44. ( )( )( )

( )( ) ( )[ ]( )( )[ ]( )( )

( )( ) ( )[ ]( )( )[ ]( )

16 54 2 8 27

2 2 3 4 6 9

12 42 90 6 2 7 15

6 2 7 2 30

6 2 10 2 3 2

3 2 5 2 3

32 24 36 4 8 6 9

4 8 6 8 72

4 8 12 8 6 4

2 2 3 8

3 3

2

2 2 2 2 2 2

2 2

2

2

3 2 2

2

2

a x x x a

x a a a

a x ax x x a a

x a a

x a a

x a a

a x a x ax ax a a

ax a a

ax a a

ax a

+ = +

= + − +

− − = − −

= − −

= − + ÷

= ⋅ − +

+ − = + −

= + −

= + − ÷

= + ( )( )( )

( )( )( )( )[ ]

( )

a

ax a a

a x a x x x a a

x a

x a a

mcd x a

−

= + −

− + = − +

= −

= + −

+

6

2 2 3 4 3

32 144 162 2 16 72 81

2 4 9

2 2 3 2 3

2 2 3

3

4 2 4 2

2 2

2

45. 45. 45. 45. 45. ( )( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

xy y x y xy y

y x xy y y x y

x y xy y y x xy y y x y x y

ax y ay ay x y ay x y x xy y

x y y y x y y x y x y

mcd y x y

+ = + +

= + + = +

− − = − − = − +

+ = + = + − +

− = − = + −

+

2 2 2 2 3 4

2 2 2 2 2

2 2 3 2 2

3 4 3 3 2 2

2 3 2 2

2

2

2 3 2 3 3

46. 46. 46. 46. 46. ( ) ( )( ) ( )

( )( )( )

( ) ( )[ ]( )( )[ ]( )( )( )

( ) ( )[ ]( )( )[ ]

2 4 2 2 4 2

2 2 2

2 2

2 2

6 5 4 6 5 6 24

6 8 6 3 2 3

3 4 2

16 72 40 8 2 9 5

8 2 9 2 10

8 2 10 2 2

2 2

2 3 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

a am a m a am a m

a a m a m

a a m

am m m a m

a am m a m a m

a m a m

a m a m

a am m a am m

a m a m

a m a m

− + − = − + −

= − + −

= + −

− = −

+ − = + −

= + − ÷ ⋅

= + −

+ − = + −

= + −

= + − ÷

( )( )= + −−

8 5 2

2

a m a m

mcd a m

47. 47. 47. 47. 47. ( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )( ) ( )

( )

12 6 24 12 12 6 24 12

6 2 12 2

6 12 2

3 2 2 2

3 24 3 8

3 2 2 4

9 9 18 9 2

3 2

12 24 12 2 4 3 2

3 2

3 3 3 3

2 2

2 2 2 2

2

2

ax ay bx by ax ay bx by

a x y b x y

a b x y

a b x y

a b a b

a b a ab b

a ab b a ab b

a b a b

a ab a a b a a b

mcd a b

− + − = − + −

= − + −

= + −

= ⋅ + −

+ = +

= + − +

+ − = + −

= + −

+ = + = ⋅ +

+

48. 48. 48. 48. 48. ( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

( )( )( )( )( )( ) ( )

( )( )

5 5 5 5 5 5

5 5 5

15 15 15 15 15 15

15 15

15

5 3

20 20 20 20 20 20

20 20

20

2

3 2 2 2 2 2

2 2

2 2

3 2 2 2 2 2

2 2

2

a ax ay xy a a x y a x

a y a x a y a x

a ax a y x y a a y x a y

a x a y

a x a y

a x a x a y

a ay a x xy a a x y a x

a y a x

a

+ + + = + + +

= + + = + +

− + − = + − +

= − +

= − +

= ⋅ + − +

− + − = + − +

= − +

= −( )( )( )( )( )

( )( )

y a x

a y a y a x

mcd a y a x

2

5 4

5

+

= ⋅ + − +

+ +

EJERCICIO 113

1. 1. 1. 1. 1.

( )

( )

12 8 1 2 5 3

12 30 18 6

38 19 2

2 5 3 2 1

2

6 3 3

2 1 2 1

2 1 1 2 1

2 2

2

2

2

x x x x

x x

x

x x x

x x x

x

x x

x mcd x

+ + − −

− + +

+ ÷

− − +

− −

− − ÷ −+ +

− − +

2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )

( )

( )

3 2 6 6 2 20 2

6 3 18 3 10

6 2 20 2

2

3 10 2

3 6 3

5 10 2

2 2

2 1 2

3 2 2

3 2 2

3 2

2

2

2

a a a a a

a a a a a

a a a a

a a a

a a a

a a a

a

a a

a mcd a

− − − − ÷

− − − −− + +

− + ÷ −

− − −

− +

− ÷− −

− + −

;

3. 3. 3. 3. 3. ( )( )

( )

( )

( )

( )

3 5 6 3 4

15 18 3 3 4

15 18 3

15 18 3 3 4

15 20 5 5

2 2 2

3 4

3 3 3

1

3 2 2 3 2 2

3 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2

2 2

2

2

a a x ax a a x ax

a a x ax a a ax x

a a ax x

a ax x a ax x

a ax x

ax x x

a ax x a x

a ax a

ax x x

a x a x

a x mcd a a x

− + − +

= − + = − +

= − +

− + − +

− + −

− ÷

− + −

− +

− + ÷ −− −

− + −

;

4. 4. 4. 4. 4. ( )

( )

2 4 4 6 2

2 2 3 2

2 1

1

2 1

2 2 2 2

1 1

1 1 1

3 2

3 2 3 2

3 2

2

3 2 2

3 2

2

2 2

2 2

x x x

x x x x x x

x x x

x x

x x x x x

x x x x

x x

x x x x

x x mcd x x

+ − + ÷

+ − + + − +

− − + −

− +

+ − + − +

− + −

− + ÷

− + − +

− + − − +

5. 5. 5. 5. 5.

( ) ( )( )

8 6 7 3 2 3 2

8 6 7 3 2 3 2

8 6 7 3 2 3 2 3

8 12 8 4

18 15 3 3

6 9 6 6 5

6 5

4 3 2 2 3 3 2 2

3 2 2 3 2 2

3 2 2 3 2 2

3 2 2

2 2 3

2 2 3 2 2 3

2 2

a a x a x ax a a x ax

a a a x ax x a a ax x

a a x ax x a ax x x

a a x ax a

a x ax x

a x ax x a x ax x

a x ax

− + − + −

= − + − = + −

− + − + −− − +

− + − ÷ −+ − − +

− +

;

( )

−

− ÷− + −

− +

− + ÷ −− −

− + −

x

ax x x

a x ax x a x

a x ax ax

ax x x

a x a x

a x mcd a a x

3

2 3 2

2 2 3

2 2

2 3 2

1

14 7 7

6 5 2

6 3 3

2

2 2

2 1 2

6. 6. 6. 6. 6. ( )( )

( )( )

( )

12 3 26 5 10

12 3 26 5 10 3 3 4 5 15 5

12 12 16 20 60 4

15 42 25 70 1

15 15 20 25 75 15 42 25 70 19

15 42 25 70

57 45 95 75 5

285 798

4 3 2

4 3 2 4 3 2

4 3 2

3 2

4 3 2 3 2

4 3 2

3 2

3 2

ax ax ax ax a a

x x x x x x x x

x x x x

x x x

x x x x x x x

x x x x x

x x x

x x

− + − + ÷

− + − + + − + −

− − + − +

− + − + −

+ − + − − + −− + − +

− + −−

( )

( )

+ − − + −− + − +

− − ÷ −

− + − +− −

− − ÷ −

+ +

− − +

475 1 330 285 225 475 375

285 225 475 375 1

573 955 191

285 225 475 375 3 5

285 475 95

225 375 75

3 5 3 5

3 5 1 3 5

3 2

3 2

2

3 2 2

3

2

2 2

2 2

x x x x

x x x

x

x x x x

x x x

x

x x

x mcd x

.

7. 7. 7. 7. 7. ( )

( )

( )

6 4 3 5 2 3 2 9 6 7

6 4 18 12 2

21 17 2

21 14 63 42 21 17 2

21 17 2

3 61 42

21 17 2 3 61 42

4 3 2 2 3 4 3 2 2 3

4 3 2 2 3

2 2 3 4 2

3 2 2 3 2 2

3 2 2

2 2 3

2 2 2

x x y x y xy y x x y xy y

x x y x y xy x

x y xy y y

x x y xy y x xy y

x x y xy x

x y xy y y

x xy y x xy y

− − + − − + −

− + − +

− + − ÷ −

− + − − +

− + −

+ − ÷

− + + −

( )

( )

2

2 2

2

2 2

2

2

21 427 294 7

444 296 148

3 61 42 3 2

3 2

63 42 21

3 2 3 2

3 2 1 3 2

− + +

− + ÷ −

+ − −

− +

− ÷− −

− + −

x xy y

xy y y

x xy y x y

x xy x

xy y y

x y x y

x y mcd x y

8. 8. 8. 8. 8. ( )( )

( )

( )

ax ax ax ax a a

x x x x x

x x x x x x x

x x x x x

x x x

x x x x x x

x x x

x x

x x x x x

x x

4 3 2

4 3 2

4 3 2 3 2

4 3 2

3 2

3 2 3 2

3 2

2

3 2 2

3 2

3 2 6 8

4 4

3 2 6 8 4 4

4 4

10 8 1

4 4 10 8

10 8 1

3 9 12 3

10 8 3 4

3 4

+ − + − ÷

+ − − ÷

+ − + − + − −

− − + +

− − + − −

+ − − + − +

− − + −

+ − ÷

+ − + + −

− − +

;

( )x x

x x

x x x x

x x mcd x x

− − + ÷ −

+ − + −

− − + + −

2 6 8 2

3 4 3 4

3 4 1 3 4

2

2 2

2 2

9. 9. 9. 9. 9. ( )( )

( )

( )

3 2 4 6 3

3 6 8 10 5

6 12 3 18 9 3 6 8 10 5

6 12 16 20 10 2

19 38 19 19

3 6 8 10 5 2 1

3 6 3 3

5 10 5 5

2

4 3 2

5 4 3 2

4 3 2 4 3 2

4 3 2

2

4 3 2 2

4 3 2 2

2

2

m m m m

m m m m m m

m m m m m m m m

m m m m

m m

m m m m m m

m m m m

m m

m m

− − + −

− + − + ÷

− − + − − + − +− + − + −

− + − ÷ −

− + − + − +

− + −

− + ÷

−

;

+ − +− + − − +

1 2 1

2 1 1 2 1

2

2 2

m m

m m mcd m m

10. 10. 10. 10. 10.

( ) ( )

( )

Factor común a

a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a

a a a a a a a a

a a a a

a a

a a

7 3 6 16 2 5 3 7 14 33 4 10

21 42 112 14 35 21 42 99 12 30

21 42 112 14 35 21 42 99 12 30

21 42 99 12 30 1

13 26 65 13

21 42 99

5 4 3 2 5 4 3 2

5 4 3 2 5 4 3 2

4 3 2 4 3 2

4 3 2

2

4 3

− + − + − + + −

= − + − + = − + + −

− + − + − + + −

− + − − +

− + ÷

− +

;

;

( )

( )

a a a a

a a a a

a a

a a a a

a a mcd a a a

2 2

4 3 2 2

2

2 2

2 2

12 30 2 5

21 42 105 21

6 12 30 6

2 5 2 5

2 5 1 2 5

+ − − +

− + −

− + − ÷ −

− + − +

− + − − +

11. 11. 11. 11. 11. ( )( )

( ) ( )( )

( )

( )

45 75 18 30 3

24 40 30 50 2

4 15 25 6 10 5 12 20 15 25

60 100 24 40 60 100 75 125 5

60 100 75 125 1

51 85 17

12 20 15 25 3 5

12 20 4

15 25 5

3 5 3 5

3 2

3 2

3 2 3 2

3 2 3 2

3 2

3 2

3 2 2

ax ax ax a a

ax ax ax a a

x x x x x x

x x x x x x

x x x

x

x x x x

x x x

x

x x

+ − − ÷

+ − − ÷

+ − − + − −

+ − − + − − ÷

− − + +

+ ÷

+ − − +

− −

− − ÷ −+ +

−

;

;

( )3 5 1 3 5x mcd a x− +

12. 12. 12. 12. 12.

( )

( )

( )

Factor común

x ax a x a x ax a x a

x ax a x a x ax a x a

x ax a x a

ax a a

x ax a x a x a

x a x x

ax a a

x a x a

x a mcd x a

2

2 2 2 2 10 4 10 4

5 2 5 2

5 5 5 5 5

3 3 3

1 2

3 2 2 3 3 2 2 3

3 2 2 3 3 2 2 3

3 2 2 3

2 3

3 2 2 3 2 2

3 2

2 3

2 2 2 2

2 2 2 2

:

;+ + + + + +

+ + + + + +

− − − −

− − ÷ −

+ + + +

− −

+ ÷

+ +

− − +

13. 13. 13. 13. 13.

( )

( )

( )

Factor común

x ax a x a

x ax a x a

x ax a x a x ax a x a

x ax a x a

ax a x a a

x ax a x a x ax a

x ax a x x

ax a x a a

x

3

9 15 3 3

12 21 6 3 3

12 21 6 3 3 5

12 20 4 4 4

2

3 5 2

3 6 3 3

2

3 2 2 3

3 2 2 3

3 2 2 3 3 2 2 3

3 2 2 3

2 2 3

3 2 2 3 2 2

3 2 2

2 2 3

2

:

;+ + −

+ + −

+ + − + + −

− − − +

+ + ÷

+ + − + +

− − −

− − − ÷ −

( )+ + + +

− − − + +

2 2

2 1 3 2

2 2 2

2 2 2 2

ax a x ax a

x ax a mcd x ax a

14. 14. 14. 14. 14.

( )

( )

Factor común ab

a b a b ab a b a b a b ab

a a b b a a b ab b

a a b b a a b ab b

a a b ab b

a b ab b b

a a b ab b a ab

2

8 4 4 12 18 12 6

3 4 2 2 6 9 6 3

12 6 6 6 9 6 3

12 18 12 6 2

24 12 12 12

6 9 6 3 2

4 3 2 4 4 3 2 2 3 4

3 2 3 3 2 2 3

3 2 3 3 2 2 3

3 2 2 3

2 2 3

3 2 2 3 2

:

;+ + − + −

+ + − + −

+ + − + −

− + − +

− + ÷

− + − −

( )

( )

+

− + −

− + − ÷ −

− + − +

− + − − +

b

a a b ab a

a b ab b b

a ab b a ab b

a ab b mcd ab a ab b

2

3 2 2

2 2 3

2 2 2 2

2 2 2 2

6 3 3 3

6 3 3 3

2 2

2 1 2 2

15. 15. 15. 15. 15.

( )

( )( )

Factor común a n

a n a n a n a n

a n a n a n a n

a a n an n a a n an n

a a n an n

a n an n n

a a n an n a an n

3

9 33 27 6

9 12 21 6

3 11 9 2 3 4 7 2 5

3 4 7 2 1

15 16 4

15 20 35 10 15 16 4 12

15

2 2

5 2 4 3 3 4 2 5

5 2 4 3 3 4 2 5

3 2 2 3 3 2 2 3

3 2 2 3

2 2 3

3 2 2 3 2 2

:

;− + −+ − +

− + − + − +

− − + −

− + − ÷ −

+ − + − +

−

( )

( )

( )

( )

a a n an a

a n an n n

a an n a an n

a an n

an n n

a an n a n

a an a

an n n

a n a n

a n mcd a n a n

3 2 2

2 2 3

2 2 2 2

2 2

2

2 2

2

2

2 2

16 4

36 39 10

180 192 48 36 39 10

180 195 50 5

3 2

36 39 10 3 2

36 24 12

15 10 5

3 2 3 2

3 2 1 3 3 2

+ −

− + ÷

− + − +− + −

− ÷

− + −

− +

− + ÷ −− −

− + −

16. 16. 16. 16. 16. ( )

( )

a a a a a a a a

a a a a a a

a a a a a

a a a a a a a a a a

a a a a a

a a a

a a a a a a a a

a a a

7 6 4 5 4 3

7 6 5 3 2 2

6 5 4 3 2

6 5 4 2 6 5 4 3 2

6 5 4 3 2

5 3

6 5 4 3 2 5 3

6 4 2

1 2 1

2

1

2 1

1 1

1 1

1 1

− + + − + + −

− + − − +

− + − + +

− + + − − + − + +

− + − + − −

− + − − −

− + − + + − + +

− + − −

( )

( )

( )

a a

a a a a

a a a a a a a

a a a a

a a

a a a a a a

a a a a

a a

a a a a

a a mcd a a

− + − − + −

− + + − + + −

− + − − +

− + ÷

− + + − − +

− + −

− + − −

− + − +

− + − − +

5 4 3

5 3 5 4 3

5 4 3

4 3

5 4 3 4 3

5 4

4 3

4 3 4 3

4 3 4 3

2 1 1

1 2 1

2 1 1

2 2 2 2

2 1 1

1 1

1 1

1 1 1

17. 17. 17. 17. 17.

( )

( )( )

Factor común a

ax ax ax ax a

ax ax ax ax a

x x x x x x x x

x x x x

x x

x x x x x x x

x x x x

x x

2

6 4 6 10 4

36 24 18 48 24

18 12 9 24 12 3 2 3 5 2 9

18 12 18 30 12 6

27 54 24 1

27 18 27 45 18 27 54 24 4

27 54 24

36 3

4 3 2

4 3 2

4 3 2 4 3 2

4 3 2

2

4 3 2 2

4 3 2 2

3 2

:

;− + − +− − + −− − + − − + − +

− + − + −

− + − −

− + − + − +− + −

+ − ( )( )

( )( )

( )( )

45 18 3

108 216 96 12 15 6 25

108 9 135 54 9

225 231 54 3

300 25 375 150 75 77 18 111

300 308 72 4

333 447 150 3

8 325 8 547 1 998 111 149 50 2 628

8 325 11 175 3 750 75

2 628 1 752

291

3 2 3 2

3 2

2

3 2 2

3 2

2

2 2

2

x

x x x x x x

x x x

x x

x x x x x

x x x x

x x

x x x x

x x

x

+ ÷

− + + − +− − + −

− + − ÷ −

+ − + − +− + −

− + ÷

− + − +

− + −

−

. . . .

. . .

. .

( )

( )

( )

. . . . .

. .

. . .

708 391 572 131 400 2 628 1 752 876

291 708 194 472 111

197 100 131 400 65 700

3 2 3 2

3 2 1 2 3 2

2

2

x x x

x x x

x

x x

x mcd a x

− + − ÷

− +

− + ÷ −− −

− + −

EJERCICIO 114

1. 1. 1. 1. 1.

( )

( )

( )

( )

2 5 6 9 2 5 3

2 5 3

3 9 3

2 5 3 3

2 6 2

3

2 5 6 3

3

5 6

3 5 6

5 6 1

2 6 2

5 6 3

2

3 6 3

3 3

3

3 2 2

3 2

2

2

3 2

3 2 2

2

2 2

2

2

x x x x x

x x x x

x

x x x

x x x

x

x x x x x

x x x

x x

x x x x

x

x

x x x

x x x

x

x x

x

− − + − −− + +

− + ÷ −

− − −− +

−− − + −

− +

− +

− − ++ −

− ÷

− + −

− +

− + ÷ −− −

− + 1 3mcd x−

3. 3. 3. 3. 3. ( )( )

( )

( )( )

x x x x x

x x x

x x x x x x

x x x

x x x x x x

x x x

x x

x x x x x

x x x x

x x

x x

4 3 2

3 2

3 2 3 2

3 2

3 2 3 2

3 2

2

3 2 2

3 2

2

2

2 2 2 2 2

1 1

1 1

0

5 5 2 2 1 10

5 5 5 5 5

10 7 3 1

10 10 10 10 10 7 3 17

10 7 3

17 7 10

170 119

+ − − ÷

+ − − ÷

+ − − + − −

− − + +

− + − + − −

− − + +

− + + −

+ − − − −

− + +

− −

− −

;

( )

( )

51 17 7 10

170 70 100 10

49 49 49

17 7 10 1

17 17 17

10 10 10

1 1

1 1 1

2

2

2

2

x x

x x

x

x x x

x x x

x

x x

x mcd x

− −

− + +

− + ÷ −

− − −

− +

− ÷− −

− + −

2. 2. 2. 2. 2.

( )

( )

8 6 3 2 2

8 4 8 4 4

10 5 5 5

2 2 2

2

2

2 2

2 1

0

6 2

3 2 2 3 3 2 2 3

3 2 2 3

2 2 3

3 2 2 3 2 2

3 2 2

2 2 3

2 2 2 2

2 2

2 2 2

x x y xy y x x y xy y

x x y xy y

x y xy y y

x x y xy y x xy y

x x y xy x

x y xy y y

x xy y x xy y

x xy y

x xy y x xy y

+ − − − − +

− + + −

+ − ÷

− − + + −

− − +

− − + ÷ −

+ − + −

− − +

− − + −

( )

( )

2

2 2

2

2 2

2

2

6 3 3 3

4 2 2

2 2

2

2

2 2

2 1 2

− − +

− + ÷ −

+ − −

− +

− ÷− −

− + −

x xy y

xy y y

x xy y x y

x xy x

xy y y

x y x y

x y mcd x y

4. 4. 4. 4. 4.

( )( )

( )

3 9 4 3 2 3 3 2

3 9 3 9 6 3

6 8

3 3 2 6 8 3

6 8

3 7 3 2

3

4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4

4 3 2 2 3 4

2 2 3 4 2

4 3 2 2 3 4 2 2

4 3 2 2 2

3 2 2 3 4

3

a a x a x ax x a a x a x ax x

a a x a x ax x

a x ax x x

a a x a x ax x a ax x a

a a x a x a

a x a x ax x x

a

+ + − + + + − −

− − − + +

+ + ÷

+ + − − + +

− − −

− − − − ÷−

( )

( )( )

( )

+ + + + +

− − − −

+ − ÷

+ + + + −

− − +

+ + ÷

+ − + +

− − −

− −

18 24 3 7 3 2 11

3 7 3 2 1

11 21 2

33 77 33 22 11 21 2 14

33 63 6 3

14 39 22

154 294 28 14 39 22

154 429 242 11

135

2 2 3 2 2 3

3 2 2 3

2 2 3

3 2 2 3 2 2

3 2 2

2 2 3

2 2 2 2

2 2

a x ax a a x ax x

a a x ax x

a x ax x x

a a x ax x a ax x

a a x ax a

a x ax x x

a ax x a ax x

a ax x

ax ( )

( )

( )

270 135

14 39 22 2 2 2

14 28 14 2 1

11 22 11 0

4 8 2 2

4 8 4

2

2 2

2 1 2

2

2 2

2

2

3 2 2 3

3 2 2

2 3 2

x x

a ax x a x a x a x

a ax a a x

ax x x

a a x ax x a x

a a x a

ax x x

a x a x

a x mcd a x

÷ −

+ + + + +

− − − −

+ ÷

+ − − +

− −

− − ÷ −+ +

− − +

5. 5. 5. 5. 5.

( )( )

( )

( )( )

Factor común x

x x x x

x x x x x x

x x x x x

x x x

x x x x x x

x x x

x x

x x x x x

x x x x

2 2 2 2 2

4 4 4 4 4 4 3 3 2

4 4 3 3

8 3 4

8 8 6 6 8 3 4 5

8 3 4 1

5 7 2 1

40 15 5 20 5 7 2 41

40 56 16 8

5 4 2

4 3 3 2

4 3 2

3 2

3 2 3 2

3 2

2

3 2 2

3 2

+ − −

+ − − − + −

− + − +

− − −

− + − − − −

− + + +

− + − −

− − − − +

− + −

( )

( )( )

41 21 20

205 287 82 41 21 20

205 105 100 5

182 182 182

41 21 20 1 1 1

41 41 41 1 1

20 20 20 0

3 4 3 4 1 3

3 3 3

3 4 3 4

2

2 2

2

2

2

6 4 3 4

6 5 5

5 4 3

x x

x x x x

x x

x

x x x x x

x x x x

x

x x x x x x

x x x

x x x x

− −

− + − −

− + +

− + ÷ −

− − − − −

− + − +

− ÷

− − + −

− +

− − +Continua.Continua.Continua.Continua.Continua.

5. 5. 5. 5. 5. ( )

( )( )

( )( )

( )

3 3 3 4 3 4

3 4 3 4 1

3 4

3 4 3 4 3 4 13

3 9 12 3

13 3 12 4 1

13 39 52 13 3 12 4 3

13 3 12 4 1

36 12 48 12

39 9

5 4 5 4 3

5 4 3

4 3

4 3 2 3 2

4 3

3 2

3 2 3 2

3 2

2

3

x x x x x x x

x x x x

x x x x

x x x x x

x x x x

x x x

x x x x x

x x x

x x

x

− − − + ÷

− + + −

+ − ÷

− − + + −− − +

− − + + ÷−

+ − + − −− − + +

+ − ÷

+

( )

( )

( )

( )

x x x x

x x x x

x x

x x x x

x x

x

x x x

x x x

x

x x

x mcd x x

2 2

3 2

2

2 2

2

2

2

36 12 3 4

39 13 52 13

4 16 12 4

3 4 4 3

3 12 9 3

13 13 13

4 3 1

3 3 3

1 1

1 1 1

− − + −− − +

− + − ÷ −

+ − − +− + −

− ÷

− + −− +

− + ÷ −− −

− + −

Continuación.Continuación.Continuación.Continuación.Continuación.

EJERCICIO 115

16. 16. 16. 16. 16. 3 6 9 183 2 4 2 4 2x x x y mcm x y, ,

17. 17. 17. 17. 17. 9 12 18 362 2 2 3 3 3 3 2a bx ab x a b x mcm a b x, ,

18. 18. 18. 18. 18. 10 15 20 602 2 3 2 3m mn n mcm m n, ,

19. 19. 19. 19. 19. 18 24 36 723 2 3 3 3a b ab mcm a b, ,

20. 20. 20. 20. 20. 20 24 30

20 24 30 6

20 4 5 5 6 5 4 120

4 4 1 4 120

1 1

2 3 3 2

3 3

m n m n mn

mcm m n

, ,

⋅ ⋅ =

⇒

21. 21. 21. 21. 21. ab bc a c b c mcm a b c2 2 2 3 3 3 2 3 3, , ,

22. 22. 22. 22. 22. 2 8 4 12 242 3 2 3 3 3 3 3x y xy a x a mcm a x y, , ,

23. 23. 23. 23. 23. 6 9 12 18 362 2 3 2 3 2a x ay x y mcm a x y, , ,

24. 24. 24. 24. 24. 15 10 20 25

15 10 20 25 5

3 2 4 5 5 5 3 2 300

3 2 4 1 3 300

1 2 4 2

1 2 2

1

2 2 3 4

2 2

2 4

mn m n mn

mcm m n

, , ,

⋅ ⋅ =

⇒

25.25.25.25.25. 24 36 40 60

24 36 40 60 2

12 18 20 30 2

6 9 10 15 3 2 3 5 360

2 3 10 5 5 360

2 3 2 1 3

2 1 2 2

1 1

2 3 2 4 2 5 3 6

3 2

3 3 6

a x a y x y a y

mcm a x y

, , ,

⋅ ⋅ =

⇒

26. 26. 26. 26. 26. 3 8 10 12 16

3 8 10 12 16 2

3 4 5 6 8 2

3 2 5 3 4 2 2 3 5 240

3 1 5 3 2 2 240

3 5 3 1 3

1 5 1 5

1

3 2 2 3 2 2

4

3 3

a ab b a b a b

mcm a b

, , , ,

⋅ ⋅ =

⇒

1. 1. 1. 1. 1. a ab mcm a b2 2 2 2,

2. 2. 2. 2. 2. x y xy mcm x y2 2 2 2,

3. 3. 3. 3. 3. ab c a bc mcm a b c2 2 2 2,

4. 4. 4. 4. 4. a x a bx mcm a bx2 3 3 2 3 3,

5. 5. 5. 5. 5. 6 4 122 3 3m n m mcm m n,

6. 6. 6. 6. 6. 9 15 453 2 5 3 5ax y x y mcm ax y,

7. 7. 7. 7. 7. a ab a b mcm a b3 2 2 3 2, ,

8. 8. 8. 8. 8. x y xy xy z mcm x y z2 2 3 2 3, ,

9. 9. 9. 9. 9. 2 4 8 82 2 3 3 2ab a b a mcm a b, ,

10. 10. 10. 10. 10. 3 4 6 122 3 3 3 2 4 4 3 2x y z x y z x mcm x y z, ,

11. 11. 11. 11. 11. 6 9 12 362 2 3 3 3 3mn m n m n mcm m n, ,

12. 12. 12. 12. 12. 3 4 8 242 2 2 2 2 2a b x mcm a b x, ,

13. 13. 13. 13. 13. 5 10 15 302 2 2 2x xy xy mcm x y, ,

14. 14. 14. 14. 14. ax y a xy a x y mcm a x y3 2 3 2 2 3 3 3 3, ,

15. 15. 15. 15. 15. 4 6 3 122 2 2 2ab a b mcm a b, ,

EJERCICIO 1161. 1. 1. 1. 1.

( )( )

2 2

4 8 2 2

4 2

2

a a

x x

mcm a x

=

− = −

−

2. 2. 2. 2. 2. ( )

( )

ab b b a b

b b

mcm b a b

− = −

=

−

2

2 2

2

3 3

3

3. 3. 3. 3. 3. ( )

( )

x y xy xy x y

x y x y

mcm x y x y

2 2

2 2

2

+ = +

=

+

4. 4. 4. 4. 4. ( )

( ) ( )

4 8 2 1 2

8 2

2 1 2 8 1 2

2

3

3

+ = +

=

+ = +

a a

mcm a a

5. 5. 5. 5. 5. ( )

( )

6 2 3

3 6 3 2

6 2

2 2

2 2 3 2

2 2

a b a b

a b ab ab a b

mcm a b a b

= ⋅

+ = +

+

6. 6. 6. 6. 6.

( )( )

14 7 2

6 4 2 3 2

14 3 2

2 2

2

2

x x

x xy x x y

mcm x x y

= ⋅

+ = +

+

7.7.7.7.7.

( )( )( )

9 3

6 12 2 3 2

2 3 2

18 2

2

2

2

m m

mn mn mn n

mcm mn n

mn n

=

− = ⋅ −

⋅ −

⇒ −

8. 8. 8. 8. 8.

( )( )

15 5 3

3 6 3 2

15 2

= ⋅

+ = +

+

x x

mcm x

9. 9. 9. 9. 9.

( )( )

10 5 2

5 15 5 1 3

10 1 3

= ⋅

− = −

−

b b

mcm b

10. 10. 10. 10. 10. ( )

( )( )

4 12 2 3

36 2 3

2 3 3

36 3

2

2 2 2 2

2 2 2

2

ax ay a x y

a a

mcm a x y

a x y

− = −

= ⋅

⋅ −

⇒ −

11. 11. 11. 11. 11.

( )( )

12 2 3

2 5 2 5

12 2 5

2 2 2

2 3 2 3 2 3

2 3

xy xy

ax y x y x y a

mcm x y a

= ⋅

+ = +

+

12. 12. 12. 12. 12. ( )

( )

mn mn mn n

mn mn

m m

mcm m n n

3 2 2

2 2

2 2

1

1

− = −==

−

13. 13. 13. 13. 13. ( )

( )

3 6 3 2

2 2

6 2 3

6 2

2

2 2

2

a ab a a b

a a

ab ab

mcm a b a b

− = −

== ⋅

−

14. 14. 14. 14. 14. ( )

( )

5 5 5 1

5 1

5 4 4

2 2

2 3 2 3

4 3

x x x x

xy xy

x y x y

mcm x y x

− = −

=

=

−

15. 15. 15. 15. 15. ( )

( )( )

27 81 3 3

9 3

18 2 3

2 3 3

54 3

4 3 2 3 3

2 2 2

3 2 3

3 3 3

3 3

a b a b a b a b

a a

b b

mcm a b a b

a b a b

+ = +

=

= ⋅

⋅ +

⇒ +

16. 16. 16. 16. 16. ( )

( )( )

9 9 3

10 5 2

6 2 3

5 2 3

90

3 3 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

x y xy xy x y

x x

mcm x y x y

x y x y

+ = += ⋅= ⋅

⋅ ⋅ +

⇒ +

17. 17. 17. 17. 17. ( )( )

( )( )( )

x y xy xy x

x x x x

x x

mcm x y x x

x y x

2

3 2 2

2

2 2

2 2

1

1

4 2

2 1 1

4 1

− = −

+ = +

=

− +

⇒ −

18. 18. 18. 18. 18. ( )( )

( )( )( )

6 18 2 3 3

8 24 2 3

24 2 3

2 3 3 3

24 9

2

3

3

3

2

m m mm

m m

mcm m m m

m m

+ = ⋅ +

− = −

= ⋅

⋅ + −

⇒ −

19. 19. 19. 19. 19. ( )

( )( )( )

3 3 3 1

2 2

6 18 2 3 3

6 1 3

2 2 2 2

2 2

ax a a x

a b a b

x x

mcm a b x x

+ = +

=

− = ⋅ −

+ −

20. 20. 20. 20. 20. ( )( )( )( )

( ) ( )

x x x

x x x x x x

x x x

x x

mcm x x x

2 2

3 2 2

2 2

2 2

4 4 2

2 2

2 1

2 1

+ + = +

+ − = + −

= + −

=

+ −

21. 21. 21. 21. 21. ( )( )

( )( )

9 18 3 2

4 4 2

6 2 3

3 2 2

18 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

a x a y a x y

x xy y x y

ab ab

mcm a b x y

a b x y

− = −

− + = −= ⋅

⋅ −

⇒ −

22. 22. 22. 22. 22. ( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )( ) ( )

9 36 3 4

3 2 2

3 3 18 3 6

3 3 2

6 2 3

2 3 2 2 3

18 4 3

4 2 2 2 2

2 2

3 2 2

3 3

2 3

3 2

x x x x

x x x

x x x x x x

x x x

x x

mcm x x x x

x x x

− = −

= + −

− − = − −

= − +

= ⋅

⋅ + − −

⇒ − −

23. 23. 23. 23. 23. ( )( )( )

( )

4 12 9 4 12 9

2 3

2 3 2 3

2 3

3 2 2 2 2

2

4 3 3

2 2 2 2

2 3 2

x x y xy x x xy y

x x y

x x y x x y

a x a x

mcm a x x y

− + = − +

= −

− = −

=

−

24. 24. 24. 24. 24. ( )

( )( )

9 45 3 5

12 3 2

8 2

3 2 5

72 5

2 2

2 2 2 2 2

3 3 3

2 3 3 2

3 2

x x x x

x y x y

x x

mcm x y x

x y x

− = −

= ⋅

=

⋅ −

⇒ −

25. 25. 25. 25. 25. ( )( )( )

( ) ( )

n x n y n x y

nx nxy ny n x xy y

n x y

n n

an an

mcm an x y x y

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

3 3

3 2 2 2

2 2

2 2

2

+ = +

+ + = + +

= +==

+ +

26. 26. 26. 26. 26. ( )( )

( )( )

( )( )( )

( ) ( )

4 24 36 2 6 9

2 3

2 8 8 2 4 4

2 2

6 6

3 2

8 2

8 3 2

3 2 2 2

2 2

3 2 2

2

3 2 2

2 3 2

2 2 2

x x x x x x

x x

x x x x x x

x x

x x x x x x

x x x

x x

mcm x x x

+ + = + +

= +

− + = − +

= −

+ − = + −

= + −

=

+ −

27. 27. 27. 27. 27. ( )( )

( )( )

( )( )( )( )

6 6 2 3 1

2 2 2 2 1

1 1 1

3 3

2 3 1 1

6 1 1

3 2 2

2 2

3 2

3 3

3 2

3 2

x x x x

x x x x

x x x x

x x

mcm x x x x

x x x x

+ = ⋅ +

− + = − +

+ = + − +

=

⋅ + − +

⇒ + − +

29. 29. 29. 29. 29. ( )( )( )

( ) ( )

5 5 5

12 24 12 2 3 2

2 3

6 2 3

4 2

2 2

5 2 3 60

3 4 3

2 2 2 2 2

2 2

2 2

2

2 2 3 2 2 3 2

ab b b a b

a ab b a ab b

a b

a b a b

b b

a a

mcm a b a b a b a b

− = −

− + = ⋅ − +

= ⋅ −

= ⋅

==

= ⋅ ⋅ − ⇒ −

28. 28. 28. 28. 28. ( ) ( ) ( )( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

ax a bx b a x b x a b x

a ab b a b

xy xy

x x x x

mcm x y a b x x y a b x

− + − = − + − = + −

+ + = +

=

− = −

⋅ + − ⇒ + −

1 1 1

2

4 2

3 3 3 1

2 3 1 12 1

2 2 2

2 2 2

3 2 2

2 2 2 2 2 2 2

30. 30. 30. 30. 30. ( )( )( )

( )( ) ( )

14 14 7 2 1

2 1 1

7 7 7 1

28 7 2

1 1

28 1 1

2 2

2 2

2

2 2

2 2

x x

x x x

x x

x x

x x

mcm x x x

+ = ⋅ +

+ + = +

+ = +

= ⋅

+ = +

+ +

EJERCICIO 117

1. 1. 1. 1. 1. ( )( )( )( )

( )

6 6 2 3 1

3 3 3 1

2 3 1 1

6 12

x x

x x

mcm x x

x

− = ⋅ −

+ = +

⋅ − +

⇒ −

2. 2. 2. 2. 2. ( )( )( )

( )( )( )

( )

10 40 5 2 4

5 2 2 2

5 10 5 2

5 2 2 2

10 4

2 2

2

x x

x x

x x

mcm x x

x

− = ⋅ −

= ⋅ + −

+ = +

⋅ + −

⇒ −

3. 3. 3. 3. 3. ( )( )( )

( )( )( )

x y x y x y

x x y x x y

mcm x x y x y

x x y

2 2

3 2 2

2

2 2 2

4 2 2

2 2

2 2

4

− = + −

+ = +

+ −

⇒ −

4. 4. 4. 4. 4. ( )( )

( )

x x x

a x a a x

mcm a x

2 2

2 2 2

2 2

6 9 3

3 9 3 3

3 3

− + = −

− = −

−

5. 5. 5. 5. 5. ( )( )( )

( )( )

4 12 9 2 3

4 9 2 3 2 3

2 3 2 3

2 2 2

2 2

2

a ab b a b

a b a b a b

mcm a b a b

− + = −

− = + −

+ −

6. 6. 6. 6. 6. ( )( )( )

( )

a a b ab a a ab b

a a b

a a b a a b

mcm a a b

3 2 2 2 2

2

3 2 2

2 2

2 2+ + = + +

= +

+ = +

+

7. 7. 7. 7. 7. ( )( )( )( )

( )( )( )( )

2 6 8 2 3 4

2 4 1

3 12 3 4

2 3 4 1

6 4 1

2 2bx bx b b x x

b x x

ax a a x

mcm b a x x

ab x x

+ − = + −

= + −

+ = +

⋅ + −

⇒ + −

8. 8. 8. 8. 8. ( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

x x x x

x x x x

x x x

mcm x x x x

x x x

2

3 2

2

2 15 5 3

25 25

5 5

5 5 3

25 3

+ − = + −

− = −

= + −

+ − −

⇒ − −

9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( )( )( )

( )( )

x x

x x x

mcm x x

− = −

− = + −

+ −

1 1

1 1 1

1 1

2 2

2

2

10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( )

( )( )

x x

x x

mcm x x

+ = +

+ = +

+ +

1 1

1 1

1 1

2 2

2 2

2 2

11. 11. 11. 11. 11. ( )( )( ) ( )

( ) ( )

x y x y x xy y

x y x y

mcm x y x xy y

3 3 2 2

3 3

3 2 2

+ = + − +

+ = +

+ − +

12. 12. 12. 12. 12. ( )( )( ) ( )

( ) ( )

x y x y x xy y

x y x y

mcm x y x xy y

3 3 2 2

3 3

3 2 2

− = − + +

− = −

− + +

13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( )

( )( )[ ]( )( )

( )( )( )( )( )

4 7 2 4 7 4 8

4 8 4 1 4

2 4 1

3 10 5 2

2 4 1 5

2 2

2

x x x x

x x

x x

x x x x

mcm x x x

− − = − −

= − + ÷

= − +

+ − = + −

− + +

14. 14. 14. 14. 14. ( )( )( )( )

( )( )( )

a a a a

a a a a

mcm a a a

2

2

30 6 5

3 18 6 3

6 3 5

+ − = + −

+ − = + −

+ − −

15. 15. 15. 15. 15. ( )( )( )

( ) ( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

x x x x x x

x x x

x x x x x x

x x

x x x

mcm x x x x

x x x

4 3 2 2 2

2

3 2 2 2

2

2

2 2

2 15 2 15

5 3

9 5 45 9 5 9

5 9

5 3 3

5 3 3

5 9

+ − = + −

= + −

− + − = − + −

= + −

= + + −

+ + −

⇒ + −

16. 16. 16. 16. 16. ( )( )( )( )( )

( )( )( )( )

x x x x

x x x x

ax ax ax ax x x

mcm ax x x x x

6 3 3 3

2 3

4 3 2 2 2

2 2 3

4 32 8 4

2 2 4 4

2 4 2 4

2 2 4 4

− − = − +

= − + + +

+ + = + +

− + + +

17. 17. 17. 17. 17. ( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

12 2 3

8 2

2 3 24

2 2 2

2 3 2

3 2 2

x y x y x y

x y x y

mcm x y x y x y x y

− = ⋅ + −

− = −

⋅ + − ⇒ + −

18. 18. 18. 18. 18. ( ) ( )( ) ( )

( )( )

5 5

10 5 2

10

2 2

2 2 2 2

2 2 2

x y x y

x y x y

mcm x y x y

+ = +

+ = ⋅ +

+ +

19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

6 2 3

4 2

2 3

12

3 3

2 3 3 2 2 2 2

2 2 3 2 2

2 3 2 2

a m n a m n

a b m n a b m n m mn n

mcm a b m n m mn n

a b m n m mn n

+ = ⋅ +

+ = + − +

⋅ + − +

⇒ + − +

20. 20. 20. 20. 20. ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

ax m n ax m n

x m n x m n m mn n

mcm ax m n m mn n

− = −

− = − + +

− + +

3 3

3 3 3 3 2 2

3 3 2 2

21. 21. 21. 21. 21. ( )( )

( ) ( )( )( )( ) ( )

2 2 2 1

3 3 3 1

1 1 1

2 3 1 1 6 1

2

2

4 2 2 2 2

2 2 2

a a a a

a a a a

a a a a a a a

mcm a a a a a

+ = +

− = −

− = − = + −

⋅ + − ⇒ −

22. 22. 22. 22. 22. ( )( )

( )( )( )( ) ( )

x x x x

x x x x

x x x

mcm x x x x x

2

3 2 2

2

2 2 2

2 2

2 2

4 2 2

2 2 4

+ = +

− = −

− = + −

− + ⇒ −

23. 23. 23. 23. 23. ( )( )( )( )( )( )

( )( )( )

x x x x

x x x x

x x x x

mcm x x x

2

2

2

2 2 1

4 3 3 1

6 3 2

2 1 3

+ − = + −

− + = − −

− − = − +

+ − −

24. 24. 24. 24. 24. ( )( ) ( )

( )( )[ ] ( )( )( ) ( )

( )( )[ ] ( )( )( ) ( )( )

4 12 9 2 3

3 14 8 3 14 3 24

3 12 3 2 3 4 3 2

6 13 6 6 13 6 36

6 9 6 4 32 2 3 3 2

4 2 3 3 2

2 2

2 2

2 2

2

+ + = +

+ + = + +

= + + ÷ = + +

+ + = + +

= + + ÷ ⋅ = + +

+ + +

a a a

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

mcm a a a

25. 25. 25. 25. 25. ( )( )

( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )

10 10 5 2 1

15 15 5 3 1

5 5 5 1 5 1 1

5 2 3 1 1 1 30 1 1

2 2

2 2

2 2 2

x x

x x

x x x x

mcm x x x x x

+ = ⋅ +

+ = ⋅ +

− = − = + −

⋅ ⋅ + + − ⇒ + −

26. 26. 26. 26. 26. ( ) ( )( )( )( )( )

( )( )( ) ( )( )

ax bx ay by x a b y a b

x y a b

x xy x x y

x xy x x y

mcm x x y x y a b x x y a b

− + − = − + −

= + −

+ = +

− = −

+ − − ⇒ − −

2 2 2 2

2

2 2

2

2

2 2

27. 27. 27. 27. 27. ( )( )

( ) ( )( )( )( ) ( )

4 4 2

6 6 2 3

15 15 5 3 5 3

2 3 5 60

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

a b ab ab a b

a b a b

a b a b a b a b

mcm ab a b a b ab a b

+ = +

− = ⋅ −

− = ⋅ − = ⋅ + −

⋅ ⋅ + − ⇒ −

28. 28. 28. 28. 28. ( )( )( )( )( )

( )( )( )

x x x

x x x x

x x

mcm x x x x

2

3 2

2

25 5 5

125 5 5 25

2 10 2 5

2 5 5 5 25

− = + −

− = − + +

+ = +

+ − + +

29. 29. 29. 29. 29. ( )( )

( )( )( )

( ) ( )

a b a b ab ab a ab b

ab a b

a ab b a b a b

ab b b a b

mcm ab a b a b

3 2 2 3 2 2

2

2 2

2 3 2

2 2

6 9 6 9

3

2 3 3

3

− + = − +

= −

− − = − +

+ = +

− +

30. 30. 30. 30. 30. ( )( )

( ) ( )( )( )( ) ( )

2 2 2

4 4 2

6 6 2 3 2 3

2 3 12

2

2 2

3 3 2 2

2 2 2

m mn m m n

mn n n m n

m n mn mn m n mn m n m n

mcm mn m n m n mn m n

+ = +

− = −

− = ⋅ − = ⋅ + −

⋅ + − ⇒ −

31. 31. 31. 31. 31. ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

20 2 5

15 5 3

12 2 3

2 5 3 60

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

x y x y x y

x y x y

x y x y

mcm x y x y x y x y

− = ⋅ + −

− = ⋅ −

+ = ⋅ +

⋅ ⋅ + − ⇒ + −

32. 32. 32. 32. 32. ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

ax ax a a x x a x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x x

mcm ax x x x

2 2

3 2 2 2

4 3 2 2 2 2

2 2

5 14 5 14 7 2

14 49 14 49 7

7 18 7 18 9 2

7 2 9

+ − = + − = + −

+ + = + + = +

+ − = + − = + −

+ − +

33. 33. 33. 33. 33. ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 12 18 2 6 9 2 3

3 27 3 9 3 3 3

5 30 45 5 6 9 5 3

2 3 5 3 3 30 3 3

3 2 2 2

4 2 2 2 2

3 2 2 2

2 2 2 2 2 2

x x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x x

mcm x x x x x x

− + = − + = −

− = − = + −

+ + = + + = +

⋅ ⋅ + − ⇒ + −

34. 34. 34. 34. 34. ( ) ( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( ) ( )

3 3 3 1 3 1 1

6 6 2 3 1

12 12 2 3 1

9 9 3 1

2 3 1 1 1

36 1 1 36 1

2 2

2 2 2

2

2 2 2

2 2 4

− = − = + −

+ = ⋅ +

+ = ⋅ +

− = −

⋅ + + −

⇒ + − = −

a a a a

a a

a a

a a

mcm a a a

a a a

35. 35. 35. 35. 35. ( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

2 3 2 2 3 2

135 40 5 27 8 5 3 2 9 6 4

12 8 2 3 2

5 2 3 2 9 6 4

20 3 2 9 6 4

2 2

3 3 2

2

2 2 2

2 2

n n

n n n n n

n n

mcm n n n

n n n

− = −

− = − = − + +

− = −

⋅ − + +

⇒ − + +36. 36. 36. 36. 36. ( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( )( )( )( )

( ) ( )

( )( )[ ]( )( )

( )( )( )( )( ) ( )( )

12 8 3 2 4 3 2 3 2

4 1 3 2

48 3 32 2 16 3 2 3 2

16 1 3 2

4 1 4 1 3 2

6 5 6 6 56 36

6 9 6 4 3 2

2 3 3 2

4 1 4 1 3 2 2 3

16 1 3 2 2 3

2 2 2

2

2 2

2

mn m n m n n

m n

m n n m m n n

m n

m m n

n n n n

n n

n n

mcm m m n n

m n n

+ − − = + − +

= − +

− + − = + − +

= − +

= + − +

− − = − −

= − + ÷ ⋅

= − +

+ − + −

⇒ − + −

37. 37. 37. 37. 37. ( )( ) ( )[ ]( )( )[ ]( )( )

( )( ) ( )[ ]( )( )[ ]( )

( )

15 16 15 15 16 15

15 16 15 225

15 25 15 9 5 3

3 5 5 3

18 60 50 2 9 30 25

2 9 30 9 225

2 9 15 9 15 3 3

2 3 5

12 20 2 3 5

2

2 5 2 4 2 3 2 3 2

2 3 2

2 3

2 3

3 2 2

2

2

3 2 2 2

2

a x a x a x a x x x

a x x x

a x x x

a x x x

x x x x x x

x x x

x x x

x x

ax ax ax x

mcm a

+ − = + −

= + −

= + − ÷ ⋅

= + −

+ + = + +

= + +

= + + ÷ ⋅

= +

+ = +

= ( ) ( )( ) ( )

2 3 2

2 3 2

3 5 5 3

4 3 5 5 3

x x x

a x x x

+ −

= + −

38. 38. 38. 38. 38. ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )

16 8 4

16 8 4 2 2

16 4 4 4 2 2

4 2 2

2 4 2 2

2 4 2 2 2 2

4 2 2 2

2 2 2 2

+ + = +

− + = − = − +

− = + − = + + −

+ + −

x x x

x x x x x

x x x x x x

mcm x x x

39. 39. 39. 39. 39.

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

1 1

1 1

1 1 1

1 1 1

2 2

2 2

3 2

2 2 2

+ = +

+ = +

+ = + − +

+ − + +

a a

a a

a a a a

mcm a a a a

40. 40. 40. 40. 40. ( ) ( )

( )( )[ ] ( )( )( ) ( )

( )( )[ ] ( )( )( ) ( )

( )( )[ ] ( )( )( )( )( )

8 10 3 8 10 8 24

8 12 8 2 4 2 2 3 4 1

20 13 2 20 13 20 40

20 8 20 5 4 5 5 2 4 1

10 11 6 10 11 10 60

10 15 10 4 5 2 2 3 5 2

2 3 5 2 4 1

2 2

2 2

2 2

n n n n

n n n n

n n n n

n n n n

n n n n

n n n n

mcm n n n

− − = − −

= − + ÷ ⋅ = − +

+ + = + +

= + + ÷ ⋅ = + +

− − = − −

= − + ÷ ⋅ = − +

− + +

41. 41. 41. 41. 41.

( )( )[ ]( )( )

( ) ( )

( )( )[ ]( )( )

( ) ( )

( )( )[ ]( )( )( )

6 2 36 6 12

6 4 6 3 2 3

3 2 2

15 22 8 15 22 15 120

15 12 15 10 3 5

5 4 3 2

10 3 4 10 3 10 40

10 8 10 5 2 5

5 4 2

3 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

a ab b a ab b

a b a b

a b a b

a ab b a b a b

a b a b

a b a b

a ab b a b a b

a b a b

a b a b

mcm a b a

+ − = + −

= + − ÷ ⋅

= + −

+ + = + +

= + + ÷ ⋅

= + +

+ − = + −

= + − ÷ ⋅

= + −

+ −( )( )b a b5 4+

42. 42. 42. 42. 42. ( ) ( )

( )( )[ ]( )( )

( ) ( )

( )( )[ ]( )( )

( ) ( )

( )( )[ ]( )( )

( )( )

12 5 2 12 5 12 24

12 8 12 3 4 3

3 2 4

15 13 2 15 13 15 30

15 10 15 3 5 3

3 2 5

20 20 20 20

20 5 20 4 5 4

4 5

4 5 3

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

x xy y x y x y

x y x y

x y x y

x xy y x y x y

x y x y

x y x y

x xy y x y x y

x y x y

x y x y

mcm x y x y x

+ − = + −

= + − ÷ ⋅

= + −

+ + = + +

= + + ÷ ⋅

= + +

− − = − −

= − + ÷ ⋅

= − +

− + ( )+ 2y

43. 43. 43. 43. 43. ( )( )

( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )

6 6 2 3 1

3 3 3 1

1 1 1 1 1 1

2 3 1 1 1

6 1 1

2 2 2 3 2 2

2 2 2 2

4 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

b x b x b x x

a x a x a x x

x x x x x x

mcm a b x x x x

a b x x x

+ = ⋅ +

− = −

− = + − = + + −

⋅ + + −

⇒ + −

44. 44. 44. 44. 44. ( ) ( )( )( )( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )( )

x x x x x x

x x

x x x x

a x a x a x a x x x

a x x x

x x x x x x

mcm a x x x x x

4 3 3

3

2

2 4 2 3 2 2 2 2 2

2 2

4 3 2 2 2

2 2 2

8 4 32 4 8 4

8 4

2 2 4 4

2 8 2 8

4 2

2 4 8 2 2 4

2 2 2 4 4

+ − − = − + −

= + −

= + − + −

− − = − −

= − +

− + = − +

+ − + −

45. 45. 45. 45. 45. ( )( )( )( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( ) ( )( )( )

x x x x x x

x x x

x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x

x

x x x x

x x x x

x

4 2 4 2 2 2

4 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2

2

2 2

2

10 9 10 9 4 4

6 9 4

3 4

2 3 2 3

3 1 3 1

4 3 4 3 1 1

4 4 1

2 1

2 1 2 1 3 1

4 3 4 3 1 1

− + = − + + −

= − + −

= − −

= − − + −

= − + + −

+ + = + + + −

= + + −

= + −

= + + + − = + +

− + = − + + −

= −( )( )( )( ) ( )( )

( ) ( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( ) ( )( )

4 4 1

2 1

2 1 2 1 1 3

9 9 1 9 1

9 1

3 3 1

3 3 1 1 9 1

2

3 2 2

2

2 2

x

x

x x x x

x x x x x x

x x

x x x

mcm x x x x x x

+ −

= − −

= − + − − = − −

− + − = + − +

= − +

= + − +

+ − + − ⇒ − −

46. 46. 46. 46. 46. ( )( )( )( )( )( )

( ) ( )( )

1 1 1

1 1

1 1 1

1 2 1

1 1 1

3 2

2

2 2

2 2

− = − + +

− = −

− = + −

− + = −

− + + +

a a a a

a a

a a a

a a a

mcm a a a a

47. 47. 47. 47. 47. ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )

a ab b a b a b ab a b

b a ab b a a b a b a b

a b a b a b a b a b a b a b

a b ab ab a b

mcm a b a b a b

− = − = −

+ = + = +

− = − = + −

− = −

+ −

2 2 22 2

2 2 22 2

4 2 2 4 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

48. 48. 48. 48. 48. ( )( )( )( )( )( )

( ) ( )( )

m n m n m mn n

m n m n m n

m mn n m n

m mn n m mn n

mcm m n m mn n m n

3 3 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

27 3 3 9

9 3 3

6 9 3

3 9 3 9

3 3 9 3

− = − + +

− = − +

− + = −

+ + = + +

− + + +

EJERCICIO 118

1. 1. 1. 1. 1. aab

ab

2

=

2. 2. 2. 2. 2. 2

8

1

42

a

a b ab=

3. 3. 3. 3. 3. x y

x y xy

2 2

3 3

1=

4. 4. 4. 4. 4. ax

x y

a

x y

3

5 24 4=

5. 5. 5. 5. 5. 6

32

2 33m n

mmn=

6. 6. 6. 6. 6. 9

24

3

8

2 3

2 3 4 2

x y

a x y a xy=

7. 7. 7. 7. 7. 824 3

4 3 2

2 2

3m n xmn x

m n=

8. 8. 8. 8. 8. 12

32

3

8

3 4 5

2

2 2 4x y z

xy z

x y z=

9. 9. 9. 9. 9. 12

601

5

2 3

3 5 6 2 6

a ba b x ab x

=

10. 10. 10. 10. 10. 2128

34

3 6

4 2 2

4

3

mn xm n x

nxm

=

11. 11. 11. 11. 11. 4226

2113

2 3

4 5 2 2

a c na c m

na c m

=

12. 12. 12. 12. 12. 7

34

1

2

3 4 6

7 8 10 4 4 4

x y z

x y z x y z=

13. 13. 13. 13. 13. 30

4523

6 2

3 4 3

2 2

3 3

x ya x z

x ya z

=

14. 14. 14. 14. 14. a ba b c a b c

5 7

8 9 3 231

3=

15. 15. 15. 15. 15. 2163 3

8 10 12

4 2

4 9 10a b ca bc

a b c=

16. 16. 16. 16. 16. 54

63

6

7

9 11 13

10 12 15 2

x y z

x y z xyz=

17. 17. 17. 17. 17. 1575 5

12 15 20

11 16 22 2

a b ca b c

abc

=

18. 18. 18. 18. 18. 75

1003

4

7 5

3 12 3

4

7 3

a ma m n

am n

=

EJERCICIO 119

1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )3

2 2

3

2

3

22 3 2

ab

a x a

ab

a x a

b

a x a+=

+=

+

2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )xy

x y xy

xy

xy x y x y3 3 3

1

32 2−

=−

=−

3. 3. 3. 3. 3. ( )( )

2 4

3 6

2 2

3 2

2

3

ax bx

ay by

x a b

y a b

x

y

++

=++

=

4. 4. 4. 4. 4. ( )( )x x

x

x x

xx

2 2 3

3

3 1

31

− −−

=− +

−= +

5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( ) ( )10

80 8 8

2 3

3 2

2 3

2

3a b c

a a b

a b c

a a b

b c

a b−=

−=

−

6. 6. 6. 6. 6. ( )( )

( )x

ax a

x x

a x

x

a

2 4

5 10

2 2

5 2

2

5

−+

=+ −

+=

−

7. 7. 7. 7. 7.

( ) ( )( )( )

( )( )[ ]( )( )

( )( )( )( )

3 4 15

5 6

3 4 3 45

3 2

3 9 3 5 3

3 2

3 3 5

3 2

3 5

2

2

2

2

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x

− −− +

=− −

− −

=− + ÷

− −=

− +− −

=+

−

8. 8. 8. 8. 8. ( )( )

15 45

10 30

15 3

10 3

3

2

2 2

2 2 2 2

2

2 2

a bn a bm

a b n a b m

a b n m

a b n m b

−−

=−−

=

9. 9. 9. 9. 9. ( )( )

( )x y

x xy y

x y x y

x y

x y

x y

2 2

2 2 22−

+ +=

+ −

+=

−+

10. 10. 10. 10. 10. ( )

( )( )3 15

25

3 5

5 5

3

5

2

2

x y xy

x

xy x

x x

xy

x

+−

=+

+ −=

−

11. 11. 11. 11. 11. ( )

( )( )a ab b

a b

a b

a b a ab b

a b

a ab b

2 2

3 3

2

2 2 2 2

4 4

8

2

2 2 4

2

2 4

− +−

=−

− + +=

−+ +

12. 12. 12. 12. 12. ( )

( )( )( )( )( )

x x x

x x

x x x

x x

x x

x x

x

x

3 2

3

2

2

4 21

9

4 21

9

7 3

3 3

7

3

+ −−

=+ −

−=

+ −+ −

=++

13. 13. 13. 13. 13.

( ) ( )( ) ( )

( )( )[ ]( )( )[ ]

( )( )( )( )

6 5 6

15 7 2

6 5 6 36

15 7 15 30

6 9 6 4 32

15 10 15 3 5 3

2 3 3 2

3 2 5 1

2 3

5 1

2

2

2

2

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x

+ −− −

=+ −− −

=+ − ÷ ⋅

− + ÷ ⋅=

+ −− +

=++

14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( ) ( )( )a

a a a

a

a a a

a

a a a

3

4 3

3

3

3

3

1

1

1

1 1

1

1 1

1

1

+− + −

=+

− + −=

++ −

=−

15. 15. 15. 15. 15.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )

2 4 2

4 2 8

2 2 2

2 4 2

2 2

4 2

2

4

ax ay bx by

ax a bx b

x a b y a b

x a b a b

x y a b

x a b

x y

x

+ − −− − +

=− + −− − −

=+ −− −

=+−

16. 16. 16. 16. 16.

( )( )( )

( )( )( ) ( )

a ab b

a x a bx ab x

a b a b

ax a b b

a b a b

ax a b

a b

ax a b

2 2

3 2 2

2 2 2

6

6 9

3 2

6 9

3 2

3

2

3

− −− +

=− +

− +=

− +

−=

+−

17. 17. 17. 17. 17. ( )( )m n

m n

m n

m n m n m n

2 2

4 4

2 2

2 2 2 2 2 2

1+−

=+

+ −=

−

18. 18. 18. 18. 18. ( )( )( )

( ) ( )x y

x y

x y x xy y

x y

x xy y

x y

3 3

3

2 2

3

2 2

2

+

+=

+ − +

+=

− +

+

19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( )

( )( )m n

m n

m n

m n m n

m n

m n

−−

=−

+ −=

−+

2

2 2

2

20. 20. 20. 20. 20. ( ) ( )

( )( )( )a x

a x

a x

a x a ax x

a x

a ax x

−−

=−

− + +=

−+ +

3

3 3

3

2 2

2

2 2

21. 21. 21. 21. 21. ( )( )( )( )

a a

a a

a a

a a

a

a

2

2

20

7 10

5 4

5 2

4

2

− −− +

=− +− −

=+−

22. 22. 22. 22. 22. ( ) ( )( )[ ]

( ) ( )1

2 1

1 1

11

2 2

2

2

2

2−+ +

=+ −

+= −

a

a a

a a

aa

23. 23. 23. 23. 23. ( )

( )( )a b a b

a b

a b a b

a b a b

a b

a b

4 2 2 4

4 4

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

−−

=−

+ −=

+

24. 24. 24. 24. 24. ( )( )

( )( )x y

x y

x y x y

x y x xy y

x y

x xy y

2 2

3 3 2 2 2 2

−−

=+ −

− + +=

++ +

25. 25. 25. 25. 25.

( )( )

( )( )

24 8

36 24 4

8 3

4 9 6

2 3

3

2

3

3 2 2

4 3 2 2

2

2 2 2 2

a b a b

a a b a b

a b a b

a a ab b

b a b

a b

b

a b

++ +

=+

+ +=

+

+=

+

26. 26. 26. 26. 26.

( )( )( )

( )( )( )( )

( )

n n

n n

n n

n n

n n n

n n

n n

n

3

2

2

5 6

1

6 1

1 1

6 1

1

6

−− −

=−

− +=

+ −− +

=−

−

27. 27. 27. 27. 27.

( )( )( )

8 1

8 4 2

2 1 4 2 1

2 4 2 1

2 1

2

3

3 2

2

2

n

n n n

n n n

n n n

n

n

+− +

=+ − +

− +=

+

28. 28. 28. 28. 28. ( )( )

( )( )( )( )

a b c

a b c

a b c a b c

a b c a b c

a b c

a b c

2 2

2 2

− −

+ −

=+ − − ++ − + +

=− ++ +

29. 29. 29. 29. 29. ( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )

a b c d

a c b d

a b c d a b c d

a b c d a b c d

a b c d

a b c d

+ − −

+ − −

=+ + − + − ++ + − − + +

=+ − +− + +

2 2

2 2

30. 30. 30. 30. 30. ( )

( )3 9

6 9

3 3

3

3

3

3 2

2

2

2

2x x

x x

x x

x

x

x

++ +

=+

+=

+

31. 31. 31. 31. 31. ( )

( )( )( )

( )

10

6 6 6

10

6

5

3

2 3 3

4 3 2 2

2 2 2

2 2 2

a a b

a a b a b

a a b a ab b

a a ab b

a b

+− +

=+ − +

− +=

+

32. 32. 32. 32. 32. ( )( )

( )( )

a a ab

x a ab

a a b

ax a b

a

x

4 8

3 6

4 2

3 2

4

3

2

2

2−−

=−−

=

33. 33. 33. 33. 33. ( )

( )x x

x x

x x

x

x

x

3 2

2

2

2

26

12 36

6

6 6

−− +

=−

−=

−

34. 34. 34. 34. 34. ( )

( )( )

( )( )( )

( )

x y

x x y

x y

x x y

x y

x x y x xy y

x y

x x xy y

−−

=−

−

=−

− + +

=−

+ +

4

64

4

64

4

4 4 16

4

4 16

2

5 2 3

2

2 3 3

2

2 2 2

2 2 2

35. 35. 35. 35. 35. ( )

( )x xy

x x y y

x x y

x y

x

x y

3 2

4 2 2 4

2 2

2 2 2 2 2

3

6 9

3

3 3

−− +

=−

−=

−

36. 36. 36. 36. 36.

( )( )( )

m n m n mn

m

mn m m

m m m

mn

m

3 2

3

2

2

3 9

27

3 9

3 3 9 3

+ +−

=+ +

− + +=

−

37. 37. 37. 37. 37. ( )( )( )( )

x x

x

x x

x x

x

x

4 2

4

2 2

2 2

2

2

8 15

9

5 3

3 3

5

3

− +−

=− −+ −

=−+

38. 38. 38. 38. 38. ( )( )( )( )

a a

a a

a a

a a

a

a

4 2

4 2

2 2

2 2

2

2

6 7

8 9

7 1

9 1

7

9

+ −+ −

=+ −+ −

=++

39. 39. 39. 39. 39.

( ) ( )( ) ( )

( )( )[ ]( )( )[ ]( )( )( )( )

3 19 20

6 17 12

3 19 3 60

6 17 6 72

3 15 3 4 3

6 8 6 9 2 3

5 3 4

3 4 2 3

5

2 3

2

2

2

2

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x

+ ++ +

=+ ++ +

=+ + ÷

+ + ÷ ⋅

=+ ++ +

=++

40. 40. 40. 40. 40.

( ) ( )( )( )

( )( )[ ]( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

( )( )

4 15 4

8 20

4 15 4 16

10 2

4 16 4 1 4

10 2

4 4 1

10 2

2 2 4 1

10 2

2 4 1

10

4 2

2

2 2 2

2 2

2 2

2

2

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a a

a a

a a

a

− −− −

=− −

− +

=− + ÷

− +

=− +− +

=+ − +

− +

=− +

−

41. 41. 41. 41. 41.

( )( )

( )( )( )

( )

125

2 20 50

125

2 10 25

5 25 5

2 5

5 25

2 5

4

3 2

3

2

2

2

2

a a

a a a

a a

a a a

a a a

a

a a

a

++ +

=+

+ +

=+ − +

+

=− +

+

42. 42. 42. 42. 42.

( )( )( )( )( )( )( )

a n a

an an a

a n

a n n

a n n

n n

a n

n

2 2 2

2

2 2

2

36

30

36

30

6 6

6 5

6

5

−+ −

=−

+ −

=+ −

+ −

=−

−

43. 43. 43. 43. 43.

( ) ( )( )( )( )( )[ ]( )( )

( )( )( )( )

3 5 8

3 5 3 24

3 8 3 3 3

3 8

3 8

2 2

3 3

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

m mn n

m n

m n m n

m n m mn n

m n m n

m n m mn n

m n m n

m n m mn n

m n

m mn n

+ −−

=+ −

− + +

=+ − ÷

− + +

=+ −

− + +

=+

+ +

44. 44. 44. 44. 44.

( )( )

15 18

20 24

3 5 6

4 5 6

3

4

3 2

2 2 2

2

2

a b a b

a b ab

a b a

ab a

a

b

−−

=−−

=

45. 45. 45. 45. 45.

( )( )

( )( )( ) ( )

9 24 16

9 16

3 4

9 16

3 4

3 4 3 4

3 4

3 4

2

4 2

2

2 2

2

2 2

x x

x x

x

x x

x

x x x

x

x x

− +−

=−

−

=−

+ −=

−+

46. 46. 46. 46. 46.

( )( )

( )( )( ) ( )[ ]

( )( )( )( )[ ]( )( )( )( )

( )( )

16 25

12 7 10

16 25

12 7 10

4 5 4 5

12 7 12 120

4 5 4 5

12 15 12 8 3 4

4 5 4 5

4 5 3 2

4 5

3 2

2

3 2

2

2

2

a x x

a a a

x a

a a a

x a a

a a a

x a a

a a a

x a a

a a a

x a

a a

−− −

=−

− −

=+ −

− −

=+ −

− + ÷ ⋅

=+ −− +

=++

47. 47. 47. 47. 47.

( )( )

( )( )( )

( )

8

4 4

8

4 4

2 4 2

2

4 2

2

4 3

4 3 2 2

3 3

2 2 2

2 2

2

2 2

x xy

x x y x y

x x y

x x xy y

x y x xy y

x x y

x xy y

x x y

−− +

=−

− +

=− + +

−

=+ +

−

48. 48. 48. 48. 48.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )[ ]( )( )( )( )

3 4 6 8

6 5 4

3 2 4 2

6 5 6 24

3 4 2

6 8 6 3 2 3

3 4 2

3 4 2 1

2

2 1

2

2

an a bn b

n n

n a b a b

n n

n a b

n n

n a b

n n

a b

n

− − +− −

=− − −

− −

=− −

− + ÷ ⋅

=− −− +

=−

+

49. 49. 49. 49. 49.

( )( )( )( )( )( )( )

( )

x x

x x x

x x x x

x x x

x x x

x x x

x x

x

4 2

3 2

2 2

2

2

492 63

7 7

2 63

7 7

9 7

7

9

−+ −

=+ −

+ −

=+ −+ −

=+

+

50. 50. 50. 50. 50.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( )

( )( )

x x x y y

x x x y y

x x y x y

x x y x y

x x y

x x y

x x x

x x

x x

x

4 3

3 2

3

2

3

2

2

2

1

1

1 1

1 1

1

1

+ − −− − +

=− + −− − −

=+ −− −

=+ − +

+ −

=− +−

51. 51. 51. 51. 51.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )

2 6 33 3

2 3 3

3 3

2 1 3

1 3

2 11

3 2

3 2

2

2

2

2

2

2

x x x

x x x

x x x

x x x

x x

x x

x

x

+ − −+ + +

=+ − +

+ + +

=− +

+ +=

−+

52. 52. 52. 52. 52.

( ) ( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

( )( )( )

a m am a n an

a a a

am a an a

a a a

a m n a

a a a

m n a a

a a a

m n a

a a

3 3

4 3 2

2 2

2 2

2

2

4 4

4 12

4 4

4 12

4

6 2

2 2

6 2

2

6

− + −− −

=− + −

− −

=+ −− +

=+ + −

− +

=+ −

−

53. 53. 53. 53. 53. ( )( )( )( )( )( )

4 3

2 9

2 3 2 3

2 3 2 3

2 3

2 3

2 2

2

a x

a x

a x a x

a x a x

a x

a x

− −

+ −

=+ − − ++ + + −

=− ++ +

54. 54. 54. 54. 54.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( ) ( )

( )( )( )( )

( )

m am n an

a a a

m a n a

a a a

m n a

a a a a a

m n a

a a a

n

a a

m n

a

− + −− + −

=− + −

− − −

=+ −

− + + − −

=+ −

− − +

=+

− +=

+

−

1 3 3

1 1

1 3 1

1

1 1 3 1

1

1 1 2

2 1 1

2 3

3

2

2

2 2

m

55. 55. 55. 55. 55.

( )( )

( ) ( )[ ]

( )( )[ ]

( )( ) ( )

6 3

42 9 15

3 2 1

3 14 3 5

2 1

14 3 14 70

2 1

14 10 14 7 2 7

2 1

7 5 2 1

1

7 5

2

5 3

2

4 2

2

2 2 2

2

2 2

2

2 2 2

x

x x x

x

x x x

x

x x x

x

x x x

x

x x x x x

+− −

=+

− −

=+

− −

=+

− + ÷ ⋅

=+

− +=

−

56. 56. 56. 56. 56.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )

a a a

a a a

a a a

a a a

a a

a a

a

a

2 3

2 3

2

2

2

2

2

2

11

1 1

1 1

1 1

1 1

11

− − ++ − −

=− − −− + −

=− −+ −

=−+

57. 57. 57. 57. 57.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )( )( )[ ]

( )( )( )( )

( )

8 12 6

6

6 2 8

6 6 6

6 2 2 4 2

6 3 6 2 3 2

2 4 4

2 3

2

3

3 2 2 3

2 2

3 3

2 2

2 2

2 2 2

x x y xy y

x xy y

xy x y x y

x y x y

xy x y x y x xy y

x y x y

x y x xy y

x y x y

x y

x y

+ + ++ −

=+ + ++ −

=+ + + − +

+ − ÷ ⋅

=+ + +

+ −=

+−

58. 58. 58. 58. 58.

( )( )( )

8 125

25 20 4

2 5 4 10 25

2 5

4 10 25

2 5

3

2

2

2

2

n

n n

n n n

n

n n

n

−− +

=− + +

−

=+ +

−

59. 59. 59. 59. 59.

( )( )

( )( )( )( )

6

15 2

6

2 15

3 2

5 3

2

5

2

2

2

2

− −+ −

=− + −

− − −

=+ −− +

=−−

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x

60. 60. 60. 60. 60.

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )[ ]( )( )[ ]

( )( )( )( )

3 2 8

4 5 6

8 2 3

6 5 4

8 2 8 24

6 5 6 24

8 6 8 4 2 4

6 8 6 3 2 3

4 3 2 1

3 4 2 1

4 3

3 4

2

2

2

2

2

2

+ −+ −

=− − −− − −

=− −− −

=− + ÷ ⋅

− + ÷ ⋅

=− +− +

=−−

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x

61. 61. 61. 61. 61.

( )( )( )

m n mn

mn m n

mn mn

mn

mn

mn

2 2

2 2

2

3 10

4 4

5 2

2

5

2

+ −− +

=+ −

−=

+−

62. 62. 62. 62. 62.

( ) ( )( )

( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )

x x y b x b y

b bx x

x x y b x y

b x

x b x y

x b

x b x b x y

x b

x b x y

x b

3 2 2 2

2 2

2 2

2

2 2

2

2

4 4

4 4

4

2

4

2

2 2

2

2

2

+ − −− +

=+ − +

−

=− +

−

=+ − +

−

=+ +

−

69. 69. 69. 69. 69.

( )( )( )( )( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

x x

x x x

x x x

x x

x x x

x x x

x x x

x x

x x

x x

x

x

3 2

2

2

3 2

2

2

2

2

3 4

1 3 0 4 2

2 2 4

1 1 2 0

2 2

2 2 1

2 1

8 12

1 1 8 12 2

2 2 12

1 1 6 0

2 6

2 3 2

2 3

2 1

2 3

1

3

+ −− −

− −−

= + + −

= + + −

= + −

+ − −− − −

−− −

= + − −

= + − +

= + −

⇒+ −

+ −=

−−

70. 70. 70. 70. 70.

( )( )( )( )( )( ) ( )

( )( )

( )( )( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

x x x

x x x

x x x

x x

x x x x

x x x

x x x x

x x x

x x

x x

3 2

2

2

4 3 2

3

2

2

2

2

8 12

1 1 8 12 2

2 2 12

1 1 6 0

2 6

2 3 2

2 3

2 7 20 12

1 2 7 20 12 2

2 0 14 12

1 0 7 6 0

2 7 6

1 0 7 6 2

2 4 6

1 2 3 0

2 2 2 3

2 3 1

2 3

2

− − +− −

−−

= − + −

= − + −

= − +

− − + −− − −

−−

− − +−

−−

= − − + −

= − + −

⇒− +

− +( )( )3 1

1

1

x

x

−

=−

63. 63. 63. 63. 63.

( )( )( ) ( )

( )( )( )( )

x x

x x y x y

x x

x x y x y

x x

x x y

x

x y

6 3

4 3

3 3

3

3 3

3

3

2

2 1

2 1

1

2

+ −− − +

=+ −− − −

=+ −− −

=+−

64. 64. 64. 64. 64. ( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )( )( )

x x x

x x x x

x x x x

x x x x

2 2

2 2

2 9

2 3 6

2 1 3 3

3 1 3 21

− − −− − + −

=− + + −− + + −

=

65. 65. 65. 65. 65. ( )( )( )( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( )[ ]

( )( )( ) ( )( )[ ]

( )( )( )( )( )

a a a a

a a a a

a a

a a a a

a a

a a a

a a

a a a

a

a

2 2

2 2

2 2

2

2

2

4 4 4 4 1

6 2 5 2

2 2 1

3 2 2 5 2 4

2 2 1

3 2 4 2 1 2

2 2 1

3 2 2 1

2 1

3

− + − ++ − − +

=− −

+ − − +

=− −

+ − − ÷

=− −

+ − −=

−+

66. 66. 66. 66. 66. ( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )

( )

x x x

x x x x

x x x x x

x x x x x

x

x x

3 3

4 3 2 2

2 2

2 2

2

3 1

1

3 1 1

1 1 1

3

1

− −+ + −

=− − + ++ + + −

=−+

67. 67. 67. 67. 67. ( )( )( )( )

( ) ( )[ ] ( )( )( ) ( )[ ] ( )

( )( ) ( )( )[ ]( ) ( )( )[ ]

( )( )( )( )( ) ( )( )

4 4 3 7 30

2 7 3 4 12 9

4 4 4 12 10 3

2 7 2 6 2 3

10 3 4 6 4 2 2 2

2 3 2 6 2 1 2

10 3 2 3 2 1

2 3 3 2 1

10

2 3

2 2

2 2

2

2 2

2

2

n n n n

n n n n

n n n n

n n n

n n n n

n n n

n n n n

n n n

n

n

+ − + −− + + +

=+ − + −

− + +

=+ − + − ÷ ⋅

+ − − ÷ ⋅

=+ − + −

+ − −=

++

68. 68. 68. 68. 68. ( )( )( )( )

( )( )( )( ) ( ) ( )[ ]( )( )( )( )

x y x y

x y x x y xy y

x y x y x y

x y x x y y x y

x y x y

x y x y

x y

x y

6 6

3 3 3 2 2 3

3 3 3 3

3 3 2 2

3 3

2 2

3 3

2 2

− +− + + +

=+ − +

− + + +

=+ ++ +

=++

71. 71. 71. 71. 71.

( )( )

( )( )( )

( )( )

( )( )

x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x

4 2

3 2

2

4 3 2

3 2

2

7 2 8

1 0 7 2 8 2

2 4 6 8

1 2 3 4 0

2 2 3 4

1 2 3 4 1

1 1 4

1 1 4 0

2 1 4

2 9 10 24

1 2 9 10 24 2

2 8 2 24

1 4 1 12 0

2 4 12

1 4 1 12 3

3 3 12

1 1 4 0

2 3

− − +− − −

− −− −

+ − − +− −

− −− −

+ − − −

− − + +− − −− −− −

+ − − +− −

− −− −

+ − ( )( )( )( )( )( )( )

− −

⇒+ − − −+ − − −

=−−

x

x x x x

x x x x

x

x

4

2 1 4

2 3 4

1

3

2

2

72. 72. 72. 72. 72.

( ) ( )( )( )( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )

a a a

a a a

a a

a a a a

a a a a a

a a a a a

a a a

5 3 2

2 3 3

2 3

2 2

5 4 3 2

4 3 2

2 3

1

1 1

1 1

1 1 1

2 6 8 5 6

1 2 6 8 5 6 1

1 1 7 1 6

1 1 7 1 6 0

1 7 6

1 1 7 1 6 1

1 0 7 6

1 0 7 6 0

1 7 6

1 0 7 6 1

1 1 6

1 1

− − +

= − − −

= − −

= − + + +

− − + + −− − −

− −− −

− − − + +− −

− −− −

− − −− − −

−− −

( ) ( )( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( ) ( )( )( )

( )( )

6 0

1 1 6

1 1 3 2

1 1 1

1 1 3 2

1

3 2

2 2

2

2 2

2

2

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

a a

a a

− + − −

= − + − +

⇒− + + +

− + − +

=+ +

− +

EJERCICIO 120

1. 1. 1. 1. 1. ( )( )

( )( )

4 4

6 6

4 1

6 1

4 1

6 1

2

3

−−

=−−

= −−−

= −x

x

x

x

x

x

2. 2. 2. 2. 2. ( )( )

a b

b a

a b

a b

2 2

2 2

2 2

2 21

−−

= −−−

= −

3. 3. 3. 3. 3. ( )( )( )( )( )

( )( )( )( )

m n

n m

m n m n

n m n m

m n m n

m n m n

m n

m n

2 2

2

−

−=

+ −− −

=+ −− −

=+−

4. 4. 4. 4. 4. ( )( )( )( )

( )( )( )( )

x x

x

x x

x x

x x

x x

x

x

2

2

12

16

4 3

4 4

4 3

4 4

3

4− −

−=

− +− +

= −− +− +

= −++

5. 5. 5. 5. 5.

( )( ) ( )( )

( )( )( )

( )( )

3 6

2 2

3 2

2

3 2

2

3 2

2

3

y x

mx my nx ny

y x

x m n y m n

y x

x y m n

x y

x y m n m n

−− − +

=−

− − −

=−

− −= −

−− −

= −−

6. 6. 6. 6. 6.

( ) ( )[ ]

( )( )( )( )

( )( )( )( )

2 9 5

10 3

2 9 2 10

3 10

2 10 2 1

5 2

5 2 1

5 2

2 1

2

2

2

2

2

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x

− −+ −

= −− −− −

= −− +− +

= −− +− +

= −+

+

7. 7. 7. 7. 7.

( )( )( )( )

( )( )( )( )

8

2 8

2 4 2

4 2

2 4 2

4 2

2 4

4

3

2

2 2 2

−+ −

=− + +

+ −= −

− + ++ −

= −+ +

+

a

a a

a a a

a a

a a a

a a

a a

a

8. 8. 8. 8. 8.

( )( )( ) ( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

a a

n an m am

a a

n a m a

a a

n m a

a a

m n a

a

m n

2 2

2 1

1 1

2 1

1

2 1

1

2

+ −− − +

=+ −

− − −=

+ −− −

=+ −− −

=+−

9. 9. 9. 9. 9. ( )( )

( )( )

4 4

5 10

2

5 2

2

5 2

2

5

2 22 2

x xy y

y x

x y

y x

x y

x y

x y− +−

=−−

= −−−

= −−

10. 10. 10. 10. 10.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )

( )( )( )( ) ( )( )

3 3

3 3

3

3

3

3

3

3

1

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

mx nx my ny

ny nx my mx

m x y n x y

m y x n y x

m n x y

n m y x

m n x y

m n x y

x y

x y x y x y

− − +− − +

=− − −

− − + −

=− −

− −=

− −− −

=−

+ −=

+

11. 11. 11. 11. 11. ( )

( )( )9 6

7 12

3

4 3

3

4

2

2

2− +− +

=−

− −=

−−

x x

x x

x

x x

x

x

12. 12. 12. 12. 12.

( )( )( )( )

( )( )( )( )

a b

b a

a b a b

b a b ab a

a b a b

a b b ab a

a b

b ab a

2 2

3 3

2 2

2 2 2 2

−−

=+ −

− + +

= −+ −

− + += −

++ +

13. 13. 13. 13. 13.

( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )

( )( )( )( )

3 3 6 6

2 2

3 6

2

3 2

2

3 2

23

ax bx a b

b a bx ax

x a b a b

b a x b a

x a b

x b a

x a b

x a b

− − +− − +

=− − −

− − −

=− −

− −=

− −− −

=

14. 14. 14. 14. 14.

( )( )( ) ( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

a x

x ax x a

a x a x

x x a x a

a x a x

x x a

a x a x

x a x

a x

x

2 2

2 3 3

3

3 3 3

−− − +

=+ −

− − −

=+ −− −

=+ −− −

=+−

15. 15. 15. 15. 15.

( )( )( )

( )( )( )

3 6

8

3 2

2 4 2

3 2

2 4 2

3

4 2

3

2

2 2

bx x

b

x b

b b b

x b

b b b

x

b b

−−

=−

− + +

= −−

− + += −

+ +

16. 16. 16. 16. 16. ( ) ( )

( ) ( )1

1

1

11

3 32−

−= −

−−

= − −a

a

a

aa

17. 17. 17. 17. 17.

( )( )

( )( )

2 2 2

3 3 3

2

3

2

3

2

3

3 2 2

3 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

x x y xy

y xy x y

x x xy y

y y xy x

x x xy y

y x xy y

x

y

− −+ −

=− −+ −

= −− −− −

= −

18. 18. 18. 18. 18. ( )( )

( )( )

a b

b a

a b

a ba b

−

−=

−

−= −

3

2

3

2

19. 19. 19. 19. 19.

( ) ( )[ ]( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )

2 22 60

75 3

2 22 2 120

3 25

2 12 2 10

3 5 5

2 12 5

3 5 5

2 6 5

3 5 5

2 6

3 5

2

2

2

2

x x

x

x x

x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x

− +−

=− +

−

=− −

− +

=− −− +

=− −− +

=−+

20. 20. 20. 20. 20.

( )( )

( )( )( )

6 3

4 4

3 2

2

3 2

2 2

3

2

2 2 2

4 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

an b n

b ab a

n a b

b a

n a b

a b a b

n

a b

−− +

=−

−=

−− −

=−

21. 21. 21. 21. 21. ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

x y z

y z x

x y z x y z

y z x y z x

z y x y x z

z y x y z x

y x z

x y z

− −+ −

=− − − ++ − + +

=+ − − −+ − + +

=− −+ +

2 2

2

22. 22. 22. 22. 22.

( )( ) ( )

( )( )( )

( )( )( )

3 3

3

3 3 3

2a ab

bd ad bc ac

a a b

d b a c b a

a a b

d c b a

a a b

c d a b

a

c d

−− − +

=−

− − −

=−

− −=

−− −

=−

23. 23. 23. 23. 23. ( )

( )( )( )

( )( )( )

( )

x

x

x

x x x

x

x x x

x

x x

−−

=−

− + +

= −−

− + += −

−+ +

5

125

5

5 25 5

5

5 5 25

5

5 25

3

3

3

2

3

2

2

2

24. 24. 24. 24. 24. ( )13 6 6

6 13 6

6 13 6

6 13 61

2

2

2

2

x x

x x

x x

x x

− −− +

= −− +− +

= −

25. 25. 25. 25. 25.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )

( )( )

2 2

2 2

2

2 1 2 1

2 1

2 11

3 2 2 2

2 2 3 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

x xy x y

xy y x x

x x y x y

y x x x

x x y

x y x

x y

x y

− + −+ − −

=− + −+ − +

=+ −+ −

= −−−

= −

26. 26. 26. 26. 26.

( )( )( )

( )( )( )

30 45 20

8 27

5 6 9 4

2 3 4 6 9

5 4 6 9

2 3 4 6 9

5

2 3

2 2 3

3 3

2 2

2 2

2 2

2 2

x y xy x

x y

x xy y x

x y x xy y

x x xy y

x y x xy y

x

x y

− −+

=− −

+ − +

= −− +

+ − += −

+

27. 27. 27. 27. 27.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

n n n

n n n

n n n

n n n

n n

n n

n n

n n

n

n

+ − −− − +

=+ − +

− − −

=− +− −

=− +− −

=+−

1

2 2

1 1

1 2 1

1 1

2 1

1 1

2 1

1

2

3 2

3 2

2

2 2

2

2

2

2

28. 28. 28. 28. 28. ( ) ( )

( )( )( ) ( )( )

( )( )( )( )( )

( )( )( )

x x x

x x

x x x

x x

x x x

x

x x

x

− + −

− −

=− + −

− −

=− + −

−=

− +−

2 12

2 3

2 4 3

2 3

2 4 3

3

2 4

3

2 2

2

2

2

2

29. 29. 29. 29. 29.

( )( )( )

( )( )

( )( ) ( )

5 15

90 10

5 3

10 9

3

2 3 3

3

2 3 3

1

2 3

3 2

3 2 5

2

3 2 2

x x y

x y x

x x y

x y x

x y

x y x y x

x y

x x y y x x y x

−−

=−

−

=−

− +

= −−

− +=

−+

30. 30. 30. 30. 30. ( )( )

( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

( )

x x x

x x x

x x x x

x x x x

x x

x x

x

x

2 2

2 2

1 8 16

4 1

1 1 4 4

4 1 1

1 4

1

4

− − +− −

=+ − − −

− + −=

− −−

=−

EJERCICIO 121

1. 1. 1. 1. 1.

( )

a a x a x ax

a a x a x axFactor común a

a a x ax x a a x ax x

a a x ax x

ax x x

a a x ax x a x

a a x a x

ax x mcd a a x

ax x a ax

a a x a

4 3 2 2 3

4 3 2 2 3

3 2 2 3 3 2 2 3

3 2 2 3

2 3 2

3 2 2 3

3 2 2 2

2 3

2 3 2

4 3 2

2 2

2 2

2 2 1

3 3 3

2 2

2

2 2

2 2

− + −− − +

− + − − − +− + + −

− ÷− − + −

− + −

− + = −

+ − = −

− + x ax a ax

a a x a x

a x ax

a x ax

a a x a x ax a ax

a a x a x

a x ax

a x ax

a x

a xRta

2 3 2

4 3 2 2

2 2 3

2 2 3

4 3 2 2 3 2

4 3 2 2

2 2 3

2 2 3

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2

− −− + +

−− +

− − + −− + −

− ++ −

=+

−.

2. 2. 2. 2. 2. x x x xx x x x

x x x x x x x x

x x x x

x x

x x x x x x

x x x x

x x

x x x x

x x mcd x x

x x x x x

4 3 2

4 3 2

4 3 2 4 3 2

4 3 2

2

4 3 2 2

4 3 2 2

2

2 2

2 2

4 3 2 2

3 4 3 53 6 3 5

3 4 3 5 3 6 3 5

3 6 3 5 1

2 6 10 2

3 6 3 5 3 5

3 5

3 5

3 5 3 5

3 5 1 3 5

3 4 3 5

+ + − −+ + + +

+ + − − + + + +

− − − − −

− − − ÷−

+ + + + + +

− − −

+ +

+ + + +

− − − + +

⇒ + + − − + 3 5

3 5 1

3 5

3 5

3 6 3 5 3 5

3 5 1

3 5

3 5

11

4 3 2 2

2

2

4 3 2 2

4 3 2 2

2

2

2

2

x

x x x x

x x

x x

x x x x x x

x x x x

x x

x x

xx

Rta

+

− − − −

− − −

+ +

+ + + + + +

− − − +

+ +

− − −

= −+

.

3. 3. 3. 3. 3. ( )( )

( )

( )

( )

2 2 2 3

3 4 3 3 2

6 3 3 6 6 6 8 2 6 6 5

6 8 2 6 6 1

5 5 12 12 6

30 40 10 30 30 30 30 72 72 6

30 30 72 72

10

4 3 2

4 3 2

4 3 2 4 3 2

4 3 2

3 2

4 3 2 3 2

4 3 2

3

ax ax ax ax a

ax ax ax ax aFactor común a

x x x x x x x x

x x x x

x x x

x x x x x x x

x x x x x

x

− − − +− + + −− − − + − + + −

− + − − +

− − +

− + + − − − + ÷

− + + −

− + ( )( )

( )( )

( )( )

82 42 30 2

5 5 12 12 5 41 21 15 12

5 41 21 15 1

36 33 3 3

60 492 252 180 12 11 1 437

60 55 5 5

437 257 180 12

5 244 4 807 437 5 244 3 084 2 160 12

5 244 3 084 2 160 1

2

3 2 3 2

3 2

2

3 2 2

3 2

2

2 2

2

x x

x x x x x x

x x x

x x

x x x x x

x x x x

x x

x x x x

x x

− − ÷ −

− − + − + +− + − −

− − ÷

− + + − −− + +

− + + −

− − − − ÷− + +

. . . . .

. . .

( )

( )( )

− + ÷ −

− − −− +

− ÷

− − = −− + = −

1723 1723 1 723

437 257 180 1

437 437 437

180 180 180

1 1 1

1 1

2

2

x

x x x

x x x

x

x x mcd a x

x ax a

.

⇒ − − − + −

− + + −

−

− +

− ++ −

− + + − −

− + − +

− +

+ −

−− +

= + −− +

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

3 4 3 3

3 3 3 3

3 3

3 3

2 23 3

4 3 2

4 3 3 2

3 2

3 2

4 3 2

4 3 3 2

3 2

3 2

3 2

3 2

ax ax ax ax a ax a

ax ax x x

ax ax

ax ax

ax a

ax a

ax ax ax ax a ax a

ax ax x x

ax ax

ax ax

ax a

ax a

x xx x

Rta.

4. 4. 4. 4. 4. ( )( )

( )

( )

( )

6 13 18 8 10

10 9 11 12 6

60 130 180 80 60 54 66 72 6

60 54 66 72 1

76 114 152 38

10 9 11 12 2 3 4

10 15 20 5

6 9 12 3

2 3 4 2 3 4

2 3 4 1 2

3 2

3 2

3 2 3 2

3 2

2

3 2 2

3 2

2

2 2

2

x x x

x x x

x x x x x x

x x x

x x

x x x x x

x x x x

x x

x x x x

x x mcd x

− + −− + +

− + − − + + ÷

− + − −

− + − ÷ −

− + + − +

− + −

− + ÷

− + − +

− + − = 2

3 2 2

3 2

2

2

3 2 2

3 2

2

2

3 4

6 13 18 8 2 3 4

6 9 12 3 2

4 6 8

4 6 8

10 9 11 12 2 3 4

10 15 20 5 3

6 9 12

6 9 12

3 2

5 3

− +

− + − − +

− + − −

− + −

+ − +

− + + − +

− + − +

− +

− + −

=−+

x

x x x x x

x x x x

x x

x x

x x x x x

x x x x

x x

x x

x

xRta.

5. 5. 5. 5. 5. ( )

( )( )

( )

x x y x y xy

x x y x y xyFactor común x

x x y xy y x x y xy y

x x y xy y

x y y y

x x y xy y x y

x xy x

x y xy y y

x y x xy

4 3 2 2 3

4 3 2 2 3

3 2 2 3 3 2 2 3

3 2 2 3

2 3

3 2 2 3 2 2

3 2

2 2 3

2 2 2

2 2 2

2 5 4

2 4 4 2 2 5 4

2 5 4 1

2 5 4 5

2 2 2

5 6

5 5 5 6

− + −− + −

− + − − + −− + − +

− ÷

− + − −

− +

− + − ÷ −

− −

( )

( )

( )

+− + −

− ÷

− + −− +

− + ÷ −− −

− + − = −

y

x xy y

xy y y

x xy y x y

x xy x

xy y y

x y x y

x y mcd x x y x xy

2

2 2

2

2 2

2

2

2

5 6 1

6 6 6

5 6

5 5 5

1

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

ContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuación

5. 5. 5. 5. 5. x x y x y xy x xy

x x y x xy y

x y x y xy

x y x y

x y xy

x y xy

x x y x y xy x xy

x x y x xy y

x y x y

x y x y

x y xy

x y xy

x xy yx xy y

Rta

4 3 2 2 3 2

4 3 2 2

3 2 2 3

3 2 2

2 2 3

2 2 3

4 3 2 2 3 2

4 3 2 2

3 2 2

3 2 2

2 2 3

2 2 3

2 2

2 2

2 2

2

2 5 4

2 2 2 3

3 4

3 3

2 3

− + − −

− + − +

− + −

+ −

−

− +

− + − −

− + − +

− +

+ −

−

− +

=− +− +

.

6. 6. 6. 6. 6. ( )( )

( )

( )

2 2 2 3 3

3 3 4 5 2

6 3 6 6 9 6 2 6 8 10 2

6 2 6 8 10 1

2 1 1

5 4 3 2

5 4 3 2

5 4 3 2 5 4 3 2

5 4 3 2

4 2

a a a a

a a a a

a a a a a a a a

a a a a

a a

− + + +− + + +

− + + + − + + + ÷

− + − − −

− − − ÷ −

( )

( )

3 3 4 5 2 1

3 6 3 3

3 4 3 5 1

2 1 3 4 3 5

3 4 3 5 1

3 6 3 6 3

3 4 3 5 2 2

2 2

5

5 4 3 2 4 2

5 3

4 3 2

4 2 4 3 2

4 3 2

3 2

4 3 2 3 2

4 3 2

3

a a a a a a

a a a a

a a a a

a a a a a a

a a a a

a a a

a a a a a a a

a a a a a

a

− + + + + +

− − −

− − + − + −

+ + + − + −− − + − +

− + − + ÷−

+ − + − − + −− + − +

( )

( )

( )

− + − ÷

− + − − + −− + − +

− − ÷ −

− + − +− −

− − ÷ −

+ +− − = +

5 5 5 5

2 2 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1 1

2

3 2 3 2

3 2

2

3 2 2

3

2

2 2

2 2

a a

a a a a a a

a a a

a

a a a a

a a a

a

a a

a mcd a

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

ContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuación

6. 6. 6. 6. 6. ⇒ − + + + +

− − − +

− + +

+ +

+

− −

− + + + +

− − − +

− + +

+ +

+

− −

=− +− +

2 2 2 3 1

2 2 2 3

2 3

3 3

3 3

3 3 4 5 1

3 3 3 5

4 5

5 5

5 5

2 3

3 5

5 4 3 2 2

5 3 3 2

4 2

4 2

2

2

5 4 3 2 2

5 3 3 2

4 2

4 2

2

2

3 2

3 2

a a a a a

a a a a

a a

a a

a

a

a a a a a

a a a a

a a

a a

a

a

a aa a

Rta.

7. 7. 7. 7. 7.

( )( )

( )

( )

1 1 2 2

1 2 2 1

1 2 2 1 3

1 1

3 2 2

3 3 3 3 2 2

3 2 2 1

3 2 2 1

3 4 2 3 4

2 3 4

2 3

2 3 4 2

2

2 3 4

2 2 3

2 3

2 3

2 3 2

− − + − − − +

− + + + −

+ + ÷

− − − + + +

− − −

− − − + ÷−

+ + + + −

− − − +

+ + ÷

+ + − + +

−

x x x x x x x

x x x x

x x x x

x x x x x x

x x

x x x x x

x x x x x

x x x

x x x x

x x x x x

( )3 3 3 3

1 1

1 1 1

2

2 3

2 2

2 2

− −

− − − ÷ −

+ + + +

− − − = + +

x x

x x x x

x x x x

x x mcd x x

⇒ − − + + +

− − − − +

− − − +

+ + +

+ +

− − −

1 1

1 1 2

2

2 2 2

3 4 2

2 2

2 3 4

2 3

2 3 4

2 3 4

x x x x x

x x x x

x x x x

x x x

x x x

x x x

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

ContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuación

7. 7. 7. 7. 7. 1 2 2 1

1 1 3

3 2 2

3 3 3

1 21 3

2 3 4 2

2 2

2 3 4

2 3

2 3 4

2 3 4

2

2

− − − + + +

− − − − +

− − − +

+ + +

+ +

− − −

= − +− +

x x x x x x

x x x x

x x x x

x x x

x x x

x x x

x xx x

Rta.

8. 8. 8. 8. 8.

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

2 2

2 2 2

3 3

3 3 3

2 2

2 2 2

3 3

3 3 3

3 2 2 3

2 2 2 2 2 2

3 2 2

2 2 2

3 2 2 3

3 2 2 2

2 3

2 3

3 2 2

3 2 2

m mn mn n

m m n n m n m n m n

m m n mn n

m m n n m n m n m n

mcd m n

m m n mn n m n

m mn m n

mn n

mn n

m m n mn n m n

m mn m

+ − −

= − + − = + −

+ + +

= + + + = + += +

+ − − +− − −

− −+ +

+ + + +− − +

+− −

=−+

n

mn n

mn n

m n

m nRta

2

2

2 2

2

2

3.

9. 9. 9. 9. 9. ( )

( )

6 3 4 2 10 5

3 7 15 2

6 14 2 30 6 3 4 2 10 5

6 3 4 2 10 5

3 18 2 12 5 30 1

6 3 4 2 10 5 3 18 2 12 5

5 4 3 2

6 4 2

6 4 2 5 4 3 2

6 5 4 3 2

5 4 3 2

5 4 3 2 5 4 3 2

a a a a a

a a a

a a a a a a a a

a a a a a a a

a a a a a

a a a a a a a a a a

+ − − + ++ − +

+ − + + − − + +− − + + − −

− + + − − + ÷−

+ − − + + − − + +

( )

( )

−− + + − − +

− + ÷

− − + + − − +− + −

− + − ÷ −

− + − +− + − = − +

30

6 36 4 24 10 60 2

39 26 65 13

3 18 2 12 5 30 3 2 5

3 2 5

18 12 30 6

3 2 5 3 2 5

3 2 5 1 3 2 5

5 4 3 2

4 2

5 4 3 2 4 2

5 3

4 2

4 2 4 2

4 2 4 2

a a a a a

a a

a a a a a a a

a a a a

a a

a a a a

a a mcd a a

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

ContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuación

9. 9. 9. 9. 9. 6 3 4 2 10 5 3 2 5 3 7 15 3 2 5

6 4 10 2 1 3 2 5 3

3 2 5 9 6 15

3 2 5 9 6 152 1

3

5 4 3 2 4 2 6 4 2 4 2

5 3 6 4 2 2

4 2 4 2

4 2 4 22

a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a

a a a a

a a a aa

aRta

+ − − + + − + + − + − +

− + − + − + − +

− + − +

− + − − + − =++

.

10. 10. 10. 10. 10. ( )( )

( )

( )

( )

5 10 21 2 4 3

3 6 11 2 4 5

15 30 63 6 12 15 30 55 10 20 5

15 30 55 10 20 1

8 16 32 8

3 6 11 2 4 2 4

3 6 12 3

2 4 1

2 4

6 4 3

6 4 3

6 4 3 6 4 3

6 4 3

3

6 4 3 3

6 4 3 3

3

3

x x x x

x x x x

x x x x x x x x

x x x x

x x

x x x x x x

x x x x

x x

x x

− + − +− + + −

− + − + − + + − ÷

− + − − +

− + ÷

− + + − − +− + −

− + − ÷ −

− + x x

x x mcd x x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x

x x x xx

xRta

3

3 3

6 4 3 3 6 4 3 3

6 4 3 3 6 4 3 3

3 3

3 33

3

2 4

2 4 1 2 4

5 10 21 2 4 2 4 3 6 11 2 4 2 4

5 10 20 5 1 3 6 12 3 1

2 4 2 4

2 4 2 45 1

3 1

− +− + − = − +

− + − + − + − + + − − +− + − + − + − −

− + − + −

− + − + − + =+−

.

11. 11. 11. 11. 11.

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

n n n n n n

n n n n n n n n n n

n n n n n n

n n n n n n n n n n

n n n n n n n n n n n n n n n n n

6 5 4 3 2

5 3 5 3

6 5 4 3 2

5 3 5 3

6 5 4 3 2 5 3 6 5 4 3 2 5 3

3 3 7 21

3 3 7 3 3 7

2 2 7 14

2 2 7 2 2 7

3 3 7 21 7 2 2 7 14

− − + + −

= − − − + − = − − +

+ − − + +

= + − + + + = + − +

− − + + − − + + − − + + − +

− + − − − + − +

− + − − +

+ − + − + − =−+

7

7 3 7 2

3 3 21 2 2 14

3 3 21 2 2 143

2

6 4 2 6 4 2

5 3 5 3

5 3 5 3

n

n n n n n n n n

n n n n n n

n n n n n nn

nRta.

12. 12. 12. 12. 12. ( )

( )( )

a a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a

a a a a

a a a a a a a a a a a

a a a

7 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2

7 6 5 4 3 2

4 3 2

6 5 4 3 2 4 3 2

6 5 4

2 5 8 2 5 8 2 5 10 4 10 16 2

2 5 10 4 10 16

2 3 12 21 8 1

2 4 10 20 8 20 32 2 3 12 21 8

2 3 12 21

+ − + + + − + + − + + − +

− − + − − + −

− − + − + ÷−

+ − + + − + + − + −

− − + −

( )

a a a

a a a a a

a a a a a a a a a a

a a a a a

a a a a

3 2 2

5 4 3 2

5 4 3 2 5 4 3 2

5 4 3 2

4 3 2

8

2 16 20 32

2 3 12 21 8 2 16 20 32

2 4 2 32 40 64 2

10 11 32 64 1

+

+ − + − ++ − + − + − + − +

− − + − + −

− − − + − − ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

ContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuación

12. 12. 12. 12. 12. ( )

( )

( )

a a a a a a a a a

a a a a a a

a a a a

a a a a a a a a

a a a a

a a a

a a a a

5 4 3 2 4 3 2

5 4 3 2

4 3 2

4 3 2 4 3 2

4 3 2

3 2

4 3 2

2 16 20 32 10 11 32 64 2

10 11 32 64

8 12 48 84 32 4

2 20 22 64 128 2 3 12 21 8

2 3 12 21 8 1

17 34 85 136 17

2 3 12 21

+ − + − + + + − +

− − − + −

− − + − + ÷−

+ + − + + − + −

− − + − +

+ − + ÷

+ − +

( )

− + − +

− − + −

− − + − −

8 2 5 8

2 4 10 16 2

2 5 8 1

3 2

4 3 2

3 2

a a a

a a a a a

a a a

a a a a a a

a a a mcd a a a

3 2 3 2

3 2 3 2

2 5 8 2 5 8

2 5 8 1 2 5 8

+ − + + − +

− − + − = + − +

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

7 6 5 4 3 2 3 2 6 5 4 3 2 3 2

7 6 5 4 4 6 5 4 3 3

3 2 3 2

3 2 3 2

2 5 8 2 5 8 2 5 8 2 5 10 4 10 16 2 5 8

2 5 8 1 2 5 8 2

2 5 8 2 4 10 16

2 5 8 2 4 10 16

+ − + + + − + + − + + − + + − + + − +

− − + − + − − + − +

+ − + + − +

− − + − − − + −

EJERCICIO 122

1. 1. 1. 1. 1. 3

2

2

2

6

4 2a

a

a

a

a⋅ =

2. 2. 2. 2. 2. 5

944

20362 2x

aa

aax

⋅ =

3. 3. 3. 3. 3. m

ab

a

a

am

a b2 2 2

2

2

2

2⋅ =

4. 4. 4. 4. 4. 3

8

3

3

9

24

2

2

2 2

3

x

y

xy

xy

x y

xy⋅ =

5. 5. 5. 5. 5. 4

5

4

52 3

m

n

n

n

mn

n⋅ =

6. 6. 6. 6. 6. 2 7

5

3

3

6 21

15

x x+⋅ =

+

7. 7. 7. 7. 7. 2

1

2 2

2

x

x

x

x

x

x x−⋅ =

−

8. 8. 8. 8. 8. a

a

a

a

a

a a

2 3

22

2

2

2

2 4+⋅ =

+

9. 9. 9. 9. 9. 3 3 3

2

2

2 2

a

a b

a b

a b

a ab

a ab b+⋅

++

=+

+ +

10. 10. 10. 10. 10. x

x

x

x

x x

x x

−+

⋅++

=− −+ +

4

3

2

2

2 8

5 6

2

2

11. 11. 11. 11. 11. 2 22

2

3

2 3

a

x a

a

a

a

a x a+⋅ =

+

12. 12. 12. 12. 12. x y x y−

⋅ =−

6

2

2

2 2

12

13. 13. 13. 13. 13. 5 5 5

2 2

xa b

a ba b

ax bxa b−

⋅ ++

= +−

14. 14. 14. 14. 14. x

axx

x xax

− ⋅ = −5 33

3 153

2

15. 15. 15. 15. 15. 5

2

2

2

10 5

4 4

2

2 2

x

x y

x y

x y

x xy

x xy y+⋅

++

=+

+ +

16. 16. 16. 16. 16. x

x

x

x

x

x x

++

⋅−−

=−

− −3

1

3

3

9

2 3

2

2

17. 17. 17. 17. 17. 2

1

1

1

2 2 2

1

2

2

2

3a

a a

a a

a a

a+⋅

− +− +

=− +

+

18. 18. 18. 18. 18. x y

x

xy

xy

x y xy

x y

−⋅ =

−2

3

3

3

3 6

9

2 2

2

19. 19. 19. 19. 19. x

x

x

x

x

x x

−+

⋅++

=−

+ +1

1

1

1

1

2 1

2

2

20. 20. 20. 20. 20. a b

aabab

a b aba b

+ ⋅ = +7

99

9 9632

2 2

3

21. 21. 21. 21. 21. x

x

x

x

x x

x x

++

⋅−−

=− −

+ −1

5

2

2

2

3 10

2

2

EJERCICIO 123

1. 1. 1. 1. 1. 6 10

2

62

102

3 5

3 2

3 2

2

a aa

aa

aa

a a

−

= −

= −

2. 2. 2. 2. 2. 9 6 33

93

63

33

3 2

3 2 2 3

3 2 2 3

2 2

x y x y xyxy

x yxy

x yxy

xyxy

x xy y

− +

= − +

= − +

3. 3. 3. 3. 3. x x

x x

xx

2

2

3

3

3

+

−

= +

4. 4. 4. 4. 4. 10 15 2 5

10 2 3

15 2

15

2

2 32

5

2

2

a a a

a a

a

a

aa

+ −

− +

−−

−

= + −

=++

a

aRta

4

3

1

2

5. 5. 5. 5. 5. 9 6 3 5 3

9 3 2 1

6

6

3

3

5

3 2 15

3

3 2

3 2

2

2

2

x x x x

x x x

x

x

x

x

x xx

− + −

− − +

−

+

−

−

= − + −

6. 6. 6. 6. 6. x x x

x x x

x

x

xx

2

2

5 16 2

2 7

7 16

7 14

2

72

2

− − +

− − −

− −+ +

−

= − −+

7. 7. 7. 7. 7. 12 6 2 4 1

12 3 3

3 2

33 24 1

33 24 1

2

2

x x x

x x x

x

xxx

xxx

− − −

− +

− −

= +− −

−= −

+−

8. 8. 8. 8. 8. a b a b

a a b a ab b

a b

a b ab

ab b

ab b

b

a ab bb

a b

3 3

3 2 2 2

2

2 2

2 3

2 3

3

2 23

3 2

2 2 4

2

2 4

4 3

4 8

5

2 45

2

+ +

− − − +

−

+

+

− −

−

= − + −+

9. 9. 9. 9. 9. x x x x

x x x

x x

x

x

xx

xx

x

x

3 2 2

3

2

2

2 2

6 1 3

3 1

3 1

3

3 2

13 2

31

3 2

3

− − + −

− + −

− − +

−

− −

= − +− −

−= − −

+−

10. 10. 10. 10. 10. 3 4 2 6 3 2

3 2 2 2

6 2

6 4

6 6

6 4

2

2 22

3 2

3 2 2 3

3 2 2 2

2 2

2 2

2 3

2 3

3

2 23

x x y xy y x y

x x y x xy y

x y xy

x y xy

xy y

xy y

y

x xy yy

x y

+ + − −

− + + +

+

− +

−

− +

−

= + + −−

11. 11. 11. 11. 11. 2 7 6 8 2 1

2 3

6 5 8

6 3 3

2 5

32 5

2 1

3 2 2

3 2

2

2

2

x x x x x

x x x x

x x

x x

x

xx

x x

− + − − +

− + − −

− + −

− +

−

= − +−

− +

12. 12. 12. 12. 12. 2 3 1

2 2 2 2 2

2

2 2 2

2

2 22

1

4 3 2 2

4 3 2 2

3 2

3 2

2

2

22

a a a a a

a a a a a

a a

a a a

a a

a a

a

a aa

a a

− + − +

− + − − −

− −

− +

− +

− +

− +

= − − −−

− +

13. 13. 13. 13. 13. x x x x

x x x

x x

x

x

xx

x

4 2 2

4 2 2

2

2

22

4 3 2

2 2

2 3

2 4

3 4

23 4

2

− − −

− + −

− −

−

− −

= − −+−

14. 14. 14. 14. 14. 10 18 5 3 2 3 1

10 15 5 5

3 10 3

53 10 32 3 1

3 2 2

3 2

2

2

2

n n n n n

n n n n

n n

nn nn n

− − + − +

− + −

− − +

= − + −− +

15. 15. 15. 15. 15. 8 4 5 6

8 10 12 2

10 12

210 124 5 6

4 2

4 3 2 2

3 2

23 2

2

x x x

x x x x

x x

xx x

x x

+ +

− − −

− −

= −+

+ +

16. 16. 16. 16. 16. 6 3 3

6 2 2 2

3 2 2

3

2

22

3

5 4 3 2 3

5 3 2 2 3 2

4 3 2 2 3

4 2 3 4

3 2 2 3 4

23 2 2 3 4

3 2 3

m m n m mn n

m m n m n m mn

m n m n m n

m n m n mn

m n m n mn

m mnm n m n mn

m mn n

+ − +

− + − +

+ −

− + −

− −

= + +− −− +

EJERCICIO 124

1. 1. 1. 1. 1.

( )

( )

aa

a

a a a

a

a a a

a

a a

a

a a

a

++

=+ +

+

=+ +

+=

++

=+

+

4

2

2 4

2

2 4

2

6

2

6

2

2 2

2. 2. 2. 2. 2.

( )m n

n

m

m n m n

m

m mn n

m

− −

=− −

=− −

2

2 2 2

3. 3. 3. 3. 3.

( )( )x

x

x x

x

x x

x

x x

x

+ −−

=+ − −

−

=+ − −

−=

+ −−

53

2

5 2 3

2

3 10 3

2

3 13

2

2 2

4. 4. 4. 4. 4.

( )a

ab

a b

a a b ab

a b

a ab ab

a b

a ab

a b

++

=+ +

+

=+ +

+=

++

2 2 2

5. 5. 5. 5. 5.

( )

13

3 1

3 1 3 1

2

2

2 2

−+ −

=− + −

=− + −

= −−

a

aa

a a a

a

a a a

a

a

a

6. 6. 6. 6. 6.

( ) ( )1

2

−+−

=− − +

−

=− − −

−= −

−

a x

a x

a x a x

a x

a x a x

a x

x

a x

7. 7. 7. 7. 7.

( )

21

2

2

a x

a x

a x a x

a x

a x a x

a x

a

a x

++

−

=+ − +

+

=+ − −

+=

+

8. 8. 8. 8. 8.

( )( )x

x

x x

x

x x

x

x x

x

+ −−

=+ − −

−

=+ − −

−=

+ −−

23

1

2 1 3

1

2 3

1

5

1

2 2

9. 9. 9. 9. 9.

( )( ) ( )

( )

x xx x

x

x x x x x

x

x x x x x

x

x x

x

x x

x

22

2 2

3 2 2

3 2 2

36

2

3 2 6

2

6 6

2

2

2

2

2

− −−+

=− + − −

+

=− − − +

+

=−+

=−

+

10. 10. 10. 10. 10.

( )( )

( )

( )( )

( )

x yx y

x y

x y x y x y

x y

x y x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y x y

x y

x y x y

+ +−−

=+ − + −

−

=− + −

−

=−−

=−

−

=+ −

−

= + = +

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2 2 2

11. 11. 11. 11. 11.

( )( )

32

2 3

3 2 3 22 2 2 2

mn

m nm n

m n m n mn

m n

m mn n mn

m n

m n

m n

−+ −

=− − +

−

=− + +

−=

+−

12. 12. 12. 12. 12.

( )( ) ( )2 3

5 6

2

2 3 2 5 6

2

2 6 5 6

2

2 4

2

2

2

2 2 2

2

a xax x

a x

a x a x ax x

a x

a ax x ax x

a x

a ax

a x

− −−+

=− + − −

+

=+ − − +

+

=−

+

13. 13. 13. 13. 13.

( )( )m m

m

m

m m m m

m

m m

m m

23

2 3

3 3

2 42

2 4 2

2

8

2

8

2

− + −+

=− + + −

+

=+ −

+=

+

14. 14. 14. 14. 14. ( )

( )( ) ( )x x

x x

x

x x x x x

x

x x x x x

x

x x x

x

2

2

3 2 2

3 2

53 2

2

5 2 3 2

2

7 10 3 6

2

10 4

2

− −+

−

=− − − +

−

=− + − −

−

=− +

−

15. 15. 15. 15. 15.

( )( )a ab b

ab b

a b

a ab b a b ab b

a b

a a b ab b ab b

a b

a a b ab

a b

2 22 3

2 2 2 3

3 2 2 3 2 3

3 2 2

37

2

3 2 7

2

2 5 5 7

2

2 5 2

2

+ − +−

−

=+ − − + −

−

=+ − + + −

−

=+ +

−

16. 16. 16. 16. 16. ( )( ) ( )( )

x

x xx

x x x x

x x

x x

x x x x

3

2

3 2

2

3 3

2 2

2

11

2 1 1

1

2 1

1

1

1

+− +

− +

=+ + − + − −

− +

=+ − −

− +=

− +

17. 17. 17. 17. 17.

( )( ) ( )

( )( )( )( )

xx x

x x

x x x x x

x x

x x x x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x

+ −− +− +

=+ − + − − +

− +

=− − + − + −

− +

=− +− +

=− −− −

=−−

32 1

4 3

3 4 3 2 1

4 3

9 9 2 1

4 3

9 84 3

8 1

3 1

83

3 2

2

2 3 2

2

3 2 3 2

2

2

2

18. 18. 18. 18. 18.

( )

( )( )( )

33 3

3 3 3

3 3 3 3

3 3 3

3

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

3 2 2 2

2 2

3 2

2 2

2

2

aa b ab

a b

a a b a b ab

a b

a ab a b ab

a b

a a b

a b

a a b

a b a b

a

a b

++−

=− + +

−

=− + +

−

=+−

=+

+ −

=−

19. 19. 19. 19. 19.

( )( ) ( )

( )( )

( )

xx

x x

x x x x

x x

x x x x

x x

x x

x

x x

x

x

x

x

x

− −−

− +

=− − + − −

− +

=− + − − +

− +

=− +

−=

− −

−

=−

−=

−

327

6 9

3 6 9 27

6 9

9 27 27 27

6 9

9 27

3

9 3

3

9

3

9

3

3

2

2 3

2

3 2 3

2

2

2 2

20. 20. 20. 20. 20.

( )( )

( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

a aa a

a a

a a a a a a

a a

a a a a a

a a

a

a a

a a

a a

a a a

a a

a a a

a

23

2

2 2 3

2

4 3 3

2

4 2 2

2

3 2

3 52 11 9

2

3 5 2 2 11 9

2

2 11 10 2 11 9

2

1

2 1

1 1

2 1

1 1 1

2 1

1

2

− + +− ++ −

=− + + − + − +

+ −

=− + − + − +

+ −

=−

+ −=

− ++ −

=+ + −

+ −

=+ + +

+

EJERCICIO 125

1. 1. 1. 1. 1. a

b abmcm ab ab b a

ab ab

a

b

a a

ab

a

ab

ab ab ab

a

ab abRta

;

, .

1

1

1 1 1 1 1

2

2

= ÷ =

÷ =

=⋅

=

=⋅

= ⇒

2. 2. 2. 2. 2.

( )

x

a a xmcm a x

a x a ax

a x a x

x

a

x ax

a x

ax

a x

a x a x a xax

a x a xRta

2

4

36

6 2 3

6 3 2

2

3

6

3

64

3

4 2

6

8

63

6

8

6

22

2

2 2

2

2

2

2 2 2

2

2 2

,

, .

=

÷ =÷ =

= =

=⋅

=

⇒

3. 3. 3. 3. 3. 1

234

58

8

8 2 4

8 4 2

8 8 1

12

1 48

48

34

3 28

68

58

5 18

58

48

68

58

2 33

3 2

3 2

3 3

2 3 3

2

3

2

3

3 3 3

3

2

3 3

x x xmcm x

x x x

x x x

x x

xx

xxx

xx x

xxx

x x x

xx

xx x

Rta

, ,

, , .

=

÷ =

÷ =

÷ =

= ⋅ =

= ⋅ =

=⋅

=

⇒

4. 4. 4. 4. 4.

( ) ( ) ( )

3 3

3 3 3 3 3 3

3 3

2 2 33 2

3 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2

2

2

3 2

2

3 2 2 3 2 3 2 3

2

3 2

2

3 2

2

3 2 3 2

2

3 2

x

ab

x

a b amcm a b

a b ab a a b a b ab a b a b

x

ab

x a

a b

a x

a b

x

a b

x ab

a b

abx

a b a

b

a b

b

a b

a x

a b

abx

a b

b

a bRta

, ,

; ;

, , .

=

÷ = ÷ = ÷ =

= = = = = =

⇒

5. 5. 5. 5. 5.

( ) ( )

( )

7

6

1

9

5

1236

36 6 6 36 9 4 36 12 3

7

6

7 6

36

42

36

1

9

1 4

36

4

36

5

12

5 3

36

15

36

42

36

4

36

2 32 3

2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2

2

3

2 3

4

2 3

2

2 3

2

2 3

2

2

2 3

3

2 3

4

2 3

2

2

y

x xy

x

ymcm x y

x y x y x y xy xy x y y x

y

x

y y

x y

y

x y xy

xy

x y

xy

x y

x

y

x x

x y

x

x y

y

x y

xy

x y

, ,

; ;

,

=

÷ = ÷ = ÷ =

= = = =

= = ⇒ 3

3

2 3

15

36, .

x

x yRta

6. 6. 6. 6. 6.

( )( )

( )

a

a a

a

amcm a

a a a a a a a

a

a

a a

a

a a

a a a a

a

a

a

a

a

a

a a

a a

a

aRta

− +=

÷ = ÷ = ÷ =

−=

−=

−=

⋅=

+=

+=

+⇒

− +

1

3

5

6

26

6 3 2 6 6 1 6 6

1

3

1 2

6

2 2

6

5

6

5 1

6

5

6

2 2 6

6

6 12

6

2 2

6

5

6

6 12

6

22

2 2 2 2

2

2

2 2 2

2 2 2

2

2 2 2

, ,

; ;

, , .

7. 7. 7. 7. 7.

( )( ) ( )

( )

x y

x y

x y

xymcm x y

x y x y y

x y xy x

x y

x y

x y y

x y

xy y

x y

x y

xy

x y x

x y

x xy

x y

x y

x y

x y

x y

xy y

x y

x xy

x y

x y

− +=

÷ =

÷ =

−=

−=

− +=

+=

+

= = ⇒− +

2 22 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2 2 2 2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

35 3

3 3

3 3

3

3

3 3

3 3 3 3

55 3

3

15

3

3 3

3 3

15

, ,

; ;

, ,2

2 23x yRta.

8. 8. 8. 8. 8.

( )( )

( )( )

( )

m n

m

m n

m n nmcm m n

m n m m n

m n m n n

m n n m

m n

m

m n m n

m n

m n m n

m n

m n

m n

m n n

m n

mn n

m n

n

m

m n

m

m n

+ −=

÷ =

÷ =

÷ =

+=

+=

+

−=

−=

−

= =

⇒

2 5

1

1010

10 2 5

10 5 2

10 10

2

5

10

5 5

10

5

2

10

2 2

10

1

10

1

10 10

3 23 2

3 2 2 2

3 2 3

3 2 2 3

2 2

3 2

3 2 2 3

3 2

3 3 2

2

3 2

2

3

3 2

3

3 2

, ,

5 5

10

2 2

10 10

3 2 2 3

3 2

2

3 2

3

3 2

m n m n

m n

mn n

m n

m

m nRta

+ −, , .

9. 9. 9. 9. 9.

( )( )

( )( )

( )( )

a b a b

a

a b

bmcm ab

ab ab

ab a b

ab b a

a b a b ab

ab

a b ab

ab

a b

a

a b b

ab

ab b

ab

a b

b

a b a

ab

a ab

ab

a b ab

ab

ab b

+ − +=

÷ =

÷ =

÷ =

+=

+=

+

−=

−=

−

+=

+=

+

⇒+ −

6 2 36

6 6

6 2 3

6 3 2

6 6 6

2

3

6

3 3

6

3

2

6

2 2

6

6

3 3

2 2

22

2 2

2 2

2 2

2

2

2 2 3

2

2

2

2 3

2

2 2

2

2 2

2

3 2

2

2 2 3

2

2

, ,

;

;

,3

2

3 2

26

2 2

6ab

a ab

abRta, .

+

10. 10. 10. 10. 10.

( )

( )

( )

2

3

3

4

3

212

12 3 4

12 4 3

12 2 6

2

3

2 4

12

8 4

12

3

4

3 3

12

9 3

12

3

2

3 6

12

2 22 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

2

2 2

2 3

2 2

2

2

2 2

2 3

2 2

2 2

a b

a

b a

b

a bmcm a b

a b a b

a b b a

a b a b

a b

a

a b b

a b

ab b

a b

b a

b

b a a

a b

a b a

a b

a b a b a b

− − −=

÷ =

÷ =

÷ =

−=

−=

−

−=

−=

−

−=

−

, ,

;

;

a b

a b a b

a b

ab b

a b

a b a

a b

a b a b

a bRta

2 2

3 2 2 3

2 2

2 3

2 2

2 3

2 2

3 2 2 3

2 2

6 18

12

8 4

12

9 3

12

6 18

12

=−

⇒− − −

, , .

11. 11. 11. 11. 11.

( ) ( ) ( )( )

2

5

3

15 5

5 5 5 1 5 5 1 5

2

5

2 1

5 5

2 2

5 5

3

1

3 5

5 5

15

5 5

2 2

5 5

15

5 5

,

;

, .

xmcm x

x x x x

x

x

x

x x x x

x

x xRta

+= +

+ ÷ = + + ÷ + =

=++

=++ +

=⋅+

=+

⇒++ +

12. 12. 12. 12. 12.

( ) ( ) ( ) ( )( )

a

a b

b

a bmcm a b

a b a b a b a b a b

a

a b

a a b

a b

a ab

a b

b

a b

b

a b

b

a b

a ab

a b

b

a bRta

+ −= −

− ÷ + = − − ÷ − =

+=

−−

=−−

−=

−=

−

⇒−− −

,

;

, .

2 22 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2

2 2

2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2

1

1

13. 13. 13. 13. 13. ( )( )( )( )( )( )( )( )( )

( )

x

x x xx x x

x x x x

mcm x x x

x x

x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x

x x x

x x x

x

x

x x

x

2 22

2

2

3 2

3 2 2 3 2 2

3 3 2

2 2

2 2

2 3

1

1

21 1 1

2 2 1

1 2 1

1 2

2 2

2 2 1 2 2 2

2 2 1

2 2 2

2 2 2

1

2

− − −− = + −

− − = − +

= − − +

= − −

= − − +

− − + − − − + − −

− + − − + + −

− + − + +

− − −

−=

−

,

( )− − +

=−

− − +

− −=

−− − +

=−

− − +

⇒−

− − +−

− − +

2 2

2

2 2

1

2

1 1

2 2

1

2 2

2

2 2

1

2 2

2

2

3 2

2 3 2 3 2

2

3 2 3 2

x x

x x

x x x

x x

x

x x x

x

x x x

x x

x x x

x

x x xRta

;

; .

14. 14. 14. 14. 14.

( ) ( )

( )[ ] ( )[ ] ( )

( )( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

a

a

amcm a

a a a a

a

a

a

a

a

a

a a a

a

a a

a

a

a

a a

aRta

−+

= +

+ ÷ + = + ÷ = +

−+

=−+

=−+

=+

+=

++

⇒−+

++

3

4 5

3

88 5

8 5 4 5 2 8 5 8 5

3

4 5

2 3

8 5

2 6

8 5

3

8

3 5

8 5

3 15

8 5

2 6

8 5

3 15

8 5

2

2

,

;

, .

15. 15. 15. 15. 15. ( ) ( )

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )

x

a x

xmcm a x

a x a x a x a x

x

a x

x

a x

x x a x

a x

ax x

a x

x

a x

ax x

a xRta

2

2 2 2

2 2

3 66

6 3 2 6 6

3

2

6 6 6 6

2

6 6

−= −

− ÷ − = − ÷ = −

−=

−=

−−

=−−

⇒−

−−

,

;

, .

16. 16. 16. 16. 16. ( )( )[ ] ( )[ ] ( )

( )[ ] ( )( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )

3 2 31

1 1 1 1

1

3 3 1

1

3 3

1

2 2

1

2 2

1

3 3

1

3

1

3 3

1

2 2

2 22

2 2 2

2 2

2 2 2

2

2

2

2

2 2

2

2

2

2

x x

x

x xmcm x x

x x x x x x x x x

x x x x x

x

x

x x

x

x x

x

x x

x x

x x

x x

x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x x

x x

x

, ,

;

;

,

+−

= −

− ÷ = − − ÷ = −

− ÷ − =

=−−

=−−

=−−

=−−

+−

=+−

=+

−

⇒−−

−( ) ( )2

2

21

3

1x

x x

x xRta

−+

−, .

17. 17. 17. 17. 17. ( )( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( )[ ] ( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1

2 2 4 4 88

8 2 2 4 8 8

8 4 4 2

1

2 2

4

8

4 4

2

8

2 2

8

8 8 8

4

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 3

2 2

a b

a

a b

bmcm a b

a b a b a b a b a b

a b a b a b

a b

a b

a b

a

a b

a a b

a b

a ab

a b

b b a b

a b

a b b

a b

a

+ −= −

− ÷ + = − − ÷ = −

− ÷ − = +

+=

−−

−=

+−

=+−

=−−

=−−

⇒

, ,

;

;

( )( ) ( ) ( )

−−

+−

−−

b

a b

a ab

a b

a b b

a bRta

8

2 2

8 82 2

2

2 2

2 3

2 2, , .

18. 18. 18. 18. 18. ( )( )[ ] ( )[ ] ( )

( )[ ] ( )( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

x

xy

y

x xy xy ymcm xy x y

xy x y xy x y xy x y x xy y

xy x y xy y x

x

xy

x x y

xy x y

x xy

xy x y

y

x xy

y

xy x y xy y

x

xy x y

x xy

xy x y

y

xy x y

x

xy x yRta

, ,

;

, , .

2 2

2

2

2

2

2

2

2 2

3

3 3

3

+ += +

+ ÷ = + + ÷ + =

+ ÷ + =

=++

=+

+

+=

+ +=

+

⇒+

+ + +

19. 19. 19. 19. 19. ( )( )[ ] ( )( )[ ] ( )( )[ ] ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

2 1

2 2 1

2

2 2 2 22 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2

2 2

2 2 2 2

2

a b a ab

a

a abmcm a a b

a a b a b a

a a b a ab a b

a a b a ab a b

a b

a

a a b a ab

a b

a a b

a

a ab

a a b

a a b

a ab

a a b

a

a a b

a b

a a b

a ab

a

− + −= −

− ÷ − =

− ÷ + = −

− ÷ − = +

−=

− +=

−−

−=

+−

=+−

⇒−

−−

+

, ,

;

, , ( )a bRta

2 2−.

20. 20. 20. 20. 20.

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

3

1 1 11

1 1 1

1 1 1 1 1 1

3

1

3 1

1

3 3

1

1

1

1 1 1 1

3 3

1 1 1

2 3

22

2

2 2 2

2

2

2

2 2

2

3 2

2

3

2

3

2

2

2

3 2

2

3

2

x

x

x

x

x

xmcm x

x x x

x x x x x

x

x

x x

x

x x

x

x

x

x x

x

x x

x

x

x

x

x

x x

x

x x

x

x

xRta

+ − −= −

− ÷ + = −

− ÷ − = + − ÷ − =

+=

−−

=−−

−=

+−

=+− −

=−

⇒−−

+− −

, ,

;

, , .

21. 21. 21. 21. 21. ( )( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )( )[ ] ( )

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( )

1

1

2 2 2 22 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2 2

2 2 2

2

2 2

2 2

2

m n

m

m mn

n

m mnmcm m m n

m m n m n m m m n m mn m n

m m n m mn m n

m n

m

m m n

m

m mn

m m n

m m n

m mn

m m n

n

m mn

n m n

m m n

mn n

m m n

m

m m n

m mn

− + −= −

− ÷ − = − ÷ + = −

− ÷ − = +

−=

−

+=

−−

=−

−

−=

+−

=+−

⇒−

−

, ,

;

;

, ( )( )

( )m m n

n m n

m m nRta

2 2 2 2−+−

, .

22. 22. 22. 22. 22.

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

n

n

n

n

n

nmcm n

n n n

n n n n n

n

n

n n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

nRta

+−

−+

+−

= −

− ÷ − = +

− ÷ + = − − ÷ − =

+−

=+ +

−=

+−

−+

=−−

+−

=+−

⇒+−

−−

+−

1

1

1

1

1

11

1 1 1

1 1 1 1 1 1

1

1

1 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

22

2

2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

, ,

; ;

, , .

23. 23. 23. 23. 23.

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

a b

a b

a b

a b

a b

a bmcm a b

a b a b a b

a b a b a b a b a b

a b

a b

a b

a b

a b

a b

a b

a b

a b

a b

a b

a b

2 2

2 2

2 2

2 2

4 4

4 44 4

4 4 2 2 2 2

4 4 2 2 2 2 4 4 4 4

2 2

2 2

2 2 2

4 4

2 2

2 2

2 2 2

4 4

4 4

4 4

4 4

4 4

1

−+

+−

+−

= −

− ÷ + = −

− ÷ − = + − ÷ − =

−+

=−−

+−

=+−

+−

=+−

, ,

; ;

( ) ( )⇒

−−

+−

+−

a b

a b

a b

a b

a b

a bRta

2 2 2

4 4

2 2 2

4 4

4 4

4 4, .

24. 24. 24. 24. 24.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )

( )

( )

3

1

1

2

1

22

2 1 2

2 2 1

2 2 1

3

1

3 2

2

3 6

2

1

2

1

2

1

2

1

2

3 6

2

1

22

2

2

2 2

2

2

2

2

2 2 2

2

2

2

x

x

x

x x xmcm x x

x x x x

x x x x

x x x x

x

x

x x

x x

x x

x x

x

x

x

x x x x x x

x x

x x

x

−−+ + −

= + −

+ − ÷ − = +

+ − ÷ + = −

+ − ÷ + − =

−=

++ −

=+

+ −

−+

=−

+ − + −=

+ −

⇒+

+ −−

, ,

;

;

,x x x x

Rta2 22

1

2+ − + −, .

25. 25. 25. 25. 25. ( )( )[ ] ( )( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

x x

x

x

xmcm x

x x

x x

x x

x x x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xRta

2 5 15

1

10 3010 3

10 3 2 5 3

10 3 5 3 2

10 3 10 3 1

2

5 3

10 3

5 15

10 3

5 15

2

10 3

1

10 30

1

10 3

5 15

10 3

2

10 3

1

10 3

2

2

, ,

;

, , .

+−+

= +

+ ÷ = +

+ ÷ + =

+ ÷ + =

=++

=++

+=

+−+

=−+

⇒++ +

−+

26. 26. 26. 26. 26. ( )( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]( )( ) ( )( )( ) ( )

( )

( ) ( )

2 1

4

3 1

3 12

4 3

6 246 4

6 4 4 6 6 4 3 4 2

6 4 6 4 1

2 1

4

6 2 1

6 4

12 6

6 4

3 1

3 12

2 3 1

6 4

6 2

6 4

4 3

6 24

4 3

6 4

12 6

6 4

6 2

6 4

x

x

x

x

x

xmcm x

x x x x

x x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

−+

++

++

= +

+ ÷ + = + ÷ + =

+ ÷ + =

−+

=−

+=

−+

++

=+

+=

++

++

=++

⇒−

+++

, ,

;

;

, ( ), .4 3

6 4

x

xRta

++

27. 27. 27. 27. 27. ( )( )( )( )( )( )[ ] ( ) ( )( )( )( )( )[ ] ( )( )( )( )[ ] ( ) ( )( )

( )( )( )( )( ) ( )( )

( )( )

a

a a amcm a a a

a a a a a a

a a a a a

a a a a a a

a

a a

a a a

a

a a

a

a

a

+ − −= + + −

+ + − ÷ + = + −

+ + − ÷ − = +

+ + − ÷ − = + +

+=

+ −+ + −

=−

+ −

−=

++

4

2

9 25

5

3 54 3 5 3 5

4 3 5 3 5 4 3 5 3 5

4 3 5 3 5 9 25 4

4 3 5 3 5 3 5 4 3 5

3

4

3 3 5 3 5

4 3 5 3 5

27 75

4 9 25

2

9 25

2 4

4

2

2

2

2

2

, ,

;

( )( ) ( )( )( )( )

( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

3 5 3 5

2 8

4 9 25

5

3 5

5 4 3 5

4 3 5 3 5

15 85 100

4 9 25

27 75

4 9 25

2 8

4 9 25

15 85 100

4 9 25

2

2

2

2

2 2

2

2

a a

a

a a

a

a a

a a a

a a

a a

a

a a

a

a a

a a

a aRta

+ −=

++ −

−=

+ ++ + −

=+ +

+ −

⇒−

+ −+

+ −+ +

+ −

;

, , .

28. 28. 28. 28. 28. ( )( )( )( )[ ] ( )( )( )[ ] ( )( )( )[ ] ( )

( )( )( )( ) ( )( )

( )( )

x

x

x

x x

x

x xmcm x x x

x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x

x

x x

x x x

x x

x x x

x

x x

x x

+−

++ − + +

+ + −

+ + − ÷ − = +

+ + − ÷ + − = +

+ + − ÷ + + = −

+−

=+ +

+ + −=

+ ++ + −

++ −

=+ +

1

4

2

6

3

5 62 6

2 6 4 3

2 6 6 2

2 6 5 6 2

1

4

1 3

2 6

4 3

2 6

2

6

2 2

2 2 22

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2

, ,

;

( )( )( )

( )( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )( )

( )( ) ( )( )

x x x

x

x x x

x

x x

x x

x x x

x x

x x x

x x

x x x

x

x x x

x x

x x xRta

+ + −=

++ + −

+ +=

−+ + −

=−

+ + −

⇒+ +

+ + −+

+ + −−

+ + −

2 6

2

2 6

3

5 6

3 2

2 6

3 6

2 6

4 3

2 6

2

2 6

3 6

2 6

2

2

2

2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

;

, , .

29.29.29.29.29.

( )( )( )( )[ ] ( )( )( )[ ] ( )( )( )[ ] ( )

( )( )( )( ) ( )( )( )

a

a a

a

a a

a

a a

mcm a a a

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

a

a a

a a

a a a

a

a a a

a

a

++ − − +

++ −

= + − +

+ − + ÷ + − = −

+ − + ÷ − + = +

+ − + ÷ + − = −

++ −

=+ −

+ − +=

−+ − −

3

20

5

7 12

1

2 15

5 7 12

5 7 12 20 3

5 7 12 7 12 5

5 7 12 2 15 4

3

20

3 3

5 7 12

9

5 4 3

5

2 2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

, ,

;

( )( )( ) ( )( )( )

( )( )( )( ) ( )( )( )

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )

− +=

++ − +

=+

+ − −

++ −

=+ −

+ − +=

− −+ − −

⇒−

+ − −+

+ − −− −

+ − −

7 12

5 5

5 7 12

5 25

5 4 3

1

2 15

1 4

5 7 12

3 4

5 4 3

9

5 4 3

5 25

5 4 3

3 4

5 4 3

2

2

2 2

2

2 2 2

a

a a

a a a

a

a a a

a

a a

a a

a a a

a a

a a a

a

a a a

a

a a a

a a

a a aRta

;

, , .

30. 30. 30. 30. 30.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

a

a

a

a a xmcm a

a a a a a a

a a a a

a

a

a

a

a

a a

a a

a

a

a

a

a a

a

a

a

a

a

a a

+− + + −

= −

− ÷ − = − ÷ + + = −

− ÷ − = + +

+−

=+− + +

=−

−=

−−

−=

+ +−

⇒+−

−−

+ +

1

1

2

1

1

11

1 1 1 1 1 1

1 1 1

1

1

1

1

2

1

2 1

1

2 2

1

1

1

1

1

1

1

2 2

1

1

3 23

3 3 3 2

3 2

3 3 2 3

2

3

2

3 3

2

3

2

, ,

; ;

, ,a

Rta3 1−.

31. 31. 31. 31. 31. ( )( )[ ] ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]

( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

( ) ( )

1

1

1

1

2

33 1

3 1 1 3 1

3 1 1 3 3 1 3 1

1

1

3 1

3 1

3 3 3

3 1

1

1

3

3 1

2

3

2 1

3 1

2 2

3 1

3 3 3

3 1

3

3 1

2

33

3 2

3 3 3 3

2

3

2

3

3 3

3

3

3

3

2

3 3

x xmcm x

x x x x

x x x x

x

x x

x

x x

x

x x

x

x

x

x

x x

x x

− −= −

− ÷ − = + +

− ÷ − = − ÷ = −

−=

+ +−

=+ +

−

−=

−=

−−

=−−

⇒+ +

− −

, ,

;

;

, , ( )x

xRta

3

3

2

3 1

−−

.

32. 32. 32. 32. 32.

( )( )[ ] ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )

( )[ ]( ) ( )( )[ ]

3

2 2

1

4 4

4

4 2 2 2

4 4

4 4 4

3

2 2

3 2

4

6 6

4

4

4

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2

2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

a ab

b

a x abx ax bx

mcm ax a b

ax a b a ab x a b

ax a b a x abx x a b

ax a b ax bx a a b

a ab

x a b

ax a b

ax bx

ax a b

b

a x abx

b x a b

ax

+ + −

= −

− ÷ + = −

− ÷ + = −

− ÷ − = +

+=

−

−=

−−

+=

−

, ,

;

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

a b

abx b x

ax a b

ax bx

a a b

ax a b

a ab

ax a b

ax bx

ax a b

abx b x

ax a b

a ab

ax a bRta

2 2

2

2 2 2

2 2 2 2 2

2

2 2 2

2 2

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

4 4

4

1

4 4 4 4

6 6

4

4 4

4 4

−=

−−

−=

+−

=+

−

⇒−

−−

−+

−

;

, , .

33. 33. 33. 33. 33. ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

11

1

1

3 1

11

1 1 1

1 1 1 1 1 1

11

1

1

1

1

1 1

1

1

1

3 1

1

3 3

1

1

1

1

1

3 3

1

2 3

3

3 2

3 2 3 3

2

3 2 3

2

3

3 3

2

3

2

3 3

a

a

a

a

amcm a

a a a

a a a a a

a

a

a

a

a

a a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

aRta

−+

−

+

−= −

− ÷ − = −

− ÷ − = − − ÷ − =

−=

−

−

+

−=

+ −

−=

−

−

+

−=

+

−⇒

−

−

−

−

+

−

, ,

; ;

, , .

34. 34. 34. 34. 34. ( )( )( )( )[ ] ( )( )( )[ ] ( ) ( )( )( )[ ] ( )

( )( )( ) ( )( )

( )

2 3

6 7 2

3

2 1

2 1

6 42 3 2 2 1

2 3 2 2 1 6 7 2 2

2 3 2 2 1 2 1 2 3 2

2 3 2 2 1 6 4 2 1

2 3

6 7 2

2 2 3

2 3 2 2 1

4 6

2 3 2 2 1

3

2 1

6 3 2

2 3

2

2

2

x

x x x

x

xmcm x x

x x x x

x x x x

x x x x

x

x x

x

x x

x

x x

x

x

x

−+ + +

−+

= + +

+ + ÷ + + =

+ + ÷ + = +

+ + ÷ + = +

−+ +

=−

+ +=

−+ +

+=

+

, ,

;

( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

+ +=

++ +

−+

=− ++ +

=−

+ +

⇒−

+ ++

+ +−

+ +

2 2 1

18 12

2 3 2 2 1

2 1

6 4

2 1 2 1

2 3 2 2 1

4 1

2 3 2 2 1

4 6

2 3 2 2 1

18 12

2 3 2 2 1

4 1

2 3 2 2 1

2

2

x

x

x x

x

x

x x

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x

x xRta

;

, , .

EJERCICIO 126

1. 1. 1. 1. 1. x x x x x x x−

++

=− + +

=− + +

=−2

4

3 2

6

3 2 2 3 2

12

3 6 6 4

12

9 2

12

b g b g

2. 2. 2. 2. 2. 2

51

33 2 5

155 6152 2 2a ab

b aa b

a ba b

+ =⋅ +

=+

3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )a b

a

b a

b

b a b a b a

ab

ab b ab a

ab

a ab b

ab

−+

−=

− + −

=− + −

=− + −

2

15 20

4 2 3

604 8 3 3

60

3 7 8

60

2 2 2 2

4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( )

( )

a b

ab

a b ab

a b

ab a b a b ab

a b

a b ab a b ab

a b

a b ab

a b

ab a b

a b

a b

ab

++

−=

+ + −

=+ + −

=+

=+

=+

3

3

4

5

5 3 3 4

155 15 3 12

15

8 315

8 3

158 315

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

5. 5. 5. 5. 5.

( )

a a a

a a a a a a a

−+ +

+

=− + ⋅ + +

=− + + +

=

1

3

2

6

3 4

12

4 1 2 2 3 4

12

4 4 4 3 4

12

11

12

6. 6. 6. 6. 6. n

m mn mn n m mn

m nm mn n

m n2 2

2

2

3 2 3 2 3 2+ + = ⋅ + + = + +

7. 7. 7. 7. 7.

( ) ( )

1

2

2 1

3

3 1 6 2 2

63 3 6 12 2

6

9 12 3 2

6

2 2

2

2

2

2

2

−+

++

=− + + +

=− + − +

=+ − +

x

x

x

x ax

ax x a x

ax

ax ax ax a

ax

ax a ax

ax

8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( ) ( )

( )

2 3

3

3 2

10 5

10 2 3 3 3 2 6

3020 30 9 6 6 6

30

29 24

30

29 24

30

29 24

30

a

a

x

x

x a

ax

x a a x x a

axax x ax a x a

ax

ax x

ax

x a

ax

a

a

−+

++

−=

− + + + −

=− + + + −

=−

=−

=−

9. 9. 9. 9. 9.

( ) ( )

( )

3

5

2

2

2

6

6 3 15 2 5 2

3018 15 30 5 10

30

38 30 10

30

2 19 15 5

30

19 15 15

15

2

2

2 2

2

2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

++

++

=⋅ + + + +

=+ + + +

=+ +

=+ +

=+ +

x

x

x

x

x x x x

x

x x x x

x

x x

x

x x

x

x x

x

10. 10. 10. 10. 10.

( ) ( ) ( )

x y x y y x

x y x y y x

x y x y y x x y

−+

++

−

=− + + + −

=− + + + −

=+

12

2

15

4

30

5 4 2 2 4

605 5 8 4 2 8

60

5

60

11. 11. 11. 11. 11.

( ) ( ) ( )

m n

mn

n a

na

a m

am

a m n m n a n a m

amnam an mn ma an mn

amn

an

amn m

−+

−+

−

=− + − + −

=− + − + −

= =

2

2

2 1

12. 12. 12. 12. 12.

( ) ( ) ( )

x

x

x

x

x

x

x x x x x

x

x x x x x

x

x x x

x

++

−+

−

=+ + − + −

=+ + − + −

=+ − +

2

3

2

5

2

9

15 2 9 2 5 2

4515 30 9 18 10 5

4519 30 18 10

45

2

2

3

3

2 2 3

3

3 2 3 3

3

3 2

3

13. 13. 13. 13. 13.

( ) ( )

1

3

2 2

3

2

2 2

2 2 2 2

2 3

2 2 3 2 3

2 3

3 2 3

2 3

ab

b a

ab

ab b

a b

ab a b a b ab b

a b

ab ab a ab b

a b

a ab b

a b

+−

++

=+ − + +

=+ − + +

=− + +

14. 14. 14. 14. 14.

( ) ( )

a b

ab

a m

am a

m a b b a m bm

abmam bm ab bm bm

abm

am ab bm

abm

++

−+

=+ + − +

=+ + − +

=+ +

3 2 3 3

3 2 3 3

3 2 3 3 2 3

EJERCICIO 127

1. 1. 1. 1. 1. 1

11

11 1

12

12 2a aa a

aa

a++

−= − + +

−=

−

2. 2. 2. 2. 2.

( )

2

4

1

3

2 3 4

12

2 6 4

12

3 2

122 2 2

x x

x x

x x

x x

x x

x

x x

++

−

=− + ++ −

=− + ++ −

=−

+ −

3. 3. 3. 3. 3.

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

3

1

6

2 5

3 2 5 6 1

1 2 5

6 15 6 6

1 2 5

21

1 2 5

−+

+

=+ + −

− +=

+ + −− +

=− +

x x

x x

x x

x x

x x x x

4. 4. 4. 4. 4.

( ) ( )

x

x y

x

x y

x x y x x y

x y

x xy x xy

x y

x

x y

−+

+

=+ + −

−=

+ + −−

=−2 2

2 2

2 2

2

2 2

2

5. 5. 5. 5. 5.

( )( ) ( )( )( )( )

( )( ) ( )( )( )

( )( )

m

m

m

m

m m m m

m m

m m m m

m m

m

m m

m

m m

+−

++−

=− + + − +

− −

=+ − + − −

− −=

−− −

=−

− −

3

3

2

2

2 3 3 2

3 2

6 6

3 2

2 12

3 2

2 6

3 2

2 2 2 2

6. 6. 6. 6. 6. ( )( ) ( )( )

( ) ( )

x y

x y

x y

x y

x y x y x y x y

x y

x y x y

x y

x xy y x xy y

x y

x y

x y

+−

+−+

=+ + + − −

−

=+ + −

−

=+ + + − +

−=

+−

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

7. 7. 7. 7. 7. ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x

x

x

x

x x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

2 2

2

2

2 2

2

2

2

1

1

1

1 1

1 1

2 1

1 1

2 1

1 1

−+

+

−=

− + +

− +

=− + + +

− +=

+ +

− +

8. 8. 8. 8. 8. ( )2

5

3

25

2 5 3

25

2 10 3

25

5 10

252 2 2 2x

x

x

x x

x

x x

x

x

x−+

−=

+ +−

=+ +

−=

+−

9. 9. 9. 9. 9. 1

3 2 9 43 2

9 44

9 42 2 2 2 2 2x yx y

x yx y x y

x yx y

x y−+

−−

=+ + −

−=

+−

10. 10. 10. 10. 10. ( )( )x a

x a

a x

x a

x a x a a x

x a

x ax ax a a x

x a

ax

x a

ax

a x

++

+−

−=

− + + −−

=+ − − + −

−

=−

−=

−

3

3

9

3 3

9

3 3 3

9

2

9

2

9

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

11. 11. 11. 11. 11.

( ) ( )( )( ) ( )( )

a

a

a

a

a a a a

a a

a a a a

a a

a

a

1 1

1 1

1 1 1 1

2

1

2 2

2 2

2 2

3 3

2 2 4

−+

+

=+ + −− +

=+ + −− +

=−

12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( )

( )

( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

a ab ab b

b a b a a b

ab a b

ab b a ab

ab a b

a b

ab a b

−+

+=

+ + −−

=+ + −

−=

+−

13. 13. 13. 13. 13.

( )

ab

a b

a

a b

ab a a b

a b

ab a ab

a b

a

a b

9 3

3

9

3

9

3

9

2 2

2 2

2

2 2

2

2 2

−+

+

=+ −

−=

+ −−

=−

14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( )( ) ( )( )1 1 2

2 2 2 2 2a b a b

a b a b

a b a b

a

a b a b−+

−=

− + +

+ −=

+ −

15. 15. 15. 15. 15. ( )( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )

3 2 3 2

3 6 3 2 2

5 6 5

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

x y x y

x y x y

x y x y

x xy y x y

x y x y

x xy y

x y x y

++

+=

+ + +

+ +

=+ + + +

+ +

=+ +

+ +

16. 16. 16. 16. 16.

( )( )

( )( )( )

( )

( ) ( ) ( )

x

a ax

a x

ax

a

ax x

a ax a a x

ax ax mcm ax a x

ax x x a x

x a x a x a

ax a x

x a x a

ax a x

a

ax a x

a

x a x

2 2

2

2

2 2

2 2 2 2 22 2

−+

++

−

− = −

= = −

− = −

=+ + − +

−

=+ − +

−=

−=

−

17. 17. 17. 17. 17.

( )( ) ( )

( )( )( ) ( )( ) ( )

( )

( )

( )( )( )( )( ) ( )

3

2 4

1

2 4

8

4

2 4 2 2

2 4 2 2 2 4

4 2 2

3 2 1 2 2 8

2 4

3 6 2 2 16

2 4

6 8

2 4

2 4

2 2 2

4

2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

x

x

x

x

x

x x

x x mcm x

x x x

x x x x

x

x x x x

x

x x

x

x x

x x

x

x

++

−−

++−

+ = +

− = − = −

− = − +

=− + − + + +

−

=− + + − + +

−

=+ +

−=

+ ++ −

=+−

18. 18. 18. 18. 18.

( )( ) ( )

( )( )( )

( )

( )( )( )( )( ) ( )

1 1 3

1

1

1 1

1 1 1

1 1 3

1

2 3

1

1 2

1 1

2

1

2 2 2

2

2 2

2

2

2

2

x x x x

x

x

x x x x

x x x x mcm x x

x x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

x x x

x

x x

++

−+

+−

+ = +

− = − = −

− = + −

=− + + + +

−

=+ +

−=

+ +− +

=+−

19. 19. 19. 19. 19.

( )( ) ( )( )

( )

( )( )( )

( )

x y

x y

x y

x y

xy

x ymcm x y

x y x y x y x y xy

x y

x xy y x xy y xy

x y

x y xy

x y

x xy y

x y

x y

x y x y

x y

x y

−+

++−

+−

= −

=− − + + + +

−

=− + + + + +

−

=+ +

−=

+ +−

=+

+ −=

+−

4

4

2 2 4

2 2 4 2 2

2 2

2 22 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

20. 20. 20. 20. 20.

( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( )

1

5 4 5

5

2 1

5 5

4 5 5 1

2 1 1 5 1

1 1 5 5

5 1

2 1 25

5 1

3 3 24

5 1

3 8

5 1

2 2

2

2 2 2

2

2

2 2 2

2

2

2

2

2

a

a

a a

a

a a

a a

a a a a

a a a mcm a a

a a a a a

a a

a a a a a

a a

a a

a a

a a

a a

−+

− −+

++ +

− = −

− − = − +

+ + = + = − +

=+ + + + + −

− +

=+ + + + + −

− +

=+ −

− +=

+ −

− +

21. 21. 21. 21. 21. ( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

3 2

5 3

1 85

25 925 9

3 25 9 2 5 3 1 85

25 9

75 27 10 6 85

25 9

7 27

25 9

22

2

2

2 2 2

2 2

a a

a

amcm a a

a a a a a

a a

a a a a a

a a

a

a a

+−

+−

−= −

=− + + + −

−

=− + + + −

−=

−−

22.22.22.22.22. ( )( )( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )

x x

x

xmcm x

x x x x x

x

x x x x x

x

x x

x

++

−−

+−

= −

=+ − + − + − −

−

=− − + − + − +

−=

− +−

110

35 10

22

10 2

1 2 2 3 5 2 2

10 2

2 2 6 5 20 20

10 2

6 19 12

10 2

2 2 2

23. 23. 23. 23. 23.

( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )( )

( )( )( )

x

x x

x

x x

x

x x

x x x x

x x x x

x x x x

mcm x x x

x x x x x x

x x x

x x x x x x

x x x

x

++ −

++

+ −+

−+ +

+ − = + −

+ − = + −

+ + = + +

= + + −

=+ + + + + + − −

+ + −

=+ + + + + + − +

+ + −

=+

5

12

4

2 15

3

9 20

12 4 3

2 15 5 3

9 20 5 4

5 4 3

5 5 4 4 3 3

5 4 3

10 25 8 16 6 9

5 4 3

3 12

2 2 2

2

2

2

2 2 2

2

( )( )( )x

x x x

++ + −

50

5 4 3

24. 24. 24. 24. 24.

( )( )( )

1

2

1 2

8 2 4

8 2 2 4 8

2 4 1 2 2

8

2 5 2

8

5

8

2

3 2

3 2 3

2 2

3

2 2

3 3

x

x

x

x

x x

x x x x mcm x

x x x x x

x

x x x x

x x

−+

−−

++ +

− = − + + = −

=+ + + − + −

−

=− + + + −

−=

−

25. 25. 25. 25. 25. ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )

( )( )

( )( )( )

2

1 1

1

11

2 1 1 1

1

2 4 2 1

1

3 6 3

1

3 2 1

1

3 1

1

3

1

2 3

3

2

3

2 2

3

2

3

2

3

2

3

a

a

a

a

amcm a

a a a a

a

a a a a a

a

a a

a

a a

a

a

a a

++

++

+

+= +

=+ + + + +

+

=+ + + + + +

+

=+ +

+=

+ +

+=

+

+=

+

26. 26. 26. 26. 26.

( )( )( )( )

( )( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

2

3 11 6

1

9

1

3 2

3 11 6 3 3 2

9 3 3

3 2 3 2 9 3 2

2 3 1 3 2 9

9 3 2

2 6 3 5 2 9

9 3 2

6 7

9 3 2

2 2

2

2

2

2

2

2 2 2

2

2

2

x

x x

x

x x

x x x x

x x x

x x mcm x x

x x x x x

x x

x x x x x

x x

x x

x x

+ ++

+−

++

+ + = + +

− = + −

+ = + = − +

=− + + + + −

− +

=− + + + + −

− +

=− −

− +

27. 27. 27. 27. 27.

( )( )

( )( )( )

x

x x x x

x x x x mcm x

x x x x

x

x x

x

x x

x x x

x

x x

2

3 2

3 2 3

2 2

3

2

3 2 2

4

1

1

1

3

1

1 1 1 1

4 1 3 3

1

2 2

1

2 1

1 1

2

1

−+

++

+− +

+ = + − + = +

=− + − + + +

+

=++

=+

+ − +=

− +

28. 28. 28. 28. 28. ( )( ) ( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

( )( )( ) ( )( )( )( )( )

( )( )( ) ( )( )

1

1

1

1 2

1

1 2 3

1 2 3

2 3 3 1

1 2 3

5 6 2 4

1 2 3

7 10

1 2 3

5 2

1 2 3

5

1 3

2 2

x x x

x

x x x

mcm x x x

x x x x

x x x

x x x

x x x

x x

x x x

x x

x x x

x

x x

−+

− ++

+− + +

= − + +

=+ + + + + +

− + +

=+ + + +

− + +=

+ +− + +

=+ +

− + +=

+− +

29. 29. 29. 29. 29.

( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )

( )

x

x x

x

x x

x

x x

x x x x

x x x x

x x x x

mcm x x x

x x x x x x

x x x

x x x x x

x x

−− −

+−

− −+

−− +

− − = − +

− − = − +

− + = − −

= − − +

=− − + − − + − +

− − +

=− + + − + + −

− −

2

2 5 3

3

2 3 2

2 1

5 6

2 5 3 3 2 1

2 3 2 2 2 1

5 6 3 2

3 2 2 1

2 2 3 3 2 1 2 1

3 2 2 1

4 4 6 9 4 1

3

2 2 2

2

2

2

2 2 2

( )( )

( )( )( )

2 2 1

6 10 12

3 2 2 1

2

x

x x

x x x

+

=− +

− − +

30.30.30.30.30. ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

a

a

a

a

a

amcm a a a

a a a a a a a a a

a a a

a a a a a a a a a

a a a

a a a

a a a

−−

+++

++−

= − + −

=+ − − + − + − + − + +

− + −

=− − + + − − + + + − −

− + −

=− − +

− + −

2

1

3

2

1

31 2 3

2 2 3 1 3 3 1 1 2

1 2 3

3 4 12 9 9 2 2

1 2 3

3 2 14 19

1 2 3

3 2 3 2 3 2

3 2

EJERCICIO 128

1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )x x x x x x x−

−+

=− − +

=− − −

=−3

4

2

8

2 3 2

8

2 6 2

8

8

8

2. 2. 2. 2. 2.

( ) ( )

a b

a

b

ab

b a b a b

a b

ab b ab a

a b

a b

a b

+−

−

=+ − −

=+ − +

=+

5 3

5 3 5 3 3 5

2

2

2

2

2

2

3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )2

3

1

2

2 2 3

6

4 3

62 2 2 2 2 2mn m n

m n

m n

m n

m n− =

−=

−

4. 4. 4. 4. 4.

( ) ( )

a

ab

ab

a b

ab a ab

a b

a b ab ab

a b

a b ab

a b

−−

−

=− − −

=− − +

=+ −

3

5

4 3

3

3 3 5 4 3

153 9 20 15

15

3 6 20

15

2

2 3

2 2

2 3

2 2 2 2

2 3

2 2 2

2 3

5. 5. 5. 5. 5.

( ) ( )

2 3

4

2

8

2 2 3 2

8

4 6 2

8

3 8

8

a

a

a

a

a a

a

a a

a

a

a

+−

−

=+ − −

=+ − +

=+

6. 6. 6. 6. 6.

( ) ( )

y x

x

x y

y

y y x x x y

xy

y xy x xy

xy

y xy x

xy

−−

−

=− − −

=− − +

=+ −

2

20

3

24

6 2 5 3

120

6 12 5 15

120

6 3 5

120

2 2 2 2

7. 7. 7. 7. 7.

( ) ( ) ( )

x x x

x x x

x x x x x

−−

−−

+

=− − − − +

=− − + − −

=− −

= −+

1

3

2

4

3

6

4 1 3 2 2 3

124 4 3 6 2 6

12

4

12

4

12

8. 8. 8. 8. 8.

( ) ( ) ( )

3

5

2 1

10

4 1

20

4 3 2 2 1 4 1

2012 4 2 4 1

20

4 2 1

20

2

2

2 2

2

2 2 2

2

2

2

−+

−+

=− + − +

=− − − −

=− −

a

a

a

a

a a a a

a

a a a a

a

a a

a

9. 9. 9. 9. 9.

( ) ( ) ( )

( )

3

5

1

3

2 3

15

3 3 5 1 2 3

159 5 5 2 3

15

3 3 3

15

3 1

15

1

5

2

2

3

2 2

3

2 2 2

3

2

3

2

3

2

3

x

x

x

x x

x

x x x x x

x

x x x x x

x

x x

x

x x

x

x x

x

−−

−+ +

=− − − + +

=− + − − −

=+ −

=+ −

=+ −

10. 10. 10. 10. 10.

( )

1

2

2

3

5

6

3 2 2 5

63 4 2 5

6

4 5

6

2 3

3 2

2 3

3 2 3

2 3

3 2

2 3

a

b

ab a b

ab ab b

a b

ab ab ab

a b

ab ab

a b

−+

−

=− + −

=− − −

=− −

EJERCICIO 129

1. 1. 1. 1. 1. ( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

1

4

1

34 3

3 4

4 3

3 4

4 3

1

4 3

x xmcm x x

x x

x x

x x

x x x x

−−

−= − −

=− − −− −

=− − +− −

=− −

2. 2. 2. 2. 2.

( )( ) ( )( )

m n

m n

m n

m nmcm m n

m n m n m n m n

m n

m mn n m mn n

m n

mn

m n

mn

n m

−+

−+−

= −

=− − − + +

−

=− + − − −

−=

−−

=−

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 4 4

3. 3. 3. 3. 3. ( )( ) ( )( )1

1

1

1

1 1 1 1

1

1 2 1 2

1

4

1

4

1

2

2 2

2 2 2

−+

−+−

=− − − + +

−

=− + − − −

−=

−−

=−

x

x

x

x

x x x x

x

x x x x

x

x

x

x

x

4. 4. 4. 4. 4.

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

a b

a ab

b a

ab b

a ab a a b ab b b a b

mcm ab a b

b a b a b a

ab a b

ab b ab a

ab a b

a b

ab a b

++

−−+

+ = + + = +

= +

=+ − −

+=

+ − ++

=+

+

2 2

2 2

2 2 2 2

;

5. 5. 5. 5. 5. ( )( ) ( )m n

m n

m n

m n

m n m n m n

m n

m mn n m n

m n

mn

m n

+−

−+−

=+ + − +

−

=+ + − −

−=

−

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

1 11 1

1

1 1

1

1 1

1

2

1

2

1

2

1

2 22 2

2

2 2 2 2 2

x x x xx x x x x x x x

mcm x x

x x

x x

x x

x x

x

x x x x

+−

−+ = + − = −

= −

=− − +

−=

− − −−

=−

−=

−−

=−

;

7. 7. 7. 7. 7. ( )( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

a x

a x

x

a x

a x a x x a x

a x a x

a ax x ax x

a x a x

a ax x

a x a x

+

−−

−

=+ + − −

− +

=+ + − +

− +=

+ +

− +

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2

2

2 2

8. 8. 8. 8. 8.

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

a

a a

a a a a

mcm a

a

a

a

a

a

a

++

−+

+ = + + = +

= +

=+ −

+=

+ −+

=++

=

1

6 3

1

12 6

6 3 3 2 1 12 6 6 2 1

6 2 1

2 1 1

6 2 1

2 2 1

6 2 1

2 1

6 2 1

1

6

;

9. 9. 9. 9. 9.

( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( )( )

( )( ) ( )( )

a

a a

a

a a

a a a a a a a

mcm a a

a a a a

a a

a a

a a a a

−− +

−+

+ −

− + = − + − = + −

= − +

=+ − − − +

+ −

=− − +

+ −=

−

+ −

4

6 9

3

12

6 9 3 12 4 3

3 4

4 4 3 3

4 3

16 9

4 3

7

4 3

2 2

2 2 2

2

2

2 2

2 2

;

10. 10. 10. 10. 10.

( )

( )( )( )

a ab b

a b

b

a bmcm a b

a ab b b a b

a b

a ab b ab b

a b

a ab

a b

a a b

a b a b

a

a b

2 2

2 22 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2

2 2

4 3

9 39

4 3 3

9

4 3 3

9

3

9

3

3 3 3

+ −−

−+

= −

=+ − − −

−

=+ − − +

−

=+−

=+

+ −=

−

11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

x

x

x

xmcm x x

x x x x

x x

x x x x

x x

x

x x

x

x x

2 2

2

2

2 2

2 2 2

1

1

11 1

1 1 1

1 1

2 1

1 1

3 1

1 1

3 1

1 1

−−

+

−= − +

=− − + +

+ −

=− − − −

+ −=

− −

+ −= −

+

+ −

12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2 3

3 3 3

3 2 2

2 2 2

3 2 2

2 2 2 2

3 2 2 3 2 2

a b a bmcm a b a ab b

a b a ab b

a b a ab b

a ab b a ab b

a b a ab b

ab

a b a ab b

−−

−= − + +

=− − + +

− + +

=− + − − −

− + +=

−

− + +

13. 13. 13. 13. 13.

( )( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )

x

x x x x

x x x x

x x x mcm x x

x x x

x x

x x x

x x

x x

x x

++ −

−− +

+ − = + −

− + = − = − +

=− + − +

+ −

=+ − − −

+ −=

+ −

+ −

3

6 2

1

4 4 1

6 2 3 2 2 1

4 4 1 2 1 2 1 3 2

2 1 3 3 2

3 2 2 1

2 5 3 3 2

3 2 2 1

2 2 5

3 2 2 1

2 2

2

2 2 2

2

2

2

2

2

14. 14. 14. 14. 14. ( )( )( ) ( )( )

( )

( ) ( )

x

x

x

xmcm x

x x x x

x

x x x x

x

x x

x

−+

−+−

= −

=− − − + +

−

=− + − − −

−=

−−

1

4 4

2

8 88 1

2 1 1 2 1

8 1

2 4 2 3 2

8 1

7

8 1

2

2

2 2

2

2

2

15. 15. 15. 15. 15. ( )( )

( ) ( ) ( )

x

xy y ymcm y x y

x x y

y x y

x x y

y x y

y

y x y x y

−− = −

=− −

−=

− +−

=−

=−

2

1

1

16. 16. 16. 16. 16. ( )( )

( ) ( ) ( )

b

a b

b

a abmcm a a b

ab b a b

a a b

ab ab b

a a b

b

a a b

2 2 22 2

2 2

2

2 2

2

2 2

−−

+= −

=− −

−=

− +−

=−

17. 17. 17. 17. 17.

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )

2 3

6 9

1

4 12 9

6 9 3 2 3 4 12 9 2 3

3 2 3

2 3 2 3 3 1

3 2 3

4 9 3 3

3 2 3

4 3 6

3 2 3

2

2 2

2

2

2

2

2

2

a

a

a

a a

a a a a a

mcm a

a a a

a

a a

a

a a

a

−+

−−

+ +

+ = + + + = +

= +

=+ − − −

+

=− − +

+=

− −

+

;

18. 18. 18. 18. 18. ( )( )( )

( )( )

( )( ) ( )( )

x

x x

x

x xmcm x x x x

x x

x x x x

x x

x x x x x x x x

++ +

−−

− += + + − +

=+ − −

+ + − +

=+ − +

+ + − +=

+ + − +

1

1

1

11 1

1 1

1 1

1 1

1 1

2

1 1

2 22 2

2 2

2 2 2 2

19. 19. 19. 19. 19. ( )( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )

( )

( )( )( ) ( ) ( )

a

a a a amcm a a

a a a a a a

a a

a a a a a a

a a

a a a

a a

a

a a

a

a a

a

a a

a

a a

−+

−−

−+

= −

=− − − + − −

−

=− + − − − +

−

=− + −

−

= −−

−

= −−−

= −−−

=−

−

1 1

2 2

1

2 22 1

2 1 1 1 1

2 1

2 2 1

2 1

2 4 2 2

2 1

4 2

2 1

2 2 1

2 1

2 1

1

1 2

1

22

2

2 2 2

2

2 2

2

2

2 2 2

20. 20. 20. 20. 20.

( )( )( )( ) ( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( )

( )( )

1

4 4

1

8 8

1

12 12

24 1 1

6 1 1 3 1 1 2 1

24 1 1

6 1 3 1 2 2

24 1 1

6 6 6 6 3 3 3 3 2 2

24 1 1

3 11 3 7

2

2 2

2 2 2

2 2

3 2 3 2 2

2 2

3 2 3 2 2

2 2

3 2

a a a

mcm a a

a a a a a

a a

a a a a a a a

a a

a a a a a a a

a a

a a a

+−

−−

+

= + −

=+ − − + + − −

+ −

=− + − − + + + − +

+ −

=− + − − − − − − +

+ −

=− + −

( )24 14a −

21. 21. 21. 21. 21. ( )( )( )

( )

( )( )( )

( )( )

y

x xy x x ymcm x x y

y x y x

x x y

y x y x

x x y

y x

x x y

y x

x x y

x y

x x y x

2

1 1

2 2 2 2 2

−− −

−= −

=− − −

−

=− + −

−

=−−

=−−

= −−−

= −

22. 22. 22. 22. 22. ( )( )( ) ( ) ( )

a

a ab a a bmcm a a b

a a b a

a a b

a b

a a b

a b

a a b a

2

1 1

1

+− −

+= +

=− + −

+=

− −+

= −++

= −

23. 23. 23. 23. 23. ( )( )

( ) ( ) ( )

1 1 2

2 00

2 2 3 22 2

2 2 2 2 2 2

x xy x xy

y

x xymcm x x y

x y x y y

x x y

x y x y

x x y x x y

−−

+−

−= −

=+ − − −

−=

− − +−

=−

=

24. 24. 24. 24. 24.

( )( )( )( )( )( )( )( )( )

( ) ( ) ( )( )( )( )

( )( )( ) ( )( )( )

x

x x x x

x

x x

x x x x

x x x x

x x x x

mcm x x x

x x x x x

x x x

x x x x x

x x x

x

x x x

2 2 2

2

2

2

2 2

2

3

2 3 5 6

2 2 1

2 3 3 1

5 6 3 2

2 1 3

3 3 2 1

2 1 3

3 3 6

2 1 3

6

2 1 3

+ −−

+ −−

+ +

+ − = + −

+ − = + −

+ + = + +

= + − +

=+ − + − −

+ − +

=+ − − − +

+ − +=

−+ − +

25. 25. 25. 25. 25. ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )

3

1

2

1

1 9

1 11 1

3 1 2 1 1 9

1 1

3 6 3 2 2 2 1 9

1 1

1 1

2 2 33

2 2

3

2 3 2 2

3

3

3

x x

x

x

x

x xmcm x x

x x x x x

x x

x x x x x x x x

x x

x

x x

+ +−

+

−−

−− −

= − −

=− − + + + − −

− −

=− + − − − − − − − +

− −

= −− −

26. 26. 26. 26. 26.

( )( )( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( )( )( )

( )

a b

a b

a b

a ab b a b

a b a b a ab b

a ab b a ab b

a b a b

mcm a b a ab b

a b a b a b a ab b

a b a ab b

a b a b a ab b

a b a ab

2 2

3 3 2 2

3 3 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2

2 2 2

1

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2

2 2

2

+−

−+

+ +−

−

− = − + +

+ + = + +

− = −

= − + +

=+ − + − − + +

− + +

=+ − + − − −

− + +( )

( )( ) ( )

b

b ab

a b a ab b

b ab

a b

2

2

2 2

2

3 3

2

2

2

2=

−− + +

=−−

27. 27. 27. 27. 27.

( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )

( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )( )

3

2 2 4

1

4 8 32

10 1

8 40 32

2 2 4 2 2 2 2 1

4 8 32 4 2 8 4 4 2

8 40 32 8 5 4 8 4 1

8 4 2 1

12 4 2 1 1 10 1 2

8 4 2 1

2 2 2

2 2

2 2

2 2

a

a a

a

a a

a

a a

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

mcm a a a

a a a a a a

a a a

− −−

−+ −

−−

+ +

− − = − − = − +

+ − = + − = + −

+ + = + + = + +

= + − +

=+ − − + − − −

+ − +

( )( )( )

( )( )( )

=+ − + − + + −

+ − +

=+ − +

12 48 2 2 10 20 2

8 4 2 1

69

8 4 2 1

2 2 2a a a a a a

a a a

a

a a a

28. 28. 28. 28. 28. ( )( )

( )( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )

1

4 12

9

27 2 3 9

4 12 4 3

27 3 3 9

2 3 9 2 3 9

4 27

3 9 4 9 2 3

4 27

3 9 4 36 2 6

4

2 2

3 3 2 2

3 3 2 2

2 2 2 2

3 3

2 2 2 2

3 3

2 2 2 2 2

3

a x

a x

a x

a

a ax a

a x a x

a x a x a ax a

a ax a a ax a

mcm a x

a ax x a x a a x

a x

a ax x a x a ax

a

−−

+−

−+ +

− = −

− = − + +

+ + = + +

= −

=+ + − + − −

−

=+ + − − − +

( )

( ) ( )

−

=− + −

−= −

− +−

27

5 9 27

4 27

5 9 27

4 27

3

2 2

3 3

2 2

3 3

x

a ax x

a x

a ax x

a x

29. 29. 29. 29. 29.

( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )

( )( )( )

2 3

10 10

1

50

9 14

50 50

10 10 10 1

50 50

50 50 50 1

50 1

5 2 3 1 1 9 14

50 1

10 15 2 1 9 14

50 1

2 2

50 1

2 1

50 1

1

25

2 2

2 2

2 2 2

a

a

a a

a

a a

a a

mcm a

a a a a

a

a a a a

a

a

a

a

a

−+

−+

−−+

+ = +=

+ = +

= +

=− − + + − −

+

=− − − − − +

+

=− −

+= −

++

= −

EJERCICIO 130

1. 1. 1. 1. 1. ( )( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )( )

2

3

3

2

4 7

63 2

2 2 3 3 4 7

3 2

2 4 3 9 4 7

3 2

2

3 2

1

3

2x x

x

x xmcm x x

x x x

x x

x x x

x x

x

x x x

−+

+−

−− −

= − +

=+ + − − −

− +

=+ + − − +

− +=

+− +

=−

2. 2. 2. 2. 2. ( )

( ) ( )( )( )

a

a a

a

amcm a

a a

a

a

a

a

a

3 6

1

6 12

12

12 2412 2

4 2 12

12 2

5 10

12 2

5 2

12 2

5

12

+−

++

++

= +

=− + +

+=

++

=++

=

3. 3. 3. 3. 3. ( )( ) ( )

( )

( ) ( )

x

x x xmcm x x

x x x x

x x

x x x x

x x

x x x

x x

2 22 2

3 2 2

2 2

3 3 2

2 2

3 2

2 2

1

1

3

13 1

3 1 3 1

3 1

3 3 3

3 1

4 3 3

3 1

++ − = +

=+ + − +

+

=+ + − −

+=

+ − −+

4. 4. 4. 4. 4. ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )

( ) ( )

a

a

a

a

a

amcm a

a a a a a

a

a a a a a

a

a a

a

+−

+−+

+−−

= −

=+ + − − + − +

−

=+ + − + + − −

−=

− +−

3

1

1

2 2

4

4 44 1

4 3 2 1 1 4 1

4 1

4 12 2 4 2 3 4

4 1

3 3 10

4 1

22

2

2 2

2

2

2

5. 5. 5. 5. 5. ( )( ) ( )( )

( )

( ) ( )

a b

a ab

a b

ab

a

ab bmcm ab a b

b a b a b a b a

ab a b

ab b a ab b a

ab a b

ab

ab a b a b

−+

++

−+

= +

=− + + + −

+

=− + + + −

+=

+=

+

2 2

2

2 2 2 22 3 3

6. 6. 6. 6. 6.

( )( ) ( )( )

( )( )( )

x y

x y

x y

x y

x

x ymcm x y

x y x y x y x y x

x y

x xy y x xy y x

x y

x xy

x y

x x y

x y x y

x

x y

−+

−+−

+−

= −

=− − − + + +

−

=− + − − − +

−

=−−

=−

+ −=

+

4

4

2 2 4

4 4 4 4

2

2 22 2

2

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2

2 2

7. 7. 7. 7. 7. ( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

x

a ax a xmcm ax a x

x x a x a a x

ax a x

x ax x a ax

ax a x

a

ax a x

a

x a x

2

2

2 2 2 2

1 1

−+ + = −

=+ − + −

−

=+ − + −

−=

−=

−

8. 8. 8. 8. 8.

( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )( )

( )( )( )

x

x x

x

x x

x

x x

x x x x

x x x x

x x x x

mcm x x x

x x x x x x

x x x

x x x x x

x x x

x x

x

+− −

−+

− −+

++ +

− − = − +

− − = − +

+ + = + +

= − + +

=+ + − + + + − +

− + +

=+ + − − − + −

− + +

=− −

−

1

20

4

4 5

5

5 4

20 5 4

4 5 5 1

5 4 4 1

5 4 1

1 1 4 4 5 5

5 4 1

2 1 8 16 25

5 4 1

6 40

2 2 2

2

2

2

2 2 2

2

( )( )( )( )( )

( )( )( ) ( ) ( )

5 4 1

10 4

5 4 1

10

5 1

x x

x x

x x x

x

x x

+ +

=− +

− + +=

−− +

9. 9. 9. 9. 9.

( )( )( )

( )( )( )

( )( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )

2 1

12 8 6 2

2

16 8

12 8 4 3 2

6 2 3 2 2 1

16 8 8 2 1

8 3 2 2 1

2 2 1 2 1 8 2 3 2

8 3 2 2 1

8 2 8 6 4

8 3 2 2 1

6 4 2

8 3 2 2 1

2 3 2

2

2

2

2

2 2 2

2

2

x

x

x

x x

x

x

x x

x x x x

x x

mcm x x

x x x x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

x

++

−+ −

+−

+ = +

+ − = + −

− = −

= + −

=+ − − + +

+ −

=− − + +

+ −

=+ −

+ −

=+( )

( )( ) ( )( )x

x x

x x

x x

−+ −

=+ −

+ −1

8 3 2 2 1

3 2 1

4 3 2 2 1

2

10. 10. 10. 10. 10. ( )

( ) ( )( )( ) ( )

1 1 1

1 1

2ax a ax a xmcm ax a x

a x x ax

ax a x

ax a

ax a x

a x

ax a x

x

x a x

−+

++

= +

=+ − +

+=

++

=++

=++

11. 11. 11. 11. 11. ( )( )( )( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )

1 1 2

2

2 2

4 4

2 22 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

3 2 2 3 3 2 2 3 2 3

2 2 2 2

3

4 4

3

4 4

x y x y

y

x ymcm x y x y

x y x y x y x y y x y

x y x y

x xy x y y x xy x y y x y y

x y x y

y

x y

y

y x

+−

−+

+= − +

=− + − + + + −

− +

=+ − − − − − − + −

− +

=−

−=

−

12. 12. 12. 12. 12. ( )( )( ) ( )( ) ( )

( )

( )

( )( )

( )( ) ( )

a

a

a

a

a a

amcm a

a a a a a a

a

a a a a a a

a

a a

a

a a

a a

a

a

−+

−−−

++ −

−= −

=− − − − + + + −

−

=− + − + + + + −

−

=−

−=

−+ −

=+

1

3 3

2

6 6

2 6

9 918 1

6 1 1 3 2 1 2 2 6

18 1

6 12 6 3 3 6 2 4 12

18 1

5 5

18 1

5 1

18 1 1

5

18 1

2

22

2

2

2 2 2

2

2

2

13. 13. 13. 13. 13.

( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( ) ( )

( )( )( )

( )( )( ) ( )( )( )

1

2 24

2

2 8

3

8 12

2 24 6 4

2 8 4 2

8 12 6 2

6 2 4

2 2 6 3 4

6 2 4

2 2 12 3 12

6 2 4

26

6 2 4

2 2 2

2

2

2

a a a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

mcm a a a

a a a

a a a

a a a

a a a a a a

+ −+

− −−

+ +

+ − = + −

− − = − +

+ + = + +

= + + −

=+ + + − −

+ + −

=+ + + − +

+ + −=

+ + −

14. 14. 14. 14. 14. ( )( )( ) ( )

( )

( ) ( )

x y

xy

x y

xy y

y

x xymcm xy x y

x y x y x x y y

xy x y

x xy y x xy y

xy x y xy x y

+−

++

−+

= +

=+ + − + −

+

=+ + − − −

+=

+=

2

2

2 2 00

2 2

2

2 2 2 2

15. 15. 15. 15. 15.

( )( ) ( )( )

a

a

a

a a

a

amcm a

a a a a a a

a

a a a a a a a a

a

a a

a

3

3 23

3 2

3

3 2 3 2 2

3

2

3

1

3

1

1

11

1 3 1 1

1

4 3 1

1

3 2 4

1

++

+− +

−−+

= +

=+ + + − − − +

+

=+ + + − + − + − +

+=

+ ++

16. 16. 16. 16. 16. ( )( )( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )

1

1

2

1

3

11 1

1 1 2 1 3 1

1 1

1 2 2 2 3 3

1 1

4 1

1 1

2

2

32 2

2 2 2

2 2

3 2 2 3 2 3 2

2 2

2

2 2

x

x

x

x

xmcm x x x

x x x x x x x x

x x x

x x x x x x x x x x

x x x

x x

x x x

−+

−−

−= − + +

=+ + + + + + − +

− + +

=+ + + + + + + + − −

− + +

=+ +

− + +

17. 17. 17. 17. 17.

( )( ) ( )

( )( )( )

a b

a ab b a b

a

a bmcm a b

a b a b a ab b a

a b

a ab b a ab b a

a b

a ab

a b

a a b

a b a ab b

a

a ab b

+− +

−+

++

= +

=+ + − − + +

+

=+ + − + − +

+

=++

=+

+ − +=

− +

2 2

2

3 33 3

2 2 2

3 3

2 2 2 2 2

3 3

2

3 3 2 2 2 2

1 3

3

2 3

3 3 3 3

18. 18. 18. 18. 18.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

2−

++

+ +−

+−

= −

=+ + + + − − +

−

=+ + + − + − − −

−

=− −

−=

− +−

=+

+ +

x

x

x x

x

xmcm x

x x x x x

x

x x x x x x

x

x x

x

x x

x

x

x x

2

2 3

2 4

6 12

88

2 2 4 2 3 2 6 12

8

2 4 8 2 4 3 6 6 12

8

4 3 10

8

2 4 5

8

4 5

2 4

2 33

2

3

2 2

3

2

3 3 2

19. 19. 19. 19. 19.

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )

3 2

3 10

5 1

4 5

4 1

3 2

3 10 5 2 4 5 5 1

3 2 2 1 5 2 1

3 2 1 5 1 2 4 1 5

5 2 1

3 3 2 2 5 10 2 4 20

2 2 2

2 2

2

2 2 2

x

x x

x

x x

x

x x

x x x x x x x x

x x x x mcm x x x

x x x x x x

x x x

x x x x x x x x

++ −

−+

+ −+

−− +

+ − = + − + − = + −

− + = − − = + − −

=+ − − + − + − +

+ − −

=− + − − + − + + +

;

;

( )( )( )

( )( )( )

− −+ − −

=+ −

+ − −

x

x x x

x x

x x x

5

5 2 1

2 27 5

5 2 1

2

20. 20. 20. 20. 20. ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

1

1

1

1

1

1

11

1 1 1

1

2 3 3 1

1

2 4 1

1

2 3

3

2 3

3

2 3 2 3 2

3

2

3

n n n nmcm n n

n n n n n n

n n

n n n n n n n n n

n n

n n

n n

++

−−

−− = −

=− + − − − −

−

=− + − + − − + − +

−=

− +

−

21. 21. 21. 21. 21. ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( )( )

( )( ) ( )( )

1

5

5

5

5

2525 5

25 5 5 5 5

25 5

25 10 25 10 25

25 5

20 25

25 5

2

2

2 2

2

44 2

4 2 2 2 2

4 2

4 4 2 4 2

4 2

4 2

4 2

a

a

a

a

amcm a a

a a a a a

a a

a a a a a

a a

a a

a a

+−

−

++

+−

= − +

=− − − − + + +

− +

=− − + − + + +

− +=

+ −− +

22. 22. 22. 22. 22.

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

1

9 9 6

6

9 6

9 3 3 9 6 3

9 6 3 3 3

1 9 3 6 3

3 3

9 9 9 6 54 36 6

3 3

9 54

2

2

2

2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2 4 2 3 4 2 3

2 2

−−

−+ +

−− +

− = + − + + = +

− + = − = + −

=− − − − − +

+ −

=− − + − + − − − −

+ −

=−

x

x

x

x x

x

x x

x x x x x x

x x x mcm x x

x x x x x x

x x

x x x x x x x x x

x x

x

;

;

( ) ( )−

+ −

55

3 3

2

2 2

x

x x

23. 23. 23. 23. 23. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )

( )

( )( )

( ) ( )

x

x

x

x

x

x xmcm x

x x x x x x x

x

x x x x x x x

x

x x

x

x x

x

x x

x

2 2

1

3 3

1

6 6

5

18 1818 1

9 1 6 1 1 3 1 1 5 1

18 1

9 9 6 12 6 3 6 3 5 5

18 1

6 32 8

18 1

2 3 16 4

18 1

3 16 4

9 1

2

2

2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

+−

+−

+−+

−−

= −

=− − + + + − − − +

−

=− − − − + − + − −

−

=− −

−=

− −−

=− −

−

24. 24. 24. 24. 24. ( )( )( ) ( )( )

( )

( ) ( )

a

a

a

a

a

amcm a

a a a a a

a

a a a a a

a

a a

a

++

−−

−−−

= −

=+ − − − − +

−

=+ − − − + +

−=

+ −−

2

2 2

7

8 8

3

4 48 1

4 2 1 7 2 3 1

8 1

4 4 8 7 2 4 6

8 1

2 2

8 1

22

2

2 2

2

2

2

25. 25. 25. 25. 25. ( )( ) ( ) ( )

( )

( )

( )( )( ) ( )

a

a

a

a

a

amcm a

a a a

a

a a a

a

a

a

a

a

a

a

−+

+++

−−+

= +

=− + + − −

+

=− + + − +

+

=−

+=

−+

=−

+

3

20 10

2 5

40 20

4 1

60 30120 2 1

12 3 6 2 5 4 4 1

120 2 1

12 36 12 30 16 4

120 2 1

8 2

120 2 1

2 4 1

120 2 1

4 1

60 2 1

26. 26. 26. 26. 26.

( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( ) ( ) ( )

( )( )( )

( )( )( ) ( )( )( )

2

2 5 3

1

2 6

3

2

2 5 3 2 3 1

2 6 2 3 2

2 2 1

2 3 1 2

2 2 1 3 2 3

2 3 1 2

2 4 1 6 9

2 3 1 2

7 4

2 3 1 2

2 2 2

2

2

2

x x x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

mcm x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x

x x x

+ +−

− −+

− −

+ + = + +

− − = + −

− − = − +

= + + −

=− − + + +

+ + −

=− − − + ++ + −

=+

+ + −

27.27.27.27.27. ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )( )

( )( ) ( )( )( )( )( )

( )( )( )

a

a

a

a amcm a a a

a a a a a a

a a a

a a a a a a a a

a a a

a a a a a a a a a a a a

a a a

−−

−−+

+−

= − + −

=− + − − − + − +

− + −

=− + + − − + − + + −

− + −

=+ − − + + − + + − − + + + −

− + −

=

1

2

2

3

1

12 3 1

1 3 2 1 2 3

2 3 1

2 1 3 4 4 1 6

2 3 1

3 2 6 3 4 4 4 4 6

2 3 1

7

2 2

2 2 2

3 2 2 3 2 2 2

( )( )( )a a

a a a

2 12 1

2 3 1

− +− + −

28. 28. 28. 28. 28. ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )

2 3

2 3

2 3

2 3 2 34 9 2 3

2 3 4 9 2 3 2 3

4 9 2 3

8 18 12 27 8 36 54 27 2 3

4 9 2 3

46 75

4 9 2 3

22

2 3

2

2 3 2 3 2

2

2

2

+−

−−+

−−

= − −

=+ − − − − +

− −

=− + − − + − + − −

− −

=−

− −

a

a

a

a

a

amcm a a

a a a a a

a a

a a a a a a a a

a a

a a

a a

29. 29. 29. 29. 29. ( )( )( )( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )

( )

1

5 5

1

5 5

1

10 1010 1 1

2 1 1 2 1 1 1

10 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 1

10 1 1

5 3

10 1

22 2

2 2 2

2 2

2 3 2 3 2

2 2

2

4

++

−−

+= + −

=+ − + + + − −

+ −

=− + − + + + + − +

+ −

=+−

a a amcm a a

a a a a a

a a

a a a a a a a

a a

a

a

30. 30. 30. 30. 30.

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

1

3 3

1

3 3 6 6 2 2

3 3 3 1 3 3 3 1

6 6 6 1 2 2 2 1

6 1 1 6 1

2 1 1 2 1 1 1 3 1

6 1

2 2 2 2 2 2 2 2 3

2 2

2 2 2 2

2 2 4

2 2 2 2

4

2 3 2 3 3

−−

++

+−

−

− = − + = +

+ = + − = −

= + − = −

=+ + − + − + − − +

−

=+ + + − + − + + − −

x x

x

x

x

x

x x x x

x x x x

mcm x x x

x x x x x x x x

x

x x x x x x x x

;

;

( )

( ) ( )

x x

x

x

x

x

x

−−

=−

=−

3

6 1

2

6 1 3 1

3

4

4 4

EJERCICIO 131

1. 1. 1. 1. 1. 1 1

2 2 2 22 2

2 2 2 2

m nm

n m m nm

m nmcm m n

m n m

m n

n

m n

−+

−=

−−

−= −

=+ −

−=

−

2. 2. 2. 2. 2. ( )x

x xy

x

y x

x

x x y

x

x y

x

x y

x

x y

mcm x y

x x

x y

x

x y

2

2

22 2 2

2 3

−−

−=

−+

−=

−+

−

= −

=+−

=−

3. 3. 3. 3. 3. ( )( )

( )( )( )( )( ) ( )

1

2 4

1

2 4

4

2

4

2 1

2 2

1

2

2 2 2

2

2

2

x x

x

x x x

x

x

mcm x x

x x

x x

x x

x x x

x

x x

−+

−=

−−

−

= −

=+ −

−=

− +− +

=++

4. 4. 4. 4. 4. ( )( )

( )( )( ) ( ) ( )

a b

a ab

a

b a

a b

a a b

a

a b

mcm a a b

a b a b a

a a b

a ab b a

a a b

ab b

a a b

+−

+−

=+−

−−

= −

=+ + −

−=

+ + −−

=+−

2 2 2 2 2

2 2

2

2 2

2 2 2

2 2

2

2 2

2 2

5. 5. 5. 5. 5. ( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

x

x x

x

x

x

x x

x

x

mcm x x

x x x

x x

x x x

x x

x x

x x

−− −

−−

=−

− ++

−

= − +

=− + +

− +=

− + +− +

=+ −

− +

4

2 3 6 2

4

3 1 2 3

2 3 1

2 4 1

2 3 1

2 8

2 3 1

3 8

2 3 1

2

2 2

6. 6. 6. 6. 6. ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )

( )( )( ) ( )( )( )

1

2 8

1

2 3

1

4 2

1

2 3

2 3 4

3 4

2 3 4

3 4

2 3 4

1

2 3 4

1

2 3 4

2x x x x x x x x

mcm x x x

x x

x x x

x x

x x x

x x x x x x

+ −+

− +=

+ −−

− +

= − + +

=+ − +

− + +

=+ − −

− + +

=−

− + +=

− + +

7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

1

2 2

2

1

7

4 4

1

2 1

2

1

7

4 1

4 1

2 1 8 1 7 1

4 1

2 2 8 8 7 7

4 1

3

4 1

2

2

2 2

x x x x x x

mcm x

x x x

x

x x x

x

x

x

++

−+

−=

+−

−+

−

= −

=− − + + +

−

=− − − + +

−=

−−

8. 8. 8. 8. 8.

( ) ( )

2

3

3

3

2

9

2

3

3

3

2

9

9

2 3 3 3 2

9

2 6 3 9 2

9

5

9

2 2

2

2

2 2

2

2

2

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

mcm a

a a a a a

a

a a a a a

a

a a

a

++

−+

−=

++

−−

−

= −

=− + + −

−

=− + + −

−=

+−

9. 9. 9. 9. 9.

( )( ) ( )

x y

y x

y

x y

x

y x

x y

y x

y

x y

x

x y

mcm x y

x y x y y x x y

x y

x xy xy y y x xy

x y

x xy

x y

++

+−

−−

=++

+−

−−

= −

=+ − + + +

−

=− + − + + +

−=

+−

3 3 3 3

3 3

3 3 3 2 3

2

2 2

2

2 2

2 2

2

2 2

2 2 2 2

2 2

2

2 2

10. 10. 10. 10. 10. ( )( )

( )( ) ( )( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )

( )( )( ) ( )( )( )

x

x x

x

x x x

x

x x

x

x x x

mcm x x x

x x x x x x

x x x

x x x x x

x x x

x x

x x x

2

2 2 2 2

2 3

3

1 2

1

2

3 1

3

1 2

1

2

3 2 1

2 3 3 3 1

3 2 1

2 9 2 3

3 2 1

4 6

3 2 1

+ −+

−− +

++

=+ −

−−

− ++

+

= + + −

=+ − − + + + −

+ + −

=+ − + + + −

+ + −=

+ ++ + −

11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )

3

2 2

1

4 4

4

8 8

3

2 1

1

4 1

4

8 1

8 1

12 1 2 1 4

8 1

12 12 2 2 4

8 1

10 10

8 1

10 1

8 1 1

5

4 1

2 2

2

2

2 2

a a a a a a

mcm a

a a

a

a a

a

a

a

a

a a a

+−

−−

−=

+−

−+

−

= −

=− − + +

−

=− − − +

−=

−−

=−

− +=

+

12. 12. 12. 12. 12. ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )

( )( )( )

( )( )( ) ( )( )( )

13

1

3 2

2

2 1

1

3

1

3 2

2

2 1

3 2 1

2 1 1 1 2 3

3 2 1

3 2 1 2 6

3 2 1

3

3 2 1

3

3 2 1

2 2

a

a

a a a a

a

a

a a a a

mcm a a a

a a a a a

a a a

a a a a

a a a

a

a a a

a

a a a

−+

+− −

+− −

=−

−+

− −+

− −

= − − −

=− − − + − + −

− − −

=− + − + + −

− − −

=− −

− − −=

+− − −

13. 13. 13. 13. 13.

( )

( ) ( ) ( )

2

1

2 2

1

1

1

2

1

2 1

1

1

1

1

2 1 2 1 1

1

2 2 2 2 2 1

1

3 1

1

3 2

3 2

2

3 2

3

2 2

3

3 2 3 2

3 3

x

x

x x

x x x

x

x

x x

x x x

mcm x

x x x x x x

x

x x x x x x

x

x

x

−+

+−

++ +

=−

−+

−+

+ += −

=+ + − + + −

−

=+ + − − + −

−=

−−

14. 14. 14. 14. 14.

( )( )( )( )

( )( ) ( )( )( )( )

( )( )

x

x

x

x

x x

x x

x

x

x

x

x x

x x

mcm x x

x x x x x x

x x

x x x x x x x x

x x

x

+−

++

−+

+ +− +

=+−

−+−

++ +

− −

= − −

=+ − − + − + + +

− −

=− + − − + − + + + +

− −

=+

2

3 1

1

3 2

4 6 3

6 11 3

2

3 1

1

2 3

4 6 3

2 3 3 1

2 3 3 1

2 2 3 1 3 1 4 6 3

2 3 3 1

2 3 4 6 3 3 1 4 6 3

2 3 3 1

3

2

2

2

2

2 2 2

2

( )( )( )( )( )( )

5 2

2 3 3 1

2 3 1

2 3 3 1

2

2 3

x

x x

x x

x x

x

x

−− −

=+ −− −

=+−

EJERCICIO 132

1. 1. 1. 1. 1. 23

64

1212

2 2 2 2ab

ba

a bab

ab⋅ = =

2. 2. 2. 2. 2. x y a

mm

xx ya m

x ma yxm

2 3

2 3

2 3

3 2

3

5103

9 9015

6⋅ ⋅ = =

3. 3. 3. 3. 3. 5

7

4

7

14

5

14 5 4

49 5

8

7

2

3

2

3 4

2 2

4 3 3 2 2

x

y

y

m

m

x

x my

x m y x m y⋅ ⋅ =

⋅ ⋅⋅

=

4. 4. 4. 4. 4. 5 2 3

10

10 3

10

32 2a

a

b

b ab

ab b⋅ ⋅ =

⋅=

5. 5. 5. 5. 5. 2

15

3 5

7

15 2

15 7

2

7

3

3

2 2

2

2 5

3 3

4

3

x

a

a

y

x

xy

a x

a xy

x

ay⋅ ⋅ =

⋅⋅

=

6. 6. 6. 6. 6. 7

6

3

10

5

14

7 3 5

14 6 10 82 2

4 4

2 2

2a

m

m

n

n

ax

amn

am n x

n

mx⋅ ⋅ =

⋅ ⋅⋅ ⋅

=

7. 7. 7. 7. 7. ( )

( )2

6

8

4 2

2 1

3

4

2 2 1

2

3

2x x

x

x x

x

x++

+=

+⋅

+=

8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( )

( )5 25

14

7 7

10 50

5 5

14

7 1

10 5

1

4

x x

x

x x

x

x+⋅

++

=+

⋅++

=+

9. 9. 9. 9. 9.

( ) ( )( ) ( )

m n

mn n

n

m n

m n

n m n

n

m n m n

n

m n

n

m mn n

+−

⋅−

=+−

⋅+ −

=−

=− +

2

2

2 2

2

2 2 22

10. 10. 10. 10. 10.

( )( )

( )( )

( )

xy y

x xy

x xy y

x xy

y x y

x x y

x y

x x y

y x y

x

xy y

x

−+

⋅+ +

−

=−+

⋅+−

=+

=+

2 2

2

2

2

2

2

2 2

2

2

2

2

2

11. 11. 11. 11. 11.

( )( ) ( )( )

( )( )

x xy y

x xy

x

x y

x y

x x y

x

x y x y

x x y

x y

x xy

x xy y

2 2

2

2

2 2

22

2

2

2 2

4 4

2 4

2

2 2 2

2

2

2

4

− ++

⋅−

=−

+⋅

+ −=

−

+=

−+ +

12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( )

( )( )2 2

2

3

2 3

2 1

2

3

3 11

2

2

2

2 2

x x

x

x x

x x

x x

x

x x

x x

+⋅

−− −

=+

⋅−

− +=

13. 13. 13. 13. 13.

( )( )( )( ) ( ) ( )

a ab a b

a a a ab

a a b

a a a a b a a a a

2

2 2

2

2 1

3

6 6

1

1 1

3

6

1

2 1

1

2 2

− + −+ +

⋅−

=+ −+ +

⋅−

=+

=+

14. 14. 14. 14. 14. ( )

( )( )

( )( )x y

x

x x

x y

x y

x x xx x

x y

x

−−

⋅+ +

−=

−− + +

⋅ + + =−−

3

3

2

2 22

1

1

1 11

1

15. 15. 15. 15. 15. ( )

( )( )( )

( )( )( )( )( ) ( )

2 2

2 50

4 5

3 3

2 1

2 25

5 1

3 1

1 5

3 5 5

1

3 5

1

3 15

2

2

2

a

a

a a

a

a

a

a a

a

a a

a a

a

a

a

a

−−

⋅− −

+=

−−

⋅− +

+

=− −+ −

=−+

=−+

16. 16. 16. 16. 16. ( )( )

( )( )

( )( )2 3 2

6 3

3 6

4

2 2 1

3 2 1

3 2

2 21

2

2

x x

x

x

x

x x

x

x

x x

− −+

⋅+−

=− +

+⋅

+− +

=

17. 17. 17. 17. 17. ( )( ) ( )

( )y y

y

y

y

y y

y

y

yy

2 9 18

5

5 25

5 15

6 3

5

5 5

5 36

+ +−

⋅−+

=+ +

−⋅

−+

= +

18. 18. 18. 18. 18.

( )( )( )

( )( )

( )( )( )( )

( )

x x x

x x

x x

x x

x x x

x x

x x

x x

x x x

x x

x x

x

x x

x

3 2

2

2

2

2

2

2 3

4 8 3

2 3

2 3

2 3 2 1

2 3

1

3 1

2 1 1

3

2 1

3

2 1

+ −+ +

⋅+−

=+ −

+ +⋅

+−

=+ −+ −

=++

=++

19. 19. 19. 19. 19.

( )( )( )( )

x

a

a a

x x

x x x

a a a

a a

x x

x

a

3

3

2

2

2

2

2

2

27

1

1

3 9

3 3 9

1 1

1

3 9

3

1

−−

⋅+ +

+ +

=− + +− + +

⋅+ +

+ +=

−−

20. 20. 20. 20. 20. ( )( ) ( )

( )a ab b a b

a b

a b a b

a b

2 2

3

2

3

4 4

3

2 4

2

2

3

2 2

2

2

3

+ +⋅

+

+=

+⋅

+

+=

21. 21. 21. 21. 21. ( )( )

1

1

1

1

1

1

2

2

2 2−+

⋅+

−⋅ =

−+

⋅+−

⋅ =x

a

a a

x x

x

a

x

a

a a

x x

x

ax

22. 22. 22. 22. 22.

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( ) ( )( )( ) ( )( )( )

x x

x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x x x

x x x x x x

2

2

2

3 2

2

2

2

2 2

2 2

2

16

2 8 4

4 4

2

4 4

4 2

1

4

2 2

2 4 4

2 4 4 1

1

1

+−

⋅− −

+⋅

++ +

=+

− +⋅

− ++

⋅+

+ +

=+ − +

+ − + +=

+

23. 23. 23. 23. 23. ( )( )

( )

( )( )( )( )

( )( )( )

m n x

m x n

m n x

m mn mx

m n x m n x

m n x m n x

m n x m n x

m m n x

m n x

m

+ −

+ −⋅

− −+ −

=+ + + −+ + − +

⋅− + − −

+ −

=− −

2 2

2 2

2 2

2

24. 24. 24. 24. 24.

( )( )

( )( )

2 2

2 2 1

2

2 1

1

11

3 2

2

3

2 2

2 2 2

2 2

a ab

ax ax

x x

a x b x

x

x

a a b

ax x

x x

x a b

x

x

+−

⋅−+

⋅+

=+−

⋅−

+⋅

+=

25. 25. 25. 25. 25.

( )( )( ) ( )( )

( )( )( )

( )

a a

a

a

a a

a

a

a a

a

a

a a

a a

a

a a

a

a a

a

2

2

2

2

5 6

3 15

6

30

25

2 4

3 2

3 5

6

6 5

5 5

2 2

3

6

3

6

− +−

⋅− −

⋅−−

=− −

−⋅

− +⋅

+ −−

=−

−=

−−

26. 26. 26. 26. 26.

( )( )( )( )

( )( )( )

( )

( )( )

x xy y

x xy y

x y

x xy

x xy

x y

x y x y

x y x y

x y x y

x x y

x x y

x y

x y x y

x y

x xy y

x y

2 2

2 2

2 2

2

2

2 2

3 10

2 8

16

4

6

2

5 2

4 2

4 4

4

6

2

5 6

2

11 30

2

− −− −

⋅−+

⋅−+

=− +− +

⋅+ −

+⋅

−+

=− −

+=

− ++

27. 27. 27. 27. 27.

( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( )

x ax a

ax a

ax a

ax a

a x

x ax a

x a

a x a

a x a

a x

a x

x a x a

x a

a x

x a

ax a

2 2

2

2

2 2

2

4 4

3 6

2 4 6 6

3 2

2

3 2

2 2

1

6

2

4 2

1

4 8

+ +−

⋅−+

⋅+

+ +

=+

−⋅

−+

⋅+

+ +

=++

=++

28. 28. 28. 28. 28.

( )( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

a

a a

a

a

a

a

a a

a

a a

a a

a

a a

a

a

a a

a

a a

a

a a

a

2

2 2

3 2

2

2

81

2 10

11

36

2 12

2 18

5

2 22

9 9

2 5

11

6 6

2 6

2 9

5

2 11

9

4 6

9

4 24

−+

⋅+−

⋅−+

⋅++

=+ −

+⋅

++ −

⋅−+

⋅+

+

=−+

=−+

29. 29. 29. 29. 29.

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )( )

( )

a a

a a

a a

a a

a a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a a

a a

a a a

a a

a a

a

a a

a

2

2

2

2

3 2

2

2

2

7 10

6 7

3 4

2 15

2 3

2 8

5 2

7 1

4 1

5 3

2 3

4 2

3 1

3 7

1

7 7

+ +− −

⋅− −+ −

⋅− −

− −

=+ +− +

⋅− ++ −

⋅− −

− +

=− +

− −=

+−

=+−

30. 30. 30. 30. 30. ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

( )( )

x x

x x x

x x

x x x x x

x

x

x x

x x x

x x

x x x

x

x x

x x x

x x

x x x

x x x x

x

x

4

3 2

4

4 3 2 2

2

3

2

3

2 2 2

2

2

2

2 2

2

27

3 9

1

3 3

27

1

1

3 9 3 3

3 3 9

1

1 1

3 9

1

9 3

1

9

+− +

⋅+

− +⋅

+⋅

−

=+

− +⋅

+− +

⋅+ −

=+ − +

− +⋅

+ − +− +

⋅− +

=+−

EJERCICIO 133

1. 1. 1. 1. 1.

( )

( )

( )

aa

ba

a

b

aa

b

ab a

b

a b

b

aa

b

a b a

b

ab a a

b

ab

b

a b

b

ab

ba

+

−

+

⇒ + =+

=+

⇒ −+

=+ −+

=+ −

+=

+

⇒+

⋅+

=

1

1

1

1

1 1 1

1

12

2. 2. 2. 2. 2.

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

xx

xx

xx

x x

x

x x

x

x x

x

xx

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x

x

xx x x

−+

+

+

⇒ −+

=+ −+

=+ −

+=

+ −+

⇒ ++

=+ ++

=+ +

+=

+ ++

⇒+ −

+⋅

++

= − + = −

2

1

1

2

2

1

1 2

1

2

1

2 1

1

1

2

2 1

2

2 1

2

1 1

2

2 1

1

1

21 1 1

2

2

2

2

3. 3. 3. 3. 3. 1 1

1

1

1

−+

+

⇒ −+

=+ −

+=

+

⇒ + =+

⇒+

⋅+

=

x

a x

x

a

x

a x

a x x

a x

a

a x

x

a

a x

aa

a x

a x

a

4. 4. 4. 4. 4.

( )

( )( )( )

aab

a b

b

a

aab

a b

a a b ab

a b

a ab ab

a b

a

a b

b

a

a b

a

a

a b

a b

a

a b a b

a ba b

+−

−

⇒ +−

=− +

−=

− +−

=−

⇒ − =−

⇒−

⋅−

=+ −

−= +

1

1

2

2

2 2

2

2

2 2

2

2 2 2

2

5. 5. 5. 5. 5.

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

xx

xx

x

xx

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x

xx

x

x x x

x

x x x

x

x

x

x x

x

x

x

x

+ −+

− +

−+

⇒ + −+

=+ + −

+

=+ + −

+=

+ −+

=+ −

+

⇒ − +−+

=− + + −

+=

+ − + −+

=+

⇒+ −

+⋅

+=

212

12

10 3

5

212

1

2 1 12

1

3 2 12

1

3 10

1

5 2

1

210 3

5

2 5 10 3

5

3 10 10 3

5 5

5 2

1 5

2 2

2 2

2 ( )2 3 22

1

2

1

x

x

x x

x

−+

=−+

6. 6. 6. 6. 6.

( )

1

1

2

2 2 2 2

+

−

+

⇒ + =+

⇒ −+

=+ −

+=

+ −+

=+

⇒+

⋅+

=

x

yx

x

x y

x

y

y x

y

xx

x y

x x y x

x y

x xy x

x y

xy

x y

y x

y

xy

x yx

7. 7. 7. 7. 7.

( )( ) ( )

( )

( )

a xax x

a x

x

a x

a xax x

a x

a x a x ax x

a x

a ax x ax x

a x

a ax x

a x

a x

a x

x

a x

a x x

a x

a x

a x

a x

a x

a x

a xa x

+ −+

+

+

+

⇒ + −+

+

=+ + − +

+

=+ + − −

+=

+ ++

=++

⇒ ++

=+ +

+=

++

⇒++

⋅++

= +

2

2

2

2 2 2 2 22

2

21

2

2

2

3 2

2

2

2 2

12

2

2

8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( )

( )( )

( )( )

xx x

xx

x

xx x

x

x x x x

x

x x x x

x

x

x

x

x

xx

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x

x

x

−−−

+ −

+

⇒ −−−

=− − −

−

=− − +

−=

−−

=−

⇒ + −+

=+ + −

+

=+ + −

+=

+ −+

=+ −

+

⇒−

3

2

3

2

2 3

2

3 3

2 2 2

2 2

2

6

251

8

3

6

25

25 6

25

25 625

1925

1925

18

3

1 3 8

3

4 3 8

3

4 5

3

5 1

3

1925

( )( )

( )( )( )

⋅+ −

+

=−

− +=

−+ − −

=−

+ −

x x

x

x x

x x

x x

x x x

x x

x x

5 1

3

19 1

5 3

19 19

5 15 3

19 19

15 2

2

2

2

2

10. 10. 10. 10. 10.

( )( )

( )( )

( )( )

a xx

a xa x

a x

a x

a xx

a x

a x a x x

a x

a ax x x

a x

a ax x

a x

a x a x

a x

a xa x

a x

a x a x a x

a x

a

+ −+

− +

++

⇒ + −+

=+ + −

+

=+ + −

+=

+ −+

=+ −

+

⇒ − +++

=− + + +

+

=

214

2

5

4

214

2

2 2 14

2

2 5 2 14

2

2 5 12

2

4 2 3

2

5

4

4 5

4

2 2 2

2

2

2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

+ − + ++

=+ +

+=

+ ++

⇒+ −

+⋅

+ ++

= − + = − −

3 4 5

4

2 3

4

2

4

4 2 3

2

2

4

2 3 2 3

2 2 2 2 2

2 2

ax x a x

a x

a ax x

a x

a x a x

a x

a x a x

a x

a x a x

a x

a x a x a ax x

9. 9. 9. 9. 9.

( )

( )( )

( )( )

mmn

m n

n

m

mmn

m n

m m n mn

m n

m mn mn

m n

m

m n

n

m

m n

m

m n m mn n

m

m

m n

m n m mn n

m

m mn n

m

−+

+

⇒ −+

=+ −

+=

+ −+

=+

⇒ + =+

=+ − +

⇒+

⋅+ − +

=− +

1

1

3

3

2 2

3

3

3 3

3

2 2

3

2 2 2

3

2 2

11. 11. 11. 11. 11.

( )( )

1 1 1

1

1

1

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2 2

+

−

+

−

⇒ + =+

⇒ − =−

⇒ +−

=−

⇒+

⋅−

⋅+ −

= =

a

b

b

a

b

a b

a

b

b a

bb

a

a b

a

b

a b

a

a b

b a

b

a b

a

a

a b a b

a

ab

a

b

12. 12. 12. 12. 12.

( ) ( )

( )

( )

22

13

6

21

1

22

1

2 1 2

1

2 4

1

2 2

1

36

2

3 2 6

2

3 6 6

2

3

2

11 1

2 2

1

3

2

16

++

−

+

+

⇒ ++

=+ ++

=++

=++

⇒ −+

=+ −+

=+ −+

=+

⇒ + =+

⇒++

⋅+

⋅+

=

x x x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

EJERCICIO 134

1. 1. 1. 1. 1. x

y

x

y

x

y

y

x

xy2

2 3

2

2

3

3

2

3 2 6÷ = ⋅ =

2. 2. 2. 2. 2. 35

35

1 35

2

22 3

2

2 2 3 2 2

a bx

a ba bx a b b x

÷ = ⋅ =

3. 3. 3. 3. 3. 57

1014

57

1410

2

3

4

4

2

3

4

4 2

mn

man

mn

anm

anm

÷ = ⋅ =

4. 4. 4. 4. 4. 65

65

302 32

2 32

2a xa x

a xa x

x÷ = ⋅ =

5. 5. 5. 5. 5. 15

19

20

38

15

19

38

20

3

2

2

3

2

3 4

2

3

3 4

2

2 2

2

m

ax

y

a x

m

ax

a x

y

m a x

y÷ = ⋅ =

6. 6. 6. 6. 6. 11

722

11

7

1

22 14

2 3

24

2 3

2 4

2

2

x y

my

x y

m y

x

m y÷ = ⋅ =

7. 7. 7. 7. 7. ( )x x x

x

−÷

−=

−⋅

−=

1

3

2 2

6

1

3

6

2 11

8. 8. 8. 8. 8. ( )( )

( )3

6 9

5

3

3

3

3

5

3

5 3

2

2 2

3

2 2

2

2 3

a

a ab b

a

a b ab

a

a b

ab a b

a

b

a b+ +÷

+=

+⋅

+=

+

9. 9. 9. 9. 9. ( )( )

( )( )

x x

x x

x x

x

x x

x x

x

x x

x

x

3

2

2 2

2 6

5 5

2 6

1

2 3

2 3

5 1

1

5

−+

÷−+

=−+

⋅+−

=+

10. 10. 10. 10. 10.

( )( )( )( )

( )

1

30

2

42

1

6 5

7 6

2

7

2 5

2 2a a a a

a a

a a a

a

− −÷

+ −

=− +

⋅+ −

=++

11. 11. 11. 11. 11. ( )

( ) ( )20 30

15 15

4 6

1

5 4 6

15 1

1

4 6

1

3

2

3 2 2

x x

x x

x

x

x x

x x

x

x x

−+

÷−+

=−+

⋅+−

=

12. 12. 12. 12. 12.

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a

2

2

2

2

2

2

6 5

15 56

2 35

5 24

5 1

8 7

8 3

7 5

1 3

7 7

2 3

49

− +− +

÷+ −− −

=− −− −

⋅− ++ −

=− +− +

=+ −

−

13. 13. 13. 13. 13.

( )( )( )( )

( )( )( )( )

8 26 15

16 9

6 13 5

9 1

2 5 4 3

4 3 4 3

3 1 3 1

2 5 3 1

3 1

4 3

2

2

2

2

x x

x

x x

x

x x

x x

x x

x x

x

x

+ +−

÷+ −

−

=+ ++ −

⋅+ −+ −

=+−

14. 14. 14. 14. 14.

( )( )( )

( )( )

x x

x

x x

x

x x

x x

x

x x

x

x

3

2

2

2

121

49

11

7

121

7 7

7

11

11

7

−−

÷−+

=−

+ −⋅

+−

=+−

15. 15. 15. 15. 15.

( )( ) ( ) ( )

ax

a

a x a

a

ax

a a

a

a ax a a

2

2

3 2 2

2

2 2 2

5

4 1

5

2 1

5

2 1 2 1

2 1

5

1

2 1

+−

÷+−

=+

+ −⋅

−+

=+

16. 16. 16. 16. 16.

( )( )( )

( )( )( )

( )

a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a

a

4

3 2

4 2

3

2 2

2

2

2 2

1 4 3

3 9

1 1

1

3 3

3 1

3 1

−+

÷+ +

+

=+ −

+⋅

++ +

=−

17. 17. 17. 17. 17.

( )( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

x

x

x x x

x x

x x x

x x

x x

x x x

x x

x x

x x

x x

3

2

3 2

2

2

2

2

2

125

64

5 25

56

5 5 25

8 8

8 7

5 25

5 7

8

2 35

8

+−

÷− +

+ −

=+ − +

+ −⋅

+ −− +

=+ −

−=

− −−

18. 18. 18. 18. 18.

( )( )

( )( )( )

16 24 9

16 12

64 27

32 24 18

4 3

4 4 3

2 16 12 9

4 3 16 12 9

1

2

2 2 3 3

2 2

2 2 2

2 2

x xy y

x y

x y

x xy y

x y

x y

x xy y

x y x xy y

− +−

÷−

+ +

=−

−⋅

+ +− + +

=

19. 19. 19. 19. 19. ( )( )

( )( )( )

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a a

2

3 2

2

2 2

6

3

3 54

9

6

3

9

9 6

1

3

−+

÷+ −

+=

−+

⋅+

+ −=

+

20. 20. 20. 20. 20.

( )( )( )( )

( )( )( ) ( )

15 7 2

25

6 13 6

25 10 1

3 2 5 1

5 1 5 1

5 1

2 3 3 2

5 1

2 3

5 1

2 3

2

3

2

2

2

2

x x

x x

x x

x x

x x

x x x

x

x x

x

x x

x

x x

+ −−

÷+ ++ +

=+ −− +

⋅+

+ +=

++

=++

21. 21. 21. 21. 21.

( )( )( )

( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

x

x x

x x

x

x x x

x x

x

x x

x

x xx x x

x x x

3

2

2

3

2

2

3

2

22

2

1

2 2 2

7 7 7

7 7

1 1

2 1

7 1

7 1

1

2 11 1

1 1

2

1

2

−− +

÷+ +

+

=− + +

− +⋅

++ +

=−− +

⋅ + − + =− +

=−

22. 22. 22. 22. 22.

( )( )( ) ( )

2 2

3 38 4

2

3

1

4 2

1

12

mx my nx ny

x ym n

m n x y

x y m n

− + −−

÷ +

=+ −

−⋅

+=

23. 23. 23. 23. 23.

( )( )( )

( )( )( )( )

x x

x

x x

x x

x

x x

x x

x x

x

x

2

2

2

2

2

6 9

4 1

5 24

2 17 8

3

2 1 2 1

2 1 8

8 3

3

2 1

− +−

÷+ −+ +

=−

+ −⋅

+ ++ −

=−−

24. 24. 24. 24. 24.

( )( )( )

( )( )( )( )

2 7 15

4

3 40

4 32

5 2 3

4

8 4

8 5

2 3

2 2

3 2

2 2

2 2

2 2

a ab b

a a b

a ab b

a ab b

a b a b

a a b

a b a b

a b a b

a b

a

+ −+

÷− −− −

=+ −

+⋅

− +− +

=−

EJERCICIO 135

1.1.1.1.1.1 1

2

12

12 2

2 2 2

2

++

÷ +

⇒ ++

=+ +

+=

++

⇒ + =+

⇒+

+÷

+=

++

⋅+

=+

a

a b

a

b

a

a b

a b a

a b

a b

a b

a

b

b a

ba b

a b

b a

b

a b

a b

b

b a

b

a b

2. 2. 2. 2. 2.

( )

( )

xx

xx

x

xx

x x

x

x x

x

xx

x

x x x

x

x

x

x x

x

x

x

x x

x

x

x

x x

x

−+

÷ −

+

⇒ −+

=+ −+

=+ −

+

⇒ −+

=+ −+

=+

⇒+ −

+÷

+=

+ −+

⋅+

=+ −

2

1 1

2

1

1 2

1

2

1

1

1

1 1

2

1 1

2

1

1 2

2

2

2 2 2

2

2

2

3. 3. 3. 3. 3.

( )( )

11

12

1

11

1 1

1

1

1

1

1

12

1

1 2

1

1

1

11

11

11

11

11

2

2

2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 2

− ++

÷ +

−

⇒ − ++

=− + +

+=

− ++

=+

⇒ +−

=− +

−=

+−

⇒+

÷+−

=+

⋅−+

=−+

aa

a a

aa

a

a a a

a

a a

a a

a

a

a

a

a

a

a

a a

a

a

a

a

4. 4. 4. 4. 4.

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )

xx

xx

xx

x x

x

x x

x

x x

x

xx

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x

x

x x

x x

x

++

÷ +

+

⇒ ++

=+ ++

=+ +

+=

+ ++

⇒ ++

=+ ++

=+ +

+=

+ ++

⇒+ +

+÷

+ ++

=+ +

+⋅

++ +

=+ +

+=

2

3

3

4

2

3

3 2

3

3 2

3

1 2

3

3

4

4 3

4

4 3

4

3 1

4

1 2

3

3 1

4

1 2

3

4

3 1

2 4

3

2

2

2

x x

x x

2

2

6 8

6 9

+ ++ +

5. 5. 5. 5. 5.

( )( )

( )

a bb

a b

b

a b

a bb

a b

a b a b b

a b

a b b

a b

a

a b

b

a b

a b b

a b

a

a b

a

a b

a

a b

a

a b

a b

a

a a b

a b

a ab

a b

+ +−

÷ −

+

⇒ + +−

=+ − +

−=

− +−

=−

⇒ −+

=+ −

+=

+

⇒−

÷+

=−

⋅+

=+

−=

+−

2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

1

1

6. 6. 6. 6. 6.

( )( )

( )

( )( )

( )( ) ( )( )

11

2

1

1

11

2

2 1

2

1

2

1 1

2

1

1

1 1

1

1

1

1 1

2

1

1

1 1

2

1

1

1 1

3

3

3

3

3

3

2

3

2

2

3

2

2

3 2 3

−+

÷ +

−

⇒ −+

=+ −

+=

++

=+ − +

+

⇒ +−

=− +−

=− +−

⇒+ − +

+÷

− +−

=+ − +

+⋅

−− +

=+ −

−

xx

x

x

x

x

x

x

x x x

x

xx

x x

x

x x

x

x x x

x

x x

x

x x x

x

x

x x

x x

x 2

1

2

2

3=−+

x

x

7. 7. 7. 7. 7.

( ) ( )

( )( )( )( )

( ) ( )( )( )( )

( ) ( )( )( )( )

( )( )

xx x

xx

x x

x

x x

x

x

x

x

x

x

x

x

x x

x x

x

x

x x

x x

x

x

x x

x x

x x

x

++

÷ +

−

⇒ ++

=+ ++

=+ +

+=

++

⇒ +−

=− +

−=

−−

=+ −+ −

⇒++

÷+ −+ −

=++

⋅+ −+ −

=+ −

1

21

3

4

1

2

2 1

2

2 1

2

1

2

13

4

4 3

4

1

4

1 1

2 2

1

2

1 1

2 2

1

2

2 2

1 1

1 2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

−=

− −−1

2

1

2x x

x

8. 8. 8. 8. 8.

( ) ( )

( ) ( )

nn

nn

n

n

nn

n

n n n

n

n n n

n

n

n

nn

n

n n n

n

n n n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

−−+

÷ + −

−

⇒ −−+

=+ − −

+=

+ − ++

=++

⇒ + −−

=+ − −

=+ − +

=+

⇒++

÷+

=++

⋅+

=

2 1

21

1

2 1

2

2 2 1

2

2 2 1

2

1

2

11 1 1 1 1

1

2

1 1

2 1

22

2

2

2

3

2

3

2

22 3 3

3

2

3 3

2 3 2 + 2

EJERCICIO 136

1. 1. 1. 1. 1. 3

4

8

9 3

2

3

3 22

2

2

2

2

2

x

y

y

x

z

x

x

z

x

z⋅ ÷ = ⋅ =

2. 2. 2. 2. 2. 5 2 5

4

5 2

5

22 2

2 2a

b

a

b

x

a

a

b

ab

x

a b

x÷ ⋅

= ⋅ =

3. 3. 3. 3. 3.

( )( )

( )( )( )

( )( )( )

a

a

a

a

a a

a a

a

a

a

a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

+−

⋅−+

÷+

+ −

=+−

⋅−+

⋅+ −

+

=+ −

+=

+ −+

1

1

3 3

2 2 2

11

3 1

2 1

2 1

1

3 2 1

2 1

3 3 6

2 2

2

2

2

2

4. 4. 4. 4. 4. ( )

( )( )( )

( )( )( ) ( )

( )( )( )

64 81

81

9

8 9

8 9

9

8 9 8 9

9 9

9

8 9

9

8 9

9 9 81

2 2

2

22

2

2 2

2

a b

x

x

a b

a ab

x

a b a b

x x

x

a b

x

a a b

x x

a

x

a

−−

⋅−−

÷+

+

=+ −

+ −⋅

−−

⋅+

+

=− +

=−

5. 5. 5. 5. 5.

( )( )( )( )

( )( )( )( ) ( )( )

x x

x

x x

x x

x x

x

x x

x x

x x

x x

x

x x x

2

2

2

2

212

49

56

20

5 24

5

4 3

7 7

8 7

5 4

5

8 3

1

7

− −−

⋅− −+ −

÷− −

+

=− ++ −

⋅− ++ −

⋅+

− +=

−

6. 6. 6. 6. 6.

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

a a

a a

a

a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

2

2

2

2

2

2

8 7

11 30

36

1

42

4 5

7 1

6 5

6 6

1 1

5 1

7 61

− +− +

⋅−−

÷− −− −

=− −− −

⋅+ −+ −

⋅− +− +

=

7. 7. 7. 7. 7. ( )( )( )( )

( )( ) ( )( )

x x

x x

x x

x x x

x

x

x x x x

x x

x

x x x

x

x x

x

x

4

2

2

3 2

2 2 2

2

27

7 30

20 100

3 9

100

3

3 3 9

10 3

10

3 9

3

10 10

3

10

−+ −

⋅+ ++ +

÷−−

=− + +

+ −⋅

++ +

⋅−

+ −=

−−

8. 8. 8. 8. 8. ( )

( )( )( )

( )( )

( )( )( )( ) ( )

a

a

a a

a

x

x

a

a

a a

a

x

x

a

a

a x

a a x

x

a x

x

ax a

2 3 2 2 2

2

1

3 6 6 12

4 8

3

1

3 2

1

6 2

4 2

3

1

3 2

3 2 3

2 1 2

3

2 2

3

2 4

+−

÷+−

⋅+

−

=

+−

÷+

−⋅

+−

=+−

⋅− −

+ +=

−+

=−+

9. 9. 9. 9. 9. ( )( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )

8 10 3

6 13 6

4 9

3 2

8 14 3

9 12 4

2 3 4 1

2 3 3 2

2 3 2 3

3 2

3 2

2 3 4 1

2 3

2 3

4 12 9

2 3

2

2

2

2

2

2

2 22

2

x x

x x

x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x x

x

x x

x x

x x

− −+ +

⋅−

+÷

+ ++ +

=− ++ +

⋅+ −

+⋅

++ +

=−

+=

− ++

10. 10. 10. 10. 10. ( )( )

( ) ( )( )( )( )

( )( )( )

( )a b c

a b c

a c b

a ab ac

a b c

a

a b c a b c

a b c a b c

a b c a b c

a a b c

a

a b c

a a b c

a b c

a ab ac

a b c

+ −

− −⋅

+ −+ −

÷+ +

=+ + + −− + − −

⋅+ + − +

+ −⋅

+ +=

+ +− −

=+ +− −

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

11. 11. 11. 11. 11. ( )( )

( )( )( )( )( )( )

( )a a

b b

a a

b

ax a

ab b

a a

b b

b b b a

a a a x

b b

x

b b

x

2

2

2

2 2 2

2 25 6 55

1

3

11

5

1

1 1 11

11 5 3

1

3 3

−+

÷+ −

−⋅

++

=

−+

⋅+ − +

+ − +=

−+

=−+

12. 12. 12. 12. 12.

( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )

( )( )

m mn mn

m n mn n

m n

m mn n

m n

m mn n

m m n

n m n m n

m n m n

m n m n

m n

m n m mn n

m m n

n m mn n

m mn

m n mn n

3 2 2

2 2 3

2 2

2 2

3 3

2 2

2 2

2 2 2 2

2

2 2 3

6 9

2 7 3

4

8 2

27

16 8

3

3 2

2 2

2 4

4

3 3 9

4

3 9

4

3 9

+ ++ +

⋅−

− −÷

++ +

=+

+ +⋅

+ −− +

⋅+

+ − −=

+− +

=+

− +

13. 13. 13. 13. 13. ( )

( )( )

( ) ( )( )( )( ) ( )

( )( )

a ax

a x a a x

a a x

a ax x

a x

a ax

a ax

a x a a x

a a x a x

a a ax a x a x

a ax

a a x

a a x

a a x a

2 2

2 2 3 2

3 2

2 2

2 2

3 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

1

2

1 1

−+

⋅+

÷−

+ +⋅

−+

=−+

⋅+

⋅+ +

− + −=

−−

=−−

=

14. 14. 14. 14. 14. ( )

( ) ( )( )

( )( )( )( ) ( )

( )( )( )( ) ( )( )

a a

a

a

a a

a a

a a

a a

a a

a a a

a a

a a

a a a a

a a a a

a

a a a a

aa a

2 2

2

3

2

4 2

2 2

2 2 2

2

2 2

2 2

2 2 23 2

3

9

27

3 3

9

3

3

3 3

3 9 3

3 9

3

3 3

3 3

3

3 3

33

−−

⋅−

+ −÷

−

+

=−

+ −⋅

− + ++ +

⋅+

− +=

− ++

=− +

+= −

EJERCICIO 137

1. 1. 1. 1. 1. ( )

( )( )a

a

b

bb

ab a

bb

b

a b

b b

a

b

−

−=

−

−=

−+ −

=+1 1

1

1 1 12

2. 2. 2. 2. 2. ( )( )x

x

x

x

xx

x

x x x

xx x

23

22

1

11

1

11 1

11

−

−=

−

− =− + +

−= + +

3. 3. 3. 3. 3. ( )( )

( )

a

b

b

ab

a

a b

aba b

a

a b a b

b a b

a b

b

−

+=

−

+ =+ −

+=

−

1

2 2

4. 4. 4. 4. 4.

1 1

1 1m n

m n

m nmn

n mmn

m nn m

+

−=

+

− =+−

5. 5. 5. 5. 5. ( )x

x

xx

x x

x xx

x

+

−=

+

− = =2

4

22

44

2 3

32

6. 6. 6. 6. 6. ( )( )

( )

x

y

y

xy

x

x y

xyx y

x

x y x y

y x y

x y

y

−

+=

−

+ =+ −

+=

−

1

2 2

7. 7. 7. 7. 7. ( )( )( )( )

xx

xx

x x

xx x

x

x x

x x

x

x

+ +

− −=

+ +

− −=

+ +− +

=+−

43

45

4 3

4 5

1 3

5 1

3

5

2

2

8. 8. 8. 8. 8. ( )( )

( )a

a

a

a a

aa

a

a a

aa

− +

−=

− +

− =− −

−= −

44

12

4 4

22 2

22

2

9. 9. 9. 9. 9.

( )

( )( )( )

( )

2

44

1

2

4 44

4 2

4 4

4 2

2

4

2

4 4

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

a b

ab

a b

ab

a b ab

aa b ab

ab

b a b ab

a b ab

b a b a b

a b

b a b

a b

ab b

a b

−−

++

=

− −

+ +

=− −

+ +

=− +

+

=−

+=

−+

10. 10. 10. 10. 10.

235

103

10 35

3 103

35

+

+=

+

+ =

ab

ab

b ab

a b b

11. 11. 11. 11. 11.

( )

a xx

a x

aa

a x

a x xa x

a a x a

a x

a

a a x a x

− ++

−+

=

− ++

+ −+

=+ −

=+ −

2

22

2 2 2

3 2 2

2

2 1

1

1

12. 12. 12. 12. 12.

( )( )( )( )( )

aa

a a

a a

aa a

a

a a a

a a

a a

a

a a

a

+ −

+ +

=

+ −

+ +

=+ −

+ +

=−

+=

−+

514

18 7

5 14

8 7

7 2

7 1

2

1

2

1

2

2

2

2

2

13. 13. 13. 13. 13.

( )( )( )( )

( )

1 9 20

16

9 20

16

5 4

4 4

5

4

5

4

5

4

2 3

2

3

2

2

2 3 2 3 2

a a a

aa

a aa

aa

a a

a a a

a

a a

a

a a

a

a a

− +

−

=

− +

−

=− −+ −

= −−

+= −

−+

=−+

14. 14. 14. 14. 14.

( )( )

( )( )( )( )

20 7 6

425

4 3 5 2

4 25

4 3 5 2

2 5 2 5

4 3

5 2

2

2

2

2

2

x x

x

x

x x

xx

x

x x x

x x

x x

x

+ −

−

=

+ −

−

=+ −

+ −

= −++

15. 15. 15. 15. 15.

( )

11

1

11

1

1 11

1 11

1 1

2

2

2

2

+−

+−

=

− +−

− +−

=+

=+

x

x

x

x

x

x

x x

x

x

x

16. 16. 16. 16. 16.

( )( )

aab

a b

aab

a b

a ab aba b

a ab ab

a b

a a b

a a b

a b

a b

−+

+−

=

+ −+

− +−

=−+

=−+

2

2

2

2

17. 17. 17. 17. 17.

( )( )( )( )

xx

xx

x x

x

x x

x

x x

x x

x

x

− −+

+ −+

=

+ −+

+ −+

=+ −

+ −=

++

15

3

535

3

2 83

8 203

4 2

10 2

4

10

2

2

18. 18. 18. 18. 18.

( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

( )( )( )

aa

a

aaa

a a aa

a a a

a

a a a

a a a

a a a

a a a

a

a a

a a

a a

+ −++

− +−+

=

+ + − −+

− − + −+

=+ − −

+ + −

=+ − ++ + −

=+

+ +=

+ ++ +

27 9

3

45 11

1

5 6 7 93

3 4 5 111

1 2 3

3 2 15

1 3 1

3 5 3

1

3 5

2 1

8 15

2

2

2

2

22

2

EJERCICIO 138

1. 1. 1. 1. 1.

( )( )

111

11

11

1 11

1 1

1

2 1

22

2

++−

−−

+

=

− + +−

+ − −−

=+

= +

x

x

x x

x x

x

x x

x

x xx x

2. 2. 2. 2. 2.

( )

( ) ( )( )

( )( )( )

( )( )( )( )

11

21

2 2 61

1 2 1

1

2 2 6

1

3 1

1 3 5 2

3 1

1 3 1 2 2

2

2

2

2

x xx

x

x

x

x x

x

x x x x

x x

x x

x x x

x x

x x x

x

x x

−+

+−

+++

=

+ + −−

− − + ++

=−

− + −

=−

− − +=

+ −

3. 3. 3. 3. 3.

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

a

a b

b

a ba b

a b

a

b

a a b b a b

a b a b

b a b a a b

b a b

a ab ab b

a b

ab b a ab

b

a b

a b

a b

b

b

a b

−−

++−

+

=

+ − −− +

+ + −−

=

+ − ++

+ + −=

+++

=+

2 2

2 2

2 2

2 2

4. 4. 4. 4. 4.

( )( ) ( )( )( )( )

( )( ) ( )( )( )( )

( )

x

x

x

xx

x

x

x

x x x x

x x

x x x x

x x

x x x x

x x x x

x x x

++

−++

−+

−−+

=

+ + − + ++ +

− + − − ++ +

=+ + − − −+ − − + +

=+

=+

=+

34

12

12

34

3 2 1 4

4 2

1 4 3 2

2 4

5 6 5 4

3 4 6

2

4 2

2

2 2 1

1

2 1

2 2

2 2

5. 5. 5. 5. 5.

( ) ( )( )

( )

( )( )

m

n

m n

m nm n

n

n

m

m m n n m n

n m n

m m n n

nm

m m n m n n

m n

m mn n

m

m n

m n

m mn n

m

m n m mn n

m n

m mn n

m

m mn nm

m mn nm

2 2 2

2 2 2

2

3 2 2 3

2 2

3 3

2 2

2 2

2 2

2 22 2

+−+

−+

=

+ − −+

− +

=

+ − ++

− +

=

++

− +

=

+ − ++

− +

= − + ⋅− +

=

6. 6. 6. 6. 6.

( ) ( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( )( )( )

a

b aa

b

b a

a b

a b

aba a b b b a

b a b

a b a ab b

aba ab b ab

b a b

a b a ab b

aba b

a b

a b a ab b

ab

a b

a b a b

a ab b

ab

2

3

3 3

3

2 2

3

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2

2 2

2

1+

−−−

=

+

− − −−

=

+ − +

− − +−

=

+ − +

−−

=+ − +

⋅−

+ −

=− +

7. 7. 7. 7. 7.

( )( )( )

( )( )

( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )( )

12

1

22 21

1 21

2 1 2 2

1 1

2 1

2 2 2 21

1

2 1

1 1

1 1 1

2 1

1 1

2

2 1 1

22 2 1

2

1

2

5

4

2

2

4 5

2 2

2

5 5

2

2

2

2

2

2 3 2

2

++

++

−

=

+ ++

− + ++ −

=+ +

− + +−

=+

++ −

=+ ⋅ + −

+

=+ −

=+ + −

=− + − + −

=+ −

x

x

xx

x

x x

x

x x x

x x

x x

x x x

x

x

x

x x

x x x

x

x x

x x x

x x x x x

x x − x3

2

8. 8. 8. 8. 8.

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

( )

x yx y

x yx y

x y

x

x y

x y

x y x y

x y x y

x y x x y

x x y

x xy y x xy y

x yx xy y x xy

xxy

x y

yx

xy

x y

x

y

x

y x y

x

xy y

+−

−−+

+−

++

=

+ − −− +

+ − ++

=

+ + − + −−

+ + − −

=−

=−

⋅ =−

=−

2

2

2 2

2 2

4

4 4 4

2 2

2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

2

9. 9. 9. 9. 9.

( )( ) ( )( )( )( )

( ) ( )( )( )

( )( )

a x

a x

b x

b x

a x b x

a x b x b x a x

a x b x

b x a x

a x b x

ab ax bx x ab bx ax x

b x a x

bx ax

b a

x b a

b ax

+−

−+−

−−

−

=

+ − − + −− −

− − −− −

=− + − − + − +

− − +

=−−

=−

−=

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2

2

2 2

10. 10. 10. 10. 10. ( )

( ) ( )( )( )

aa x

aa x

aa x

aa x

a a

a x

a a x a a x

a x a x

a

a ax a axa x

a

aa x

a a x

a

a x

a

+−

+

−+

+

=

−+

+ + −− +

=+ + −

−

=

−

= ⋅−

=−

2 2

2

2

2

22 2 2 4

2 2

2 2

11. 11. 11. 11. 11.

( ) ( )( )

( )( )( )

a b

a b

b

aa b

a

b

a b

a a b b a b

a a b

a b a b ab

a a b

a ab ab b

a b ab

a ab b

a ab b

+−

+

++

−

=

+ + −−

+ − +−

=+ + −

− +

=+ −+ −

=

2

3

2

3

2

3

3

31

2 2

2 2

2 2

2 2

12. 12. 12. 12. 12.

( )( )

( )( )( )( )

( )( )

( )

17 12

16

7 12

16

4 3

4 4

4 3 1

4 4

3

4

3

4

2

2

2

2

2

− +

−

=

− +

−

=

− −

− +

=− −

⋅− +

=−+

=−+

x x

xx

x xx

xx

x x

xx x

x x

x x x

x

x x

x

x x

13. 13. 13. 13. 13.

( )( )( )

a

b

b

a

b a

b

a

a b

aba ab b

a b

a b

a ab b

a

a b a ab ba

a ab b

a a b a ab

2 2

2

3 3

2 2

2

3 3

2 2

2 22 2

2

1 1

−

+ +

=

−

+ +

=−

+ +

= − + + ⋅+ +

= − = −

14. 14. 14. 14. 14.

( )( )

( )( )

( )( )( )( )

x yy

x y

x yy

x y

x y x y y

x y

x y x y y

x y

x xy y

x xy y

x y x y

x y x y

x y

x y

− −+

− −+

=

− + −+

− + −+

=− −− −

=− +− +

=−−

24

35

2 4

3 5

6

2 8

3 2

4 2

3

4

2

2

2

2

2 2

2 2

15. 15. 15. 15. 15.

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

21

21

21

21

2 1 2 1

1 1

2 1 2 1

1 1

2 2 2 2

2 2 2 2

4

4

1

−+

+

+−

−

=

+ + −− +

− − ++ −

=+ + −− − −

= − = −

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a a a

16. 16. 16. 16. 16.

( )( )

( )( )

1 1

1 1

2

21

x y z x y z

x y z x y z

x y z x y z

x y z x y zx y z x y z

x y z x y z

y

y

+ +−

− +

− +−

+ +

=

− + − − −+ + − ++ + − + −− + + +

=−

= −

17. 17. 17. 17. 17.

12

12

2

2

+ +− −

− −− +

=

− − + +− −

− + − +− +

=

+− −

+− +

=+

− −⋅

− ++

=− +− −

b ca b cc b

a b c

a b c b ca b c

a b c c ba b c

a ba b c

a ba b c

a b

a b c

a b c

a b

a b c

a b c

18. 18. 18. 18. 18.

( )( )

( )( )

a

a

a

aa

a

a

a

a a

a a

a a

a a

a a a

a a a

a a

a

11

11

1

1

1

1

1 2

1 2

2 2 1

1 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

−+

−

−−

−

=

+ −−

− −−

=+ − +

− + −=

− +−

19. 19. 19. 19. 19.

( )

( )

xx

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

xx

x

+ −++

−

− +−−

+

=

+ −+

+−

− +−

−+

=

−−++

=

16 12

25

411 22

27

16 2

25

411 2

27

5577

1

20. 20. 20. 20. 20.

1

11

11

11 1+

= + = ⋅+

=+

xx

x

x

x

x

x

21. 21. 21. 21. 21. 1

11

11

1

11

1

1

11

11

1

12 1

1

11

2 1

1

2 1

+−

=+ −

=+

−

= − +−

= −−

= ⋅−−

=−−

xx

x

xx

x xx

xx

x

x

x

x

22. 22. 22. 22. 22. 11

21

31

11

21

33

11

23

3

11

2 33

13

2 3

2 3 32 3 2 3

−+

−

= −+ −

= −+

−

= − −−

= −−−

= − − +−

=−

x

x

x

xx

xx

x xx

xx

23. 23. 23. 23. 23. 2

12

12

2

12

2

2

12

2

22 2

2

23 2

2

22

3 22 43 2

++

=+ +

=+

+

= + ++

= ++

= ⋅ ++

= ++

x

xx

xx

x xx

xx

xx

xx

24. 24. 24. 24. 24. 1

1

1

1

1

1

1

1 11

2

2 2

2

2 2

xx

xx

x

xx

x x xx

xxx

x

xx x

x

x x xx

xx

−−

+

=−

+ −+

=−

+

=− +

=− −

= − = −

25. 25. 25. 25. 25.

( )( )( )

( )( )

1

211

1

211

1

21

1 1

1

21

1

2 1

1

1

21

11

2

1

22

2 2 2

aa

aa

aaa

a

aa a

a aa

a

aa a a

a

a a a

a

a

a

a

a

+ −+

−

=+ −

+−

=+ −

++ −

=+ −

−

=+ − −

−

=+ − −

−

= ⋅−−

=−−

26. 26. 26. 26. 26. ( )( )x

xx

xx

x

x

xx

x x xx

x

xxxx

x

xx x

x

x

x xx

−

+ −+

−−+

=−

+ −+

+ − ++

=−

+ −+++

=−

+ −+ +

+

=−

+ − −= −

1

2221

1

22

21

1

2221

1

22 1

2

1

2 112 2

2

2

2

2

2

EJERCICIO 139

1. 1. 1. 1. 1. xx

Para x−+

→ −+

= =23

22 22 3

05

0

2. 2. 2. 2. 2. xx

Para x−−

→ −−

= = ∞23

33 23 3

10

3. 3. 3. 3. 3. x a

x aPara x a

a a

a a a

2 2

2 2

2 2

2 2 2

0

20

−+

→−+

= =

4. 4. 4. 4. 4. x y

x yPara x y

y y

y y

y2 2

2 2

2 2

2 2

22

0

+−

→+−

= =∞

5. 5. 5. 5. 5.

x

x

Para x−

−

→ −

−

= =∞

=1

32

22 1

32 2

130

10

6. 6. 6. 6. 6.

( )( )( )( )

x

x xPara x

x x

x x

x

x

2

2

9

123

3 3

4 3

3

4

3 3

3 4

6

7

−+ −

→

+ −+ −

=++

=++

=

7. 7. 7. 7. 7.

( )( )( )( )

a a

a aPara a

a a

a a

a

a

2

2

6

2 153

3 2

5 3

2

5

3 2

3 5

5

8

− −+ −

→

− ++ −

=++

=++

=

8. 8. 8. 8. 8.

( )( )( ) ( )( )( )( )( )

x x

x x xPara x

x x

x x x

x x

x x

x

x

2

3 2

2

2 2

7 10

2 22

5 2

2 2

5 2

1 2

5

1

2 5

4 1

3

31

− +− − +

→

− −− − −

=− −− −

=−−

=−−

=−

= −

9. 9. 9. 9. 9.

( )( ) ( )

( )( )( )

( )( )( )( )

x x

x x xPara x

x

x x x

x

x x

x

x x x

x

x x

2

3 2

2

2

2

2

2

2 2

2 1

2 21

1

2 2

1

1 2

1

1 1 2

1

2

1 1

1 1 2

0

20

− +− − +

→

−− − −

=−

− −

=−

− + −=

−− −

=−

− −=

−=

10. 10. 10. 10. 10.

( )( )( )( )

a

a aPara a

a a a

a a

a a

a

3

2

2 2 2

8

11 262

2 2 4

13 2

2 4

13

2 2 2 4

2 13

12

15

4

5

−+ −

→

− + ++ −

=+ +

+=

+ ⋅ ++

= =

11. 11. 11. 11. 11. ( )( )

( )x x

x xPara x

x x

x

x

x

2

2 2

7 6

2 11

6 1

1

6

1

1 5

1 1

4

0− +− +

→− −

−=

−−

=−−

=−

= ∞

12. 12. 12. 12. 12.

( )( )

( )( )( )( )

( )( )( ) ( )

x x

x xPara x

x x

x x x

x x

x x x

x x

x x x

x

x x

3

3

3

2

3

2

2

2

2

2

2

2

3 2

7 62

3 2 1 0 3 2 2

2 4 2

1 2 1 0

2 2 1

7 6 1 0 7 6 2

2 4 6

1 2 3 0

2 2 3

2 1

2 2 3

1

2 3

2 1

2 2 2 3

9

5

− −− +

→

− − = − −

⇒ − + +

− + = −−

−

⇒ − + −

− +− + −

=+

+ −=

++ ⋅ −

=

13. 13. 13. 13. 13.

( )( )( ) ( )

( )( )( )( )

x

x x xPara x

x x

x x x

x x

x x

x

x

2

3 2

2 2 2 2

16

4 44

4 4

4 4

4 4

1 4

4

1

4 4

4 1

8

15

−− − +

→

− +− − −

=− +− −

=+−

=+−

=

14. 14. 14. 14. 14.

( )( )( )

4 4 1

4 8 5

1

2

2 1

2 5 2 1

2 1

2 5

212

1

212

5

1 1

1 5

0

60

2

2

2

x x

x xPara x

x

x x

x

x

− ++ −

→

−+ −

=−+

=⋅ −

⋅ +=

−+

= =

15. 15. 15. 15. 15.

( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )( ) ( ) ( )( )

8 6 1

4 12 15 4

1

2

8 6 1 8 68 8

8 4 8 2 2 1 4 1

4 12 15 4 4 12 15 4 4

16 16 4

4 4 1 0

4 4 4 1 4 2 1

2 1 4 1

2 1 4

4 1

2 1 4

412

1

21

2

3 2

2 2

3 2

2 2

2

x x

x x xPara x

x x x x

x x x x

x x x

x x x x x

x x

x x

x

x x

− ++ − +

→

⇒ − + = − +

= − − = − −

⇒ + − + = − −− −

−

= + − + = + −

⇒− −

− +=

−− +

=⋅ −

⋅2

112

4

10−

+

= = ∞

16. 16. 16. 16. 16.

( )( )

( )( )( )( )

( )( )

x x

x x x xPara x

x x

x x x

x x x x

x x x x

x x x

x x x x

x x

x x x

3

4 3 2

3

2

4 3 2

3 2

2

3 2

2

3 2

9 10

11 9 182

9 10

1 0 9 10 2

2 4 10

1 2 5 0 2 2 5

11 9 18

1 1 11 9 18 2

2 2 18 18

1 1 9 9 0 2 9 9

2 2 5

2 9 9

2 5

9 9

− +− − + +

→

⇒ − +−

−

− = − + −

⇒ − − + +− −

− −

− − = − + − −

⇒− + −

− + − −

=+ −

+ − −=

2 2 2 5

2 2 9 2 9

3

15

1

5

2

3 2

+ ⋅ −+ − ⋅ −

=−

= −

17. 17. 17. 17. 17.

( )( )

x a

x aPara x a

x a x ax a

x ax ax a a a a a

3 3

2 22 2 2 2 2 23

−−

→

− + +−

= + + = + + =

18. 18. 18. 18. 18. ( )( )

a ab b

a abPara b a

a b

a a b

a b

a

a a

a

2 2

2

22

0− +

−→

−−

=−

=−

=

19. 19. 19. 19. 19.

( )( )( )

x y

xy yPara y x

x y x y

y x y

x y

y

x x

x

x

x

2 2

2

22

−−

→

+ −−

=+

=+

= =

20. 20. 20. 20. 20.

( )( )( )

x a

a x aPara x a

x a x ax a

a x a

x ax a

a

a a a

a

a

a

3 3

2 3

2 2

2

2 2

2

2 2 2

2

2

2

33

−−

→

− + +−

=+ +

=+ +

= =

21. 21. 21. 21. 21.

( )( )( )( )( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

x x

x x xPara x

x x

x x x

x x x

x x

x x x

x x x

x x x

x x

x x

x x

x

3

3 2

3

2

2

3 2

2

2

2

2

3 2

2 6 6 21

3 2

1 0 3 2 1

1 1 2

1 1 2 0 1 2

1 2 1

1 2

2 6 6 2

2 6 6 2 1

2 4 2

2 4 2 0 1 2 4 2

1 1 2 2

1 2 2

1 2

1 2 2

− +− + −

→

⇒ − +−

−

− = − + −

= − + −

= − +

⇒ − + −− −

−

− = − − +

= − − −

= − −

⇒− +

− −=

+−

=+

⋅ −= = ∞

2

2 2

1 2

2 1 2

3

0x

22. 22. 22. 22. 22.

( )( )

( )( )( )( )( )( )( )

x x x x

x x x xPara x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

4 3 2

4 3 2

4 3 2

3 2

2

7 6

3 3 11 63

7 6

1 1 7 1 6 2

2 6 2 6

1 3 1 3 0

2 3 3

1 3 1 3 1

1 2 3

1 2 3 0

2 1 2 3

2 1 3 1

− − + +− − + −

→

⇒ − − + +− − −− −

− −

+ − − +− −

− −

− −

= + − − −

= + − − +

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

ContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuación

22. 22. 22. 22. 22.

( )( )

( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

⇒ − − + −− − − −− −

− −

= + − + −− −

−

−

= + − − +

= + − − −

⇒+ − − ++ − − −

=+−

=+−

= =

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x

x

4 3 2

3 2

2

3 3 11 6

1 3 3 11 6 2

2 10 14 6

1 5 7 3 0

2 5 7 3

1 5 7 3 1

1 4 3

1 4 3 0

2 1 4 3

2 1 3 1

2 1 3 1

2 1 3 1

1

1

3 1

3 1

4

22

23. 23. 23. 23. 23.

( )( )

( )( )

( )( )( )( )

3 5 4 4

2 3 8 42

3 5 4 4

3 5 4 4 2

6 2 4

3 1 2 0

2 3 2

2 3 8 4

1 2 3 8 4 2

2 8 10 4

1 4 5 2 0

2 4 5 2

1 4 5 2 2

2 4 2

1 2 1 0

2 2 2 1

2

3 2

4 3 2

3 2

2

4 3 2

3 2

2

x x x

x x x xPara x

x x x

x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x

− − ++ − − −

→

⇒ − − +− −

−

−

= − + −

⇒ + − − −− − −

− + + +−

− − −

= − + + +

⇒− ( )

( )( )( )

( )( )

( )( )

3 2

2 2 1

3 2

2 1

3 2 2 2

2 2 2 1

12

36

1

3

2

2

2

2

2

2

x x

x x x

x x

x x

+ −

− + +

=+ −

+ +

=⋅ + −

+ += =

24. 24. 24. 24. 24.

( )( )

x x

x x x xPara x

x x x x

x x x x

2

4 3 2

2

4 3 2

5 4

2 9 2 81

5 4 1 4

2 9 2 8

1 2 9 2 8 1

1 1 10 8

1 1 10 8 0

− +− − + +

→

⇒ − + = − −

⇒ − − + +− −

− − −

− − −

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

ContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuación

24. 24. 24. 24. 24. ( )( )

( )( )( )( )( )

( )( )( )

x x x x

x x x x

x x

x x x x

x x

− − − −− − −

= − − + +

⇒− −

− − + +

=+ +

=+ ⋅ +

=

1 10 8

1 1 10 8 4

4 12 8

1 3 2 0

1 4 3 2

1 4

1 4 3 2

1

3 2

1

1 3 1 2

1

6

3 2

2

2

2 2

25. 25. 25. 25. 25.

( )( )

( )( )( )

( )

x x x

x x x xPara x

x x x

x x x x

x x x

x x x x

x x x

5 3 2

5 3 2

5 3 2

4 3

3

5 3 2

4

4 8 32

3 10 4 402

4 8 32

1 0 4 8 0 32 2

2 4 0 16 32

1 2 0 8 16 0

2 2 8 16

1 2 0 8 16 2

2 0 0 16

1 0 0 8 0

2 2 8

3 10 4 40

1 0 3 10 4 40 2

2 4 2 24 40

1 2 1 12 20 0

2 2

− + −− + − −

→

⇒ − + −− −

− + + +−

− −

= − + +

⇒ − + − −− − −

− +( )

( )( )( )

( )( ) ( )( )( )( )

( )( ) ( )

( )( )

( )( )

3 2

3

2 2

3

2 2

3

2

3

2

12 20

1 2 1 12 20 2

2 0 2 20

1 0 1 10 0

2 2 10

1 0 1 10 2

2 4 10

1 2 5 0

2 2 2 5

2 2 8

2 2 2 5

8

2 2 5

2 8

2 2 2 2 2 5

16

20

4

5

+ + +−

− − −

− + + +−

− −

−

= − + − +

⇒− + +

− + − +

=+

+ − +

=+

+ − ⋅ += =

x x

x x x x

x x x x

x x x

x x x x

x

x x x

26. 26. 26. 26. 26.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( )( )( )

8 6 9

12 13 3

3

4

8 6 8 72

12 13 12 36

8 12 8 6

12 9 12 4

2 3 4 3

4 3 3 1

2 3

3 1

234

3

334

1

9254

36

10

18

5

2

2

2

2

x x

x xPara x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x

+ −− +

→

⇒+ −− +

=+ −− −

=+ −− −

=+−

=⋅ +

⋅ −= = =

27. 27. 27. 27. 27.

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

x x x

x xPara x

x x x

x x x x

x x

x x x x

x x x

x x

x

3 2

4 2

3 2

2 3

4 2

3 2

2

2 2

6 12 8

8 162

6 12 8

1 6 12 8 2

2 8 8

1 4 4 0

2 4 4 2

8 16

1 0 8 0 16 2

2 4 8 16

1 2 4 8 0

2 2 4 8

1 2 4 8 2

2 8 8

1 4 4 0

2 4 4

2 2

+ + +− +

→ −

⇒ + + +−

− − −

= + + + = +

⇒ − +− −

− −

− −

+ − − +− − −− −

−

= + − +

= + −

⇒+( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2 2

2

2

2 2

2 2

0

160

3

2 2

2 2

x x

x

x

+ −

=+

−=

− +

− −= =

28. 28. 28. 28. 28.

( ) ( )

( )( )( )( )

9 3 3 1

27 1

1

3

3 3 1 3 1

27 1

3 1 3 1

3 1 9 3 1

3 1

9 3 1

313

1

913

313

1

433

4

9

3 2

3

2

3

2

2

2

2

2

2

x x x

xPara x

x x x

x

x x

x x x

x

x x

+ + ++

→ −

=+ + +

+

=+ +

+ − +

=+

− +

=−

+

−

− −

+

= =

29. 29. 29. 29. 29. ( )( )

( )( )1

1

3

11

1 3

1

2

1

1 2

1 1

2

1

1 2

1 1 1

3

313

2

3

2

3 2 2 2x xPara x

x x

x

x x

x

x x

x x x

x

x x−−

−→

+ + −−

=+ −

−=

− +− + +

=+

+ +=

++ +

= =

30. 30. 30. 30. 30. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )x xx

Para x x xx

xx x2 3 10 1

1

22 5 2

1

25 1 2 5 2 1 7+ − +

−

→ + −

−−

= + − ⇒ + − =

EJERCICIO 140

1. 1. 1. 1. 1.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

12 31 20

18 21 4

12 31 12 240

18 21 18 72

12 16 12 15

18 24 18 3

3 4 4 5

3 4 6 1

4 5

6 1

2

2

2

2

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x

+ ++ −

=+ ++ −

=+ ++ −

=+ ++ −

=+−

2. 2. 2. 2. 2.

( )( )( ) ( )

1 2 12

2 1

2 1 2 2 1

1

1 1

1

1

1

2 3

2

3

2

2

3 2 3 2

a a aa

a

a

a a

a

a a a

a

a

a

a

a a

a

a a

a

a a

+ +

÷ + −

+

=+ +

÷

+ − −

=+

⋅+ −

=+

−=

+−

3. 3. 3. 3. 3.

( )( ) ( )( ) ( )

x x x

x x

x x x

x x

x x

x x x x x x

3 2

5 2

2

2 3

2

2

3 9

27

3 9

27

3 9

3 3 9

1

3

+ +−

=+ +

−=

+ +− + +

=−

4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( )

( ) ( )

x y

y

x x y

xy

x x y x x y

xy

x x y xy x x y xy

xy

x y

xyx

+−

−

=+ − −

=+ + − + −

= =

2 2

2 2

3 2 2 3 2 2 22 2 44

5. 5. 5. 5. 5. ( )

( )( )( ) ( )( )( )

( )( )( )( )

a b a b b

a a b b

a b a b a b

a b a b

a a b b b a

a b a b

a b a b

a b a b

a b

a b

4 3 2

4 2 2

4 3 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2

2

2

2

− + −− −

=− + −

− +

=+ − +

− +=

− +− +

=++

6. 6. 6. 6. 6. ( )( )

( )( )

aa

a

a a a

a

a

a

a a a

a

aa

a

a a a

a

a

a

a a a

a

a

aa a

++

−=

− + +−

=+−

=+ − +

−

−++

=+ − −

+=

−+

⇒+ − +

−⋅

−+

= − +

1 5

5

5 1 5

5

1

5

1 1

5

5

1

5

1

5

1

1 1

5

5

11

2

3

2

3

2

2

2

2 2

2

2

22

7. 7. 7. 7. 7.

( )( )x x

x

x

x x x x

x

x x x

x

x

x

xx

x

x x x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

23

2 3

3 3

2

2 2

5 429

5

5 5 4 29

5

29 20 29

5

49 29

5

34170

5

29 170 170

5

29

5

49 29

5

29

5

49 29

5

5

29

49 29

29

+ − −−−

=− + − − +

−

=− + − +

−=

−−

+ +−−

=+ − + −

−=

−

⇒−−

÷−

=−−

⋅−

=−

8. 8. 8. 8. 8. 4 5

343

53 3

43

53 3

2 2 2 2 2x xy yx

xx

xyx

yx

x y yx

− + = − + = − +

9. 9. 9. 9. 9. m n x

mnxm

mnxn

mnxx

mnx nx mx mn− −

= − − = − −1 1 1

10. 10. 10. 10. 10.

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

x xy

x yx xy

x x y

x yx x y

x x y x y

x yx x y x x y x x y

3 22

2 2

−−

= +

⇒−

−= +

⇒+ −

−= + ⇒ + = +

11. 11. 11. 11. 11.

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

x xx x

x

x

x

x x x x

x

x x x

x

x x x x x

xx x

x x x

xx x

x x x

xx x x x x x

22 3

2 2

3 2 22

3 22

22 2 2

2 19 3

3

1

1

1 3 3 3

3

1 1

1

5 7 3 9 3

31

2 2 3

31

3 1

31 1 1

− + −−−

=−−

⇒− − − −

−=

− + +−

⇒− + − − +

−= + +

⇒− − −

−= + +

⇒− + +

−= + + ⇒ + + = + +

12. 12. 12. 12. 12.

( )( )( )( )( )( )( )

( )( )

a a

a a aa

a

a

a a a a

a a a

a a a

a

aa a

aa

a a

aa a

4 2

3 2

2

2

5 4

4 43

2 4

2 1

2 1 2 1

2 1 2

2 5 3 2 4

2 1

12 1

2 11

2 1 1

2 11 1

− ++ − −

= − ++

+

⇒− − + +

− + +=

− − + ++

⇒ − =− −+

⇒ − =+ −

+⇒ − = −

13. 13. 13. 13. 13.

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1 2

2

2 2 2 2

4 2

2 2

3 3 2 2 2 2

3 3

3 3 3 2 2 3 3 2

3 3

3 2

3 3

a b a b

a

a ab b

a b a b a ab b a a b

a b a b

a b a a b ab b a ab

a b a b

a a b

a b a b

−+

++

− +

=+ + − − + + −

+ −

=+ + − + − + −

+ −

=−

+ −

14. 14. 14. 14. 14.

( ) ( )

a

a

a

aa

a

a

a a a

a

a a a

a

a a a

a

a a a

a

a

a

a

a a

2

2

4

4

3

2

2 2 4

4

2 3

2

2 4 4

4

2 3 3

2

2

4

2

2 2

1 11

1

1

1

1 1

1

1

1

1 1

1

−−

−

⋅ − +

+

=+ −−

⋅

− + +

=+ −

−

⋅

− + +

=−

⋅+

=−

15. 15. 15. 15. 15.

( )( )( )( )

( ) ( )( )( )( )

x

x x

x

x x

a x a

x x a x a x

x x

x x

x x

x

a x x

x x

x

a x

x

x

2

2 2

2 2 2

2 2 2 2

2

2 2

9

12

3

3

16

2 7 3

2 1

3 3

4 3

3

3

4 4

3 2 1

2 1 4

−− −

÷−+

⋅

−+ +

⋅ +

=+ −− +

⋅+

−

⋅

− ++ +

⋅+

=

+

16. 16. 16. 16. 16.

( )( ) ( )( )( )

( )( )

( )

3 12 4

6 25 4 4

3 12 4

3 1 12 4 2

6 14 4

3 7 2 0

2 3 7 2 2 2 3 1

6 25 4 4

6 1 25 4 4 2

12 22 6 4

6 11 3 2 0

2 6 11 3 2

6 11 3 2 2

12 2 2

6 1 1 0

2

3 2

4 3 2

3 2

2

4 3 2

3 2

x x x

x x x x

x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x

x x

− − ++ − − +

⇒ − − +− − −− −

−

= + − + = + − −

+ − − +− − −

− −

− −

+ − − +− −

−

−

= − ( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )( )

+ + −

= − + + −

⇒+ − −

− + + −=

+

2 6 1

2 2 2 1 3 1

2 2 3 1

2 2 2 1 3 1

1

2 1

2x x

x x x x

x x x

x x x x x

17. 17. 17. 17. 17.

( )( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )

16 81

72 5 12

4 9 4 9

72 5 72 864

4 9 4 9

72 32 72 27

4 9 4 9

9 4 8 3

4 9 4 9

4 9 8 3

9 4

8 3

2

2

2

−− −

=− +

− −

=− +− +

=− +

− += −

− +− +

= −++

x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x

18. 18. 18. 18. 18.

( ) ( )( )

( ) ( )

( )

1 2

2

3

3 2 3

6

5 6

5 6 2 3 3 2

5 6

3 2 6

5 6

5 6 2 6 3 6

5 6

5 6

3 2 6

2 5 6 1

2

2

2 2

2 2 2

2

2

2 2

2

x x x

x

x

x

x x x

x x x x x x

x x x

x x x x

x x

x x x x x x

x x x

x x

x x x x

x x

x

−+

++

÷

++

++

+ +

=+ + − + + +

+ +÷

+ + + ++ +

=+ + − − + +

+ +⋅

+ ++ + + +

=+ +

⋅2 5 6

12x x x+ +

=

19. 19. 19. 19. 19.

( )

( )( )

( ) ( )

( )

b

ab

a

b

a ba b

a b

b

aa b

a

a b b

a ba b a b

a b

a b

a a b

a

a ba b

a b

a b

a a b

a

a b

a b a a b

a a b

a b a a b

a a b

a

a a b

a

a b

1

1

23

2 2 3

2

2

2 2

2

2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 3 2

2 2

3

2 2

2

2 2

−+

+−

−−−

=−

+

− +−

− − +−

=−

+−+−

=−

++

=+ −

−=

+ −−

=−

=−

20. 20. 20. 20. 20.

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )( )( )( )( )( )( )

1

3

36

4

136

14

1

3

6 6 2 2 1

36

1

4

6 6

3

2 2

36 4

6 6 2 2

3 6 6 2 2

1

3

2

2

2 2

2 2

2

2

x

x

x

xx

xx

x

x x

x

x x

x xx

xx

x x

x

x x

x

x

x

x

x

x x x x x

x x x x x

−÷

−

⋅

−⋅

−

=+ −

⋅+ −

⋅

−⋅

−

=+ −

⋅+ −

⋅−

⋅−

=+ − + −+ − + −

=

21. 21. 21. 21. 21. ( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( )

( )( )

( )( )

3

2

55

12

3 14 104 4

3 5 5 2 2 5

2 5

3 14 10

2

3 15 5 20 20 7 10

5 3 14 10

9 42 30

5 3 14 10

2

2 2

2 2

2

2

2 2

2

2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

a

a b a b a b

a ab ba ab b

a a b a b a b a b

a b a b

a ab b

a b

a ab a ab b a ab b

a b a ab b

a ab b

a b a ab b

−+

−+

−

− +− +

=

− + − + − −

− −− +

−

=− + − + + − +

− − +

=− +

− − +( )

( )( )=− +

− − +=

−3 3 14 10

5 3 14 10

3

5

2 2

2 2

a ab b

a b a ab b a b

22. 22. 22. 22. 22.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

x

x

x

xx

x

x

x

x

a b

x

a b

x x

x

x x

x

x

a b

a b

x

x x x x

x x x x

x

x

x

x

x

x

+−

−−+

−+

++−

⋅+−

÷−

=

+ − −−

− + +−

⋅+−

⋅−

=+ + − + −− + + + +

⋅+

=+

⋅+

=

11

11

11

11

1

2 2

2

1 1

1

1 1

1

1

2 2

2 1 2 1

2 1 2 1

1

4

4

2 1

1

4

1

2

2

2 2

2 2

2

2 2

2

2

2

2

2 2

2 2

2

2

2

23. 23. 23. 23. 23. ( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1

3 9

1

6 12

1

2 3

1

69

1

3 3

1

6 2

1

2 3 6 9

2 3 2 3 3 2 6 2

6 3 2

2 2 12 6 9 3 6 6 12

6 3 2

7 13 27

6 3 2

2

2 2

2

2

2 2 2

2

2

2

x x x xx

x x x

x

x x

x x x x x

x x

x x x x x x x

x x

x x

x x

−−

+−

−+

− +

=−

−+

−−

+− +

=− + − − − + + +

− +

=− − − + − − − + +

− +

=+ −

− +

24. 24. 24. 24. 24.

( )( )( )

( )( )

a ba b

a b

a ba b

a b

bba

a b a b

b

a b a ba b

a b a b

a b

ab b

aa b b a b

b

aa b

b

a b

b a b

aa b a

b

a a b

b a b

b a b

a a b

b

a

− +++

+ −−−

⋅+

−⋅

+−

=

− + ++

− − +−

⋅

+

−⋅ + −

=+

−

⋅

+

−⋅ =

−+

⋅+−

⋅ =

2 2

2 2

2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

2

2

2

2

21

12

21

2

21

22

21

EJERCICIO 141

1. 1. 1. 1. 1.

( )

xx

x x

x x

x x

x x

x

x

x

65

1

330

6

1 3

3

30 2 1 3

30 2 6

6 2 30

7 28

28

74

+ = −

⇒+

=−

+ = −+ = −+ = −

= −

=−

= −

2. 2. 2. 2. 2. 3

5

2

3

1

50 15

9 10 3 0

3

3

x xmcm

x x

x

x

− + = =

− + =− = −

=

3. 3. 3. 3. 3. 1

2

1

4

1

10

1

520

10 5 2 4

5 4 10 2

8

x xmcm x

x x

x x

x

+ − = =

+ − =− =− +

= −

4. 4. 4. 4. 4. x x x

mcm

x x x

x x x

x

x

x

22

12 6

5

412

6 24 2 15

6 2 15 24

3 39

39

313

+ − = − =

+ − = −− − = − −

= −

=−

= −

5. 5. 5. 5. 5. 3

4

1

52

5

4

3

2020

15 4 40 25 3

55 3 25 4

58 29

29

581

2

xx

xmcm

x x x

x x

x

x

x

− + = − =

− + = −+ = +

=

=

=

6. 6. 6. 6. 6. 2

3

5 7

10

3

21 30

20 150 21 45 30

130 45 51

85

515

3

x x xmcm x

x x

x

x

x

− = − + =

− = − +− + =

−=

−=

7. 7. 7. 7. 7. x

mcm

x

x

x

−− = =

− − =− =

=

4

35 0 3

4 15 0

19 0

19

8. 8. 8. 8. 8. xx x

mcm

x x x

x x

x

x

− + = =

− − =− =− =

= −

212

52

12

12 2 30

11 30 2

19 2

219

9. 9. 9. 9. 9. xx

x mcm

x x x

x x

x

x

x

−−

= − =

− + = −− − =− −

− =−

= −−

=

5 13

435

15

15 25 5 60 9

10 60 9 5

70 14

1470

15

10. 10. 10. 10. 10. ( )( )

108 3

42 3 4

40 8 3 8 3

40 8 8 24 3

40 16 27

27

249

8

xx

x mcm

x x x

x x x

x x

x

x

−−

= − =

− + = −− = − −

− = −

=−

= −

11. 11. 11. 11. 11.

( ) ( ) ( )

x x xmcm

x x x

x x x

x x

x

x

−−

−=

−=

− − − = −− − + = −

− = − −− = −

=

2

3

3

4

4

560

20 2 15 3 12 4

20 40 15 45 12 48

5 12 48 5

7 53

53

7

12. 12. 12. 12. 12.

( ) ( ) ( ) ( )

x x x x

mcm

x x x x

x x x x

x x

x x

x

x

−−

−−

−= −

−

=

− − − − − = − −− − + − + =− +

− + = − +− + = −

=

=

1

2

2

3

3

4

5

560

30 1 20 2 15 3 12 5

30 30 20 40 15 45 12 60

5 55 12 60

5 12 60 55

7 5

5

7

13. 13. 13. 13. 13. ( )( ) ( )

x xx

mcm

x x x

x x x

x

x

x

x

− − −−

= =

− − − − =− + − + =

− + =− =

=−

= −

5 17 5

101 10

10 10 5 1 7 5 10

10 50 10 7 5 10

35 3 10

35 7

7

351

5

14. 14. 14. 14. 14. ( )

( ) ( )

25 6

4

1

35 5

12

24 3 5 6 4 5 60

24 15 18 4 20 60

13 2 60

13 60 2

2

73

xx

x x

mcm

x x x x

x x x x

x x

x x

x

−−

+ − = −

=

− − + − = −− + + − =−

− = −+ =

=

15. 15. 15. 15. 15.

( ) ( )4

10 1

64

16 3

412

48 2 10 1 48 3 16 3

48 20 2 48 48 9

20 46 9

20 55

55

20

11

4

−+

= −+

=

− + = − +− − = − −

− + = −− = −

=−−

=

xx

xmcm

x x x

x x x

x

x

x

x

16. 16. 16. 16. 16. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1

21 3

1

33

1

66

3 1 6 3 2 3 1

3 3 6 18 2 6 1

3 15 2 7

5 8

8

5

x x x mcm

x x x

x x x

x x

x

x

− − − = + + =

− − − = + +− − + = + +

− + = +− = −

=

17. 17. 17. 17. 17. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

6 1

3

11 2

9

1

45 2

5

66 1 36

12 6 1 4 11 2 9 5 2 30 6 1

72 12 44 8 45 18 180 30

17 38 180 30

197 8

8

197

x xx x mcm

x x x x

x x x x

x x

x

x

+−

−− − = + =

+ − − − − = ++ − + − + = +

− + = +− = −

=

18. 18. 18. 18. 18. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

4 1

3

1

34 1

13 2

6

1

23 6

2 4 1 2 4 1 13 2 3 3

8 2 8 2 13 2 3 9

2 6 5

8 5

8

5

xx

xx mcm

x x x x

x x x x

x

x

x

+= − −

+− − =

+ = − − + − −+ = − − − − +

= − −= −

− =

19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

55 1

3

1010 3

1

22

6

510

4 5 1 3 10 3 5 2 12

20 4 30 9 5 10 12

50 13 5 10 12

50 13 5 2

55 11

1

5

x x x mcm

x x x

x x x

x x

x x

x

x

− + − = − − − =

− + − = − − −− + − = − + −

− = − + −− = − −

=

=

20. 20. 20. 20. 20.

( ) ( ) ( ) ( )

3 1

2

5 4

3

2

8

2 3

5

1

10120

60 3 1 40 5 4 15 2 24 2 3 12

180 60 200 160 15 30 48 72 12

35 250 48 84

83 166

2

x x x x

mcm

x x x x

x x x x

x x

x

x

−−

+−

+=

−−

=

− − + − + = − −− − − − − = − −

− − = −− =

= −

21. 21. 21. 21. 21.

( ) ( ) ( ) ( )

7 1

3

5 2

2

4 3

4

1 4

312

4 7 1 6 5 2 3 4 3 4 1 4

28 4 30 12 12 9 4 16

8 30 9 4

17 34

2

2

2

2 2 2

x x

x

x x

xmcm x

x x x x x x

x x x x x x

x x

x

x

−−

−=

−+

+

=

− − − = − + +

− − + = − + +− = − +

==

22. 22. 22. 22. 22. ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 7

3

2 4

5

4 6

15

7 6

315

5 2 7 6 4 4 6 5 7 6

10 35 6 24 4 6 35 30

30 30

30

301

2 2 2

2

2

2 2 2 2

3 2 3 3 2

x x

x

x

x

x

x

mcm x

x x x x x x x

x x x x x x x

x

x

x

+−

−−

−=

+

=

+ − − − − = +

+ − + − + = +=

=

=

23. 23. 23. 23. 23.

( ) ( )

2

3

1

5

3

4

6

360

8 1 15 6

8 8 15 90

8 15 90 8

7 98

98

7

14

x xmcm

x x

x x

x x

x

x

x

+

=

−

=

+ = −+ = −

− = − −− = −

=−−

=

24. 24. 24. 24. 24.

( ) ( ) ( )

3

5

2 1

6

4

3

3 2

4

1

5

2

3

1

50

60

6 2 1 20 3 2 4 2 12 0

12 6 60 40 4 8 12 0

52 26 0

26

52

1

2

x x x

mcm

x x x

x x x

x

x

−

−

+

−

−

+ =

=

− − + − − + =− − − − + + =

− − =

= − = −

25. 25. 25. 25. 25.

( )

103 5

63 2

460 3 5

6

47

12 824

4 55 3 94 3

220 12 94 3

12 3 94 220

9 126

126

9

14

1112−

+= −

⇒− −

= − =

− = −− = −

− + = −− = −

=−−

=

xx

x xmcm

x x

x x

x x

x

x

x

26. 26. 26. 26. 26.

( )

9 2 71 1

2

12

22

9 2 72

2

2

4

11

4

9 2 72

2

13

44

36 8 14 2 13

36 8 28 14 13

50 36 13

49 49

1

34x x

x

x

x xx x

xx x

mcm

x x x

x x x

x x

x

x

− − −

=

++

⇒ − −−

=

++

⇒ − −−

=

+=

− − − = +− − + = +

− = +==

27. 27. 27. 27. 27.

( ) ( ) ( )

3

8

7

10

12 5

16

2 3

20

4 9

4

7

800 160

60 112 10 12 5 8 2 3 40 4 9 14 0

60 112 120 50 16 24 160 360 14 0

84 336 0

84 336

336

844

x x x xmcm

x x x x

x x x x

x

x

x

x

− −−

−−

++

+ = =

− − − − − + + + =− − + − + + + + =

+ == −

=−

= −

28. 28. 28. 28. 28. ( ) ( )( ) ( ) ( )

5

4

3

1720 2 1

24

3468

85 12 20 68 2 1 2 24

85 12 240 136 68 2 48

63 308 2 48

65 260

260

65

4

xx x

xmcm

x x x x

x x x x

x x

x

x

x

− − − − =+

=

− − − − = +− + − + = +

− + = +− = −

=−−

=

29. 29. 29. 29. 29.

( ) ( )

54

1

32

2

2

3

1

410

5

3

20

4

1

3

4

2

2

3

1

4

30 5

3

20

4

4

6

2

3

30 5

1212

3 20 2 4 8 30 5

60 3 8 2 8 30 5

60 3 7 30

10 30

3

+ = −

− + −

⇒+

=−

− +

−

⇒+

=−

− +−

=

+ = − − + −+ = − − + −+ = − +

= −= −

x x x

x x x

x x x

mcm

x x x

x x x

x x

x

x

30. 30. 30. 30. 30. ( )

( ) ( ) ( )

5 2

12

4

9

22

363 20

8

12

20 3

1836

15 2 16 22 108 720 3 8 2 20 3

15 30 6 108 720 24 3 40 6

16 24 117 784

101 808

8

x xx

x xmcm

x x x x x

x x x x x

x x

x

x

++ −

−= − −

−−

−=

+ + − + = − − − − −+ − + = − − + − +

+ = −− = −

=

31. 31. 31. 31. 31.

( ) ( )

32

13

72

6

2

3

37

26

3 6 2 3 42 3

18 3 6 2 42 3

12 42 3

2 30

15

−

− −

= − −

⇒−

−−

= − =

− − − = −− − + = −

− = −==

x xx

x

x x xmcm

x x x

x x x

x x

x

x

32. 32. 32. 32. 32. ( )( )x x x xx

x

x xx x

x x

xmcm

x

x

x

+ − − − = −

− −

⇒ − − − = −−

⇒ − =− +

⇒ − =− +

=

− = − +− = −

=

3 35

4 53

3

4

95

4

4

5

12 3

441

4

16 60 15

2041

4

44 15

2020

205 44 15

220 44

5

2

2 2

33. 33. 33. 33. 33.

( ) ( )

2 23 1

8

2

3

2

6

1

4

216 3 1

8

2 4

18

1

472

144 9 13 1 4 2 4 18

144 117 9 8 16 18

27 9 8 2

19 7

7

19

x xx x

xx x x

mcm

x x x

x x x

x x

x

x

− −−

=

+

−

⇒ −− +

=+

− =

− + = + −− − = + −

− = −=

=

EJERCICIO 142

1. 1. 1. 1. 1. ( )( )

3

5

3

2 10 5 2 1

3 2 1 15 0

6 3 15 0

6 12

2

+−

= = −

− + =− + =

= −= −

xmcm x

x

x

x

x

2. 2. 2. 2. 2.

( ) ( )

2

4 1

3

4 116 1

2 4 1 3 4 1

8 2 12 3

4 5

5

4

2

x xmcm x

x x

x x

x

x

−=

+= −

+ = −+ = −

− = −

=

3. 3. 3. 3. 3. 5

11

11

5 1

4

22

x xmcm x

x

x

−=

−= −

= +=

4. 4. 4. 4. 4.

( )

3

1

1

10 1

3 1 1 0

3 3 1 0

3 4

4

3

22

x xmcm x

x

x

x

x

+−

−= = −

− − =− − =

=

=

5. 5. 5. 5. 5. ( )( )( )( ) ( )( )

5 8

3 4

5 2

3 43 4 3 4

3 4 5 8 5 2 3 4

15 4 32 15 26 8

26 4 8 32

22 40

40

2220

11

2 2

x

x

x

xmcm x x

x x x x

x x x x

x x

x

x

x

++

=+−

= + −

− + = + +

+ − = + +− + = +

− =

= −

= −

6. 6. 6. 6. 6.

( )

10 5 8

5 9 192 5 9 19

10 5 8 2 5 9 19

10 5 8 10 18 38

5 18 38 8

23 46

46

23

2

2

22

2 2

2 2

x x

x xmcm x x

x x x x

x x x x

x x

x

x

x

− ++ −

= = + −

− + = + −

− + = + −− − = − −

− = −

=−−

=

7. 7. 7. 7. 7. ( )( ) ( )

1

3 3

1

4 4

1

12 1212 1

4 1 3 1 1

4 4 3 3 1

7 0

6 0

0

2

x x xmcm x

x x x

x x x

x x

x

x

−+

+=

−= −

+ + − = ++ + − = +

− ===

8. 8. 8. 8. 8. ( )( ) ( ) ( )

x x x

xmcm x

x x x x x

x x x x x

x x

x

x

4

8

4 5

7

44 4 5

4 5 4 8 7 4 5

4 5 4 32 28 35

27 28 35

35

35

2

2

2 2

−−−

= = −

− − − = −

− − + = −= −

− = −=

9. 9. 9. 9. 9. ( )( )( ) ( ) ( )

2 9

10

2 3

2 1 510 2 1

2 9 2 1 10 2 3 2 2 1

4 20 9 20 30 4 2

21 2

21

2

10

2 2

12

x x

x

xmcm x

x x x x x

x x x x x

x

x

x

−+

−−

= = −

− − + − = −

− + + − = −− = −−−

=

=

10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( )( ) ( )( )

3 1

1

18 1

22 1

2 9 6 1 1 18 1

18 12 2 18 19 1

12 19 1 2

7 1

1

7

2

2

2 2

x

x

xmcm x

x x x x

x x x x

x x

x

x

−−

=−

= −

− + = − −

− + = − +− + = −

= −

= −

11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( )( )( ) ( )( )

2 7

5 2

2 1

5 40 5 2 5 4

2 7 5 4 2 1 5 2 0

10 27 28 10 2 0

28 26

13

14

2 2

x

x

x

xmcm x x

x x x x

x x x x

x

x

++

−−−

= = + −

+ − − − + =

+ − − + + ==

=

12. 12. 12. 12. 12. ( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )

5 2 7 3

7 5 11 0 7 5 1

5 2 7 3 7 5 1 0

35 6 35 7 0

8 6

3

4

2 2

x x

x xmcm x x

x x x x

x x x x

x

x

− +−

− = = −

− + − − =

+ − − + ==

=

13. 13. 13. 13. 13.

( ) ( )

3

4

2

3

8

7 127 12

3 3 2 4 8

3 9 2 8 8

3 2 9

9

22

x x x xmcm x x

x x

x x

x x

x

−=

−+

− += − +

− = − +− = − +

− ==

14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )

6 1

18

3 2

5 6

1 3

918 5 6

6 1 5 6 54 2 2 1 3 5 6

30 41 6 54 108 26 12 30

95 102 26 12

69 90

90

691

2 2

723

x x

x

xmcm x

x x x x x

x x x x x

x x

x

x

x

−−

+−

=+

= −

− − − + = + −

− + − − = − − +− − = − −

− =

= −

= −

15. 15. 15. 15. 15.

( ) ( )

5

1

3

1

6

10 1

5 1 3 1 6 0

5 5 3 3 6 0

8 4 0

8 4

1

2

22

+−

−−

−= = −

− − + − =− − − − =

− − =− =

= −

x x xmcm x

x x

x x

x

x

x

16. 16. 16. 16. 16.

( )( ) ( )( )

1 2

1 3

1 2

1 3

3 14

1 91 9

1 2 1 3 1 2 1 3 3 14

1 6 1 6 3 14

2 3 14

14

22

2 2

++

−−−

= −−

−= −

+ − − − + = − +

− − − − + = − +− = − +

=

x

x

x

x

x

xmcm x

x x x x x

x x x x x

x x

x

17. 17. 17. 17. 17.

( )( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

3 1

7 12

1

2 6

7

6 24

7 12 3 4

2 6 2 3

6 24 6 4 6 3 4

6 3 1 3 4 7 3

18 6 3 12 7 21

18 6 10 33

8 39

39

84

2

2

78

x

x x x x

x x x x

x x

x x mcm x x

x x x

x x x

x x

x

x

x

−+ +

=+

++

⇒ + + = + +

⇒ + = +

⇒ + = + = + +

− = + + +− = + + +− = +

=

=

=

18. 18. 18. 18. 18. ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

1

1

3

2 2

3

2 22 1 1

2 1 3 1 1 3 1

2 2 3 3 3 6 3

2 5 6 3

4 8

2

2

2

2

2 2

x x xmcm x x

x x x x

x x x x

x x

x

x

−−

−= −

+= − +

+ − − + = − −

+ − + = − + −+ = −

− = −=

19. 19. 19. 19. 19. ( )( )( ) ( ) ( )

5 13

15

4 5

5 15 315 3

5 13 3 3 4 5 5 3

5 2 39 12 15 5 15

14 54 15

54

2 2

x x

x

xmcm x

x x x x x

x x x x x

x x

x

+−

+−

= = −

+ − − + = −

− − − − = −− − = −

=

20. 20. 20. 20. 20. ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )

2 1

2 1

4

3 2

2

33 2 1 3 2

3 2 1 3 2 3 4 2 1 2 2 1 3 2

18 21 6 6 21 12 12 2 4

18 2 4

22 2

11

2 2 2

x

x

x

xmcm x x

x x x x x x

x x x x x x

x

x

x

−+

−−−

= = + −

− − − − + = + −

− + − + + = − −= − −= −

− =

21. 21. 21. 21. 21. ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )

4 3

2 5

3 8

3 71 2 5 3 7

4 3 3 7 3 8 2 5 2 5 3 7

12 19 21 6 40 6 29 35

20 19 29 35

9 16

16

91

2 2 2

79

x

x

x

xmcm x x

x x x x x x

x x x x x x

x x

x

x

x

+−

−+−

= = − −

+ − − + − = − −

− − − − + = − +− + = − +

=

=

=

22. 22. 22. 22. 22. ( )( ) ( )( ) ( )

10 7

15 3

3 8

12

5 4

20 412 5 1

4 10 7 3 8 5 1 3 5 4

40 28 15 43 8 15 12

40 28 43 20

3 48

16

2

2

2 2

x

x

x x

xmcm x

x x x x

x x x x

x x

x

x

−+

=+

−−+

= +

− = + + − −

− = + + − +− = +− =

= −

23. 23. 23. 23. 23. ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )

4 1

5

2

2 7

8 3

101 10 2 7

2 4 1 2 7 10 2 8 3 2 7 13 2 7

16 60 14 10 20 16 62 21 26 91

50 6 88 112

38 118

118

383

310

2 2

219

x x

x

xmcm x

x x x x x x

x x x x x x

x x

x

x

x

−+

−−

=−

− = −

− − + − = − − − −

− + + − = − + − +− − = − +

=

=

=

24. 24. 24. 24. 24.

( )( )( ) ( ) ( ) ( )

1

1

2

2

3

2 2

2

2 4

1

1

2

2

3

2 2

73

2 4

1

1

2

2

3

2 2

7

6 12

6 1 2

6 2 12 1 9 2 7 1

6 12 12 12 9 18 7 7

6 2 11

8 11

11

81

13

38

x x x x

x x x x

x x x x

mcm x x

x x x x

x x x x

x x

x

x

−−

−=

−−

−

−−

−=

−−

−

−−

−=

−−

−

= − −

− − − = − − −− − + = − − +

− = −− = −

=−−

=

25. 25. 25. 25. 25.

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

3

2

5 20

1

3 12

2

3

15 4 3

15 4 6 315 3

230 4

15 60 6 1815 45

230 120

2 9 78 15 45 2 30 120

18 156 15 45 60 240

18 156 45 285

63 441

7

12

x x x x

mcm x x

x xx

x

x xx

x

x x x

x x x

x x

x

x

+−

−=

−−

+

= − +

− − + =+

− −

− − − =+

− −

− = + − −− = + − +− = − +

==

26. 26. 26. 26. 26.

( )( )( ) ( ) ( ) ( )

1

6 2

4

5 5

10

12 4

3

10 10

20 1 3

10 1 16 3 50 1 6 3

10 10 48 16 50 50 18 6

6 38 44 32

50 70

7

512

5

−−

−=

−−

−

= − −

− − − = − − −− − + = − − +

− = − +=

=

=

x x x x

mcm x x

x x x x

x x x x

x x

x

x

x

27. 27. 27. 27. 27. ( )( ) ( )

2

3

6

9 1

2

3 13 9 1

2 9 1 18 6 3 1

18 2 18 18 6

2 18 6

8 18

4

9

2

22

2 2

2 2

−−

=−

= −

− − = +

− − = +− = +− =

− =

x

x xmcm x

x x x

x x x

x

x

x

28. 28. 28. 28. 28. ( )( ) ( ) ( )( )

5 27

5 3

16 5 3

5 27 5 3 5 3 6

5 27 5 3 5 27 18

5 3 18

13 3

3

13

2

2

3 2 3 2

x x

x xx mcm x x

x x x x x x x

x x x x x x

x x

x

x

−+

− = − = +

− − + = + −

− − − = − −− − = −

=

=

29. 29. 29. 29. 29.

( ) ( )

4 1

4 1

6

16 1

4 1

4 116 1

4 1 6 4 1

16 8 1 6 16 8 1

16 5 1

16 6

3

8

22

2 2

2 2

x

x x

x

xmcm x

x x

x x x x

x

x

x

+−

−−

=−+

= −

+ − = −

+ + − = − +− =

=

=

30. 30. 30. 30. 30. ( )

( )( ) ( ) ( )

31

12

1

4

5 1

3 4

3 4

3 1 4 2 1 5 1

3 15 12 2 4 2 5 5

11 14 5

6 14

7

3

2

2

2

2

2 2 2

13

x

x

x

x

x x

x x

mcm x x

x x x x x

x x x x x x

x x

x

x

x

−+

+

+−

=

−− −

= − −

− − + + = −

− + + + + = −− + = −

− = −

=−−

=

31. 31. 31. 31. 31.

( )( )( )( ) ( )

22

23

2

2 3

78

2 6

2 2 3

2 2 2 3 3 2 78

4 14 12 3 12 12 78

26 78

3

2

2

2 2

2 2 2

x

x

x

x

x

x x

mcm x x

x x x x

x x x x x

x

x

+−

−

−+

=

+− −

= − +

+ + − − = +

+ + − + − = +==

32. 32. 32. 32. 32.

( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( ) ( )

1

3 28

1

12 35

3

20

3 28 7 4

12 35 7 5

20 5 4

7 5 4

5 4 3 7

5 4 3 21

9 3 21

12 3

4

2 2 2

2

2

2

x x x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

mcm x x x

x x x

x x x

x

x

x

+ −−

+ +=

+ −

⇒ + − = + −

⇒ + + = + +

⇒ + − = + −

= + + −

+ − − = ++ − + = +

= +− =− =

33. 33. 33. 33. 33.

( )( )( )( )

( )( )( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

x

x x

x

x

x

x x

x x x x

x x x

x x x x

mcm x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x

x

x

−+ +

=−

−−

−− −

⇒ + + = + +

⇒ − = + −

⇒ − − = − +

= + − + = − +

− − = − + − − +

− + = − − − − +− + = − +

− = −

2

8 7

2 5

49

2

6 7

8 7 7 1

49 7 7

6 7 7 1

7 7 1 49 1

2 7 2 5 1 2 7

9 14 2 3 5 5 14

9 14 8 9

5

2 2 2

2

2

2

2

2 2 2

= 5

34. 34. 34. 34. 34.

( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )

4 5

15 7 2

2 3

12 7 10

2 5

20 29 50

15 7 2 3 2 5 1

12 7 10 4 5 3 2

20 29 5 4 5 5 1

3 2 5 1 4 5

4 5 4 5 2 3 5 1 2 5 3 2 0

16 25 10 13 3 6

2 2 2

2

2

2

2 2

x

x x

x

x x

x

x x

x x x x

x x x x

x x x x

mcm x x x

x x x x x x

x x x

++ −

−+

− −−

−− +

=

⇒ + − = + −

⇒ − − = − +

⇒ − + = − −

= + − −

+ − − + − − − + =

− − − + − x x

x

x

x

2 11 10 0

2 12 0

2 12

6

+ + =− − =

− == −

35. 35. 35. 35. 35. ( )

( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

7

2 1

3

4

2

1

3 1

2 9 4

2 1 4 1

7 4 1 3 2 1 1 2 2 1 4 3 1

7 35 28 6 9 3 4 18 8 3 6 3

26 25 12 5

14 20

10

71

2

2

2 2 2 2

37

x x x

x

x x

mcm x x x

x x x x x x x

x x x x x x x x

x x

x

x

x

+−

+=

+−

++ +

= + + +

+ + − + + = + + − +

+ + − − − = + + − − −+ = +

= −

= −

= −

36. 36. 36. 36. 36. ( )( )

( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

x

x

x

x

x

x x

mcm x x

x x x x x x

x x x x x x x x

x

x

x

+

−=

−+

++

− −

= − +

+ + = − − + + −

+ + + = − + − + − −= − −= −

− =

3

3

1

1

2 7 1

2 3

3 1

3 1 3 1 2 7 1 3

7 15 9 7 15 9 14 40 6

9 15 40

24 40

3

5

2

2 2

2

2 2

3 2 3 2 2

37. 37. 37. 37. 37. ( )

( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

x

x

x

x

x

xmcm x x

x x x x x x x

x x x x x x x x

x x

x

x

x

−+

−+−

= −+

+= + −

+ − − − + + = − + −

− − + − − − − =− − +− + = − +

− =

= −

= −

4

5

1

2

12 3

55 2

5 2 4 5 1 12 3 2

22 40 11 35 25 12 12 72

57 15 12 72

45 57

57

451

2

2

2

3 2 3 2 2

415

38. 38. 38. 38. 38. ( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

x

x

x

x

x

x

x

xmcm x x x x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x

x

−−

−−−

=++

−++

= − − + +

− + + − − − + = + − − − − − +

− − + + − + + − − = − − + + − + + − −+ =

3

4

2

3

2

1

3

24 3 1 2

3 1 2 4 4 1 2 4 3 9 4 1

3 7 15 18 3 8 12 16 3 12 20 48 3 13 27 36

3 2

2 2 2 2

4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2

− +==

7 12

10 10

1

x

x

x

39. 39. 39. 39. 39. ( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )

x

x

x

x

x

x

x

xmcm x x x x

x x x x x x x x x x x xx x x

x x x x x x x x x x x x x x x x

x

++

−+−

=−−

−+

= + − − +

+ − − + − − + + = − + − + − + − −

+ − − + − − − + + = − − + + − + + −− + =

6

2

1

3

5

1 42 3 1 4

6 3 1 4 1 2 4 5 2 3 4 2 3 1

6 13 66 72 6 7 6 8 2 25 26 120 2 5 6

60 80

2

4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2

20 120

80 40

1

2

x

x

x

+− =

= −EJERCICIO 143

1. 1. 1. 1. 1. ( )a x

xa

xa

xa

a

+ =

+ =

− + + = −

=−

1 1

11

1 11

1

1

2. 2. 2. 2. 2.

( )

ax bx

ax bx

x a b

xa b

− = −− = −

− =

=−

4 2

4 2

2

2

3. 3. 3. 3. 3.

( ) ( )( )

ax b a bx

ax bx a b

x a b a b a b

x a b

+ = −

+ = −

+ = + −= −

2 2

2 2

4. 4. 4. 4. 4. ( )

( )( ) ( )

3 2 9

6 3 9

3 9 6

3 3

3

2

2

2

2

a x ax a

a x ax a

x a a a

x a a

x a

− + = +

− + = +

− = + −

− = −= −

5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( ) ( )a x b x b a b a x

ax ba xb ax ab bx

xb bx ab ab

bx ab

xab

bx a

+ + − = −+ + − = −

+ = −=

=

=

2 2

4 2

2 4

3 3

3

3

6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( ) ( )x a x a a a x

x ax a x ax a a ax

ax ax a

ax a

xa

a

xa

− − + = −

− + − − − = −− + =

=

=

=

2 2

2 2 2 2 2

2

2

2

7

2 2 7

4 7

3

3

3

7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( )

( ) ( )( )

ax a a b x ab

ax a ab x ab

ax x a

x a a a

x a

− + = − − +

− − = − − −

+ = −

+ = + −= −

1

1

1

1 1 1

1

2

2

8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( ) ( )

( )

a a x b x b b x b

a a x b x b b x b

a x b x a b

a x b x a b

x a b a b

xa b

a b

2 2 2

3 2 2 3 2 3

2 2 3 3

2 2 3 3

2 2 3 3

3 3

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

− − − = −

− − + = −

− − = − −

+ = +

+ = +

=++

9. 9. 9. 9. 9.

( )( ) ( )( ) ( )

( )

x a x b x b x a b a a

x bx ax ab x ax bx ab ab b a

bx ax ab ab b a

x a b a b

x

+ − − + − = − +

− + − − + − + = − +− + + = − +

− = −=

2 2 3

2 2 2 3

2 3 2 3

3 2 3 2

1

2 2

10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( )

( )

x a a x a a

x a a ax x a a

a ax a

a a

ax

ax

2 2 2

2 2 2 2 2

2

1

2

2

1

21

2

+ = + − −

+ = + + − +

= +

−=

−=

11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( ) ( )

( ) ( )

m n x m n m mx a

mn mx mn m m x am

mx m x am m

xm m m a

xa

m

− − − = −

− − + = −− − = − −

− + = − +

=++

1

1 1

1

1

2

2

12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( )

( )( ) ( )

x a ax a x a

x a ax a x a

x a ax a x

x a ax x

a ax x

a x a

x

− + = − + − −− + = − − − +

− = − − ++ − = −

− = −

− = −=

2 2 3 2 5

2 2 3 3 2 10

2 5 3 8

4 8 2 3

4 2 2 4

4 2 2 2

2

13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( )

( ) ( )( )( )( )

( )

a x a bx b b a x

ax a bx b ab bx

ax bx b ab a

x a b b a b a

xa b b a

a b

x b a

x a b

− − = − −

− − = − −

− = − +

− = − −

= −− −

−

= − −= −

2 2

2 2

2

2 2

2 2

14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( )( )( )( )( ) ( )

ax bx x a b x b x a

x a b x ax bx a ab b x ax bx ab

x a b a ab b

x a b a b

x a b

+ = + − − − +

+ = + − + − + − − + +

+ = + +

+ = += +

2

2 2 2 2

2 2

2

2 2

2 2 2 2 2 4

2

15. 15. 15. 15. 15. ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x a b a a x x a b

ax bx a a x ax bx

ax x a a

x a a

xa

+ − − − = − − −

+ − − + = − − +

− = − +

− = −

=−

3 2 2 1

3 2 2 2

2 2 2 1

2 1 1

1

2

2

2

2

16. 16. 16. 16. 16. ( )( ) ( ) ( )m x m x x m m x m

m mx x x mx m mx m

mx m

xm

m

xm

+ + = − + −

+ + = − + + −= −

= −

= −

4 3 2 15

3 13 4 4 4 15

2 3

3

23

2

2

2 2 2 2 2

2

2

17. 17. 17. 17. 17. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )

( )

a a x a a b b x b b a a

a a x a a b b x b b a a

a x b x b a

x b a b a

x b a a b b a

x a b

xa b

2 2 2 2

3 2 3 2 3 2 3 2

2 2

2 2

1 1 1 0

0

0

0

1

1

− − + − − − − + + =

− − − − + − + + + =

− + − + =

− − − =

− + = −

+ =

=+

18. 18. 18. 18. 18. ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

ax b bx a a x x b a a b b

a x abx b abx bx a ax bx a x a b b

ax b b b

xb

a

− = − − − − + + −

− + = + − − − + + + −

− = −

=

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2

2 2

1 3 1 3

19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )

x b x a a b

x bx b x ax a a ab b

bx ax a ab

x b a a a b

x a a b

x a

x a

+ − − − + =

+ + − + − − − − =+ − − =

+ − + =

− + ===

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

0

2 2 2 0

2 2 2 2 0

2 2 0

2 0

2 2

20. 20. 20. 20. 20. ( ) ( )x m m x m x

x x m xm m m x xm xm m x

x xm x m

xm m

xm

mx m

+ − = − − +

+ + + − = − + − + ++ − =

=

=

=

3 3 3 3

3 2 2 3 3 3 2 2 3 3

3 2 3 3

2 3

3

2

12 2

3 3 12 3 3 2

2 6 2 12

6 12

12

62

EJERCICIO 144

1. 1. 1. 1. 1. mx m m

mcm mx

m x x

m x

mx

− = =

− =

=

=

1 2

2

3

3

2

2

2

2. 2. 2. 2. 2. a

x

b a

xmcm x

a bx a

bx a

xa

b

+ = =

+ ==

=

2

42

2 8

6

6

3. 3. 3. 3. 3.

( )

( )

x

a

x

a amcm a

ax x a

ax x a

x a a

xa

a

x

2

1 1

22

2 1

2 2

2 2

2

2

1

22−

−= =

− − =− + =

+ = +

=++

=

4. 4. 4. 4. 4.

( ) ( )

m

x

n

m

n

xmcm mx

m nx mn mx

m mn mx nx

m m n x m n

m x

+ = + =

+ = +− = −

− = −=

1

2

2

5. 5. 5. 5. 5.

( ) ( )

( )( ) ( )

a

a

a

xmcm ax

x a ax a a

ax x ax a a

ax x a a

x a a a

x a

−+ =

−

=

− + = −

− + = −

− = −

− = −=

1 1

2

3 2

2

2 1 2 3 2

2 2 6 4

3 2 2 3 2

3 2 2 3 2

2

2

6. 6. 6. 6. 6. ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

a x

a

b x

b

a b

abmcm ab

b a x a b x a b

ab bx ab ax a b

x a b a b

x

−−

−=

−

=

− − − = −

− − + = −

− = −=

2

2

2

2

2

7. 7. 7. 7. 7.

( ) ( )

( ) ( )

x a

a

a x

ab amcm a b

b x a a a x ab

bx ab a ax ab

bx ax ab a

x a b a a b

x a

−−

−= − =

− − − =−

− − + =−

+ = +

+ = +=

3 2 1

3 2

3 2

2 2

2

2

22

2

2

8. 8. 8. 8. 8.

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )

x m

m

x n

n

m n

mnmcm mn

n x m m x n m n mn

xn mn mx mn m mn n

x n m m n

x n m n m m n

x m n

x n m

+−

+=

+− =

+ − + = + −

+ − − = − +

− = −

− = − − −

= − −= −

2 2

2 2

2 2

2

2

2

2

9. 9. 9. 9. 9.

( ) ( )

( ) ( )

x b

a

x a

bmcm ab

b x b ab a x a

bx b ab ax a

bx ax a ab b

x a b a b

x a b

−= −

−=

− = − −

− = − +

+ = + +

+ = += +

2

2

2

2

2 2

2 2

2

10. 10. 10. 10. 10. ( )( ) ( )

( )

4

23

3

22 2

8 6 2 3 2

8 12 6 6 3

8 6 3

3 2

8

x

a bmcm a b

x a b a b

x a b a b

x a b

xa b

+− = − = +

− + = − +− − = − −

= +

=+

11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

2 3 2 6

44

2 3 4 2 2 6

2 11 12 12 10 2

4

4

2 2 2 2

2

a x

x a

x a

x amcm x a x a

a x a x x a x a

a ax x x ax a

ax a

x a

++

=−

+= + +

+ + = + −

+ + = + −

= −= −

12. 12. 12. 12. 12. ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )

( )

2

4

2

44 4

8 2 4

8 8 8 8 8 2 4

6 12 9

6 2 9

3

2 2

2 2

x c

x b

x c

x bmcm x b x b

x c x b x c x b

x xb xc bc x xb xc bc

xb xc bc

x b c bc

xbc

b c

−−

=+−

= − −

− − = + −

− − + = − + −− − = −

− + = −

=+

13. 13. 13. 13. 13.

( ) ( )

1 1 1

1 1

2

2

n

m

x mn xmcm xmn

xm m n x mn

xm x m n mn

x m mn m

x mn

− = − =

− = −− = −

− = −=

14. 14. 14. 14. 14. ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

x b x a

x a a b xmcm x a a b x

x b x a x a a b x

x ax bx ab bx x a ab

ax ab a

ax a b a

x b a

− +− − +

= = − − +

− + = − − +

+ − − = − + − += −

= −

= −

2 2

22 2

2 2 2 2

2 4 2 4 2 2 4

6 2

2 3

2 3

2 2 2

2

15. 15. 15. 15. 15. ( )( )

( ) ( )( )

x m

x n

n x

m xmcm m x x n

x m x n x n

x mx m x n

mx m n

xm n

m

+−

=++

= + −

+ = + −

+ + = −

= − −

= −+

2

2 2 2 2

2 2

2 2

2

2

2

16. 16. 16. 16. 16. ( )( )

( )( ) ( )( )

x x b x b

x bx bx b mcm x b

x x b x b x b x bx b

x x b b x x bx b x b

b x b x b

xb

2 3

32 3

2 3 3 2

2 5 3 2 5 2 3

3 2 3

3

5

2 2

2 2

3 2 2 3 2 3

2 2 3

2

+ ++

= − + = +

+ + = + − +

+ + = + − +

+ =

=

17. 17. 17. 17. 17.

( ) ( ) ( )

( )

3

4

1

3

5 13

12

3

4

1

3

5 13

12

3 3

4 3

5 13

1212

3 3 3 4 5 13

9 9 4 4 5 13

5 13 5 13

5 13

2

2

x

b

x

a

x

b

x

a

a b

a

ax bx

ab

ax bx

ab

a b

a

ax bx

ab

ax bx

ab

a b

amcm ab

ax bx ax bx b a b

ax bx ax bx ab b

ax bx ab b

x a b

+

= −

+

+

⇒+

=

−

+

+

⇒+

=−

++

=

+ = − + +

+ = − + ++ = +

+ = ( )b a b

x b

5 13+=

18. 18. 18. 18. 18. ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

x a x b

x a

ab b

x amcm x a

x a x a x b ab b

x ax a x bx b ab b

ax bx a ab

x a b a a b

xa

+=

−−

+−−

= −

+ − = − + −

+ − = − + + −

+ = +

+ = +

=

3 3

3 3

9 33 3

3 3 3 3

3 2 3 6 3 3 3

2 6 3

2 3 3

2

22

2 2

2 2 2 2 2

2

19. 19. 19. 19. 19. ( )( )( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

5

3

5

33 3

3 5 5 3

15 2 15 2

2 2

2

2

2 2 2 2

2 2

x a

x b

x b

x amcm x b x a

x a x a x b x b

x ax a x bx b

ax bx a b

x a b a b a b

xb a

++

=−−

= + −

− + = − +

− − = + −− − = −

− + = + −

=−

20. 20. 20. 20. 20. ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

x a

x a

x a

x a

a x ab

x amcm x a x a

x a x a a x ab

x ax a x ax a ax a b

ax ax a b

ax a b

xab

+−

−−+

=+

−= − +

+ − − = +

+ + − + − = += +

=

=

2

2

2 2 2

4 2

2

2

2 2

2 2

2 2 2 2 2

2

2

21. 21. 21. 21. 21.

( )( ) ( )

( )( )

2 3

42

11

1616

2 3 4 2 16 11

2 11 12 2 32 11

11 44 11

11 11 44

11 11 1 4

1 4

4 1

2 22 2

2 2

2 2 2 2

2

2

x a

x a

a

x amcm x a

x a x a x a a

x ax a x a a

ax a a

ax a a

ax a a

x a

x a

−+

− =−

= −

− − − − =

− + − + =

− + =− = −

− = −

= − −= −

22. 22. 22. 22. 22. ( )

( )

( )

1

2

2

1

21

2

2

2

2 2

2 2 2

2

x a

x

a ax

x a

amcm a x a

a x x a

a x x ax a

a a ax

a a

ax

ax

++

+=

+= +

+ = +

+ = + +

− =

−=

−=

23. 23. 23. 23. 23. ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

2 3 6 2

2 3 6 2

2 2 3 3 6 12

2 3 4 9

2 3 2 3 2 3

2 3

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

a x

b

b x

a

a b

abmcm ab

a a x b b x a b

a ax b bx a b

ax bx a b

x a b a b a b

x a b

+−

+=

−=

+ − + = −

+ − − = −

− = −

− = − += +

24. 24. 24. 24. 24. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

m n x m n m x nn

mn m n mcm n

nm n x n m n m x n mn m n

mn mnx m n mn mnx n x n mn m n

mnx n x mn m n n

nx n m n n mn m

x n m n m

x n m

− − − + = − − =

− − − + = − −

− − + − + = − +

− + = − + +

− = − +

− = −= −

2 2 2

3 2 2

2 2 2 2 3 2 2

2 2 2 3

2 2

2

12 3

2 3

2 3

2 4 4

2 4 4

2 2

2

EJERCICIO 145

1. 1. 1. 1. 1.

( )

x N buscado

xx

x

x x x

x x

x

x

x

→

− = −

− = −= −

− = −

=−−

=

º

3

82 11

8 3 8 2 11

5 16 88

11 88

88

11

8

2. 2. 2. 2. 2.

( )

x N buscado

xx

x

x x x

x x

x

x

x

→

+ = −

+ = −= −

− = −

=−−

=

º

5

63 14

6 5 6 3 14

11 18 84

7 84

84

7

12

3. 3. 3. 3. 3.

( )

x N que se resta

xx

x x

x x

x

x

→

− = +

− = +− = +− = −

=

º

22 116

5

5 22 55 6

110 5 55 6

11 55

5

4. 4. 4. 4. 4. x N que tienediferencia

x x mcm

x x

x

x

→

− = =

− ===

º

54

78

30 8

10 7 240

3 240

80

5. 5. 5. 5. 5. x N buscado

x x x mcm

x x x

x

x

→

− = − =

− = −− =−

=

º

1735

16

30

30 510 18 5

510 17

30

6. 6. 6. 6. 6. x N buscado

xx x x

xx

xmcm

x x x

x

x

→

+ − = −

⇒ + − = =

+ − ===

º

.

.

5

3

849 2

1

6

1

12

5

3

849

6120

24 45 5 880 20

49 5 880

120

7. 7. 7. 7. 7. x Edad de A

xEdad de B

xx x

mcm

x x x

x

x años Edad de A

años Edad de B

→

→

+ − =

=

+ − === →

⇒⋅

= = →

3

53

54 2

3

55

5 3 20 6

2 20

10

3 10

5

30

56

8. 8. 8. 8. 8. x Lo que tiene A

xLo que tiene B

xx

mcm

x x

x

x Tiene A

Tiene B

→

→

+ =

=

+ =− = −

= →

⇒⋅

= →

7

8

90 27

88

8 720 14

6 720

120

7 120

8105

$

$

9. 9. 9. 9. 9. x Long pieza

xx

mcm

x x

x

x m

→

− = =

− ===

.

35

40 5

5 3 200

2 200

100

10. 10. 10. 10. 10. x Lo que tenia

x x x mcm

x x x

x

x bs

→

− +

= =

− − ===

1

3

1

839 24

24 8 3 936

13 936

72 .

11. 11. 11. 11. 11. x N buscado

xx

mcm

x x

x

x

→

− = =

− ===

º

3 483

3

9 144

8 144

18

12. 12. 12. 12. 12. x N buscado

xx

mcm

x x

x

x

→

− = + =

− = +==

º

4 192

30 2

8 38 60

7 98

14

13. 13. 13. 13. 13. x N buscado

xx mcm

x x

x

x

→

− = − =

− = −− =−

=

º

802

10 2

160 2 20

3 180

60

14. 14. 14. 14. 14. x N buscado

x xmcm

x x

x

x

x

→

− = =

− ==

=

=

º

7

82

4

540

35 80 32

3 80

80

3

26 23

15. 15. 15. 15. 15. x Ancho del buque

x

x

x

x

Pies x

→

− =

=

=

=

=

800 7448

9

568

9504 8

504

863

EJERCICIO 146

1. 1. 1. 1. 1.

( )

( )

x N menor

x N mayor

xx

xx

x x

x x

x

x N menor

x

N mayor

→+ →

+= −

+= −

+ = −+ = −− = −

= →⇒ += + = →

º

º

º

º

1

4 1

54

4 4

54

4 4 5 4

4 4 5 20

24

24

1

24 1 25

4. 4. 4. 4. 4.

( ) ( )

( ) ( )

x N menor

x N mayor

x xx

mcm

x x x

x x x

x x

x

x N menor

x N mayor

→+ →

+ + − =+

=

+ + − = ++ + − = +

− = +== →

⇒ + = + = →

º

º

.

.

.

.

º

º

1

1

51

1

338

3 1

20660

132 1 20 5 280 99 1

132 132 20 5 280 99 99

152 99 5 148 99

53 5 247

99

1 99 1 100

7. 7. 7. 7. 7.

( )

x Gane ayer

x Gane hoy

x xx

x x

x x

x

x Gane ayer

x Gane hoy

→+ →

+ + − =

− =− =

== →

⇒ + = + = →

1

1 252

5

5 2 24 2

10 120 2

8 120

15

1 15 1 16

$

$

9. 9. 9. 9. 9.

( )

( )

x N menor

x N medio

x N mayor

x xx mcm

x x x

x x x

x x

x

x x N menor

x N medio

x N mayor

→+ →+ →

++

− = + =

+ + − = ++ + − = +

− = +== →

⇒ + = + = →⇒ + = + = →

º

º

º

º

º

º

1

2

3

5

5 2

631 1 30

18 25 2 930 30 30

18 25 50 930 30 30

43 30 880 30

13 910

70

1 70 1 71

2 70 2 72

8. 8. 8. 8. 8.

( ) ( )

x N menor

x N medio

x N mayor

x x xmcm

x x x

x x x

x

x N menor

x N medio

x N mayor

→+ →+ →

++

++

= =

+ + + + =+ + + + =

== →

⇒ + = + = →⇒ + = + = →

º

º

º

.

. .

. . .

. .

º

º

º

1

2

20

1

27

2

419 22 140

1 107 820 1 540 2 199 260

1 107 820 820 540 1 080 199 260

2 467 197 360

80

1 80 1 81

2 80 2 82

10. 10. 10. 10. 10.

( ) ( )( ) ( )

x N menor

x N medio

x N mayor

x xx mcm

x x x

x x x

x

x N menor

x N medio

x N mayor

→+ →+ →

+− − = + =

+ − − = ++ − − = +

== →

⇒ + = + = →⇒ + = + = →

º

º

º

º

º

º

1

2

3 1

7

3

101

1

112 770

330 1 231 770 70 2

330 330 231 770 70 140

29 580

20

1 20 1 21

2 20 2 22

2. 2. 2. 2. 2.

( )

( )

x N menor

x N mayor

x xmcm

x x

x x

x

x N menor

x

N mayor

→+ →

− =+

=

− = +− = +

== →

⇒ += + = →

º

º

º

º

1

7

817

3 1

540

35 680 24 1

35 680 24 24

11 704

64

1

64 1 65

3. 3. 3. 3. 3.

( )

( )

x N menor

x N mayor

xx x

mcm

x x x

x x x

x

x N menor

x

x N mayor

→+ →

− = −+

=

− = − +− = − −

== →

⇒ += + = →

º

º

.

.

.

º

º

1

813

4

2 1

520

20 1 620 15 8 1

20 1 620 15 8 8

13 1 612

124

1

124 1 125

5. 5. 5. 5. 5.

( ) ( )

2

2 2

2 2 2 324

4 8 4 4 324

8 320

40

2 2 40 80

2 2 80 2 82

2 2

2 2

x N menor

x N mayor

x x

x x x

x

x

x N menor

x N mayor

→+ →

+ − =

+ + − ===

⇒ = ⋅ = →⇒ + = + = →

º

º

º

º

6. 6. 6. 6. 6.

( )

x Tiene B

x Tiene A

xx

mcm

x x

x x

x Tiene B

x TieneA

→+ →

− =+

− =

− = + −− = −

= →⇒ + = + = ⇒

1

84 1

54 5

5 40 4 4 20

5 4 40 16

24

1 24 1 25

$

$

11. 11. 11. 11. 11.

( )

( ) ( )

x Edad B

x Edad A

x Edad C

x xx

x x

x x

x

x Edad B

x Edad A

x Edad C

→+ →− →

+ − − =+

− = +− = +

== →

⇒ + = + = →⇒ − = − = →

2

2

2 127 2

8

8 2 14 7 2

16 112 7 14

9 126

14

2 14 2 16

2 14 2 12

12. 12. 12. 12. 12.

( ) ( )

( ) ( )

x Edad B

x Edad A

x Edad C

x xx

mcm

x x x x

x x x x

x

x Edad B

x Edad A

x Edad C

→− →+ →

+ − =−

− =

+ + − = − −

+ + − = − −− = −

= →⇒ − = − = →⇒ + = + = →

1

1

117 1

54 5

5 2 1 5 17 1 20

5 10 5 5 17 17 20

7 42

6

1 6 1 5

1 6 1 7

2 2

2 2

2 2

EJERCICIO 147

1. 1. 1. 1. 1.

( )

x N mayor

x N menor

x

x

x x

x x

x

x N mayor

x N menor

→− →−−

=

− = −− = −

== →

⇒ − = − = →

º

º

º

º

59

5

592

5 2 59

5 118 2

3 123

41

59 59 41 18

2. 2. 2. 2. 2.

( )

x N mayor

x N menor

x

x

x x

x x

x

x N mayor

x N menor

→− →

−−

=

− = −− = −

== →

⇒ − = − = →

º

º

º

º

436

73

4362

73 2 436

73 872 2

3 945

315

436 436 315 121

5. 5. 5. 5. 5.

( )( )

x Parte mayor

x Parte menor

x

x

x x

x x

x

x Parte mayor

x

Parte menor

→− →−

−=

− = −− = −

== →

⇒ −= − = →

260

2 40

3 2602

2 40 6 260

2 40 1 560 6

8 1 600

200

260

260 200 60

.

.

6. 6. 6. 6. 6.

( ) ( )

x Parte de A

x Parte de B

x

x

x

x

x x

x x

x

x soles Parte de A

x

soles Parte de B

→− →

−

− =

−⋅

−=

− = −− = −

== →

⇒ −= − = →

196

38

16

1965

1

3 128

8

5

1961

5 3 128 8 196

15 640 1 568 8

23 2 208

96

196

196 96 100

.

.

3. 3. 3. 3. 3.

( )

x N mayor

x N menor

x

x

x x

x x

x

x N mayor

x N menor

→− →−−

=

− = −− = −

− = −= →

⇒ − = − = →

º

º

º

º

44

2

443

2 3 44

2 3 132

2 130

65

44 65 44 21

4. 4. 4. 4. 4.

( )

x N mayor

x N menor

x

x

x x

x x

x

x N mayor

x N menor

→− →−

−=

− = −− = −

− = −= →

⇒ − = − = →

º

º

º

º

56

8

563

8 3 56

8 3 168

2 160

80

56 80 56 24

EJERCICIO 148

1. 1. 1. 1. 1. x Ganó el día

xGanó el día

xGanó el día

xx x

mcm

x x x

x

x Ganó el día

xGanó el día

xGanó el día

er

er

er

er

→

→

→

+ + = =

+ + ==

= →

⇒ = = →

⇒ = = →

1

22

43

2 4175 4

4 2 700

7 700

100 1

2

100

250 2

4

100

425 3

º

$

$ º

$

2. 2. 2. 2. 2. x Perdió miercoles

x Perdió jueves

x Perdió viernes

x x x mcm

x x x

x

x Perdió miercoles

Perdió jueves

Perdió viernes

→

→

→

+ + = =

+ + ==

= →

⇒ ⋅ = →

⇒ ⋅ = →

3

51

23

5

1

2252 10

10 6 5 2 520

21 2 520

120

3

5120 72

1

2120 60

.

.

$

$

$

3. 3. 3. 3. 3. x Tiene A

x Tiene B

x Tiene C

xx x

mcm

x x x

x

x suc Tiene A

sucres Tiene B

sucres Tiene C

→

→

→

+ + = =

+ + === →

⇒ ⋅ = →

⇒ ⋅ = →

2

32

52

3

2

5248 15

15 10 6 3 720

31 3 720

120

2

3120 80

2

5120 48

.

.

.

4. 4. 4. 4. 4. x Edad A

x Edad B

x Edad C

xx x

mcm

x x x

x

x

años edadde A

años edaddeB

años edaddeC

→

→

→

+ + = =

+ + ===

→

⇒ ⋅ = →

⇒ ⋅ = →

35

940

35

940

73 40

40 24 9 2 920

73 2 920

40

40

35

40 24

940

40 9

.

.

5. 5. 5. 5. 5. x día

x día

x día

x día

x x x x mcm

x x x x

x

x Km

Km día

Km día

Km día

Km día

er

er

→

→

→

→

+ + + = =

+ + + ===

→

⇒ ⋅ = →

⇒ ⋅ = →

⇒ ⋅ = →

1

13

2

19

3

127

4º

13

19

127

120 27

27 9 3 3 240

40 3 240

81

81 1

13

81 27 2

1

981 9 3

127

81 3 4º

º

º

.

.

.

.

. º

. º

.

6. 6. 6. 6. 6. x semana

x semana

x semana

semana

x x x x mcm

x x x x

x

x Km

→

→

→

→

+ + + = =

+ + + ===

1

1110

2

121100

3

1 3311000

4

1110

121100

1 3311 000

4 641 1 000

1 000 1 100 1 210 1 331 4 641 000

4 641 4 641 000

1 000

ª

ª

ª

..

ª

..

. .

. . . . ' .

. ' .

. .

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

Cont inuac iónCont inuac iónCont inuac iónCont inuac iónCont inuac ión

6. 6. 6. 6. 6. 1 000 1

1110

1 000 1 100 2

121

1001 000 1 210 3

1 3311 000

1 000 1 331 4

. . ª

. . . ª

. . . ª

..

. . . ª

Km semana

Km semana

Km semana

Km semana

→

⇒ ⋅ = →

⇒ ⋅ = →

⇒ ⋅ = →

7. 7. 7. 7. 7. x Personax

Persona

xPersona

xPersona

xPersona

xx x x x

mcm

x x x x x

x

x colones

colones Persona

xcolones Persona

xcolones Persona

xcolones

→ →

→ →

→

+ + + + = =

+ + + + ===

→

⇒ = = →

⇒ = = →

⇒ = = →

12

2

83

404

4005

2 8 40 400330 500 400

400 200 50 10 132 200 000

661 132 200 000

200 000

200 000 1

2

200 000

2100 000 2

8

200 000

825 000 3

40

200 000

405 000 4

ª ; ª

ª ; ª

ª

.

' .

' .

.

. ª

.. ª

.. ª

.. ª Persona

xcolones Persona⇒ = = →

400

200 000

400500 5

.ª

8. 8. 8. 8. 8. x c en barco

x c en tren

x c en avión

xx x

mcm

x x x

x

x Km

Km c en barco

x Km c en tren

x Km c en avión

→

→

→

+ + = =

+ + ===

→

⇒ = ⋅ = →

⇒ = ⋅ = →

Re .

Re .

Re .

.

.

.

. .

. . Re .

. . . Re .

. . . Re .

49

518

49

518

9 362 18

18 8 5 168 516

31 168 516

5 436

5 436

49

49

5 436 2 416

518

518

5 436 1 510

EJERCICIO 149

1. 1. 1. 1. 1. ( )

( )

x Tenía al principio

xx

mcm

x x

x x

x

x

Tenía al principio

→

− −−

= =

− − − =− − + =

− ==

→

202 20

310 3

3 60 2 20 30

3 60 2 40 30

20 30

50

50$

2. 2. 2. 2. 2. x Tenía al principio

x xmcm

x x

x

Q Tenía al principio

→

− = =

− ==→

2 421 4

2 84

84

84 .

3. 3. 3. 3. 3.

( )

( )

x Tengo ahora

xx

mcm

x x

x x

x

x

Tengo ahora

→

+ −+

= =

+ − + =+ − − =

+ ==

→

74 7

520 5

5 35 4 7 100

5 35 4 28 100

7 100

93

93$

4. 4. 4. 4. 4. x Tenía al principio

xx

x quedó

x x prestó

Luego

x x x mcm

x x x

x

bs Tenía al principio

→

− = →

⋅ = →

− − = =

− − ==

→

25

35

56

35

12

25

12

500 10

10 4 5 5 000

5 000

5 000

.

.

. .

5. 5. 5. 5. 5. x Aves en la granja

x Palomas

x xx

sto

xx Gallinas

xx x

mcm

x x x

x

Aves en la granja

x Palomas

x Gallinas

Gallos

→

→

− =

⋅ = →

− − = =

− − ==

→

⇒ = ⋅ = →

⇒ = ⋅ = →

→

45

45 5

5

3

4

3

2045

320

4 20

20 16 3 80

80

80

45

45

80 64

320

320

80 12

4

Re

6. 6. 6. 6. 6. x Tenía al principio

x xx

quedó

xx Perdí

x x x mcm

x x x

x

soles Tenía al principio

→

− = →

⋅ = →

− − − = =

− − − ==

→

45 5

23 5

21545

215

8 0 15

15 12 2 120 0

120

120

7. 7. 7. 7. 7. x Tenía al principio

x x x mcm

x x x

x

x

Tenía al principio

→

− + = + =

− + = +− =−

=→

512

42 2 12

12 5 504 12 24

5 480

96

96$

8. 8. 8. 8. 8. x Tenía al principio

xx

mcm

x x

x

Tenía al principio

→

− − = =

− − ==

→

215 30 2

2 30 60

90

90$

9. 9. 9. 9. 9. x Tenía al principio

x x x

mcm

x x x

x

x

suc Tenía al principio

→

− + = +

=− + = +

− =−=

→

3

41 300 100

4

4 3 5 200 4 400

3 4 800

1 600

1 600

.

.

.

.

. .

10. 10. 10. 10. 10. x Tenía al principio

x xx

quedó

x xLibros

x xx

x

mcm

x x x x

x

x

Tenía al principio

→

− = →

⋅ = →

− − = −

=− − = −

− =−=

→

34 4

23 4 6

34 6

25

38

60

60 45 10 24 2 280

19 2 280

120

120

.

.

$

EJERCICIO 150

1. 1. 1. 1. 1.

( )

x Edad actual A

x Edad actual B

x x mcm

x x

x

x años Edad actual A

x años Edad actual B

→→

− = − =

− = −== →

⇒ = ⋅ = →

3

151

63 15 6

6 90 3 15

3 75

25

3 25 3 75

2. 2. 2. 2. 2.

( )

x Edad actual B

x Edad actual A

x x

x x

x años Edad actual B

x años Edad actual A

→→

+ = ++ = +

= →⇒ = ⋅ = →

3

3 20 2 20

3 20 2 40

20

3 3 20 60

3. 3. 3. 3. 3.

( )x Edad actual A

x x mcm

x x

x

x

años Edad actual A

→

− = + =

− = +==→

59

115 11

11 55 9 45

2 100

50

50

4. 4. 4. 4. 4.

( )x Edad actual A

x x

x x

x

años Edad actual A

→

− = +− = +

=→

2 6 24

2 12 24

36

36

5. 5. 5. 5. 5.

( )

x Edad hijo

x Edad padre

x x

x x

x

años Edad hijo

x años Edad padre

→→

+ = ++ = +

=→

⇒ = ⋅ = →

3

2 16 3 16

2 32 3 16

16

16

3 3 16 48

6. 6. 6. 6. 6.

( )

x Edad padre

x Edad hijo

x xmcm

x x

x

x

años Edad padre

x años Edad hijo

→

→

−= − =

− = −==

→

⇒ = ⋅ = →

2

5

2 8

7

2

58 35

10 80 14 280

200 4

50

50

2

5

2

550 20

7. 7. 7. 7. 7.

( )

x Edad actual de A

x Edad actual de B

xx

mcm

x x

x

x

años Edad actual de A

x años Edad actual de B

→− →

− + =+

=

− = +==

→⇒ − = − = →

65

65 105 10

1212

900 12 5 50

850 17

50

50

65 65 50 15

8. 8. 8. 8. 8.

( )

x Edad padre

x Edad hijo

xx

mcm

x x

x

x

años Edad padre

x años Edad hijo

→− →

− − =−

=

− = −==

→⇒ − = − = →

25

25 153 15

88

8 320 3 45

5 275

55

55

25 55 25 30

9. 9. 9. 9. 9.

( )

2 10

10

2 10

10

2 10 103 10 10

22

4 40 3 60

20

2 10 2 20 10 50

10 20 10 30

x Edad padre hace años

x Edad hijo hace años

x Edad actual padre

x Edad actual hijo

xx

mcm

x x

x

x años Ed act padre

x años Ed act hijo

→→

+ →+ →

+ + =+ +

=

+ = +=

⇒ + = ⋅ + = →⇒ + = + = →

. .

. .

10. 10. 10. 10. 10.

( )

x Edad de A

x Edad de B

xx

mcm

x x

x

x

años Edad de B

x años Edad A

+ →→

+ − =−

=

= −==

→⇒ + = + = →

18

18 185 18

22

2 5 90

90 3

30

30

18 30 18 48

11. 11. 11. 11. 11. 3

3 4 4 16

4 8 16

3 24

8

8

3 3 8 24

x Edad A

x Edad B

x x x

x x

x

x

años Edad B

x años Edad A

→→

− + − = +− = +

==

→⇒ = ⋅ = →

EJERCICIO 151

1. 1. 1. 1. 1.

( )

x Tiene B

x Tiene A

xx

mcm

x x

x

x

soles Tiene B

x soles Tiene A

→→

− =+

=

− = +==

→⇒ = ⋅ = →

2

2 204 20

55

10 100 4 80

6 180

30

30

2 2 30 60

2. 2. 2. 2. 2. x Tiene B

xTiene A

xx

mcm

x x

x

colones Tiene B

xcolones Tiene A

→

→

− = + =

− = +=

→

⇒ = = →

2

242

24 2

2 48 48

96

96

2

96

248

3. 3. 3. 3. 3.

( )

x Tiene A

x Tiene B

x x mcm

x x

x

Tiene A

x Tiene B

→→

− = + =

− = +=

→⇒ = ⋅ = →

2

3

52 6 6 5

6 18 5 30

48

48

2 2 48 96

$

$

4. 4. 4. 4. 4.

( )

x Tiene A

x Tiene B

x x mcm

x x

x

x

Tiene A

x Tiene B

→

→

+ = − =

+ = −==

→

⇒ = ⋅ = →

3

53

530

9

530 5

3 150 9 270

420 6

70

70

3

5

3

570 42

$

$

5. 5. 5. 5. 5. x Tiene A yB

xx

mcm

x x

x

suc Tiene A yB

→

− = + =

− = +=→

3030

22

2 60 30

90

90 .

6. 6. 6. 6. 6.

( )

x Tiene A

x Tiene B

x x mcm

x x

x

x Tiene A

x Tiene B

→

→

+ = − =

+ = −== →

⇒ = ⋅ = →

2

32

322

7

522 15

10 330 21 462

792 11

72 72

2

3

2

372 48

$

$

7. 7. 7. 7. 7. x Tiene B

x Tiene A

x x mcm

x x

x Tiene B

x Tiene A

→

→

+ = − =

+ = −= →

⇒ = ⋅ = →

4545

13 5 5

4 65 5 25

90 90

4

5

4

590 72

$

$

8. 8. 8. 8. 8. x Tiene A

xTiene B

xx x mcm

x x x

x x

x Tiene A

xTiene B

→

→

+ = + =

+ = += += →

⇒ = = →

2

213

5 6

3 2 6 30

5 6 30

30 30

2302

15

$

$

9. 9. 9. 9. 9. x Empezaron A y B

x x x mcm

x x x

x

x

balboas Empezaron A y B

→

− = − =

− = −− =−

=→

35

24 5

5 3 5 120

3 120

40

40

10. 10. 10. 10. 10. x Empezaron A y B

x xx

Le queda B

xpartede loqueda B

x xha ganado A

xx

xmcm

x x x

x x

x

x

soles Empezaron A y B

→

− = →

→

+ =+

→

= −+

=

= − −= −

− = −=

→

3

4 4

123

1224

288

12

4

288

1212

3 12 288

3 11 288

8 288

36

36

ª

EJERCICIO 152

1. 1. 1. 1. 1.

( )x N años que pasan

x x mcm

x x

x

años pasan

→

+ = + =

+ = +=

→

º

283

438 4

112 4 3 114

2

2

2. 2. 2. 2. 2.

( )x N años que pasan

x x mcm

x x

x

años pasan

→

+ = + =

+ = +=

→

º

307

625 6

180 6 7 175

5

5

3. 3. 3. 3. 3.

( )x N años hace

x x

mcm

x x

x

años hace

→

− = −

=− = −

=→

º

489

1052

10

480 10 468 9

12

12

4. 4. 4. 4. 4.

( )x N años hace

x x

mcm

x x

x

x

años hace

→

− = −

=− = −

==

→

º

181

427

4

72 4 27

45 3

15

15

5. 5. 5. 5. 5.

( )x La suma de dinero

x x mcm

x x

x

x

La suma de dinero

→

+ = + =

+ = +==

→

3

550 22 5

150 3 5 110

40 2

20

20$

6. 6. 6. 6. 6.

( )x Gastó cada uno

x x mcm

x x

x

x

Q Gastó cada uno

→

− = − =

− = −==

→

3

1190 50 11

270 3 550 11

8 280

35

35 .

7. 7. 7. 7. 7.

( )

x Edad actual hermano

x Edad actual persona

x x x x

x x mcm

x x

x

años Edad actual hermano

x años Edad actual persona

→

→

+ + + =

+ = =

+ ==

→

⇒ = ⋅ = →

3

43

475

33

475 4

12 3 300

20

20

3

4

3

420 15

8. 8. 8. 8. 8. x ganó cada uno

x x x

x x

x

x

ganó cada uno

→+ + + = +

+ = +==

→

54 32 4 66

2 86 4 66

20 2

10

10$

9. 9. 9. 9. 9.

( )x Le dió A a B

x x mcm

x x

x

x

bs Le dió A a B

→

− = + =

− = +==

→

1531

412 4

612 4 12

600 5

120

120 .

EJERCICIO 153

1. 1. 1. 1. 1.

( )( ) ( )

x Long rect

x Ancho rect

x x x x

x x x x

x

x

m Ancho rect

x m Long rect

+ →→

+ + − = +

+ + − = +==

→⇒ + = + = →

3

4 1 22 3

5 4 22 3

2 18

9

9

3 9 3 12

2 2

. .

.

.

. .

2. 2. 2. 2. 2.

( )( )

x Una de las ensiones

x La otra ensión

x x x

x x x

x

x

m m Dimensiones

→→

+ + − =

+ + − ===

⋅ →

dim

dim2

5 2 5 160 2

2 15 25 160 2

15 135

9

9 18

2

2 2

3. 3. 3. 3. 3.

( )( ) ( )

x Una ensión

x Otra ensión

x x x x

x x x x

x

x

m m Dimensiones

+ →→

− − + = +

− + + = +− = −

=⋅ →

2

5 3 115 2

8 15 115 2

10 130

13

15 13

2 2

dim

dim

4. 4. 4. 4. 4. x

Long del rect

xAncho del rect

x xx

x

224

212

224

212

212

+ →

− →

+

−

= −

. .

.

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

ContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuación

4. 4. 4. 4. 4. x

x mcm

x x

x

m m Dimensiones

224 2

48 2

48

48 12

+ = =

+ ==

⋅ →

5. 5. 5. 5. 5.

( )( )

x Long del cuadrado

Equiv al rect

x Long del rect

x Ancho del rect

x x x

x x x

x

x Long del rect

x Ancho del rect

m m Dimensiones

→

+ →− →

+ − =

+ − ==

⇒ + = + = →⇒ − = − = →

⋅ →

.

. .

. .

.

. .

.

7

6

7 6

42

42

7 42 7 49

6 42 6 36

49 36

2

2 2

6. 6. 6. 6. 6.

( )( ) ( )( )( )

x Ancho

x Longitud

x x x x

x x x x

x x x x

x

x

m Ancho

x m Long

m m Dimensiones

→+ →

+ − + + = +

+ + + = +

+ + + = +==

→⇒ + = + = →

⋅ →

30

30 20 15 150 30

10 15 150 30

25 150 150 30

300 5

60

60

30 60 30 90

90 60

2

2 2

.

7. 7. 7. 7. 7.

( )( ) ( )

x Ancho

x Longitud

x x x x

x x x x

x Ancho

x Long

m m Dimensiones

→+ →

+ + = +

+ + = += →

⇒ + = + = →⋅ →

10

8 1 10

9 8 10

8

10 8 10 18

18 8

2 2

.

EJERCICIO 154

1. 1. 1. 1. 1. x Numerador

x Deno ador

x

x

x

x

x x

x

Numerador

Deno ador

fracción

→− →

− +=

+=

= +=

→− = →

→

2

2 7

1

2

5

1

2

2 5

5

5

5 2 3

5

3

min

min

2. 2. 2. 2. 2. x Numerador

x Deno ador

x

x

x

x

x x

x

x

Numerador

Deno ador

Fracción

→+ →

+ +=

+=

= +==

→+ = →

→

1

1 15

1

3

16

1

3

3 16

2 16

8

8

8 1 9

8

9

min

min

3. 3. 3. 3. 3.

( ) ( )

x Numerador

x Deno ador

x

x

x

x

x x

x x

x

Numerador

Deno ador

Fracción

− →→

− ++

=

−+

=

− = +− = +

=− = →→

→

8

8 1

1

3

4

7

1

3

4

4 7 3 1

4 28 3 3

31

31 8 23

31

23

31

min

min

4. 4. 4. 4. 4.

( )

x Numerador

x Deno ador

x

x

x x

x x

x

Numerador

Deno ador

Fracción

→+ →

−+

=

− = +− = +

=→

⋅ + = →

→

2 1

4

2 1

1

3

3 4 2 1

3 12 2 1

13

13

2 13 1 27

13

27

min

min

7. 7. 7. 7. 7.

( ) ( )

x Numerador

x Deno ador

x

x

x

x

x x

x x

x

x

Numerador

Deno ador

Fracción

→− →+

− +=

++

=

+ = ++ = +

==

→⋅ − = →

→

3 1

8

3 1 4

11

12

8

3 3

11

12

12 8 33 1

12 96 33 33

63 21

3

3

3 3 1 8

3

8

min

min

6. 6. 6. 6. 6.

( )( )( ) ( ) ( )( )

x Numerador

x Deno ador

x

x

x

x

x

x

x

xmcm x x

x x x x x x

x x x x x x

x x

x

x

Numerador

Deno ador

Fracción

→+ →

+ +=

+

−

+=

+− = + +

+ = + − + +

+ = + − − −= −==

→+ = →

→

1

1 43

12

5

3

12 5 1

1 3 5 2 5 1

3 15 2 12 10

3 10

10 2

5

5

5 1 6

5

6

2 2 2

min

min

5. 5. 5. 5. 5.

( ) ( )

x Numerador

x Deno ador

x

x

x

x

x x

x x

x

x

Numerador

Deno ador

Fracción

→+ →++ −

=

++

=

+ = ++ = +

==

→⋅ + = →

→

2 6

15

2 6 1

4

3

15

2 5

4

3

3 15 4 2 5

3 45 8 20

25 5

5

5

2 5 6 16

5

16

min

min

8. 8. 8. 8. 8.

( ) ( )

x Numerador

x Deno ador

x

x

x

xmcm x

x x x

x

x

x

Numerador

Deno ador

Fracción

→− →

−−

−−

= = −

− − = −= −==

→− = →

→

22

22

15

223 22

15 3 22

15 3 66

81 3

27

27

27 22 5

27

5

min

min

EJERCICIO 155

1. 1. 1. 1. 1.

( )

( )( )

x cifra deunidades

x cifra de decenas

x x

x x

x El Número

x

x

x x

x x

x

x

cifra deunidades

cifra de decenas

N buscado

→+ →

+ ++ ++ →++

=

+ = ++ = +

==

→+ = →

→

2

10 2

10 20

11 20

11 20

2 17

11 20 14 1

11 20 14 14

6 3

2

2

2 2 4

42 º

2. 2. 2. 2. 2.

( )

( )

x cifra deunidades

x cifra de decenas

x x

x x

x El Número

x

x

x x

x

x

cifra deunidades

cifra de decenas

N buscado

→− →

− +− +− →−−

=

− = −==

→− = →

→

4

10 4

10 40

11 40

11 40

2 24

11 40 8 16

3 24

8

8

8 4 4

48 º

3. 3. 3. 3. 3.

( )

x cifra deunidades

x cifra de decenas

x x

x N dis uido en

x

xx x

x

x

N buscado

→→

+ −− →−

=

− ===

→

2

10 2 9

21 9 9

21 9

36

21 9 18

3 9

3

63

º min

º

4. 4. 4. 4. 4.

( )( )

( )

x cifra deunidades

x cifra de decenas

x x

x

x N multip

x x

x x

x

x

Cifra de unidades

Cifra de decenas

N buscado

→+ →

+ +

++ →

+ = ++ = +

==

→+ = →

→

1

10 1

3 11 10

33 30 3

33 30 21 2 1

33 30 42 21

9 9

1

1

1 1 2

21

º .*

º

5. 5. 5. 5. 5.

( )

( )( )

x cifra deunidades

x cifra de decenas

x x

x N aumentado en

x

x

x x

x x

x

x

N buscado

→− →

− + +− →−−

=

− = −− = −

==

→

7

10 7 8

78 9 8

78 9

2 76

78 9 12 7

78 9 84 12

3 6

2

52

º

º

6. 6. 6. 6. 6.

( )

x cifra deunidades

x cifra de decenas

x x

x El Número

x x

x x

x

cifra deunidades

cifra de decenas

N buscado

→+ →

+ ++ →+ − =

− ==

→+ = →

→

2

10 2

11 20

11 20 27 10

11 7 10

7

7

7 2 9

97 º

7. 7. 7. 7. 7.

( )

x cifra deunidades

x cifra de decenas

x x

x N dis en

x

x x

x x

x

N buscado

→→

+ −− →−−

=

− ==

→

2

10 2 4

21 4 4

21 4

220

21 4 20

4

84

º min

º

EJERCICIO 1561. 1. 1. 1. 1. x Días trabaj juntos

xmcm x

x x

x

x

días Hacen la obra

→

+1

= =

+ ===→

.

13 6

16

2 6

3 6

2

2

2. 2. 2. 2. 2. x Tiempo en llenar depósito

xmcm x

x x

x

x

x

En llenar depósito

→

+ = =

+ ==

=

=

→

110

120

120

2 20

3 20

20

36

6

23

23 min.

3. 3. 3. 3. 3. x Hacen obra juntos

xmcm x

x x x

x

x

días Hacen obra juntos

→

+ + = =

+ + ===

→

1

4

1

6

1

12

112

3 2 12

6 12

2

2

4. 4. 4. 4. 4. x Hacen obra juntos

x

xmcm x

→

+ + =

+ + = =

1

1

1

6

1

2

1

2

3

1

6

5

12

112

12

25

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

ContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuación4. 4. 4. 4. 4. 8 2 5 12

15 12

121545

45

x x x

x

x

x

de día hacen la obra

+ + ==

=

=

5. 5. 5. 5. 5. x Tiempo en llenar depósito

xmcm x

x x x

x

x

x

Llenar el depósito

→

+ + = =

+ + ==

=

=

→

15

16

112

160

12 10 5 60

27 60

60

272

2

29

29 min

6. 6. 6. 6. 6. x Tiempo en llenar depósito

xmcm x

x x x

x

x

x

Llenarel depósito

→

+ − = =

+ − ==

=

=

→

14

18

120

140

10 5 2 40

13 40

40

133

3

113

113 min.

EJERCICIO 157

ABCD x

AB

BCX

CD

xx

xx

x x

x

x

==

=

=

= + +

= +

= +=

= =

5

1230

5 3012

3512

12 420

11 420

42011

38 211

1.1.1.1.1.

AB x

BD

AC

CDX

AB BD AC CD

xx

mcm

x x

x

x

x

===

=

+ = +

+ = + =

+ = +=

=

=

15

50

12

15 5012

12

12 180 600

11 420

420

1138 2

11

AB x

BD

AC

CDx

AC CD AB BD

xx mcm

x x

x

x

x

===

=

+ = +

+ = + =

+ = +=

=

=

45

50

12

5012

45 12

600 12 540

60 11

6011

5 511

2.2.2.2.2.

AB x

BD

AC

CDx

===

=

30

40

12

AB BD AC CD

xx

mcm

x x

x

x

x

+ = +

+ = + =

+ = +=

=

=

30 4012

12

12 360 480

11 120

12011

10 1011

3.3.3.3.3.

4.4.4.4.4.

5.5.5.5.5.

6.6.6.6.6.

ABC x

AB

BCx

ABC AB BC

xx

mcm

x x

x

x

x

==

=

= +

= + =

= +=

=

=

20

12

2012

12

12 240

11 240

24011

21 911

ABx

BC

ABC x

ABC AB BC

xx

mcm

x x

x

x

x

=

=== +

= + =

= +=

=

=

1230

1230 12

12 360

11 360

36011

32 811

ABCD x

AB

BCx

CD

ABCD AB BC CD

xx

xx

mcm

x x

x

x

x

==

=

== + +

= + +

= +

== +=

=

=

10

1215

1012

15

2512

12

12 300

11 300

300

11

27 311

7.7.7.7.7.

ABCD x

AB

BCx

CD

ABCD AB BC CD

xx

mcm

x x

x

x

x

==

=

== + +

= + + =

= + +=

=

=

30

1215

3012

15 12

12 360 180

11 540

54011

49 111

AB x

BD

AC

CDx

AB BD AC CD

xx

xx

mcm

x x

x

x

x

===

=

+ = +

+ = +

− = =

− ==

=

=

15

30

12

15 3012

1215 12

12 180

11 180

18011

16 411

8.8.8.8.8.

ABC x

AB

BCx

ABC AB BC

xx

mcm

x x

x

x

x

==

=

= +

= + =

= +=

=

=

50

12

5012

12

12 600

11 600

60011

54 611

9.9.9.9.9.

AB x

BD

AC

CDx

AB BD AC CD

xx

x x

x

x

x

===

=

+ = +

+ = +

+ = +=

=

=

15

35

12

15 3512

12 180 420

11 240

24011

21 911

10.10.10.10.10.

ABCD x

AB

BCx

CD

ABCD AB BC CD

xx

xx

mcm

x x

x

x

x

==

=

== + +

= + +

= + =

= +=

=

=

15

125

1512

5

2012

12

12 240

11 240

240

11

21 911

11.11.11.11.11.

ABCD x

AB

BCx

CD

ABCD AB BC CD

xx

xx

mcm

x x

x

x

x

==

=

== + +

= + +

= + =

= +=

=

=

40

1210

4012

10

5012

12

12 600

11 600

60011

54 611

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

11. Continuación11. Continuación11. Continuación11. Continuación11. ContinuaciónEJERCICIO 158

1. 1. 1. 1. 1.

( )

x N mayor

x N menor

xx mcm

x x

x N mayor

N menor

→− →

− = − =

− = −= →

− = →

º

º

º

º

6

210

3

86 8

4 80 3 18

62

62 6 56

2. 2. 2. 2. 2.

( )x Ledió A a B

x x mcm

x x

x

x

Ledió A a B

→

− = + =

− = +==

→

11

10120 90 10

1 320 11 900 10

420 21

20

20

.

$

4. 4. 4. 4. 4. x Persona favorecida

x Persona que recibió menos

x x mcm

x x

x

x

soles Pers favorecida

soles Pers que rec men

→

→

+ = =

+ ===

→

⋅ =

→

5

757

48 000 7

7 5 336 000

12 336 000

28 000

28 000

57

28 000 20 000

20 000

.

.

.

.

. .

. .

. . . .

3. 3. 3. 3. 3. x N buscado

x

xCociente sumado

xx

Nueva sum en

x

x

x N buscado

→+

+

+→

+

= + → ÷

+ =

+ == →

º

º

68

5

468

5

4682

4616

2

4616

4

46 64

18

AB x

BD

AC

CDx

AB BD AC CD

xx

xx

mcm

x x

x

x

x

===

=

+ = +

+ = +

− =

=− =

=

=

=

10

40

12

10 4012

1230

12

12 360

11 360

36011

32 811

5. 5. 5. 5. 5.

( )( )

x Parte mayor

x Parte menor

x x mcm

x x

x x

x

x

Parte mayor

Parte menor

→− →

= − =

= −= −==

→− = →

84

1

10

1

484 20

2 5 84

2 420 5

7 420

60

60

84 60 24

6. 6. 6. 6. 6. x Parte mayor

x Parte menor

x x mcm

x x

x

x Parte mayor

Parte menor

→− →

− = =

− === →

− = →

120

12035

5

600 5 3

600 8

75

120 75 45

7. 7. 7. 7. 7. x Sueldo mensual

xx x mensual

x x mcm

x x

x

x

Sueldo mensual

→

+ = →

−

= =

− ===

→

2

3

8

7

8

15 157

8300 8

120 105 2 400

15 2 400

160

160

.

.

$

8. 8. 8. 8. 8. x Lo que tenía

x Gastó en ropa

x Gastó en libros

x x x mcm

x x x

x

x

Gastó en ropa

Gastó en libros

→

→

→

− − − = =

− − − ===

⋅ = →

⋅ = →

1538

15

38

102 0 40

40 8 15 4 080 0

17 4 080

240

1

5240 48

38

240 90

.

.

$

$

12. Continuación12. Continuación12. Continuación12. Continuación12. Continuación

74

32

218

218

5140

54 40

105 51 2 160

54 2 160

40

7

4

7 40

470

70

x xVr total vta

de todos los lib

Luego

x xmcm

x x

x

x

x

Total libros comprados

⋅ = →

− = =

− ===

=⋅

=

→

. .

.

.

.

13. 13. 13. 13. 13. x parte

xparte

xx parte

x x parte

xx

x x

mcm

x x x x

x

x

parte

parte

parte

parte

→

→

⋅ = →

⋅ = →

+ + + =

=+ + + =

==

→

⋅ = →

⋅ = →

⋅ = →

1

56

2

35

56

12

3

13

12

16

4

56

12

16

150

6

6 5 3 900

15 900

60

60 1

56

60 50 2

12

60 30 3

16

60 10 4

ª

ª

ª

ª

ª

ª

ª

ª

9. 9. 9. 9. 9. x Edad de A

x Edad de B

x x Edad de C

x x x mcm

x x x

x

x

años Edad de A

años Edad de B

años Edad de C

→

→

⋅ = →

+ + = =

+ + ===

→

⋅ = →

⋅ = →

25

23

25

415

25

415

25 15

15 6 4 375

25 375

15

15

25

15 6

415

15 4

10. 10. 10. 10. 10. x Costo auto

xx mcm

x x

x

x

bs Costo auto

→

+ = + =

+ = +==

→

8 0003

2 000 3

24 000 3 6 000

18 000 2

9 000

9 000

. .

. .

.

.

.

11. 11. 11. 11. 11. x Libros compre

x xmcm

x x

x

x Lib compre

→

− = =

− === →

7

2

5

28 2

7 5 16

2 16

8 .

12. 12. 12. 12. 12. x Cierto N de libros

xVr cierto N de libros

x xVr del N

de lib ant

x x xVr total de

lib compré

xx x

total lib comp

→

→

= →

+ = →

+ = →

º

. º

. º

. .

.

.

. .

3

43

4

7

10

21

40

3

4

3

4

21

40

51

40

3

4

7

4

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

ABC x

AB

BCx

ABC AB BC

xx

mcm

x x

x

x

x

==

=

= +

= + =

= +=

=

=

45

12

4512

12

12 540

11 540

54011

49 111

15. 15. 15. 15. 15.

( )

x Edad A

x Edad B

x x mcm

x x

x x

x

años Edad A

años Edad B

→− →

− − = − =

− − = −− = −

=→

− = →

10

10 153

415 4

4 40 60 3 45

4 100 3 45

55

55

55 10 45

16. 16. 16. 16. 16. x Puede hacerla A

xmcm x

x x

x

x

días Puede hacerla A

→

+ = =

+ ===→

1

10

1 1

660

6 60 10

60 4

15

15

17. 17. 17. 17. 17. x Parte mayor

x Parte menor

xx

xx mcm

x x

x

x

Parte mayor

Parte menor

→− →

= − −

= − =

= −==

→⇒ − = →

650

5650 50

5600 5

3 000 5

6 3 000

500

500

650 500 150

.

.

18. 18. 18. 18. 18.

( )

x Edad actual B

xEdad actual A

xx mcm

x x

x

x

años Edad actual B

años Edad actual A

→

→

− = − =

− = −==

→

= →

4

410

1

1010 40

10 400 4 40

6 360

60

60

60

415

19. 19. 19. 19. 19.

( ) ( )

( )

( )( )

x N mayor

x N menor

x x x

x x x x

x x

x x

x x

x

x

N mayor

N menor

→− →

− − − = −

− + − − = −

− = −

− = −− = −

==

→− = →

º

º

º

º

1

1 431

111

2 1 431

111

2 441

111

11 2 44 1

22 484 1

21 483

23

23

23 1 22

2 2

2 2

20. 20. 20. 20. 20. x Vr sortija

xx mcm

x x

x

x

sucres Vr sortija

→+

= + =

+ = +==

→

.

..

. .

.

.

73 000

121 500 12

21 000 7 18 000 12

3 000 5

600

600

21. 21. 21. 21. 21. x N personas

x xx

N más de pers

x x

x xmcm x

x

x

x

personas Se repartió

→

+ = →

=

= − =

= −==

→

º

º .

$

15

65

12065

100

100 1202

100 120 2

2 20

10

10

22. 22. 22. 22. 22. x libros que compró

xx x

Libros más

x x

x xmcm x

x

x

x

libros compró

Pagópor c u

→

+ = →

=

= − =

= −==

→

= →

454

40054

320

320 4002

320 400 2

2 80

40

40

40040

10$ /

23. 23. 23. 23. 23.

( )

x Suma repartida

xcibió A

xcibió B

x xx

mcm

x x x

x

c A

c B

→

− →

+ →

− + + + =

=+ + =

=

− = →

+ = →

230

3

720

230

3

720 30

14

7 6 280 14

280

280

230 110

3 280

720 140

Re

Re

$ Re .

$ Re .

24. 24. 24. 24. 24. x Lib comprad

xVr de x lib

xx x

sto

x xVr vta resto

x xmcm

x x

x

x

Libros comprados

→

→

− = →

⋅ = →

− = =

− ===

→

. .

. .

Re

.

65

323

23

94

32

32

65

9 10

15 12 90

3 90

30

30

25. 25. 25. 25. 25. x Fortuna

xx x x

mcm

x x x x

x

colones Fortuna

→

− − − =

=− − − =

=→

2 4 62 500

12

12 6 3 2 30 000

30 000

30 000

.

.

.

.

14.14.14.14.14.

26. 26. 26. 26. 26. x sueldo anual

xx x x

mcm

x x x x

x

x

balboas sueldo anual

→

− − − =

=− − − =

==

→

3

5 8 20810

40

40 24 5 2 32 400

9 32 400

3 600

3 600

.

.

.

.

27. 27. 27. 27. 27. x Ahorros

xx x x

Lequedaba

x x

x xmcm

x x

x

x

ahorros

→

− − = →

⋅ =

− = =

− ===→

38

512

524

35

524 8

524 8

400 24

5 3 9 600

2 9 600

4 800

4 800

.

.

.

$ .

28. 28. 28. 28. 28.

( )

x Parte mayor

x Parte menor

xx

x x

mcm

x x x x

x x

x

x

Parte mayor

Parte menor

→− →

− − = − −

=− − = − +

− − = −− = −

=→− = →

350

3503

5

17

15350

15

5 250 15 9 15 5 950 17

24 32 11 200

56 11 200

200

200

350 200 150

. .

.

.

29. 29. 29. 29. 29.

( )

x Suma repartida

cibió A

x B C

x C B

C A B

C x C

C x C

C x

Cx

x xx

x xx mcm

x x x

x

Suma recibida

→→

− = +− − =

= +

= + − −= −=

=

+ + ⋅ + =

+ + = =

+ + ==

→

$ Re

$

15

15

15

15 15

2

2

15 152

3 2 2

303 2

6

180 2 3 6

180

180

30. 30. 30. 30. 30.

( )

x Pesos

x N piezasde ctvs

x xN piezasde ctvs

x xx

mcm

x x x

x

x

Pesos

piezasde ctvs

piezasde ctvs

→

→

⋅ = →

+ + =

=+ + =

==

→

⋅ = →

= →

3

420

2

3

3

4 210

3

40 20

0 10

29 60

4

4 0 6 0 2 38 4

4 8 38 4

8

8

3

48 6 20

8

24 10

º

º

,,

,

, , ,

, ,

31. 31. 31. 31. 31. x Capital primitivo

x año

xx x

Le quedaba

x xaño

x x xTenia al term

el año

x xaño

xx x x

x x x x

x

x

Q Capitalprimitivo

er

er

→

→

− = →

⋅ = →

+ = →

⋅ = →

− + + =

− + + ===

→

15

1

545

3

10

4

5

6

252

45

625

2625

2

35

2625

78125

3

5625

78125

13 312

125 25 30 78 1 664 000

208 1 664 000

8 000

8 000

º

.

º

.

' .

' .

.

. .

32. 32. 32. 32. 32.

( )x Edad de A

x x mcm

x x

x

años Edad de A

→

− = + =

− = +=→

102

35 3

3 30 2 10

40

40

33. 33. 33. 33. 33.

( )

x Cant bres

en el lado del cuadrado

x Hombres en la tropa

x x

er

→

+ →

+ = + +

. hom

1

36

1 36 75

2

2 2

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

Continuación Continuación Continuación Continuación Continuación

33. 33. 33. 33. 33.

( )

x x x

x

x

bresen el lado

del cuadrado

Homb en la tropa

er

2 2

2

2 1 111

2 110

55

55

1

55 36

3 061

+ + = +==

→

+= →

hom

. .

34. 34. 34. 34. 34. x Lo que tenía

xx x

mcm

x x x

x

tenía

→

− − = +

=− − = +

=→

5

820

416

8

8 5 160 2 128

288

288$

35. 35. 35. 35. 35.

( )

x Empezó a jugar

x Le quedaba

xx

x xx x

mcm

x x x

x

x

Lempiras Empezó a jugar

→− →

− =−

+ − −−

− =

=− − + − =

==

→

2 60

3

102 60

6 180

10

606 180

10

7

80

40

80 2 400 24 720 35 0

21 1 680

80

80

.

.

36. 36. 36. 36. 36.

( ) ( )

x Cifra unidades

x Cifra decenas

x x x x

x x x

x

Cifra unidades

Cifra decenas

N buscado

→+ →

+ + − = + ++ + − = +

=→+ = →

→

5

10 5 18 6 5

10 50 18 12 30

2

2

2 5 7

72 º

37. 37. 37. 37. 37.

( )

x Unidades

x Decenas

x x x x

x x x x

x

x

Unidades

Decenas

N buscado

→− →

− + − = + −− + − = + −

==

→− = →

→

9

10 9 27 10 9

90 10 27 10 9

54 18

3

3

9 3 6

63 º

38. 38. 38. 38. 38. x Mangos que había

xx x

Quedaban

x x

xx

xx x x

mcm

x x x x

x

x

Mangos había

→

− − =−

→

−

+ =

+

+

+ =+

− − −+

−

+

=

=− − − − − − =

==

→

34

2 123

13

2 123

62 42

9

2 4292

91029

34

2 429

1029

0

9

9 3 36 2 42 102 0

3 180

60

60

39. 39. 39. 39. 39.

( )x Ganó c u

x x mcm

x x

x

x

Ganó c u

→

+ = + =

+ = +==

→

/

$ /

7

1080 50 10

560 7 500 10

60 3

20

20

40. 40. 40. 40. 40.

( )

x Pluma fuente

x Lapicero

x x

mcm

x x

x

x

Costo la pluma

Costo lapicero

→

→

− = +

=− = +

==

→⋅

= →

3

55

60 20

3

50 30

30

25 5 18 9

7 14

2

2

3 2

51 20

, ,

$

$ ,

41. 41. 41. 41. 41. x Tenía el lunes antes de

x xLunes

xx x

Quedaba

xx

Martes

x x xQuedaba

xx

Miercoles

→

+ =+

→

−+

=

−→

−

+ =+

→

−−

+

=

−→

−

+ =+

→

22

4

24

2

4

2

422

24

44

2

4

4

12

4

1242

24

8

ContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuación

41. 41. 41. 41. 41. x xmcm

x x

x

x

Tenía el lunes antes de

−−

+

= =

− − − =− =

=⇒ →

12

4

4

80 8

2 24 4 0

28 0

28

28$42. 42. 42. 42. 42. x Capital primitivo

xx x

Tenía

xx

año

x x xTenía

xx

año

x xmcm

x x

x

x

Capital primitivo

→

+ − =−

→

−

− =−

→

−+

−=

−→

−

− =−

→

−+

−= =

− + − ===

→

26 000

3 12 000

23 12 000

22

6 0003 36 000

42

3 12 000

2

3 36 000

4

9 60 000

49 60 000

42

6 0009 108 000

83

9 60 000

4

9 108 000

832 250 8

18 120 000 9 108 000 258 000

27 486 000

18 000

18 000

..

.

..

º

. . .

.

..

º

. ..

. . .

.

.

$ .

43. 43. 43. 43. 43. x ecio traje

ecio bastón

sx

x s

xecio sombrero

x xmcm

x x

x

ecio traje

ecio sombrero

→→

+ =

+ − =+

→

++ = =

+ + ==

→+

= →

Pr

$ Pr

Pr

$ Pr

$ Pr

15

1534

15 5 2

102

102

1534

4

2 20 60 3

80

80

80 102

45

44. 44. 44. 44. 44. x Espacio recorrido por perro y conejo

Perro Conejo

uesto

egunta

Luego Saltos del perrocon respecto a la ventaja

Perro Conejo

uesto

egunta x

Luegox

Saltos que avanza el conejo

al ser alcanzado

→

⋅ →

→

sup

Pr ?

:

sup

Pr ?

:

2 5

50

2 505

3 8

83

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúaContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

ContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuación

44. 44. 44. 44. 44. Perro Conejo

uesto

egunta x

Luegox

Saltos que da el perro

para alcanzar al conejo

Entonces

x xmcm

x x

x

Saltos del perro

para alcanzar el conejo

sup

Pr ?

:

:

2 5

52

83

2 505

52

6

16 120 15

120

5 1202

300

→

−⋅

= =

− ==⋅ = →

45. 45. 45. 45. 45. x Espacio recorrido

por perro y liebre

Perro Liebre

uesto

egunta

Luego Saltos del perro con

respecto a la ventaja

Perro Liebre

uesto

egunta x

Luegox

Saltos que avanza la

liebre al ser alcanzada

Perro Liebre

uesto

egunta x

Luegox

Saltos que da el perro

para alcanzar a la liebre

Entonces

x x

x xmcm

x x

x

x

Saltos del perro

para alcanzar la liebre

→

⋅ →

→

→

− ⋅ =

− = =

− ===

⋅ = →

sup

Pr ?

:

sup

Pr ?

:

sup

Pr ?

:

:

,

,

3 4

60

3 604

5 8

85

3 4

43

85

3 604

43

85

4543

15

24 675 20

4 675

168 75

43

168 75 225

AB x

AC

CDx

BD

AB BD AC CD

xx

xx

mcm

x x

x

x

x

==

=

=+ = +

+ = +

− = =

− ==

=

=

50

126

6 5012

1244 12

12 528

11 528

52811

48

47. 47. 47. 47. 47.

( )

x Aporta A

x Aporta B

xx x

año A

x xaño B

x xaño A

x xmcm

x x

x x

xaño B

Entonces

x x

er

er

→

→

− = →

+ =+

→

+ =+

→

+−

+

=

+ − −

+=

+

+→

+=

+

3

4

5

4

51

3

43 000

3 12 000

41

4

51 600

4 8 000

52

3 12 0004

19

3 12 0004

36

27 108 000 3 12 00036

24 96 000

36

3 8 32 000

368 32 000

122

4 8 000

5

8 32 000

12

..

..

º

. .

. .

. .

.º

:

. .mcm

x x

x

x

bs Aportó A

bs Aportó B

=

+ = +==

→⋅

= →

60

48 96 000 40 160 000

8 64 000

8 000

8 000

3 8 000

46 000

. .

.

.

.

..

46.46.46.46.46.

48. 48. 48. 48. 48. x Años para que la edad

del padre sea a la

suma de sus hijos

x x x

x x

x

años Edad del padre sea

igual a la suma

de sus hijos

→=

+ = + + ++ = +

=→

60 16 14

60 30 2

30

30

49. 49. 49. 49. 49. x Km recorridos

x xmcm

x x

x

x

Km recorridos

→

+ = =

+ ===

→

.

.

50 1012 50

5 600

6 600

100

100

50. 50. 50. 50. 50. Buey

P C

CP

Luego

PC

P Pmcm

P P

P

P

Costo el perro

C mcm

C

C

C

Costo el caballo

→+ =

+ =

+=

++ = =

+ + ===

→+

= =

+ ===

→

$

:

$

$

80

80 2

8013

2

80

280

280

132

2

80 160 13

240 12

20

20

20 802

2

20 80 2

100 2

50

50

EJERCICIO 159

1. 1. 1. 1. 1. a m

v ms

v ms

x

x

x m

=

=

=

= ⋅−

=

=

30

8

5

30 88 5

2403

80

'

2. 2. 2. 2. 2.

( )

a Km

v Kmh

v Kmh

x

x

x Km

=

=

= −

=⋅

− −

=

=

160

50

30

160 50

50 30

8 000

80100

'

.

.

3. 3. 3. 3. 3. a Km

v Kmh

v Kmh

x

=

=

=

= ⋅−

200

90

40

200 9090 40

'

Continúa Continúa Continúa Continúa Continúa

ContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuación

3. 3. 3. 3. 3. x

x Km de A

De B

Como la dis cia entre A y B

es Km

Entonces B recorrió

Km Km Km

=

=

− =

18 000

50360

200

360 200 160

.

.

tan

4. 4. 4. 4. 4. a Km

v Kmh

v Kmh

x

x

x Km

El tiempo empleado

en encontrarse será

KmKm

hhoras

=

=

=

=⋅−

=

=

=

80

90

70

80 9090 70

7 20020

360

360

904

'

.

.

5. 5. 5. 5. 5.

( )

a Km

v Kmh

v Kmh

De A

x

x

x Km

Como los trenes pasan

por A y B a las am

Entonces De A

x Km

v Kmh

Tiempo empleado para

los Km es

KmKm

hhoras

horas h

Luego

am h

am Se encuentran

=

=

= −

=⋅

− −

=

=

=

=

=

→

+ =→

550

100

120

550 100

100 120

55 000

220250

8

250

100

250

250

1002 5

2 5 2 30

8 2 30 10 30

10 30

'

.

.

.

.

,

, min.

:

min :

:

6. 6. 6. 6. 6.

( )

a Km

v Kmh

v Kmh

x Dis cia recorrida por

A al encontrarse

x

x

x Km A

Como A recorrió Km

Entonces B

Km Km Km B

=

=

= −

→

=⋅

− −

=

= →

− = →

70

9

5

70 9

9 5

630

1445

45

70 45 25

'

tan

9. 9. 9. 9. 9.

( )

a Km

v v

v v

xv

v v

xv

vx Km

=== −

=− −

=

=

186

186

186

293

'

.

8. 8. 8. 8. 8.

( )

Re arg

'

.

arg

:

corrido tren de c a

en horas es

Km

hh Km

a Km

v Kmh

v Kmh

x

x

x Km

Km Alcanza el tren de

pasajeros al de c a

El tiempo empleado es

KmKm

hhoras

3

42 3 126

126

60

42

126 60

60 42

7 560

18420

420

420

607

=

=

=

=

=⋅

−

=

=→

=

7. 7. 7. 7. 7.

( )

A y B dis tes Km

Km Km Km

a Km

v Kmh

v Kmh

x

x

x Km

Luego A recorre

Km Km Km

B recorre

Km Km Km

tan

'

29

29 2 27

27

5

4

27 5

5 4

135

915

15 2 17

29 17 12

12

12

12

12

12

12

12

⇒ − ==

=

= −

=⋅

− −

=

=

+ =

− =

EJERCICIO 162

1. 1. 1. 1. 1. b cm

h cm

Ab h

Acm cm

A cm

==

= ⋅

= ⋅

=

10

8

210 8

2

40 2

2. 2. 2. 2. 2.

( )

d m

Ad

Am

A m

=

=

=

=

8

2

8

232

2

2

2

3. 3. 3. 3. 3.

( )( )

t s

v ms

e v t

e s ms

e m

=

=

= ⋅

=

=

15

9

15 9

135

4. 4. 4. 4. 4. v ms

e m

te

vt

mm

st s

=

=

= ⇒ =

=

9

108

108

9

12

5. 5. 5. 5. 5.

( ) ( )

b m

c m

a b c

a m m

a m m

a m

a m

a m

=== +

= +

= +=

==

4

3

4 3

16 9

25

25

5

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2

6. 6. 6. 6. 6.

( ) ( )

a m

c m

b a c

b m m

b m m

b m

b m

b m

=== −

= −= −

=

==

13

5

13 5

169 25

144

144

12

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2

7. 7. 7. 7. 7.

( )

r m

A r

A m

A m

A m

==

= ⋅

=

= ⋅

=

5

3 14

3 14 5

3 14 25

78 5

2

2

2

2

ππ,

,

,

,

8. 8. 8. 8. 8. r m

C r

C m

C m

C m

=== ⋅= ⋅ ⋅= ⋅=

5

3 14

2

2 3 14 5

10 3 14

31 4

ππ,

,

,

,

9. 9. 9. 9. 9.

( )

h m

r m

vh r

vm m

v m

v m

===

=⋅ ⋅

=⋅

= ⋅

=

9

2

3 14

3

9 3 14 2

312 3 14

37 68

2

2

2

2

ππ,

,

,

,

10. 10. 10. 10. 10. P g

V cm

Dpv

Dg

cm

D gcm

=

=

=

=

=

8 24

8

8 248

1 03

3

3

3

,

,

,

11. 11. 11. 11. 11.

( )

L m

AL

Am

A m

A m

=

=

=

=

=

4

3

4

4 3

4

4 3

6 92

2

2

2

2,

12. 12. 12. 12. 12.

( )( )

N

S

S

S

=

= −

=

=

6

180 6 2

180 4

720

∃

∃

∃

EJERCICIO 163

1. 1. 1. 1. 1. e v t

ve

tRta

tev

Rta

= ⋅

=

=

2. 2. 2. 2. 2.

( )A h

b b

A h b b

A

b bh Rta

=+

= +

+=

'

'

'

2

2

2

3. 3. 3. 3. 3. e a t

e a t

et

a Rta

= ⋅

= ⋅

=

12

2

2

2

2

2

4. 4. 4. 4. 4. A a l n

A a l n

Al n

a Rta

An a

l Rta

A

l an Rta

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

⋅=

⋅=

⋅=

12

2

2

2

2

5. 5. 5. 5. 5. A r

Ar

Ar Rta

= ⋅

=

=

π

π

π

2

2

6. 6. 6. 6. 6. a b c bx

a b c bx

a b cb

x

b c a

bx Rta

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

2

2

= + −

− − =−

− − − =

+ −=

7. 7. 7. 7. 7. V V a t

V a t V Rta

V V a t

V V

ta Rta

V V

at Rta

o= + ⋅

− ⋅ =

− = ⋅

−=

−=

0

0

0

0

8. 8. 8. 8. 8. V V a t

V a t V Rta

a t V V

aV V

tRta

tV V

aRta

o= − ⋅

+ ⋅ =

⋅ = −

=−

=−

0

0

0

0

9. 9. 9. 9. 9. DPV

DV P

VP

DRta

P VD Rta

=

=

=

=

10. 10. 10. 10. 10. a b c

a c b

a c b Rta

a b c

a b c Rta

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

= +

− =

− =

− =

− =

11. 11. 11. 11. 11. V a t

Va

t Rta

aVt

Rta

= ⋅

=

=

12. 12. 12. 12. 12.

( )( )

( )

1 1 1

f p p

p p

f p p

f p f p

f p p

p p f p p

pf p p

p

pf p

p

f p

p

p ff p

p

pf p

pf

p p f p

pf

p p f p f

pp f

p fRta

= −

⋅⋅ ⋅

=⋅ − ⋅

⋅ ⋅

⋅ = −

=−

=⋅

−⋅

= −⋅

+⋅

=

⋅ + ⋅=

+ = ⋅

=⋅+

'

'

'

'

'

' '

''

''

''

''

' '

'

'

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

ContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuación

12. 12. 12. 12. 12.

( )

p p f p

pf

p p

p

f p

pf

pf p

pf

f p

pf p

f p p f p

f p

f pp Rta

' '

' '

''

''

' '

'

'

⋅ + ⋅=

⋅+

⋅=

+⋅

=

⋅= −

⋅ = −⋅−

=

13. 13. 13. 13. 13. ved

ve

d

v d e Rta

dev

Rta

=

=

⋅ =

=

2

2

2

14. 14. 14. 14. 14. e V t a t

e V t a t

e a t V t

e a tt

V Rta

= ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅

− ⋅ = ⋅

− ⋅⋅

=

02

02

20

2

0

12

2 2

2 2

22

15. 15. 15. 15. 15.

( )

e V t a t

e V t a t

e a t V t

e a t

tV Rta

a t V t e

aV t e

t

aV t e

tRta

= ⋅ − ⋅

= ⋅ − ⋅+ ⋅ = ⋅+ ⋅

⋅=

⋅ = ⋅ −

=⋅ −

=⋅ −

02

02

20

2

0

20

02

02

1

22 2

2 2

2

2

2 2

2 2

2

16. 16. 16. 16. 16. Vh r

Vr

h Rta

Vh

r

v

hr Rta

= ⋅ ⋅

⋅=

⋅=

⋅=

π

π

π

π

2

2

2

33

3

3

17. 17. 17. 17. 17. Ic t r

I c t r

It r

c Rta

Ir c

t Rta

I

c tr Rta

=⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

⋅=

⋅=

⋅=

100100

100

100

100

18. 18. 18. 18. 18. E I R

EI

R Rta

ER

I Rta

= ⋅

=

=

19. 19. 19. 19. 19. eV

a

ae V

ae V Rta

=

=

=

2

2

2

2

2

20. 20. 20. 20. 20. ( )( )

( )

( )

u a n r

u n r a Rta

u a n r

u a

rn

u a

rn

u a r

rn Rta

u a r nr

u a nr r

u a r n

u a

nr Rta

= + −

− − =

− = −−

= −

−+ =

− +=

− + =− = −

− = −−−

=

1

1

1

1

1

1

1

21. 21. 21. 21. 21. u a r

ur

a Rta

ua

r

ua

r Rta

n

n

n

n

= ⋅

=

=

=

−

−

−

−

1

1

1

1

22. 22. 22. 22. 22. IQ

tQ I t Rta

QI

t Rta

=

= ⋅

=

EJERCICIO 164

1. 1. 1. 1. 1. x x

x x

x

Lim erior de x

− < −− + < −

<→

5 2 6

5 6 2

1

1 . inf

2. 2. 2. 2. 2. 5 12 3 4

5 3 12 4

2 8

4

4

x x

x x

x

x

Lim eror de x

− > −− > −

>>

→ . inf

3. 3. 3. 3. 3. x x

x x

x

x

Lim erior de x

− > −+ > +

>>

→

6 21 8

8 21 6

9 27

3

3 . inf

4. 4. 4. 4. 4. 3 14 7 2

14 2 7 3

12 4

3

x x

x x

x

x

− < −− + < −

− <− <

5. 5. 5. 5. 5. 25

3 310

6 5 30

6 30 5

5 35

7

xx

x x

x x

x

x

− > +

− > +− > +

>>

6. 6. 6. 6. 6. 3 44

52

2

12 16 10 8

12 10 16 8

3 24

8

xx x

x x x

x x x

x

x

− + < +

− + < ++ − < +

<<

7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( )x x

x x x x

x x

x

x

x

− − > −

− + − > − +− − > − +

− > −<<

1 7 2

2 1 7 4 4

6 4 4 2

10 2

10 2

5

2 2

2 2

8. 8. 8. 8. 8. ( )( ) ( )( )x x x x

x x x x

x x

x

x

+ − + < + +

+ − + < + +− < −

<

<

2 1 26 4 5

2 26 9 20

24 20 9

4 8

1

2

2 2

9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ) ( )( )3 2 2 3 2 1 4

3 6 2 6 2 7 4

9 6 7 4

9 7 4 6

2 2

1

2 2

x x x x x

x x x x x

x x

x x

x

x

− + + > − +

− + + > + −− > −

− > − +>>

10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( )( ) ( )6 1 2 4 3 2 3 5 21

6 6 6 8 8 15 63

8 14 15 63

8 15 63 14

7 49

7 49

7

2

2 2

x x x x

x x x x

x x

x x

x

x

x

+ − − + < +

+ − + + < ++ < +

− < −− <

> −> −

11. 11. 11. 11. 11. ( )( ) ( )( )x x x x

x x x x

x x

x

x

x

− + < − −

+ − < − ++ < +

<

<

<

4 5 3 2

20 5 6

5 20 6

6 26

26

613

3

2 2

12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( ) ( )2 3 4 7 4 2

4 12 9 4 28 4 24 48 32

12 48 9 32

60 41

60 41

41

60

2 2 3

2 3 2 3 2

x x x x

x x x x x x x

x x

x

x

x

− + − < −

− + + − < − + −− − < − −

− < −>

>

13. 13. 13. 13. 13.

( )( ) ( )( )

2 1

3 1

2 5

3 2

3 2 2 1 2 5 3 1

6 7 2 6 13 5

2 5 13 7

7 6

7

6

2 2

x

x

x

x

x x x x

x x x x

x x

x

x

+−

>++

+ + > + −

+ + > + −+ > −

>

>

14. 14. 14. 14. 14.

( )( ) ( )

x

x

x

x x x x

x x x x

x x

x

x

+−

+>

+ + − > +

+ + − > +− >

>>

3

3

4

2 3

2 3 12 2

5 6 12 2

5 2 6

3 6

2

2 2

15. 15. 15. 15. 15.

( ) ( )

5

3 1

20

9 1

2

3 1

5 3 1 20 2 3 1

15 5 20 6 2

15 6 25 2

9 27

3

2x x x

x x

x x

x x

x

x

+−

−<

−

− − < +− − < +

− < +<<

16. 16. 16. 16. 16. 1 1 1

1

1 1

2

2 2 2x x x x x

x x x

x

+>

−−

−− > + −

>

17. 17. 17. 17. 17. x N s enteros

x x

x x

x x

x

N s enteros menores

que Rta

→

+ > +

+ > +− > −

>

º .

º .

315

21

2 90 3 6

90 6 3 2

84

84

EJERCICIO 165

1. 1. 1. 1. 1. x y x

x x

x x

x x

x Rta

− > + >− > + >

> + >> >

>

3 5 2 5 17

3 5 2 5 17

5 3 2 12

8 6

8

2. 2. 2. 2. 2. 5 6 2 9 3

6 5 9

11 9

9

− >− + >− > − − − > −

< <<

x y x x

x x

x x

x Rta

3. 3. 3. 3. 3. 6 5 4 11 4 2 10 5

2 6 3 6

3 2

3

x x x x

x x

x x

x Rta

+ > + − > −> >> >

>

4. 4. 4. 4. 4. 5 4 7 16 8 7 16 15

12 2 8 8

6 1

1

x x y x x

x x

x x

x Rta

− > − − < −> <> <

<

5. 5. 5. 5. 5. x x

y x x

x x x x

x x

x

x Rta

23

42 2

3

56 23

2 12 8 10 3 30 117

20 120 20

6

20

25− > + + < −

− > + + < −> <

<>

6. 6. 6. 6. 6. 2 3 10 6 4 5 6

2 10 3 6 5 6 4

13 10

10 13

x x y x x

x x x x

x x

x Rta

− < + − > +− < + − > +

< >< <

7. 7. 7. 7. 7. x x

y x x

x x x x

x x x

x x

x Rta

41

31 2 3

2

53 12 4 18 10 18 5 2

18 12 4 3 5 20

6 4

4 6

12

35− > − − > +

− > − − > +− > − >

> >< <

8. 8. 8. 8. 8. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )x x x x y x x x x

x x x x x x x x

x x

x

x Rta

− + < + − + + > + +

+ − < − − + + > + +< − > −< −

− < < −

1 2 2 3 3 5 4 3

2 6 8 15 7 12

2 4 3

2

3 2

2 2 2 2

9. 9. 9. 9. 9.

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

x

x

x

xy

x

x

x

x

x x x x x x x

x x x x x x x x

x x

x Rta

++

>−+

−+

<−−

+ + > − + − < − +

+ + > + − − + < − −> <

< <

2

8

2

3

1

4

5

1

2 3 2 8 1 5 4

5 6 6 16 2 1 20

22 21

21 22

2

2 2 2 2

10. 10. 10. 10. 10. x N s enteros

xx

y x x

x x x

x

x

x Luego son y Rta

→

− > + + < +

− > + <>>

< <

º .

3 62

4 4 8 3 15

6 12 8 7

5 20

4

4 7 5 6

EJERCICIO 166

1. 1. 1. 1. 1. x Ky

K

K

x

x

==

=

= ⋅

=

9 6

96

32

8

12

8. 8. 8. 8. 8. xK yZK

K

K

Z

Z

Z

=

=

==

= ⋅

=

=

348

24 4

6

107 6

42104 1

5

10. 10. 10. 10. 10.

( )

( )

xK

y

K

K

K

x

x

x

=−

=−

=

=

=−

=

=

2

2

2

1

93 1

98

72

72

5 1

72

243

2. 2. 2. 2. 2. x Ky

K

K

y

y

y

==

=

=

⋅ =

=

2 3

23

2423

3 24236

3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )

( ) ( )

A KBC

K

K

K

A

A

==

=

===

30 2 5

30

103

3 7 4

84

4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( )

x KYZ

K

K

K

Ky

y

y

y

==

=

=

=

=

==

4 3 6

4

182

910 9

102

99

10 2

5

5. 5. 5. 5. 5. AK

BK

K

AK

A

=

=

=

=

= =

35

15

715

72 1

7

9. 9. 9. 9. 9. ( )( )( )

( )

x K y

K

K

K

K

x

x

x

= −

= −

= −

=

=

= −= ⋅=

2

2

2

1

48 5 1

48 25 1

48

242

2 7 1

2 48

96

11. 11. 11. 11. 11.

( )

( )

A Area del

cuadrado

d Diagonal

A Kd

m K m

m

mK

K

A m

Am

A m

→

→

=

=

=

=

=

=

=

2

2 2

2

2

2

2

2

18 6

18

361

21

210

100

250

12. 12. 12. 12. 12.

( ) ( )( )

( ) ( )

Ap Area piramide

a apotema

pb perim de la b

Ap Kapb

m K m m

m K m

m

mK

K

Ap m m

Apm

Ap m

→→→

=

=

=

=

=

=

=

=

. .

480 12 80

480 960

480

9601

21

26 40

240

2

120

2

2 2

2

2

2

2

7. 7. 7. 7. 7. AKBC

K

K

K

A

A

=

=

==

= ⋅

=

8123

8 4

2

2 714

1

6. 6. 6. 6. 6. BK

AK

K

K

A AA A

=

=

=

=

= ⇒ =

⇒ = ⇒ =

1

3 12

1

32

1

6

1

12

16 1

12

1

66 12 2

15. 15. 15. 15. 15. Lo Long circunf

r Radio

Lo Kr

cm K cm

K

cmr

cm r

cm r

cm r

→→

== ⋅

=

=

=

=

=

. .

44 7

447

66447

462 44

46244

10 12

13. 13. 13. 13. 13.

( )( )

( )

Vp Vol piramide

h Altura

Ab Area base

Vp KhAb

m K m m

m K m

K

Vp m m

Vpm

Vp m

→→→

=

= ⋅

=

=

= ⋅

=

=

.

96 8 36

96 288

1

313

12 64

768

3256

3 2

3 3

2

3

3

14. 14. 14. 14. 14.

( )

( )

Ao Area circulo

r Radio

Ao Kr

cm K cm

cm

cmK

K

Ao cm

Ao cm

Ao cm

→→

=

=

=

=

=

= ⋅=

2

2 2

2

2

2

2

2

616 14

616

196

22

722

77

22 7

154

16. 16. 16. 16. 16. xKy

K

K

K

y

y

y

y

y

=

=

⋅ ==

=

=

= ±

= ±

= ±

2

2

2

2

46

36 4

144

9144

1449

1449

123

4

EJERCICIO 167

1. 1. 1. 1. 1. A KB

K

K A B

=== ⇒ =

10 5

2 2

2. 2. 2. 2. 2. e Espacio

V Velocidad

t Tiempo

e KVt

Si K e Vt

→→→

== ⇒ =1

3. 3. 3. 3. 3. Ar Area rombo

D Diag mayor

D Diag menor

A KDD

cm K cm cm

cm K cm

K

A DD

→→→

=

= ⋅ ⋅

= ⋅

=

=

'

'

'

24 8 6

24 48

1

212

2

2 2

4. 4. 4. 4. 4. AKB

C

K AB

C

=

= ⇒ =33

5. 5. 5. 5. 5. C Kr

cm K cm

cmcm

K

K

C r

== ⋅

=

=

=

132 21

13221

447

447

6. 6. 6. 6. 6. ( )

( )

( )

C Espacio h

t Tiempo

h Altura e

e K t

m K s

m

sK

m

sK

e t

→→→

= ⋅

=

=

=

=

2

2

2

2

2

19 6 2

19 6

4

4 9

4 9

,

,

,

,

7. 7. 7. 7. 7. FKmV

r=

2

8. 8. 8. 8. 8. y Función

x Vble indep

y x

→→

= +. .

2 3

9. 9. 9. 9. 9. L Lado de un cuad

inscrito en un circulo

r Radio

L K r

K

L r

→

→= ⋅

=

= ⋅

.

2

2

10. 10. 10. 10. 10. y Función

x Vble indep

yx

→→

= +

. .2

22

11. 11. 11. 11. 11. yx

=−5 2

3

12. 12. 12. 12. 12. F Fuerza de atracc

m Masa cuerpo

m Masa cuerpo

d Dis cia

FK m m

d

→→→→

= ⋅ ⋅

.

'

tan

'

1

2

2

13. 13. 13. 13. 13. h Altura

A Area del

B Base

hK A

B

cmK cm

cm

cm K cm

K

hA

B

→→→

= ⋅

= ⋅

= ⋅=

=

∆∆

10204

10 5

2

2

2

14. 14. 14. 14. 14. W Energ cinetica

m Masa

V Velocidad

W KmV

K

W mV

→→→

=

=

=

.

2

2

1

21

2

16. 16. 16. 16. 16. xK

y

K

K

xy

=

=

=

=

25

10

10

15. 15. 15. 15. 15. B Area base piramide

V Volumen

h Altura

BKVhK

K

K

BVh

→→→

=

= ⋅

= ⋅=

=

100400

121 200 400

3

3

.

18. 18. 18. 18. 18. AKBC

K

K

K

AB

C

AB

C

=

= ⋅

= ⋅

=

=

=

3244

12 24

12

12

2

17. 17. 17. 17. 17. xK

y

K

K

xy

=

=

=

=

2

2

2

32

12

12

EJERCICIO 173

1.1.1.1.1. x y

y x

x Entero y

Para que y sea entero

y el mayor valor que

podemos dar a x es

Por to las soluciones

enteras y son

x y

x y

x y

x y

+ == −− → +

+

+= == == == =

5

5

5

4

1 4

2 3

3 2

4 1

.

tan

:

2. 2. 2. 2. 2. 2 3 37

2 37 3

37 32

36

2

1

2

2

2 2

181

2

181

21

23 3

222

12

22 2

11

2

x y

x y

xy

xy y

x yy

x yy

yEntero

yEntero

y y

yy

Entero

+ == −

= −

= + − −

= − + −

− + =−

− →

−→

+ − −

− +−

→

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación

( )

( )

1

21 2

2 1

1 2

2 3 1 2 37

2 3 6 37

2 34 6

2 17 3

217 3

1 2

17 3

0 1 17

1 1

1 3 14

2 5 11

3 7 8

4 9 5

5 11

−=

− =− = −

= −

⇒ + − =+ − =

= +

=+

= += − →= += = == = − →= − = == − = == − = == − = == − =

ym

y m

y m

y m

x m

x m

x m

xm

x m

y m m entero

x m

m y x sol

m y no

m y x sol

m y x sol

m y x sol

m y x sol

m y x sol

m y x no

== − = = − →

2

6 13 1

3. 3. 3. 3. 3. 3 5 43

3 43 5

43 53

423

13

33

23

141 2

3

x y

x y

xy

xy y

x yy

+ == −

= −

= + − −

= − + −

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

3. Continuación3. Continuación3. Continuación3. Continuación3. Continuación

( )

( )

x yy

yEntero

yEntero

y y

yy

ym

y m

y m

y m

x m

x m

x m

xm

x m

y m

x m

m x y sol

m x y No

m x y

− + =−

−→

−→

− −

− +−

−=

− =− = −

= −

+ − =+ − =

= +

=+

= += −= += = == = = − →= − = =

141 2

31 2

32 4

32

3

3

3

1

32

32

32 3

3 2

2 3

3 5 2 3 43

3 10 15 43

3 33 15

3 11 5

311 5

2 3

11 5

0 11 2

1 16 1

1 6 5 sol

m x y sol

m x No

= − = == − = − →

2 1 8

3 4

4. 4. 4. 4. 4.

( )

x y

x y

y Entero

y Entero

y m

y m

y m

x m

x m

x m

y m

x m

m x y No

m x y sol

m x y sol

m x y No

m x y No

+ == −

− →− →− =− = −

= −

+ − =+ − =

== −== = = →= = == = == = = →= = = − →

3 9

9 3

9 3

3

3

3

3

3 3 9

9 3 9

3

3

3

0 0 3

1 3 2

2 6 1

3 9 0

4 12 1

5. 5. 5. 5. 5.

( )

( )

7 8 115

7 115 8

115 8

7112

7

3

7

7

7 7

163

73

724 8

724

7

7

7 724

724

724 7

7 24

24 7

7 8 24 7 115

7 192 56 115

7 56 77

7 8 11

78 11

x y

x y

xy

xy y

x yy

yEntero

yEntero

y y

yy

ym

y m

y m

y m

x m

x m

x m

xm

x m

+ == −

=−

= + − −

= − +−

−→

−→

− −

− +−

−=

− =− = −

= −

+ − =+ − =

− = −

=−

= −

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

5. Continuación5. Continuación5. Continuación5. Continuación5. Continuación

y m

x m

m x No

m x No

m x y sol

m x y sol

m x y No

m x No

= −= −= =− →= =− →= = == = == = =− →= − = − →

24 7

8 11

0 11

1 3

2 5 10

3 13 3

4 21 4

1 19

6. 6. 6. 6. 6.

( )

( )

15 7 136

7 136 15

136 15

7133

7

3

7

14

7 7

19 23

7

19 23

73

724 8

724

7

7

7 724

724

724 7

7 24

24 7

15 24 7 7 136

360 105 7 136

105 7 224

7 15 32

715

x y

y x

yx

yx x

y xx

y xx

xEntero

xEntero

x x

xx

xm

x m

x m

x m

m y

m y

m y

ym

y

+ == −

=−

= + − −

= − +−

− + =−

−→

−→

− −

− +−

−=

− =− = −

= −

− + =− + =− + = −

=−

= m

x m

y m

m x y No

m x y No

m x y No

m x y sol

m x No

m x No

x y No

−= −= −= = = − →= = = − →= = = − →= = == = − →= − = − →

= = − →

32

24 7

15 32

0 24 32

1 17 17

2 10 2

3 3 13

4 4

1 31

31 47

7. 7. 7. 7. 7.

( )

x y

x y

x y

xy

x y

y m

y m

y m

x m

x m

x m

y m

x m

m x No

m x y sol

m x y sol

m x y sol

m x y sol

m x y No

m

+ == −= + − −

= − −

+ = −

− =− = −

= −

+ − =+ − =

= −= −= −= = − →= = == = == = == = == = = →=

5 24

24 5

24 1 1 5

25

5

1

5

5

51

55

5

5

5

5 5 24

25 5 24

5 1

5

5 1

0 1

1 4 4

2 9 3

3 14 2

4 19 1

5 24 0

6 29 1

1 6

x y No

m x No

= = − →= − = − →

8. 8. 8. 8. 8. 9 11 203

9 203 11

203 119

1989

59

99

29

225 2

9

225 2

95 2

925 10

9189

79

99 9

27

97

97 9

9 7

7 9

x y

x y

xy

xy y

x yy

x yy

yEntero

yEntero

y y

yy

ym

y m

y m

y m

+ == −

=−

= + − −

= − + −

− + = −

− →

−→

+ − −

− + −

− =

− =− = −

= −

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

8. Continuación8. Continuación8. Continuación8. Continuación8. Continuación

( )

( )

9 11 7 9 203

9 77 99 203

9 14 11

914 11

7 9

14 11

0 14 7

1 25 2

1 3 16

2 8

x m

x m

xm

x m

y m

x m

m x y sol

m x y No

m x y sol

m x No

+ − =+ − =

=+

= += −= += = == = = − →= − = == − = − →

9. 9. 9. 9. 9.

( )

( )

5 2 73

2 73 5

73 5

272

2

1

2

4

2 2

36 21

2

36 21

21

21 2

2 1

1 2

5 1 2 2 73

5 10 2 73

2 34 5

234 5

1 2

34 5

0 1 34

1 1

1

x y

y x

yx

yx x

y xx

y xx

xm

x m

x m

x m

m y

m y

ym

y m

x m

y m

m x y sol

m x No

m x

+ == −

=−

= + − −

= − +−

− + =−

−=

− =− = −

= −

− + =− + =

=+

= += −= += = == = − →= − =3 29

2 5 24

3 7 19

4 9 14

5 11 9

6 13 4

7 15 1

y sol

m x y sol

m x y sol

m x y sol

m x y sol

m x y sol

m x y No

== − = == − = == − = == − = == − = == − = = − →

10. 10. 10. 10. 10.

( )

( )

8 13 162

8 162 13

162 13

8160

8

2

8

8

8

5

8

202 5

8

202 5

82 5

810 25

810

8

24

8 8

310

810

810 8

8 10

10 8

8 13 10 8 162

8 130 104 162

8 4 13

84 13

10

x y

x y

xy

xy y

x yy

x yy

yEntero

yEntero

y y

yy

ym

y m

y m

y m

x m

x m

xm

x m

y

+ == −

=−

= + − −

= − +−

− + =−

−→

−→

− −

− +−

−=

− =− = −

= −

+ − =+ − =

=+

= += −= += = == = == = = − →= − = − →

8

4 13

0 4 10

1 17 2

2 30 6

1 9

m

x m

m x y sol

m x y sol

m x y No

m x No

11. 11. 11. 11. 11. 7 5 104

5 104 7

104 75

1005

45

55

25

204 2

5

204 2

54 2

512 6

5

x y

y x

yx

yx x

y xx

y xx

xEntero

xEntero

+ == −

=−

= + − −

= − +−

− + = −

− →

− →

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

11. Continuación11. Continuación11. Continuación11. Continuación11. Continuación

( )

( )

10

5

2

5

5

5 5

22

5

22

52

52 5

5 2

2 5

7 2 5 5 104

14 35 5 104

5 18 7

518 7

12 5

18 7

0 2 18

1 3

1 7 11

2 12 4

3 17 3

+ − −

− +−

− +−

−=

− =− = −

= −

− + =− + =

=+

= += −= += = == = − →= − = == − = == − = = − →

x x

xx

xx

xm

x m

x m

x m

m y

m y

ym

y m

x m

y m

m x y sol

m x No

m x y sol

m x y sol

m x y No

12. 12. 12. 12. 12.

( )

10 32

32 10

32 2 2 10

30

10

2

10

10

10

32

102

103

3

3

3

10 3 32

30 10 32

2 10

0 3 2

1 2 12

2 1 22

3 0 32

4 1

1 4 8

x y

y x

y x

yx

y x

y x

x m

x m

x m

m y

m y

y m

m x y sol

m x y sol

m x y sol

m x y No

m x No

m x y No

+ == −= + − −

= + −

= + −

− = −

− =− = −

= −

− + =− + =

= += = == = == = == = = →= = − →= − = = − →

13. 13. 13. 13. 13.

( )

( )

9 4 86

4 86 9

86 9

484

4

2

4

8

4 4

21 22

4

21 22

42

42 4

4 2

2 4

9 2 4 4 86

18 36 4 86

4 17 9

417 9

2 4

0 2 17

1 2

1 6 8

x y

y x

yx

yx x

y xx

y xx

xm

x m

x m

x m

m y

m y

ym

y m

x m

m x y sol

m x No

m x y sol

m

+ == −

=−

= + − −

= − +−

− + =−

−=

− =− = −

= −

− + =− + =

=+

= += −= = == = − →= − = == − = = − →2 10 1x y No

14. 14. 14. 14. 14. 9 11 207

9 207 11

207 119

1989

99

99

29

229 2

9

229 2

99 2

945 10

9459

99 9

459

45 9

9 45

45 9

x y

x y

xy

xy y

x yy

x yy

yEntero

yEntero

y y

ym

y m

y m

y m

+ == −

=−

= + − −

= − + −

− + = −

− →

− →

− −

− =

− =− = −

= −

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

14. Continuación14. Continuación14. Continuación14. Continuación14. Continuación

( )

( )

9 11 45 9 207

9 495 99 207

9 11 32

911 32

45 9

11 32

0 32

1 21

2 10

3 1 18

4 12 9

5 23 0

6 34 9

1 43

x m

x m

xm

x m

y m

x m

m x No

m x No

m x No

m x y sol

m x y sol

m x y No

m x y No

m x No

+ − =+ − =

=−

= −= −= −= = − →= = − →= = − →= = == = == = = →= = = − →= − = − →

15. 15. 15. 15. 15.

( )

( )

11 12 354

11 354 12

354 12

11352

11

2

11

11

11 11

322

11

322

112

112 11

11 2

2 11

11 12 2 11 354

11 24 132 354

11 30 12

1130 12

2 11

0 30 2

1 42 9

1 18

x y

x y

xy

xy y

x yy

x yy

ym

y m

y m

y m

x m

x m

xm

x m

y m

m x y sol

m x y No

m x y

+ == −

=−

= + − −

= − +−

− + =−

−=

− =− = −

= −

+ − =+ − =

=+

= += −= = == = = − →= − = == − = == − = − →

13

2 6 24

3 6

sol

m x y sol

m x No

16. 16. 16. 16. 16.

( )

( )

10 13 294

10 294 13

294 13

10290

10

4

10

10

10

3

10

294 3

104 3

1028 21

1028

10

20

10 10

228

1028

1028 10

10 28

28 10

10 13 28 10 294

10 364 130 294

10 13 7

1013 7

28 10

0

x y

x y

xy

xy y

x yy

yEntero

yEntero

y y

yy

ym

y m

y m

y m

x m

x m

xm

x m

y m

m x

+ == −

=−

= + − −

− + =−

−→

−→

− −

− +−

−=

− =− = −

= −

+ − =+ − =

=−

= −= −= = − 7

1 6 18

2 19 8

3 32 2

1 20

→= = == = == = = − →= − = − →

No

m x y sol

m x y sol

m x y No

m x No

17. 17. 17. 17. 17. 11 8 300

8 300 11

300 118

2968

48

38

88

374 3

8

374 3

84 3

812 9

8

x y

y x

yx

yx x

y xx

y xx

xEntero

xEntero

+ == −

=−

= + − −

= − +−

− + = −

− →

− →

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

ContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuación

17. 17. 17. 17. 17.

( )

( )

12

8

8

8 812

812 8

8 12

12 8

11 12 8 8 300

132 88 8 300

8 21 11

821 11

12 8

0 12 21

1 4 32

2 4

1 20 10

2 28 1

− −

−=

− =− = −

= −

− + =− + =

=+

= += −= = == = == = − →= − = == − = = − →

x x

xm

x m

x m

x m

m y

m y

ym

y m

x m

m x y sol

m x y sol

m x No

m x y sol

m x y No

18. 18. 18. 18. 18.

( )

( )

21 25 705

21 705 25

705 25

21693

21

12

21

21

21

4

21

3312 4

2112 4

21192 64

21192

21

63

21 21

3192

21192

21192 21

21 192

192 21

21 25 192 21 705

21 4 800 525 705

21 25 195

2125 195

x y

x y

xy

xy y

x yy

yEntero

yEntero

y y

yy

ym

y m

y m

y m

x m

x m

xm

x m

+ == −

=−

= + − −

= − +−

−→

−→

− −

− +−

−=

− =− = −

= −

+ − =+ − =

=−

= −

.

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

18. Continuación18. Continuación18. Continuación18. Continuación18. Continuación

y m

m x No

m x No

m x y sol

m x y sol

m x y No

m x No

= −= =− →= =− →= = == = == = =− →= − = − →

192 21

0 195

7 20

8 5 24

9 30 3

10 55 18

1 220

19. 19. 19. 19. 19.

( )

( )

3 4 5

3 5 4

5 4

32

3

3

3

3

3 3

12

3

12

32

32 3

3 2

3 4 3 2 5

3 12 8 5

3 4 1

34 1

3 2

1 3 1

2 7 4

3 11 7

x y

x y

xy

xy y

x yy

x yy

ym

y m

y m

x m

x m

xm

x m

y m

m x y sol

m x y sol

m x y sol

− == +

=+

= + + +

= + ++

− − =+

+=

+ == −

− − =− + =

=−

= −= −= = == = == = =

20. 20. 20. 20. 20. 5 8 1

5 1 8

1 85

1 85

2 165

25

155 5

32

52

5

x y

x y

xy

yEntero

yEntero

y y

yy

ym

− == +

=+

+→

+→

+ +

+ +

+ =

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

20. Continuación20. Continuación20. Continuación20. Continuación20. Continuación

( )

( )

2 5

5 2

5 8 5 2 1

5 40 16 1

5 8 3

58 3

5 2

1 5 3

2 13 8

3 21 13

+ == −

− − =− + =

=−

= −= −= = == = == = =

y m

y m

x m

x m

xm

x m

y m

m x y sol

m x y sol

m x y sol

21. 21. 21. 21. 21.

( )

( )

7 13 43

7 43 13

43 13

742

7

1

7

7

7

6

7

61 6

7

61 6

71 6

76 36

76

7

35

7 7

56

76

76 7

7 6

7 13 7 6 43

7 91 78 43

7 13 5

713 5

7 6

1 8

x y

x y

xy

xy y

x yy

x yy

yEntero

yEntero

y y

yy

ym

y m

y m

x m

x m

xm

x m

y m

m x

− == +

=+

= + + +

= + ++

− − =+

+→

+→

+ +

++

+=

+ == −

− − =− + =

=−

= −= −= = y sol

m x y sol

m x y sol

== = == = =

1

2 21 8

3 34 15

22. 22. 22. 22. 22.

( )

11 12 0

11 12

12

111111 11

11

1111

11 12 11 0

11 132 0

12

11

1 12 11

2 24 22

3 36 33

x y

x y

xy

xy y

x yy

ym

y m

x m

x m

x m

y m

m x y sol

m x y sol

m x y sol

− ==

=

= +

− =

=

=− =

− ==

== = == = == = =

23. 23. 23. 23. 23.

( )

( )

14 17 32

14 32 17

32 17

1428

14

4

14

14

14

3

14

24 3

144 3

1420 15

1414

14

6

14

14

14 14

16

146

146 14

14 6

14 17 14 6 32

14 238 102 32

14 17 5

1417 5

14 6

1 12 8

x y

x y

xy

xy y

x yy

yEntero

yEntero

y y

yy

ym

y m

y m

x m

x m

xm

x m

y m

m x y sol

m

− == +

=+

= + + +

= + ++

+→

+→

+ + +

+ ++

+=

+ == −

− − =− + =

=−

= −= −= = == = == = =

2 29 22

3 46 36

x y sol

m x y sol

24. 24. 24. 24. 24.

( )

( )

7 11 83

7 83 11

83 11

777

7

6

7

7

7

4

7

116 4

7

116 4

76 4

712 8

77

7

5

7

7

7 7

15

75

75 7

7 5

7 11 7 5 83

7 77 55 83

7 11 4

711 4

7 5

x y

x y

xy

xy y

x yy

x yy

yEntero

yEntero

y y

yy

ym

y m

y m

x m

x m

xm

x m

y m

m

− == +

=+

= + + +

= + ++

− − =+

+→

+→

+ + +

+ ++

+=

+ == −

− − =− + =

=+

= += −=1 15 2

2 26 9

3 37 16

x y sol

m x y sol

m x y sol

= == = == = =

25. 25. 25. 25. 25. 8 13 407

8 407 13

407 138

4008

78

88

58

507 5

8

507 5

87 5

835 25

8328

38

248 8

x y

x y

xy

xy y

x yy

x yy

yEntero

yEntero

y y

− == +

= +

= + + +

= + + +

− − = +

+→

+ →

+ + +

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

25. Continuación25. Continuación25. Continuación25. Continuación25. Continuación

( )

( )

4 33

83

83 8

8 3

8 13 8 3 407

8 104 39 407

8 13 46

813 46

8 3

1 59 5

2 72 13

3 85 21

+ ++

+=

+ == −

− − =− + =

=+

= += −= = == = == = =

yy

ym

y m

y m

x m

x m

xm

x m

y m

m x y sol

m x y sol

m x y sol

26. 26. 26. 26. 26.

( )

( )

20 23 411

20 411 23

411 23

20400

20

11

20

20

20

3

20

2011 3

20

2011 3

2011 3

2077 21

2060

20

17

20

20

20 20

317

2017

2017 20

20 17

20 23 20 17 411

20 460 391 411

20 23 1

2020 17

23

y x

y x

yx

yx x

y xx

y xx

xEntero

xEntero

x x

xx

xm

x m

x m

y m

y m

ym

x m

y m

− == +

=+

= + + +

= + ++

− − =+

+→

+→

+ + +

+ ++

+=

+ == −

− − =− + =

=+

= −= +1

1 3 24

2 23 47

3 43 70

m x y sol

m x y sol

m x y sol

= = == = == = =

27. 27. 27. 27. 27.

( )

( )

5 7 312

5 312 7

312 7

5310

5

2

5

5

5

2

5

622 2

5

622 2

52 2

56 6

55

5

1

5

5

5 5

11

51

51 5

5 1

5 7 5 1 312

5 35 7 312

5 7 61

57 61

5 1

y x

y x

yx

yx x

y xx

y xx

xEntero

xEntero

x x

xx

xm

x m

x m

y m

y m

ym

y m

x m

m

− == +

=+

= + + +

= + ++

− − =+

+→

+→

+ + +

+ ++

+=

+ == −

− − =− + =

=+

= += −=1 4 68

2 9 75

3 14 82

x y

m x y

m x y

= == = == = =

EJERCICIO 174

1. 1. 1. 1. 1. x Billetes

y Billetes

x y

x y

xy

xy y

x yy

x yy

yEntero

→→+ =

= −

= −

= + − −

= − + −

− + =−

−→

$

$

2

5

2 5 42

2 42 5

42 52

402

22

32

22

202 3

2

202 3

22 3

2ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

1. Continuación1. Continuación1. Continuación1. Continuación1. Continuación

( )

( )

2

2

2

2 22

22

22 2

2 2

2 2

2 5 2 2 42

2 10 10 42

2 5 16

25 16

2 2

0 16 2

1 21 0

2 26 2

1 11 4

2 6 6

3 1 8

4

− −

− +−

−=

− =− = −

= −

+ − =+ − =

=+

= += −= = == = = →= = = − →= − = == − = == − = == − =

y y

yy

ym

y m

y m

y m

x m

x m

xm

x m

y m

m x y sol

m x y No

m x y No

m x y sol

m x y sol

m x y sol

m x − →4

1 2 8 5

6 2 6 5

11 2 4 5

16 2 2 5

No

de y de

de y de

de y de ó

de y de

$ $

$ $

$ $

$ $

2. 2. 2. 2. 2.

( )

( )

x Monedas de

y Monedas de

x y

x y

xy

xy y

x yy

x y y

y m

y m

y m

x m

x m

xm

x m

→→+ =

= −

=−

= + − −

= − +−

− + = −− =− = −

= −

+ − =+ − =

=+

= +

$

$

5

10

5 10 45

5 45 10

45 10

540

5

5

5

5

5

5

5

85 5

58 1

1

1

1

5 10 1 45

5 10 10 45

5 2 7

52 7

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuacióny m

m x y sol

m x y No

m x y sol

m x y sol

m x y sol

m x No

de y de

de y de

de y de

de y de

= −= = == = = →= − = ==− = == − = == − = − →

1

0 7 1

1 9 0

1 5 2

2 3 3

3 1 4

4 1

1 5 4 10

3 5 3 10

5 5 2 10

7 5 1 10

$ $

$ $

$ $

$ $

3. 3. 3. 3. 3.

( )

( )

5 3 62

3 62 5

62 5

360

3

2

3

3

3

2

3

202 2

3

202 2

32 2

310 10

39

3

1

3

9

3 3

3 31

31

31 3

3 1

1 3

5 1 3 3 62

5 15 3 62

3 5 19

35 19

x y

y x

yx

yx x

y xx

y xx

xEntero

xEntero

x x

xx

xm

x m

x m

x m

m y

m y

ym

y m

x

+ == −

=−

= + − −

= − +−

− + =−

−→

−→

+ − −

− +−

−=

− =− = −

= −

− + =− + =

=+

= += −= = == = − →= − = == − = == − = =

1 3

0 1 19

1 2

1 4 14

2 7 9

3 10 4

1 19 4 14 7 9

10 4

m

m x y sol

m x No

m x y sol

m x y sol

m x y sol

y y y

y

; ; ;

4. 4. 4. 4. 4.

( )

x Sombreros

y Pares de zapatos

x y

x y

xy

xy y

x yy

x yy

yEntero

yEntero

y y

yy

ym

y m

y m

y m

x m

x m

x

→→+ =

= −

=−

= + − −

= − +−

− + =−

−→

−→

+ − −

− +−

−=

− =− = −

= −

+ − =+ − =

=

8 15 340

8 340 15

340 15

8336

8

4

8

8

8

7

8

424 7

8

424 7

84 7

828 49

824

8

4

8

48

8 8

3 64

84

84 8

8 4

4 8

8 15 4 8 340

8 60 120 340

8 15( )m

x m

y m

m x y sol

m x y No

m x y sol

m x y sol

m x No

sombreros y pares dezap

sombreros y pares dezap

sombreros y pares dezap

+

= += −= = == = = − →= − = == − = == − = − →

35

815 35

4 8

0 35 4

1 50 4

1 20 12

2 5 20

3 10

5 20

20 12

35 4

.

.

.

5. 5. 5. 5. 5. x Metros de lana

y Metros de seda

x y

Si multiplico por la

ecuación inicial no se

altera Luego

x y

x y

xy

xy y

x yy

x yy

yEntero

yEntero

y y

yy

ym

y m

y m

y

→→

+ =→

+ == −

=−

= + − −

= − +−

− + =−

−→

−→

+ − −

− +−

−=

− =− = −

1 50 2 50 42

2

3 5 84

3 84 5

84 5

381

3

3

3

3

3

2

3

273 2

3

273 2

33 2

315 10

312

3

3

3

9

3 3

4 33

33

33 3

3 3

, ,

.

( )

( )

= −

+ − =+ − =

=+

= += −= = == = = →= − = == − = == − = == − = == − = − →

3 3

3 5 3 3 84

3 15 15 84

3 5 23

35 23

3 3

0 23 3

1 28 0

1 18 6

2 13 9

3 8 12

4 3 15

5 2

3 15

8 12

13 9

18

m

x m

x m

xm

x m

y m

m x y sol

m x y No

m x y sol

m x y sol

m x y sol

m x y sol

m x No

m de lana y m de seda

m de lana y m de seda

m de lana y m de seda

m de lana y m de seda

m de lana y m de seda

6

23 3

6. 6. 6. 6. 6.

( )

( )

x niños

y adultos

x y

x y

x y

xy

xy y

x yy

x yy

yEntero

yEntero

y y

yy

ym

y m

y m

y m

x m

x

→→

+ =+ =

= −

=−

= + − −

= − +−

− + =−

−→

−→

+ − −

− +−

−=

− =− = −

= −

+ − =+ −

0 45 17 20

9 20 340

9 340 20

340 20

9333

9

7

9

18

9

2

9

37 27 2

9

37 27 2

97 2

998 28

990

9

8

9

27

9 9

10 38

98

98 9

9 8

8 9

9 20 8 9 340

9 160

,

( )180 340

9 20 20

920 20

8 9

0 20 8

1 0 1

1 0 17

2 20

20 8

m

xm

x m

y m

m x y sol

m x y No

m x y No

m x No

niños y adultos

=

=+

= += −= = == = =− →= − = = →= − = − →

7. 7. 7. 7. 7.

( )

x Caballos

y Vacas

x y

x y

y x

yx

yx x

→→

+ = ÷+ =

= −

=−

= + − −

460 440 41 000 20

23 22 2 050

22 2 050 23

2 050 23

222 046

22

4

22

22

22 22

.

.

.

.

.

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

7. Continuación7. Continuación7. Continuación7. Continuación7. Continuación

( )

( )

y xx

xm

x m

x m

x m

m y

m y

ym

y m

x m

m x y sol

m x No

m x y sol

m x y sol

m x y sol

m x y No

caballos y vacas

= − +−

−=

− =− = −

= −

− + =− + =

=+

= += −= = == = − →= − = == − = == − = == − = = − →

934

224

224 22

22 4

4 22

23 4 22 22 2 050

92 506 22 2 050

22 23 89

2223 89

4 22

0 4 89

1 18

1 26 66

2 48 43

3 70 20

4 92 3

4 89

26

.

.

caballos y vacas

caballos y vacas

caballos y vacas

66

48 43

70 20

8. 8. 8. 8. 8.

( )

( )

3 3 5 5

3 5 2

3 2 5

2 5

32 5

34 10

33

3

1

3

9

3 3

1 31

31

31 3

3 1

3 5 3 1 2

3 15 5 2

3 5 1

35 1

x y

x y

x y

xy

yEntero

yEntero

y y

yy

ym

y m

y m

x m

x m

xm

x m

+ = +− =

= +

=+

+→

+→

+ + +

+ ++

+=

+ == −

− − =− + =

=−

= −ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

8. Continuación8. Continuación8. Continuación8. Continuación8. Continuación

y m

m x No

m x y sol

Los N s son y

= −= =− →= = =

3 1

0 1

1 4 2

4 2º

9. 9. 9. 9. 9.

( )

( )

( )

x Monedas de

y Monedas de

x y

x y

y x

yx

yx x

y xx

y xx

xm

x m

x m

x m

m y

m y

ym

y m

x

→→

+ =+ =

= −

=−

= + − −

= − +−

− + =−

−=

− =− = −

= −

− + =− + =

=+

= += −

0 25

0 10

0 25 0 10 2 10 100

25 10 210

10 210 25

210 25

10200

10

10

10

20

10

5

10

20 210 5

10

20 22

22

22 2

2 2

2 2

25 2 2 10 210

50 50 10 210

10 5 16

105 16

2

,

,

, , ,

2

0 2 16

1 0

1 4 11

2 6 6

3 8 1

4 10 4

2 0 25 16 0 10

4 0 25 11 0 10

6 0 25 6 0 10

8 0 25 1 0 10

m

m x y sol

m x No

m x y sol

m x y sol

m x y sol

m x y No

mon de y mon de

mon de y mon de

mon de y mon de

mon de y mon de

= = == = →= − = == − = == − = == − = = − →

. , . ,

. , . ,

. , . ,

. , . ,

EJERCICIO 175

21. 21. 21. 21. 21. x y

x y

+ = − == − =

1 0 4 0

1 4

Intersección Intersección Intersección Intersección Intersección ( )→ −1 4,

22. 22. 22. 22. 22. 3 2 5

3 2 0 0 5

1 1 5 012

x y con x y

x y x y

x y x y

= + =− = = =

= = = =

23. 23. 23. 23. 23. x y con x y

x y x y

x y x y

− = + == =− = == = = =

2 3 18

0 2 0 18

2 0 6 0

Intersección Intersección Intersección Intersección Intersección ( )→ 5 3,

24. 24. 24. 24. 24. 2 0 5 4 26

1 2 0 6

2 4

12

x y con x y

x y x y

x y

− = + = −= = = =−

= − = −

Escala 1:2 Escala 1:2 Escala 1:2 Escala 1:2 Escala 1:2

Intersección Intersección Intersección Intersección Intersección ( )→ 2 3,

y = 4y = 4y = 4y = 4y = 4

x =

- 1

x =

- 1

x =

- 1

x =

- 1

x =

- 1

(-1,

4)(-

1,4)

(-1,

4)(-

1,4)

(-1,

4)

00000

3x =

2y

3x =

2y

3x =

2y

3x =

2y

3x =

2y

x + y = 5

x + y = 5

x + y = 5

x + y = 5

x + y = 5

(2,3

)(2

,3)

(2,3

)(2

,3)

(2,3

)

00000

x - y

= 2

x - y

= 2

x - y

= 2

x - y

= 2

x - y

= 2

3x +

y =

18

3x +

y =

18

3x +

y =

18

3x +

y =

18

3x +

y =

18

(5,3

)(5

,3)

(5,3

)(5

,3)

(5,3

)

00000

2x -

y =

0

2x -

y =

0

2x -

y =

0

2x -

y =

0

2x -

y =

0

5x + 4y = - 26

5x + 4y = - 26

5x + 4y = - 26

5x + 4y = - 26

5x + 4y = - 26

(-2

,-4

)(-

2,-

4)

(-2

,-4

)(-

2,-

4)

(-2

,-4

)

00000

IntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersección ( )→ − −2 4,

25. 25. 25. 25. 25. 5 6 9 4 3 24

0 1 0 8

3 4 3 4

12

x y con x y

x y x y

x y x y

+ =− − == =− = =−= =− = =−

26. 26. 26. 26. 26. x con x y

x x y

x y

+ = − = −= − = =

= − = −

5 0 6 7 9

5 2 3

5 3

27. 27. 27. 27. 27. 3 8 28 5 2 30

4 2 0 15

0 3 2 1012

x y con x y

x y x y

x y x y

+ = − =−= = = == = =− =

28. 28. 28. 28. 28. y con x y

y x y

x y

− = + == = =

= =

4 0 7 2 22

4 0 11

2 4

Escala 1:2Escala 1:2Escala 1:2Escala 1:2Escala 1:2

5x + 6y = - 9

5x + 6y = - 9

5x + 6y = - 9

5x + 6y = - 9

5x + 6y = - 9

4x -

3y =

24

4x -

3y =

24

4x -

3y =

24

4x -

3y =

24

4x -

3y =

24

5x -

2y

= -3

0

5x -

2y

= -3

0

5x -

2y

= -3

0

5x -

2y

= -3

0

5x -

2y

= -3

0

3x + 8y = 28

3x + 8y = 28

3x + 8y = 28

3x + 8y = 28

3x + 8y = 28

(3,-4)(3,-4)(3,-4)(3,-4)(3,-4)

(-4,5

)(-4

,5)

(-4,5

)(-4

,5)

(-4,5

)

Intersección Intersección Intersección Intersección Intersección ( )→ −3 4,IntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersección ( )→ − 4 5,

6x -

7y =

-9

6x -

7y =

-9

6x -

7y =

-9

6x -

7y =

-9

6x -

7y =

-9

x +

5 =

0x

+ 5

= 0

x +

5 =

0x

+ 5

= 0

x +

5 =

0

7x + 2y = 22

7x + 2y = 22

7x + 2y = 22

7x + 2y = 22

7x + 2y = 22

y - 4 = 0y - 4 = 0y - 4 = 0y - 4 = 0y - 4 = 0

(-5,-3)(-5,-3)(-5,-3)(-5,-3)(-5,-3)

(2,4

)(2

,4)

(2,4

)(2

,4)

(2,4

)

00000

00000

00000

00000

IntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersección ( )→ − −5 3, IntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersección ( )→ 2 4,

29. 29. 29. 29. 29. 6 5 4 3 38

6 5 0 2 10

5 6 1 14

x y con x y

x y x y

x y x y

= − − = −+ = =− =

= =− = =

30. 30. 30. 30. 30. 5 2 14 8 5 17

0 7 1 5

2 2 4 3

x y con x y

x y x y

x y x y

− =− − =−= = = == − = = − = −

EJERCICIO 176

1. 1. 1. 1. 1.

( )

( )

x y x y

x y x y

xy

yy

y y

y y

y

y

x

x

x

sol x y

+ = − == − = +

=+

− =+

− = +− = +

==

+ =+ =

== =

6 27 7 3 9

27 6 7 9 3

9 3

7

27 69 3

7

7 27 6 9 3

189 42 9 3

180 45

4

6 4 27

24 27

3

3 4

;

:

2. 2. 2. 2. 2.

( ) ( )

( )

3 2 2 5 8 60

3 2 2 5 60 8

2 2

3

60 8

52 2

3

60 8

5

5 2 2 3 60 8

10 10 180 24

170 34

5

3 2 5 2

3 10 2

3 12

4

4 5

x y x y

x y x y

xy

xy

y y

y y

y y

y

y

x

x

x

x

sol x y

− = − + = −= − + = − −

= −−

= −+

−−

= −+

− = +− = +− =

− =

− − = −+ = −

= −= −

= − = −

;

:

3. 3. 3. 3. 3.

( )

( )

3 5 7 2 4

5 7 3 4 2

7 3

54 2

7 3

54 2

7 3 5 4 2

7 3 20 10

13 13

1

2 1 4

2 4

2

2

1 2

x y x y

y x y x

yx

y x

xx

x x

x x

x

x

y

y

y

y

sol x y

+ = − =−= − − = − −

=−

= +

−= +

− = +− = +− =

− =

− − = −− − = −

− = −=

= − =

;

:

Escala 1:2Escala 1:2Escala 1:2Escala 1:2Escala 1:2

4x -

3y =

- 3

8

4x -

3y =

- 3

8

4x -

3y =

- 3

8

4x -

3y =

- 3

8

4x -

3y =

- 3

8

6x = - 5y

6x = - 5y

6x = - 5y

6x = - 5y

6x = - 5y

5x -

2y

= -1

4

5x -

2y

= -1

4

5x -

2y

= -1

4

5x -

2y

= -1

4

5x -

2y

= -1

48x

- 5

y =

-17

8x -

5y

= -1

7

8x -

5y

= -1

7

8x -

5y

= -1

7

8x -

5y

= -1

7

(-5,6)(-5,6)(-5,6)(-5,6)(-5,6)

(-4,-3)(-4,-3)(-4,-3)(-4,-3)(-4,-3)

0000000000

Intersección Intersección Intersección Intersección Intersección ( )→ − −4 3,Intersección Intersección Intersección Intersección Intersección ( )→ − 5 6,

4. 4. 4. 4. 4.

( ) ( )

7 4 5 9 8 13

7 5 4 9 13 8

5 4

7

13 8

9

9 5 4 7 13 8

45 36 91 56

92 46

46

92

1

2

9 81

213

9 4 13

9 9

1

11

2

x y x y

x y x y

xy

xy

y y

y y

y

y

x

x

x

x

sol x y

− = + == + = −

=+

=−

+ = −+ = −

=

= =

+

=

+ ===

= =

;

:

5. 5. 5. 5. 5.

( ) ( )

9 16 7 4 3 0

16 7 9 4 3

7 9

16

3

4

4 7 9 16 3

28 36 48

28 84

28

84

1

34 1 0

4 1

1

41

3

1

4

x y y x

y x y x

yx

yx

x x

x x

x

x

y

y

y

sol x y

+ = − == − =

=−

=

− =− =

=

= =

− ==

=

= =

;

:

6. 6. 6. 6. 6.

( ) ( )

( )

14 11 29 13 8 30

14 11 29 8 30 13

11 29

14

13 30

8

8 11 29 14 13 30

88 232 182 420

188 94

2

13 2 8 30

26 8 30

8 4

1

21

22

x y y x

x y x y

xy

xy

y y

y y

y

y

x

x

x

x

sol x y

− = − − == − − = −

=−

=−

− = −− = −

==

− =− =− =

= −

= − =

;

:

7. 7. 7. 7. 7.

( ) ( )

( )

15 11 87

15 11 87

11 87

15

12 5 27

12 27 5

27 5

12

12 11 87 15 27 5

132 1 044 405 75

207 1 449

1 449

2077

12 5 7 27

12 35 27

12 8

8

12

2

32

37

x y

x y

xy

x y

x y

xy

y y

y y

y

y

x

x

x

x

sol x y

− = −= −

=−

− − = −= −

=−

− = −− = −

=

= =

+ =+ =

= −

= − = −

= − =

.

.

.

:

8. 8. 8. 8. 8.

( ) ( )

( )

7 9 42

9 42 7

42 7

9

12 10 4

10 4 12

4 12

10

10 42 7 9 4 12

420 70 36 108

38 456

12

12 12 10 4

144 10 4

10 140

14

12 14

x y

y x

yx

x y

y x

yx

x x

x x

x

x

y

y

y

y

sol x y

+ == −

=−

+ = −= − −

= −+

− = − +− = − −

= −= −

− + = −− + = −

==

= − =:

9. 9. 9. 9. 9.

( ) ( )

6 18 85 24 5 5

18 6 85 5 5 24

6 85

18

5 24

5

5 6 85 18 5 24

30 425 90 432

335 402

335

402

5

6

65

618 85

5 18 85

18 90

5

5

65

x y x y

y x y x

yx

yx

x x

x x

x

x

y

y

y

y

sol x y

− = − − = −− = − − − =− −

=+

=+

+ = ++ = +

=

= =

− = −

− = −− = −

=

= =

;

:

EJERCICIO 177

1. 1. 1. 1. 1.

( )

( )

x y x y

x y

y y

y y

y

y

x

x

x

sol x y

+ = − == −

− − =− − =

− = −=

+ =+ =

== =

3 6 5 2 13

6 3

5 6 3 2 13

30 15 2 13

17 17

1

3 1 6

3 6

3

3 1

;

:

2. 2. 2. 2. 2.

( )

5 7 1 3 4 24

5 1 7

1 7

5

31 7

54 24

3 21

54 24

3 21 20 120

41 123

3

3 4 3 24

3 12 24

3 12

4

4 3

x y x y

x y

xy

yy

yy

y y

y

y

x

x

x

x

sol x y

+ = − − + =−= − −

= −+

+

+ = −

++ = −

+ + = −= −= −

− + − =−− − = −

− = −=

= = −

;

:

3. 3. 3. 3. 3.

( )

( )

3 4 8 8 9 77

4 8 3

8 3

4

8 98 3

477

32 9 8 3 308

32 72 27 308

59 236

4

3 4 4 8

12 4 8

4 20

5

4 5

x y x y

y x

yx

xx

x x

x x

x

x

y

y

y

y

sol x y

+ = − =−= −

=−

−−

= −

− − = −− + = −

= −= −

− + =− + =

==

= − =

;

:

4. 4. 4. 4. 4.

( )

x y x y

y x

yx

xx

x x

x x

x

x

y

y

y

sol x y

− = − + == +

=+

−+

=

− + =− − =

− == −

− − =− =

= −= − = −

5 8 7 8 25

8 25 7

25 7

8

525 7

88

8 5 25 7 64

8 125 35 64

27 189

7

7 5 8

5 15

3

7 3

;

:

5. 5. 5. 5. 5.

( )

15 11 32 7 9 8

7 8 9

8 9

7

15 118 9

732

105 11 8 9 224

105 88 99 224

204 136

136

204

2

3

152

311 32

10 11 32

11 22

2

2

32

x y y x

y x

yx

xx

x x

x x

x

x

y

y

y

y

sol x y

+ = − == +

=+

++

=

+ + =+ + =

=

= =

+ =

+ ===

= =

;

:

6. 6. 6. 6. 6.

( )

10 18 11 16 9 5

10 11 18

11 18

10

1611 18

109 5

16 11 18 90 50

176 288 90 50

378 126

126

378

1

3

10 181

311

10 6 11

10 5

1

21

2

1

3

x y x y

x y

xy

yy

y y

y y

y

y

x

x

x

x

sol x y

+ = − − = −= − −

= −+

−+

− = −

− + − =−− − − =−

− =

= − = −

+ −

= −

− = −= −

= −

= − = −

;

:

7. 7. 7. 7. 7. 4 5 5 4 10 7

10 7 4

7 4

10

4 57 4

105

8 7 4 10

4 3

3

4

43

45 5

3 5 5

5 2

2

53

4

2

5

x y x y

y x

yx

xx

x x

x

x

y

y

y

y

sol x y

+ = − − =−= −

=−

+−

=

+ − ==

=

+ =

+ ==

=

= =

;

:

8. 8. 8. 8. 8.

( )

32 25 13 16 15 1

16 1 15

1 15

16

321 15

1625 13

2 1 15 25 13

2 30 25 13

2 55 13

55 11

1

5

16 151

51

16 3 1

16 4

1

41

4

1

5

x y x y

x y

xy

yy

y y

y y

y

y

y

x

x

x

x

sol x y

− = + == −

=−

−

− =

− − =− − =

− =− =

= −

+ −

=

− ==

=

= = −

;

:

9. 9. 9. 9. 9.

( )

( )

11 13 163 8 7 94

11 163 13

163 13

11

8163 13

117 94

8 163 13 77 1 034

1 304 104 77 1 034

27 270

10

11 13 10 163

11 130 163

11 33

3

3 10

x y x y

x y

xy

yy

y y

y y

y

y

x

x

x

x

sol x y

− = − − + == − +

= −−

−

+ =

− + =− + =

− = −=

− = −− = −

= −= −

= − =

;

.

. .

:

EJERCICIO 178

1. 1. 1. 1. 1. ( )

( )

( )

6 5 9 2

4 3 13 3

12 10 18

12 9 39

19 57

3

4 3 3 13

4 9 13

4 4

1

1 3

x y

x y

x y

x y

y

y

x

x

x

x

sol x y

− = −

+ = −

− = −− − = −

− = −=

+ =+ =

==

= =:

2. 2. 2. 2. 2. ( )

( )

7 15 1

6 8 7

7 15 1

7 42 56

57 57

1

7 15 1 1

7 15 1

7 14

2

2 1

x y

x y

x y

x y

y

y

x

x

x

x

sol x y

− =− − =

− =− − =

− == −

− − =+ =

= −= −

= − = −:

3. 3. 3. 3. 3. ( )( )

( )

3 4 41 3

11 6 47 2

9 12 123

22 12 94

31 217

7

3 7 4 41

21 4 41

4 20

5

7 5

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

y

y

sol x y

− =+ =

− =+ =

==

− =− =− =

= −= = −:

4. 4. 4. 4. 4. ( )

( )

( )

9 11 14 4

6 5 34 6

36 44 56

36 30 204

74 148

2

6 5 2 34

6 10 34

6 24

4

4 2

x y

x y

x y

x y

y

y

x

x

x

x

sol x y

+ = −

− = − −

+ = −− + =

==

− = −− = −

= −= −

= − =:

5. 5. 5. 5. 5.

( )

( )

10 3 36

2 5 4 5

10 3 36

10 25 20

28 56

2

10 3 2 36

10 30

3

3 2

x y

x y

x y

x y

y

y

x

x

x

sol x y

− =

+ = − −

− =− − =

− == −

− − ===

= = −:

6. 6. 6. 6. 6. ( )

( )

( )

11 9 2 5

13 15 2 3

55 45 10

39 45 6

16 16

1

11 1 9 2

11 9 2

9 9

1

1 1

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

y

y

sol x y

− =

− = − −

− =− + =

==

− =− =− = −

== =:

7. 7. 7. 7. 7. ( )

( )

( )

18 5 11 2

12 11 31 3

36 10 22

36 33 93

23 115

5

18 5 5 11

18 25 11

18 36

2

2 5

x y

x y

x y

x y

y

y

x

x

x

x

sol x y

+ = −

+ = −

+ = −− − = −

− = −=

+ = −+ = −

= −= −

= − =:

8. 8. 8. 8. 8. ( )( )

( )

9 7 4 11

11 13 48 9

99 77 44

99 117 432

194 388

2

9 7 2 4

9 14 4

9 18

2

2 2

x y

x y

x y

x y

y

y

x

x

x

x

sol x y

+ = − −

− = −

− − =− = −

− = −=

+ = −+ = −

= −= −

= − =:

9. 9. 9. 9. 9. ( )( )

( )

12 14 20 7

14 12 19 6

84 98 140

84 72 114

26 26

1

12 14 1 20

12 14 20

12 6

1

21

21

x y

x y

x y

x y

y

y

x

x

x

x

sol x y

− =− + = −

− =− + = −

− == −

− − =+ =

=

=

= = −:

10. 10. 10. 10. 10. ( )

( )

15 40 8

19 8 236

120 8 320

19 8 236

139 556

4

15 4 40

60 40

20

20

4 20

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

y

y

sol x y

− =+ =

− =+ =

==

− =− =− = −

== =:

11. 11. 11. 11. 11. ( )

( )

( )

36 11 14 2

24 17 10 3

72 22 28

72 51 30

29 58

2

36 11 2 14

36 22 14

36 36

1

1 2

x y

x y

x y

x y

y

y

x

x

x

x

sol x y

− = −

− = −

− = −− + = −

= −= −

− − = −+ = −

= −= −

= − = −:

12. 12. 12. 12. 12. ( )

( )

( )

12 17 104 5

15 19 31 4

60 85 520

60 76 124

161 644

4

12 17 4 104

12 68 104

12 36

3

3 4

x y

x y

x y

x y

y

y

x

x

x

x

sol x y

− =

+ = − −

− =− − =

− == −

− − =+ =

==

= = −:

EJERCICIO 179

1. 1. 1. 1. 1.

( )

( )

( )

8 5 7 9

8 7 9 5

8 7 4

6 3 6

6 3 6

8 7 4 3

6 3 6 4

24 21 12

24 12 24

9 36

4

6 3 4 6

6 12 6

6 18

3

3 4

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

y

y

x

x

x

x

sol x y

− = −− = − +− = −

= +− =

− = −

− = −

− = −− + =−

− = −=

− =− =

==

= =:

2. 2. 2. 2. 2.

( )

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

y

y

x

x

sol x y

− = +− =− = −− = −

− =

− = − −

− =− + =

==

− ==

= =

1 1

2

3 3 7

3 4

2

3 4 1

2

3 4

2 6

3

3 2

5

5 3:

3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )

( ) ( )

( )

3 2 2 2 5 7

3 6 2 2 10 7

3 2 6 7 2 10

3 2 6 7 2 10

3 6 2 7 10 2

6 2

3

10 2

7

7 6 2 3 10 2

42 14 30 6

8 72

9

7 2 9 10

7 18 10

7 28

4

4 9

x y y x

x y y x

x y x y

x y x y

x y x y

xy

xy

y y

y y

y

y

x

x

x

x

sol x y

+ = + =+ = + =

− = − − =− = − − =

= − + = +

= −−

=+

− − = +− + = +

==

− =− =

==

= =

;

:

4. 4. 4. 4. 4. ( )

( )

( )

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

y y

y y

y

y

x

x

x

sol x y

− = +− = +

− == +

+ = −+ = −

+ = −= − −

+ = − −− − − =

− == −

− − =+ =

== = −

1 2 6

1 2 12

2 13

13 2

6 3 1 2

6 3 6

6 3

3 6

13 2 3 6

3 6 2 13

8 16

2

2 2 13

4 13

9

9 2:

5. 5. 5. 5. 5. ( )

( )

( )

( )

30 8 2 30

30 8 2 30

2 8

5 29 5 4

5 29 5 4

4 4 24

6

2 8

6 1

2 8

6

2

2

2 2 8

4 8

4

4 2

− − = +− + = +

− =

− = − −− = − +− =− =

− =

− = −

− =− + = −

− == −

− − =+ =

== = −

x y

x y

x y

x x y

x x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

y

y

x

x

x

sol x y:

6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( )

( )

( )

3 9 5 2 9

3 9 5 2 9

4 3 0

4 3 7 5 47

4 3 7 5 47

4 8 40

2 10

4 3 0

2 10 4

4 3 0

4 8 40

x x y y x y

x x y y x y

x y

x y y

x y y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

− + = − +− − = − −

− + =

− + = −− − = −

− = −− = −

− + =− = −

− + =− = −

6. Continuación6. Continuación6. Continuación6. Continuación6. Continuación

( )

− = −=

− = −− = −

== =

5 40

8

2 8 10

16 10

6

6 8

y

y

x

x

x

sol x y:

7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

x y x y x y

x y x y x y

x y x y

x y

x y y x y x

x y y x y x

x y y x

x y

x y

x y

x y

x y

x

x

− − + =− + +− − − = − − −

− − = − − −− = −

+ − − = −+ − + = −

− = −− =

− = −

− = −

− = −− + =

− = −=

6 8 10 5 3

6 8 10 5 3

5 9 10 5 3

5 4 3

9 11 2 2

9 11 2 2

12 8 2 2

14 10 0

5 4 3 5

14 10 0 2

25 20 15

28 20 0

3 15

5

5 5 − = −− = −− = −

== =

4 3

25 4 3

4 28

7

5 7

y

y

y

y

sol x y:

8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( )

( )

( )( )

5 3 7 8 6

5 15 7 8 6

2 7 6

7 9 2 18 0

7 9 2 36 0

5 27 0

2 7 6 5

5 27 0 2

10 35 30

10 54 0

89 30

30

89

x y x y

x y x y

x y

x y x y

x y x y

x y

x y

x y

x y

x y

y

y

+ − + =−+ − − =−

− + = −

− − − =− − + =

+ =− + = −

+ =

− + = −+ =

= −

= −

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

8. Continuación8. Continuación8. Continuación8. Continuación8. Continuación

− + −

= −

− − = −− = −

= =

= = −

2 730

896

178 210 534

178 324

324

1781

130

89

7389

7389

x

x

x

x

sol x y:

9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( )

( )

( )

( )

2 5 4 4

2 10 4 16

18 4 10

10 11 12

10 10 11 12

2 0

18 4 10

2 0 9

18 4 10

18 9 0

5 10

2

2 2 0

2 2 0

2 2

1

1 2

x y x

x y x

x y

y x y x

y x y x

x y

x y

x y

x y

x y

y

y

x

x

x

x

sol x y

+ = −+ = −− = −

− = −− = −

− =− = −

− = −

− = −− + =

= −= −

− − =+ =

= −= −

= − = −:

10. 10. 10. 10. 10. ( )

( ) ( )

( )

3 4 2 2 7 0

3 4 4 14 0

4 14

4 14

5 1 2 1 0

5 5 2 1 0

5 2 4

4 14

5 2 4 2

4 14

10 4 8

11 22

2

2 4 14

4 12

3

2 3

x y x

x y x

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

y

sol x y

− − − =− − + =

− − = −+ =

− − − =− − + =

− =+ =− =

+ =− =

==

+ ==== =:

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( ) ( )

( )

( )

12 2 8 2 2 5 6

12 24 16 8 10 12

4 16 10 12

14 28 0

2 0

20 4 10

20 80 10

2 8 1

2 0 2

2 8 1

2 4 0

2 8 1

4 1

1

4

21

40

4 2 0

4

x y x y x y

x y x y x y

x y x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

y

y

x

x

x

+ − + = −+ − − = −

− + = −− + =

− + =

− = −− = −− = −

− + =− = −

− + =− = −

− = −

=

− +

=

− + =− = −

=

= =

2

1

21

2

1

4

x

sol x y:

12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )

x y y x

xy x xy y

x y

y x x y

xy y xy x

x y

x y

x y

x y

x y

x y

y

y

x

x

x

x

sol x y

− − − =−− − + =−

− + =−

− − + =− − − =

− − =+ = −

− + =−+ = −

− + =−+ = −

= −= −

− + − =−− − =−

− == −

= − = −

2 3 14

2 3 14

2 3 14

6 9 54

6 9 54

9 6 54

3 2 18

2 3 14 3

3 2 18 2

6 9 42

6 4 36

13 78

6

2 3 6 14

2 18 14

2 4

2

2: 6

EJERCICIO 180

1. 1. 1. 1. 1.

( ) ( )

3

211

3 2 22

27

2 14

3 2 22 2 14

3 22 2 2 14

22 2

3

14

2

2 22 2 3 14

44 4 42 3

2

2

2 2 14

2 12

6

6 2

xy

x y

xy

x y

x y x y

x y x y

xy

xy

y y

y y

y

y

x

x

x

sol x y

+ =

+ =

+ =

+ =+ = + =

= − = −

=−

=−

− = −− = −

− = −=

+ ===

= =

;

:

2. 2. 2. 2. 2.

( )

( )

5

129

3

415

5 12 108 4 3 60

5 108 12

108 12

5

4108 12

53 60

4 108 12 15 300

432 48 15 300

33 132

4

4 3 4 60

4 12 60

4 48

12

12 4

xy x

y

x y x y

x y

xy

yy

y y

y y

y

y

x

x

x

x

sol x y

− = − =

− = − == +

=+

+

− =

+ − =+ − =

= −= −

− − =+ =

==

= = −

;

;

:

3. 3. 3. 3. 3.

( )

( )

x yy

x

x y y x

x y

x y

x y

x y

y

y

x

x

x

x

sol x y

7 35 3

1426

3 7 105 42 364

3 7 105

42 364 3

3 7 105

3 126 1 092

133 1 197

9

3 7 9 105

3 63 105

3 42

14

14 9

+ = − =

+ = − =+ =

− + =

+ =− + =

==

+ =+ =

==

= =

;

;

.

.

:

4. 4. 4. 4. 4.

( )

x y y x

x y y x

x y x y

x y

x y

x y

x y

y

y

x

x

sol x y

5 4 3 31

4 5 3

4 5 0 3

4 5 0

3 4

4 5 0

4 4 12

12

12

12 3

15

15 12

= = −

= = −− = − =

− =

− = −

− =− + = −

− = −=

− ==

= =

;

:

5. 5. 5. 5. 5.

( )

( )

3

5

1

42 2

5

212 5 40 4 5

4 5 0

4 5 0

12 5 40 1

4 5 0

12 5 40

8 40

5

4 5 5 0

20 5 0

5 20

4

5 4

xy x

y

x y x y

x y

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

y

y

sol x y

− = =

− = =− =

− =

− = −

− =− + = −

− = −=

− =− =− = −

== =

;

:

6. 6. 6. 6. 6.

( )

( )

2

3

3

41

1

8

5

62

8 9 12 3 20 48

8 9 12

20 3 48 3

8 9 12

60 9 144

52 156

3

8 3 9 12

24 9 12

9 36

4

3 4

x yy

x

x y y x

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

y

y

sol x y

− = − =

− = − =− =

− + =

− =− + =

− == −

− − =− − =

− == −

= − = −

;

;

:

7. 7. 7. 7. 7.

( )( )

( )

x y x y

x y x y

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

y

y

sol x y

8 5

11

10 5 4

59

405 8 44 8 10 59

5 8 44 5

8 10 59 4

25 40 220

32 40 236

57 456

8

5 8 8 44

40 8 44

8 4

1

2

81

2

− = − + =−

− = − + = −− = −

+ = −

− = −+ = −

= −= −

− − = −− − = −

− = −

=

= − =

;

;

:

8. 8. 8. 8. 8.

( )

( )

x yx

y

x y x y

x y x y

xy

xy

y y

y y

y

y

x

x

sol x y

7 80

1

7

3

47

8 7 0 4 21 196

8 7 4 196 21

7

8

196 21

4

28 8 196 21

28 1 568 168

196 1 568

8

7 8

87

7 8

+ = − =

+ = − == − = +

=−

=+

− = +− = +

− == −

=− −

== = −

;

;

.

.

:

9. 9. 9. 9. 9.

( )

( )

2 1

5 42 3 8

4 2 1 5

8 4 5

8 5 4

2 3 8 4

8 5 4

8 12 32

8 5 4

7 28

4

x yx y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

y

y

+= − = −

+ =+ =

− = −

− = − −− = −

− + =− = −

==

;

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

9. Continuación9. Continuación9. Continuación9. Continuación9. Continuación

( )8 5 4 4

8 20 4

8 16

2

2 4

x

x

x

x

sol x y

− = −− = −

==

= =:

10. 10. 10. 10. 10.

( )

( )

( )

12 5 6 0

12 5 6

5

3

7

612

10 7 72

12 5 6 5

10 7 72 6

60 25 30

60 42 432

67 402

6

10 7 6 72

10 42 72

10 30

3

3 6

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

y

y

x

x

x

x

sol x y

+ + =+ = −

− = −

− = −+ = −

− = − −

+ = −− + =

==

− = −− = −

= −= −

= − =:

11. 11. 11. 11. 11. ( )( )

( )

( )

xy

x y

x y

yx

y x

x y

xy

y y

y y

y

y

x

x

x

sol x y

53 2

15 2

15 30

53

224

515 224

15 224

224

15

15 15 30 224

225 450 224

226 226

1

15 1 30

15 30

15

15 1

= +

= += +

+ =

+ == −

=−

+ = −+ = −

= −= −

= − += − +=

= = −:

12. 12. 12. 12. 12.

( )

( )

( )

x y x y

x y x y

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

y

sol x y

5 6

1

30 3 20

13

126 5 1 20 3 65

6 5 1 3

20 3 65 5

18 15 3

100 15 325

82 328

4

6 4 5 1

5 25

5

4 5

− = − − =

− = − − =− = −

− = −

− = −− + = −

− = −=

− = −− = −

== =

;

;

:

13. 13. 13. 13. 13.

( ) ( ) ( ) ( )

( )

x y x y

x y x y

x y x y

x y x y

xy

yy

y y

y

y

x

x

sol x y

−−

−=

−+

+=

− − − = − + + =− − + = − + + =

− = + =

=

+ =

+ ===

=

== =

3

3

4

40

4

2

2

53

4 3 3 4 0 5 4 2 2 30

4 12 3 12 0 5 20 2 4 30

4 3 0 5 2 46

3

4

53

42 46

15 8 184

23 184

8

3 8

46

6 8

;

;

;

:

14. 14. 14. 14. 14.

( ) ( )

( )

x y x y

x y x y

x y x y

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

y

sol x y

−−

−= −

+−

+= −

− − − = − + − − = −− = − − = −

− = −

− = − −

− = −− + =

=

=

− = −

− = −

=

= =

1

2

1

3

13

36

1

3

1

2

2

3

18 1 12 1 13 2 2 3 3 4

18 12 7 2 3 3

18 12 7

2 3 3 4

18 12 7

8 12 12

10 5

1

2

21

23 3

3 4

4

31

2

4

3

;

;

:

15. 15. 15. 15. 15.

( ) ( )

( )

( )

x y x y

x y x y

x y x y

x y x y

x y

y y

y y

y

y

x

x

sol x y

+=

− −=

−

+ = − − = −+ = − − = −

− = − − == −

− − =− − =

==

= −=

= =

1

10

4

5

4

5

2

10

1 2 4 2 4 2

1 2 8 2 8 2

2 9 2 6

2 9

2 2 9 6

4 18 6

3 24

8

2 8 9

7

7 8

;

;

;

:

16. 16. 16. 16. 16.

( )

( )

( )

xy

yx

x y y x

x y y x

x y

x y

x y

x y

x

y

y

y

y

sol x y

= −+

= −+

= − − = − −+ = − + = −

+ = −

+ = − −

+ = −− − =

= −

− + = −− + = −

==

= − =

3 3

4

1 5

44 3 3 4 1 5

4 3 3 4 5 1

4 3 3 4

5 4 1 3

16 12 12

15 12 3

9

4 9 3 3

36 3 3

3 33

11

9 11

;

;

:

17. 17. 17. 17. 17.

( ) ( )

( )

( )

x y x y xy

x y x y x y

x y x y x y

x y x y

x y

y y

y y

y

y

x

x

sol x y

+=

−= +

+ = − = ++ = − = ++ = − =

= −

− − =− − =

− == −

= − −=

= = −

6 12

2

33

2 2 3 3

2 2 2 3 9

3 0 2 3 9

3

2 3 3 9

6 3 9

9 9

1

3 1

3

3 1

;

;

;

;

:

18. 18. 18. 18. 18.

( )

33

56

15 3 30

15 27

15 27

27

15

32

79

21 2 63

21 61

61 21

21 61

27 15 21 61

27 315 915

314 942

3

27 3

152

2 3

xy

x y

x y

x y

xy

yx

y x

x y

x y

x y

y y

y y

y

y

x

x

sol x y

−−

=

− + =− =

= +

=+

−−

=

− + =− + =

− = −= −

+ = −+ = −

− = −=

=+

== =:

19. 19. 19. 19. 19.

( ) ( )

( )

( )

x y y x

x y y x

x y y x

x y

x x y

x x y

x x y

x y

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

y

y

sol

+−

−=

+ − − =+ − + =

− =

+−

=

+ − =+ − =

− =− =

− = −

− =− + =−

− = −

=

− =

− =− = −

=

6 3

7

24

4 8 7

4 4 8 8 7

12 4 7

2 6

5

12

6 2 5

6 2 2 5

8 2 5

12 4 7

8 2 5 2

12 4 7

16 4 10

4 3

3

4

123

44 7

9 4 7

4 2

1

2

: x y= =3

4

1

2

20. 20. 20. 20. 20.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

x y xx

x y x x

x x y

x y

x y y xy

x y y x y

x y y

x y

x y

x y

x y

x y

y

y

x

x

x

−−

−= −

− − − = −− − = − +

+ =−

−−

= −

− − − = −− − = −

− = −

+ = −− = −

− − = −− = −

− = −=

+ =+ =

=

2

4 27

2 2 4 7

3 4 2 28 2

2 26

3

8

3

613

3 3 4 3 24 13

13 15 24 312

13 39 312

2 26 13

13 39 312

13 26 338

13 39 312

65 650

10

2 10 26

20 26

6

sol x y: = =6 10

21. 21. 21. 21. 21.

( )

( )

( )

( )

123 2

63 2

72 3 2 6 3 2

3 2 18 12 72

3 16 60

5 3

3

5 3 3

3 3 5 3 0

6 8 0

3 16 60

6 8 0 2

3 16 60

12 16 0

15 60

4

6 4 8 0

8 24

3

4 3

−−

= +

− + = +− + − = −

+ =−

= −

− = −− − + + =

− =+ =− =

+ =− =

==

− =− = −

== =

x yy

x y y

x y y

x y

y xx y

y x x y

x x y y

x y

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

y

sol x y:

22. 22. 22. 22. 22. ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

y x x y

xy y xy x

x y

x y

y x

y x

x y

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

y

y

sol x y

− = −− = −− =

−−

−=

− − − =− − + =

− =− =

− = −

− =− + = −

− = −=

− =− = −− = −

== =

4 6

4 6

6 4 0

5

3

11

10

5 1 11 3 0

5 5 11 33 0

11 5 28

6 4 0 5

11 5 28 4

30 20 0

44 20 112

14 112

8

11 8 5 28

5 28 88

5 60

12

8 12:

23. 23. 23. 23. 23. ( )

( ) ( )

( )

( )

3 3

5 6

21

17

51 3 21 5 6

51 153 105 126

54 27 0

2 0

4 7

2 12

4 7 2 2 1

4 7 4 2

4 3 2

2 0 2

4 3 2

4 2 0

4 3 2

2

2 2 0

2 2

1

1 2

x y

x y

x y x y

x y x y

x y

x y

x y

y

x y y

x y y

x y

x y

x y

x y

x y

y

x

x

x

sol x y

++

=

+ = ++ = +

− + =− =

−+

= −

− = − +− = − −− = −

− = −− =

− + =− = −

=− =

==

= =:

24. 24. 24. 24. 24.

( ) ( )

( ) ( )

( )

7

2 3 6

7

3 2 1

7 3 2 1 7 2 3 6

21 14 7 14 21 42

35 35 35

1

6

4

10

2

6 2 10 4

6 12 10 10 40

28 10 16

14 5 8

1 8

5 8 14

8 8 8

5 8 14

3

x y x y

x y x y

x y x y

x y

x y

x y y

y x y

y x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x

− += −

− −

− − = − − +− − = − + −

− = −− = −

− +=

+

+ = − ++ = − +− = −− = −

− = − −− = −

− + =− = −

− = −=

− = −− = −

== =

6

2

2 1

3

3

2 3

x

y

y

y

sol x y:

25. 25. 25. 25. 25.

( )

( ) ( )

( )

x y

x y

x y x y

x y x y

x y

x y

x y

x y x y

x y x y

x y

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

sol x y

+−

= −

+ = − −+ = − +

− =+ ++ −

=

+ + = + −+ + = + −

+ = −− =+ = −

− =+ = −

= −= −

− + = −= −

= − = −

7

7

7 7

8 6 0

1

1

3

4

4 1 3 1

4 4 4 3 3 3

7

8 6 0

7 6

8 6 0

6 6 42

14 42

3

3 7

4

3 4:

26. 26. 26. 26. 26.

( ) ( )

( )( )

x y

x y

x y

y x x y

y x x y

y x x y

x y

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

y

y

sol x y

48

3

2

33

432 6 33

6 1

3

2

2

17

24

8 12 2 17

8 8 24 12 17

32 4 17

6 1 2

32 4 17 3

2 12 2

96 12 51

98 49

1

21

26 1

1 12 2

12 3

1

41

2

1

4

− = −

− = −− = −

−−

+= −

− − + =−− − − =−

+ =− = −+ =

− = −+ =

=

=

− = −

− = −− = −

=

= =:

27. 27. 27. 27. 27.

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

x

x

y

y

y x y x

xy y x xy y x

x y

x y

x y

x

x

y

y

y x x y

xy y x xy x y

x y

x y

x y

y y

y

x

x

sol x

−+

=−−

− − = − +− − + = + − −

− = −− = −

= − ++−

=−−

− + = − −+ − − = − − +

− + =− + =

= −− + = −

== −=

2

2

7

5

5 2 7 2

2 5 10 2 7 14

2 4 24

2 12

12 2

1

1

3

5

5 1 1 3

5 5 3 3

2 2 8

4

4

12 2 4

8

8 4

4

: = =4 8y

28. 28. 28. 28. 28.

( ) ( )

( )

( )

x y

x y

x y x y

x y x y

x y

x y

x y

x y

x y x y

x y x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x

x

− −+ +

= −

− − = − + +− − = − − −

− =− =

+ −− +

= −

+ − = − − ++ − = − + −− = −

− = −− =

− = − −

− =− + =

==

1

1

3

17

17 1 3 1

17 17 17 3 3 3

20 14 14

10 7 7

1

115

1 15 1

1 15 15 15

16 14 14

8 7 7

10 7 7

8 7 7 1

10 7 7

8 7 7

2 14

( )7

10 7 7 7

7 63

9

7 9

− =− = −

== =

y

y

y

sol x y:

29. 29. 29. 29. 29.

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

6 9 4

4 6 5

2

5

5 6 9 4 2 4 6 5

30 45 20 8 12 10

22 57 30

2 3 3

3 2 4

6

11

11 2 3 3 6 3 2 4

22 33 33 18 12 24

4 21 9

22 57 30 2

4 21 9 11

44 114 60

44 231 99

117 39

x y

x y

x y x y

x y x y

x y

x y

x y

x y x y

x y x y

x y

x y

x y

x y

x y

y

+ −− +

=

+ − = − ++ − = − +

+ =+ −+ −

=

+ − = + −+ − = + −

+ =+ =

+ = −

+ =− − = −

− = −

y

x

x

x

x

sol x y

=

+

=

+ ==

=

= =

1

3

4 211

39

4 7 9

4 2

1

21

2

1

3:

30. 30. 30. 30. 30.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

3 2

159

3 2 9 15

3 2 9 9 135

12 11 135

4

3

5 1

81

32 15 1 24

32 15 15 24

32 15 39

12 11 135 8

32 15 39 3

96 88 1 080

96 45 117

133 1 197

9

12 11 9 135

12 135 99

12 36

x y

x y

x y x y

x y x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

y

y

x

x

x

x

++ −

= −

+ = − + −+ = − − +

+ =

−−

= −

− − = −− + = −

− = −+ =

− = − −

+ =− + =

==

+ == −==

.

.

3

3 9sol x y: = =

31. 31. 31. 31. 31. ( )( )

( )( )

( )

2 5

175 60

2 5 17 5 1 020

2 85 17 1 025

2 17 940

62

21 40

62 2 1 80

2 2 18

2 20

2 17 940

2 20 1

2 17 940

2 20

16 960

60

2 60 20

2 80

40

40 60

xy

x y

x y

x y

yx

y x

y x

x y

x y

x y

x y

x y

y

y

x

x

x

sol x y

+− − = −

+ − − = −− + = −

+ = −+

− − =

+ − − =− + =

+ =+ = −

+ = −

+ = −− − = −

= −= −

− ==== = −

.

.

:

32. 32. 32. 32. 32.

( ) ( )

( ) ( )

( )

3 4

6

30

23

23 3 4 30 6

69 92 30 180

99 88 0

9 8 0

9

3

63

37

37 9 63 3

333 37 189 63 63

396 100 189

396 100 189

9 8 0 44

396 100 189

396 352 0

252 189

3

4

9 83

4

x y

x y

x y x y

x y x y

x y

x y

x y

x y

x y x y

x y x y

x y

x y

x y

x y

x y

y

y

x

+−

= −

+ = − −+ = − +− =

− =−

+ −= −

− = − + −− = − − +

− = −− = −

− = −

− = −− + =

= −

=−

−−

=

+ == −

=−

=−

=−

0

9 6 0

9 6

2

32

3

3

4

x

x

x

sol x y:

33. 33. 33. 33. 33.

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )

xx y

x x y

x x y

x y

yy x

y y x

y y x

x y

x y

x y

x y

x y

y

y

x

x

x

−+

=−

− + = −− − = −

− = −

−+

=+

− + = +− − = +

− = −

− = − −

− = −

− + =− = −

==

− = −= − +=

4 1

9

2 5

3

9 4 1 32 5

9 4 1 6 15

5 6 14

3 2

7

18

10

70 10 3 2 7 18

70 30 20 7 126

146 7 40

7 40 146 5

5 6 14 7

35 200 730

35 42 98

158 632

4

5 6 4 14

5 14 24

2

sol x y: = =2 4

EJERICIO 181

1. 1. 1. 1. 1. x y a b x y a b

x y a b

x y a b

x a

a y a b

y b

sol x a y b

+ = + − = −+ = +− = −

=+ = +

== =

;

:

2. 2. 2. 2. 2.

( ) ( )

2 2

2 2

0

2 2 0

2 2 0

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

1

1

2

2

2

x y b

bx by b b

bx y

bx y

bx y

bx by b b

y by b b

y b b b

y b

x b b

x

x

sol x y b

+ = +

+ = +− =

− + =− + =

+ = +

+ = +

+ = +=

+ = +==

= =:

3. 3. 3. 3. 3. 2 3

2 0

2 4 0

2 3

2 4 0

3 3

2 3

2 4

2

2

x y a

x y

x y

x y a

x y

y a

y a

x a a

x a

x a

sol x a y a

− =− =

− + =− =

− + =

==

− ==== =

;

:

4. 4. 4. 4. 4. x y a x y a

x y a

x y a

x

x

y a

y a

sol x y a

− = − + = +− = −+ = +

==

+ = +=

= =

1 1

1

1

2 2

1

1 1

1

;

:

5. 5. 5. 5. 5.

( ) ( )

x

ay b

x

by a b

x ay ab x by ab b

x ay ab

x by b ab

ay by b ab

y a b b b a

y b

x ab ab

x ab

sol x ab y b

+ = − = −

+ = − = −+ =

− + = −

+ = +

+ = +=

+ ==

= =

2

2

2

2

2

2

2

;

;

:

6. 6. 6. 6. 6.

( ) ( )

( )

x

b

y

aax by ab

abx b y ab

x

a

y

b

a b

ab

bx ay a b

abx a y a ab

abx b y ab

abx a y a ab

b y a y a ab

y b a a b a

y a

ax ba ab

a x b ab

x b b

x b

sol x b y a

+ =

+ =

+ =

+ =+

+ = +− − = − −

+ =− − = − −

− = − +

− = −=

+ =

+ =+ =

== =

2

2

2

2

2

2

2

2 2

2 2

2 2

2 3 2

2 2

2 3 2

2 2 3 2

2 2 2 2

:

7. 7. 7. 7. 7.

( ) ( )

x y a b

ax ay a ab

ax by a b

ax ay a ab

ax by a b

by ay b ab

y b a b b a

y b

x b a b

x a

sol x a y b

+ = +

− − =− −

+ = +

− − = − −

+ = +

− = −

− = −=

+ = +=

= =

2

2 2

2

2 2

2

:

8. 8. 8. 8. 8.

( )( ) ( )

ax by x ya b

ab

abx b y abx aby a b

abx b y

abx aby a b

b y aby a b

yb b a a b

yb yb

ax bb

ax xa

sol xa

yb

− = + =+

− = + = +− =

− − = − −

− − = − +

− + = − +

− = − ⇒ =

−

=

= ⇒ =

= =

0

0

0

11

10

11

1 1

2

2

2

;

:

9. 9. 9. 9. 9.

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

mx ny m n nx my m n

mnx n y m n n mnx m y m mn

mnx n y m n n

mnx m y m mn

n y m y m m n mn n

y m n m m n n m n

y m n m n m n

y m n

m x mny m mn

n x mny m n n

m x

− = + + = +

− = + + = +

− + = − −

+ = +

+ = − + −

+ = − + −

+ = + −= −

− = +

+ = +

+

2 2 2 2

2 2 3 2 3 2

2 2 3

2 3 2

2 2 3 2 2 3

2 2 2 2

2 2 2 2

2 3 2

2 2 3

2

;

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

n x m mn m n n

x m n m m n n m n

x m n m n m n

x m n

sol x m n y m n

2 3 2 2 3

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

= + + +

+ = + + +

+ = + += +

= + = −:

10. 10. 10. 10. 10.

( ) ( )

x

m

y

nm mx ny m mn

xn ym m n xmn n y m n mn

xmn ym m n

xmn n y mn m n

ym yn mn m n

y m n mn n m

y mn

xn m n m n

xn m n x m

sol x m y mn

+ = − = −

+ = − = −

+ =

− + = −

+ = +

+ = +=

+ =

= ⇒ =

= =

2

2

2

2

3 2

2 2 3 3

2 3

2 3 3

2 2 3 3

2 2 2 2

2 2

2 2

2

;

:

11. 11. 11. 11. 11.

( )

( ) ( )

x y a

ax ay a

ax by a a b b

ax by a ab b

ax ay a

ax by a ab b

ay by ab b

y a b b a b

y b

y b

x b a

x a b

sol x a b y b

+ =

+ =

− = + +

− = + +

− − = −

− = + +

− − = +

− + = +− =

= −− =

= += + = −

2

2

2 2

2

2 2

2

:

12. 12. 12. 12. 12.

( ) ( )

x y m n

mx my m mn

mx ny m n

mx my m mn

my ny mn n

y m n n m n

y n

x n m n

x m

sol x m y n

− = −− = −

− = −

− + = − +

− = −

− = −=

− = −=

= =

2

2 2

2

2

:

13. 13. 13. 13. 13.

( ) ( )

x

a

y

b

x

b

y

a

b a

ab

bx ay ax by b a

abx a y

abx b y b a b

b y a y b a b

y b a b b a

y b

x

a

b

bbx ab

bx ab

x a

sol x a y b

+ = + =−

+ = + = −

− − =+ = −

− = −

− = −=

+ =

+ == −= −

= − =

02 2

0 2 2

0

2 2

2 2

2 2

0

0

2 2

2 2

2

2 3 2

2 2 3 2

2 2 2 2

;

:

14. 14. 14. 14. 14. ( )

( )

x y c a x y a

a x a y a c a x a y a

a x a y a c

a x a y a

a y a a c

a y a a c

y a c

y c a

x c a c

x a c x c a

sol x a c y c a

+ = − =

− − = − − =

− − = −− =

− = −

− = −− = −

= −+ − =

− = ⇒ = += + = −

2 2

2 2

2

2

2 2 2

2 2

2

2 3

2 2 2 2 2 3

2 2 2

2 2 3

2 3 2

2 2

;

;

:

15. 15. 15. 15. 15.

( )

ax by ay bxa b

ab

b ax b y a by b ax a b

b ax b y

b ax a by a b

a by b y a b

by a b a b

by

yb

ax bb

ax

xa

sol xa

yb

− = − =−

− = − = −− =

− + = −

− = −

− = −=

=

−

=

=

=

= =

0

0

0

1

1

10

1

1

1 1

2 2

2 3 2 2 2 2

2 3

2 2 2 2

2 3 2 2

2 2 2 2

;

:

16. 16. 16. 16. 16. ( )

( ) ( )

x

b

y

aa b x y ab b a

a x b y a b a b x y ab a b

a x a y a b a b

a x b y a b a b

a x a y a b a b

b y a y a b a b

y a b a b b a

y a b

y a b

x

b

a b

2 2

2 2 3 2 2 3 2 2

2 2 3 2 4

2 2 3 2 2 3

2 2 3 2 4

2 2 2 3 4

2 2 2 2 2

2

2

2

2

+ = + − = −

+ = + − = −− = −

− − = − −− = −

− − = − −

− + = − +

− = −=

+

;

;

aa b

x b ab b

x ab

sol x ab y a b

2

3 2 3

2

2 2

= +

+ = +=

= =:

17. 17. 17. 17. 17.

( ) ( )

nx my m n mx nym n

mn

m nx m y m m n m nx mn y m n

m nx m y m m n

m nx mn y m n

m y mn y m n n

ym m n n m n

ym n

yn

m

nx mn

mm n

nx n m n

nx m

xm

n

sol xm

ny

n

m

+ = + − =−

+ = + − = −

− − = − −

− = −

− − = − −

− + = − +=

=

+

= +

+ = +=

=

= =

;

:

3 3

2 3 3 2 2 2 3 3

2 3 3 2

2 2 3 3

3 2 2 3

2 2 2 2

18. 18. 18. 18. 18. ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

a b x a b y b ab

ax bx ay by b ab

a b x a b y ab b

ax bx ay by ab b

ax bx ay by b ab

ax bx ay by b ab

bx by b ab

b x y b a b

x y a b

ax bx ay by b ab

ax bx ay by b ab

ax ay ab

− − + = −

− − − = −

+ − − = −

+ − + = −

− + + + = − +

+ − + = − +

+ = − +

+ = −+ = −

− − − = −

+ − + = − +

− = −

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

2 2 2 4

2 2 2

2

3

2 2 2

( )

( )

2 2

2

2 2

a x y ab

x y b

x y a b

x y b

x a b

x a b

a b y b

y a

y a

sol x a b y a

− = −− = −

+ = −− = −

= −= −

− − = −− = −

== − =:

19. 19. 19. 19. 19.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x b

a

y b

b

a b

b

b x b a y b a a b

bx b ay ab a ab

abx ab a y a b a a b

abx ab a y a a b

x a

b

y a

a

a b

a

a x a b y a b a b

ax a by ba ba b

abx a b b y b a b a b

abx a b b y

++

−=

+

+ + − = +

+ + − = +

+ + − = +

− − − =− −−

−−

= −+

− − − =− +

− − + =− −

− − + =− −

− −

2 2

2 2 2 3 2

2 2 3 2

2 2

2 2 2 2 3

2 2

2

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

= − −

− − − =− −

− − = − −

− − − − =− − − −

+ + + = +

+ + + = +

+ + = ++ =

++

+ −=

+

2

2

2

2 2

2 3

2 2 3 2

2 2 2 3

2 2 2 2 3 2 2 3

2 2 3 3 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

b a b

abx ab a y a a b

abx a b b y b a b

ab a b a y b y a a b b a b

ab a b a b a y b y

b a b a b a y a b

b a a b y a b

a b y

x b

a

a b b

b

a b

b

b x( ) ( )

( )

+ + = +

+ + = +

= − ⇒ = − ⇒ = −= − = +

b a a a b

bx b a a ab

bx ab b bx b a b x a b

sol x a b y a b

2

2 2 2

2

:

20. 20. 20. 20. 20.

( ) ( )

x

a b

y

a b ab

x

b

y

a

a b

a b

abx aby a b a bx ab y a b

a bx a by a ab

a bx a by a ab

a bx ab y a b

ab y a by b ab

ayb b a b b a

ayb b

ay

ya

abx aba

a b

abx b a b

abx a bx x

++

+= + =

+

+ = + + = +

− − = − −

− − = − −

+ = +

− = −

− = −==

=

+

= +

+ = +

= ⇒ = ⇒

1

1

1

1

1

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

;

=

= =

1

1 1b

sol xb

ya

:

EJERCICIO 182

1. 1. 1. 1. 1. 1 2 7

62 1 4

3

2 4 7

3

2 1 43

31

3

2 13

43

6 4

6 3 2

2 3

x y x y

x y

x y

y

y

xx x

x x

sol x y

+ = + =

− − = −

+ =

−= −

=

+ =

+ == ⇒ =

= =

;

:

2. 2. 2. 2. 2. 3 2 1

22 5 23

12

6 41

6 15 234

19 194

4

3 24

12

6

6 2

3

3 4

x y x y

x y

x y

y

y

xx x

x

x

sol x y

− = + =

− + = −

+ =

=

=

− =

− ===

= =

;

:

3. 3. 3. 3. 3. 5 4

77 6

4

15 1221

14 128

2929

1

51

47

5 4 7

4 2

2

1 2

x y x y

x y

x y

xx

y

y y

y

y

sol x y

+ = − =

+ =

− =

=

=

+ =

+ ==== =

;

:

4. 4. 4. 4. 4. 12 5 13

218 7 19

2

36 15 392

36 14 382

1 12

2

36 7 19

12 36

3

3 2

x y x y

x y

x y

y

y

x x

x

x

sol x y

+ = − + = −

− − =

+ =−

− =

− =− =−

= −= −

= − = −

;

:

5. 5. 5. 5. 5. 9 3

275 4

22

3 19

12 436

5 422

714

12

512

422 10

422

10 4 22

4 12

13

12

13

x y x y

x y

x y

x y

x

x

y y

y y

y

y

sol x y

+ = + =

+ =

− − =−

+ =

− =−

=

+ = ⇒ + =

+ ==

=

= =

;

:

6. 6. 6. 6. 6. 6 8

234 11

50

12 1646

12 33150

49196

14

x y x y

x y

x y

y

y

− = − + =

− + =

+ =

=

=

;

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

6. Continuación6. Continuación6. Continuación6. Continuación6. Continuación

4 1114

50

444 50

4 44 50

4 6

23

23

14

x

xx x

x

x

sol x y

+ =

+ =

+ ==

=

= =:

7. 7. 7. 7. 7. 9 10

117 15

4

27 3033

14 308

4141

1

71

154

7 15 4

15 3

5

1 5

x y x y

x y

x y

xx

y

y y

y

y

sol x y

+ =− − =−

+ =−

− =−

= −

− =

− − = −

− − =−− =− == − = −

;

:

8. 8. 8. 8. 8.

( )

1

2

3 3

4

1 5

2

4

3

1

2

3 3

4

1

2

5

4

2

3

17

4

17

12

12 4

3

1 5

2 3

4

3

6 5 8

3 6

2

2 3

x y x y

x y

x y

y

y

y

x

x x

x

x

sol x y

− = + = −

− =

− − =

− =

− =− =

+−

= −

− = −= −= −

= − = −

;

:

9. 9. 9. 9. 9. 2

5

1

3

11

45

1

10

3

5

4

5

2

10

1

6

11

90

2

10

6

5

8

5

31

30

31

18

18 30

3

51

10

3

535

4

5

3 30 24

6 31

21

2

3

5

x y x y

x y

x y

y

y

y

x

x x

x x

sol x y

− = − − =

− + =

− =

− =

− =

− =

+

=

+ =

= − ⇒ = −

= − = −

;

:

12. 12. 12. 12. 12.

( )

( )

1 1 1 1

1 1

1 1

2 2

1 12

2 2

2 2

2

2

22

2 2

x ya

x yb

x ya

x yb

ya b

a by

xa b

b

x a b bx

ax xb bx

ax bx

ax bx

x a b xa b

sol xa b

ya b

+ = − =

+ =

− + = −

= − ⇒−

=

−

−

=

− − =− + =

− = −− − = −

+ = ⇒ =+

=+

=−

;

:

111111. 1. 1. 1. 1. 3

10

1

3

107

60

6

5

1

4

14

5

3

5

2

3

107

30

3

5

1

8

7

5

13

24

13

6

1

46

5

1

41

4

14

5

6 5 14

6 9

2

32

3

1

4

x y x y

x y

x y

y

y

x

x x

x

x

sol x y

+ = + =

+ =

− − = −

=

=

+

=

+ ==

=

= =

;

:

14. 14. 14. 14. 14.

( )

2 20

2 2

2 20

2

2

20

2 0

2

2 2

x y

m n

mn

m

x

n

y

n

x

n

y

m n

m

m

x

n

y

m n

x

m n

mm x

m

m

n

y

y n

y n

sol x m y n

+ =+

− =

+ =+

− =

+=

+

=

− =

− ==

= =

;

:

10. 10. 10. 10. 10.

( )

3 7

3

2

3

1

4

8 103

84

3

4

7

12

1

6

3

4

24 309

84

295

12

295

84

7

3 7

3 7

2

3

9 2

9 3

3

3 7

x y x y

x y

x y

y

y

x

x x

x

x

sol x y

− = + =

− =

− − = −

−=

−

=

− =

− ===

= =

;

:

13. 13. 13. 13. 13.

( )

2 3 2 32

2 32 3

2 24

3 23 2

2

2

x

b

y

a

a

a

x

b

y

a

x

ab

ya

a

x

b

y

b a

ya

b y

a

x

b

ba x x

a x

sol x a y b

− =−

+ =

− = −

− − = −

− −= − −

=

+ =

+ === =

;

:

EJERCICIO 183

1. 1. 1. 1. 1. 4 5

2 34 3 2 5 12 10 2⋅ − ⋅ = − =

2. 2. 2. 2. 2. 2 7

3 52 5 3 7 10 21 11⋅ − ⋅ = − = −

3. 3. 3. 3. 3. −

− ⋅ − ⋅ = − − = −2 5

4 32 3 4 5 6 20 26

4. 4. 4. 4. 4. ( )7 9

5 27 2 9 5 14 45 59

−− − ⋅ = − − = −

5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )( )5 3

2 85 8 3 2 40 6 46

−− −

− − − − =− − = −

6. 6. 6. 6. 6. ( )( )9 11

3 79 7 11 3 63 33 30

−− ⋅ − − − = − =

7. 7. 7. 7. 7. ( )− −− ⋅ − − =− + = −

15 1

13 215 2 13 1 30 13 17

8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( )( )12 1

13 912 9 13 1 108 13 95

−−

− − − =− + = −

9. 9. 9. 9. 9. 10 3

17 1310 13 3 17 130 51 79⋅ − ⋅ = − = 10. 10. 10. 10. 10. ( )( ) ( )( )− −

− −− − − − − = − =−

5 8

19 215 21 8 19 105 152 47

11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( )8 2

3 08 0 2 3 0 6 6− − − = + = 12. 12. 12. 12. 12. ( )( )31 85

20 4331 43 85 20 1 333 1 700 367

−− ⋅ − − − = − =−. .

EJERCICIO 184

1. 1. 1. 1. 1. 7 8 29

5 11 26

29 8

26 11

7 8

5 11

319 20877 40

11137

3

7 29

5 26

7 8

5 11

182 14537

3737

1

3 1

x y

x y

x

y

sol x y

+ =+ =

= = −−

= =

= = − = =

= =:

2. 2. 2. 2. 2. 3 4 13

8 5 5

13 4

5 5

3 4

8 5

65 2015 32

8517

5

3 13

8 5

3 4

8 5

15 10417

11917

7

5 7

x y

x y

x

y

sol x y

− =− =−

=

−− −

−−

= − −− +

= − = −

=−−−

= − − = − = −

= − = −:

3. 3. 3. 3. 3. 13 31 326

25 37 146

326 31

146 37

13 31

25 37

12 062 4 526481 775

7 5361 256

6

13 326

25 146

13 31

25 37

1 898 8 1501 256

10 0481 256

8

6 8

x y

x y

x

x

y

y

sol x y

− =−+ =

=

− −

−

= − ++

= − = −

=

−

−

= + = =

= − =

. . ..

. ..

..

:

4. 4. 4. 4. 4. 15 44 6

27 32 1

6 44

1 32

15 44

27 32

192 44480 1 188

236708

13

15 6

27 1

15 44

27 32

15 162708

177708

14

13

14

x y

x y

x

x

y

y

sol x y

− =−− + =−

=

− −−

−−

= − −−

= −−

=

=

−− −

−−

= − −−

= −−

=

= =

.

:

5. 5. 5. 5. 5. 8 9

8 9 0

2 5 372

4 10 6 7

4 6 3

0 9

3 6

8 9

4 6

0 2748 36

2712

94

2

8 0

4 3

8 9

4 6

24 012

2412

2

2 2

14

14

x y

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

sol x y

= −+ =

+ + =

+ + =+ =−

=−

= +−

= = =

=−

= − − = − = −

= =−:

6. 6. 6. 6. 6. ax by

ax by

x

b

b

a b

a b

xb b

ab abbab a

y

a

a

a b

a b

ya aab

aab b

sol xa

yb

− =−+ =

=

− −

−

=− +

+= =

=

−

−

= + = =

= =

1

7

1

7

7 62

3

1

7

72

82

4

3 4:

7. 7. 7. 7. 7. ( )

( )

3 2 2 1

3 2 2 1

3 3 3

1

5 3 3 1

5 3 3 1

4 5 4

1 1

4 5

1 1

4 5

5 4

5 49

1 1

4 4

1 1

4 5

4 4

18

9 8

x y y

x y y

x y

x y

y x x

y x x

x y

x x

y y

sol x y

− + = +− − = +

− =− =

− + = +− − = +

− + =

=

−

−−

=+−

=

=−

−−

=+

=

= =:

8. 8. 8. 8. 8. ax y

axy

ax y

xa

a

a a a a

y

a

a

a

a

a a

a

a

a

sol xa

y

+ =

− =−

− =−

=− −

−

=− +

− −=

−−

=

=−

−

=− −

−=

−−

=

= =

2 2

23 1

6 2

2 2

2 6

2

6

12 4

6 2

8

8

1

2

2

2

6

2 28

48

12

1 12

:

9. 9. 9. 9. 9. x y

x y

x y

x y

x

y

sol x y

4 64

3 2 48

8 120

3 2 0

48 2

0 2

3 2

3 2

96 06 6

9612

8

3 48

3 0

3 2

3 2

0 14412

12

8 12

+ = −

+ =−

− =

− =

=

−−

−

= −− −

=−

= −

=

−

−

= +−

= −

= − = −:

10. 10. 10. 10. 10.

( )( )

( ) ( )

3 3 1

2

2

3 1

2

3

1

3 2

3

3 1

3 1

3 3 1

1 2

3

1

6 3 1

3 1

3 1

3 1

1

1

2

2

2

3 2 2

2

2

2

x ay a

x

aay

x a y a

x

a a

a a

a

a

xa a a

a a

a a

a aa

y

a

a

a

a

ya a

a a

a

a a a

sol x a ya

+ = +

+ =

+ =

=

+

=+ −

−=

−−

=

=

+

=− −

−=

−−

=

= =:

11. 11. 11. 11. 11.

( ) ( )

( ) ( )

x y

x y

x y

x y

x y

y x

y x

y x

x y

x y

x

x

y

y

+−

−=

+ − − =+ − + =

− + =− = −

−−

−=

− − − =− − + =

− + − =− + =

=

− −

−−

=− +

−=

−= −

=

−−

−−

=−

2

3

3

8

5

6

8 2 3 3 20

8 16 3 9 20

8 3 25 20

8 3 5

5

6

2 3

50

5 5 6 2 3 0

5 25 12 18 0

12 5 7 0

12 5 7

5 3

7 5

8 3

12 5

25 21

40 36

4

41

8 5

12 7

8 3

12 5

56 60

40 36

4

41

1 1

−=

−= −

= − = −sol x y:

12. 12. 12. 12. 12.

( )

( )

( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )

3 2 5

4 2 1

5 2

2 1 4

3 2

4

20 4 1

12 2

4 6

2 62

3 5

2 1

3 2

4

6 1 5

2 6

6

2 6

1

2

21

2

x y

mx y m

xm

m

xm

m

m

m

ym m

m

ym m

m

m

m

sol x y

− =

+ = +

=

−

+−

=+ +

+=

++

=

=+−

=+ −

+=

++

=

= =:

13. 13. 13. 13. 13.

( ) ( )

( ) ( )

22 3

172

34 2 3 17 2

34 2 3 17 34

34 19 37

34 1

213 5

63 4 1 21 3 5

63 4 1 63 105

67 63 106

37 19

106 63

34 19

67 63

2 331 2 014

2 142 1 273

4 345

8695

34 37

67 106

34 19

67 63

3 604 2 479

869

xy

y

x y y

x y y

x y

yx

x

y x x

y x x

x y

x

x

y

y

−+

= +

− + = +− − = +

− =

−+

= +

− + = +− − = +

− + =

=

−

−−

=+−

= =

=−

−−

=+

=

. .

. .

.

. .7

5 7sol x y: = =

14. 14. 14. 14. 14.

( )

( )

x y

x y

x y x y

x y x y

x y

x y

x y

x y x y

x y x y

x y

x y

x

y

sol x y

+−

=

+ = −+ = −

− + =− −+ +

=

− − = + +− − = + +

− =− =

=−

−−

=−−

=−−

=

=

−

−−

=− −

−=

= =

4

4

4 4

3 5 0

1

1

1

9

9 1 1

9 9 9 1

8 10 10

4 5 5

0 5

5 5

3 5

4 5

0 25

15 20

25

55

3 0

4 5

3 5

4 5

15 0

53

5 3:

15. 15. 15. 15. 15.

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

x y b

x

a b

y

a b

x a b y a b a b

x

b

a b a b

a b a b

xb a b a b

a b a b

a b a

ab a

y

b

a b a b

a b a b

ya b b a b

a

a a b

aa b

sol x a b y a b

− =

++

−=

− + + = −

=

−

− +−

− +

=+ + −

+ + −=

+= +

=− −

−− +

=− − −

=−

= −

= + = −

2

2

2

2 1

2

1 1

2 2 2

2

1 2

2

1 1

2 2

2

2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

:

16. 16. 16. 16. 16.

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

x

x

y

y

x y x y

xy x y xy x y

x y

x y

x

x

y

y

y x y x

xy y x xy y x

x y

x y

x

y

+−

=++

+ + = − ++ + + = + − −+ = −

+ = −+−

=++

+ + = + −+ + + = − + −

− + = −− + = −

=

−−

−

=− +

+=

−= −

9

9

21

39

9 39 9 21

39 9 351 21 9 189

18 18 540

30

8

8

19

11

11 8 19 8

8 11 88 8 19 152

8 16 240

2 30

30 1

30 2

1 1

1 2

60 30

2 1

30

310

=

−− −

−

=− −

=−

= −

= − = −

1 30

1 30

1 1

1 2

30 30

3

60

320

10 20sol x y:

EJERCICIO 185

1. 1. 1. 1. 1. x y x y

x y x y

y x y x

− = + == =− = == = = =

1 7

0 1 0 7

0 1 0 7

sol : x = 4 y = 3sol : x = 4 y = 3sol : x = 4 y = 3sol : x = 4 y = 3sol : x = 4 y = 3

2. 2. 2. 2. 2. x y x y

x y x y

y x y x

− = + =−= =− = =−= = = =−

2 10 2 3 8

0 5 0 2

0 10 0 4

23

sol : x = 2 Y = - 4sol : x = 2 Y = - 4sol : x = 2 Y = - 4sol : x = 2 Y = - 4sol : x = 2 Y = - 4

x + y = 7

x + y = 7

x + y = 7

x + y = 7

x + y = 7

x - y

= 1

x - y

= 1

x - y

= 1

x - y

= 1

x - y

= 1

x - 2y

= 10

x - 2y

= 10

x - 2y

= 10

x - 2y

= 10

x - 2y

= 10

2x + 3y = -8

2x + 3y = -8

2x + 3y = -8

2x + 3y = -8

2x + 3y = -8

(4,3)(4,3)(4,3)(4,3)(4,3)

(2,-4)(2,-4)(2,-4)(2,-4)(2,-4)

3. 3. 3. 3. 3. 5 3 0 7 16

3 5 0 16

0 2 27

x y x y

x y x y

y x

− = − =−= = = =

= =−

sol : x = - 3 y = - 5sol : x = - 3 y = - 5sol : x = - 3 y = - 5sol : x = - 3 y = - 5sol : x = - 3 y = - 5

4. 4. 4. 4. 4. 3 4 5 6 38

3 4 0 2 8

4 3 3 4

x y x y

x y x y

x y y x

= − − =+ = =− =−

= =− =− =

sol : x = 4 y = - 3sol : x = 4 y = - 3sol : x = 4 y = - 3sol : x = 4 y = - 3sol : x = 4 y = - 3

5. 5. 5. 5. 5. 3 4 15 2 5

5 0 0 5

1 3 2 1

x y x y

x y x y

x y x y

+ = + == = = == = = =

6. 6. 6. 6. 6. 5 2 16 4 3 10

2 3 2 6

4 2 1 2

x y x y

x y x y

x y x y

+ = + == = = − == = − = =

sol : x = 4 y = - 2sol : x = 4 y = - 2sol : x = 4 y = - 2sol : x = 4 y = - 2sol : x = 4 y = - 2

sol : x = 1 y = 3sol : x = 1 y = 3sol : x = 1 y = 3sol : x = 1 y = 3sol : x = 1 y = 3

Escala 1:2Escala 1:2Escala 1:2Escala 1:2Escala 1:2

7x -

y =

-16

7x -

y =

-16

7x -

y =

-16

7x -

y =

-16

7x -

y =

-16 5x

- 3y =

0

5x - 3

y = 0

5x - 3

y = 0

5x - 3

y = 0

5x - 3

y = 0

5x -

6y =

38

5x -

6y =

38

5x -

6y =

38

5x -

6y =

38

5x -

6y =

38

3x + 4y = 0

3x + 4y = 0

3x + 4y = 0

3x + 4y = 0

3x + 4y = 0

4x + 3y = 10

4x + 3y = 10

4x + 3y = 10

4x + 3y = 10

4x + 3y = 10 5x + 2y = 16

5x + 2y = 16

5x + 2y = 16

5x + 2y = 16

5x + 2y = 16

3x + 4y = 15

3x + 4y = 15

3x + 4y = 15

3x + 4y = 15

3x + 4y = 15

2x + y = 5

2x + y = 5

2x + y = 5

2x + y = 5

2x + y = 5

(-3,-5)(-3,-5)(-3,-5)(-3,-5)(-3,-5)

(1,3)(1,3)(1,3)(1,3)(1,3)

(4,-2)(4,-2)(4,-2)(4,-2)(4,-2)

(4,-3)(4,-3)(4,-3)(4,-3)(4,-3)

9. 9. 9. 9. 9. x y

x y

x y x y

x yx y

x y x y

2 3

1

63 2 1

3 5 3 4

3 4

7

124 3 7

1 1 4 3

− = − − = −

= = = − = −

+ = − + = −

= − = − = − =

;

;

sol : x = - 1 y = - 1sol : x = - 1 y = - 1sol : x = - 1 y = - 1sol : x = - 1 y = - 1sol : x = - 1 y = - 1

7. 7. 7. 7. 7. x y y x

x y x y

x y x y

x y x y

+ = + − = +− = − − + == = = == − = = − =

8 2 4 2

6 6

0 6 0 6

6 0 6 0

sol : Equivalentessol : Equivalentessol : Equivalentessol : Equivalentessol : Equivalentes

8. 8. 8. 8. 8. 3

5 42 5 25

12 5 40 0 5

0 8 5 4

5 4

x yx y

x y x y

x y x y

x y

+ = − =

+ = = =−= = = =−= = −

sol : x = 5 y = - 4sol : x = 5 y = - 4sol : x = 5 y = - 4sol : x = 5 y = - 4sol : x = 5 y = - 4

10. 10. 10. 10. 10. x y x y

x y x y

x y x y

+ = + == = = =

= = = =

3 6 3 9 10

0 2 0 1

6 0 3 0

19

13

sol : Incompatiblessol : Incompatiblessol : Incompatiblessol : Incompatiblessol : Incompatibles

(-1,-1)(-1,-1)(-1,-1)(-1,-1)(-1,-1)

(5,-4)(5,-4)(5,-4)(5,-4)(5,-4)

x + 8 = y

+ 2

x + 8 = y

+ 2

x + 8 = y

+ 2

x + 8 = y

+ 2

x + 8 = y

+ 2

y - 4 =

x + 2

y - 4 =

x + 2

y - 4 =

x + 2

y - 4 =

x + 2

y - 4 =

x + 2

x - 5y = 25x - 5y = 25x - 5y = 25x - 5y = 25x - 5y = 25

x + 3y = 6

x + 3y = 6

x + 3y = 6

x + 3y = 6

x + 3y = 6

3x +9y =10

3x +9y =10

3x +9y =10

3x +9y =10

3x +9y =10

12x + 5y = 40

12x + 5y = 40

12x + 5y = 40

12x + 5y = 40

12x + 5y = 40

3x -

2y =

- 1

3x -

2y =

- 1

3x -

2y =

- 1

3x -

2y =

- 1

3x -

2y =

- 1

4x + 3y = -7

4x + 3y = -7

4x + 3y = -7

4x + 3y = -7

4x + 3y = -7

11. 11. 11. 11. 11. 2 3 13

2 3 5 1

6 9 39

2 3 5 1

x y

x y x y

x y

x y x y

+ =−= − = − = − = −+ =−

= − = − = − = −

;

,

sol : Equivalentessol : Equivalentessol : Equivalentessol : Equivalentessol : Equivalentes

12. 12. 12. 12. 12.

( ) ( ) ( ) ( )

x y y x

x y y x

x y y x

x y x y

x y x y

x y x y

−−

−=

−+

−= −

− − − = − + − =−− − + = − + − = −− = + = −

= = − = = −= = − = − = −

2

2

3

34

2

2

3

3

11

3

3 2 2 3 24 3 2 2 3 22

3 6 2 6 24 3 6 2 6 22

3 2 24 2 3 10

6 3 4 6

4 6 2 2

sol : x = 4 y = - 6sol : x = 4 y = - 6sol : x = 4 y = - 6sol : x = 4 y = - 6sol : x = 4 y = - 6

13. 13. 13. 13. 13. x y

x y x y

x y

x y x y

x y

x y x y

+ == = = =− = −= = = =− =−= = = =

9

6 3 4 5

1

0 1 2 3

2 6

0 3 2 4

;

;

;

sol : x = 4 y = 5sol : x = 4 y = 5sol : x = 4 y = 5sol : x = 4 y = 5sol : x = 4 y = 5

14. 14. 14. 14. 14. x y

x y x y

x y

x y x y

x y

x y x y

+ == = = =+ =

= = =− =+ =

= = = =

5

0 5 2 3

3 4 18

2 3 2 6

2 3 13

2 3 5 1

;

;

;

sol : x = 2 y = 3sol : x = 2 y = 3sol : x = 2 y = 3sol : x = 2 y = 3sol : x = 2 y = 3

(4,-6)(4,-6)(4,-6)(4,-6)(4,-6)

(2,3)(2,3)(2,3)(2,3)(2,3)

(4,5)(4,5)(4,5)(4,5)(4,5)2x + 3y = - 13

2x + 3y = - 13

2x + 3y = - 13

2x + 3y = - 13

2x + 3y = - 13

6x + 9y = - 39

6x + 9y = - 39

6x + 9y = - 39

6x + 9y = - 39

6x + 9y = - 39

x + y = 5

x + y = 5

x + y = 5

x + y = 5

x + y = 5

3x + 4y = 18

3x + 4y = 18

3x + 4y = 18

3x + 4y = 18

3x + 4y = 18

2x + 3y = 13

2x + 3y = 13

2x + 3y = 13

2x + 3y = 13

2x + 3y = 13

x + y = 9

x + y = 9

x + y = 9

x + y = 9

x + y = 9

x - 2y = - 6

x - 2y = - 6

x - 2y = - 6

x - 2y = - 6

x - 2y = - 6

x - y

= -

1

x - y

= -

1

x - y

= -

1

x - y

= -

1

x - y

= -

1

2x + 3y = -10

2x + 3y = -10

2x + 3y = -10

2x + 3y = -10

2x + 3y = -10 3x -

2y =

24

3x -

2y =

24

3x -

2y =

24

3x -

2y =

24

3x -

2y =

24

EJERCICIO 1861. 1. 1. 1. 1.

( )

( )

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x z

x y z

x y z

x z

x z

x z

x z

x z

x z

x

x

z

z

z

z

y

y

y

sol x y

+ + =− + =− − = −

+ + =− + =

+ =+ + =− − = −

− = −− = −

+ =− = −

+ =− = −

==

+ =+ =

==

+ + =+ =

==

6

2 5

3 10

6

2 5

2 3 11

6

3 10

2 2 4

2

2 3 11

2 3

2 3 11

3 3 6

5 5

1

2 1 3 11

2 3 11

3 9

3

1 3 6

4 6

2

1: = =2 3z

2. 2. 2. 2. 2.

( )

( )

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x z

x y z

x y z

x y z

x y z

x z

x z

x z

x z

x z

x

x

+ + =− + =

+ − =+ + =− + =

+ =− + =

+ − =

− + =+ − =

+ =+ =

+ = −

+ =− − = −

− = −=

12

2 7

2 6

12

2 7

3 2 19

2 7 2

2 6

4 2 2 14

2 6

5 20

3 2 19

5 20 2

3 2 19

10 2 40

7 21

3

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

15. 15. 15. 15. 15. 2 1

0 1 1 1

2 13

5 4 3 5

3 2 19

5 2 3 5

x y

x y x y

x y

x y x y

x y

x y x y

+ = −= =− =− =− =−= − = = − =− =−

= − = = − =

;

;

;

sol : x = - 3 y = 5sol : x = - 3 y = 5sol : x = - 3 y = 5sol : x = - 3 y = 5sol : x = - 3 y = 5

16. 16. 16. 16. 16. x y y x x y

x y x y x y

x y x y x y

− = − = − − == = − = = − = − = −= = = =− = =

1 2 4 4 5 7

0 1 0 2 2 3

1 0 2 1 3 1

sol : x = - 2 y = - 3sol : x = - 2 y = - 3sol : x = - 2 y = - 3sol : x = - 2 y = - 3sol : x = - 2 y = - 3

x - y

= 1

x - y

= 1

x - y

= 1

x - y

= 1

x - y

= 1

2y - x

= - 4

2y - x

= - 4

2y - x

= - 4

2y - x

= - 4

2y - x

= - 4

4x - 5y = 7

4x - 5y = 7

4x - 5y = 7

4x - 5y = 7

4x - 5y = 7

x - 2y = - 1

3

x - 2y = - 1

3

x - 2y = - 1

3

x - 2y = - 1

3

x - 2y = - 1

3

3x -

2y =

- 19

3x -

2y =

- 19

3x -

2y =

- 19

3x -

2y =

- 19

3x -

2y =

- 19

2x + y = -1

2x + y = -1

2x + y = -1

2x + y = -1

2x + y = -1

(-3,5)(-3,5)(-3,5)(-3,5)(-3,5)

(-2,-3)(-2,-3)(-2,-3)(-2,-3)(-2,-3)

2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación( )5 3 20

15 20

5

3 5 12

8 12

4

3 4 5

+ =+ =

=+ + =

+ ==

= = =

z

z

z

y

y

y

sol x y z:

3. 3. 3. 3. 3.

( )

( )

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x z

x z

x y z

x y z

x y z

x y z

x z

x z

x z

x z

x z

x

x

z

z

y

y

− + =+ + =

+ − = −− + =+ + =

+ =+ =

− + =+ − = −

− + =+ − = −

+ =

+ = −+ =

− − = −+ =

= −= −

− + ==

− − + =− + =

−

2

4

2 2 4

2

4

2 2 6

3

2 2

2 2 4

2 2 2 4

2 2 4

4 0

3 1

4 0

3

4 0

3 3

1

1 3

4

1 4 2

3 2

y

y

sol x y z

= −=

= − = =

1

1

1 1 4:

4. 4. 4. 4. 4.

( )

2 3 1

3 2 12

3 2 5

2 3 1 2

3 2 5

4 2 6 2

3 2 5

7 7 7

1

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x z

x z

+ − = −− − = −− − = −

+ − = −− − = −

+ − = −− − = −

− = −− = −

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

4. Continuación4. Continuación4. Continuación4. Continuación4. Continuación

( )

( )

( ) ( )

2 3 1 3

3 2 12

6 3 9 3

3 2 12

7 11 15

1 7

7 11 15

7 7 7

7 11 15

4 8

2

2 1

1

2 1 3 2 1

2 6 1

4 1

3

1 3 2

x y z

x y z

x y z

x y z

x z

x z

x z

x z

x z

z

z

x

x

y

y

y

y

sol x y z

+ − = −− − = −

+ − = −− − = −

− = −

− = − −− = −

− + =− = −

− = −=

− = −=+ − = −

+ − = −− = −

== = =:

5. 5. 5. 5. 5.

( )

( )

( ) ( )

2 3 1

6 2 14

3 1

2 3 1

3 1

5 4 2

2 3 1

6 2 14

8 13

5 4 2

8 13 4

5 4 2

32 4 52

27 54

2

8 2 13

16 13

3

2 2 3 3 1

4 9 1

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y

x y z

x y z

x y

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

y

z

z

+ + =− − = −+ − =

+ + =+ − =

+ =+ + =− − = −

+ = −+ =

+ = − −

+ =− − =

− == −

− + = −− + = −

=

− + + =− + + =

5 1

4

2 3 4

+ == −

= − = = −

z

z

sol x y z:

6. 6. 6. 6. 6.

( )

( )

( )

5 2 24

2 5 2 14

4 3 26

5 2 24 2

2 5 2 14

10 4 2 48

2 5 2 14

12 34

5 2 24 3

4 3 26

15 6 3 72

4 3 26

14 2 46

12 34 2

14 2 46

24 2

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y

x y z

x y z

x y z

x y z

x y

x y

x y

x y

− + =+ − =−

− + =− + =+ − = −

− + =+ − = −

+ =

− + = −− + =

− + − =−− + =

− + = −

+ = −− + = −

− − = −

( )

( )

68

14 2 46

38 114

3

12 3 34

36 34

2

3 4 2 3 26

3 8 3 26

3 15

5

3 2 5

− + = −

− = −=

+ =+ =

= −

− − + =+ + =

==

= = − =

x y

x

x

y

y

y

z

z

z

z

sol x y z:

7. 7. 7. 7. 7.

( )

( )

4 2 3 8

3 4 2 1

2 5 3

4 2 3 8 2

3 4 2 1

8 4 6 16

3 4 2 1

5 4 17

5 4 17

4 2 3 8

2 5 3 2

4 2 3 8

4 2 10 6

8 13 14

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x z

x z

x y z

x y z

x y z

x y z

x z

+ + =+ + = −− + =

+ + = −+ + = −

− − − =−+ + = −

− − = −+ =

+ + =− + =

+ + =− + =

+ =ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

7. Continuación7. Continuación7. Continuación7. Continuación7. Continuación

( )( )

( )

( ) ( )

8 13 14 5

5 4 17 8

40 65 70

40 32 136

33 66

2

5 4 2 17

5 8 17

5 25

5

2 5 5 2 3

10 10 3

3

3

5 3 2

x z

x z

x z

x z

z

z

x

x

x

x

y

y

y

y

sol x y z

+ = −

+ =

− − =−+ =

− == −

+ − =− =

==

− + − =− − =

− == −

= = − = −:

8. 8. 8. 8. 8.

( )

( )

( )

( )

6 3 2 12

9 4 37

10 5 3 21

6 3 2 12

9 4 37 3

6 3 2 12

27 3 12 111

33 14 123

9 4 37 5

10 5 3 21

45 5 20 185

10 5 3 21

55 23 206

33 14 123 5

55 23 206 3

165 70 615

165

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x z

x y z

x y z

x y z

x y z

x z

x z

x z

x z

x

+ + =− + =+ + =

+ + =− + =

+ + =− + =

+ =− + =+ + =

− + =+ + =

+ =+ =

+ = −

+ =−

( )

( ) ( )

− = −

= −

+ − =− =

==

+ + − =+ − =

+ == −= −

= = − = −

69 618

3

33 14 3 123

33 42 123

33 165

5

6 5 3 2 3 12

30 3 6 12

3 24 12

3 12

4

5 4 3

z

z

x

x

x

x

y

y

y

y

y

sol x y z:

9. 9. 9. 9. 9.

( )

( )

( )

2 4 3 3

10 8 9 0

4 4 3 2

2 4 3 3 3

10 8 9 0

6 12 9 9

10 8 9 0

16 4 9

10 8 9 0

4 4 3 2 3

10 8 9 0

12 12 9 6

2 20 6

10 3

16 4 9 5

10 3

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y

x y z

x y z

x y z

x y z

x y

x y

x y

x y

+ + =− − =

+ − =+ + =− − =

+ + =− − =

+ =− − =

+ − = −

− − =− − + =−

− − = −+ =

+ =

+ = −( )2

80 20 45

2 20 6

78 39

1

2

161

24 9

8 4 9

4 1

1

4

21

24

1

43 3

1 1 3 3

3 1

1

31

2

1

4

1

3

x y

x y

x

x

y

y

y

y

z

z

z

z

sol x y z

+ =− − = −

=

=

+ =

+ ==

=

+

+ =

+ + ==

=

= = =:

10. 10. 10. 10. 10.

( )

3 1

2 1

2 17

3 1

2 1

4 3 2

2 1 2

2 17

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y

x y z

x y z

+ + =+ − =+ + = −

+ + =+ − =

+ =+ − =+ + = −

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

10. Continuación10. Continuación10. Continuación10. Continuación10. Continuación

( )

( )

( )

2 4 2 2

2 17

3 5 15

4 3 2 3

3 5 15 4

12 9 6

12 20 60

11 66

6

4 3 6 2

4 18 2

4 20

5

5 6 2 17

2 16

8

5 6 8

x y z

x y z

x y

x y

x y

x y

x y

y

y

x

x

x

x

z

z

z

sol x y z

+ − =+ + = −

+ = −+ =

+ = − −

+ =− − =

− == −

+ − =− =

==

− + = −= −= −

= = − = −:

11. 11. 11. 11. 11.

( )

( )

7 3 4 35

3 2 5 38

6 27

7 3 4 35

6 27 3

7 3 4 35

3 3 18 81

4 14 46

2 7 23

3 2 5 38

6 27 2

3 2 5 38

2 2 12 54

5 7 16

2 7 23

5 7 16

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x z

x z

x y z

x y z

x y z

x y z

x z

x z

x z

+ − = −− + =

+ − = −+ − = −

+ − = − −

+ − = −− − + =

+ =+ =

− + =+ − = −

− + =+ − = −

− = −+ =− = −

( )

( )

7 7

1

2 1 7 23

7 21

3

1 6 3 27

17 27

10

1 10 3

x

x

z

z

z

y

y

y

sol x y z

==

+ ===

+ − = −− = −

= −= = − =:

12. 12. 12. 12. 12.

( )

( )

( )

4 5 6

3 3 4 30

6 2 3 33

4 5 6 3

3 3 4 30

12 3 15 18

3 3 4 30

15 11 12

4 5 6 2

6 2 3 33

8 2 10 12

6 2 3 33

14 7 21

2 3

15 11 12

2 3 11

15

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x z

x y z

x y z

x y z

x y z

x z

x z

x z

x z

x

− + = −+ − =+ − =

− + = −+ − =

− + = −+ − =

+ =− + = −+ − =

− + = −+ − =

+ =+ =

+ =

+ = −

+

( )

( ) ( )

11 12

22 11 33

7 21

3

2 3 3

3

4 3 5 3 6

12 15 6

3 6

3

3

3 3 3

z

x z

x

x

z

z

y

y

y

y

y

sol x y z

=− − = −

− = −=

+ == −

− + − = −− − = −− − = −

− = −=

= = = −:

13. 13. 13. 13. 13.

( )

( )

( )

9 4 10 6

6 8 5 1

12 12 15 10

6 8 5 1 2

12 12 15 10

12 16 10 2

12 12 15 10

28 25 12

9 4 10 6 2

6 8 5 1 3

18 8 20 12

18 24 15 3

32 35 15

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

y z

x y z

x y z

x y z

x y z

y z

+ − =− + = −+ − =

− + = − −+ − =

− + − =+ − =

− =+ − =

− + = − −

+ − =− + − =

− =ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

13. Continuación13. Continuación13. Continuación13. Continuación13. Continuación

( )( )

28 25 12 8

32 35 15 7

224 200 96

224 245 105

45 9

1

5

28 251

512

28 5 12

28 7

1

4

6 81

45

1

51

6 2 1 1

6 2

1

31

3

1

4

1

5

y z

y z

y z

y z

z

z

y

y

y

y

x

x

x

x

sol x y z

− = −

− =

− + = −− =

− =

= −

− −

=

+ ==

=

−

+ −

= −

− − = −=

=

= = = −:

14. 14. 14. 14. 14.

( )

5 3 11

10 10

15 2 7

5 3 11

10 10

15 2 1

10 10

15 2 7

25 3

15 2 1

25 3 2

15 2 1

50 2 6

35 7

1

5

151

52 1

3 2 1

2 4

2

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y

x y z

x y z

x y

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

y

y

+ − =−− + =+ − = −

+ − = −− + =

+ = −− + =+ − = −

+ =+ = −

+ = −

+ = −− − = −

− = −

=

+ = −

+ = −= −= −

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

14. Continuación14. Continuación14. Continuación14. Continuación14. Continuación

( )( )

10 2 10

101

52 10

2 2 10

6

1

52 6

x z

z

z

z

sol x y z

− − + =

− − + =

+ + ==

= = − =:

15. 15. 15. 15. 15.

( )

x y

y z

z x

x y

y z

x y

y z

x z

x z

x z

x

x

y

y

z

z

sol x y z

+ =+ = −+ = −

+ =

+ = − −

+ =− − =

− =− =+ = −

= −= −

− + ==

+ = −= −

= − = = −

1

1

6

1

1 1

1

1

2

2

6

2 4

2

2 1

3

3 1

4

2 3 4:

16. 16. 16. 16. 16.

( )

( )

x y

y z

x z

x y

y z

x y

y z

x z

x z

x z

x z

x z

z

z

x x

y

y y

sol x y z

+ = −+ =

+ =+ = −

+ = −

+ = −− − =

− = −

− = − −+ =

− + =+ =

==

− = − ⇒ =+ = −

= − ⇒ = −= = − =

2 1

2 0

2 11

2 1

2 0 1

2 1

2 0

1

1 1

2 11

1

2 11

3 12

4

4 1 3

3 2 1

2 4 2

3 2 4:

17. 17. 17. 17. 17.

( )

y z

x z

y x

y z

x z

y z

x z

x y

x y

x y

y

y

z

z

x

x

x

sol x y z

+ = −+ =+ = −

+ = −

+ = −

+ = −− − = −

− + = −− + = −

+ = −

= −= −

− + = −= −

− ==== = − = −

8

2 9

3 2 3

8

2 9 1

8

2 9

2 17

2 17

2 3 3

4 20

5

5 8

3

2 3 9

2 12

6

6 5 3:

18. 18. 18. 18. 18.

( )

( )( )

( )

( )

3 2 0

3 4 25

5 14

3 4 25

5 14 4

3 4 25

20 4 56

20 3 31

20 3 31 2

3 2 0 3

40 6 62

9 6 0

31 62

2

3 2 2 0

6 2 0

2 6

3

3 3 4 25

4 16

4

2 3

x y

y z

z x

y z

x z

y z

x z

x y

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

y

y

z

z

z

sol x y z

− =− =

− = −− =

− + = −

− =− + = −

− + = −− + = −

− =

− + = −− =

− = −=

− =− =− = −

=− =− =

= −= =: = − 4

19. 19. 19. 19. 19.

( )

( )

3 5 10

5 3 7

3 5 13

5 3 10

5 3 7

3 3 3

1

3 5 13

1 3

3 5 13

3 3 3

2 10

5

5 1

4

4

5 3 4 7

5 12 7

5 5

1

1 4 5

z x

x y

y z

x z

x y

y z

y z

y z

y z

y z

y z

z

z

y

y

y

x

x

x

x

sol x y z

− =− = −− = −

− + =− = −

− + =− + =

− = −− + =

− = −− + =

− = −=

− + =− = −

=− = −

− = −==

= = =:

20. 20. 20. 20. 20.

( )

( )

( )

x y

y z

x y z

x y z

x y

x y z

x y

y z

y z

y z

y z

y z

y

y

x

x

x

z

z

sol x y z

− =− =+ + =

+ + =

− = −

+ + =− + =

+ =+ =

− =

+ =− =

==

− =− =

=+ + =

= −= = = −

2 0

2 5

8

8

2 0 1

8

2 0

3 8

3 8 2

2 5

6 2 16

2 5

7 21

3

2 3 0

6 0

6

6 3 8

1

6 3 1:

21. 21. 21. 21. 21.

( )

( )

( )

5 3 2

2 5

2 4 8

2 4 8

2 5 2

2 4 8

2 4 10

2

5 2 3 2

10 3 2

3 12

4

2 4 5

8 5

3

3

2 3 4

x z

z y

x y z

x y z

y z

x y z

y z

x

z

z

z

z

y

y

y

y

sol x y z

− =− = −

+ − =+ − =− + =−

+ − =− + = −

= −

− − =− − =

− == −

− − = −− − = −

− == −

= − = − = −:

22. 22. 22. 22. 22.

( )

( )

( )

2 14

4 41

3 5 53

4 41

3 5 53

7 4 94

7 4 94

2 14 4

7 4 94

8 4 56

15 150

10

2 10 14

20 14

6

6

4 10 6 41

34 41

7

10 7 6

x z

x y z

x y z

x y z

x y z

x z

x z

x z

x z

x z

x

x

z

z

z

z

y

y

y

sol x y z

− =+ − =− + =

+ − =− + =

+ =+ =− =

+ =− =

==

− =− =− = −

=+ − =

+ ==

= = =:

23. 23. 23. 23. 23. x y z

z x y

z x y

z x y

z x y

z z

+ − =+ − =− + =

+ − =− + =

= ⇒ =

1

3

7

3

7

2 10 5ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

23. Continuación23. Continuación23. Continuación23. Continuación23. Continuación

x y z

x y z

x

x

y

y

y

y

sol x y z

− + =+ − =

==

− + =− + =

− = −=

= = =

3

1

2 4

2

2 5 3

7 3

4

4

2 4 5:

24. 24. 24. 24. 24.

( )( )

( )

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x z

x y z

x y z

x y z

x y z

x z

x

2 2 33

3 3 2 18

3 6 25

2 3 30

6 3 60

2 0

3 3 2 18 2

2 0 3

6 6 4 36

3 6 3 0

9 36

2 3 30 2

2 0

4 2 6 60

2 0

5 5 60

+ − =

+ − =

+ − = −

+ − = −

− + =

− + =+ − =− + =

+ − =− + =

− =+ − = −− + =

+ − = −− + =

− = −−

( )

z

x z

x z

x z

x z

x

x

z

z

z

= −− =

− = − −

− =− + =

==

− = −− = −

=

12

9 36

12 1

9 36

12

8 48

6

6 12

18

18

24. Continuación24. Continuación24. Continuación24. Continuación24. Continuación

6 2 18 0

2 24 0

2 24

12

6 12 18

− + =− + =

− =−=

= = =

y

y

y

y

sol x y z:

25. 25. 25. 25. 25.

( )

( )

( )

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x z

x z

x y z

x y z

x y z

3 4 321

4 3 4 252

5 6 30

6 5 10 0

10 3 63

3 10 5 90

6 5 10 0 2

3 10 5 90

12 10 20 0

3 10 5 90

9 15 90

3 5 30

4 3 4 252 10

3 10 5 90 3

40 30 40

+ + =

+ + =

+ − =

+ − =

+ − =

+ − =

+ − = −+ − =

− − + =+ − =

− + =− + =

+ + =

+ − = −

+ + =

( )

( )

( ) ( )

2 520

9 30 15 270

31 55 2 250

3 5 30 11

31 55 2 250

33 55 330

31 55 2 250

64 1 920

30

3 30 5 30

90 5 30

5 120

24

6 30 5 10 24 0

180 240 5 0

5 60

12

30 12 24

.

.

.

.

.

:

− − + =−

+ =

− + = −+ =

− = −+ =

==

− + =− + =

==

+ − =− + =

==

= = =

x y z

x z

x z

x z

x z

x z

x

x

z

z

z

z

y

y

y

y

sol x y zContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

26. 26. 26. 26. 26.

( )

( )

xy z

x y z

yx z

y x z

zy x

z y x

x y z

x y z

x y z

x y z

x y

x y z

x y z

x y z

x y z

x y

x y

x y

−+

=

− − =

−+

=

− − =

−−

=

− + =

− − = −− + − =

− + + =−− + − =

− + =− + − =

− + =

− + − =− + =

− + =− + =

− + =

34

3 12

810

8 80

25

2 10

3 12 1

8 80

3 12

8 80

4 9 68

8 80 2

2 10

2 16 2 160

2 10

15 170

4 9 68

15 ( )

( )

( )

170 4

4 9 68

4 60 680

51 612

12

4 9 12 68

4 108 68

4 40

10

3 10 12 12

30 12 12

18 12

6

10 12 6

−

− + =− = −

− = −=

− + =− + =

− = −=

− − =− − =

− ==

= = =

x y

x y

y

y

x

x

x

x

z

z

z

z

sol x y z:

27. 27. 27. 27. 27.

( ) ( )

( ) ( )

x y y

x y y

x y y

x y

x z y

x z y

x z y

x y z

+=

+

+ = ++ = +− =

−=

−

− = −− = −

− − =−

7

4

5

5 7 4

5 5 7 28

5 2 28

5

4

2

2 5 4

2 2 5 20

2 5 2 20ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

27. Continuación27. Continuación27. Continuación27. Continuación27. Continuación

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

y z x

y z x

y z x

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

−=

+

− = +− = +

− + = −− − = −− + = −

− − = −− + = −

− = −− = −

− = −

− = −− + = −

− = −=

− =− =

3

2

10

10 3 2

10 10 3 6

3 10 10 6

2 5 2 20 5

3 10 10 6

10 25 10 100

3 10 10 6

13 35 106

13 35 106 2

5 2 28 35

26 70 212

175 70 980

149 1 192

8

5 8 2 28

40 2

.

( ) ( )

28

2 12

6

2 8 5 6 2 20

16 30 2 20

2 6

3

8 6 3

− = −=

− − = −− − = −

− = −=

= = =

y

y

z

z

z

z

sol x y z:

28. 28. 28. 28. 28.

( )

yz

x

y z x

x y z

zx

y

z x y

x y z

xy

z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

y z

−+

= −

− − = −− + − =−

−−

= −

− + = −− − + = −

−+

= +

− − = +− − =

− + − = −

− − + =− −

− + − = −+ − =

− =

4

26

2 4 2 12

2 2 8

7

35

3 7 3 15

3 3 22

2

54

5 2 5 20

5 5 22

2 2 8

3 3 22 2

2 2 8

2 6 6 44

8 7 36ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

28. Continuación28. Continuación28. Continuación28. Continuación28. Continuación

( )

( )

( ) ( )

5 5 22

3 3 22 5

5 5 22

5 15 15 110

16 10 88

8 5 44

8 5 44

8 7 36

2 8

4

8 7 4 36

8 28 36

8 64

8

3 8 3 4 22

12 22

10

10 8 4

x y z

x y z

x y z

x y z

y z

y z

y z

y z

z

z

y

y

y

y

x

x

x

sol x y z

− − =− − + = −

− − =− − + =−

− + = −− + = −

− + = −− =

− = −=

− =− =

==

− − + = −− − = −

== = =:

29. 29. 29. 29. 29.

( )

x yy z

x y y z

x y z

x y x z

x y x z

x y z

y zx

y z x

x y z

x y z

z

z

x y z

x y z

x y z

x y z

x z

− +−

=

− + − =− − =

−−

−=

− − + =− + =

−− = −

− − = −− − =

− + − =−

− = −=

− + =

− − = −

− + =− + + = −

− + = −−

23

2 2 6

2 6

2 40

2 2 0

2 0

25

2 10

2 6

2 10

2 4

2

2 0

2 6 2

2 0

4 2 2 12

3 3 12

3 ( )x

x

x

x

+ = −− + = −

− = −=

3 2 12

3 6 12

3 18

6

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

29. Continuación29. Continuación29. Continuación29. Continuación29. Continuación

6 2 2 0

2 8 0

2 8

4

6 4 2

− + =− + =

− =−=

= = =

y

y

y

y

sol x y z:

30. 30. 30. 30. 30.

( )

1 15

1 16 1

1 15

1 16

1 11

1 11

1 17

26

1

31 1

13

5

13 5

12

1

2112

16

21

6

14

1

41

2

1

3

1

4

x y

x z

x y

x z

y z

y z

y z

y

y

x

x

x

x

z

z

z

z

sol x y z

+ =

+ = −

+ =

− − = −

− = −

− = −

+ =

=

=

+ =

+ =

=

=

+ =

+ =

=

=

= = =:

31. 31. 31. 31. 31.

( )

( )

3 22

2 2 3

21

3 22

2 2 3

2

3 2 1

23 2 1

22

1 4 4

3

6 41

1 4 4

3

7 7

33

3

3

22

12

2

21

2

3

3

2 1

2

12 1

22 1

24

3 2 4

x y

y z

x y

y z

x z

x z

x z

x z

x z

xx

y

y

y

y

z

z

zz

sol x y z

+ =

+ = −

+ =

− − = −

− =

− =

+ =

− =

+ =

=

=

+ =

+ =

=

=

− =

− =

− = −

== = =:

32. 32. 32. 32. 32.

( )

1 4 26

3 2 43 2

1 4 26

6 4 86

5 612

x y z

x y z

x y z

x y z

x z

+ + = −

+ + = −

+ + = −

− − − = −

− − = −

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

32. Continuación32. Continuación32. Continuación32. Continuación32. Continuación

( )

( )

( )

( )

1 4 26 5

6 5 631 4

5 20 1030

24 20 24124

29 1494

5 612 7

29 1494 3

35 4284

87 42282

122366

122 366

1

3513

612

156

12

63

2

113

4 2

26

34

1 6

48

1

x y z

x y z

x y z

x y z

x z

x z

x z

x z

x z

xx

x

z

z

zz

y

y

y

+ + = −

− − =

+ + =−

− − =

− =

− − = −

− =

+ =

− =

=

=

=

− − = −

− − = −

− =

− =

+ +−

= −

+ − = −

= −

−2

1

3

1

22

=

= = − = −

y

sol x y z:

EJERCICIO 187

1. 1. 1. 1. 1. 1 2 1

1 3 4

1 0 2

1 2 1

1 3 4

6 0 8 3 0 4 7⇒ + + − − − =

2. 2. 2. 2. 2. 1 2 2

1 3 3

1 4 5

1 2 2

1 3 3

15 8 6 6 12 10 45

−−

−−

−⇒ − − − + − − =−

3. 3. 3. 3. 3. −−

−−

⇒ + + + + − =

3 4 1

2 3 0

1 2 7

3 4 1

2 3 0

63 4 0 3 0 56 14

4. 4. 4. 4. 4. 2 5 1

3 4 3

6 2 4

2 5 1

3 4 3

32 6 90 24 12 60 44

−−

−−

⇒ − − + − − − = −

5. 5. 5. 5. 5. 5 1 6

2 5 3

3 4 2

5 1 6

2 5 3

50 48 9 90 60 4 115

− −−

− −−⇒ + − + − − =

6. 6. 6. 6. 6. 4 1 5

3 2 6

12 3 2

4 1 5

3 2 6

16 45 72 120 72 6 65

−

−⇒ + − − + − = −

7. 7. 7. 7. 7. 5 2 8

3 7 3

4 0 1

5 2 8

3 7 3

35 0 24 224 0 6 171

−− −

−−

− −⇒ + + − + − = −

8. 8. 8. 8. 8. 3 2 5

1 3 4

3 2 5

3 2 5

1 3 4

45 10 24 45 24 10 0

− −

− −⇒ − − + + − + =

9. 9. 9. 9. 9. 5 2 3

6 1 2

3 4 5

5 2 3

6 1 2

25 72 12 9 40 60 0⇒ + + − − − =

10. 10. 10. 10. 10. 12 5 10

8 6 9

7 4 2

12 5 10

8 6 9

144 320 315 420 432 80 847

−−

−⇒ + + + − + =

11. 11. 11. 11. 11. − −− −

− −− −

⇒ − − − − − = −

9 3 4

7 5 3

4 6 1

9 3 4

7 5 3

45 168 36 80 162 21 422

12. 12. 12. 12. 12. 11 5 7

12 3 8

13 1 9

11 5 7

12 3 8

297 84 520 273 88 540 378

−−−

−−⇒ − + + − − =

EJERCICIO 1881. 1. 1. 1. 1. x y z

x y z

x y z

x

x

y

y

z

z

sol x y z

+ + =− + =+ − =

=

−−

−

−−

−

=+ + + − +

+ + + − += =

= −

=− + + − − +

= =

=−

−

= − + + + − − = =

= = =

11

3 13

2 2 7

11 1 1

13 1 3

7 2 1

11 1 1

13 1 3

1 1 1

1 1 3

2 2 1

1 1 1

1 1 3

11 26 21 7 66 131 2 6 2 6 1

126

2

1 11 1

1 13 3

2 7 1

1 11 1

1 13 3

13 7 66 26 21 116

246

4

1 1 11

1 1 13

2 2 7

1 1 11

1 1 13

7 22 26 22 26 76

306

5

2 4: 5

2. 2. 2. 2. 2. x y z

x y z

x y z

x

+ + = −+ − = −

− + =−

=

−− −− −−− −

−−

−

6

2 1

2 3 6

6 1 1

1 1 1

6 2 3

6 1 1

1 1 1

1 1 1

2 1 1

1 2 3

1 1 1

2 1 1

2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación

x

y

y

z

z

sol x y z

= − + + + + +− − − − −

=−

= −

=

−− −−−− −

=− − + + − +

−=

−= −

=

−−

− −−−

= − + − + − +−

=−

= −

= − = − = −

18 2 6 6 12 33 4 1 1 2 6

1111

1

1 6 1

2 1 1

1 6 3

1 6 1

2 1 1

3 12 6 1 6 3611

2211

2

1 1 6

2 1 1

1 2 6

1 1 6

2 1 1

6 24 1 6 2 1211

3311

3

1 2 3:

3. 3. 3. 3. 3. 2 3 4 3

2 6 8 5

4 9 4 4

3 3 4

5 6 8

4 9 4

3 3 4

5 6 8

2 3 4

2 6 8

4 9 4

2 3 4

2 6 8

72 180 96 96 216 60

48 72 96 96 144 24

48

96

1

2

2 3 4

2 5 8

4 4 4

2 3 4

2 5 8

40 32 96 80 64 24

96

32

96

1

3

2 3 3

2 6 5

4 9 4

x y z

x y z

x y z

x

x

y

y

z

+ + =+ + =+ − =

=

−

−

=− + + − − +− + + − − +

=−−

=

= −

=− + + − − +

−=

−−

=

=2 3 3

2 6 5

48 54 60 72 90 24

96

24

96

1

4

1

2

1

3

1

4

z

sol x y z

=+ + − − −

−=

−−

=

= = =:

4. 4. 4. 4. 4. 4 4

2 2 2

6 2 3 12

4 1 1

2 2 1

12 2 3

4 1 1

2 2 1

4 1 1

2 2 1

6 2 3

4 1 1

2 2 1

24 4 12 24 8 624 4 6 12 8 6

612

12

4 4 1

2 2 1

6 12 3

4 4 1

2 2 1

24 24 24 12 48 2412

3612

3

4 1 4

2 2 2

6 2 12

4 1 4

2 2 2

96 16 12 48 16 2412

6012

5

x y z

x y z

x y z

x

x

y

y

z

z

sol x

− + =+ − =− + =

=

−−

−−

−−

−−−

−

=− + − − +− + − − +

= =

=−

−

= + − − + − = =

=

−

−−

=− − − + +

= =

: = = =12

3 5y z

5. 5. 5. 5. 5. x y z

x y z

x y z

x

+ + =− + =+ − = −

=

−− −

−

−−

−

4 5 11

3 2 5

4 3 26

11 4 5

5 2 1

26 1 3

11 4 5

5 2 1

1 4 5

3 2 1

4 1 3

1 4 5

3 2 1ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

5. Continuación5. Continuación5. Continuación5. Continuación5. Continuación

x

y

y

z

z

sol x y z

= + − − − ++ + + − +

= − = −

= − −

=− − + − + +

=−

= −

=−

−

−

= + + + − + = =

= − = − =

66 25 104 260 11 606 15 16 40 1 36

224112

2

1 11 5

3 5 1

4 26 3

1 11 5

3 5 1

15 390 44 100 26 99112

336112

3

1 4 11

3 2 5

4 1 26

1 4 11

3 2 5

52 33 80 88 5 312112

560112

5

2 3 5:

6. 6. 6. 6. 6. 7 10 4 2

5 2 6 38

3 21

2 10 4

38 2 6

21 1 1

2 10 4

38 2 6

7 10 4

5 2 6

3 1 1

7 10 4

5 2 6

4 152 1 260 168 12 380

14 20 180 24 42 50

1 968

2468

7 2 4

5 38 6

3 21 1

7 2 4

5 38 6

266 420 36 456 882 10

246

1 230

2465

7 10 2

5 2 38

3 1 21

7 10 2

5 2 38

294 10 1

x y z

x y z

x y z

x

x

y

y

z

z

+ + =−− + =+ − =

=

−−

−−

−

−−

−

=− + + + + +

+ + + − += =

=

−

−−

=− + − − − −

=−

= −

=

−−

−−

=− − +

. .

.

. .

:

140 12 266 1 050

246

492

2462

8 5 2

− − −=

−= −

= =− =−sol x y z

7. 7. 7. 7. 7. 4 7 5 2

6 3 7 6

9 21

2 7 5

6 3 7

21 1 9

2 7 5

6 3 7

4 7 5

6 3 7

1 1 9

4 7 5

6 3 7

54 30 1 029 315 14 378108 30 49 15 28 378

1 190238

5

4 2 5

6 6 7

1 21 9

4 2 5

6 6 7

216 630 14 30 588 108

238

238

2381

4 7 2

6 3 6

1 1 21

4 7 2

6 3 6

252 12 42 6

x y z

x y z

x y z

x

x

y

y

z

z

+ + =−+ + =

− + = −

=

−

− −−

−

= − − − + − −− + − + −

= −−

=

=

−

−−

=− − − + +

−=

−= −

=

−

− −−

=− + + + +

. .

24 882238

714238

3

5 1 3

+−

=−

= −

= =− =−sol x y z:

8. 8. 8. 8. 8. 3 5 2 22

2 6 32

8 3 5 33

22 5 2

32 1 6

33 3 5

22 5 2

32 1 6

3 5 2

2 1 6

8 3 5

3 5 2

2 1 6

x y z

x y z

x y z

x

− + =−− + =+ − =−

=

− −−

− −− −

−−−

−−−

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

8. Continuación8. Continuación8. Continuación8. Continuación8. Continuación

x

y

y

z

z

sol x y z

= − + + − + −+ − + − −

=−

= −

=

−

− −−

=− − − − + −

−=

−−

=

=

− −−

−− −−

= − − − − −−

= −−

=

= − = =

110 192 990 66 396 80015 12 240 16 54 50

602301

2

3 22 2

2 32 6

8 33 5

3 22 2

2 32 6

480 132 1 056 512 594 220301

1 806301

6

3 5 22

2 1 32

8 3 33

3 5 22

2 1 32

99 132 1 280 176 288 330301

2 107301

7

2 6 7

. .

. .

:

9. 9. 9. 9. 9. x y z

x y

x y

x

x

y

y

z

z

sol x y z

+ + =+ =

+ =

=

=+ + − + ++ + − + +

=−

= −

=

=+ + − + +

−=

−−

=

=

=+ + − − −

−=

−−

=

= − = =

3

2 6

2 3 6

3 1 1

6 2 0

6 3 0

3 1 1

6 2 0

1 1 1

1 2 0

2 3 0

1 1 1

1 2 0

0 18 0 12 0 0

0 3 0 4 0 0

6

16

1 3 1

1 6 0

2 6 0

1 3 1

1 6 0

0 6 0 12 0 0

1

6

16

1 1 3

1 2 6

2 3 6

1 1 3

1 2 6

12 9 12 12 18 6

1

3

13

6 6 3:

10. 10. 10. 10. 10. 3 2 1

4 28

2 3 43

1 2 0

28 0 1

43 2 3

1 2 0

28 0 1

3 2 0

4 0 1

1 2 3

3 2 0

4 0 1

0 0 86 0 2 1680 0 2 0 6 24

8016

5

3 1 0

4 28 1

1 43 3

3 1 0

4 28 1

252 0 1 0 129 1216

11216

7

3 2 1

4 0 28

1 2 43

3 2 1

4 0 28

0 8 56 0 168 344

x y

x z

x y z

x

x

y

y

z

z

− =−+ = −

+ + =−

=

− −−−

− −−

−

−

=+ + + + −+ − + − +

=−

= −

=

−−−

−−

=− + − + + +

=−

= −

=

− −−−

− −−

= − + + + −16

12816

8

5 7 8

= − = −

= − = − = −sol x y z:

11. 11. 11. 11. 11. x y z

x y z

x yz

x y z

x y z

x y z

x y z

x

3 4 41

4 3 3 12

6 21

2 6 12 12

3 6 6

2 8 20

4 4 0

12 3 3

6 3 6

0 1 4

12 3 3

6 3 6

4 3 3

1 3 6

4 1 4

4 3 3

1 3 6

− + =

− + =

+ − =

+ − =+ − =

− − =

− − =

=

−−

− −−

−−

−− −−

−

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

11. Continuación11. Continuación11. Continuación11. Continuación11. Continuación

x

y

y

z

z

sol x y z

=− − + + − −− − + − − −

=−−

=

=−−

−

=− + − − + +

−=

−−

=

=

−

−−

=− − − + +

−=

−−

=

= = =

144 18 0 0 72 72

48 3 72 36 24 12

306

516

4 12 3

1 6 6

4 0 4

4 12 3

1 6 6

96 0 288 72 0 48

51

408

518

4 3 12

1 3 6

4 1 0

4 3 12

1 3 6

0 12 72 144 24 0

51

204

514

6 8 4:

12. 12. 12. 12. 12. x

y z x y x zy

x y z y x z y

x y z x y z

x

x

y

y

z

32 3 1

411

3 6 4 4 44

3 6 9 4 4 44

9 3 6

1 1 0

44 1 4

9 3 6

1 1 0

1 3 6

1 1 0

4 1 4

1 3 6

1 1 0

36 6 0 264 0 124 6 0 24 0 12

30634

9

1 9 6

1 1 0

4 44 4

1 9 6

1 1 0

4 264 0 24 0 3634

27234

8

+ = + − = + = +

+ = + + = ++ − = − + =

=

−−−

−−

−−−

−−

=− + + − + −− + + − + −

=−−

=

=

−

−

=− + + + −

−=

−−

=

; ;

; ;

=−−

−

= − − + + + −−

= −−

=

= = =

1 3 9

1 1 1

4 1 44

1 3 9

1 1 1

44 9 12 36 1 13234

13634

4

9 8 4

z

sol x y z:

EJERCICIO 191

1. 1. 1. 1. 1. x y z x y z x y z

Plano ABC x y z Plano DEF x y z Plano GHI x y z

Para y z x Para y z x Para y z x

Para x z y Para x z y Para x z y

Para x y z Para x y z Para x y z

+ + = + + = + + =+ + = + + = + + =

= = = = = = = = =

= = = = = = = = =

= = = = = = = = =

2 8 2 2 9 3 3 5 24

2 8 2 2 9 3 3 5 24

0 0 8 0 0 4 0 0 8

0 0 4 0 0 4 0 0 8

0 0 8 0 0 9 0 0 4

12

12

45

Sol : x = 1 y= 2 z = 3Sol : x = 1 y= 2 z = 3Sol : x = 1 y= 2 z = 3Sol : x = 1 y= 2 z = 3Sol : x = 1 y= 2 z = 3

DDDDD

AAAAA

GGGGG

FFFFF

CCCCC

IIIII

NNNNN

MMMMM

RRRRR

BBBBB

EEEEE

HHHHH

33333

11111

22222

QQQQQ

2. 2. 2. 2. 2. x y z x y z x y z

Plano ABC x y z Plano DEF x y z Plano GHI x y z

Para y z x Para y z x Para y z x

Para x z y Para x z y Para x z y

Para x y z Para x y z Para x y z

+ + = + + = + + =+ + = + + = + + =

= = = = = = = = =

= = = = = = = = =

= = = = = = = = =

5 3 2 8 2 3 3 14

5 3 2 8 2 3 3 14

0 0 5 0 0 2 0 0 7

0 0 5 0 0 4 0 0 4

0 0 5 0 0 8 0 0 4

23

23

23

sol : x = 1 y = 1 z = 3sol : x = 1 y = 1 z = 3sol : x = 1 y = 1 z = 3sol : x = 1 y = 1 z = 3sol : x = 1 y = 1 z = 3

CCCCC

DDDDD

AAAAA

GGGGG

QQQQQ

IIIII

33333

FFFFF11111

NNNNN

11111

MMMMM

BBBBB

EEEEE

RRRRR

HHHHH

3. 3. 3. 3. 3. 2 2 3 23 2 3 2 20 4 3 2 24

2 2 3 23 2 3 2 20 4 3 2 24

0 0 11 0 0 10 0 0 6

0 0 11 0 0 6 0 0 8

0 0 7 0

12

12

23

23

x y z x y z x y z

Plano ABC x y z Plano DEF x y z Plano GHI x y z

Para y z x Para y z x Para y z x

Para x z y Para x z y Para x z y

Para x y z Para x y

+ + = + + = + + =+ + = + + = + + =

= = = = = = = = == = = = = = = = =

= = = = = = = = =0 10 0 0 12z Para x y z

sol : x = 2 y = 2 z = 5sol : x = 2 y = 2 z = 5sol : x = 2 y = 2 z = 5sol : x = 2 y = 2 z = 5sol : x = 2 y = 2 z = 5

GGGGG

DDDDD

QQQQQ

NNNNN

AAAAA

CCCCCIIIII

55555

FFFFF

RRRRR

MMMMM

22222

BBBBB

EEEEE

HHHHH

22222

4. 4. 4. 4. 4. 2 2 3 24 4 5 2 35 3 2 19

2 2 3 24 4 5 2 35 3 2 19

0 0 12 0 0 8 0 0 6

0 0 12 0 0 7 0 0 9

0 0 8 0 0

34

13

12

x y z x y z x y z

Plano ABC x y z Plano DEF x y z Plano GHI x y z

Para y z x Para y z x Para y z x

Para x z y Para x z y Para x z y

Para x y z Para x y z

+ + = + + = + + =+ + = + + = + + =

= = = = = = = = =

= = = = = = = = == = = = = =17 0 0 191

2 Para x y z= = =

sol : x = 3 y = 3 z = 4sol : x = 3 y = 3 z = 4sol : x = 3 y = 3 z = 4sol : x = 3 y = 3 z = 4sol : x = 3 y = 3 z = 4

GGGGG

DDDDD

QQQQQ

AAAAA

NNNNN

CCCCCFFFFFIIIII44444

33333

33333

RRRRR

EEEEE

BBBBB

MMMMM

HHHHH

MMMMM

MMMMM

MMMMM

MMMMM

MMMMM

MMMMM

MMMMM

MMMMM

MMMMM

MMMMM

MMMMM

MMMMM

MMMMM

MMMMM MMMMM

MMMMM

5. 5. 5. 5. 5. 3 4 5 35 2 5 3 27 2 13

3 4 5 35 2 5 3 27 2 13

0 0 11 0 0 13 0 0 6

0 0 8 0 0 5 0 0 13

0 0 7 0 0 9 0 0 13

23

12

12

34

25

x y z x y z x y z

Plano ABC x y z Plano DEF x y z Plano GHI x y z

Para y z x Para y z x Para y z x

Para x z y Para x z y Para x z y

Para x y z Para x y z Para x y z

+ + = + + = + + =+ + = + + = + + =

= = = = = = = = =

= = = = = = = = == = = = = = = = =

sol : x = 4 y = 2 z = 3sol : x = 4 y = 2 z = 3sol : x = 4 y = 2 z = 3sol : x = 4 y = 2 z = 3sol : x = 4 y = 2 z = 3

GGGGG

DDDDD

AAAAA QQQQQ

MMMMM

IIIII FFFFFCCCCC

33333

22222

NNNNN

RRRRR

44444

EEEEE

BBBBB

HHHHH

6. 6. 6. 6. 6. 4 3 5 42 3 4 3 33 2 5 2 29

4 3 5 42 3 4 3 33 2 5 2 29

0 0 10 0 0 11 0 0 14

0 0 14 0 0 8 0 0 5

0 0 8 0 0 11 0 0 14

12

12

14

45

25

12

x y z x y z x y z

Plano ABC x y z Plano DEF x y z Plano GHI x y z

Para y z x Para y z x Para y z x

Para x z y Para x z y Para x z y

Para x y z Para x y z Para x y z

+ + = + + = + + =+ + = + + = + + =

= = = = = = = = =

= = = = = = = = =

= = = = = = = = =

sol : x = 2 y = 3 z = 5sol : x = 2 y = 3 z = 5sol : x = 2 y = 3 z = 5sol : x = 2 y = 3 z = 5sol : x = 2 y = 3 z = 5

GGGGG

DDDDD

IIIIIFFFFF

RRRRR

55555

QQQQQ

22222

EEEEE

AAAAA

CCCCC

MMMMM

33333

HHHHH

NNNNN

BBBBB

5. 5. 5. 5. 5.

( )

( )

( )

( )

x Cifra decenas

y Cifra unidades

x y

x y

x y x y

x y

x y

y

x y y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

y y

x

x

x x sol

→→

+ −+

=

+ − = +− =

+ −−

=

+ − = −− = −

− = −− =

− = − −

− =− + =

= ⇒ =− =

− == ⇒ =

10 175

10 17 5

5 4 17

10 2

219

10 2 19 2

10 18 36

5 9 18

5 4 17

5 9 18 1

5 4 17

5 9 18

5 35 7

5 4 7 17

5 28 17

5 45 9 97:

6. 6. 6. 6. 6.

( )

x Cifra decenas

y Cifra unidades

x y y x

x y

x y

y x

x y

x y

x y

x y

x y

y y

x x sol

→→

+ + = +− = −− = −

+ −=

+ =

− = − −+ =

− + =+ =

= ⇒ =− = − ⇒ =

10 9 10

9 9 9

1

10 1

76

10 43

1 1

10 43

1

10 43

11 44 4

4 1 3 34:

7. 7. 7. 7. 7.

( )

x Cifra decenas

y Cifra unidades

x y

x y y x

x y y x

x y

x y

x y

x y

x x

y y sol

→→

+ =

+ + − = ++ + − = +

− = −− = −

+ =− = −

= ⇒ =+ = ⇒ =

9

10 1 1 10

10 10 1 10

9 9 9

1

9

1

2 8 4

4 9 5 45:

EJERCICIO 199

1. 1. 1. 1. 1.

( )

x Monedas de cts

y Monedas de cts

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

sol Mon de cts

Mon de cts

→→

+ = −+ =

− − = −+ =

==

+ ==

20

10

78 10

20 10 1 130

10 10 780

20 10 1 130

10 350

35

35 78

43

35 20

43 10

.

.

.

.

: . .

. .

2. 2. 2. 2. 2.

( )

x Monedas de

y Monedas de

x y

x y

x y

x y

x

y

y

sol Mon de

Mon de

→→

+ = −+ =

− − = −+ =

=+ =

=

$

$

: . $

. $

5

4

91 4

5 4 404

4 4 364

5 4 404

40

40 91

51

40 5

51 4

3. 3. 3. 3. 3.

( )

x N de adultos

y N de niños

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

sol adultos y niños

→→

+ = −+ =

− − = −+ =

==

+ ==

º

º

.

.

.

.

:

700 15

40 15 18 000

15 15 10 500

40 15 18 000

25 7 500

300

300 700

400

300 400

4. 4. 4. 4. 4.

( )

x Monedas de cts

y Monedas de cts

x y

x y

x y

x y

→→

+ = −+ =

− − = −+ =

20

25

44 20

20 25 995

20 20 880

20 25 995

.

.

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

4. Continuación4. Continuación4. Continuación4. Continuación4. Continuación5 115

23

23 44

21

21 20

23 25

y

y

x

x

sol Monedas de cts

Monedas de cts

==

+ ==

: .

.

5. 5. 5. 5. 5.

( )

x Billetes de

y Billetes de

x y

x y

x y

x y

y

x

x

sol Billetes de

Billetes de

→→

+ = −+ =

− − = −+ =

=+ =

=

$

$

: $

$

1

2

287 1

2 419

287

2 419

132

132 287

155

155 1

132 2

6. 6. 6. 6. 6.

( )

x Libros de col

y Libros de col

x y

x y

x y

x y

y

y

x

x

sol libros de col

libros de col

→→

+ = −+ =

− − = −+ =

==

+ ==

3

7

34 3

3 7 174

3 3 102

3 7 174

4 72

18

18 34

16

16 3

18 7

.

.

: .

.

7. 7. 7. 7. 7.

( )

x N de trajes

y N de sombreros

x y

x y

x y

x y

x

x

y y

sol trajes

sombreros

→→

+ = −+ =

− − = −+ =

==

+ = ⇒ =

º

º

.

.

.

.

:

54 45

375 45 6 720

45 45 2 430

375 45 6 720

330 4 290

13

13 54 41

13

41

EJERCICIO 200

1. 1. 1. 1. 1.

( )

( )

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

B

B

A

A

sol A B

− = +− =

+ = −− = −

− = −− = −

− + = −− = −

− = −=

− ==→ →

1 1

2

1 3 1

3 4

2 1

3 4

2

3 4

2 6

3

3 2

5

5 3: $ $

2. 2. 2. 2. 2.

( )

( )

B A

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A

B

B

B

sol A soles

B soles

− = +− = −

− = +− =

− = − −− =

− + =− =

=− = −− = −

=→→

2 2

4

2 2 2

2 6

4 1

2 6

4

2 6

10

10 4

14

14

10

14

:

3. 3. 3. 3. 3.

( )

( )

P Pedro

J Juan

P J

P J

J P

P J

P J

P J

P J

P J

J

J

P P

sol Pedro

Juan

→→− = +− =

− = +− = −

− = −− = −

− + = −− = −

− = −=

− = ⇒ =→→

3 3

6

4 3 3

4 15

6 1

4 15

6

4 15

3 21

7

7 6 13

13

7

: $

$

4. 4. 4. 4. 4. ( )

( )( ) ( )

( )

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A

B

B

B

sol A Años

B Años

− = −− = −

+ = +

+ = +− =

− = − −− =

− + =− =

=− = −− = −

=→→

10 2 10

2 10

3

410 10

3 10 4 10

3 4 10

2 10 2

3 4 10

2 4 20

3 4 10

30

30 2 10

2 40

20

30

20

:

5. 5. 5. 5. 5. ( )

( )( ) ( )

( )

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A

B

B

B

sol A Años

B Años

− = −− = −

+ = +

+ = +− =

− = − −− =

− + =− =

=− = −− = −

=→→

6 2 6

2 6

68

56

5 6 8 6

5 8 18

2 6 4

5 8 18

4 8 24

5 8 18

42

42 2 6

2 48

24

42

24

:

6. 6. 6. 6. 6. ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

− = −

− = −− = −

+ = +

+ = +− =

− = − −− =

53

25

2 5 3 5

2 3 5

7

910 10

7 10 9 10

7 9 20

2 3 5 3

7 9 20

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

6. Continuación6. Continuación6. Continuación6. Continuación6. Continuación

( )

− + =− =

=− = −− = −

=→→

6 9 15

7 9 20

35

2 35 3 5

70 3 5

25

35

25

A B

A B

A

B

B

B

sol A Años

B Años

:

7. 7. 7. 7. 7.

( )

( )

( )

( )

( )

x Edad Hombre

y Edad Esposa

xy

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

y

x

x

x

sol Años tiene el bre

Años tiene la esposa

→→

=

+ = +

+ = +− =

− =

− = −

− =− + = −

=

=

==

→→

9

53

54 4

3 12 5 20

3 5 8

5 9 0 3

3 5 8 5

15 27 0

15 25 40

20

9

520

9 4

36

36

20

: hom

8. 8. 8. 8. 8.

( )

( )

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

B

B

A

A

sol A Lempiras

B Lempiras

− = +− =

+ = −

+ = −− = −

− = −− = −

− + = −− = −

− = −=

− ==→→

25 25

50

5

1735 35

5 175 17 595

5 17 770

50 5

5 17 770

5 5 250

5 17 770

12 1 020

85

85 50

135

135

85

.

:

9. 9. 9. 9. 9.

( )

( )

( )

x Edad padre

y Edad hijo

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x

y

y

y

sol Años Edad padre

Años Edad hijo

→→

− = −

− = −− = −

+ = +

+ = +− =

− = − −− =

− + =− =

=− = −− = −

=→→

1

56 6

6 5 30

5 24

2

59 9

2 18 5 45

2 5 27

5 24 1

2 5 27

5 24

2 5 27

51

51 5 24

5 75

15

51

15

:

11. 11. 11. 11. 11.

( )

AB

BB

A B B B

A B B

A B

B A

B A

A B

A B

A B

A B

A B

B

A

A cts

sol tiene A

tiene B

+ + = − −

+ + = − −+ + = −

− = −+ − = −

− = −− = −

− = −

− = − −

− = −− + =

=− = −

=→

→

260 4

260

2 120 8 4 480

2 120 4 480

2 3 600

80 310 80

230 80

150

2 3 600

150 2

2 3 600

2 2 300

300

300 150

150

1 50

3

.

: $ ,

$

10. 10. 10. 10. 10. ( )

( )

( )

P J

P J

P J

P J

P J

P J

P J

P J

J

J

P

P

P

sol cts tenia Pedro

cts tenia Juan

+ = −− = −

− = +− =

− = − −− =

− + =− =

==

− ===

→→

15 5 15

5 90

3 20 20

3 80

5 90 3

3 80

3 15 270

3 80

14 350

25

3 25 80

3 105

35

35

25

: .

.

12. 12. 12. 12. 12.

( )

( ) ( )

( )

( )

x Edad de Enrique

y Edad hermana

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

y

x

x

x

x

sol Añ Ed Enrique

Añ Ed herm

→→

− = −

− = −− = −

+ = ++ = +− =

− = − −− =

− + =− =

=− = −

− = −==→→

63

26

2 12 3 18

2 3 6

4 6 5 6

4 24 5 30

4 5 6

2 3 6 2

4 5 6

4 6 12

4 5 6

18

2 3 18 6

2 54 6

2 48

24

24

18

: . .

. . .

EJERCICIO 201

1. 1. 1. 1. 1. x Veloc bote agua tranq

y Veloc del rio

x y Veloc bote a favor

del agua

x y Veloc bote contra

la corriente

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

sol Kmh Veloc

bote agua tranq

Kmh Veloc del rio

→→+ →

− →

+=

+ =

−=

− =+ =− =

==

− ==

→

→

. .

.

.

.

: .

.

.

101

10

41

4

10

4

2 14

7

7 4

3

7

3

2. 2. 2. 2. 2. x Veloc bote agua tranq

y Veloc del rio

x y Veloc bote a favor

del agua

x y Veloc bote contra

agua

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

sol Kmh Bote

Kmh Rio

→→+ →

− →

+=

+ =+ =

−=

− =− =

+ =− =

==

− ==

→

→

. .

.

.

.

:

28 74

7 7 112

16

243

3 3 24

8

16

8

2 24

12

12 8

4

12

4

3. 3. 3. 3. 3.

( )

( )

x Tiempo ida

y Tiempo vuelta

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

y

sol h Tiempo ida

h Tiempo vuelta

→→+ =

=

− =+ =

− =+ =

==

− =− = −

=→

→

5

8 12

12 8 0

5 8

12 8 0

8 8 40

20 40

2

12 2 8 0

8 24

3

2

3

:

4. 4. 4. 4. 4. x Veloc bote agua tranq

y Veloc rio

x y Veloc bote a favor

de la cte

x y Veloc bote en contra

de la cte

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x x

y y

sol h Veloc bote

h Veloc rio

→→+ →

− →

+=

+ =+ =

−=

− =− =

+ =− =

= ⇒ =− = ⇒ =

→→

. .

.

.

.

: .

.

40 5

2

5 5 80

16

405

5 5 40

8

16

8

2 24 12

12 8 4

12

4

5. 5. 5. 5. 5.

( )

x tiempo ida

y tiempo vuelta

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x x

y

y y

sol h tiempo ida

h tiempo vuelta

→→+ =

=

− =− =

+ =− =

= ⇒ =− =− = − ⇒ =

→→

6

20 40

40 20 0

2 0

6

2 0

3 6 2

2 2 0

4 4

2

4

:

6. 6. 6. 6. 6.

( )

x tiempo ida

y tiempo vuelta

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

sol h tiempo ida

h tiempo vuelta

Entonces

Km

hKm

h Veloc rio abajo

Km

hKm

h Veloc rio arriba

Luego

x Veloc bote

y Veloc rio

x y

x y

x

x

y

→→+ =

=

− =− =

+ =− =

+ =− =

==

+ ==

→→

= →

= →

→→+ =− =

==

+ =

5

8 12

12 8 0

3 2 0

5 2

3 2 0

2 2 10

3 2 0

5 10

2

2 5

3

2

3

32

216

12

34

16

4

2 20

10

10 16

:

.

.

.

.

y

sol Kmh Veloc bote

Kmh Veloc rio

=

→

→

6

10

6

: .

.

EJERCICIO 202

1. 1. 1. 1. 1.

( )

( )

x N mayor

y N medio

z N menor

zx y

z x y

x y z

x y z

y z x

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

z

z

x y z

x y z

x z

x

x

x

y

y

→→→

− =+

− = ++ − = −+ + =

− = −− + =

+ + = −+ − = −

− − − = −+ − = −

− = −=

+ + =− + =

+ =+ =

==

+ + =+

º

º

º

13

3 3

3 3

37

13

13

37 1

3 3

37

3 3

4 40

10

37

13

2 2 50

2 2 10 50

2 30

15

15 10 37

25==

37

12

15 12 10

y

sol: , ,

2. 2. 2. 2. 2.

( )( )

x ecio kilo azúcar

y ecio kilo café

z ecio kilo fríjoles

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

→→→+ + =+ + =+ + =

+ + = −

+ + =

Pr

Pr

Pr

,

,

,

,

,

5 3 4 118

4 5 3 1 45

2 2 0 46

5 3 4 118 3

4 5 3 1 45 4

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación

( )

( )

− − − = −+ + =

+ =+ + =

+ + = −

+ + =− − − =−

15 9 12 3 54

16 20 12 5 80

11 2 26

4 5 3 1 45 2

2 2 0 46 3

8 10 6 2 90

6 3 6 1 38

x y z

x y z

x y

x y z

x y z

x y z

x y z

,

,

,

,

,

,

,ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación

( )2 7 1 52

11 2 26 2

2 7 1 52

2 22 4 52

2 7 1 52

15 3

1

50 2

x y

x y

x y

x y

x y

y

y

y

+ =

+ = −+ =

− − = −+ =

− = −

=

=

,

,

,

,

,

,ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación

( )

( )

2 7 0 2 152

2 1 4 1 52

2 0 12

0 06

2 0 06 0 2 2 0 46

0 12 0 2 2 0 46

2 0 14

0 07

6

20

7

x

x

x

x

z

z

z

z

sol cts Kilo Az

cts Kilo café

cts Kilo fríjoles

+ =+ ==

=

+ + =+ + =

==

→→→

, ,

, ,

,

,

, , ,

, , ,

,

,

: . .

.

.

3. 3. 3. 3. 3.

( )

x Cifra centenas

y Cifra decenas

z Cifra unidades

x y z

x yz

x y z

x y z

x y z z y x

x z

x z

x y z

x y z

x y z

x y z

z

z

x

x

y

y

y sol

→→→

+ + =

+ =

+ =+ − =

+ + − = + +− =

− =

+ + = −+ − =

− − − =−+ − =

− = −=

− ==

+ + =+ =

=

15

3

22 2 3

2 2 3 0

100 10 99 100 10

99 99 99

1

15 2

2 2 3 0

2 2 2 30

2 2 3 0

5 30

6

6 1

7

7 6 15

13 15

2 726:

4. 4. 4. 4. 4.

( )

x N mayor

y N medio

z N menor

x y z

z y x

x y z

xy z

x y z

x y z

x y z

x y z

x

x

x y z

x y z

x y z

x y z

x y

→→→+ + =

+ + =

+ + =

− =+

− = +− − =+ + =− − =

==

+ + =− − =

+ + =− − =

− =

º

º

º

127

2 3 939

2 6 9 702

42

2 8

2 8

127

2 8

3 135

45

2 6 9 702

2 8 9

2 6 9 702

18 9 9 72

20 3 774

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

4. Continuación4. Continuación4. Continuación4. Continuación4. Continuación

( )20 45 3 774

900 3 774

3 126

42

45 42 127

40

45 42 40

− =− =− = −

=+ + =

=

y

y

y

y

z

z

sol: , ,

5. 5. 5. 5. 5.

( )

( )

x Cifra centenas

y Cifra decenas

z Cifra unidades

x y z

x y z

x y

x y z x y

x y z

x y z z y x

x z

x z

x y z

x y z

x y z

x y z

x z

x z

x z

x z

→→→+ + =

+ ++

=

+ + = +− + =+ + + = + +

− = −− = −

+ + =− + =

+ + =− + =

+ =+ =

− = − −+ =

6

100 1041

100 10 41 41

59 31 0

100 10 198 100 10

99 99 198

2

6 31

59 31 0

31 31 31 186

59 31 0

90 32 186

45 16 93

2 45

45 16 93

45 45 90

45 16 93

61 183

3

3 2

1

1 3 6

4 6

2 123

− + =+ =

==

− = −=

+ + =+ =

=

x z

x z

z

z

x

x

y

y

y sol :

6. 6. 6. 6. 6. x Angulo mayor

y Angulo medio

z Angulo menor

x y z

x z

x z

→→→+ + =

− =− =

180

35

35ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

6. Continuación6. Continuación6. Continuación6. Continuación6. Continuación

z x y

x y z

x y z

x y z

x

x

z

z

y

y

y

sol

− = −− − = −+ + =− − = −

==

− ==

+ + =+ =

=

20

20

180

20

2 160

80

80 35

45

80 45 180

125 180

55

80 55 45: , ,∃ ∃ ∃

7. 7. 7. 7. 7.

( )

( )

( )

x N de vacas

y N de caballos

z N de terneros

x y z

x y z

x y z

z x

x y z

x z

x y z

x z

y

x y z

x z

x y z

x z

y z

z

→→→+ + =

+ + =

+ + =+ =+ + =

+ = −

+ + =− − = −

=+ + =

+ = −

+ + =− − = −

+ =+ =+

º

º

º

.

.

.

.

.

.

.

110

8 9 515

45 40 72 5 400

65

110

65 1

110

65

45

45 40 72 5 400

65 45

45 40 72 5 400

45 45 2 925

40 27 2 475

40 45 27 2 475

1 800 27z

z

z

x

x

x

sol vacas

caballos

terneros

===

+ + =+ =

=

2 475

27 675

25

45 25 110

70 110

40

40

45

25

.

: ;

;

8. 8. 8. 8. 8.

( )

x Cifra centenas

y Cifra decenas

z Cifra unidades

x y z

x y z

x y z

x z y

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

z

z

x y z

x y z

x z

x z

x

x

y

y sol

→→→+ + =

+ − =+ − =

+ − =− + =

+ + =

+ − = −

+ + =− − + = −

==

+ + =− + =

+ =+ =

+ ==

+ + ==

10

4

4

6

6

10

4 1

10

4

2 6

3

10

6

2 2 16

8

3 8

5

5 3 10

2 523:

9. 9. 9. 9. 9.

( )

x Angulo mayor

y Angulo medio

z Angulo menor

x y z

x y

y z

x y z

y z

x y z

y z

x

y

y

z

z

z

sol

→→→+ + =+ =+ =+ + =

+ = −

+ + =− − = −

=+ =

=+ + =

+ ==

180

135

110

180

110 1

180

110

70

70 135

65

70 65 180

135 180

45

70 65 45: , ,∃ ∃ ∃

10. 10. 10. 10. 10.

( )

( )

A B C

CA

A C

A B

A B

A B C

A B

A C

A C

A C

A C

A C

A

A

C

C

B

B

sol A bs B bs

C bs

+ + =

=

− =− =− =

+ + =− =

+ =+ =− =

+ =− =

==

+ ==

+ + ==

→ →→

140

22 0

10

10

140

10

2 150

2 150 2

2 0

4 2 300

2 0

5 300

60

2 60 150

30

60 30 140

50

60 50

30

: . .

.

11. 11. 11. 11. 11.

( )

A C

A C

B C

B C

A C

A C

A C

B C

A B C

A B C

A C

A B C

A C

B

C

C

A

A

sol A

B C

− = +− =

− =− =

+ =− = −

− =− =

+ − =+ − =

− = − −

+ − =− + =

=− =

=− =

=→→ →

1 1

2

1

1

5 2

2 5

2

1

2 3

2 3

2 5 1

2 3

2 5

8

8 1

7

7 2

9

9

8 7

: $

$ $

12. 12. 12. 12. 12.

( )

( )

( )

x y z

z y xx y z

z y x x y z

x y z

x y z

x

x

x y z

x y z

x y z

x y z

x z

+ + =

+ + =+ +

+ + = + +− − =

− − ===

− − =+ + =

− − =+ + =

− =−

6

100 1041 100 10

10710 700 1 070 107 4 100 410 41

3 993 660 10 659 0

1 331 220 3 553 0

100 300

3

1 331 220 3 553 0

6 220

1 331 220 3 553 0

220 220 220 1 320

1 551 3 333 1 320

1 551 3

. . .

. .

. .

. .

. .

.

. . .

. 3 333 1 320

4 653 3 333 1 320

1

3 1 6

4 6

2 321

. .

. . .

:

z

z

z

y

y

y sol

=− =

=+ + =

+ ==

13. 13. 13. 13. 13.

( )

A B

A B

B C

B C

A C

A C

A B

B C

A C

A C

A C

A C

A C

A

A

B

B

C

C

sol A Q

B Q C Q

− = +− =− = +

− =

=

− =− =

− =

− =

− = −− =

− + = −− =

− = −=

− ==

− ==→→ →

2 2

4

1 1

2

8

55 8 0

4

2

6

6 8

5 8 0

8 8 48

5 8 0

3 48

16

16 4

12

12 2

10

16

12 10

:

14. 14. 14. 14. 14.

( )

( )

( )

x Cifra centena

y Cifra decena

z Cifra unidades

x

x

x y z

z y xx y z

z y x x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x z

→→→

==

+ + =

+ + =+ +

+ + = + +− − =− − =

− − =+ + =

− − =+ + =

− =−

100 400

4

9

100 1016 100 10

494 900 490 49 1 600 160 16

1 551 330 4 884 0

517 110 1 628 0

517 110 1 628 0

9 110

517 110 1 628 0

110 110 110 990

627 1 518 990

627 4 1

. .

. .

.

.

.

.

.518 990

2 508 1 518 990

1 518 1 518

1

4 1 9

5 9

4 441

z

z

z

z

y

y

y sol

=− =− = −

=+ + =

+ ==

. .

. .

:

15. 15. 15. 15. 15.

( )( )

2 32

2 32

32 9

6 3 27

3 6 27

31

3 3

3 3

2 32

3 6 27

5 7 5

3 6 27

3 3

4 9 30

5 7 5 4

4 9 30 5

20 28 20

20 45

A B C

A B C

BC A

B C A

A B C

A BC

A B C

A B C

A B C

A B C

A C

A B C

A B C

A C

A C

A C

A C

A

+ = ++ − =

+ = +

+ = +− − = −

+= −

+ = −+ − = −

+ − =− − = −

− =− − = −+ − = −

− = −

− = −

− = −

− + = −− C

C

= −

− = −

150

17 170

15. Continuación15. Continuación15. Continuación15. Continuación15. Continuación

( )

( )

C

A

A

A

B

B

B

sol

=− =

==

+ − =+ =

=

10

5 7 10 5

5 75

15

2 15 10 32

20 32

12

15 12 10: ,

EJERCICIO 203

1. 1. 1. 1. 1.

( )

( )

x Ancho

y L o

x y

y x

x y

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

sol m m

→→

+ ==

− =+ =− =

+ =− =

==

+ ==

⋅

arg

:

2 18

4 5

5 4 0

9 4

5 4 0

4 4 36

5 4 0

9 36

4

4 9

5

5 4

2. 2. 2. 2. 2. A B

A B

A B

A B

=− =− = +− =

2

2 0

12 12

24ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación

( )A B

A B

A B

A B

B

A

A

sol A balboas

B balboas

− =

− = −

− =− + = −

=− =

=→→

2 0

24 1

2 0

24

24

24 24

48

48

24

:

3. 3. 3. 3. 3.

( )( )

( )( )

x Ancho

y L o

x y xy

xy x y xy

x y

x y xy

xy x y xy

x y

→→

+ + = ++ + + = +

+ =

+ − = +− + − = +

− + =

arg

1 1 26

1 26

25

2 3 19

3 2 6 19

3 2 25ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

3. Continuación3. Continuación3. Continuación3. Continuación3. Continuación

( )x y

x y

x y

x y

y

y

x

x

sol m m

+ =− + =

+ =− + =

==

+ ==

⋅

25 3

3 2 25

3 3 75

3 2 25

5 100

20

20 25

5

20 5:

4. 4. 4. 4. 4. x ecio carro

y ecio caballo

z ecio arreos

x y z

x z y

x y z

y z x

x y z

→→→+ + =

+ = +− + =

+ = +− − = −

Pr

Pr

Pr

200

20

20

40

40

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

4. Continuación4. Continuación4. Continuación4. Continuación4. Continuaciónx y z

x y z

x

x

x y z

x y z

x z

x z

z

z

y

y

y

sol Costo carro

Costo caballo

Costo arreos

+ + =− − = −

==

+ + =− + =

+ =+ =

+ ==

+ + =+ =

=→→→

200

40

2 160

80

200

20

2 2 220

110

80 110

30

80 30 200

110 200

90

80

90

30

:$

$

$

5. 5. 5. 5. 5. x Número

y Número

z Número

x y z

x y z

x z y

x y z

y z x

x y z

x y z

x y z

x

x

x y z

x y z

x y

x y

y

y

z

z

z

sol

er

er

→→

→+ = +

+ − =+ − =− + =

+ = +− − = −

+ − =− + =

==

− + =− − = −

− =−− = −

− = −=

+ − =− =

=

1

2

3

18

18

78

78

102

102

18

78

2 96

48

78

102

2 2 24

12

48 12

60

48 60 18

108 18

90

48 60 90

º

: , ,

6. 6. 6. 6. 6. x Cifra decenas

y Cifra unidades

x y

x y y x

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y sol

→→+ =

+ − = +− =− =

+ =− =

==

+ ==

6

10 36 10

9 9 36

4

6

4

2 10

5

5 6

1 51:

7. 7. 7. 7. 7. x Veloc pájaro

y Veloc viento

x y Veloc pájaro a favor

x y Veloc pájaro contra

x y

x y

x y

→→+ →− →

+=

+ =

−=

.

.

.

.

551

55

251

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

7. Continuación7. Continuación7. Continuación7. Continuación7. Continuación

x y

x y

x

x

y

y

sol Kmh Veloc del

pájaro tranq

Kmh Veloc del

viento

− =+ =

==

− ==

→

→

25

55

2 80

40

40 25

15

40

15

: .

.

.

8. 8. 8. 8. 8.

( )( )

( )( )

( )

( )

x N de libros

y ecio de c u

xy x y

xy xy x y

x y

xy x y

xy xy x y

x y

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

y

y

sol Libros compró

tó c u

→→

= + −= − + −

− = −

= − += + − −

− =− = −

− = −

− = −− + = −

− = −=

− = −− = −− = −

=→→

º

Pr /

:

$ cos /

5 2

2 5 10

2 5 10

5 4

4 5 20

4 5 20

2 5 10

4 5 20 1

2 5 10

4 5 20

2 30

15

2 15 5 10

30 5 10

5 40

8

15

8

9. 9. 9. 9. 9.

( )( )

x ecio kilo café

y ecio kilo té

x y

x y

x y

x y

x

x

→→

+ = −

+ =

− − = −+ =

− = −=

Pr

Pr

,

,

,

,

,

,

7 6 4 8 9

8 9 6 45 6

63 54 43 2

48 54 38 7

15 4 5

0 3

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

9. Continuación9. Continuación9. Continuación9. Continuación9. Continuación

( )7 0 3 6 4 8

2 1 6 4 8

6 2 7

0 45

30

45

, ,

, ,

,

,

: .

.

+ =+ =

==→→

y

y

y

y

sol cts Costo kilo café

cts Costo kilo té

10. 10. 10. 10. 10.

( )

x trajes de

y trajes de

x y

x y

x y

x y

y

y

x

x

sol trajes de

trajes de

→→

+ = −+ =

− − = −+ =

− = −=

+ ==

→→

$

$

.

.

.

: $

$

40

35

50 40

40 35 1 910

40 40 2 000

40 35 1 910

5 90

18

18 50

32

32 40

18 35

11. 11. 11. 11. 11.

( )

x Numerador

y Deno ador

x

y

x y

x y

x

y

x y

x y

x y

x y

x

y

y

y sol

→→−

=

− =− =

−=

= −− + =

− =− + =

=− =− = −

=

min

:

1 1

3

3 3

3 3

2

1

2

2 2

2 2

3 3

2 2

5

3 5 3

12

125

12

12. 12. 12. 12. 12. x bolsa

y bolsa

x y

x y

x y

a

a

→

→+ =− = +− =

1

2

200

15 15

30

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

12. Continuación12. Continuación12. Continuación12. Continuación12. Continuación

x y

x y

x

x

y

y

sol soles bolsa

soles bolsa

a

a

+ =− =

==

+ ==

→

→

200

30

2 230

115

115 200

85

115 1

85 2

:

13. 13. 13. 13. 13.

( )

( )

x ecio caballo

y ecio coche

x y

x y

yx

x y

x y

x y

x y

x y

x y

y

y

x

x

sol soles Costó el caballo

soles Costó el coche

→→+ =− = −

+ =

= +− =

− = − −− =

− + =− =

==

− = −=

→→

Pr

Pr

:

20 3

3 20

203

53 100 5

3 5 100

3 20 3

3 5 100

3 9 60

3 5 100

4 160

40

3 40 20

100

100

40

14. 14. 14. 14. 14.

( )

( )

x Cifra decenas

y Cifra unidades

x y x y

x y x y

x y

x y y x

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y sol

→→

+ = ++ = +

− =+ − = +

− =− =

− =

− = −

− =− + = −

− = −=

− ==

10 6

10 6 6

4 5 0

10 9 10

9 9 9

1

4 5 0

1 5

4 5 0

5 5 5

5

5

5 1

4 54:

15. 15. 15. 15. 15.

( )( )

( )( )

( )

x N de personas

y ecio c u

xy x y

xy xy x y

x y

x y

xy x y

xy xy x y

x y

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

y

sol Personas

bs c u

→→

= + −= − + −

− = −− = −

= − += + − −

− =− =

− = − −

− =− + =

==

− = −− = −

=→

→

º

Pr /

:

. /

10 5

5 10 50

5 10 50

2 10

6 5

5 6 30

5 6 30

5 6 30

2 10 3

5 6 30

3 6 30

2 60

30

30 2 10

2 40

20

30

20

16. 16. 16. 16. 16.

( )

A B

AA

BB

A A B B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A

A

B

B

sol A sucres

B sucres

+ =

− = −

− = −− =

− =+ =− =

+ =− =

==

+ ==

→→

1 080

2

5 420 8 20 5

12 15 0

4 5 0

1 080 5

4 5 0

5 5 5 400

4 5 0

9 5 400

600

600 1 080

480

600

480

.

.

.

.

.

:

17. 17. 17. 17. 17.

( )

x gané ayer

y gané hoy

y x

yx

x y

x y

x y

→→+ =

=

− =− =

− = −

10

5

65 6 0

5 6 0

10 6ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

17. Continuación17. Continuación17. Continuación17. Continuación17. Continuación

5 6 0

6 6 60

60

60

60 10

50

60

50

x y

x y

x

x

y

y

sol gané ayer

gané hoy

− =− + =−

− =−=

− ==

→→

: $

$

18. 18. 18. 18. 18.

( )

( )

x nùmero

y nùmero

x

y

x

y

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

y

sol

er→→

=

−−

=

− =

− = −

− =− + = −

− = −=

− =− =

=

1

2

3

5

10

10

1

2

5 3 0

2 10 3

5 3 0

6 3 30

30

30

2 30 10

60 10

50

30 50

º

: ,

19. 19. 19. 19. 19.

( )

( )

A B

A B

B A

B A

A B

A B

A B

A B

A B

A

A

B

B

sol A lempiras

B lempiras

+ = −− = −

+ = −

+ = −− =

− = − −− =

− + =− =

==

− = −=

→→

4 4

8

49

54

5 20 9 36

9 5 56

8 5

9 5 56

5 5 40

9 5 56

4 96

24

24 8

32

24

32

:

20. 20. 20. 20. 20. ( )

( )

( )

( )

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

B

B

A

A

A

sol A Años

B Años

− = −− = −

+ = +

+ = +− =

− = − −− =

− + =− =

==

− = −− = −

=→→

20 2 20

2 20

309

730

7 210 9 270

7 9 60

2 20 7

7 9 60

7 14 140

7 9 60

5 200

40

2 40 20

80 20

60

60

40

:

21. 21. 21. 21. 21. x tiempo ida

y tiempo vuelta

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

Si h tiempo de ida

h tiempo de vuelta

Entonces

Kmh

Kmh Veloc a favor

Kmh

Kmh Veloc en contra

Luego

x Veloc del bote

y Veloc delrio

x y

x y

x

x

→→+ =

=

− =− =

+ =− =

==

+ ==

→→

= →

= →

→→+ =− =

==

3

4 8

8 4 0

2 0

3

2 0

3 3

1

1 3

2

1

2

16

116

16

28

16

8

2 24

12

.

.

.

.

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

21. Continuación21. Continuación21. Continuación21. Continuación21. Continuación

12 16

4

12

4

+ ==

→

→

y

y

sol Kmh Veloc bote

Kmh Veloc rio

: .

.

22. 22. 22. 22. 22.

( )

( )

A B

A B

A B

B A

A B

A B

A B

A B

A B

B

A

A

A

sol A Años

B Años

92

55 90 9

5 9 90

2 15

2 15

5 9 90

2 15 5

5 9 90

5 10 75

15

2 15 15

30 15

45

45

15

− =

− =− =

= −− =

− =

− = −

− =− + = −

=− =

− ==

→→

:

23. 23. 23. 23. 23.

( )

( )

( )

5 4 4

5 4 4

7 2 6

7 6 2

5 4 4 6

7 6 2 4

30 24 24

28 24 8

2 16

8

5 8 4 4

40 4 4

4 36

9

8 9

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A

A

B

B

B

B

sol A Km B Km

− =− =

− =− =

− =

− = −

− =− + = −

==

− =− =− = −

=→ →:

24. 24. 24. 24. 24. x Cifra decenas

y Cifra unidades

y x

x y y x

x y

x y

→→− =

+ + + =+ =

+ =

4

10 10 66

11 11 66

6ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

24. Continuación24. Continuación24. Continuación24. Continuación24. Continuación

− + =+ =

==

+ ==

x y

x y

y

y

x

x

sol

4

6

2 10

5

5 6

1

15:

25. 25. 25. 25. 25.

( )

( )( )

x L o

y Ancho

x y

x y

x y

x y xy

xy x y xy

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

sol m m

→→

+ =+ =

+ =

+ − = −− + − = −

− + = −− =

+ =− =

==

+ ==

⋅

arg

:

2 58

2 2 58

29

2 2 46

2 2 4 46

2 2 42

21

29

21

2 50

25

25 29

4

25 4

26. 26. 26. 26. 26.

( )( )

x L o

y Ancho

x y

x y

y x xy

xy y x xy

x y

x y

x y

x y

x

x

y

y

sol m m

→→+ =

+ =

− + =+ − − =

− = −− = −

+ =− = −

==

+ ==

⋅

arg

:

2 2 56

28

2 2

2 2 4

2 2 4

4

28

4

2 24

12

12 28

16

16 12

EJERCICIO 204

1. 1. 1. 1. 1.

( )m n

A

A

A

= =

= ⋅ − +

= ⋅ ⋅

=

6 3

6 5 6 3 1

6 5 4

120

36

36

36

....

2. 2. 2. 2. 2. P

P

P

5

5

5

5

5 4 3 2

120

== ⋅ ⋅ ⋅=

!

3. 3. 3. 3. 3.

( )m n

CA

P

C

C

C

= =

= =⋅ − +

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

=

7 5

7 6 7 5 1

5

7 6 5 4 3

5 4 3 2 1

2 520

12021

57

57

5

57

57

57

....

!

.

4. 4. 4. 4. 4.

( )m n

A

A

A

= =

= ⋅ − +

= ⋅

=

6 2

6 5 6 2 1

6 5

30

26

26

26

....

5. 5. 5. 5. 5.

( )m n

A

A

A

= =

= ⋅ − +

= ⋅ ⋅

=

5 3

5 4 5 3 1

5 4 3

60

35

35

35

....

6. 6. 6. 6. 6.

( )m n

CA

P

C

C

C

= =

= =⋅ − +

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

12 5

12 11 12 5 1

5

12 11 10 9 8

5 4 3 2 1

3 11 2 3 4

792

512

512

5

512

512

512

....

!

7. 7. 7. 7. 7. P

P

P

7

7

7

7

7 6 5 4 3 2

5 040

== ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

!

.

8. 8. 8. 8. 8.

( )m n

CA

P

C

C

C

= =

= =⋅ − +

=⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

= ⋅

=

7 4

7 6 7 4 1

4

7 6 5 4

4 3 2 1

7 5

35

47

47

4

47

47

47

....

!

9. 9. 9. 9. 9. P P

P

P

P

5 1 4

4

4

4

4

4 3 2

24

− =

=

= ⋅ ⋅

=

!

10. 10. 10. 10. 10. P

P

P

6

6

6

6

6 5 4 3 2

720

== ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

!

11. 11. 11. 11. 11. Siendo el

P

P

P

lugar fijo

P

P P

P

P

1

6

6 5 4 3 2

720

7

7

7 720

5 040

6

6

6

7

7 6

7

7

º

!

sin

!

.

== ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

==

= ⋅=

12. 12. 12. 12. 12. En un banco

P

En una mesa

redonda

P P

P

P

6

6 1 5

5

5

720

5

120

=

=

==

−

!

13. 13. 13. 13. 13.

( )m n

A

A

A

= =

= ⋅ − +

= ⋅ ⋅

=

9 3

9 8 9 3 1

9 8 7

504

39

39

39

....

14. 14. 14. 14. 14. P P

P

P

4 1 3

3

3

3

6

− =

==

!

15. 15. 15. 15. 15.

( )m n

CA

P

C

C

C

= =

= =⋅ − +

=⋅ ⋅⋅

= ⋅

=

5 3

5 4 5 3 1

3

5 4 3

3 2

5 2

10

35

35

3

35

35

35

....

!

16. 16. 16. 16. 16. P P

P

P

P

5 2 3

3

3

3

3

3 2

6

− =

== ⋅=

!

17. 17. 17. 17. 17.

( )m n

A

A

A

= =

= ⋅ − +

= ⋅ ⋅

=

5 3

5 4 5 3 1

5 4 3

60

35

35

35

....

18. 18. 18. 18. 18. P P

P

P

P

11 1 10

10

10

10

10

10 9 8 7 6 5 4 3 2

3 628 800

− =

== ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

!

. .

19. 19. 19. 19. 19.

( )m n

CA

P

C

C

C

= =

= =⋅ − +

=⋅ ⋅⋅

= ⋅ ⋅

=

8 3

8 7 8 3 1

3

8 7 6

3 2

4 7 2

56

38

38

3

38

38

38

....

!

20. 20. 20. 20. 20.

( )m n

A

A

A

= =

= ⋅ − +

= ⋅ ⋅

=

6 3

6 5 6 3 1

6 5 4

120

56

56

56

....

21. 21. 21. 21. 21. Palabras dist as

P

P

P

Vocales fijas

P

P

int

!

.

!

8

8

8

5

5

8

8 7 6 5 4 3 2

40 320

5

120

== ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

==

22. 22. 22. 22. 22. P P

P

P

P

5 1 4

4

4

4

4

4 3 2

24

− =

== ⋅ ⋅=

!

EJERCICIO 205

1. 1. 1. 1. 1. ( )4 162 2 4a a=

2. 2. 2. 2. 2. ( )− = −5 1253 3a a

3. 3. 3. 3. 3. ( )3 273 3 3xy x y=

4. 4. 4. 4. 4. ( )− =6 362 2 4 2a b a b

5. 5. 5. 5. 5. ( )− = −2 82 3 3 6 9x y x y

6. 6. 6. 6. 6. ( )4 642 3 4 3 6 9 12a b c a b c=

7. 7. 7. 7. 7. ( )− =6 364 5 2 8 10x y x y

8. 8. 8. 8. 8. ( )− = −7 3433 4 3 3 9 12ab c a b c

9. 9. 9. 9. 9. ( )a b a bm n x mx nx=

10. 10. 10. 10. 10. ( )− =2 163 5 6 4 12 20 24x y z x y z

11. 11. 11. 11. 11. ( )− = −3 273 3 9 3m n m n

12. 12. 12. 12. 12. ( )a b c a b cm m m m2 3 2 3=

13. 13. 13. 13. 13. ( )− =m nx m n x2 3 4 8 4 12

14. 14. 14. 14. 14. ( )− = −3 2432 5 10 5a b a b

15. 15. 15. 15. 15. ( )7 495 6 8 2 10 12 16x y z x y z=

16. 16. 16. 16. 16. −

=

x

y

x

y2 4

2 2

2

17. 17. 17. 17. 17. −

= −

2 82

3 3

6

m

n

m

n

18. 18. 18. 18. 18. ab a b2 3 3 6

5 125

=

19. 19. 19. 19. 19. −

=

3

4

9

16

2 2 4

2

x

y

x

y

20. 20. 20. 20. 20. −

=

2

3

16

81

2

3

4 4 8

12

ab

m

a b

m

21. 21. 21. 21. 21. 2

3

32

243

3

4

5 15 5

20

m n

x

m n

x

=

22. 22. 22. 22. 22. −

=

3

4

9

16

3 2 2 6 4a b a b

23. 23. 23. 23. 23. −

=

mn m n2 4 4 8

3 81

24. 24. 24. 24. 24. −

= −

a b a b2 4 5 10 20

2 32

EJERCICIO 206

1. 1. 1. 1. 1. ( )( )

a b

a a b b

a a b b

5 4 2

10 5 4 8

10 5 4 8

7

2 7 49

14 49

+

= + +

= + +

2. 2. 2. 2. 2. ( )( )( )

3 5

9 2 3 5 25

9 30 25

4 3 2

8 4 3 2 6

8 5 3 2 6

x xy

x x xy x y

x x y x y

−

= − +

= − +

3. 3. 3. 3. 3. ( )( )

a b a

a b a b a a

a b a b a

2 3 5 2

4 6 2 3 5 10

4 6 7 3 10

2

2

−

= − +

= − +

4. 4. 4. 4. 4. ( )( )( )

7 8

49 2 7 8 64

49 112 64

5 3 4 2

10 5 3 4 6 8

10 8 4 6 8

x x y

x x x y x y

x x y x y

−

= − +

= − +

5. 5. 5. 5. 5. ( )( )( )

9 5

81 2 9 5 25

81 90 25

2 2 3 2

2 4 2 2 3 4 6

2 4 3 5 4 6

ab a b

a b ab a b a b

a b a b a b

+

= + +

= + +

6. 6. 6. 6. 6. ( )( )( )

3 7

9 2 3 7 49

9 42 49

2 3 3 2 2

4 6 2 3 3 2 6 4

4 6 5 5 6 4

x y x y

x y x y x y x y

x y x y x y

−

= − +

= − +

7. 7. 7. 7. 7. ( )( )( )

xy a b

x y xy a b a b

x y a b xy a b

−

= − +

= − +

2 2 2

2 2 2 2 4 4

2 2 2 2 4 4

2

2

8. 8. 8. 8. 8. x y

x x y y

x xy y

2

2

3

42

2

2

3

4

9

4

2

3

4

9

2

2 2

2 2

+

= +

+

= + +

9. 9. 9. 9. 9.

3

4

2

5

9

162

3

4

2

5

4

25

9

16

3

5

4

25

2 2 2

4 2 2 4

4 2 2 4

a b

a a b b

a a b b

−

= −

+

= − +

10. 10. 10. 10. 10. 5

6

3

5

25

362

5

6

3

5

9

25

25

36

9

25

3 2 2

6 3 2 2 4

64 2

2 4

x xy

x x xy x y

xx y

x y

+

= +

+

= + +

11. 11. 11. 11. 11. a a b

a a a b a b

a a b a b

5 3 7 2

10 5 3 7 6 14

10 8 7 6 14

9

3

7

812

9

3

7

9

49

81

2

21

9

49

−

= −

+

= − +

12. 12. 12. 12. 12. 2

5

5

4

4

252

2

5

5

4

25

16

4

25

25

16

4 3 2

8 4 3 6

84 3

6

m n

m m n n

mm n

n

−

= −

+

= − +

13. 13. 13. 13. 13. x y

x x y y

x xy y

3 4

92

3 4 16

9 6 16

2 2

2 2 4

2 2 4

+

= +

+

= + +

14. 14. 14. 14. 14. 2

3

3

5

4

92

2

3

3

5

9

25

4

9

4

5

9

25

2

2 2

2 2

x y

x x y y

x xy y

−

= −

+

= − +

15. 15. 15. 15. 15. a a

b

a a a

b

a

b

a a

b

a

b

3 2 2

6 3 2 4

2

6 5 4

2

8

4

7

642

8

4

7

16

49 64 7

16

49

+

= +

+ = + +

16. 16. 16. 16. 16. 3

2

2

3

9

42

3

2

2

3

4

9

9

42

4

9

4 2

2

4 8

23

8

x

x

x x

x x

xx

x

−

= −

+ = − +

17. 17. 17. 17. 17. 5

6

3

10

25

362

5

6

3

10

9

100

25

36 2

9

100

7

4

6

2

2 14

8

7

4

6

2

12

4

14

8

5 2 12

4

x

y

y

x

x

y

x

y

y

x

y

x

x

y

x y y

x

−

= −

+

= − +

18. 18. 18. 18. 18. 3

8

4

9

9

642

3

8

4

9

16

81

9

64 3

16

81

6 2

5

2 12 6 2

5

4

10

12 8

5

4

10

a a

b

a a a

b

a

b

a a

b

a

b

−

= −

+

= − +

EJERCICIO 207

1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )( ) ( )( )2 3 8 3 4 3 3 2 9 27 8 36 54 273 3 2 2 3 3 2 2 3a b a a b a b b a ab ab b+ = + + + = + + +

2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )( ) ( )( )4 3 64 3 16 3 3 4 9 27 64 144 108 272 3 3 2 2 4 6 3 2 2 4 6a b a a b a b b a a b ab b− = − + − = − + −

3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )( ) ( )( )5 6 125 3 25 6 3 5 36 216 125 450 540 2162 3 3 6 4 3 2 6 9 6 4 3 2 6 9x y x x y x y y x xy x y y+ = + + + = + + +

4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( )( ) ( )( )4 3 64 3 16 3 3 4 9 27 64 144 108 273 2 3 9 6 2 3 2 4 3 6 9 7 2 5 4 3 6x xy x x xy x x y x y x x y x y x y− = − + − = − + −

5. 5. 5. 5. 5. ( )( )( ) ( )( )

7 5

343 3 49 5 3 7 25 125 343 735 525 125

4 2 3 3

12 8 2 3 4 4 6 6 9 12 10 3 8 6 6 9

a a b

a a a b a a b a b a a b a b a b

−

= − + − = − + −

6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( )( ) ( )( )a a x a a a x a a x a x a a x a x a x8 5 4 3 24 16 5 4 8 10 8 15 12 24 21 4 18 8 15 129 3 9 3 81 729 27 243 729+ = + + + = + + +

7. 7. 7. 7. 7. ( )( )( ) ( )( )

8 7

512 3 64 7 3 8 49 343 512 1 344 1 176 343

4 2 4 3

12 8 2 4 4 4 8 6 12 12 10 4 8 8 6 12

x x y

x x x y x x y x y x x y x y x y

−

= − + − = − + −. .

8. 8. 8. 8. 8. ( )( )( ) ( )( )

3 5

27 3 9 5 3 3 25 125 27 135 225 125

2 3 2 3

6 3 4 2 3 2 2 6 4 9 6 6 3 7 4 8 5 9 6

a b a b

a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b

−

= − + − = − + −

9. 9. 9. 9. 9. 1

2

2

3 83

4

2

33

2

4

9

8

27 8 2

2

3

8

27

2 3 3 2 2 4 6 3 2 2 4 6

ab a a b a b b a ab ab b

+

= +

+

+ = + + +

10. 10. 10. 10. 10. 3

4

4

5

27

643

9

16

4

53

3

4

16

25

64

125

27

64

27

20

36

25

64

125

2 2 3 6 4 2 2 4 6 6 4 2 2 4 6a b a a b a b b a ab a b b−

= −

+

− = − + −

11. 11. 11. 11. 11. 5

6

3

10

125

2163

25

36

3

103

5

6

9

100

27

1 000

125

216

5

8

9

40

27

1 000

2 4 3

6 3 4 2 4 2 8 12 6 3 4 6 2 9 12

a b b

a b a b b a b b b a b a b a b b

−

= −

+

− = − + −

. .

12. 12. 12. 12. 12. 7

8

4

7

343

5123

49

64

4

73

7

8

16

49

64

343

343

512

21

16

6

7

64

343

5 6 3

15 10 6 5 12 18 15 10 6 5 12 18

x y

x x y x y y x x y x y y

−

= −

+

+ = − + +

13. 13. 13. 13. 13. x

y

y

x

x

y

x

y

y

x

x

y

y

x

y

x

x

y y

y

x

y

x2

3

83

4

33

2

9 27

8

9

4

27

2

272

3 3

3

2

2 2

2

4

3

6

3

3 3

3

6+

= +

+

+ = + + +

14. 14. 14. 14. 14. 2

5

5

2

8

1253

4

25

5

23

2

5

25

4

125

8

8

125

6

5

15

2

125

8

2

3

3 6 4

3

2

6 9

6 4

3

2

6 9

a

b

a a

b

a

b b

a a

b

a

b b−

= −

+

− = − + −

15. 15. 15. 15. 15. ( ) ( )43

64 3 163

3 49 27

64144 108 274

312 8

34

2

6

3

912

9

3

6

6

3

9xx

yx x

x

yx

x

y

x

yx

x

y

x

y

x

y−

= −

+

− = − + −

16. 16. 16. 16. 16. 3

2

4

5

27

83

9

4

4

53

3

2

16

25

64

125

27

8

27

5

72

25

64

125

2 3 3

3

2

2

2 4 6 3

3

2 3 6a

b

b a

b

a

b

b a

b

b b a

b

a ab b+

= +

+

+ = + + +

17. 17. 17. 17. 17. 7

8

343

5123

49

643

7

8

343

512

147

64

21

84 5

3

4 5 8 10 12 154 5 8 10

12 15−

= −

+

− = − + −x y x y x y x y

x y x yx y

18. 18. 18. 18. 18. m n

m

m m n

m

m n

m

n

m

m mn n

m

n

m

3 2

2

3 9 6 2

2

3 4

4

6

6

9 4 2 4 6

66

6

2163

36

63

6

36 216

216 2

18 216−

= −

+

− = − + −

EJERCICIO 208

1. 1. 1. 1. 1.

( ) ( ) ( )( )x x

x x x x x x x x x x x x x x x

2

4 2 2 2 4 2 3 2 4 3 2

2 1

4 1 2 2 2 1 2 2 1 4 1 4 2 4 4 6 4 1

− +

= + + + − + + − = + + − + − = − + − +

2. 2. 2. 2. 2.

( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 1

4 1 2 2 2 2 1 2 1 4 1 4 4 2 4 4 5 2 1

2

4 2 2 2 4 2 3 2 4 3 2

x x

x x x x x x x x x x x x x x x

+ +

= + + + + + = + + + + + = + + + +

3. 3. 3. 3. 3. ( )( ) ( )( ) ( )( )x x x x x x x x x x x x x

x x x x

2 4 2 2 2 4 2 3 2

4 3 2

5 2 25 4 2 5 2 2 2 5 2 25 4 10 4 20

10 29 20 4

− + = + + + − + + − = + + − + −

= − + − +4. 4. 4. 4. 4. ( )( ) ( )( ) ( )( )x x x x x x x x x x x x x

x x x x x

3 2 6 4 3 2 3 2 6 4 5 3 2

6 5 4 3 2

5 6 25 36 2 5 2 6 2 5 6 25 36 10 12 60

10 25 12 60 36

− + = + + + − + + − = + + − + −

= − + + − +

5. 5. 5. 5. 5. ( )( ) ( )( ) ( )( )4 3 5 16 9 25 2 4 3 2 4 5 2 3 5

16 9 25 24 40 30 16 24 49 30 25

4 2 8 4 4 2 4 2

8 4 6 4 2 8 6 4 2

a a a a a a a a

a a a a a a a a a

− + = + + + − + + −

= + + − + − = − + − +

6. 6. 6. 6. 6. ( )( ) ( )( ) ( )( )x y z x y z x y x z y z x y z xy xz yz+ − = + + + + − + − = + + + − −2 4 2 2 2 2 2 4 4 2 42 2 2 2 2 2

7. 7. 7. 7. 7.

( )( ) ( )( ) ( )( )3

9 2 3 2 3 2 9 6 6 2 2 5 6 9

3 6

6 12 3 6 3 6 6 12 3 6 9 12 9 6 3

− −

= + + + − + − + − − = + + − − + = + − − +

x x

x x x x x x x x x x x x x x x

8. 8. 8. 8. 8. ( )( ) ( )( ) ( )( )5 7 3 25 49 9 2 5 7 2 5 3 2 7 3

25 49 9 70 30 42 25 70 30 49 42 9

4 2 8 4 2 4 2 4 2

8 4 2 6 5 3 8 6 5 4 3 2

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

− + = + + + − + + −

= + + − + − = − + + − +

9. 9. 9. 9. 9. ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 3 4 4 9 2 2 2 2 2 3 2 2 3

4 4 9 8 12 12 4 8 8 12 9

2 2 4 2 2 4 2 2 2 2

4 2 2 4 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4

a ab b a a b b a ab a b ab b

a a b b a b a b ab a a b a b ab b

+ − = + + + + − + −

= + + + − − = + − − +

10. 10. 10. 10. 10. ( )( ) ( )( ) ( )( )m mn n m mn n m mn m n mn n

m mn n mn mn m n m mn m n mn m n n

3 2 4 6 4 2 8 3 2 3 4 2 4

6 4 2 8 5 3 4 2 5 6 5 4 2 3 4 2 5 8

2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2

4 4 4 4 8 4 4 4 8 4

− + = + + + − + + −

= + + − + − = − + + − +

11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( )ab

c ab

c ab

a cb

c ab

cab

ac bc

2 4 4 162

22

2 42

4 4 16 4 2

22

2 22

2

− + = + + +

− +

+ −

= + + − + −

12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( )xy

xy

xy

xy

xy xy

x y

xxy

xy

y

55

53 25

25259

25

5 25

53

2 553 25

25259

223

503

252

2

325

50

3

25

9

22

22

22

− + = + + +

− +

+ −

= + + − + −

= − + + − +

13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( )xx

xx

xx

xx

xx x

x x

xx

x x

2 42

2 2 42 3

2

43

2

2

2

3 4

4

92

22

2

2

32

2

3 4

4

9

2

3

4

3

4

5

3

4

3

4

9

− + = + + +

− +

+

− = + + − + −

= − + − +

14. 14. 14. 14. 14. a

x

x

a

a

x

x

a

a

x

a

x

x

a

x

a

a

x

x

a

a

x

x

a

a

x

a

x

x

a

x

a

− + = + + +

−

+

+ −

= + + − + −

= − − + +

13

19

213

2 213

19

23

223

2

3

2

3

19

9

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

15. 15. 15. 15. 15. 3

4 2

4

5

9

16 4

16

252

3

4 22

3

4

4

52

2

4

5

9

16 4

16

25

3

4

6

5

4

5

9

16

3

4

29

20

4

5

16

25

2 4 2 2 2

4 2 3 2 4 3 2

a a a a a a a a

a a a a a a a a a

− + = + + +

−

+

+ −

= + + − + − = − + − +

16. 16. 16. 16. 16. a b a b a a b b

a b a a b b a a a b b b

2 2 4 4 2 2 2 2

4 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4

4

3

5 9 16

9

25 812

4

3

52

4 92

3

5 9

16

9

25 81

3

10 18

2

15 16

3

10 18

9

25

2

15 81

− + = + + +

−

+

+ −

= + + − + − = − + + − +

17. 17. 17. 17. 17. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x

3 2 6 4 2 3 2 3 3 2 2

6 4 2 5 4 3 3 2 6 5 4 2

1 1 2 2 2 2 2 2

1 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1

− + + = + + + + − + + + − + − +

= + + + − + + − − + = − + − + +

18. 18. 18. 18. 18.

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )x x x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x

3 2

6 4 2 3 2 3 3 2 2

6 4 2 5 4 3 3 2 6 5 4 3 2

3 2 2

9 4 4 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2

9 4 4 6 4 4 12 12 8 6 5 16 8 8 4

− − +

= + + + + − + − + + − − + − + −

= + + + − − + + − − = − + + − − +

19. 19. 19. 19. 19.

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )x x x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x

4 2

8 4 2 4 2 4 4 2 2

8 4 2 6 5 4 3 2 8 6 5 4 3 2

3 4 5

9 16 25 2 3 2 4 2 5 23 4 2 3 5 2 4 5

9 16 25 6 8 10 24 30 40 6 8 19 24 46 40 25

+ − +

= + + + + + − + + − + + −

= + + + + − + − + − = + − + − + − +

20.20.20.20.20.

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )x x x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x

4 3

8 6 2 4 3 4 4 3 3

8 6 2 7 5 4 4 3 8 7 6 5 4 3 2

4 2 3

16 4 9 2 4 2 2 2 3 2 4 2 2 4 3 2 2 3

16 4 9 8 4 6 16 24 12 8 16 4 22 24 4 12 9

− + −

= + + + + − + + − + − + − − + −

= + + + − + − − + − = − + + − + + − +

21. 21. 21. 21. 21.

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )3 6

9 36 2 3 6 2 3 2 3 2 6 2 6 2

9 36 36 6 6 12 12 2 2 13 18 42 36 9

2 3

2 4 6 2 3 2 3 2 3

2 4 6 2 3 3 4 5 6 5 4 3 2

− + −

= + + + + − + + − + − + − − + −

= + + + − + − − + − = − + − + − +

a a a

a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a a a a

22. 22. 22. 22. 22.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

xx

x

xx

x xx

x x xx

xx

x

xx

xx

xx

xx

x xx

x

32

64

2 32

3 32 2

64

25

43

32

65

2

2

32

4

4

94 2

22

2

2

32

22 2

2

32 2 2

2

32

4

4

94

2

32

4

34

8

3 4

5

− + +

= + + + +

− +

+

+ −

+ − +

= + + + − + + − − + = − +4 3 2

3

2

3

32

9

8

34+ − + +

x x x

23.23.23.23.23.a a a

a a a a a a a a a a a a

3 2

6 4 2 3 2 3 3 2 2

223

34

12

4

4

9

9

16

1

42

2

2

32

2

3

42

2

1

22

2

3

3

42

2

3

1

22

3

4

1

2

− + −

= + + + +

−

+

+

−

+ −

+ −

−

+

−

= + + + − + − − + − = − + − + − +a a a a a a

aa a a a a a a a6 4 2 5 4 3

32 6 5 4 3 2

4

4

9

9

16

1

4

2

3

3

4 2

2

3

3

4 4

2

3

43

36

3

2

59

48

3

4

1

4

24.24.24.24.24.

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x

5 4 3 2

10 8 6 4 2 5 4 5 3 5 2 5 5 4 3 4 2

4 4 3 2 3 3 2 2

10 8 6 4 2 9 8

2

4 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 2 2

− + − + −

= + + + + + + − + + − + + − + − + − −

+ − + − − + − + + − + − + − − + −

= + + + + + − + −2 2 4 2 2 2 4 2 2 4 2 4 4

2 3 4 5 8 7 6 5 4 4

7 6 5 7 6 5 4 5 4 3 3 2

10 9 8 7 6 5 4 3 2

x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

+ − − + − + − + − − + −

= − + − + − + − + − +

EJERCICIO 209

1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x

2 6 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2

6 3 5 4 4 2 2 3 6 5 4 3 2

1 1 3 3 1 3 3 1 3 3 6 1

1 3 3 3 3 3 3 6 3 6 7 6 3 1

+ + = + + + + + + + + +

= + + + + + + + + + = + + + + + +

2.2.2.2.2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )

2 1 8 1 3 2 3 2 1 3 1 3 2 3 1 2 3 1

6 2 1

8 1 12 12 3 6 6 3 12 8 12 6 11 3 3 1

2 6 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

6 3 5 4 2 4 2 3 6 5 4 3 2

x x x x x x x x x x x x

x x

x x x x x x x x x x x x x x x

− − = − − + − + − + − − + − + − + − −

+ − −

= − − − − − + + − + = − − + + − −

3. 3. 3. 3. 3.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )

1 3 2

1 27 8 3 1 3 3 1 2 3 3 1 3 3 2 3 2 1 3 2 3

6 1 3 2

1 27 8 9 6 27 54 12 36 36 1 9 33 63 66 36 8

2

3 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

3 6 2 2 4 4 5 3 2 3 4 5 6

− +

= − + + − + + − + − + + −

+ −

= − + − + + + + − − = − + − + − +

x x

x x x x x x x x x x

x x

x x x x x x x x x x x x x x x

4. 4. 4. 4. 4.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )2 3

8 27 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 6 2 3

8 27 36 12 54 27 6 9 36 9 33 63 66 36 8

2

3 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 6 2 2 4 4 5 3 6 5 4 3 2

− +

= − + + − + + − + − + + − + −

= − + − + + + + − − = − + − + − +

x x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x

5. 5. 5. 5. 5.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )

x x

x x x x x x x x x x

x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x

3 2

9 6 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2

3 2

9 6 8 6 7 4 3 2 5

9 8 7 6 5 4 3 2

2 4

8 64 3 2 3 4 3 2 3 2 4 3 4 3 4 2

6 2 4

8 64 6 12 12 48 48 96 48

6 12 20 48 48 48 96 64

− −

= − − + − + − + − + − − + − + − −

+ − −

= − − − − + − + − +

= − + − + − + − −

6. 6. 6. 6. 6.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )

x x

x x x x x x x x x x

x x

x x x x x x x x x x x x x x x

4 2

12 6 4 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2

4 2

12 6 10 8 8 4 4 2 6 12 10 8 6 4 2

2

8 3 3 2 3 3 2 3 2 3 2

6 2

8 3 6 3 6 12 12 12 3 3 11 6 12 8

− −

= − − + − + − + − + − − + − + − −

+ − −

= − − − − + − + − + = − − + + − −

7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( ) ( ) ( )aa a

aa a

aa

aa a

aa a a

a

a aa

a a

aa a

32

96 3

3 22

3 22 2

32 2 2

3

2 23

2

96 3

2 3 8 273

23

33

23

2 33

3

33 2

62 3

8 27

3

+ − = + − +

+ −

+

+

−

+ −

+ −

+

−

= + − +a

aa a a a

a aa a a a a a8

77 5 5 4

6 98 7 6 5 4 3

2

3

4 4 3 6

3

2 4

7

8 12 6 27− + − + + − = + − − + + −

8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x x x x x xx

x x x x

x x x

x x x x x x

2 6 3 2 2

2 2

2 2 22

2

22

6 3 5 4 4

2 32

8 278 3

2 33 2 2 3

3 23

32 3 2

2

3 23

62 3

2

8 278

4

3

2 6

2

− + = − + +

−

+ + −

+ −

+

+ −

+

−

= − + − + + +2

2 36 5 4 3 2

36 4 2

8 4

5

3

55

27

20

34 8+ − − = − + − + − +x x x

x x x x xx

9. 9. 9. 9. 9.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )

a a a

a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a

3 2

9 6 3 3 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2

2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2

3 2 3 2 3 2

9 6 3 8

1

1 3 3 3 1 3 3

3 1 3 3 3 1 3 1 3 1 3 1

6 6 1 6 1 6 1

1 3 3

− + −

= − + − + − + + − + − + −

+ − − + + − + − + − + − − + −

+ − + − − + − + − −

= − + − − + a a a a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

7 6 7 5 4 5 4 2 3 2 6 5 4 3

9 8 7 6 5 4 3 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 6 6 6

3 6 10 12 12 10 6 3 1

− + + − + − − + − + − + − +

= − + − + − + − + −

10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x

x x x x x x x

x x

3 2 9 6 3 3 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2

2 2 2 3 2 2 2 3 2 3 2

3 2 2 3 2 2 2

9

2 3 8 27 3 2 3 3 3 3 2 3 2

3 2 3 3 3 2 3 3 6 2 6 2 3

6 3 6 2 3 3 3 3 3 2 3 3

8

− + − = − + − + − + + − + − + −

+ − − + + − + − + − + − −

+ − + − − + − + − − + −

= − 6 3 8 7 6 7 5 4 5 4 2 6 5

4 3 3 2

9 8 7 6 5 4 3 2

27 6 3 9 12 12 36 3 6 9 12 36

18 36 27 54 27

6 15 29 51 60 64 63 27 27

+ − − + − + + − + − − − +

− + + − +

= − + − + − + − + −

x x x x x x x x x x x x

x x x x x

x x x x x x x x x

11. 11. 11. 11. 11.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )

x x x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x x

3 2

9 6 3 3 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2

2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2

2 3 2 3 2 3

4 2 3

64 8 27 3 4 3 2 3 3 3 4 3 4 2

3 4 3 3 2 3 2 4 3 2 3 3 3 3 3 4

3 3 2 6 4 2 6 4 3 6 2 3 6 4

− + −

= − + − + − + + − + − + −

+ − − + + − + − + − + − −

+ − + − + − − + − + −( )( )( )2

9 6 3 8 7 6 7 5 4 5 4 2 3 2

6 5 4 3

9 8 7 6 5 4 3 2

2 3

64 8 27 12 6 9 48 96 144 12 48 36 27 108

54 48 72 36 144

12 54 121 180 228 179 144 54 27

x

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x

x x x x x x x x x

−

= − + − − + − + + − + − − + −

+ − + − +

= − + − + − + − + −

12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )

1 2 1 8 3 32 3 3 3 2 3

3 2 3 2 3 2 3 3 3 2

6 2 6 2 6 6 2

1 8

2 4 6 6 12 18 2 4 6 2 2 2 2 4 2 2 6

4 2 4 2 2 4 2 6 6 2 6 2 2 6 2 4

2 4 4 6 2 6 2 4 6

6

− + − = − + − + − + + − + − + − + − −

+ + − + − + − + − − + −

+ − + − + − − + − −

= − +

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x12 18 2 4 6 4 8 10 8 10 14 12

14 16 6 10 8 12

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 3 3 6 3 12 12 12 3

3 6 12 12 6 12

1 3 9 16 24 27 23 15 6

− − + − + + − + − − +

− + − − + +

= − + − + − + − + −

x x x x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x x

EJERCICIO 210

1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x x x x− = − +⋅

−⋅

+ = − + − +2 4 24 3

22

6 2

32 2 8 24 32 16

4 4 3 2 2 3 4 4 3 2

2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a a a a a a a a+ = + +⋅

+⋅

+ = + + + +3 4 34 3

23

6 2

33 3 12 54 108 81

4 4 3 2 2 3 4 4 3 2

3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 5 25 4

22

10 3

32

10 2

42 32 80 80 40 10

5 5 4 3 2 2 3 4 5 2 3 4 5− = − +⋅

−⋅

+⋅

− = − + − + −x x x x x x x x x x x

4. 4. 4. 4. 4. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 5

2 4 2 54 3

22 5

6 2

32 5 5 16 160 600 1 000 625

4

4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4

x y

x x y x y x y y x x y x y xy y

+

= + +⋅

+⋅

+ = + + + +.

5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a a a a a a

a a a a a a

− = − +⋅

−⋅

+⋅

−⋅

+

= − + − + − +

3 6 36 5

23

15 4

33

20 3

43

15 2

53 3

18 135 540 1 215 1 458 729

6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

6 5 4 3 2. .

6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 6 26 5

22

15 4

32

20 3

42

15 2

52

64 192 240 160 60 12

6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

a b a a b a b a b a b a b b

a a b a b a b a b ab b

− = − +⋅

−⋅

+⋅

−⋅

+

= − + − + − +

7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )x y x x y x y x y x y y

x x y x y x y x y y

2 3 5 2 5 2 4 3 2 3 3 2 2 2 3 3 2 3 4 3 5

10 8 3 6 6 4 9 2 12 15

2 5 25 4

22

10 3

32

10 2

42 2

10 40 80 80 32

+ = + +⋅

+⋅

+⋅

+

= + + + + +

8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )x x x x x x x

x x x x x x

3 6 3 6 3 5 3 4 2 3 3 3 3 2 4 3 5 6

18 15 12 9 6 3

1 6 16 5

21

15 4

31

20 3

41

15 2

51 1

6 15 20 15 6 1

+ = + +⋅

+⋅

+⋅

+⋅

+

= + + + + + +

9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 5 2 35 4

22 3

10 3

32 3

10 2

42 3 3

32 240 720 1 080 810 243

5 5 4 3 2 2 3 4 5

5 4 3 2 2 3 4 5

a b a a b a b a b a b b

a a b a b a b ab b

− = − +⋅

−⋅

+⋅

−

= − + − + −.

10. 10. 10. 10. 10. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

x y

x x y x y x y x y x y y

x x y x y x y x y x y y

4 3 6

4 6 4 5 3 4 4 3 2 4 3 3 3 4 2 3 4 4 3 5 3 6

24 20 3 16 6 12 9 8 12 4 15 18

5

6 56 5

25

15 4

35

20 3

45

15 2

55 5

30 375 2 500 9 375 18 750 15 625

−

= − +⋅

−⋅

+⋅

−⋅

+

= − + − + − +. . . .

11. 11. 11. 11. 11.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22

2 6 22

6 5

22

2

15 4

32

2

20 3

42

2

15 2

52

2 2

64 96 60 2015

4

3

8 64

6

6 5 42

33

24 5 6

6 5 4 2 3 3 2 4 56

xy

x xy

xy

xy

xy

xy y

x x y x y x y x y xyy

−

= −

+

⋅

−

⋅

+

⋅

−

⋅

+

= − + − + − +

12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )33

3 5 33

5 4

23

3

10 3

33

3

10 2

43

3 3

243 135 3010

3

5

27 243

2 5

5 42

32 2

22 3 2 4 2 5

2 4 6 810

−

= −

+

⋅

−

⋅

+

⋅

−

= − + − + −

x x x x x x

x x x xx

13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

2 3 2 6 2 36 5

22 3

15 4

32 3

20 3

42 3

15 2

52 3 3

64 576 2 160 4 320 4 860 2 916 729

3 4 6 3 6 3 5 4 3 4 4 2 3 3 4 3 3 2 4 4

3 4 5 4 6

18 15 4 12 8 9 12 6 16 3 20 24

m n m m n m n m n m n

m n n

m m n m n m n m n m n n

− = − +⋅

−⋅

+⋅

−⋅

+

= − + − + − +. . . .

14. 14. 14. 14. 14. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

x

x x x x x x x

x x x x x x x

2 7

2 7 2 6 2 5 2 2 4 3 2 3 4 2 2 5 2 6 7

14 12 10 8 6 4 2

3

7 37 6

23

21 5

33

35 4

43

35 3

53

21 2

63 3

21 189 945 2 835 5 103 5 103 2 187

−

= − +⋅

−⋅

+⋅

−⋅

+⋅

−

= − + − + − + −. . . .

15. 15. 15. 15. 15. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )33

3 5 33

5 4

23

3

10 3

33

3

10 2

43

3 3

243 135 3010

3

5

27 243

2 5

5 42

32 2

22 3 2 4 2 5

5 4 2 3 4 2 6 810

ab

a ab

ab

ab

ab b

a a b a b a b abb

−

= −

+

⋅

−

⋅

+

⋅

−

= − + − + −

16. 16. 16. 16. 16. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

x y x x y x y x y x y

x y x y y

x x y x y x y x y x y x y y

2 2 7 2 7 2 6 2 2 5 2 2 2 4 2 3 2 3 2 4

2 2 2 5 2 2 6 2 7

14 12 2 10 4 8 6 6 8 4 10 2 12 14

2 7 27 6

22

21 5

32

35 4

42

35 3

52

21 2

62 2

14 84 280 560 672 448 128

+ = + +⋅

+⋅

+⋅

+⋅

+⋅

+

= + + + + + + +

17. 17. 17. 17. 17. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

x x x x x x x

x x

x x x x x x x x

3 8 3 8 3 7 3 6 2 3 5 3 3 4 4 3 3 5

3 2 6 3 7 8

24 21 18 15 12 9 6 3

1 8 18 7

21

28 6

31

56 5

41

70 4

51

56 3

61

28 2

71 1

8 28 56 70 56 28 8 1

− = − +⋅

−⋅

+⋅

−⋅

+⋅

−⋅

+

= − + − + − + − +

18. 18. 18. 18. 18. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

xy

x xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy y

29

2 9 2 8 2 72

2 63

2 54

2 45

2 36

2 27

28

29

2

9 8

2 2

36 7

3 2

84 6

4 2

126 5

5 2

126 4

6 2

84 3

7 2

36 2

8 2 2

−

= −

+

⋅

−

⋅

+

⋅

−

⋅

+⋅

−

⋅

+

⋅

−

= − + − + − + − + −

9

18 16 14 2 12 3 10 4 8 5 6 6 4 7 2 899

29

21

2

63

8

63

16

21

16

9

32

9

256 512x x y x y x y x y x y x y x y x y

y

19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 7 27 6

22

21 5

32

35 4

42

35 3

52

21 2

62

128 448 672 560 280 84 14

3 4 7 3 7 3 6 4 3 5 4 2 3 4 4 3 3 3 4 4

3 2 4 5 3 4 6 4 7

21 18 4 15 8 12 12 9 16 6 20 3 24 28

m n m m n m n m n m n

m n m n n

m m n m n m n m n m n mn n

− = − +⋅

−⋅

+⋅

−⋅

+⋅

−

= − + − + − + −

20. 20. 20. 20. 20. x y

x x y x y x y x y y

x x y x y

2 2 5

2 5 2 4 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 5

10 8 2 6

2

2

3

25

2

2

3

5 4

2 2

2

3

10 3

3 2

2

3

10 2

4 2

2

3

2

3

32

5

24

5

+

=

+

+

⋅

+

⋅

+

⋅

+

= + +4 4 6 2 8 10

9

20

27

40

81

32

243+ + +

x y x y y

21. 21. 21. 21. 21. 1

5

5

2

1

56

1

5

5

2

6 5

2

1

5

5

2

15 4

3

1

5

5

2

20 3

4

1

5

5

2

15 2

5

1

5

5

2

5

2

1

15

6 6 5 4 2 3 3 2 4

5 6

−

=

−

+

⋅

−

⋅

+

⋅

−⋅

+

=

a a a a a

a a

.625

3

625

3

20

5

2

375

16

1 875

16

15 625

64

2 3 4 5 6

− + − + − +a a a a a a. .

EJERCICIO 211

NOTNOTNOTNOTNOTA: TA: TA: TA: TA: Triángulo necesario para el desarrollo de los problemas del presente ejercicioriángulo necesario para el desarrollo de los problemas del presente ejercicioriángulo necesario para el desarrollo de los problemas del presente ejercicioriángulo necesario para el desarrollo de los problemas del presente ejercicioriángulo necesario para el desarrollo de los problemas del presente ejercicio

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b a a b a b a b a b a b b

a a b a b a b a b ab b

+ = + + + + + +

= + + + + + +

2 6 2 15 2 20 2 15 2 6 2 2

12 60 160 240 192 64

6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 3 2 5 2 3 10 2 3 10 2 3 5 2 3 3

32 240 720 1 080 810 243

2 3 5 2 5 2 4 3 2 3 3 2 2 2 3 3 2 3 4 3 5

10 8 3 6 6 4 9 2 12 15

m n m m n m n m n m n n

m mn m n m n m n n

− = − + − + −

= − + − + −.

3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )x y x x y x y x y x y x y y

x x y x y x y x y x y y

2 3 6 2 6 2 5 3 2 4 3 2 2 3 3 3 2 2 3 4 2 3 5 3 6

12 10 3 8 6 6 9 4 12 2 15 18

6 15 20 15 6

6 15 20 15 6

+ = + + + + + +

= + + + + + +

4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 3 7 3 21 3 35 3 35 3 21 3 7 3

2 187 5 103 5 103 2 835 945 189 21

7 7 7 6 7 5 7 2 4 7 3 3 7 4 2 7 5 7 6 7 7

7 14 21 28 35 42 49

− = − + − + − + −

= − + − + − + −

y y y y y y y y

y y y y y y y. . . .

5. 5. 5. 5. 5. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 3

2 6 2 3 15 2 3 20 2 3 15 2 3 6 2 3 3

64 576 2 160 4 320 4 860 2 916 729

3 4 6

3 6 3 5 4 3 4 4 2 3 3 4 3 3 2 4 4 3 4 5 4 6

18 15 4 12 8 9 12 6 16 3 20 24

x y

x x y x y x y x y x y y

x x y x y x y x y x y y

−

= − + − + − +

= − + − + − +. . . .

6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( ) ( ) ( )xy

x xy

xy

xy

xy y

x x y x y x y x yy

23

5 2 5 2 4

32 3

3 22 2

3 32

3 4 3 5

10 8 3 6 6 4 9 2 1215

2 25

210

210

25

2

32

5

16

5

4

5

2

5

2

+

=

+

+

+

+

+

= + + + + +

7. 7. 7. 7. 7. a

b

a a

b

a

b

a

b

a

b

a

b b

a a

b

a

b

a

b

3

3

36

3

315

3

320

3

315

3

36

3

3 3

729

2

27

5

3

20

6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

6 5 4

2

3

3

−

=

−

+

−

+

−

+

= − + − + − +135 486 7292

4 5 6

a

b

a

b b

8. 8. 8. 8. 8. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1

1 8 1 28 1 56 1 70 1 56 1 28 1 8 1

1 8 28 56 70 56 28 8

4 8

8 7 4 6 4 2 5 4 3 4 4 4 3 4 5 2 4 6 4 7 4 8

4 8 12 16 20 24 28 32

−

= − + − + − + − +

= − + − + − + − +

x

x x x x x x x x

x x x x x x x x

9. 9. 9. 9. 9. 2

3

3

2

2

37

2

3

3

221

2

3

3

235

2

3

3

235

2

3

3

2

212

3

3

27

2

3

3

2

7 7 6 5 2 4 3 3 4

2 5

x y x x y x y x y x y

x y x y

−

=

−

+

−

+

−

+

−

= − + − + − + −

6 7

7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7

3

2

128

2 187

224

243

56

9

70

3

105

2

567

8

1 701

32

2 187

128

y

x x y x y x y x y x y xy y.

. .

10. 10. 10. 10. 10. 2

2

27

2

221

2

235

2

235

2

2

212

27

2

2 2

2 7 7 6 2 5 2 2 4 2 3 3 2 4

2 2 5 2 6 2

m

m

m m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m m

−

=

−

+

−

+

−

+

−

= − + − + − + −

7

7 42

5 8 11 14128 224 16870

35

2

21

8

7

32 128m m mm

m m m m

11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

x mn x x mn x mn x mn x mn x mn

x mn x mn mn

x x mn x m n x m n x m n x m n x m n x m n m n

3 8 3 8 3 7 3 6 2 3 5 3 3 4 4 3 3 5

3 2 6 3 7 8

24 21 18 2 2 15 3 3 12 4 4 9 5 5 6 6 6 3 7 7 8 8

8 28 56 70 56

28 8

8 28 56 70 56 28 8

+ = + + + + +

+ + +

= + + + + + + + +

12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

33

3 9 33

36 33

84 33

126 33

126 33

84 33

36 33

9 33 3

19 683 19 683 8 748

2 9

9 82

72 2

62 3

52 4

42 5

32 6

22 7 2 8 2 9

2 4

−

= −

+

−

+

−

+

−

+

−

= − +

b b b b b b

b b b b

b b. . . − + − + − + −2 268 378 4228

9

4

27 243 19 6836 8 10

12 14 16 18

..

b b bb b b b

13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

11

1 10 11

45 11

120 11

210 11

252 11

210 11

120 11

45 11

10 11 1

110 45 120

1010 9 8

27

36

45

54

6

37

28 9 10

2 3

−

= −

+

−

+

−

+

−

+

−

+

= − + −

x x x x x x x

x x x x

x x x+ − + − + − +

210 252 210 120 45 10 14 5 6 7 8 9 10x x x x x x x

14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

2 5 2 6 2 5 15 2 5 20 2 5 15 2 5

6 2 5 5

64 960 6 000 20 000 37 500 37 500 15 625

2 5 6 2 6 2 5 5 2 4 5 2 2 3 5 3 2 2 5 4

2 5 5 5 6

12 10 5 8 10 6 15 4 20 2 25 30

m n m m n m n m n m n

m n n

m m n m n m n m n m n n

− = − + − +

− +

= − + − + − +. . . . .

15. 15. 15. 15. 15.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

44

4 7 44

21 44

35 44

35 44

21 44

7 44 4

16 384 7 168 1 344 14035

4

21

64

7

1 024 16 384

5 7

7 65

55 2

45 3

35 4

25 5 5 6 5 7

5 10 1520 25 30 35

−

= −

+

−

+

−

+

−

= − + − + − + −

x

x x x x x x x

x x xx x x x

. . .. .

EJERCICIO 212

1. 1. 1. 1. 1. ( )( ) ( )

x y donde r

x y x y

− =

=⋅⋅

− =−

5

5 2 2 3 2

3

5 4

1 210

4. 4. 4. 4. 4. ( )( ) ( )

( )( )

3 2 4

6 5 4

1 2 33 2

20 27 8

4 320

6

6 3 4 1

3 3

3 3

x y donde r

x y

x y

x y

− =

=⋅ ⋅⋅ ⋅

−

= −

= −

− −

.

7. 7. 7. 7. 7. ( )( ) ( )

( )( )

x y donde r

x y

x y

x y

2 10

2 10 6 7 1

8 6

8 6

2 7

10 9 8 7 6 5

1 2 3 4 5 62

210 64

13 440

− =

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−

=

=

− −

.

9. 9. 9. 9. 9. ( )( ) ( )

a b donde r

a b

a b

2 15

2 15 9 10 1

12 9

10

15 14 13 12 11 10 9 8 7

1 2 3 4 5 6 7 8 9

5 005

+ =

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

− −

.

11. 11. 11. 11. 11. ( )( ) ( )

( )( )

2 6

6 5 4 3 2

1 2 3 4 52

6 2

12

2 6

6 5 2 6 1

10

10

a b donde r

a b

a b

ab

− =

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

−

= −

= −

− −

2. 2. 2. 2. 2. ( )( ) ( )

( )

a b donde r

a b

a b

a b

− =

=⋅ ⋅⋅ ⋅

−

= −

= −

− −

4

4 4

7 6 5

1 2 34

35 64

2 240

7

7 3 4 1

3

4 3.

5. 5. 5. 5. 5. ( )( ) ( )

( )( )

a b donde r

a b

a b

a b

2 9

2 9 4 5 1

10 4

10 4

2 5

9 8 7 6

1 2 3 42

126 16

2 016

− =

=⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

−

=

=

− −

.

3. 3. 3. 3. 3. ( )( ) ( )

1 5

11 10 9 8

1 2 3 41

330

11

11 4 5 1

4

+ =

=⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

=

− −

x donde r

x

x

6. 6. 6. 6. 6.

( )

( )

22

6

8 7 6 5 4

1 2 3 4 52

2

56 832

14

8

8 56 1

35

3 5

ab

donde r

ab

ab

a b

−

=

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

−

= −

= −

−−

8. 8. 8. 8. 8. ( )( ) ( )

( )

x y donde r

x y

x y

x y

− =

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

−

= −

= −

− −

2 11

11 7 2 8 1

4 14

4 14

8

11 10 9 8 7 6 5

1 2 3 4 5 6 7

330

330

10. 10. 10. 10. 10. ( )( ) ( )

1 9

12 11 10 9 8 7 6 5

1 2 3 4 5 6 7 81

495

2 12

12 8 2 9 1

16

− =

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

−

=

− −

x donde r

x

x

12. 12. 12. 12. 12. ( )( ) ( )

( )( )

3 5

8 7 6 5

1 2 3 43

70 81

5 670

2 2 8

2 8 4 2 5 1

8 8

8 8

x y donde r

x y

x y

x y

− =

=⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

−

=

=

− −

.

EJERCICIO 213

1. 1. 1. 1. 1. 4 22 4 2a b ab= ±

2. 2. 2. 2. 2. 25 56 8 3 4x y x y= ±

3. 3. 3. 3. 3. 27 33 93 3a b ab=

4. 4. 4. 4. 4. − =−8 23 6 123 2 4a b x ab x

5. 5. 5. 5. 5. 64 88 10 4 5x y x y= ±

6. 6. 6. 6. 6. 16 28 164 2 4a b a b= ±

7. 7. 7. 7. 7. x y z x y z15 20 255 3 4 5=

8. 8. 8. 8. 8. − =−64 43 6 183 2 6a x y ax y

9. 9. 9. 9. 9. − =−243 35 155 3m n mn

10. 10. 10. 10. 10. 81 96 8 20 3 4 10x y z x y z= ±

11. 11. 11. 11. 11. 1 000 109 183 3 6. x y x y=

12. 12. 12. 12. 12. 81 312 244 3 6a b a b= ±

13. 13. 13. 13. 13. 64 212 18 306 2 3 5a b c a b c= ±

14. 14. 14. 14. 14. 49 72 4 2a b a bn n n n= ±

15. 15. 15. 15. 15. − =−x y x yn x n x5 105 2

16. 16. 16. 16. 16. 925

35

2

4 2

ax

ax

= ±

17. 17. 17. 17. 17. − =−2764

34

3

93

3

ax

ax

18. 18. 18. 18. 18. − =−a b

xab

x

5 10

155

2

332 2

19. 19. 19. 19. 19. ab c

abc

8

4 124

2

381 3= ±

20. 20. 20. 20. 20. 128 2

147

2x x=

21. 21. 21. 21. 21. x

y

x

y

m

n

m

n

2

4 2121 11= ±

22. 22. 22. 22. 22. − =−125216

56

9

123

3

4

xm

xm

23. 23. 23. 23. 23. a

b cabc

18

9 279

2

3=

24. 24. 24. 24. 24. x

y

x

y

20

3010

2

31 024 2.= ±

EJERCICIO 214

1. 1. 1. 1. 1.

( ) ( )16 24 9 4 3

16 8 3 3

24 9 24 9

24 9

0

2 2 4 2

2 2 2

2 4 2 4

2 4

x xy y x y

x x y y

xy y xy y

xy y

− + −

− − −

− + = − +

−

2. 2. 2. 2. 2.

( )( )25 70 49 5 7

25 10 7 7

70 49 70 49

70 49

0

4 3 2 2 2

4 2

3 2 2 3 2 2

3 2 2

a a x a x a ax

a a ax ax

a x a x a x a x

a x a x

− + −

− − −

− + = − +

−

3. 3. 3. 3. 3.

( )( )

( )( )

x x x x x x

x x x x

x x x x

x x

x x x x

x x x x

4 3 2 2

4 2

3 2 3 2

3 2

2 2

2 2

4 6 4 1 2 1

2 2 2

4 6 4 4

4 4

2 4 1 2 4 1 1

2 4 1 2 4 1

0

− + − + − +

− − −

− + = − +

−

− + − +

− + − = − +

4. 4. 4. 4. 4.

( )( )

( )( )

4 4 5 2 1 2 1

4 4

4 5 4

4

4 2 1 4 2 1 1

4 2 1 4 2 1

0

4 3 2 2

4 2

3 2 3 2

3 2

2 2

2 2

a a a a a a

a a a a

a a a a

a a

a a a a

a a a a

+ + + + + +

− +

+ = +

− −

+ + + +

− − − = + +

5. 5. 5. 5. 5.

( )( )

( )( )

n n n n n n

n n n n

n n n n

n n

n n n n

n n n n

4 3 2 2

4 2

3 2 3 2

3 2

2 2

2 2

10 29 20 4 5 2

2 5 5

10 29 10 25

10 25

4 20 4 2 10 2 2

4 20 4 4 20 4

0

− + − + − +

− − −

− + = − +

−

− + − +

− + − = − +

6. 6. 6. 6. 6.

( )( )

( )( )

x x x x x x x

x x x x

x x x x

x x

x x x x

x x x x

6 5 4 3 2 3 2

6 3 2 2

5 4 5 4

5 4

3 2 3 2

3 2 3 2

10 25 12 60 36 5 6

2 5 5

10 25 10 25

10 25

12 60 36 2 10 6 6

12 60 36 12 60 36

0

− + + − + − +

− − −

− + = − +

−

− + − +

− + − = − +

7. 7. 7. 7. 7.

( )( )

( ) ( )

16 24 49 30 25 4 3 5

16 8 3 3

24 49 24 9

24 9

40 30 25 8 6 5 5

40 30 25 40 30 25

0

8 6 4 2 4 2

8 4 2 2

6 4 6 4

6 4

4 2 4 2

4 2 4 2

a a a a a a

a a a a

a a a a

a a

a a a a

a a a a

− + − + − +

− − −

− + = − +

−

− + − +

− + − = − +

8. 8. 8. 8. 8.

( )( )

( )( )

x xy xz yz y z x y z

x x y y

xy xz y xy y

xy y

xz yz z x y z z

xz yz z xz yz z

2 2 2

2

2 2

2

2

2 2

4 2 4 4 2

2 2 2

4 2 4 4 4

4 4

2 4 2 4

2 4 2 4

0

+ − − + + + −

− +

− + = +

− −

− − + + − −

+ − = − − +

9. 9. 9. 9. 9.

( ) ( )

( ) ( )

x x x x x x

x x x x

x x x x

x x

x x x x

x x x x

12 9 6 3 6 3

12 6 3 3

9 6 9 6

9 6

6 3 6 3

6 3 6 3

2 5 6 9 3

2

2 5 2

2

6 6 9 2 2 3 3

6 6 9 6 6 9

0

+ − − + + −

− +

− = +

− −

− − + + − −

+ − = − − +

10. 10. 10. 10. 10.

( ) ( )

( ) ( )

25 70 30 49 42 9 5 7 3

25 10 7 7

70 30 49 70 49

70 49

30 42 9 10 14 3 3

30 42 9 30 42 9

0

8 6 5 4 3 2 4 2

8 4 2 2

6 5 4 6 4

6 4

5 3 2 4 2

5 3 2 5 3 2

x x x x x x x x x

x x x x

x x x x x

x x

x x x x x x x

x x x x x x

− + + − + − +

− − −

− + + =− +

−

− + − +

− + − = − +

11. 11. 11. 11. 11.

( ) ( )

( ) ( )

4 8 8 12 9 2 2 3

4 4 2 2

8 8 8 4

8 4

12 12 9 4 4 3 3

12 12 9 12 12 9

0

4 3 2 2 3 4 2 2

4 2

3 2 2 3 2 2

3 2 2

2 2 3 4 2 2 2

2 2 3 4 2 2 3 4

a a b a b ab b a ab b

a a ab ab

a b a b a b a b

a b a b

a b ab b a ab b b

a b ab b a b ab b

+ − − + + −

− +

− = +

− −

− − + + − −

+ − = − − +

12. 12. 12. 12. 12.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

x x x x x x x x

x x x x

x x x x

x x

x x x x x x x

x x x x x x

x x x

x x x x x x

x x x

6 5 4 2 3 2

6 3 2 2

5 4 5 4

5 4

4 2 3 2

3 4 2 4 3 2

3 2

3 2 3 2

3 2

2 3 2 1 1

2

2 3 2

2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 1

2 2 2 1 2 2 2 1 1

0 2 2 2 1

− + − + + − + +

− − −

− + = − +

−

− + − +

− − = − +

− + +

− + − − − + +

= − + +

13. 13. 13. 13. 13.

( ) ( )

( ) ( )

x x x x x x x x x

x x x x

x x x x

x x

x x x x x x x

x x x x x x

x x x

x x x x x

6 5 4 3 2 3 2

6 3 2 2

5 4 5 4

5 4

4 3 2 3 2

4 3 2 4 3 2

3 2

3 2 3 2

6 5 16 8 8 4 3 2 2

2 3 3

6 5 6 9

6 9

4 16 8 2 6 2 2

4 12 4 4 12 4

4 12 8 4

4 12 8 4 2 6

− + + − − + − − +

− − −

− + = − +

−

− + − − − −

− − = − + +

− − +

− + + − −( ) ( )− +

= − − +

4 2 2

0 4 12 8 43 2

x

x x x

14. 14. 14. 14. 14.

( ) ( )

( ) ( )

x x x x x x x x x x

x x x x x x

x x x

x x x x x x

x x x x x x x

x x x

x x x x x

8 6 5 4 3 2 4 2

8 4 2 2 6 4

6 5 4

6 4 4 2

5 4 3 2 5 3 2

5 3 2

4 2 4 2

6 8 19 24 46 40 25 3 4 5

2 3 3 6 9

6 8 19

6 9 2 6 4 4

8 10 24 46 8 24 16

8 24 16

10 30 40 25 2 6 8

+ − + − + − + + − +

− + = +

− +

− − + − −

− + − + = − − ++ −

+ − + + −( ) ( )x

x x x x x x

+

− − + − = + − +

5 5

10 30 40 25 10 30 40 25

0

4 2 4 2

15. 15. 15. 15. 15.

( ) ( )

( ) ( )

x x x x x x x x x x x

x x x x x x

x x

x x x x x x

x x x x x x x

x x x

x x x x x

8 7 6 5 4 3 2 4 3

8 4 3 3 7 6

7 6

7 6 4 3

5 4 3 2 5 4 2

5 4 2

4 3 4 3

8 16 4 22 24 4 12 9 4 2 3

2 4 4 8 16

8 16

8 16 2 8 2 2

4 22 24 4 4 16 4

4 16 4

6 24 12 9 2 8

− + + − + + − + − + −

− − − = − +

− +

− − +

− + + = − +

− + −

− + − + − +( ) ( )4 3 3

6 24 12 9 6 24 12 9

0

4 3 4 3

x

x x x x x x

− −

− + − = − + − +

16. 16. 16. 16. 16.

( )( )

( )( )

( ) ( )

9 36 42 18 13 2 3 6

9 6 6 6 36 36

36 42

36 36 6 12 6 12

6 18 13

6 12 6 12 2

6 12 2 6 12 2

6

2 3 4 5 6 2 3

2

2

2 2 2 2 3 4

2 3 4

2 3 4 2 3 3

3 4 5 6 3 4 5 6

− + − + − + − + −

− − − = − +

− +

− − + = − +

− +

− + − − + − −

− + − + =− + − +

a a a a a a a a a

a a a a

a a

a a a a a a a a

a a a

a a a a a a a

a a a a a a a a

a3 4 5 612 2

0

− + −a a a

17. 17. 17. 17. 17.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

9 24 28 22 12 4 1 3 4 2 1

9 6 4 4 24 16

24 28

24 16 6 8 2 2

12 22 12 12 16 4

12 16 4

6 8 4 1 6 8 4 1 1

6

6 5 4 3 2 3 2

6 3 2 2 5 4

5 4

5 4 3 2

4 3 2 4 3 2

4 3 2

3 2 3 2

3

x x x x x x x x x

x x x x x x

x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x

x x x x x x

x

− + − + − + − + −

− − − = − +

− +

− − +

− + = − +− + −

− + − + − + − −

− + − =− + − +8 4 1 6 8 4 1

0

2 3 2x x x x x

18. 18. 18. 18. 18.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

16 40 73 84 66 36 9 4 5 6 3

16 8 5 5 40 25

40 73

40 25 8 10 6 6

48 84 66 48 60 36

48 60 36

24 30 36 9 8 10 12 3 3

24

6 5 4 3 2 3 2

6 3 2 2 5 4

5 4

5 4 3 2

4 3 2 4 3 2

4 3 2

3 2 3 2

x x x x x x x x x

x x x x x x

x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x

x x x x x x

x

− + − + − + − + −

− − − = − +

− +

− − +

− + = − +

− + −

− + − + − + − −3 2 3 230 36 9 24 30 36 9

0

− + − =− + − +x x x x x

19. 19. 19. 19. 19.

( ) ( )

( ) ( )

m mn m n mn m n n m mn n

m m m n m n

m n m n m n m n

m n m n

m n m n n m m n n n

m n m n n m n m n n

6 5 4 2 3 4 2 5 8 3 2 4

6 3 2 2

5 4 2 5 4 2

5 4 2

3 4 2 5 8 3 2 4 4

3 4 2 5 8 3 4 2 5 8

4 4 4 8 4 2 2

2 2 2

4 4 4 4

4 4

4 8 4 2 4 2 2

4 8 4 4 8 4

0

− + + − + − +

− − −

− + = − +

−

− + − +

− + − = − +

20. 20. 20. 20. 20.

( )( )

( ) ( )

9 6 13 16 8 8 4 3 2 2

9 6 6

6 13

6 6 2 2 2

12 16 8 12 4 4

12 4

6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 3 2 2 3

6 3 2 2 5 4 2

5 4 2

5 4 2 3 2 2 2

4 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4

4 2

x x y x y x y x y xy y x x y xy y

x x x y x y x y x y

x y x y

x y x y x x y xy xy

x y x y x y x y x y x y

x y

− + − + − + − + −

− − − = − +

− +

− − +

− + = − +− +

( ) ( )x y x y

x y x y xy y x x y xy y y

x y x y xy y x y x y xy y

3 3 2 4

3 3 2 4 5 6 3 2 2 3 3

3 3 2 4 5 6 3 3 2 4 5 6

4

12 4 8 4 6 2 4 2 2

12 4 8 4 12 4 8 4

0

−

− + − + − + − −

− + − =− + − +

21. 21. 21. 21. 21.

( )( )

( ) ( )

16 24 25 20 10 4 4 3 2

16 8 3 3 24 9

24 25

24 9 8 6 2 2

16 20 10 16 12 4

16

6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 3 2 2 3

6 3 2 2 5 4 2

5 4 2

5 4 2 3 2 2 2

4 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4

4

a a b a b a b a b ab b a a b ab b

a a a b a b a b a b

a b a b

a b a b a a b ab ab

a b a b a b a b a b a b

a

− + − + − + − + −

− − − = − +

− +

− − +

− + = − +

−

( ) ( )b a b a b

a b a b ab b a a b ab b b

a b a b ab b a b a b ab b

2 3 3 2 4

3 3 2 4 5 6 3 2 2 3 3

3 3 2 4 5 6 3 3 2 4 5 6

12 4

8 6 4 8 6 4

8 6 4 8 6 4

0

+ −

− + − + − + − −

− + − = − + − +

22. 22. 22. 22. 22.

( )( )

( )( )

36 36 48 15 24 28 16 4 6 3 4 2

36 12 3 3 36 9

36 48 15

36 9 12 6 4 4

48 24 24

8 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 8 4 2 2 3 4

8 4 2 2 2 2 6 2 4 4

6 2 5 3 4 4

6 2 4 4 4 2 2 3 3

5 3 4 4 3 5

x x y x y x y x y x y xy y x x y xy y

x x x y x y x y x y

x y x y x y

x y x y x x y xy xy

x y x y x y

− + − − + − + − + −

− − − = − +

− + −

− − +

− −

( ) ( )+ = − +

− + − − + − −

− + − + = − + − +

− + −

28 48 24 16

48 24 16 12 6 8 2 2

24 12 16 4 24 12 16 4

24 12 16 4

0

2 6 5 3 3 5 2 6

5 3 3 5 2 6 4 2 2 3 4 4

4 4 2 6 7 8 4 4 2 6 7 8

4 4 2 6 7 8

x y x y x y x y

x y x y x y x x y xy y y

x y x y xy y x y x y xy y

x y x y xy y

23. 23. 23. 23. 23.

( )( )

( )( )

25 40 26 28 17 4 4 5 4 2

25 10 4 4 40 16

40 26

40 16 10 8 10 8

10 28 17

10

6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 3 2 2 3

6 3 2 2 5 4 2

5 4 2

5 4 2 3 2 2 2 4 2 3 3 2 4

4 2 3 3 2 4

4 2

a a x a x a x a x ax x a a x ax x

a a a x a x a x a x

a x a x

a x a x a a x ax ax a x a x a x

a x a x a x

a x

− + − + − + − + −

− − − = − +

− +

− − + = − +

− +

− ( )( )+ − − + − −

− + − + = − + − +− + −

8 10 8 2 2 2

20 16 4 4 20 16 4 4

20 16 4 4

0

3 3 2 4 3 2 2 3 3

3 3 2 4 5 6 3 3 2 4 5 6

3 3 2 4 5 6

a x a x a a x ax x x

a x a x ax x a x a x ax x

a x a x ax x

24. 24. 24. 24. 24.

( )( )

( ) ( )

4 12 17 16 14 10 5 2 1 2 3 2 1

4 4 3 3 12 9

12 17

12 9 4 6 2 2

8 16 14 8 12 4

8 12 4

4 10 10 5 4

8 7 6 5 4 3 2 4 3 2

8 4 3 3 7 6

7 6

7 6 4 3 2 2

6 5 4 6 5 4

6 5 4

5 4 3 2

a a a a a a a a a a a a

a a a a a a

a a

a a a a a a

a a a a a a

a a a

a a a a

− + − + − + − + − + − +

− − − = − +

− +

− − +

− + = − +

− + −

− + − + ( )( )

( )( )

a a a a a

a a a a a a a a

a a a a

a a a a a a a a

a a a a

4 3 2

5 4 3 2 5 4 3 2

4 3 2

4 3 2 4 3 2

4 3 2

6 4

4 6 4 4 6 4

4 6 4 2 1

4 6 4 2 1 4 6 4 2 1 1

0 4 6 4 2 1

− + − −

− + − =− + − +

− + − +

− + − + − − + − +

= − + − +

25. 25. 25. 25. 25.

( )( )

( )( )

( )( )

x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x

x x

x x x x x x x x x

x x x

x x x x x x x x

x

10 9 8 7 6 5 4 3 2 5 4 3 2

10 5 4 4 9 8

9 8

9 8 5 4 3 3 8 7 6

8 7 6

8 7 6 5 4 3 2 2

2 3 4 5 8 7 6 5 4 4 2

2 2

2 3

2 2 2 2 2

2 4 5

2 2 2 2 2

2

− + − + − + − + − + − + − + −

− − − = − +

− +

− − + = − +

− +

− + − − + − −

−

( ) ( )

7 6 5 4 7 6 5 4

7 6 5 4

6 5 4 3 2 5 4 3 2

6 5 4 3 2 6 5 4 3 2

5 4 3 2

4 8 7 2 2 2

2 2 2

2 6 6 6 5 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

4 4 4 4 4 4

+ − + = − + − +− + −

− + − + − + − +

− + − + − = − + − +

− + − + − +

x x x x x x x

x x x x

x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x

( )( )4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2

0 4 4 4 4 4 4

5 4 3 2 5 4 3 2

5 4 3 2

x x x x x x x x x x

x x x x x

− + − + − − + − + − −

= − + − + − +

EJERCICIO 215

1. 1. 1. 1. 1.

( ) ( )

xx

x x xx

xx x x x x

xx

x x x xx x

x x

x x

43

2 2

42 3 2

32

3 2 22

2

2

4

5

3

4

3

4

9 2

2

3

4

5

3

22

3

2

3

2

3

4

3

4

9

2

3

4

3

4

92

3

4

3

4

9

0

− + − + − +

− − − = − +

− +

− − +

= − +

− +

− + −

2. 2. 2. 2. 2. a

x

a

x

x

a

x

a

a

x

x

a

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

19

9

2

3

1

3

2 1

3

1

3

2

3

1

9

2

3

19

92

3

1

9

2 2

32

2

3

22

3

22

3

0

− + − + − +

− −

−

= − +

− +

− − +

= − +

− +

− + −

3. 3. 3. 3. 3.

( ) ( )

aab b

ac bc c ab

c

aa b b ab b

ab b

ab b a bc c ac bc c

ac bc c

ac bc c

22

2

22

2

22

2

2

4 4 2 16 2 4

4

24 4 4 2 16

4 2 16

4 2 16

0

− + + − + − +

− − − = − +

− +

− − +

= − +

− +

− + −

4. 4. 4. 4. 4.

9

16

3

4

29

20

4

5

16

25

3

4 2

4

5

9

16

3

2 2 2

3

4 4

3

4

29

20

3

4 4

3

2

4

5

4

5

6

5

4

5

16

25

6

5

4

5

16

256

5

4

5

16

25

0

4 3 2 2

4 2 3 2

3 2

3 2 2 2

2

2

a a a a a a

a a a a a a

a a

a a aa

a a

a a

a a

− + − + − +

− −

−

= − +

− +

− − +

= − +

− +

− + −

5. 5. 5. 5. 5.

( )

a a b a bab

b aab

b

a aab ab

a ba b

a b a b

a ba b

aab

b b a bab

b

a bab

b

a bab

b

4 3 2 23

4 2 2

4 2 32 2

3 2 2

32 2

2 2 2 2 23

4

2 23

4

2 23

4

16 2

3

4 4 4 2

16 2 2

2

3

4

2 22

2 2 4 4

4 4

4 4

0

+ + − + + −

− +

= +

+

− − + −

−

= − − +

− − +

+ −

6. 6. 6. 6. 6.

( )

x xxy

yy

xy

x x x

xxy

x xy y xy

yy

xyy

y

xyy

y

22

2

2

2

2

25

2

32

25

9

50

325

5

5

35

25

2

5

5

3

5

3

2

3

25

9

2

32

25

92

3

25

9

2

5

10

35 5 2

50

325

250

325

250

325

0

+ − + − + + −

− +

= +

− +

− − + −

− = − − +

− − +

+ −

7. 7. 7. 7. 7.

( )

x x y x y xy y xxy

y

x xxy xy

x yx y

x y x y xy

x yx y

xxy

y y x y xy y

x y xy y

4 3 2 2 3 4 2 2

4 2 32 2

3 2 2 3

32 2

2 2 2 2 2 3 4

2 2 3

9

4

3

62

15

4

5 25 32

5

9

2

32 2

4

34

4

3

62

15

4

5

4

34

2

34

5 5

2

15

4

5 25

2

15

4

5

− + − + − +

− −

− = − +

− + −

− − +

= − +

− +4

2 2 3 4

252

15

4

5 25

0

− + −x y xy y

8. 8. 8. 8. 8. a a a b b b a b

a a a

a

a a b b a b b b

a b b b

a b b b

4 2 2 2 2 4 2 2

4 2 2

2

2 2 2 2 2 2 2 4

2 2 2 4

2 2 2

16

3

10

9

25 18

2

15 81 4

3

5 9

16 2

3

5

3

5

3

10

9

25

3

10

9

25

3

10

9

25 2

6

5 9 9 18

2

15 81

18

2

15 81

18

2

15

− + + − + − +

− −

−

= − +

− +

− − +

= − +

− +

− + −4

81

0

9. 9. 9. 9. 9.

( )( )

x xy x

xx

x x x

x

x xx x x x

y x

y x

22

2

2

2

2

4 24 1

21

2 2 2 4 4

4 2

4 4 2 41 1

24 1

24 1

24 1

0

+ + − + + −

− + = +

+

− − + −

−

= − − +

− − +

+ −

10. 10. 10. 10. 10.

( )

x x

x x

x

x

x x x

x

x x

x x x x

x x

x x

2

2

2

2

2

2

9

10

3

79

3

20 4

35

2

9

2

35 5

10

325

10

3

79

310

325

2

310

2 2 4

3

20 4

4

3

20 4

4

3

20 4

0

− + − + − +

− −

− = − +

− +

− − +

= − +

− +

− + −

11. 11. 11. 11. 11.

( )( )

aa

a a

a

a

aa a

a

a aa a a a

a a

a a

42

2 4

2

2

42 2

2

2 22 2 2 4

2 4

2 4

45 28

30 9

25

3

45 5 5 25

5 28

5 25 103 3

330 9

330 9

330 9

0

− + − + − +

− − − = − +

− +

− − +

= − +

− +

− + −

12. 12. 12. 12. 12. a a

x

a

x

ax x

a

a a

x

x

a

a a a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a a

x

x

a

x

a

ax x

a

ax x

a

ax x

a

4 3 2

2

2

2

2

4 2 3 2

2

3 2

2

3 2

2

2 2

2

2

2

2

2

9

2

3

2

32

3

9

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2 2

32

2

32

2

32

0

+ + − − + + −

− +

= +

+

− − + −

−

= − − +

− − +

+ −

13. 13. 13. 13. 13.

9 3

2

65

16 3

4

9

3 1

4

2

3

9 6 1

4

1

4

3

2

1

16

3

2

65

163

2

1

16

6 1

2

2

3

2

34

3

4

9

43

4

9

43

4

9

0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a

x

a

x

x

a

x

a

a

x

x

a

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

− + − + − +

− −

−

= − +

− +

− − +

= − +

− +

− + −

14. 14. 14. 14. 14.

( ) ( )

9 30 5550 25

3 55

9 6 5 5 30 25

30 55

30 25 6 105 5

3050 25

3050 25

3050 25

0

4 22 4

22

4 2 2

2

2 22 2 2 4

2 4

2 4

x xx x

xx

x x x

x

x xx x x x

x x

x x

+ + + + + +

− + = +

+

− − + +

= + +

+ +

− − −

15. 15. 15. 15. 15.

4

25

2

5

19

12

5

3

25

9

2

5

1

2

5

3

4

25

4

5

1

2

1

2

2

5

1

4

2

5

19

122

5

1

4

4

51

5

3

5

3

4

3

5

3

25

9

4

3

5

3

25

94

3

5

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a

x

a

x

x

a

x

a

a

x

x

a

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

− + − + − +

− −

−

= − +

− +

− − +

= − +

− +

− +3

25

9

0

2

2a

x

a−

16. 16. 16. 16. 16.

x x y x y xy y x xy y

x x xy xy x y x y

x y x y

x y x y xxy

y y x y xy y

x y xy y

x y

4 3 2 2 3 4 2 2

4 2 3 2 2

3 2 2

3 2 2 2 2 2 2 2 3 4

2 2 3 4

2 2

16 4

3

20 5 25 4 2 5

16 2 2 2 4 4

4

3

20

4 4 2 5 5 10 5 25

10 5 25

10

− + + + − −

− −

−

= − +

− +

− − −

−

= − + +

− + +

−xy y3 4

5 25

0

−

17. 17. 17. 17. 17.

4

49

2

7

21

20

7

5

49

25

2

7

1

2

7

5

4

49

4

7

1

2

1

2

2

7

1

4

2

7

21

20

2

7

1

4

4

71

7

5

7

5

4

5

7

5

49

25

4

5

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

a b

x y

ab

xy

xy

ab

x y

a b

ab

xy

xy

ab

a b

x y

ab

xy

ab

xy

ab

xy

ab

xy

ab

xy

xy

ab

xy

ab

xy

ab

x y

a b

− + − + − +

− −

−

= − +

− +

− − +

− + = − +

− + −

7

5

49

254

5

7

5

49

25

0

2 2

2 2

2 2

2 2

xy

ab

x y

a b

xy

ab

x y

a b

18. 18. 18. 18. 18. 9

25

6

25

23

75

4

45

4

81

3

5

1

5

10

45

9

25

6

5

1

5

1

5

6

25

1

25

6

25

23

756

25

1

25

6

5

2

5

10

45

10

45

20

75

4

45

4

81

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

a x

m n

ax

mn

mn

ax

m n

a x

ax

mn

mn

ax

a x

m n

ax

mn

ax

mn

ax

mnax

mn

ax

mn

mn

ax

mn

ax

mn

ax

m n

a x

− + − + − +

− −

−

= − +

− +

− − +

− + =20

75

4

45

4

8120

75

4

45

4

81

0

2 2

2 2

2 2

2 2

− +

− + −

mn

ax

m n

a x

mn

ax

m n

a x

19. 19. 19. 19. 19.

( )( )

xx

x x x x xx

x

xx x x x x

xx

x x x xx x x x x

x x x

x x xx x

x

65

4 3 2 32

63 2 2 5 4

54

5 4 3 24 3 2

4 3 2

4 3 23 2

4

5

3

2

3

32

9

8

34

2

2

32

4

5

3

22

3

2

3

2

3

4

3

4

9

2

3

2

3

32

92

3

4

3

4

92

4

32

− + + − + + − + +

− − − = − +

− +

− − +

= − +

+ −

− + − − + + ( ) = − + +

− + +

− + − −

2 2 48

34

2 48

34

2 48

34

0

3 2

3 2

3 2

x xx

x xx

x xx

20. 20. 20. 20. 20.

1

4

3

4

59

48

3

2

43

36

2

3

1

4

1

2

3

4

2

3 2

1

41

3

4

3

4

3

4

9

16

3

4

59

48

3

4

9

161

3

2

2

3

2

3

2

3

4

9

2

3

3

2

43

36

2

2 3 4 5 6 2 3

2

2

2 2 2 23

4

2 3 4

− + − + − + − + −

− −

−

= − +

− +

− − +

= − +

− +

−

a a a a a a a a a

a a a a

a a

a a a a a aa

a

a a a

a23

4 2 3 3

3 4 5 6 3 4 5 6

3 4 5 6

3

4

91

3

2

4

3 2 2

2

3

4

2

3 4 2

3

4

2

3 4

2

3

4

2

3 4

0

+ − − + −

−

− + − + =− + − +

− + −

aa a a a a

a a a a a a a a

a a a a

EJERCICIO 216

1. 1. 1. 1. 1. ( )

( ) ( )( )( )

( )

8 36 54 27 2 3

8 3 2 12

36 54 27 3 2 3 36

36 54 27 3 2 3 54

0 3 27

2 33

2

2 3 2

2 3 2 2

3 3

− + − −

− =

− + − − =−

− + − =

− = −

y y y y

y y y y y

y y y y y

y y

2. 2. 2. 2. 2.

( )( ) ( )( )( )

( )

64 240 300 125 4 5

64 3 4 48

240 300 125 3 4 5 240

240 300 125 3 4 5 300

0 5 125

6 4 2 2 4 63 2 2

6 2 2 4

4 2 2 4 6 2 2 2 4 2

4 2 2 4 6 2 2 2 2 4

2 3 6

a a b a b b a b

a a a

a b a b b a b a b

a b a b b a b a b

b b

+ + + +

− =

+ + =

− − − =

=

3. 3. 3. 3. 3.

( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

x x x x x x x x

x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x

6 5 4 3 23 2

6 2 2 4

5 4 3 2 2 5

5 4 3 2 2 4

4 3 2 3 3

4 3 2 2 2 4 3 2

2 2 4 3

3 6 7 6 3 1 1

3 3

3 6 7 3 3

3 3 3 3

3 6 6 3 1

3 6 6 3 1 3 3 6 3

0 3 1 3 6

+ + + + + + + +

− =

+ + =

− − − =

+ + + + =

− − − − − + = + +

+ = +

( ) ( )( )

+

+ = +

=

3

3 1 3 3

1 1

2

2 2 2

3

x

x x x x

4. 4. 4. 4. 4.

( )( ) ( )( )( )

( )

( )

8 12 6 11 3 3 1 2 1

8 3 2 12

12 6 11 3 2 12

12 6 3 2 6

12 12 3 3 1

12 12 3 3 1

0 3 2 12 12 3

3 2

6 5 4 3 23 2

6 2 2 4

5 4 3 2 2 5

5 4 3 2 2 4

4 3 2 3 3

4 3 2

2 2 4 3 2

x x x x x x x x

x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x x

− − + + − − − −

− =

− − + − = −

− + − =

− + + − − − = −

− − + +

− = − +

( ) ( )( )( )

( )

x x x x x

x x x x

2 2 4 3 2

2 2 2

3

1 12 12 3

3 2 1 6 3

1 1

− − = − + −

− − = −

− = −

5. 5. 5. 5. 5.

( )

( ) ( )( )( )

( )

( )( )

1 9 33 63 66 36 8 1 3 2

1 3 1 3

9 33 63 3 1 3 9

9 27 27 3 1 3 27

6 36 66 36 8 3 27

6 36 66 36 8

0 3 1 3 3 18 27

3 1 3 2

2 3 4 5 63 2

2

2 3 2

2 3 2 2

2 3 4 5 6 3 3

2 3 4 5 6

2 2

2

− + − + − + − +

− =

− + − − =−

− + − =

− + − + − =−

− + − + −

− = − +

−

x x x x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x x x

x x x x x

x x x

x ( )( )( )

( )

x x x x

x x x x

x x

2 2 3 4

2 2 4 5

2 3 6

6 36 54

3 1 3 2 12 36

2 8

= − +

− = −

=

6. 6. 6. 6. 6.

( )( ) ( )( )( )

( )

( )

x x x x x x x x

x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x x

x

6 5 4 3 23 2

6 2 2 4

5 4 3 2 2 5

5 4 3 2 2 4

4 3 2 3 3

4 3 2

2 2 4 3 2

9 33 63 66 36 8 3 2

3 3

9 33 63 3 3 9

9 27 27 3 3 27

6 36 66 36 8 3 27

6 36 66 36 8

0 3 3 3 18 27

3

− + − + − + − +

− =

− + − − =−

− + − =

− + − + − =−

− + − + −

− = − +

( ) ( )

( )( )( )

2 2 4 3 2

2 2 2

3

3 2 6 36 54

3 3 2 12 36

2 8

− = − +

− = −

=

x x x x

x x x x

7. 7. 7. 7. 7.

( )( ) ( )( ) ( )

( )

x x x x x x x x x x

x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x

9 8 7 6 5 4 3 23 3 2

9 3 2 6

8 7 6 3 2 2 8

8 7 6 3 2 2 7

6 5 4 3 2 2 3 6

6 5 4 3 2

6 12 20 48 48 48 96 64 2 4

3 3

6 12 20 3 2 6

6 12 8 3 2 12

12 48 48 48 96 64 2 8

12 48 48 48 96

− + − + − + − − − −

− =

− + − − = −

− + − =

− + − + − − − =−

− + − + +

( )( ) ( )( )( )

64

0 3 2 3 12 12

3 2 4 12 48 48

3 2 4 48 96

3 2 2 6 5 4

3 2 2 6 5 4

3 2 2 3 2

x x x x x

x x x x x

x x x x

− = − +

− − = − + −

− − = −

8. 8. 8. 8. 8.

( )( ) ( )( )( )

( )

( )

x x x x x x x x

x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x x

12 10 8 6 4 23 4 2

12 4 2 8

10 8 6 4 2 2 10

10 8 6 4 2 2 8

8 6 4 2 2 3 6

8 6 4 2

4 2 2 8 6 4

3 3 11 6 12 8 2

3 3

3 3 11 3 3

3 3 3 3

6 12 6 12 8

6 12 6 12 8

0 3 3 6 3

3

− − + + − − − −

− =

− − + − =−

− + − =

− + + − − − =−

− − + +

− = − +

( ) ( )( )( )

( )

x x x x x

x x x x

4 2 2 8 6 4

4 2 2 4 2

3

2 6 12 6

3 2 12 12

2 8

− − = − + −

− − = −

− = −

( )− = −4 643

9. 9. 9. 9. 9.

( )( ) ( )( )( )

( )

( )

8 36 66 63 33 9 1 2 3 1

8 3 2 12

36 66 63 3 2 3 36

36 54 27 3 2 3 54

12 36 33 9 1 3 27

12 36 33 9 1

0 3 2 3 12 36

6 5 4 3 23 2

6 2 2 4

5 4 3 2 2 5

5 4 3 2 2 4

4 3 2 3 3

4 3 2

2 2 4

x x x x x x x x

x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x

− + − + − + − +

− =

− + − − =−

− + − =

− + − + − = −

− + − + −

− = −

( ) ( )

( )( )( )

3 2

2 2 4 3 2

2 2 2

3

27

3 2 3 1 12 36 27

3 2 3 1 6 9

1 1

+

− = − +

− = −

=

x

x x x x x

x x x x

10. 10. 10. 10. 10.

( )( ) ( )( )( )

( )

( )

27 135 117 235 156 240 64 3 5 4

27 3 3 27

135 117 235 3 3 5 135

135 225 125 3 3 5 225

108 360 156 240 64 5 125

108 360 156 240 64

0 3 3 5 27

6 5 4 3 23 2

6 2 2 4

5 4 3 2 2 5

5 4 3 2 2 4

4 3 2 3 3

4 3 2

2 2 4

a a a a a a a a

a a a

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

a a a a

a a a

− + + − − − − −

− =

− + + − = −

− + − =

− + − − − − =−

− + + +

− =

( ) ( )( ) ( )

( )

− +

− − = − + −

− − = −

− = −

90 75

3 3 5 4 108 360 300

3 3 5 4 144 240

4 64

3 2

2 2 4 3 2

2 2 2

3

a a

a a a a a

a a a a

11. 11. 11. 11. 11.

( )( ) ( )( )( )

( )

a a b a b a b a b ab b a ab b

a a a

a b a b a b a ab a b

a b a b a b a ab a b

a b a b a b ab b ab a b

a b

6 5 4 2 3 3 2 4 5 63 2 2

6 2 2 4

5 4 2 3 3 2 2 5

5 4 2 3 3 2 2 4 2

4 2 3 3 2 4 5 6 3 3 3

4 2

6 15 20 15 6 2

3 3

6 15 20 3 2 6

6 12 8 3 2 12

3 12 15 6 2 8

3

− + − + − + − +

− =

− + − − = −

− + − =

− + − + − =−

−

( )( ) ( )

( )( )

+ − + −

− = − +

− = − +

− = −

12 15 6

0 3 2 3 12 12

3 2 3 12 12

3 2 3 6

3 3 2 4 5 6

2 2 4 3 2 2

2 2 2 4 2 3 3 2 4

2 2 2 2 4 5

a b a b ab b

a ab a a b a b

a ab b a b a b a b

a ab b a b ab

( )b b2 3 6=

12.12.12.12.12.

( )( ) ( )( ) ( )

( )

x x y x y x y x y xy y x xy y

x x x

x y x y x y x xy x y

x y x y x y x xy x y

x y x y x y xy y xy x y

6 5 4 2 3 3 2 4 5 63 2 2

6 2 2 4

5 4 2 3 3 2 2 5

5 4 2 3 3 2 2 4 2

4 2 3 3 2 4 5 6 3 3 3

9 42 117 210 225 125 3 5

3 3

9 42 117 3 3 9

9 27 27 3 3 27

15 80 210 225 125 3 27

15

− + − + − + − +

− =

− + − − = −

− + − =

− + − + − =−

−

( )( ) ( )( )( )

x y x y x y xy y

x xy x x y x y

x xy y x y x y x y

x xy y x y xy

4 2 3 3 2 4 5 6

2 2 4 3 2 2

2 2 2 4 2 3 3 2 4

2 2 2 2 4 5

80 210 225 125

0 3 3 3 18 27

3 3 5 15 80 135

3 3 5 75 225

+ − + −

− = − +

− = − +

− = −

13. 13. 13. 13. 13.

( )( ) ( )( )( )

( )

( )

a a a a a a a a

a a a

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

a a a a

a a a a a

12 10 8 6 4 23 4 2

12 4 2 8

10 8 6 4 2 2 10

10 8 6 4 2 2 8

8 6 4 2 2 3 6

8 6 4 2

4 2 2 8 6 4

3 15 25 60 48 64 4

3 3

3 15 25 3 3

3 3 3 3

12 24 60 48 64

12 24 60 48 64

0 3 3 6 3

3

− + − + − + − +

− =

− + − − =−

− + − =

− + − + − =−

− + − + −

− = − +

( ) ( )

( )( )( )

a a a a a

a a a a

4 2 2 8 6 4

4 2 2 4 2

3

4 12 24 12

3 4 48 48

4 64

− = − +

− = −

=

14. 14. 14. 14. 14.

( )( ) ( )( )( )

a a x a x a x a x a x a x a x x a a x x

a a a

a x a x a x a a x a x

a x a x a x a a x a x

a x a x a x

9 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 93 3 2 3

9 3 2 6

8 7 2 6 3 3 2 2 8

8 7 2 6 3 3 2 2 7 2

6 3 5 4 4 5

9 27 21 36 54 12 36 8 3 2

3 3

9 27 21 3 3 9

9 27 27 3 3 27

6 36 54 12

− + − − + + − + − +

− =

− + − − = −

− + − =

− + + ( )a x a x x a x a x

a x a x a x a x a x x

3 6 2 7 9 2 3 6 3

6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 9

36 8 3 27

6 36 54 12 36 8

0

− + − =−

− + − − + −

( )5 1252 3 6y y=

( )( ) ( )( )( )

( )

3 3 3 18 27

3 3 2 6 36 54

3 3 2 12 36

2 8

3 2 2 6 5 4 2

3 2 2 3 6 3 5 4 4 5

3 2 3 2 3 6 2 7

3 3 9

a a x a a x a x

a a x x a x a x a x

a a x x a x a x

x x

− = − +

− = − +

− = −

=

15. 15. 15. 15. 15.

( )( ) ( )( )( )

( )

a a a a a a a a a a a a

a a a

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a a

a a a a a

a

9 8 7 6 5 4 3 23 3 2

9 3 2 6

8 7 6 3 2 2 8

8 7 6 3 2 2 7

7 6 5 4 3 2 3 6

7 6 5 4 3

6

3 6 10 12 12 10 6 3 1 1

3 3

3 6 10 3 3

3 3 3 3

3 9 12 12 10

3 6 6 3

3 6

− + − + − + − + − − + −

− =

− + − − = −

− + − =

− + − + − =−

− + − + −

− + ( )( ) ( )

( )( )

a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a

a a a a a

5 4 3 2 3 2 2 6 5 4

6 5 4 3 2 3 2 2 7 6 5

3 2 2 5 4

9 9 6 3 1 3 3 6 3

3 6 9 9 6 3 1 3 3 6 3

0 3 3 3

− + − + − − = − +

− + − + − + − = − +

− = −( )

( )( ) ( )( )( )

( )

a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a

a a a a a a

3 3

3 2 2 6 4 2 5 4 3

3 2 2 6 5 4 3 2

3 2 2 3 2

3

3 3 3 3 6 6 6

3 1 3 6 9 6 3

3 1 3 3 3

1 1

=

− + = + + − + −

− + − =− + − + −

− + − = − +

− = −

16. 16. 16. 16. 16.

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( )

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x

x x x

x x x x x x x x x

9 8 7 6 5 4 3 23 3 2

9 3 2 6 3 2 2 8

8 7 6 3 2 2 7 2 3 6

8 7 6

7 6 5 4 3 3 2 2 6 5

12 54 121 180 228 179 144 54 27 4 2 3

3 3 3 4 12

12 54 121 3 4 48 4 64

12 48 64

6 57 180 228 179 3 4 3 24

− + − + − + − + − − + −

− = − = −

− + − − = − =−

− +

− + − + − = −

( ) ( )

( )( )( )

+

− + − + − − = − +

− + − + − + − − = −

− + − + − + =

48

6 48 108 48 8 3 4 2 6 48 96

9 72 180 171 144 54 27 3 4 2 12 48

9 72 180 171 144 54 27 2 8

0

4

7 6 5 4 3 3 2 2 7 6 5

6 5 4 3 2 3 2 2 5 4

6 5 4 3 2 3 3

x

x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x

( )( ) ( )( )( )

( )

3 4 2 3 48 12 24 12 48

3 4 2 3 9 144 36 72 36 144

3 4 2 3 27 108 54

3 27

3 2 2 6 4 2 5 4 3

3 2 2 6 4 2 5 4 3

3 2 2 3 2

3

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x

− + = + + − + −

− + − = − − − + − +

− + − = − +

− = −

EJERCICIO 217

1. 1. 1. 1. 1.

x x x x xx

x x

x x x

x x x x x x

x x x x x x

xx

xx

x

6 5 4 3 2

3

2

6 2 2 4

5 4 3 2 2 5

5 4 3 2 2 4

43

2

8 4

5

3

55

27

20

34 8

2 32

83

2

3

4

4

5

3

55

273

2 3 4

4 6 273

2 3 6

3

22

20

34 8

3

− + − + − + − +

−

=

− + −

−

= −

− +

−

=

− + − + −

( )

( )

( )

= −

− + − + −

−

= − +

−

= − +

−

= −

=

3 3

43

2

2 2 43

2

2 2 43

2

22 2

3

27

3

22

20

34 8

0 32 3

3

4 3

32 3

23

22

2

3

32 3

2 6 4

2 8

x

xx

xx

x x xx

x

x x xx

x

x xx x

2. 2. 2. 2. 2.

( )

( )

( )

aa a a a a a

aa a

a a a

a a aa

a a

aa a

a a a a a

a aa a a

aa

98 7 6 5 4 3

3 32

9 3 2 6

8 7 63 2

2 8

32 2 7

8 7 6 2 3 6

7 65 4 3

32

3

2 4

7

8 12 6 27 2 3

3 3

3

2 4

7

83

2

3

2

32

3

4

3

2

3

4 8 2 8

12 6 273

2

+ − − + + − + −

− =

− −

=

=

− − −

=

− − + + − +

= + +

+

−

= − − −

+ − − ++

−

= +

−

= −

2

6 54

32 2

7 65

7 65 4 3 3

2 2 5 4

3 3

3 33

4

32 3 4

12 6 27

32 3 3 6

03 27

a aa

aa a

a aa

a aa a a a

a a a a

a a

3. 3. 3. 3. 3.

( )

( )( )

x xx

x x x

x

x

x x

x x x

xx

x x

x x x xx

x

x x x

x

3 2

2 33

2 2

3 2 2

22

3

2 2 2

2 3

8

9

415 45

60 36 8

23

2

32

3

4

83

23

9

4

9

415 45 3

23

27

2

3 27

9

4

27

227 3

23

3

49 27

3

218

60 36 83

2

− + − + − + − +

=

−

− = −

− + −

− =

− = −

− + −

= − +

− + − + −

= − +

−

= −

− + − + −

=

32 3

218

54

32

32 6 36

3

218

60 36 8 2 8

0

2

2

2

2 3

3

3

x

x

x

x

x x x

x

x x x x x

4. 4. 4. 4. 4.

( )

( )

( )

a

b

a

b

a

b

b

a

b

a

b

a

a

b

b

a

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

3

3

2

2

2

2

3

33

3

3

2 2

2

2

2

2 2

2

2

2

2

3

8

3

4

15

8

5

2

15

8

3

4 8 21

2

83

2

3

4

3

4

15

8

5

23

21

3

4

32

13

2

3

4

3

21 1 1

3

8

3

2

− + − + − + − +

−

=

− + −

− = −

− =

− + − =−

− +15

8

3

4 8

32

13

4

33

3

8

3

2

15

8

3

4 83

21

2

3

8

3

2

3

2

0 32

12

3

8

3

4

2 8

2

2

3

3

2 2

2

2

2

3

3

2

2 2

2

3 3

b

a

b

a

b

a

a

b

a

b

a

b

a

b

b

a

b

a

b

a

a

b

b

a

a

b

b

a

a

b

b

a

b

a

b

a

b

a

b

− +

−

= − +

− + − + − −

= − +

−

= −

=

a3

5. 5. 5. 5. 5.

8

27

2

3 18

13

24 36 6 27

2

3

1

2 3

32

3

4

3

8

273

2

3

1

2

2

3

2

3 18

13

243

2

3

1

2 2

1

2

3

3

2

2

2

2

3

33

2 2

2

3

3

2 2

2

2

2

2

3

a

x

a

x

a

x

x

a

x

a

x

a

a

x

x

a

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

− + + − − − − −

=

−

−

= −

− + +

−

=

−

= −

− +

− + − − − −

= − +

−

−

= − + −

− + + + −

−

1

8

2

3 2

1

8

4

9

2

3 36 6 273

2

3

1

2

4

3

2 3

4

32

3

1

2 3

4

9

2

3 4

4

9

2

3 36 6 273

2

3

1

2 3

2

2

2

2

3

3

2 2

2

2

2

2

3

3

a

x

a

x

a

x

x

a

x

a

x

a

a

x

a

x

a

x

a

x

x

a

a

x

x

a

a

x

x

a

x

a

x

a

a

x

x

a = −

2 2

2

2

9 6

0

x

a

x

a

−

= −

x

a

x

a3 27

3 3

3

6. 6. 6. 6. 6.

( )

( )

8

27

4

3

34

27

8

27

16

27

64

2

31

3

4

8

273

2

3

4

3

4

3

34 3

2

31

4

3

4

3

21 3

2

31

2

327

8

27

16

3

3

2

2

2

2

3

33

3

3

2 2

2

2

2

2 2

2

2

22

2

a

b

a

b

a

b

b

a

b

a

b

a

a

b

b

a

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

b

a

b

a

+ + + + + + + +

−

=

+ +

=

− − −

=

+ + + ( )2

3

33

2

2

3

3

2 2

2

2

27

641 1

327

8

27

16

27

643

2

31

4

3

43

0 32

31

3

43

9

4

+ =

− − − − − +

= + +

+

= + +

b

a

a

b

b

a

b

a

b

a

a

b

a

b

a

b

a

b

b

a

a

b

b

a

32

31

3

4

9

8

27

16

3

4

27

64

2 2

2

3 3

3

a

b

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

+

= +

=

EJERCICIO 218

1. 1. 1. 1. 1. x x13 3=

2. 2. 2. 2. 2. m m35 35=

3. 3. 3. 3. 3. 4 434 34a a=

4. 4. 4. 4. 4. xy x y12 =

5. 5. 5. 5. 5. a b a b

a b b

b a b

45

32 45 3

45 2

45

=

=

=

6. 6. 6. 6. 6. x y z x y z

x x y z

x x y z

32

14

15 3 4 5

2 4 5

4 5

=

=

=

7. 7. 7. 7. 7. 2 2

2

2

45

52 45 5

45 2 2

2 45

a b a b

a b b b

b a b

=

=

=

15. 15. 15. 15. 15. x x=12

16. 16. 16. 16. 16. m m313=

17. 17. 17. 17. 17. 2 25454x x=

18. 18. 18. 18. 18. a b a b3 5332

53=

19. 19. 19. 19. 19. 3 37 6572

65x y x y=

20. 20. 20. 20. 20. 2 23 5414

34

54ab c a b c=

21. 21. 21. 21. 21. 5 52 3 9525

35

95a x y z ax y z=

22. 22. 22. 22. 22. 3 376 8576

85m n m n=

23. 23. 23. 23. 23. 3 33 2 3a b a bm nm n

=

24. 24. 24. 24. 24. a b c a b cm n xr m nxr3

1 3

=

8. 8. 8. 8. 8. 3 327

45

27 27 45 27x y z x y z=

9. 9. 9. 9. 9. a b c ab c

ab bc c

bc abc

14

54

74 5 74

4 4 34

34

=

=

=

10. 10. 10. 10. 10. 8 8

8

8

83 83

3 3 23

2 23

mn m n

m n n n

mn n

=

=

=

11. 11. 11. 11. 11. 4 4

4

4

273

56 2 73 56

2 3 33 56

2 2 3 56

a b c a b c

a b b b c

a b b c

=

=

=

12. 12. 12. 12. 12. 5 525

35

45 2 3 45m n x m n x=

13. 13. 13. 13. 13. a a552=

14. 14. 14. 14. 14. x x7373=

EJERCICIO 219

1. 1. 1. 1. 1. a bab

2 32

3− =

2. 2. 2. 2. 2. 3355x

x− =

3. 3. 3. 3. 3. a b

a ba b

− −= =4

12

412

4

1 1

4. 4. 4. 4. 4. 3

3 3213

213

2 3x y

x yx y

− −= =

5. 5. 5. 5. 5. m n

m n

− − =12 5

12 5

1

6. 6. 6. 6. 6. a b ca cb

2 12

− =

7. 7. 7. 7. 7. 4

4235

2

35

x yx

y

−=

8. 8. 8. 8. 8. 5

513

34 1

13

34

a b c

a b c

− − − =

9. 9. 9. 9. 9. 1

2 22

2

xx

− =

10. 10. 10. 10. 10. 3

31 55

x yxy− − =

11. 11. 11. 11. 11. 2 2 22 3

4 1

4

2 3

2

3

a ba c

a ca b

a cb

− −

− − = =

12. 12. 12. 12. 12. x y z

a b c

a b c

xy z

− − −

− − − =1 2 3

2 5 8

2 5 8

2 3

13. 13. 13. 13. 13. 38

38

38

412

3 4

312 4

4

72m n

m nm n n

mnm

− −

− −

−

= =

14. 14. 14. 14. 14. 4

7

4

7

47

12

4 223

12 4

23

2

92

23

2

a

a b c

a a cb

a cb

− −=

=

15. 15. 15. 15. 15. 2 2

2

5 7

2 3 4 2 3 5 4 7

2 8 3

m n

a m n a m m n n

a m n

− −

− −=

=

16. 16. 16. 16. 16. a xa x y

y

a a x x

y

a x

− −

− = =

12 2

3 2 13

12 2 2

72 43

3 3

17. 17. 17. 17. 17. c

b x

b cx

2

12 3

12 2

3

44−

=

18. 18. 18. 18. 18. 1

333

4

2

5 4

3

4

2

5

4

a b c

a b

c− −=

19. 19. 19. 19. 19. 3

3

3

2

312

34

2 312

34

532

74

a mn

a m n

a a mm nn

a m n

− − −=

=

20. 20. 20. 20. 20. x y

x yz

z

x x yy

z

x y

− −

−= =

2

3

1

4

212

1

2

223

14

1

2

83

54

EJERCICIO 220

1. 1. 1. 1. 1. ab a b

2

2 2 2

1= −

2. 2. 2. 2. 2. 3 31

2 2

x

y xy

−

=

3. 3. 3. 3. 3. 4 42

3 1 2 3

mnx m n x

= − −

4. 4. 4. 4. 4. a b

ab

− −

=1 3

331

3

5. 5. 5. 5. 5. 3

73

7

23

23

c

c

−

=

6. 6. 6. 6. 6. 2

5

2

5

14

2 14 2

x

yx y

=−

7. 7. 7. 7. 7. m

m

−

=3

351

5

8. 8. 8. 8. 8. 3 32 3

4 2 4 3

a bc a c b

−

−=

17. 17. 17. 17. 17. 3

7

3

7

5

534

5 534a

x y

a x y

− −=

18. 18. 18. 18. 18. 1

413

413

a b

a b− −

=

19. 19. 19. 19. 19. 2

3

23

23

2

314

2 314 5

14m

m n

m m n m n

− −= =

20. 20. 20. 20. 20. a

x y

a x y3

212

3 212

−

−=

21. 21. 21. 21. 21. 3

3 32 3

12 3 1 3 3 1a b

a xa ab x a b x−

− −= =

22. 22. 22. 22. 22. 3

3 32 3

1 2 32 2 3 3 2 4 6xy z

x y zxxy y z z x y z− − − = =

23. 23. 23. 23. 23. m n xm n x

m m n n x x

m n x

− − −

− − −− − −

=

=

2 112

4 5 22 4 1 5

12 2

2 432

9. 9. 9. 9. 9. x y

x y

−

−

=12 2

12 2

1

10. 10. 10. 10. 10. a b c

a c b

− −

−

=23 3 2

23 2 3

1

11. 11. 11. 11. 11. 3 3 31

12

33

12

72

x y

yxy y xy

− −

= =

12. 12. 12. 12. 12. 2

92

9

212

212

m n

m n

−

−=

13. 13. 13. 13. 13. 2

2 1

aa= −

14. 14. 14. 14. 14. 3

322a

bab= −

15. 15. 15. 15. 15. x y

yx yy x y

2

22 2 2 3

− = =

16. 16. 16. 16. 16. 4

412 2

12 2

x y

x y−

−=

EJERCICIO 221

1. 1. 1. 1. 1. x

xx

−= =

12

12

1 1

2. 2. 2. 2. 2. 112

23

12

23 23a b

a

b

a

b−= =

3. 3. 3. 3. 3. 55 55

7

13

57

13

57

3a b

a

b

a

b

−= =

4. 4. 4. 4. 4. 3 3 3 31

12

12

12

x

x x x xx

−

− −= = =

5. 5. 5. 5. 5. 22 22

534

34

25

34

25m n

n

m

n

m

−= =

6. 6. 6. 6. 6. 1

4

1

413

3

xx

=

7. 7. 7. 7. 7. x

y

x y x y

35

23

3523 35 23

−= =

8. 8. 8. 8. 8. 3 3

3 3

32

14

32 4

22 4 4

a

x a x

a a x a a x

−

=

= =

9. 9. 9. 9. 9. a

aa a

a a a a a a

−

=

= = =

12

2 12 2

52

2 22 2

4

1

41

4

1

4

1

4

10. 10. 10. 10. 10. x y zy

x z

y

x z

− −= =

23

35

47

35

23

47

35

23 47

11. 11. 11. 11. 11. x m n

x m n x m n

− − −= =2 3

25

2 325

2 3 25

1 1

12. 12. 12. 12. 12. aa a a a

−

= = =

12

3

3

23

1 1 1

13. 13. 13. 13. 13. x x

x x x x x

2

3

2 4

3

4

333 3

1 1 1

=

= = =

−−

14. 14. 14. 14. 14. a

b

a

b

b

a

b b

a a

b b

a a

= =

= =

− −

−

32

3

2

32

3

2

32

2

2

15. 15. 15. 15. 15. x xx

x

− −

= = =1

2

13 1

616

6

1 1

16. 16. 16. 16. 16. a a

a

− −= =3

32

32

1

17. 17. 17. 17. 17. 2 2

23 432

42

32 2

x y x y

x y

− − − −= =

18. 18. 18. 18. 18. a

x

a

x

a x

23

5

23

52

23

52

− −= =

19. 19. 19. 19. 19. 3

5

3

5

35

23

34

23

34

23

34m

n

m

n

m n− −

= =

20. 20. 20. 20. 20. a bb

a a b

− −−

= =35 34

34

35

35

34

1

21. 21. 21. 21. 21. x x x x x2 1 212

32− −

= =

22. 22. 22. 22. 22. 1 17 6 7

262

72 3

a b a b

a b− − − −

= =

23. 23. 23. 23. 23. 3 3 3

23

4

42

23

2

23

x

y

y

x

y

x

−

−= =

24. 24. 24. 24. 24. m n m n

m n

− − − −= =1 33

12

33

12

1

25. 25. 25. 25. 25. ( )

( ) ( )

16 16

16 16 16 16 64

3

2 3

2

=

= = =

26. 26. 26. 26. 26. 8 8 64 423 23 3= = =

27. 27. 27. 27. 27. 81 81 81

81 81 9 3 27

34

12

14

4

=

= = ⋅ =

28. 28. 28. 28. 28. 91

91

91

9 9 9

1

81 9

1

243

52

52

5

2 2

−=

=

= = =

29. 29. 29. 29. 29. ( ) ( )− = −

= − −= − ⋅− =

27 27

27 27

3 3 9

2

32

3

3 3

30. 30. 30. 30. 30. ( ) ( )− = −

= − −= − ⋅− =

32 32

32 32

2 2 4

2

52

5

5 5

31. 31. 31. 31. 31. 491

49

1

49 49

149 7

1343

32

3 2

−= =

=⋅

=

32. 32. 32. 32. 32. 4

9

4

9

4 4 4

9 9 9

16 4

81 9

16 2

81 3

32

243

5

2 5

5

2 2

2 2

=

=

=

=⋅⋅

=

33. 33. 33. 33. 33. 8

27

27

8

27

8

3

21

1

3

1

3

1

3

3

312

=

= = =

−

34. 34. 34. 34. 34. 25

36

36

25

36

25

6

51

1

2

1

2

1

2

15

=

= = =

−

35. 35. 35. 35. 35. 32

243

243

32

243

32

3

21

1

5

1

5

1

5

5

512

=

= = =

−

36. 36. 36. 36. 36.

( )

−

=

−

=−

=− −

=⋅

− ⋅−= =

−27

64

64

27

64

27

64 64

27 27

4 4

3 3

16

91

2

3

2

3

2

3

23

23

3 3

3 3

79

37. 37. 37. 37. 37. 1

99 7293

3− = =

38. 38. 38. 38. 38. 16

81

81

16

81 81

16 16

81 3

16 2

243

327

5

4

5

4

5

4

44 4

44 4

1932

=

=

=⋅⋅

= =

−

39. 39. 39. 39. 39. −

=

−

=− −

=⋅

− ⋅−= =

−32

243

243

32

243 243

32 32

3 3

2 2

9

42

25

2

5

2

5

5 5

5 5

14

40. 40. 40. 40. 40. ( )225

9

9

25

9 9

25 25

9 3

25 5

27

125

79

3

2

3

2

3

2

3

2

2

2

−−

=

=

=

=⋅⋅

=

41. 41. 41. 41. 41. ( )581

16

16

81

16

81

2

3

116

1

4

1

4

1

4

1

4

4

4

−−

=

= = =

42. 42. 42. 42. 42. 8 4 8 8 4 4

2 2 4 2 32

23

32 3 3 2⋅ == ⋅ ⋅ ⋅ =

43. 43. 43. 43. 43. 9 279

27

9 9 93

81

52

13

5

3

2 2

⋅ =

= =

−

44. 44. 44. 44. 44. 243 128

128

243

128 128 128

3

2 2 2

3

8

32

15

37

37

5

7 7 7

23

−⋅

= =

= ⋅ ⋅ = =

EJERCICIO 222

1. 1. 1. 1. 1. a a b x para a b

x

− −

− −

+ + = =

= + ⋅ +

= + +

= + + =+ +

= =

2 112 0

2 112 0

2

79

3 4

3 3 4

1

3

1 4

31

19

23

11 6 9

9169

1

2. 2. 2. 2. 2.

( ) ( ) ( )

3 4 1

3 4 4 1 1 1

3

416 1

3

217

3 34

2

37

218

1

2 2 3 01

3

1

2 2 31

3

12

x x y x y para x y− −

−

+ + = =

= + +

= + + = + =+

= =

3. 3. 3. 3. 3.

( )

( )

2 4 16

2 4 164

164 16

2

416

16

4

4

16 16

12

116

2

16 16

12

116

14

8 1 416

1316

34

1

1

2

3

4

34

1

1

2

3

4

3 4 24

1

2 4

a ba

ba b para a b−

−

−−

−−

−−

+ + = =

= ⋅ + + ⋅

= ⋅ + +⋅

= + + = + + =+ +

=

4. 4. 4. 4. 4.

( )

x

yx y x y

x

ypara x y

3

4

2

1

2

1

3 0 04

3

3

4

2

1

2

1

3 0 04

3

24 4 23 33

3

18

16 8

16

816 8 16 8

16

8

16 16 81

16 81

16

8 8

4 2 641

4 21

16

8 8512

1

81 1

512

−− −

−− −

+ − + = =

= + ⋅ − ⋅ +

= ⋅ + − +

= ⋅ ⋅ +⋅

− + = + − +

=

5. 5. 5. 5. 5.

( )

x

x

y

yx x y para x y

0

1

3

00

3

4 2

1

3 3

4 2

3

24 4

2

127

2 81 3

1

81

3

12 1 81 3

811

32

81 81

3

831

27

9 3

983

1

273 86

1

2786

−

−−

−

−−

+ + + = =

= + + + ⋅

= + + +

= + +⋅

= + + = + =

6. 6. 6. 6. 6.

( )

a x a xa x

x para a x1

2

1

3

1

2

1

31

4 1

0

1

2

1

3

1

2

1

31

4 1

33

4

18

13 16 8

16 8 16 81

16 83 1

16 81

16 816 8 3

81

4 216 3 27

1

827

+ + + = =

= ⋅ + ⋅ +⋅

+

= + + ⋅ +

= +⋅

+ + = + =

− −

− −

− −

− −

7. 7. 7. 7. 7.

( ) ( )

a

ba b c

a

b cb c

para b c a

−

−− −

−

−

−

−− −

−

−

+ − + +

= = =

= + ⋅ −⋅

+ +

= + ⋅ − + +

= + − + +

= + − =+ −

= =

2

11 2 3

2

12 1

14 0

2

11 2 3

2

12 1

14

2 3 24

1318

3

16 2 3

3

163 3 16 2

3

16 216 1

16

3

3

3

256

2

2

3 1616 1

16

932

1

182 1

16

935

1

18

32 630 1

18

661

1836

8. 8. 8. 8. 8.

( )

( )

x

yx y

x

yy para x y

0

0

2

3

1

5

2

10

2

3

1

5

2

1

3 23 52

2 56

38 32

1

3 18 32

8

321

1

32 32

32

81

1

32 2

1

21

1

33

1

2

2 18 3

6

23

63

+ − + + = =

= + − + +

= + − + +

= + − + + = + + =+ +

= =

−

−

−

−

9. 9. 9. 9. 9.

( )

( ) ( ) ( )

( )

ab

a b a ba

para a b−

− −

−

− −

− + − − = =

= − + − ⋅ −

= − + − −

= − + − −

= + − − = + =

1

345

0 32

523

13

4

5

325

2

3

35 45 5 25 3 23

4 2 2

13

1 127 243

271

2431 243 27 243

1

271

273 243 3 3 3

1

33 243 3 3 3

1

3162 27 9

1

3126 126

EJERCICIO 223

1. 1. 1. 1. 1. x x x x2 3 2 3 1− + − −= =b g

2. 2. 2. 2. 2. a a a a− − − − −= =2 3 2 3 5

3. 3. 3. 3. 3. x x x x3 3 3 3 0 1− −= = =

4. 4. 4. 4. 4. a a a a12

12

132= =

+

5. 5. 5. 5. 5. x x x x12

14

12

14

34= =

+

6. 6. 6. 6. 6. a a a a a34

14

34

14

44= = =

+

13. 13. 13. 13. 13. x y x y x y x y x− − − − − − − −= = =312 2

12 3 2

12

12 5 0 5

14. 14. 14. 14. 14. 3 2 3 2 6 6212 2

12 2 2

12

12 0 0a b a b a b a b− − − −

= ⋅ = =

15. 15. 15. 15. 15. a b a b a b ab3 1 2 2 3 2 1 2 3− − − − − − −= =

16. 16. 16. 16. 16. a b a b a b a b b− − + +

= = =12

34

12

14

12

12

34

14 0

44

17. 17. 17. 17. 17. m n m n m n m n m n− − − − + − −= = =

23

13

13

23

23

13

13

23

33

33 1

18. 18. 18. 18. 18. 2 2 2 2134 2 1 1

34

2 054

54a b ab a b a b b− − − + − − −

= = =

7. 7. 7. 7. 7. 3 3 325

35

25

35

15m m m m

− − −= =

8. 8. 8. 8. 8. 2 2 234

12

34

12

14a a a a

− −= =

9. 9. 9. 9. 9. x x x x− − − − −= =2

13

213

73

10. 10. 10. 10. 10. 3 3 3223

223

43n n n n

− −= =

11. 11. 11. 11. 11. 4 4 4212

212

52a a a a− − − − −

= =

12. 12. 12. 12. 12. a b ab

a b a b

− −

− + − += = =

1 2 2

1 1 2 2 0 0 1

EJERCICIO 224

1. 1. 1. 1. 1. a a

a a

a a a

a a a

a a

a a a

− −

− −

− − −

− − −

− −

− − −

+ +

− +

+ +

− − −

+ +

+ + +

4 2

4 2

8 6 4

6 4 2

4 2

8 6 2

3 2

1

3 2

3 2

3 2

2 2

4. 4. 4. 4. 4. 2 2

1

2 2

2 2

2 2

2 3 2

34

12

14

14

14

34

12

34

12

14

12

14

34

12

14

a a a

a a

a a a

a a a

a a

a a a a

− +

+ −

− +

− +

− + −

+ − + −

−

7. 7. 7. 7. 7. a b a b

a b a b a

b a b a b

a b a b a

a b a a b

b a b a b

2 1

2 2 3 1 4

3 1 2 2 1

1 2 2 1 3

2 1 3 4

3 2 1 4

−

− − − − −

− − − − −

− − − − −

− − − −

− − − −

+ +

− +

+ +

− − −

+ +

+ +

2. 2. 2. 2. 2. x x

x x

x x

x x

x x

x x x x

2 2

2 2

4 2

2 2

2 4

4 2 2 4

1

2

1

2 2 2

1

2 3

− +

+ −

− +

− +

− + −

+ − + −

−

−

−

− −

− −

5. 5. 5. 5. 5. a a

a a

a a

a a

a a a

a a a

23

23

23

43

23

23

23

43

23

43 2

23

43 2

2 2

3 4

3 6 6

1 2 2

4 8 8

3 5 10 8

− +

+ −

− +

+ − +

− + −

− + −

−

− −

−

− −

− − −

− −

3. 3. 3. 3. 3. x x x

x x

x x x

x x x

x x

x x

+ +

− +

+ +

− − −

+ +

− +

−

2

2

2

2 4 2

2 1

2 1

23

13

13

13

43

23

23

13

23

13

43

23

6. 6. 6. 6. 6. x x x

x x

x x x

x x x

x x x

x x x x

34

14

14

12

12

54

34

14

34

14

14

14

14

34

54

14

14

34

2

2

2

2 4 2

2

4 4

+ −

− +

+ −

− − +

+ −

− + −

−

−

−

− −

− −

8.8.8.8.8. x y x y x y

x y x y x y

x y x y x y

x y x y x y

x y x y x y

x y x y x y

− − − − − −

− − − − − −

− − − − − −

− − − − − −

− − − − − −

− − − − − −

+ +

− +

+ +

− − −

+ + +

+ +

1 1 3 3 5 5

3 2 5 4 7 6

4 3 6 5 8 7

6 5 8 7 10 9

8 7 10 9 12 11

4 3 8 7 12 11

9. 9. 9. 9. 9. a b a b a b

a b a b

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a

a b a b a b a

34 3

14 2

14 1

12 1

12

54 4

34 3

14 2

34 3

14 2

14 1

14 2

14 1

34

54 4

34 3

14 1

34

2 3

2 2 2

3 3 3

5 3

− − − −

− −

− − −

− − − −

− − − −

− − − − −

+ −

− +

+ −

− − +

+ −

− + −

10. 10. 10. 10. 10. a a b b

a a b b

a a b a b

a b a b a b

a b a b b

a a b a b b

− − − −

− − − −

− − − − −

− − − − − −

− − − − −

− − − − − −

+ +

− +

+ +

− − −

+ + +

+ + +

112

12 1

112

12 1

232

12 1 1

32

12 1 1

12

32

1 112

32 2

232

12 1 1 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

11. 11. 11. 11. 11. 4

4

4

4 3

232

12

12

32

12

12

52 2

12

32

32

212

32

32

12 2

52 2

12

12 2

x x y xy x y

x y

x x y x y xy

x y x y xy x y

x x y x y

− + −

+

− + −

− + −

+ −

12. 12. 12. 12. 12. x a x a x a

x a x a x

x a x a x ax

a x ax a x a x

a x a x ax a x

x ax a x a x

− + −

+ +

− + −

+ − + −

+ − + −

− − −

2 3

3 2

2 3

3 6 3 9

2 4 2 6

7 3 9

13

23

23

13

43

23

23

13

73

13 2

23

53

43

23

53

43

43

53

23

13 2

23

53

43

43

73

43

43

53

23

13. 13. 13. 13. 13. 5 3 4 2

3 2 5

15 9 12 6

10 6 8 4

25 15 20 10

15 19 17 24 10

2 1

1

3 2

2 1

1 2

3 2 1 2

a a a

a a

a a a

a a a

a a a

a a a a a

− + −

+ −

− + −

− + −

− + − +

+ − + − +

−

−

−

− −

− −

14. 14. 14. 14. 14. 2 3 4

2

2 3 4

4 6 2 8

2 3 4

2 7 9 7 4

1 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3 4

2 3 4 5

1 2 3 4 5

x x x

x x x

x x x

x x x x

x x x x

x x x x x

− + +

− +

− + +

− + − −

+ − + +

− + − − +

− −

− − −

− − −

− − − −

− − − −

− − − − −

15. 15. 15. 15. 15. m m n n m n

m n m n

m mn m n n

mn m n n m n

m n n m n m n

m m n n m n

− + −

+ +

− + −

+ − + −

+ − + −

+ − −

−

−

−

− −

−

12

12

12

32

12

12

12

32

12

12

32

12

12

32

12 2

12

32

12 2 1

52

32

12

32 1

52

16. 16. 16. 16. 16. a a a

a a

a a a

a a a

a a a

a a a

35

15

15

25

25

35

15

15

35

15

15

15

35

15

35

2

2

2 4 2

2

2

6

+ −

− + −

− − +

+ − +

− − +

− + +

−

−

−

− −

−

17. 17. 17. 17. 17. m m m

m m

m m m

m m

m m

m m m

+ +

− +

+ +

− − −

+ + +

+ + +

− −

−

−

3 2

2 2 2

2 6 4

2 6 4

2 6 4

2 4 2 4

23

13

13

23

23

13

23

13

13

13

23

13

18. 18. 18. 18. 18. x y x y x y

x y x x y

x y x y x y

x y x y x y

x y x y

x y x y

− −

− − − −

− − −

− − −

− −

− −

+ −

− −

+ −

− − +

− − +

− +

34

32

14

14

12

54

12

34

14

12

2 232

32 1

32

32 1

12

12

112

12

2 2 1

3

3

3

3 9 3

3 1

11 1

19. 19. 19. 19. 19. x y x y x y

x y x y x y

x y xy

xy x y

xy x y x y

x y x y x y

2 1 3 3 4 5

3 3 2 1 1

1 2 2

2 2 4

2 2 4 3 6

1 2 2 4 3 6

5 2

3

5 2

1 5 2

3 15 6

4 13 6

− − −

− − − −

− −

− −

− − −

− − −

+ +

− +

+ +

− − −

+ + +

+ + +

20. 20. 20. 20. 20. a b a b a b

a b a b

a b a b

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

− − −

− −

− −

− − −

− − −

− − −

+ −

+ +

+ −

+ + −

+ −

+ + −

23

12

43 2

32

23

12

23

12

23

12

43

23

12

43 2

32

43 2

32

83 2

23

12 2

32

83 2

2

3 1

3 6 3

2

2

3 7

EJERCICIO 225

1. 1. 1. 1. 1. a a a a a2 2 2 2 2 2 4÷ = = =− − − +b g

2. 2. 2. 2. 2. x x x x− − − −÷ = =3 2 3 2 5

3. 3. 3. 3. 3. m m m m m12

14

12

14

12

14

34÷ = = =

− − −

+

4. 4. 4. 4. 4. a a a a2 5 2 5 3÷ = =− −

5. 5. 5. 5. 5. x x x x x− − − − − − +÷ = = =3 7 3 7 3 7 4b g

6. 6. 6. 6. 6. a a a a12

12

112÷ = =

− −

7. 7. 7. 7. 7. x x x x x− − − − −

− + −

÷ = = =23

13

23

13

23

13

13

8. 8. 8. 8. 8. a a a a a25

15

25

15

25

15

35÷ = = =

− − −

+

9. 9. 9. 9. 9. m m m m− − − −

÷ = =34

12

34

12

54

10. 10. 10. 10. 10. a a a a13

13

123÷ = =

− −

11. 11. 11. 11. 11. 4 24

22 2

2

5

1

5

2

5

1

52

5

1

5

3

5x x x x x÷ = = =− − −

+

12. 12. 12. 12. 12. a a a a a− − − − −

− + −

÷ = = =374

374 3

74

54

13. 13. 13. 13. 13. x y x y x y xy− − − − − + − +÷ = =2 1 3 2 2 3 1 2

14. 14. 14. 14. 14. a b ab a b a b12

13

12

113

112

23÷ = =

− − − −

15. 15. 15. 15. 15. a b a b a b a b2 3 1 2 1 3 1 3 4− − + − − −÷ = =

16. 16. 16. 16. 16. x y x y x y x y y− − − − − + − +

÷ = = =12

23

12 1

12

12

23

10

13

13

17. 17. 17. 17. 17. m n m n m n m n34

34

12

34

34

12

34

34

54

32

− − + − − −÷ = =

18. 18. 18. 18. 18. 8 48

422

25

15 2 1

25

15 3

35x y xy x y x y− − − − + −÷ = =

19. 19. 19. 19. 19. a b a b a b a b13

14 3

13

14 1 3

712 4÷ = =

− − + +

20. 20. 20. 20. 20. x y x y x y x y− − − − − − + − −÷ = =4 5 2 1 4 2 5 1 6 4

EJERCICIO 226

1. 1. 1. 1. 1. x x x x x

x x x x x

x x x

x x x

x x

x x

− − − − −

− − − − −

− − −

− − −

− −

− −

+ + + − +

− + − + +

− +

− + −

− +

− + −

8 6 2 4 2

8 6 4 4 2

6 4 2

6 4 2

4 2

4 2

2 2 1

3 2

3

3 3 3

2 2 2

2 2 2

2. 2. 2. 2. 2. a a a a a

a a a a a

a a

a a a

a a

a a

43

23

23

13

43

23

13

13

23

23

13

23

13

23

13

2 1 2

2 2

2 3

2 4 2

2 1

2 1

− + + +

− − − − +

− −

+ + +

+ +

− − −

−

3. 3. 3. 3. 3. m m m m m m

m m m m

m m

m m

m m

m m

4 2 2 4 2 2

4 2 2 2

2 2

2 2

2 4

2 4

2 3 1

1 2

2 3 3

2 2 2

1

1

+ − + − − +

− + − + −

− +

− + −

− + −

+ − +

− − −

−

−

−

− −

− −

5. 5. 5. 5. 5. 3 5 10 8 3 4

3 1 4 2 2

6 4 10

6 2 8

6 2 8

6 2 8

23

43 2

23

43

23

23

23

23

23

43

23

43

23

43 2

23

43 2

m m m m m

m m m m

m m

m m

m m m

m m m

− + − + −

− − + − +

− + +

+ + −

+ −

− − +

− − − −

− −

− −

− −

− − −

− − −

7. 7. 7. 7. 7. 4 7 9 7 2 4 3 2

4 3 2 2

8 2 7 7

8 2 6 4

4 3 2

4 3 2

5 4 3 2 1 2 1

5 4 3 2 3 2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

3 2 1

3 2 1

x x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x

x x x x

x x x

x x x

− − − − − − −

− − − − − − −

− − − −

− − − −

− − −

− − −

− − + − + + − +

− − + − − +

− + + −

+ − +

+ − +

− − + −

8. 8. 8. 8. 8. a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b a b a b

a b

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

− − − − − − − − − − − −

− − − − − − − − − − − −

− −

− − − − − −

− − − − − −

− − − − − −

+ + − +

− + − + +

− + −

− +

− + −

12 11 8 7 4 3 7 6 5 4 3 2

12 11 10 9 8 7 5 5 3 3 1 1

10 9

10 9 8 7 6 5

8 7 6 5 4 3

8 7 6 5 4 3

4. 4. 4. 4. 4. 2 3 2 1

2 2 2 2 2

3

2 2 2

2 2 2

34

12

14

14

14

34

12

34

12

14

34

12

14

34

12

14

12

14

12

14

x x x x x x

x x x x x x

x x x

x x x

x x

x x

+ − + − + −

− − + − +

− + +

+ + −

+ −

− − +

−

6. 6. 6. 6. 6. a a a a a a

a a a a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

54

14

14

34

12

12

54

34

14

34

14

14

34

14

14

34

14

14

14

14

34

14

14

34

4 4 2

2 2

2 5 4

2 4 2

2

2

− + − − +

− + − + −

− +

− + −

− + −

+ − +

− − −

−

−

−

− −

− −

9. 9. 9. 9. 9. m n m n n m m n m n

m n m m n n m m n

m

m m n m n

m n m n n

m n m n n

− − − − − − − − −

− − − − −

−

− − − − −

− − − − −

− − − − −

+ + − +

− + − + +

− + −

− +

− + −

4 2 1 3 4 3 1 2 2

4 3 2 1 2 1

3

3 2 1 1 2

2 1 1 2 3

2 1 1 2 3

10. 10. 10. 10. 10. 15 19 17 24 10 3 2 5

15 10 25 5 3 4 2

9 6 17

9 6 15

12 2 24

12 8 20

6 4 10

6 4 10

3 2 1 2 1

3 2 2 1

2

2

1

1

1 2

1 2

a a a a a a a

a a a a a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

+ − + − + + −

− − + − + −

− + +

+ + −

+ −

− − +

− − +

+ + −

− − −

−

−

−

− −

− −

11. 11. 11. 11. 11. a b a b a b a a b a b

a b a b a b a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a

a b a b a

54 4

34 3

14 1

34

12 1

12

54 4

34 3

14 2

34 3

14 2

14 1

34 3

14 2

14 1

34 3

14 2

14 1

14 2

14 1

34

14 2

14 1

34

5 3 2 3

2 3

3 5

2 3

2 3

2 3

− − − − − − −

− − − − − − −

− − − −

− − − −

− − − −

− − − −

− + − − +

− + − + −

− +

− + −

− + −

+ − +

12. 12. 12. 12. 12. x x y x y y x x y y

x x y x y x x y y

x y

x y x y x y

x y x y y

x y x y y

− − − − − − − − − −

− − − − − − − − −

− −

− − − − − −

− − − − −

− − − − −

+ + + − +

− + − + +

− + −

− +

− + −

232

12 1 1 2 1

12

12 1

232

12 1 1 1

12

12 1

32

12

32

12 1 1

12

32

1 112

32 2

1 112

32 2

2

2 2

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

13. 13. 13. 13. 13. m m m m m m

m m m m m

m m

m m m

m m m

m m m

− + + −

− − + − −

− −

+ −

− − +

+ + −

− −

−

−

− −

− −

6 2

2 2

2 5

2 4 2

2

2

15

35

35

15

15

35

15

25

25

35

15

35

15

15

15

15

35

15

15

35

15. 15. 15. 15. 15. 4 3

4 4 4

5

2 21

2

1

2 21

2

1

2

5

2 21

2 23

2

1

2

1

2

3

2

21

2

21

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

1

2 2

3

2

1

2 2

x x y x y x y

x x y x x y xy x y

x y

x y x y

x y

x y xy

xy x y

xy x y

+ − +

− − − − −

−

+ −

−

+ −

− −

+ +

16. 16. 16. 16. 16. x ax a x a x x a x a x

x a x a x x a x a x a

a x a x ax

a x a x ax

a x ax a x

a x ax a x

ax a x a x

ax a x

7

3

4

3

4

3

5

3

2

3

4

3

1

3

2

3

2

3

7

3

1

3 22

3

5

3

1

3

2

3

2

3

1

3

1

3 22

3

5

3

4

3

1

3 22

3

5

3

4

3

2

3

5

3

4

3

4

3

2

3

5

3

4

3

4

3

4

3

4

3

5

3

2

3

4

3

4

3

7 3 9 2 3

2 3 2 3

2 3 7

2 4 6

3

2 3

3 6 9

3 6

− − − + +

− − − − + −

− − −

+ + +

− −

− − −

− − −

+ + +95

3

2

3a x

14. 14. 14. 14. 14. 2 4 2 4 3 2

2 6 4 2 2 2

2 4 2

2 6 4

2 6 4

2 6 4

23

13

23

13

23

13

13

23

23

13

23

13

13

13

13

13

x x x x x x

x x x x x

x x

x x

x x

x x

+ + + + +

− − − − +

− − +

+ + +

+ +

− − −

−

− −

−

−

17. 17. 17. 17. 17. a a b b a b a b a b

a ab a b a a b b a b

ab b

ab a b b

a b

a b b a b

b a b a b

b a b a b

32

12

32 1

52

12

12

12

32

12

12

12

12

12

32

12

32

12

12

32

12

12

32

12 2

32

12 2 1

52

32

12 2 1

52

+ − − + +

− − − − + −

− −

+ + +

− − −

− − −

+ + +

− −

−

−

− −

− −

18. 18. 18. 18. 18. m n m n m n m n m n

m n m n m n m n m m n

m n m n

m n m n m n

m n m n

m n m n

− − − −

− − − − − − −

− −

− − −

− −

− −

− + + −

− − + − −

− −

+ + −

− − +

+ + −

2 2 13

4

3

2

1

4

1

4

1

2

2 23

2

3

2 15

4

1

2

3

4

1

4

1

2

3

2

3

2 1

3

2

3

2 11

2

1

2

11

2

1

2

11

2

1

2

11 1 3

3 3

3 10

3 9 3

3 1

3 1

19. 19. 19. 19. 19. x y x y x y x y x y x y

x y xy x y x y x y

xy x y

xy x y

xy x y x y

xy x y x y

− − − − − − −

− − − − −

− −

− −

− − −

− − −

+ + + − +

− + − + +

− +

− + −

− +

− + −

1 2 2 4 3 6 3 3 2 1 1

1 2 2 2 1 3 3 4 5

2 2 4

2 2 4

2 2 4 3 6

2 2 4 3 6

4 13 6 3

1 3 5 2

5 3 13

5 5 15

2 2 6

2 2 6

20. 20. 20. 20. 20. 3 7 3 1

3 2

6

6 2 2

3

3

2

3

1

2 23

2

8

3 22

3

1

2

2

3

1

2

2

3

1

2

4

3

2

3

1

2

4

3 23

2

2

3

1

2

4

3 23

2

2

3

1

2

4

3 23

2

4

3 23

2

8

3 2

4

3 23

2

8

3 2

+ + − + +

− − − + −

− +

− − −

− − −

+ + +

− − − − −

− − − − −

− − −

− − −

− − −

− − −

a b a b a b a b a b

a b a b a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

EJERCICIO 227

1. 1. 1. 1. 1. ( )a a a− − ⋅ −= =1 2 1 2 2

2. 2. 2. 2. 2. ( )a b a b a b− − − ⋅ − ⋅ − −= =2 1 3 2 3 1 3 6 3

3. 3. 3. 3. 3. a a a a3

2

2 3

22

6

2 3

= = =⋅

4. 4. 4. 4. 4. x x x3

4

3 3

43

9

4

= =⋅

5. 5. 5. 5. 5. m m m m3

4

2 3

42

6

4

3

2

= = =⋅

6. 6. 6. 6. 6. a a a a− − ⋅ − −

= = =2

3

3 2

33

6

3 2

7. 7. 7. 7. 7. x y x y x y x y− − ⋅ ⋅ − −

= = =41

4

2

4 21

42 8

2

4 81

2

8. 8. 8. 8. 8. 2 2 4 41

2

1

3

2

21

22

1

32

2

2

2

3

2

3a b a b a b ab

= = =⋅ ⋅

9. 9. 9. 9. 9. ( )a b a b a b− − − ⋅ − ⋅ − −= =3 1 4 3 4 1 4 12 4

10. 10. 10. 10. 10. x y x y x y x y2

3

1

2

6 2

36

1

26

12

3

6

2 4 3− ⋅ − ⋅ − −

= = =

11. 11. 11. 11. 11. 3 3 243 2432

5 3

5

52

55 3 5

10

5 15 2 15a b a b a b a b− ⋅ − ⋅ − −

= = =

12. 12. 12. 12. 12. 2 2 8 81

2

1

3

3

31

23

1

33

3

2

3

3

3

2 1m n m n m n m n− − − ⋅ − ⋅ − − − −

= = =

EJERCICIO 228

1. 1. 1. 1. 1. a b a a b b

a a b b

1

2

1

2

2 1

2

2 1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

2

2

+

=

+

+

= + +

2. 2. 2. 2. 2. x y x x y y

x x y y

3

4

1

3

2 3

4

2 3

4

1

3

1

3

2

3

2

3

4

1

3

2

3

2

2

−

=

−

+

= − +

3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )m m m m m m

m m m m m m

− − −

− − −

+

=

+

+

= + + = + +

1

2

2 1

2

2 1

2 2

1 11

2 2 11

2 2

2 2 2 2

4 4 4 4

4. 4. 4. 4. 4. ( )( ) ( )( ) ( )

a b a b

a b a b a b a b

a b a b a b

a b ab a b

− −

− − − −

− − + − −

− −

−

= − +

= − +

= − +

2 3 3 2 2

2 3 2 2 3 3 2 3 2 2

4 6 2 3 3 2 6 4

4 6 6 4

2

2

2

5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )a b a a b b

a a b b

− − − − − −

− − − −

−

= −

+

= − +

13

4

2

1 2 13

4

3

4

2

2 13

4

3

2

3 2 3 3

6 9

6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( ) ( )a b a a b b

a a b b

− − −

− −

+ = +

+

= + +

2 2 2 2 21

2

1

2

2

4 21

2

2

2

7. 7. 7. 7. 7. x y x x y y

x x y y

341

2

2 3

4

2 3

4

1

2

1

2

2

3

2

3

4

1

2 1

2

2

−

=

−

+

= − +

− − −

− −

8. 8. 8. 8. 8. m n m n

m n m n m n m n

m n m n mn

m n m n mn

− −

− − − −

− − + − −

− − − −

−

=

−

+

= − +

= − +

21

4

1

2 1

2

21

4

2

21

4

1

2 11

2 1

2

412

212

14

1 2

41

2

3

2

3

4 2

2

2

2

9. 9. 9. 9. 9. a b

a a b a b b

a a b a b b

1

3

1

3

3

1

3

3 1

3

2 1

3

1

3

1

3

2 1

3

3

2

3

1

3

1

3

2

3

3 3

3 3

+

=

+

+

+

= + + +

10. 10. 10. 10. 10. ( )( ) ( ) ( )

x y

x x y x y y

x x y x y y

23 13

23

3 23

2

123 1 2 1 3

24

3 12

3 2 3

3

3 3 3 3 3

9 27 27

−

=

−

+

−

= − + −

−

− − −

− − −

11. 11. 11. 11. 11. m n m m n m n n m mn m n n2

3

3

2

3 2

3

3 2

3

2 3

2

2

3

3

2

2 3

2

3

24

3

3

2

2

3 39

24 3 4 3 4 4 12 48 64+

=

+

+

+

= + + +− − − − − − −

12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( ) ( )2 3 2 32 3 3 2 3 3 8 36 54 2741

2

3

4 3 4 21

2 41

2

2 1

2

3

12 81

2 4 13

2a b a a b a b b a a b a b b− − − − − − − − − − − − − −−

= −

+

−

= − + −

13. 13. 13. 13. 13. ( )x y x x y x y y x xy x y y− =

−

+

−

= − + −33

1

2

3 1

2

2 1

3

1

2

1

3

2 1

3

3 3

2

1

3

1

2

2

33 3 3 3

14. 14. 14. 14. 14. a b a a b a b a b b a a b ab a b b1

2

2

3

4 1

2

4 1

2

3 2

3

1

2

2 2

3

2 1

2

2

3

3 2

3

4

23

2

2

3

4

3

1

2 28

34 6 4 4 6 4+

=

+

+

+

+

= + + + +

15. 15. 15. 15. 15. ( ) ( ) ( ) ( )x y x x y x y x y y

x x y x y x y y

− − − − − − − − − −

− − − − − − − −

−

= −

+

−

+

= − + − +

21

3

4

2 4 2 31

3 2 21

3

2

21

3

3 1

3

4

8 61

3 42

3 2 14

3

4 6 4

4 6 4

16. 16. 16. 16. 16. x y x x y x y x y x y y

x x y xy x y

1

3

3

4

5 1

3

5 1

3

4 3

4

1

3

3 3

4

2 1

3

2 3

4

3 1

3

3

4

4 3

4

5

5

3

4

3

3

4

3

2

2

3

5 10 10 5

5 10 10

+

=

+

+

+

+

+

= + + +

− − − − − −

− − − − −+ +

9

4

1

3 315

45x y y

17. 17. 17. 17. 17. ( )m n m m n m n m n m n n

m mn m n mn m n n

− =

−

+

−

+

−

= − + − + −

35

1

2

5 1

2

4 1

3

1

2

3 1

3

2 1

2

2 1

3

3 1

2

1

3

4 1

3

5

5

2 21

3

3

2

2

3

1

2

4

3

5

3

5 10 10 5

5 10 10 5

18. 18. 18. 18. 18. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

a m

a a m a m a m a m a m m

a a m a m a m a m a m m

2 6

2 6 2 512 2 4

12

2

2 312

3

2 212

4

212

5 12

6

12 1012 8 6

32 4 2 2

52 3

2

6 2 15 2 20 2 15 2 6 2 2

12 60 160 240 192 64

−

= −

+

−

+

−

+

= − + − + − +

19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y x x y x y x y x y y

x x y x y x y x y y

− − − − − −

− − − − −

+ = +

+

+

+

+

= + + + + +

3 45 3 5 3 4

1

4 3 31

4

2

3 21

4

3

31

4

4 1

4

5

15 121

4 91

2 63

4 35

4

5 10 10 5

5 10 10 5

20. 20. 20. 20. 20. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )a a a a a a a a

a a a a a a a a a

− − − − − − − −

− − − − − − − − −

+ + = + + + + +

= + + + + + = + + + +

2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1

4 2 3 2 1 4 3 2 1

3 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2

9 4 6 4 12 6 13 12 4

21. 21. 21. 21. 21. x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x

1

2

1

4

1

4

2 1

2

2 1

4

2 1

4

2 1

2

1

4

1

2

1

4

1

4

1

4

1

2

1

2

3

4

1

4

3

4

2 2 2 2 2 2 2

4 2 4 4 2

− +

=

+ −

+

+

−

+

+ −

= + + − + − = −

− − − −

−+ + − +

−x x x

1

2

1

4

1

24 4 4

22. 22. 22. 22. 22. ( ) ( ) ( )a a a a a a a a

a a a a a a a a

− − − −

− − − −

+ +

=

+ +

+

+

+

= + + + + + = + + + +

1

2

1

2

2 1

2

2

21

2

2 1

2

1

2

1

2

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2 1

3 3 2 3 2 2 3

9 6 2 6 6 11 6

23. 23. 23. 23. 23. ( ) ( ) ( )m m m m m m m m m m m m

m m m m m m m m m m m

+ −

= +

+ −

+

+ −

+

−

= + + + − − = + − − +

2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 3

4 9 4 6 12 4 2 12 9

3

4

1

2

2

23

4

2 1

2

2 3

4

1

2

3

4

1

2

23

2

7

4

3

2

5

4 27

4

3

2

5

4

24. 24. 24. 24. 24. ( ) ( ) ( )a b a b a b a b a b a b a b a b

ab a b a b a b

1

2

1

3

1

2

1

3

2 1

2

1

3

22

1

2

1

3

2 1

2

1

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2

1

3

2

3 12

3

1

2

1

3

1

2

1

2 2 2 2 2 2 2

4 4 2 4

− − − − − − − −

− − − −

− +

=

+ − +

+

− +

+ −

= + + − + − 3

2

3

1

2

1

3

1

2

1

3 12

34 6 4= − + − +− − − −ab a b a b a b

25. 25. 25. 25. 25. ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x x x x x x x x x x

x x x x

1

2

1

4

3 1

2

3 1

4

33

1

2

2 1

4

1

2

2 1

4

2 1

2

1

4

2

212

214

12

1

1 1 3 3 1 3 3 1

3 1 3 1 6

+ −

=

+

+ − +

+

− +

+

−

+ −

+ −

+

( )4

32

34

54

12

12

14

34

32

54

34

14

1

1 3 3 3 3 3 3 6 3 5 3 1

−

= + − + − + − + + − = + − + −x x x x x x x x x x x x x

26. 26. 26. 26. 26. ( ) ( ) ( ) ( )

( )

a a a a a a a a a

a a a a

2

3

2

3

3 2

3

33

2

3

3 2

3

2 2

3

2 2

32

2

32

2

3

2

3

2 2

3

2

3

2 2

3

2 2 3 2 3 3 2 3 2

3 3 2 6

− +

=

+ − +

+

− +

+ −

+ −

+

+

− +

− − − −

− − ( )

−

= − + − + + + + − −

= − + − + − +

−

− − − −

− − −

2

8 6 3 12 12 3 6 12

6 15 20 15 6

2

3

2 243

23

23

23

23

43

24

3

2

3

2

3

4

3 2

a

a a a a a a a a

a a a a a a

27. 27. 27. 27. 27. m m m m m m m m m m m m

m m m m

1

6

1

3

1

2

3 1

6

3 1

3

3 1

2

3 1

6

2 1

3

1

6

2 1

2

1

3

2 1

6

1

3

2 1

2

1

2

2

2 2 3 2 3 3 2

3 2 3

+ +

=

+

+

+

+

+

+

+

1

6

1

2

2 1

3

1

6

1

3

1

2

12

32

23

56

56

76

76

43

3

2

4

3

7

6

5

6

2

3

1

2

3 2 6 2

8 6 3 12 12 3 6 12

6 15 20 15 6

+

+

= + + + + + + + + +

= + + + + + +

m m m m m

m m m m m m m m m m

m m m m m m m

EJERCICIO 229

1. 1. 1. 1. 1.

( )( )

( )( )

x x x x x x

x x x x x x

x x

x x x x

x x x x

x x

− − − − − −

− − − − − −

− −

− − − −

− − − −

− −

+ + + + + +

− + = +

+ +

− − + +

+ + = + +

− − −

4 3 2 1 2 1

4 2 1 1 3 2

3 2

3 2 2 1

2 1 2 1

2 1

6 13 12 4 3 2

2 3 3 6 9

6 13

6 9 2 6 2 2

4 12 4 4 12 4

4 12 4

2. 2. 2. 2. 2.

( )

m m m m m m

m m m

m

m m m m

m m m m

m m

+ + + + + +

− +

= +

+

− − + +

+ + = + +

− − −

− − −

− −

− − − −

− −

6 11 6 3

2 3 3 6 9

6 11

6 9 2 6

2 6 2 6

2 6

12

12 1

12

12

1

2

1

2

12

12

12

12

12

1

2 11

2 1

1

2 1

3. 3. 3. 3. 3.

( )

9 6 25 8 16 3 4

9 6

6 25 6

6

24 8 16 6 2 4 4

24 8 16 24 8 16

4

3

2

3

1

3

2

3

1

3

4

3

2

3

1

3

1

3

2

3

2

3

23

2

3

1

3

2

3

1

3

23

13

23

13

a a a a a a

a a a a

a a a a

a a

a a a a

a a a a

− + − + − +

− −

−

− + = − +

+ −

− + − +

− + − = − +

4. 4. 4. 4. 4. a a a a a a a a

a a a a

a a a a

a a

a a a a a a a

a a a a a

274

32

54

34

12

23

4

3

4

74

32

74

32

7

4

3

2

32

54

34

12

12

3

2

5

4

3

2

5

4

4 2 12 9 2 3

2 2 2

4 2 4 4

4 4

6 12 9 2 4 3 3

6 12 9 6 12

+ − − + + −

− +

+ − = +

− −

− − + + −

−

+ + − =− − +9a

5. 5. 5. 5. 5.

( )

mn m n m n m n m n m n

mn m n

m n m n

m n

m n m n m n m n m n

− − − − − −

− −

− −

−

− − − − −

− + − + − +

− −

−

− + = − +

+ −

− + − +

23

12

13

12

13 1

23

12

13

12

13

2

3

1

2

1

3

12

13

12

13

1

2

1

3

12

13 1

23

12

13

12

13

12

13

4 6 4 2

2 2 2

4 6 4 4

4 4

2 4 2 4

− + − = − +− − − −2 4 2 4

1

2

1

3 12

3

1

2

1

3 12

3m n m n m n m n

6. 6. 6. 6. 6.

( )

a a a a a a

a a a a

a a a a

a a

a a a a

a a a a

45

35

25

15

25

15

4

5

2

5

1

5

1

5

35

25

35

25

3

5

2

5

25

15

25

15

2

5

1

5

2

5

1

5

8 10 24 9 4 3

2 4 4

8 10 8 16

8 16

6 24 9 2 8 3 3

6 24 9 6 24 9

− + + + − −

− −

−

− + = − +

+ −

− + + − −

−

+ − − =− + +

7. 7. 7. 7. 7.

( )

( )

( )

a a a a a a a a

a a a

a a a a a a

a a a a a a

a a a

− − − − − − − −

− − −

− − − − − −

− − − − − −

− − −

− + − + − + − +

− =

− + − −

= −

+ − + −

=

− +

35

2 23

2 11

23 11

2

3 1 2 2

5

2 23

2 1 21

2

5

2

5

2 23

2 11

2

2

2

23

2

6 21 44 63 54 27 2 3

3 3

6 21 44 3 2 6

6 12 8 3 2 12

9 36 63

( )

( )

11

2

1

2

3 3

2

23

2 11

2

11

2

2

23

2 1

11

2

2

23

2 1

11

2 2 11

2

54 27 2 8

9 36 63 54 27

3 2 3 12 12

3 2 3 9 36 36

3 2 3 27 54

− + −

= −

− + − + −

−

= − +

−

= − +

−

= −

− − −

− − − −

− − − − −

− − − − −

− − − −

a a a

a a a a

a a a a a

a a a a a

a a a a

( )3 273 =

8. 8. 8. 8. 8.

( )

( )

( )

x x x x x x x x

x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x

24

3

2

3

2

3

4

3 232

3

2

3

22

3

2 4

3

4

3

2

3

2

3

2 4

3

4

3

2

3

2

32

2

3

2

3

2

3

4

3 2 3

2

6 15 20 15 6 2

3 3

6 15 20 3 2 6

6 12 8 3 2 12

3 12 15 6 2 8

3

− + − + − + − +

−

=

− + −

− = −

+ − +

− =

− + − + − =−

−

− − − −

− − −

3

2

3

4

3 2

2

3

2 4

3

2

3

2

3

2 2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2 2

3

4

3

2

3

3

2

12 15 6

3 2 3 12 12

3 2 3 12 12

3 2 3 6

+ − + −

−

= − +

−

= − +

−

= −

=

− − −

− −

− − −

− −

x x x

x x x

x x x x

x x x x

x x

9. 9. 9. 9. 9. a a a a a a

a a a

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a

32

54

34

14

312

14

3

2

1

2

2

5

4

3

4

1

4

1

2

2 1

4

5

4

5

4

3

4

1

2

1

4

2

34

14

14

3 34

3 5 3 1 1

3 3

3 5 3 3 3

3 3 3 3

3 6 3 1

+ − + − + −

−

=

+ − +

=

− − −

=

− − + −

=

+

( )

( )

( )

3 6 3 1

3 3 6 3

3 1 3 6 3

3 1 3 3

1 1

34

14

1

2

1

4

2 3

4

1

2

1

2

1

4

2 3

4

1

2

1

2

1

42

1

2

1

4

3

a a a

a a a a a

a a a a a

a a a a

+ − +

+

= + +

+

− = − − −

+

− = +

− = −

EJERCICIO 230

1. 1. 1. 1. 1.

( )

a xax xa

x a ax a x

a x ax

ax ax

ax

a xx a ax a x a x

a xa x

a x

2 21 1

2 2 1 1

2 2 1

1 1

1

12 2 1 1 1

12 2

1

2

3

19

9

2

3

1

3

21

3

1

3

2

3

19

9

2

3

1

92

3

1

9

22

32

2

3

22

32

2

3

−− −

− − −

− −

− −

−

−− − − −

−−

−

− + − + − +

− −

−

− + = − +

+ −

− + − +

− + − = − + −a x2 2

2. 2. 2. 2. 2.

( )( )

( )( )

x x x x x x x x

x x x x x

x x

x x x x x

x x x x x x

x x x

2 1 2 3 4 1 2

2 1 1 2

1 2

2 1 2 2

1 3 4 1 3 4

1 3 4

4 2 4 4 2

2 2 2 4 4

4 2 4

4 4 2 4

2 4 2 4

2 4

− + + − + − +

− − − = − +

− + +

+ − − +

− + = − +

− + −

− − − − − −

− − −

− −

− − − −

− − − − − −

− − −

3. 3. 3. 3. 3.

( )( )

( )( )

a a a a a a a a

a a a a

a a a a

a a

a a a a a a

a a a a

4 2 3 4 2 1 2

4 2 1 1

2 2

2

3 4 2 1 2 2

3 4 3 4

10 4 25 20 4 5 2

2 5 5

10 4 25 10 25

10 25

4 20 4 2 10 2 2

4 20 4 4 20 4

− + + − + − +

− − −

− + + = − +

+ −

+ − + − +

− + − = − +

− − − − −

− −

− −

−

− − − − −

− − − −

4. 4. 4. 4. 4.

( )( )( )( )

mm m m

mm

mm m

m m m m

m m m

m m

m m

42 2 4

22

42 2

2 2 2 2

2 2 4

2 4

2 4

45 28 30 9

25 3

45 5 5 25

5 28 10 3 3

5 25 3 30 9

3 30 9

3 30 9

− + − + − +

− − − = − +

− + − +

+ − = − +

− +− + −

− − −

− −

− −

− −

− −

5. 5. 5. 5. 5.

4

25

2

5

19

12

5

3

25

9

2

5

1

2

5

3

4

25

4

5

1

2

1

2

2

5

1

4

2

5

19

12

2

5

1

4

4

51

5

3

5

3

4

3

5

3

25

2 2 1 1 2 2 1 1

2 2 1 1

1

1 1 1 1

1 2

x y xy x y x y xy x y

x y xy xy

xy

xy xy x y x y

x y x y

− − − − − −

− − −

−

− − − −

− −

− + − + − +

− −

−

= − +

− +

+ − − +

− +2 1 2 2

1 2 2

9

4

3

5

3

25

94

3

5

3

25

9

= − +

− + −

− −

− −

x y x y

x y x y

6. 6. 6. 6. 6.

( )

( )

a a xa x

axa x

aax a x

a aax ax

a xa x

a xa x

a xa x

aax a x a x

axa x

axa x

4 3 12 2 2 2

21 1

4 21 1

3 12 2

3 12 2

3 12 2

21 1 1

2 2 2 2

9

2

3

2

32

3

9

2

3

2

3

2

3

2

3

2

32

2

32

2

32

+ + − − + + −

− +

= +

+

− − + −

−

− − + = − − +

−− − − −

− −−

−

−−

−− − − −

− −

+ + − −2

32 2 2ax

a x

7. 7. 7. 7. 7.

( )( )

( )( )

9 30 55 50 25 3 5 5

9 6 5 5 30 25

30 55

30 25 6 10 5 5

30 50 25 30 50 25

30 50 25

4 2 2 4 2 2

4 2 2

2

2 2 2 2

2 4 2 4

2 4

m m m m m m

m m m

m

m m m m

m m m m

m m

+ + + + + +

− + = +

+ +

− − + +

+ + = + +

− − −

− − −

− −

− − − −

− −

8. 8. 8. 8. 8. 4

49

2

7

21

20

7

5

49

25

2

7

1

2

7

5

4

49

4

7

1

2

1

2

2

7

21

20

2

7

1

4

2

7

1

4

4

5

7

2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1

2 2 2 2 1 1

1 1 1 1

1 1

1

a b x y abx y xya b x y a b abx y a b xy

a b x y abx y

abx y abx y

abx y

xya b

− − − − − − − − − − − −

− − − −

− − − −

− −

− −

− + − + − +

− −

−

− + = − +

−

−1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1

1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2

5

49

25

4

71

7

5

7

5

4

5

7

5

49

25

4

5

7

5

49

25

+ − +

− + − = − +

− − − − − − − −

− − − − − − − −

x y a b abx y a b xy a b xy

xya b a b x y a b xy a b x y

9. 9. 9. 9. 9.

( )

ab a b b a a b a b a b

ab a b a b

a b

a b a b a b a b

a b

− − − − − −

− − −

−

− − − −

−

− + − + − +

− −

− = − +

− +

+ − − +

− +

23

12

13

13

12 1

23

12

13

12

13

2

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2

1

3

4 6 4 2

2 2 2 4 4

4 6

4 4 2 4

2 4 a b a b a b

a b a b

− − −

− −

= − +

− + −

12

3

1

2

1

3 12

3

1

2

1

3 12

3

2 4

2 4

10. 10. 10. 10. 10.

( )( )

( )( )

a b a b a b a b a b a b

a b a b a b

a b

a b a b a b a b

a b a b a b a b

a b a b

4 4 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2

4 4 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 4 4 2 2 4 4

2 2 4 4

6 7 6 3

2 3 3 6 9

6 7

6 9 2 6

2 6 2 6

2 6

+ + − + + −

− + = +

+ +

− − + − −

− − + = − − +

+ + −

− − − − − −

− − − −

− − − − − − − −

− − − −

11. 11. 11. 11. 11.

( )

xy x y x y x y x y x y

xy x y x y

x y

x y x y x y x y

x y x

23

12

13

12

13 1

23

12

13

12

13

2

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2

1

3 1

8 18 8 4

2 4 4 8 16

8 18

8 16 2 8

2 8

− + − + − +

− −

− = − +

− +

+ − − +

− +

− − − − − −

− − − −

− − − y x y x y

x y x y

− − − − −

− − − −

= − +

− + −

2

3

1

2

1

3 12

3

1

2

1

3 12

3

2 8

2 8

EJERCICIO 231

1. 1. 1. 1. 1. 18 2 3 3 22= ⋅ =

2. 2. 2. 2. 2. 3 48 3 3 2 3 2 3 12 34 2= ⋅ = ⋅ =

3. 3. 3. 3. 3. 16 2 2 2 23 33 3= ⋅ =

4. 4. 4. 4. 4. 1

2128

1

22 2

1

22 2 2 23 63 2 3 3= ⋅ = ⋅ =

5. 5. 5. 5. 5. 2 243 2 3 3 2 3 3 6 34 44 4 4= ⋅ = ⋅ =

6. 6. 6. 6. 6. 50 2 5 5 22 2 2a b a b a b= ⋅ =

7. 7. 7. 7. 7. 3 81 3 9 3 9 273 4 2 2 4 2 2x y x xy xy x xy x= ⋅ = ⋅ =

8. 8. 8. 8. 8. 12

10812

2 3 3

2

23 3 3 3

5 7 2 2 4 6

2 3 2 3

a b a ab b

a b ab a b ab

= ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ =

9. 9. 9. 9. 9. 3

5125

3

55 5

3 5

55 3 56 2 6 3 3mn mn n m n m= ⋅ =

⋅=

10. 10. 10. 10. 10. 2 44 2 2 11

2 2 11 4 11

3 7 9 2 2 6 8

3 4 2 3 4

a a b c a a ab bc c

a ab c abc a b c abc

= ⋅

= ⋅ ⋅ = =

11. 11. 11. 11. 11. 2 16

2 2 2 2 2 2 4 2

2 73

3 2 63 2 23 2 23

x y

x y y y x y y x y= ⋅ = ⋅ =

12. 12. 12. 12. 12. 2

327

2

33

2 3

32

2 83

3 2 6 23 2 2 23 2 2 23

m n

m n n n m n n m n= =⋅

=

13. 13. 13. 13. 13. 5 160

5 2 20

5 2 20 10 20

7 9 133

3 6 9 123

2 3 4 3 2 3 4 3

a x y z

a x xy z z

ax y z xz ax y z xz

= ⋅

= ⋅ =

14. 14. 14. 14. 14. 80 2 5 2 54 5 124 4 4 4 124 3 4a b c a b bc abc b= ⋅ =

15. 15. 15. 15. 15. 3 5 3 5 3 58 14 164 8 12 2 164 2 3 4 24x y z x y y z x y z y= =

16. 16. 16. 16. 16. 2

532

2

52

2 2

5

4

5

2 115

5 2 105 2 252

25

x y

x y y y x yy

x y= =⋅

=

17. 17. 17. 17. 17. 2 128

2 2 2

2 2 2 8 2

2 83

6 2 6 23

2 2 2 23 3 2 23

xy x y

xy x y y

xyy x y xy x y

= ⋅

= ⋅ =

18. 18. 18. 18. 18. 1

327

1

33 3

3

33 3

3 7

2 2 63

3

aa m

aa am m

am

aam m am= ⋅ = =

19. 19. 19. 19. 19. 3

5375

3

55 3

3 5

53

33

83

3 6 232

232

23

xa b

xa a b

a

xa b

a

xa b= ⋅ =

⋅=

20. 20. 20. 20. 20. 1

381

1

33

3

344 4 44 4 4a b a b a b a b= = =

21. 21. 21. 21. 21. ( ) ( )9 18 9 2 3 2 3 22a b a b a b a b+ = + = + = +

22. 22. 22. 22. 22.

( ) ( )3 3

3 1 3 1 3 3

3 2 2 2

2 2

a b a b

a b a ab a ab a

−

= − = − = −

23. 23. 23. 23. 23.

( ) ( )8 16

2 2 2 2 2 2 2 2 4

2 4 4

2 4 2 2 2

x y xy

xy x y x x y x x

+

= ⋅ + = + = +

24. 24. 24. 24. 24.

( ) ( ) ( )2 4 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

x xy y

x xy y x y x y

− +

= − + = − = −

25. 25. 25. 25. 25. ( )( )( )( )( )( ) ( ) ( )

a b a b

a b a b a b

a b a b a b a b

− −

= − − +

= − + = − +

2 2

2

26. 26. 26. 26. 26.

( ) ( ) ( )2 4 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

am amn an

a m mn n a m n m n a

+ +

= + + = + = +

27. 27. 27. 27. 27.

( )( ) ( ) ( )

9 36 36

3 2 4

3 2 3 2 3 6

3 2

2 2

2

a a a

a a a

a a a a a a

− +

= − +

= − = − = −

EJERCICIO 232

1. 1. 1. 1. 1. 15

1 55 5

55

15

52=⋅⋅

= =

2. 2. 2. 2. 2. 3

8

3 2

8 2

6

2

1

26

1

464 2=

⋅⋅

= = =

3. 3. 3. 3. 3. 212

22 12 2

222

22

2 22= ⋅⋅

= = =

4. 4. 4. 4. 4. 316

31 66 6

366

36

612

62=⋅⋅

= = =

5. 5. 5. 5. 5. 1

2

2

3

1

2

2 3

3 3

1

2

6

3

1

2 36

1

662=

⋅⋅

= =⋅

=

6. 6. 6. 6. 6. a

x

a x

x

a

x

x a

x

x a

xx

2 2

2 2 28 2 2 2 2 2

2

2 42=

⋅= = =

7. 7. 7. 7. 7. 3

2

4

27

3

2

3 2

3

3 2

2 33

33

2

3

2 2

4 4 2 2 2

a

y

a y

y

a

yy

a

yy=

⋅=

⋅⋅

=

8. 8. 8. 8. 8. 59

55

3 55

5 35

53

53

2

2 4 2 2

nm

mnm m

mnm

mn=⋅

=⋅

=

9. 9. 9. 9. 9. 65

246

5 6

2 3

6

2 330

230

3

2

3

4 2 2 22a

x

a

x xa a

a

xa=

⋅⋅

=⋅

=

10. 10. 10. 10. 10. 23

2 33

13

183

2

33 3=

⋅=

11. 11. 11. 11. 11. 515

555

55

5 253

2

33 23 3= = =

12. 12. 12. 12. 12. 8

92 33

23

323

3

3 33 3

xx

x xx=

⋅=

13. 13. 13. 13. 13. 21254

25 22

2 52

2 5 225

3 23

3 63

2

23 3b

bb

bb

bb

b b=⋅

=⋅

=

14. 14. 14. 14. 14. 23

2716

23

3 42

2 33 2

41

24

2

2 43

3 2 2

6 3 63

2 22 23

22 23x

a bab xa b ab

ab xab

ab x= ⋅ = ⋅⋅

=

15. 15. 15. 15. 15. 281

42

3 2

2

2 3

24 3 4

2

34

4 2 2 3

4 4 44 2 34 2 34xy

a

x yxy

a xy

x y

xy

xya xy a xy=

⋅=

⋅=

EJERCICIO 233

1. 1. 1. 1. 1. 9 3 3 3 34 2424

12= = = =

2. 2. 2. 2. 2. 4 2 2 2 26 2626

13 3= = = =

3. 3. 3. 3. 3. 27 3 3 3 39 3939

13 3= = = =

4. 4. 4. 4. 4. 16 2 2 2 28 4848

12= = = =

5. 5. 5. 5. 5. 3 64 3 2 3 2 3 2 3 212 6126

1212= = ⋅ = ⋅ =

6. 6. 6. 6. 6. 25

5 5 5 5

2 24

2 2 2424

24

24

12

12

12

a b

a b a b a b ab= = = =

7. 7. 7. 7. 7. 5 49 5 7 5 7 5 72 46 2 2 4613

13

23 23a b a b a b ab= = ⋅ =

8. 8. 8. 8. 8. 81 3 3 34 88 4 4 8812

12x y x y x y y x= = =

9. 9. 9. 9. 9. 32

2 2 2 2 2

10 1510

5 10 151012

32 3 2

x y

x y xy x y x y y xy y= = = = =

10. 10. 10. 10. 10. 64

2 2 2 2 2

6 1812

6 6 181212

12

32 3 2

m n

m n m n mn mn n n mn= = = = =

11. 11. 11. 11. 11. 343

7 7 7 7 7

9 126

3 9 12612

32 2 2 3 2 2 2

a x

a x a x x a x a a ax a= = = = =

12. 12. 12. 12. 12. m n x

m nx n m x n m x x nx m x

10 15 2015

23

43 2 43 2 33 23= = = =

EJERCICIO 234

1. 1. 1. 1. 1. 2 3 2 3 122= ⋅ =

2. 2. 2. 2. 2. 3 5 3 5 452= ⋅ =

3. 3. 3. 3. 3. ( )5 5 252 2a b a b a b= =

4. 4. 4. 4. 4. 1

22

1

22

2

4

1

2

2

=

⋅ = =

5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )3 2 3 2 9 2 182 2 2 2 2 4a a a a a a a= ⋅ = =

6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( )5 3 5 3 25 3 752 2 2 4 2 4 2x y x y x y x y= = =

7. 7. 7. 7. 7.

( ) ( ) ( )( )ab a b

ab a b a b a b a b

2 23

2 3 23 3 6 23 5 73= = =

8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( ) ( )( )4 2 4 2 64 2 12823 3 23 3 23 53m m m m m m m= = =

9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ) ( )( )2 8 2 8 16 8 12834 4 34 4 34 5 34a ab a ab a ab a b= = =

10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( ) ( ) ( )( )a ba

a b

a b a

a ba b a a ab+

+=

++

= + = +2

2

11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( ) ( )xx

x

x x

xx x x x+

+=

++

= + = +12

1

1 2

11 2 2 2

2

2

12. 12. 12. 12. 12. ( )

( ) ( ) ( )( )

xx

x

x x

xx x x x

−−−

=− −

−= − − = − +

12

1

1 2

11 2 3 2

2

2

EJERCICIO 235

1. 1. 1. 1. 1. 5 5 125

2 2 4

36 6

3 26 6

= =

= =

2. 2. 2. 2. 2. 2 2 4

3 3

24 4

4 4

= =

=

3. 3. 3. 3. 3. 3 3 729

4 4 256

8 8 512

612 12

3 412 12

4 312 12

= =

= =

= =

4. 4. 4. 4. 4. 2 2 64

3 3 81

5 5 125

7 7 49

612 12

3 412 12

4 312 12

6 212 12

= =

= =

= =

= =

5. 5. 5. 5. 5. ( )

( )5 5 125

4 4 16

7 7

36 36

23 2 26 4 26

36 36

x x x

x y x y x y

a b a b

= =

= =

=

6. 6. 6. 6. 6. ( )

( )2 2 32

3 3 27

5 5

3 515 5 515

25 2 315 6 315

3 215 3 215

ab ab a b

a x a x a x

a x a x

= =

= =

=

7. 7. 7. 7. 7. ( )( )

8 8 512

3 3 9

2 34 2 3 312 6 912

5 46 5 4 212 10 812

a x a x a x

a m a m a m

= =

= =

8. 8. 8. 8. 8. ( )( )( )

x x x

y y y

m m m

23 2 618 1218

36 3 318 918

79 7 218 1418

2 2 8

5 5 25

= =

= =

= =

9. 9. 9. 9. 9. ( )

( )( )

3 3 243

2 2 16

7 7 49

4 520 520

25 2 420 820

310 3 220 620

a a a

b b b

x x x

= =

= =

= =

10. 10. 10. 10. 10.

( )

( )

2 2 2

3 2 3 2 3 64

4 5 4 5 4 125

3 412 412

612 612

24 2 312 612

a a a

b b b

x x x

= =

= =

= =

11. 11. 11. 11. 11. ( )( )

( )

3 3 3

1

2

1

2

1

2

4 4 4

23 2 618 1218

36 3 318 918

59 5 218 1018

a a a

b b b

x x x

= =

= =

= =

12. 12. 12. 12. 12. ( )

( )2 2 32

3 3 3

2 2

510 510

3 45 3 4 210 6 810

7 210 7 210

m m m

a x a x a x

x y x y

= =

= =

=

EJERCICIO 236

1. 1. 1. 1. 1. 5 5 125

2 2 4

5 2

36 6

3 26 6

3

= =

= =

Luego el orden es: ,

2. 2. 2. 2. 2. ( )15 15 225

7 7 343

7 15

6 212 12

4 312 12

4 6

= =

= =

Luego el orden es: ,

3. 3. 3. 3. 3. ( )

( )

11 11 1 331

43 43 1 849

43 11

36 6

3 26 6

3

= =

= =

.

.

: ,Luego el orden es

4. 4. 4. 4. 4. 3 3 27

5 5 25

32 32

32 3 5

36 6

3 26 6

6 6

6 3

= =

= =

=

Luego el orden es: , ,

5. 5. 5. 5. 5. 3 3 243

4 4 256

15 15 225

4 3 15

4 520 20

5 420 20

10 220 20

5 4 10

= =

= =

= =

Luego el orden es: , ,

6. 6. 6. 6. 6. 2 2 64

3 3 27

9 9 81

9 2 3

3 618 18

6 318 18

9 218 18

9 3 6

= =

= =

= =

Luego el orden es: , ,

EJERCICIO 237

1.1.1.1.1. ( )7 2 15 2 7 15 2 8 2− = − = −

2. 2. 2. 2. 2. ( )4 3 20 3 19 3 4 20 19 3 3 3− + = − + =

3. 3. 3. 3. 3. ( )5 22 5 8 5 1 22 8 5 29 5− − = − − = −

4. 4. 4. 4. 4. ( )2 9 2 30 2 40 2 1 9 30 40 2 18 2− + − = − + − = −

5. 5. 5. 5. 5. 3

42

1

22

3

4

1

22

3 2

42

1

42− = −

=

−

=

6. 6. 6. 6. 6. 3

53 3

3

51 3

3 5

53

2

53− = −

=

−

= −

7. 7. 7. 7. 7. 2 51

25

3

45

21

2

3

45

8 2 3

45

9

45

− +

= − +

=

− +

=

8. 8. 8. 8. 8. 1

43 5 3

1

83

1

45

1

83

2 40 1

83

41

83

+ −

= + −

=

+ −

=

9. 9. 9. 9. 9. ( )a b a b a b a a a b a b− + = − + =3 7 3 7 5

10. 10. 10. 10. 10. ( )( )

3 2

3 2

x y a x y x y

x a x x y a y

+ − −

= + − − =

11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( )( )

x x

x x x

− + − +

= − + − + =

1 3 3 3 4 3

1 3 4 3 2 3

12. 12. 12. 12. 12. 1

32

2

32 2 2

1

3

2

32 2

1 2 6

32

5

32

3 3 3

3 3 3

− +

= − +

=

− +

=

13. 13. 13. 13. 13. 3

52

1

42

1

62

36 15 10

602

31

6023 3 3 3 3− + =

− +

=

14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( )( )

x a a x a a x a

x a x a x a a a

23 23 23

23 23

2 2 3

2 2 3

− − + −

= − + + − =

EJERCICIO 238

1. 1. 1. 1. 1.

( )

45 3 5 3 5

27 3 3 3 3

20 2 5 2 5

3 5 3 3 2 5

3 2 5 3 3 5 3 3

2

2

2

= ⋅ =

− = − ⋅ = −

− = − ⋅ = −

= − −

= − − = −

Entonces:

2. 2. 2. 2. 2.

( ) ( )

175 5 7 5 7

243 3 3 9 3

63 3 7 3 7

2 75 2 5 3 10 3

5 7 9 3 3 7 10 3

5 3 7 9 10 3 2 7 3

2

4

2

2

= ⋅ =

= ⋅ =

− = − ⋅ = −

− = − ⋅ = −

= + − −

= − + − = −

Entonces:

3. 3. 3. 3. 3.

( )

80 2 5 2 5 4 5

2 252 2 2 3 7 2 2 3 7 12 7

3 405 3 3 5 3 3 5 27 5

3 500 3 2 5 5 3 2 5 5 30 5

4 5 27 5 30 5 12 7

4 27 30 5 12 7 5 12 7

4 2

2 2

4 2

2 2

= ⋅ = =

− = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −

= ⋅ = ⋅ =

− = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −

= + − −

= + − − = −

Entonces:

4. 4. 4. 4. 4.

( ) ( )

7 450 7 3 5 2 7 3 5 2 105 2

4 320 4 2 5 4 2 5 32 5

3 80 3 2 5 3 2 5 12 5

5 800 5 2 2 5 5 2 5 2 100 2

105 2 100 2 32 5 12 5

105 100 2 32 12 5 5 2 20 5

2 2

6 3

4 2

4 2 2

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

− = − ⋅ = − ⋅ = −

= ⋅ = ⋅ =

− = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −

= − − +

= − + − + = −

Entonces:

5. 5. 5. 5. 5.

( )

1

212

1

22 3 3

1

318

1

33 2 2

3

448

3

42 3 3 3

1

672

1

62 2 3 2

3 3 3 2 2 1 3 3 4 3

2

2

4

2 2

= ⋅ =

− = − ⋅ = −

= ⋅ =

= ⋅ ⋅ =

= + − + = + =

Entonces:

6. 6. 6. 6. 6.

( ) ( )

3

4176

3

42 11

2 3

411 3 11

2

345

2

33 5

2 3

35 2 5

1

8320

1

82 5

2

85 5

1

5275

1

55 11

5

511 11

3 11 11 2 5 5

3 1 11 2 1 5 4 11 5

42

2

63

2

= ⋅ =⋅

=

− = − ⋅ = −⋅

= −

= ⋅ = =

= ⋅ = =

= + − +

= + − + = −

Entonces:

7. 7. 7. 7. 7.

( )

1

7147

1

73 7 3

1

5700

1

52 5 7 2 7

1

1028

1

102 7

1

57

1

32 187

1

33 3 9 3

3 9 3 2 71

57

1 9 3 21

57

10 39

57

2

2 2

2

6

= ⋅ =

− = − ⋅ ⋅ = −

= ⋅ =

= ⋅ =

= + − +

= + + − +

= −

.

:Entonces

8. 8. 8. 8. 8. 1

3

3

3

1

33

1

2

2

2

1

22

3

4

3

2

1

23

1

33

1

23

1

22

1

3

1

23

1

22

5

63

1

22

2

2

2

= =

− = = −

= =

= + −

= +

−

= −

Entonces:

9. 9. 9. 9. 9. 95

3 55

35

5

1

6

6

6

1

66

1

20

5

2 5

1

105

6 6

35

51

105

16

6 6

35

110

516

1 6

1

25

5

66

2

2

2

2 2

=⋅

=

− = − =−

− = −⋅

= −

=

= − − +

= −

+ − +

= +

Entonces:

10. 10. 10. 10. 10. 53

35

53

155

13

15

1

2

3

4

1

2

3

2

1

43

51

155

15

3 5

1

315

31

123

3

2 3

1

23

1

315

1

315

1

43

1

23

1

4

1

23

1

43

2

2

2 2

2 2

= =

− = − = −

− = −⋅

= −

=⋅

=

= − − +

= − +

=

Entonces:

11. 11. 11. 11. 11.

( )

5 128 5 2 2 40 2

1

3

1

3

1

3

3

3

1

93

5 98 5 7 2 35 2

1

27

3

3

1

93

40 2 35 21

93

1

93

40 35 2 5 2

6

2

2

4

= ⋅ =

− = − = −

− = − ⋅ = −

= =

= − − +

= − =

Entonces:

12. 12. 12. 12. 12.

( )

2 700 2 2 5 7 20 7

151

4515

5

3 55

45

164

5

25

561

756

7

78 7

20 7 8 7 5 5

20 8 7 12 7

2 2

2 2

4

2

= ⋅ ⋅ =

− = −⋅

= −

= =

− = − = −

= − − +

= − =

Entonces:

13. 13. 13. 13. 13.

( )

25 5 5

49 7 7

9 3 3

5 3 7

5 3 7

2 7

2 2 2

2

2 2 2

ax ax x a

b b b

ax ax x a

entonces

x a x a b

x x a b

x a b

= =

= =

− = − = −

= − +

= − +

= +

:

14. 14. 14. 14. 14.

( ) ( )

2 2

9 3 3

16 2 4

4 2 2

2 3 4 2

2 3 4 2

2

2

2 2 2

2 4 2

2 2 2

m n m n

m n m n m n

mn mn n m

mn mn n m

Entonces

m n m n n m n m

m m n n n m

m n n m

=

− = − = −

= =

− = − = −

= − + −

= − + −

= − +

:

15. 15. 15. 15. 15.

( )

( )( )

a x a x a x

a x a x

a b x

Entonces

a x a x a b x

a a a b x b x

320 2 5 8 5

7 5 7 5

4 5

8 5 7 5 4 5

8 7 4 5 4 5

6

2

= ⋅ =

− = −

− −

= − − −

= − − + =

:

16. 16. 16. 16. 16. ( )( )

( )

9 9 3 1 3 1

4 4 2 1 2 1

5 1

3 1 2 1 5 1

3 2 5 1 0

2

2

x x x

x x x

x

Entonces

x x x

x

− = − = −

− = − = −

− −

= − + − − −

= + − − =

:

17. 17. 17. 17. 17. ( )( )( )

( )

2 3 2 3 2 3

9 27 3 3 3 3

25 75 5 3 5 3

2 3 3 3 5 3

2 3 5 3 4 3

4 4 4 2

2 2 2 2

4 4 2 4 2

2 2 2

2 2 2 2

a x a y a x y a x y

a x y a x y a x y

a x a y a x y a x y

Entonces

a x y a x y a x y

a a a x y a x y

+ = + = +

− + = − + = − +

+ = + = +

= + − + + +

= − + + = +

:

18.18.18.18.18.

( )

( ) ( ) ( )

( )

31 3

1 3 1

4 4 2 1 2 1

11

11

1

11

3 1 2 1 1 3 2 1 1 2 1

2

2

2

aa

a

a

aa a

a a a

aa

aa

aa

Entonces

a a a a a

+= + = +

− + = − + = − +

++

= ++

+= +

= + − + + + = − + + = +

:

19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

a ba b

a ba b

a b

a ba b

a ba b

a ba b

a b

a ba b

a ba b

a ba b

a ba b

entonces

a b a b a b a b

−+−

= −−

−= −

− +−+

= − +−

+= − −

−−

= −−

−= −

= − − − + − = −

2 2

22 2

2 2

22 2

2

2 2 2 2

2 21

2 2

2 2

:

EJERCICIO 239

1. 1. 1. 1. 1. 54 3 2 2

24 2 3 2 3

16 2 2 2 2

3 2 2 2 2 3 2 2 3

3 33 3

3 33 3

3 33 3

3 3 3 3 3

= ⋅ =

− = − ⋅ = −

− = − ⋅ = −

= − − = −

Entonces:

2. 2. 2. 2. 2.

( )

40 2 5 2 5

1 029 7 3 7 3

625 5 5 5 5

2 5 5 5 7 3

2 5 5 7 3 7 3 3 5

3 33 3

3 33 3

3 33 3

3 3 3

3 3 3 3

= ⋅ =

= ⋅ =

− = − ⋅ = −

= − +

= − + = −

.

:Entonces

3. 3. 3. 3. 3.

( ) ( )

2 250 2 5 2 10 2

4 24 4 2 3 8 3

6 16 6 2 2 12 2

2 187 3 3 9 3

10 2 12 2 9 3 8 3

10 12 2 9 8 3 3 2 2

3 33 3

3 33 3

3 33 3

3 63 3

3 3 3 3

3 3 3 3

= ⋅ =

− = − ⋅ = −

− = − ⋅ = −

= ⋅ =

= − + −

= − + − = −

.

:Entonces

4. 4. 4. 4. 4.

( ) ( )

5 48 5 2 6 10 6

3 3 645 3 3 5 27 5

2 384 2 2 6 8 6

4 1 715 4 7 5 28 5

10 6 8 6 27 5 28 5

10 8 6 27 28 5 2 6 5

3 33 3

3 63 3

3 63 3

3 33 3

3 3 3 3

3 3 3 3

= ⋅ =

− = − ⋅ = −

− = − ⋅ = −

= ⋅ =

= − − +

= − + − + = +

.

.

:Entonces

6. 6. 6. 6. 6.

( ) ( )

1

224

1

22 3 3

2

354

2

33 2 2 2

3

5375

3

55 3 3 3

1

4128

1

42 2 2

3 3 3 2 2 2

1 3 3 2 1 2 4 3 3 2

3 33 3

3 33 3

3 33 3

3 63 3

3 3 3 3

3 3 3 3

= ⋅ =

− = − ⋅ = −

= ⋅ =

− = − ⋅ = −

= + − −

= + + − − = −

Entonces:

5. 5. 5. 5. 5. 81 3 3 3 3

3 375 3 5 3 15 3

686 7 2 7 2

2 648 2 2 3 3 12 3

3 3 12 3 15 3 7 2 7 2

3 33 3

3 33 3

3 33 3

3 3 33 3

3 3 3 3 3

= ⋅ =

− = − ⋅ = −

= ⋅ =

= ⋅ ⋅ =

= + − + =

Entonces:

7. 7. 7. 7. 7.

( ) ( )

3

5625

3

55 5 3 5

3

2192

3

22 3 6 3

1

71 715

1

77 5 5

3

81 536

3

82 3 3 3

3 5 5 6 3 3 3

3 1 5 6 3 3 4 5 9 3

3 33 3

3 63 3

3 33 3

3 93 3

3 3 3 3

3 3 3 3

= ⋅ =

− = − ⋅ = −

= ⋅ =

− = − ⋅ = −

= + − −

= + + − − = −

.

.

:Entonces

8. 8. 8. 8. 8.

1

4

2

2

1

22

1

3

9

3

1

39

2

27

2

3

1

32

1

22

1

32

1

39

1

2

1

32

1

39

1

62

1

39

33

3 3

33

3 3

33

3 3

3 3 3

3 3 3 3

= =

= =

− = − = −

= − +

= −

+ = +

Entonces:

9. 9. 9. 9. 9. 61

246

9

2 39

1

25

5

5

1

55

25

642

5

2 2

1

25

1

52

1

25 9

1

5

1

25 9

3

105 9

33 3

3 3

33

3 3

33 3

3 3

3 3 3

3 3 3 3

=⋅

=

= =

− = −⋅

= −

= − +

= −

+ = − +

Entonces:

10. 10. 10. 10. 10. 71

497

7

77

1

16

4

2

1

44

1

2

4

2

1

24

27

82

7

27

1

44

1

24 7 7

1

4

1

24

3

44

33

3 3

36

3 3

33

3 3

33

3 3

3 3 3 3 3 3

= =

= =

= =

− = − = −

= + + − = +

=

Entonces:

11. 11. 11. 11. 11. 2

3135

2

33 5 2 5

1

2

1

32

1

2

2

2

1

82

7

4

1

4

7

4

2

2

7

82

201

20020

5

2 52 5

2 5 2 51

82

7

82

1

8

7

82 2

3 33 3

36

3 3

33

3 3

33 3

3 3

3 3 3 3 3 3

= ⋅ =

= =

= =

− = −⋅

= −

= − + + = +

=

Entonces:

12. 12. 12. 12. 12. ( )( )

( )

( )

3 24 3 2 3 6 3

4 81 4 3 3 12 3

375 5 3 5 3

6 3 12 3 5 3

6 12 5 3 11 3

33

3 3

33

3 3

33

3 3

3 3 3

3 3

− = − ⋅ =−

− − = − − ⋅ =

− − = − − ⋅ =

= − + +

= − + + =

Entonces:

13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

4 320 4 2 5 16 5

10 40 10 2 5 20 5

2 54 2 3 2 6 2

3 1 024 3 2 2 24 2

16 5 20 5 6 2 24 2

16 20 5 6 24 2

4 5 18 2

3 63 3

3 33 3

3 33 3

3 93 3

3 3 3 3

3 3

3 3

− = − = −

− − = − − = − −

− − = − − =− −

− = − = −

= − − − − − + −

= − − + − + −

= − − + −

.

:Entonces

14. 14. 14. 14. 14.

( )

( )( )

3 2 3 2

128 2 2 4 2

4 3 2

3 2 4 2 4 3 2

3 4 4 3 2 0

33 3

3 63 3

3

3 3 3

3

a a

b b b

b a

Entonces

a b b a

a b b a

=

− = − ⋅ = −

−

= − + −

= − + − =

:

15. 15. 15. 15. 15.

( )

a b a b a b

ab b a

a b a b

b a

Entonces

a b a b b a b a

b b a b a

250 5 2 5 2

3 3

5 2 5 2

3 3

5 2 5 2 3 3 3

3 3 2 3

3 33 3

33 3

33 3

3

3 3 3 3

3 3

= =

− = −

− = −

− − +

= − + =

:

EJERCICIO 240

1. 1. 1. 1. 1. 3 6 18 3 2 3 22⋅ = = ⋅ =

2. 2. 2. 2. 2. 5 21 2 3 10 63 10 3 7 30 72⋅ = = ⋅ =

3. 3. 3. 3. 3. 1

214

2

721

1

7294

1

77 6 62⋅ = = ⋅ =

4. 4. 4. 4. 4. 12 9 108 3 4 3 43 3 3 33 3⋅ = = ⋅ =

5. 5. 5. 5. 5. 5

615 12 50 10 750 10 5 6 50 63 3 3 33 3⋅ = = ⋅ =

6. 6. 6. 6. 6. x aa

ax

aa x2

15 10 102⋅ = =

7. 7. 7. 7. 7. 5 12 3 75 15 900 15 2 3 5 4502 2 2⋅ = = ⋅ ⋅ =

8. 8. 8. 8. 8. 3

49 8 3 6 27 6 3 1823 3 33 33 3a ab a b a b a b⋅ = = =

9. 9. 9. 9. 9. 3 6 14 2 35 6 2 940 6 2 7 15 84 152 2⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ =.

10. 10. 10. 10. 10. 1

221

2

342

3

722

1

719 404

1

72 7 3 11 6 112 2 2

⋅ ⋅

= = ⋅ ⋅ ⋅ =.

11. 11. 11. 11. 11. 3 451

615 4 20 2 13 500 2 5 3 4 30 43 3 3 3 3 33 3⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ =.

12. 12. 12. 12. 12. 5

6

7

8

3

5

4

7

1

2

1

2

1

2

2

2

1

422⋅ = = =

13. 13. 13. 13. 13. 2 3

2

1 3 3 323 2x

a xa x

x

a x

ax

a axax⋅ = = =

14. 14. 14. 14. 14. 13

62

22

22 2

22 3 4 2

xy y

xy

xyy y

xy⋅ = = =

EJERCICIO 241

1. 1. 1. 1. 1. 2 3

2

4 6

2 6

−

= −

= −

2. 2. 2. 2. 2. 7 5 5 3

2 3

14 15 10 9

14 15 30

+

= +

= +

3. 3. 3. 3. 3.

( )( )

2 3 5 5 2

4 15

8 45 4 75 20 30

4 2 3 5 5 3 5 30

4 6 5 5 3 5 30

2 2

+ −

= + −

= ⋅ + ⋅ −

= + −

4. 4. 4. 4. 4. 2 3

2 2 3

4 6

2 6 2 9

4 6 2 9

2 6 6

6 4

−

+

−

+ −

= + −

= + −

= −

5. 5. 5. 5. 5. 5 5 3

2 5 3 3

2 25 10 15

3 15 15 9

2 25 13 15 15 9

10 13 15 45

55 13 15

+

+

+

+ +

= + +

= + +

= +

6. 6. 6. 6. 6. 3 7 2 3

5 3 4 7

15 21 10 9

8 21 12 49

7 21 10 9 12 49

7 21 30 84

7 21 54

−

+

−

− +

= − +

= − +

= +

7. 7. 7. 7. 7. a x

a x

a ax

ax x

a ax x

a ax x

−

+

−

+ −

= − −

= − −

2

3

3 6

2

3 5 2

3 5 2

2

2

2 2

8. 8. 8. 8. 8. 7 5 11 7

5 5 8 7

35 25 55 35

56 35 88 49

35 25 111 35 88 49

175 111 35 616

791 111 35

−

−

−

− +

= − +

= − +

= −

9. 9. 9. 9. 9. 2 3 5

2 3

4 6 10

6 9 15

4 10 9 15

2 10 3 15

10 15 1

+ +

−

+ +

− − −

= + − −

= + − −

= − −

10. 10. 10. 10. 10. 2 3 3 5

2 2 3 5

4 3 6 10

2 6 6 9 2 15

10 3 15 25

4 6 6 9 5 15 25

2 6 18 5 15 5

5 15 6 21

− +

+ −

− +

+ − +

− + −

= − − + −

= − − + −

= − −

11. 2 3 6 5

3 6 3 5

2 9 18 15

2 18 36 30

6 15 3 30 3 25

2 9 3 2 7 15 36 2 30 3 25

6 3 2 7 15 6 2 30 15

7 15 3 2 2 30 15

2

− +

+ +

− +

+ − +

+ − +

= + ⋅ + − − +

= + + − − +

= + − +

12.

( )( )

a a

a a

a a a

a a a

a a a a

a a a a

a a a

+ +

+ +

+ +

+ + + +

= + + + +

= + + + +

= + + +

1

2 1

2 2 1

3 2 1

3 2 2

3 3 2

2 2

2 2

2 2 2

2

2

13.

( )( )

2 3

3

6 9

2 3

6 7 3

6 7 3 3

3 3 7

2 2

2 2

2 2 2

2

2

a a b

a a b

a a ab

a ab a b

a a ab a b

a a ab a b

a b a ab

− −

+ −

− −

− − −

= − − − −

= − − − +

= + − −

14.

( )

1

2 1

2 1 2

1 1

3 1 2 1

3 1 1

2

2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

− +

+ −

− +

− + −

= − + + −

= − + +

x x

x x

x x x

x x x

x x x x

x x x

15.

( )( )

a a

a a

a a

a a

a a a

a a

+ + −

+ + −

+ + −

+ − + −

= + + − + −

= + − −

1 1

1 2 1

1 1

2 1 2 1

1 3 1 2 2

3 3 1 1

2 2

2 2

2

2

16.

( )

( )

2 2 2

2 3

2 2 2 2

6 2 6

2 2 8 2 6

2 4 8 2 6

2 10 8 2

2

2

x

x

x x

x

x x

x x

x x

+ −

+ −

+ − +

− + +

= + − + +

= + − + +

= + − +

17.

( )( )

3 2

2 3

6 4

9 6

6 5 6

6 5 6 6

5 6

2 2

2 2

2 2 2

2

2

a a x

a a x

a a ax

a ax a x

a a ax a x

a a ax a x

a ax x

− +

+ +

− +

+ + − +

= + + − +

= + + − −

= + −

18.

( )( )

( ) ( )

a x a x

a x a x

a x a x

a x a x

a x a x a x

a x a x a x

a x a x

+ − −

+ − −

+ − −

− − + −

= + − − + −

= + − − + −

= − − −

2

2 2

3 2

3 2 2

3 3

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

EJERCICIO 242

1. 1. 1. 1. 1.

( )x x

x x x

x x x

x x

x x

=

= =

⋅ =

=

=

36

23 2 26 46

36 46 76

66

6

2 2 4

4 4

4

4

2. 2. 2. 2. 2. ( )3 2 3 2 3 4

3 4 4 8 12 32

12 2 2

24 2

24 2 24

2 24 34 5 24

4 4 24

24

ab ab a b

a b a a b

a ab

a ab

= =

⋅ =

= ⋅

=

3. 3. 3. 3. 3. ( )9 9

81

81 81 6 561

3 3

3 9

23 2 26

4 26

4 26 56 9 26

6 2 6 3 26

3 26

x y x y

x y

x y x x y

x x y

x x y

=

=

⋅ =

= ⋅

=

.

4. 4. 4. 4. 4. ( )

( )

a b a b

a b

a b a b

a b

a b a b a b

a a b

a a b

2 23 2 2 412

8 812

34 3 312

9 312

8 812 9 312 17 1112

12 5 1112

5 1112

2 3 2 3

2 27

2 27 2 27

2 27

2 27

=

=

=

=

⋅ =

=

=

5. 5. 5. 5. 5. ( )

( )

25 25

15 625

125 125

15 625

15 625 15 625

244 140 625

5 5

2 34 2 3 312

6 912

26 2 212

412

6 912 412

10 912

12 10 912 10 912

x y x y

x y

x x

x

x y x

x y

x y x y

=

=

=

=

⋅

=

= =

.

.

. .

. .

6. 6. 6. 6. 6. ( )

( )

2

34

2

34

2

34

3

416

3

44

3

44

2

34

3

44

1

24

1

22

1

22 2

2 128

23 2 515

5 1015

45 2 4 315

6 12 315

5 1015 6 12 315

11 22 315

22 22 315

15 7 15 7 315

7 7 315 7 315

m m

m

m n m n

m n

m m n

m n

m n

m m n

m mn m mn

=

=

=

=

⋅

=

=

= ⋅

= =

7. 7. 7. 7. 7.

( )

1

2

1

2

1

8

2

8 8

8

21

28

3

63

6

3 2 26 46

3

6 46 66

6

6

x x x

x x

xx

x x

x

=

=

= =

⋅ = =

=

−

8. 8. 8. 8. 8. ( )

( )

( ) ( )

2 2 2

4 2 2

2 21

16

2 2

2

2 2 2 2

510 5 510

5 2 210 4 210

5 510 4 210

210

5 4 2 5

4 210

5 5105

10

1

2

x x x

x x x

x xx

x x

x

x x x x

= =

= =

⋅ ⋅

=⋅

= = = =

9. 9. 9. 9. 9. 2

3

2 2

3

2 2

3

8

3

8 4

3

8 2

3

8 2

2

3

2 3

8 2

1

4 2

1

4

2

2

1

832

3

6

3

36

2

23

2

2 2

2

6

4

4 46

3 3

36

4

4 46

6

5 5

6 66 5

b

a

b

a

b

a

a

b

a

b

a

b

b

a

a

b

a

b

ab

b bab

=

=

=

=

⋅

= = =

10. 10. 10. 10. 10.

( ) ( )

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2

1

3

3

2

1

9

3

2

1

9

3

2

1

3

1

2

1

3

3

2

1

3243

3

4

3

3

3

4

1

9

3

4

3

31

43

1

43

1

43

1

49

3

63

6

3

2

64

6

36

46 6

5

76

6

4

66

4

6

2

3 23 3

=

=

=

=

⋅ ⋅

=

=

=

= = = =EJERCICIO 243

1. 1. 1. 1. 1. 4 6

2 32

63

2 2= =

2. 2. 2. 2. 2. 2 3

10

15

3 15

3a

a

aa

= =

3. 3. 3. 3. 3.

12

3

34

46

3 23

3xy

x

xyx

y= =

4. 4. 4. 4. 4. 75

5 3

1

5

75

3

1

525

1

55

2 3 2 32 2 2x y

xy

x y

xyxy xy y x= = = =

5. 5. 5. 5. 5. 3 16

4 2

34

162

34

834

232

53

23

5

23 33 3 33a

a

aa

a a a= = = =

6. 6. 6. 6. 6.

56

12

103

23

1560

1223

14

34

14

32

18

32= = = =

7. 7. 7. 7. 7. 4

22 2 2 2

3 2

2 3

3 2

2 3 2

x a x

a xx

a xa x

xax

xaxx

ax= = = =

8. 8. 8. 8. 8.

23

3

63

21

2 2

23

233

2 2

33 2 3 2

2

33 23

ax

ax

x

axa

xx

xx

xxx

x x= = = =9. 9. 9. 9. 9.

13

12

16

13

63

1213

232

23 22

12

3

3

3 3

2

33 3= = =

⋅=

EJERCICIO 244

1. 1. 1. 1. 1. 2 2

2 2

2

2

2

2

1

2

2

2

1

232

3 26

36

26

36

2

36 6

5

66 6

=

=

= = = = =

2. 2. 2. 2. 2. ( )( )

9 3 3 3

3 3 9

3

93

93

1

93

3

3

181

2 36 6 36 36

23 2 26 46

36

46

3

46 6

4 5

6 66 56

x x x x

x x x

x

x

x

x x

x

x xx

= = =

= =

= = = = =

3. 3. 3. 3. 3. ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

8 2 2 2

4 4 2

2

2

22

22 2

2 2

2 2 2 2

2 2 4

4 2 8

33 3 3 412 12 12 412 412

24 2 312 6 612

412

6 612

6 6 4

12 1212 4 2 4 2 412

412

212

13

16 3 6

3 26 2 26

2 26 6 3 26

a b a b a b a b

a a a

a b

a

aa b

aa a b

ab a

ab a ab a

ab ab a b

a b a a b

= = =

= =

=

= = ⋅

= ⋅

= ⋅ = ⋅

⇒ = =

= ⋅ =

4. 4. 4. 4. 4. ( )1

22

1

22

1

22

12

2

14

22

1

22

2

2

132

36 3 36

3 36

4 46

6

5 5

6 66 56

x x x

x

xx

x

x xx

= =

= = =

5. 5. 5. 5. 5. ( )( )

5 5 5

5 5 5 13 125

23 2 515 5 10 515

3 25 3 2 315 9 615

5 10 515

9 615

515

5 14

1515 1415

m n m n m n

m n m n m n

m n

m n

m

n

mn

n nmn

= =

= =

= = = = .

6. 6. 6. 6. 6. ( )( )

18 3 2 3 2

3 3 3

3 2

312

3 4 56 2 3 4 5 212 4 2 6 8 1012

2 2 34 2 2 3 312 3 6 6 912

4 2 6 8 1012

3 6 6 912

212

x y z x y z x y z

x y z x y z x y z

x y z

x y zy z

= ⋅ = ⋅

= =

=⋅

=

7. 7. 7. 7. 7. ( )3 3 27 27

27

27

43 4 39 129 39

39

29

9

m m m m m

m m

mm m

= = =

= =

8. 8. 8. 8. 8. ( )

( )

4

54

4

52

4

52

1

102

1

102

1

102

45

2

110

28

28

2 82

3 2 26 4 2 26

2 2 36 3 66

4 2 26

3 66

2

46

2 2

66 2 26

ab ab a b

a a a

a b

a

b

a

a b

a aa b

= =

= =

= = = =

EJERCICIO 245

1. 1. 1. 1. 1. ( )4 2 4 2 16 2 322 2 2= = ⋅ =

2. 2. 2. 2. 2. ( )2 3 2 3 4 3 122 2 2= = ⋅ =

3. 3. 3. 3. 3. ( )5 7 5 7 25 7 1752 2 2= = ⋅ =

4. 4. 4. 4. 4. ( )2 4 2 2 4 2 2 8 232 2 43 33 3= = ⋅ =

5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )3 2 3 2 81 2 2 162 2234

4 2 43 3 3 3 2 33 2 2a b a b a a a b b a b a b= = ⋅ ⋅ =

6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( ) ( )

( )

8 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

342

3 3 24 4 2 4 24 2 242

4

1

2

x x x x x x x x

x x x x

= = ⋅ = =

= =

7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( )81 3 3 3 3 9 9353

4 3 35 5 5 2 3 5 45 3 45ab ab a b b b a b= = ⋅ ⋅ =

8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( ) ( )18 18 18 18 18 3 2 3 263 36

3

6

1

2 2= = = = = ⋅ =

9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ) ( ) ( )4 2 4 2 16 2 322 2 2 2 2a x a x a x a x= = =

10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( ) ( )2 1 2 1 4 1 4 42

2 2x x x x+ = + = + = +

11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( ) ( )3 3 9 9 92

2 2x a x a x a x a− = − = − = −

12. 12. 12. 12. 12. ( )( )

( ) ( )

4 9

4 3

64 3

192

192 192 192

3 463

3 2 3 4 36

6 6 3 6 66

2 36

236 2

12 2

a b

a b

a a b b

ab a

ab a ab a ab a

=

=

=

= = =

13. 13. 13. 13. 13. ( )2 3 2 2 2 3 3

2 2 6 3 5 2 6

2 2 2− = − +

= − + = −

14. 14. 14. 14. 14. ( )4 2 3 4 2 2 4 2 3 3

32 8 6 3 35 8 6

2 2 2 2+ = + ⋅ +

= + + = +

15. 15. 15. 15. 15. ( )5 7 5 2 5 7 7

5 2 35 7 12 2 35

2 2 2− = − +

= − + = −

16. 16. 16. 16. 16. ( )5 7 6 5 7 2 5 6 7 6

175 60 7 36 211 60 7

2 2 2 2− = − ⋅ ⋅ +

= − + = −

17. 17. 17. 17. 17. ( ) ( )x x x x x x

x x x x

x x x

+ − = + − + −

= + − + −

= + − −

1 2 1 1

2 1

2 2 1

22 2

2

2

18. 18. 18. 18. 18. ( )( )

x x

x x x x

x x x x x x x

+ −

= + − ⋅ + +

= + − + + = + − +

1 4

1 2 4 1 4

1 8 16 17 1 8

2

2 2 2

2 2

19. 19. 19. 19. 19. ( )( ) ( )a a

a a a a

a a a a a

+ − −

= + − + − + −

= + − − + − = − −

1 1

1 2 1 1 1

1 2 1 1 2 2 1

2

2 2

2 2

20. 20. 20. 20. 20. ( )( ) ( )

( )

2 2 1 2 1

2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1

4 2 1 4 4 1 2 1

8 4 4 4 1 2 1

10 3 4 4 1

2

2 2 2

2

2

2

x x

x x x x

x x x

x x x

x x

− + +

= − + ⋅ − + + +

= − + − + +

= − + − + +

= − + −

EJERCICIO 246

1. 1. 1. 1. 1. ( )a a a a a23 262

6

1

3 3= = = =

2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )8 8 2 2 23 636

12= = = =

3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )81 3 3 3 34 4848

12= = = =

4. 4. 4. 4. 4. 3 34a a=

5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )4 2 2 2 223 2 262

6

1

3 3a a a a a= = = =

6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 23 23 363

6

1

2= ⋅ = = = =

7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( )25 5 5 5 524 2 282

8

1

4 4a a a a a= = = =

8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( )27 3 3 3 3343 3 3123

12

1

4 4a a a a a= = = =

9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( )3 3 3 3 3 3 3 3 275 55 6106

10

3

5 35 5= ⋅ = = = = =

10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( ) ( ) ( )

( )

a b a b b ab b ab b

ab b

ab ab a b

a b b a b

4 64 4 4 284

8

2

8

1

2

1

4

4

24 2 24

2 24 4 2 34

= = =

= ⋅

⇒ = =

= =

11. 11. 11. 11. 11. x x x x x1035 10151015

23 23= = = =

12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b a b+ = + = + = + = +2

32

62

6

1

3 3

EJERCICIO 247

1. 1. 1. 1. 1. 1

3

3

3

3

3

3

32⋅ = =

2. 2. 2. 2. 2. 5

2

2

2

5 2

2

5 222

⋅ = =

3. 3. 3. 3. 3. 3

4 5

5

5

3 5

4 5

3 5

4 5

3 5

202⋅ = =

⋅=

4. 4. 4. 4. 4. 2

2

2

2

2 2

2

2 2

2

22 2 2

a

ax

ax

ax

a ax

a x

a ax

ax

ax

x⋅ = = =

5. 5. 5. 5. 5. 5

4

2

2

5 2

2

5 2

223

3

3

3

3 33

3

a

a

a

a

a

a

a⋅ = =

6. 6. 6. 6. 6. 1

9

3

3

3

3

333

23

23

23

3 33

23

x

x

x

x

x

xx

⋅ = =

7. 7. 7. 7. 7. 3

9

3

3

3 3

3

3 93

94

2 34

2 34

2 34

4 44

34 34

a

a

a

a

a

aa

aa

⋅ = = =

8. 8. 8. 8. 8. 6

5 3

3

3

6 3

5 3

6 915

2 953

2 23

2 23

2 23

3 33

23 23

x

x

x

x

x

xx

xx

⋅ = = =

9. 9. 9. 9. 9. x

x

x

x

x x

x

x xx

x

27

3

3

3

3

33

3324

24

24

24

4 44

24 24

⋅ = = =

10. 10. 10. 10. 10. 1

8

2

2

4

2

4245

25

25

5

5 55

5

a

a

a

a

a

aa

⋅ = =

11. 11. 11. 11. 11. 5

3

5

3

5

3

5

3

2 2

2 2

2n

mn

mn

mn

n mn

m n

n mn

mn

n mn

m⋅ = = =

12. 12. 12. 12. 12. 1

5 25

5

5

25

5 5

252534

24

24

4

4 44

4

a x

x

x

x

a x

xax

⋅ = =

EJERCICIO 248

1. 1. 1. 1. 1. 3 2

1 2

1 2

1 2

3 3 2 2 2

1 2

3 4 2 21 2

5 4 21

4 2 52

2

−+

⋅−−

=− − +

−=

− +−

=−−

= −

2. 2. 2. 2. 2. 5 2 3

4 3

4 3

4 3

20 5 3 8 3 2 3

4 3

20 13 3 616 3

26 13 313

2 32

2 2

+−

⋅++

=+ + +

−=

+ +−

=+

= +

3. 3. 3. 3. 3. 2 5

2 5

2 5

2 5

2 2 2 5 5

2 5

2 2 10 52 5

7 2 103

2 10 73

2 2

2 2

−

+⋅

−

−=

− +

−=

− +−

=−

−=

−

4. 4. 4. 4. 4. 7 2 5

7 5

7 5

7 5

7 35 2 35 2 5

7 5

7 3 35 107 5

17 3 352

2 2

2 2

+−

⋅++

=+ + +

−=

+ +−

=+

5. 5. 5. 5. 5. 2 3 5

2 2 5

2 2 5

2 2 5

2 2 10 6 10 3 5

2 2 5

4 7 10 158 5

19 7 103

2 2

2 2 2

−+

⋅−−

=− − +

−=

− +−

=−

6. 6. 6. 6. 6. 19

5 2 4 3

5 2 4 3

5 2 4 3

95 2 76 3

5 2 4 3

95 2 76 3

50 48

95 2 76 3

22 2 2 2−⋅

++

=+

−=

+−

=+

7. 7. 7. 7. 7. 3 2

7 2 6 3

7 2 6 3

7 2 6 3

21 2 18 6

7 2 6 3

42 18 698 108

42 18 610

21 9 65

2

2 2 2 2−⋅

++

=+

−=

+−

=+−

= −+

8. 8. 8. 8. 8. 4 3 3 7

2 3 3 7

2 3 3 7

2 3 3 7

8 3 12 21 6 21 9 7

2 3 3 7

24 18 21 63

12 63

87 18 21

51

6 21 29

17

2 2

2 2 2 2

−+

⋅−−

=− − +

−=

− +−

=−−

=−

9. 9. 9. 9. 9. 5 2 6 3

4 2 3 3

4 2 3 3

4 2 3 3

20 2 15 6 24 6 18 3

4 2 3 3

40 9 6 5432 27

14 9 65

14 9 65

2 2

2 2 2 2

−−

⋅++

=+ − −

−=

− −−

=− −

= −+

10. 10. 10. 10. 10. 7 3 11

5 7 4 11

5 7 4 11

5 7 4 11

5 7 4 77 15 77 12 11

5 7 4 11

35 11 77 132175 176

97 11 771

97 11 772 2

2 2 2 2

+

+⋅

−

−=

− + −

−=

+ −−

=− +

−= −

11. 11. 11. 11. 11. 5 2

7 2 10

7 2 10

7 2 10

7 5 2 50 7 2 2 20

7 2 10

7 5 2 5 2 7 2 2 2 5

49 40

7 5 10 2 7 2 4 5

9

3 5 3 2

9

5 2

3

2 2 2

2 2

++

⋅−−

=− + −

−

=− ⋅ + − ⋅

−=

− + −=

−=

−

12. 12. 12. 12. 12. 9 3 3 2

6 6

6 6

6 6

54 3 9 18 18 2 3 12

6 6

54 3 9 3 2 18 2 3 2 3

36 6

54 3 27 2 18 2 6 3

30

48 3 9 2

30

16 3 3 2

10

2 2

2 2

−

−⋅

+

+=

+ − −

−

=+ ⋅ − − ⋅

−=

+ − −=

+=

+

13. 13. 13. 13. 13. a x

a x

a x

a x

a ax ax x

a x

a ax x

a x

++

⋅ −−

= − + −

−= + −

−

2

2

2

2 2

2

2

4

2 2

2 2 2

14. 14. 14. 14. 14.

( )( )

( )

x x

x x

x x

x x

x x x x

x x

x x x x

x xx x x

− −+ −

⋅− −− −

=− − + −

− −

=− − + −

− −= − − −

1

1

1

1

2 1 1

1

2 1

12 1 2

2 2

2 2

22

15. 15. 15. 15. 15.

( )( )

( )

a a

a a

a a

a a

a a a a

a a

a a a a

a a

a a aa a a

− ++ +

⋅− +− +

=− + + +

− +

=− + + +

− +

=+ − +

−= + − −

1

1

1

1

2 1 1

1

2 1

1

2 1 2

12 2 1

2 2

2 2

2

22

16. 16. 16. 16. 16.

( )( )

x

x

x

x

x x

x

x x

x

x x

x

+ ++ −

⋅+ ++ +

=+ + + +

+ −

=+ + + +

+ −=

+ + +

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 4 2

2 2

4 2 2 4

2 2

2 2

17. 17. 17. 17. 17.

( )( )

a a

a a

a a

a a

a a a a

a a

a a a a

a a

a a a

a a a

+ −+ +

⋅+ −+ −

=+ − + +

+ −

=+ − + +

+ −=

+ − +

=+ − +

4

4

4

4

4 2 4

4

4 2 4

4

2 4 2 4

4

2 4

2

2 2

2 2

2 2

2

18. 18. 18. 18. 18.

( ) ( )( ) ( )

a b a b

a b a b

a b a b

a b a b

a b a b a b a b

a b a b

a b a b a b

a b a b

a a b

b

a a b

b

+ − −+ + −

⋅+ − −+ − −

=+ − + − + −

+ − −

=+ − − + −

+ − +=

− −=

− −

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2

2 2 2

2

EJERCICIO 249

1. 1. 1. 1. 1. ( )( )

( ) ( )

( )( )

3

2 3 5

2 3 5

2 3 5

6 9 15

2 3 5

3 6 15

2 2 6 3 5

3 6 15

2 6

2 6

2 6

6 6 2 36 2 90

2 6

6 6 12 6 10

24

6 6 2 10

24

2 6 10

4

2 2

2

+ −⋅

+ +

+ +

=+ +

+ −

=+ +

+ + −=

+ +⋅ =

+ +=

+ +=

+ +=

+ +

2. 2. 2. 2. 2. ( )( )

( ) ( )

( )

2

2 3 6

2 3 6

2 3 6

2 6 12

2 3 6

2 6 2 3

2 2 6 3 6

2 6 2 3

2 6 1

2 6 1

2 6 1

4 6 2 12 6 4 18 2 3

2 6 1

5 6 14 12 2 2 3

23

2 2

2

+ +⋅

+ −

+ −

=+ −

+ −

=+ −

+ + −=

+ −−

⋅++

=+ + + − −

−=

+ − −

3. 3. 3. 3. 3. ( )( )

( ) ( )

( )

( )

2 3

2 3 5

2 3 5

2 3 5

4 3 2 5 15

2 3 5

1 2 5 15

4 4 3 3 5

1 2 5 15

2 4 3

2 4 3

2 4 3

2 4 3 4 5 8 15 2 15 4 45

2 4 3

2 4 3 4 5 10 15 12 5

44

2 2 3 8 5 5 15 1

44

2 3 8 5 5 15 1

22

2 2

2 2

−+ +

⋅+ −

+ −

=− − +

+ −

=− ++ + −

=− +

+⋅

−−

=− − + + −

−

=− − + −

−

=+ − −

=+ − −

5. 5. 5. 5. 5. ( )( )

( ) ( )

( )

6 3 2

6 3 2

6 3 2

6 3 2

6 3 2 2 18 2 12 2 6

6 3 2

11 6 2 4 3 2 6

6 2 18 3 2

11 6 2 4 3 2 6

2 18 7

2 18 7

2 18 7

22 18 77 12 36 42 2 8 54 28 3 4 108 14 6

2 18 49

66 2 77 72 42 2 24 6 28 3 24 3 14 6

72 49

24 2 4 3 10 6 5

23

2 2

2

+ ++ −

⋅+ +

+ +

=+ + + + +

+ −

=+ + +

+ + −

=+ + +

+⋅

−−

=− + − + − + −

−

=− + − + − + −

−

=− + −

4. 4. 4. 4. 4. ( )( )

( ) ( )

( )

( )

3 5

2 3 5

2 3 5

2 3 5

6 10 3 5

2 3 5

10 6 2

2 2 6 3 5

10 6 2

2 6

2 6

2 6

2 60 2 36 4 6

2 6

4 15 12 4 6

24

4 15 3 6

24

15 3 6

6

2 2

2

++ +

⋅+ −

+ −

=+ + −

+ −

=+ −

+ + −

=+ −

⋅

=+ −

=+ −

=+ −

=+ −

6. 6. 6. 6. 6. ( )( )

2 5

2 5 10

2 5 10

2 5 10

2 5 20 50

2 2 10 5 10

2 5 5 2 3

2 10 3

2 10 3

2 10 3

4 50 6 5 10 20 15 2 6 10 9

40 9

20 2 6 5 20 5 15 2 6 10 9

31

5 2 14 5 6 10 9

31

−+ −

⋅+ +

+ +

=− + −+ + −

=− −

−⋅

++

=+ − − − −

−

=+ − − − −

=− − −

EJERCICIO 250

1. 1. 1. 1. 1. 2

2 3

2 3

2 3

2 6

2 3

2 6

16 2

+⋅

−−

=−−

=−−

= −

2. 2. 2. 2. 2. 3

3 2 5

3 2 5

3 2 5

3 2 153 20

3 2 1517

3 2 1517

−⋅ +

+

= +−

= +−

= − +

3. 3. 3. 3. 3. 2 5

1 5

1 5

1 5

2 2 5 5 51 5

7 3 54

7 3 54

+−

⋅ ++

= + + +−

= +−

= − +

4. 4. 4. 4. 4. 2 5

2 5

2 5

2 5

2 2 10 52 5

7 2 103

7 2 103

+−

⋅ ++

= + +−

= +−

= − +

5. 5. 5. 5. 5. 2 3 7

3 7

3 7

3 7

6 2 21 21 73 7

13 3 214

3 21 134

−+

⋅ −−

= − − +−

= −−

= −

6. 6. 6. 6. 6. 6 2 5

2 6 5

2 6 5

2 6 5

12 5 30 10

24 5

22 5 30

19

+−

⋅++

=+ +

−=

+

7. 7. 7. 7. 7. 5 2 3 3

3 2 4 3

3 2 4 3

3 2 4 3

30 29 6 3618 48

66 29 630

66 29 630

+−

⋅ ++

= + +−

= +−

= − +

8. 8. 8. 8. 8. 7 2 11

2 7 11

2 7 11

2 7 11

14 5 77 22

28 11

36 5 77

17

−

+⋅

−

−=

− +−

=−

EJERCICIO 251

1. 1. 1. 1. 1.

( )x

x

x

x

− =

− =

− ==

8 2

8 2

8 4

12

22

2. 2. 2. 2. 2.

( )

5 3 1 0

5 3 1

5 3 1

25 3 1

24 3

8

2 2

− + =

= +

= += +==

x

x

x

x

x

x

3. 3. 3. 3. 3.

( )

7 5 2 9

5 2 2

5 2 2

5 2 8

5 10

2

3

3

33

3

+ − =

− =

− =

− ===

x

x

x

x

x

x

4. 4. 4. 4. 4.

( ) ( )

9 5 3 1

9 5 3 1

9 5 3 1

9 5 9 6 1

6 6

1

2

2

22 2

2 2

x x

x x

x x

x x x

x

x

− − = −

− = −

− = −

− = − +− = −

=

5. 5. 5. 5. 5.

( )x x x

x x

x x

x

x

2

2

2 1 9

1 9

1 9

2 10

5

− + = −

− = −

− = −==

6. 6. 6. 6. 6.

( )

15 7 1 12

3 7 1

3 7 1

27 7 1

28 7

4

3

3

3 33

− − =

= −

= −

= −==

x

x

x

x

x

x

7. 7. 7. 7. 7.

( ) ( )

( )

x x

x x

x x x

x

x

x

x

x

x

+ + =

+ = −

+ = − +

= −

= −

− = −

=

==

7 7

7 7

7 49 14

7 49 14

1 7 2

6 2

3

3

9

2 2

2 2

9. 9. 9. 9. 9.

( ) ( )

( )

x x

x x

x x x

x

x

x

x

x

+ − + =−

+ = + −

+ = + − + +

− = − +

= +

= +

= +=

10 19 1

10 19 1

10 19 2 19 1

10 2 19

5 19

5 19

25 19

6

2 2

22

10. 10. 10. 10. 10.

( ) ( )( )

4 11 7 2 29

4 11 7 2 29

4 11 49 2 29

4 11 98 1 421

1 410 94

15

2 2

x x

x x

x x

x x

x

x

− = −

− = −

− = −− = −

==

.

.

11. 11. 11. 11. 11.

( ) ( )5 19 5 1

5 19 5 1

5 19 5 2 5 1

20 2 5

10 5

100 5

20

2 2

x x

x x

x x x

x

x

x

x

− − = −

− = −

− = − +

− = −

===

12. 12. 12. 12. 12.

( ) ( )x x

x x

x x x

x

x

x

x

− + = +

− + = +

− + − + = +

− =

− =− =

=

2 5 53

2 5 53

2 10 2 25 53

10 2 30

2 3

2 9

11

2 2

8. 8. 8. 8. 8.

( ) ( )

( )

3 5 3 14 9

3 5 9 3 14

3 5 81 18 3 14 3 14

72 18 3 14

4 3 14

16 3 14

30 3

10

2 2

22

x x

x x

x x x

x

x

x

x

x

− + − =

− = − −

− = − − + −

− = − −

= −

= −==

13. 13. 13. 13. 13.

( ) ( )( )

9 14 3 10 4

9 14 3 10 4

9 14 9 10 24 10 16

14 90 24 10 16

120 24 10

5 10

25 10

15

2 2

x x

x x

x x x

x

x

x

x

x

− = + −

− = + −

− = + − + +

− = − + +

− = − +

= += +=

14. 14. 14. 14. 14.

( ) ( )x x

x x

x x x

x

x

x

x

− − + =−

− = + −

− = + − + +

− = − +

= += +=

16 8 4

16 8 4

16 8 8 8 16

40 8 8

5 8

25 8

17

2 2

15. 15. 15. 15. 15.

( ) ( )5 1 3 5 26

5 1 3 5 26

5 1 6 5 1 9 5 26

6 5 1 18

5 1 3

5 1 9

5 10

2

2 2

x x

x x

x x x

x

x

x

x

x

− + = +

− + = +

− + − + = +

− =

− =− =

==

16. 16. 16. 16. 16.

( ) ( )13 13 4 2

13 2 13 4

169 52 4 13 4

52 156

3

9

2 2

− + =

− = +

− + = +

− = −

==

x x

x x

x x x

x

x

x

17. 17. 17. 17. 17.

( ) ( )( )

( ) ( )

x x x

x x x

x x x x

x x x

x x

x x x

x

x

− + + = −

− + + = −

− + − + + = −

+ − = −

− = −

− = − +− = −

=

4 4 2 1

4 4 2 1

4 2 16 4 4 1

2 2 16 4 4

2 16 2 4

4 64 4 16 16

80 16

5

2 2

2

2

22 2

2 2

18. 18. 18. 18. 18.

( ) ( )

( ) ( )( )

9 7 16 7 0

9 7 16 7

9 7 2 9 7 16 7

2 9 7 6 14

2 9 7 6 14

4 9 7 36 168 196

36 28 36 168 196

196 196

1

2 2

2

2

22 2

2 2

2 2

x x x

x x x

x x x x x

x x x

x x x

x x x x

x x x x

x

x

+ − − − =

+ − = −

+ − + + = −

− + = −

− + = −

+ = − +

+ = − +==

19. 19. 19. 19. 19.

( ) ( )( )

( ) ( )

9 10 2 3 2

9 10 2 3 2

9 10 4 9 37 30 4 3 2

13 22 2 4 9 37 30

12 24 4 9 37 30

3 6 9 37 30

3 6 9 37 30

9 36 36 9 37 30

36 30 37 36

6

2 2

2

2

2

2

2 22

2 2

x x x

x x x

x x x x x

x x x x

x x x

x x x

x x x

x x x x

x x

x

+ − + = −

+ − + = −

+ − + + + + = −

+ − + = + +

+ = + +

+ = + +

+ = + +

+ + = + +− = −

=

20. 20. 20. 20. 20.

( ) ( )( )

( ) ( )

18 8 2 4 2 2 1 0

18 8 2 4 2 2 1

18 8 2 4 4 4 6 4 4 2 1

18 8 10 4 4 6 4

8 8 4 4 6 4

2 2 4 6 4

2 2 4 6 4

4 8 4 4 6 4

2 8

4

2 2

2

2

2

2

2 22

2 2

x x x

x x x

x x x x x

x x x x

x x x

x x x

x x x

x x x x

x

x

− − − − + =

− = − + +

− = − + − − + +

− = + − −

− = − −

− = − −

− = − −

− + = − −− = −

=

21. 21. 21. 21. 21.

( ) ( )

( ) ( )

8 9 18 34 2 7 0

8 9 2 7 18 34

8 9 2 16 74 63 2 7 18 34

10 16 2 16 74 63 18 34

2 16 74 63 8 18

16 74 63 4 9

16 74 63 4 9

16 74 63 16 72 81

2 18

9

2 2

2

2

2

2

22 2

2 2

x x x

x x x

x x x x x

x x x x

x x x

x x x

x x x

x x x x

x

x

+ − + + + =

+ + + = +

+ + + + + + = +

+ + + + = +

+ + = +

+ + = +

+ + = +

+ + = + +==

22. 22. 22. 22. 22.

( ) ( )

( ) ( )

x x x

x x x

x x x x x

x x x x

x x x

x x x

x x x

x x x x

x

x

− − − = −

− − − = −

− − − + + − = −

− − + = − +

− + = − +

− + = − +

− = − +

− + = −==

2 5 4 23

2 5 4 23

2 2 7 10 5 4 23

2 7 4 23 2 7 10

2 16 2 7 10

8 7 10

8 7 10

64 16 7 10

54 9

6

2 2

2

2

2

2

2 22

2 2

23. 23. 23. 23. 23.

( ) ( )( )

( ) ( )

x x x

x x x

x x x x x

x x x x

x x x

x x x

x x x

x x x x

x

+ − + = − +

+ + + = +

+ + + + + + = +

+ + + + = +

+ + = +

+ + = +

+ + = +

+ + = + += −

6 9 70 2 9

6 2 9 9 70

6 4 15 54 4 9 9 70

5 42 4 15 54 9 70

4 15 54 4 28

15 54 7

15 54 7

15 54 14 49

5

2 2

2

2

2

2

22 2

2 2

24. 24. 24. 24. 24.

( ) ( )

( ) ( )

x a x a x a

x a x a x a

x a x a x a x a

x x a x a

x a x a

x a x a

x a x a

x a x ax a

ax a

x a

− + + = −

− + + = −

− + − + + = −

+ − = −

− = −

− = −

− = −

− = − +

==

4 2

4 2

2 4 2

2 2 4 2

2 2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 22 2

2 2 2 2

2

25. 25. 25. 25. 25.

( ) ( )

( ) ( )( )

x ab b x

x ab x b

x ab x b x b

b x b ab

x b a

x a b

x a b

− = − +

− = +

− = − +

= +

= +

= +

= +

4 2

4 2

4 4 4

4 4 4

2 2

2

2

2 2

2

26. 26. 26. 26. 26.

( ) ( )

( ) ( )

( )

x a x a

x a x a

x a x a x a

a x a

a x a

a x a

a a x a

a a x

a x

+ − + − =

+ − = + −

+ − + + = + −

+ = +

+ = +

+ = +

+ + = +− + =

− =

4 2 1 1

4 1 2 1

4 2 4 1 2 1

2 2 2 4

1 4

1 4

2 1 4

2 1

1

2 2

2 2

2

2

2

EJERCICIO 252

1. 1. 1. 1. 1.

( ) ( )

x xx

x x x

x x x

x x x x

x

x

+ + =

+ + =

+ = −

+ = − +==

510

5 10

5 10

5 100 20

25 100

4

2 2

22

22

2 2

2. 2. 2. 2. 2.

( ) ( )

( ) ( )

4 11 255

4 11

4 11 2 4 11 55

4 11 2 4 11 55

2 4 11 66 4

4 11 33 2

4 11 33 2

4 11 1 089 132 4

121 1 089

9

2

2

2

2

22 2

2 2

x xx

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x x

x

x

− + =−

− + − =

− + − =

− = −

− = −

− = −

− = − +==

.

.

3. 3. 3. 3. 3.

( ) ( )

x xx

x x x

x x x

x x x x

x

− − =

− − =

− = −

− + = −=

74

7 4

4 7

8 16 7

16

2 2

2 22

2 2

4. 4. 4. 4. 4.

( )( ) ( )( )

( )

x

x

x

x

x x x x

x x x x

x

x

x

x

−+

=+

+

− + = + +

+ − = + +

=

=

==

2

4

1

13

2 13 1 4

11 26 5 4

6 30

5

5

25

2 2

2 2

5. 5. 5. 5. 5.

( ) ( )

( ) ( )

6

88

6 8 8

6 8 8

8 2

8 2

8 4 4

4 4

1

2

2

2

22 2

2 2

xx x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x x

x

x

+= + −

= + − +

= + − +

+ = +

+ = +

+ = + +==

6. 6. 6. 6. 6.

( )( ) ( )

( ) ( )

xx

x

x x x

x x x

x x x

x x x x

x

x

− ++

= +

− + + = +

+ − + = +

+ − = +

+ − = + +==

38

99

3 9 8 9

6 27 8 9

6 27 1

6 27 2 1

4 28

7

2

2

22 2

2 2

7. 7. 7. 7. 7.

( )( ) ( )( )

( ) ( )

x

x

x

x

x x x x

x x x x

x

x

x

x

+−

=+−

+ − = + −

+ − = + −

=

=

==

4

2

11

1

4 1 11 2

3 4 9 22

18 6

3

3

9

2 2

2 2

8. 8. 8. 8. 8.

( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 6 4 39

4 3

2 6 4 3 4 3 9

2 4 21 18 4 3 9

2 4 21 18 4 3 9

2 4 21 18 4 6

4 4 21 18 16 48 36

16 84 72 16 48 36

36 108

3

2

2

2

22 2

2 2

2 2

x xx

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x x

x x x x

x

x

+ − − =−

+ − − − =

+ − − − =

+ − − + =

+ − = +

+ − = + +

+ − = + +==

.....

9. 9. 9. 9. 9.

( )( ) ( )( )

( ) ( )

x

x

x

x

x x x x

x x x x

x

x

x

x

−+

=−−

− − = − +

− + = − −

=

=

==

2

2

2 5

2 1

2 2 1 2 5 2

2 5 2 2 10

12 4

3

3

9

2 2

2 2

10. 10. 10. 10. 10.

( )( ) ( )( )

( ) ( )

x xx

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x x

x

x

+ − − =−

+ − − − =

+ − − − =

+ − − + =

+ − = −

+ − = − +==

14 76

7

14 7 7 6

7 98 7 6

7 98 7 6

7 98 1

7 98 2 1

9 99

11

2

2

2

22 2

2 2

EJERCICIO 253

1. 1. 1. 1. 1. ( )− = − = − =a a a ai2 2 1 1

2. 2. 2. 2. 2. ( )− = − = − =2 2 1 2 1 2i

3. 3. 3. 3. 3. ( )2 9 2 3 1 6 1 62− = − = − = i

4. 4. 4. 4. 4. ( )− = − = − =81 9 1 9 1 92 i

5. 5. 5. 5. 5. ( )− = − = − =6 6 1 6 1 6i

6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( )3 3 1 3 1 34 2 2 2 2− = − = − =b b b b b i

7. 7. 7. 7. 7. ( )− = ⋅ − = − =12 2 3 1 2 3 1 2 32 i

8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( )− = − = − =7 7 1 7 1 7i

9. 9. 9. 9. 9. ( )− = ⋅ − = − =27 3 3 1 3 3 1 3 32 i

10. 10. 10. 10. 10. ( )− = − = − =4 2 1 2 1 24 2 2 2 2 2m mm m im

11. 11. 11. 11. 11. ( )− = − = − =1

16

1

41

1

41

1

42 i

12. 12. 12. 12. 12. ( )− − = − + = − + = +a b a b a b i a b2 2 2 2 2 2 2 21 1

EJERCICIO 254

1. 1. 1. 1. 1. ( )( )

− = − =

− = − =

= + =

4 2 1 2

16 4 1 4

2 4 6

2

2

i

i

i i i

2. 2. 2. 2. 2. ( )( )( )

− = − =

− = − =

− − = − − = −

= + − =

25 5 1 5

81 9 1 9

49 7 1 7

5 9 7 7

2

2

2

i

i

i

i i i i

3. 3. 3. 3. 3. ( )( )

2 9 2 3 1 6

3 100 3 10 1 30

6 30 36

2

2

− = − =

− = − =

= + =

i

i

i i i

4. 4. 4. 4. 4. ( )( )( )

3 64 3 8 1 24

5 49 5 7 1 35

3 121 3 11 1 33

24 35 33 22

2

2

2

− = − =

− − = − − = −

− = − =

= − + =

i

i

i

i i i i

5. 5. 5. 5. 5. ( )( )( )

( )

2 2 1 2

1

1

2 2

2 2

4 2 2 2

6 4 2 3

2 3 2 3

− = − =

− = − =

− = − =

= + + = + +

a a ai

a a a a i

a a a a i

a i a i a i i a a a

6. 6. 6. 6. 6. ( )( )( )

− = ⋅ − =

− = ⋅ − =

− = ⋅ − =

= + + =

18 3 2 1 3 2

8 2 2 1 2 2

2 50 2 5 2 1 10 2

3 2 2 2 10 2 15 2

2

2

2

i

i

i

i i i i

7. 7. 7. 7. 7. ( )( )

( )

3 20 3 2 5 1 6 5

2 45 2 3 5 1 6 5

3 125 3 5 5 1 15 5

6 5 6 5 15 5 15 5

2

2

2

− = ⋅ − =

− − = − ⋅ − = −

− = ⋅ − =

= − + =

i

i

i

i i i i

8. 8. 8. 8. 8. ( )( )( )

− = − =

− = − =

− − =− − = −

= + − =

a a a i

a a a i

a a a i

a i a i a i a i

4 4 2

4 2 4 2

4 2 4 2

2 2 2 2

1

4 9 4 3 1 12

3 4 3 2 1 6

12 6 7

EJERCICIO 255

1. 1. 1. 1. 1.

( )( )

− ⋅ −

= − ⋅ −

= −

= −= −

16 25

4 1 5 1

20 1

20 1

20

2

2. 2. 2. 2. 2.

( )( )

− ⋅ −

= − ⋅ −

= −

= −= −

81 49

9 1 7 1

63 1

63 1

63

2

3. 3. 3. 3. 3.

( )( )

5 36 4 64

5 6 1 4 8 1

30 1 32 1

960 1

960 1

960

2

− ⋅ −

= ⋅ − ⋅ ⋅ −

= − ⋅ −

= −

= −= −

4. 4. 4. 4. 4.

( )( )

− ⋅ −

= − ⋅ −

= −

= −

= −

3 2

3 1 2 1

6 1

6 1

6

2

9. 9. 9. 9. 9.

( )( )

− ⋅ − ⋅ −

= − ⋅ − ⋅ −

= ⋅ ⋅ −

= − −

= − −= −

2 3 5 10

2 1 3 5 1 10 1

3 2 5 10 1

3 100 1

30 1

30

3

i

10. 10. 10. 10. 10.

( )( )

− ⋅ − ⋅ − ⋅ −

= − ⋅ − ⋅ − ⋅ −

= −

= ⋅ ⋅=

12 27 8 50

2 3 1 3 3 1 2 2 1 5 2 1

60 9 4 1

60 3 2 1

360

4

11. 11. 11. 11. 11.

( )( )

− − ⋅ −

= − − ⋅ −

= − −

= − −

=

5 3

5 1 3 1

15 1

15 1

15

2

x y

x y

xy

xy

xy

12. 12. 12. 12. 12.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

− + −

− − −

− + −

− − − −

− + − − −= − − + = −

4 9

25 16

10 1 15 1

8 1 12 1

10 1 7 1 12 1

10 7 12 5

2 2

2 2

13. 13. 13. 13. 13.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

− + −

− − −

− + −

− − − −

− − −= − +=

2 3 5

2 2 6 5

2 4 1 6 10 1

6 10 1 18 25 1

4 1 90 1

4 90

86

2 2

2 2

5. 5. 5. 5. 5.

( )( )

2 5 3 7

2 5 1 3 7 1

6 35 1

6 35 1

6 35

2

− ⋅ −

= − ⋅ −

= −

= −

= −

6. 6. 6. 6. 6.

( )( )

− ⋅ −

= − ⋅ −

= −

= −= −

3 75

3 1 25 3 1

5 3 1

15 1

15

22

7. 7. 7. 7. 7.

( )( )

2 7 3 28

2 7 1 3 4 7 1

6 4 7 1

12 7 1

84

22

− ⋅ −

= − ⋅ −

= −

= ⋅ −= −

8. 8. 8. 8. 8. − ⋅ − ⋅ −

= − ⋅ − ⋅ −

= −

= − −

= − −= −

49 4 9

7 1 2 1 3 1

42 1

42 1

42 1

42

3

e je j

i

14. 14. 14. 14. 14.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 5 3

2 4 3

2 4 1 5 6 1

8 6 1 20 9 1

4 1 3 6 1 60 1

4 3 6 60

56 3 6

2 2

2 2

− + −

− − −

− + −

− − − −

− − − − −

= − + +

= +

EJERCICIO 256

1. 1. 1. 1. 1. −

−=

−

−=

16

4

4 1

2 12 2. 2. 2. 2. 2.

−

−=

−

−= =

10

2

10 1

2 1

102

5 3. 3. 3. 3. 3. −

−=

−

−= = = =

81

3

9 1

3 1

9

3

9 3

9

9 33

3 3

4. 4. 4. 4. 4. −

−=

−

−= =

90

5

3 10 1

5 13

105

3 2

5. 5. 5. 5. 5. −

−=

−

−= =

150

3

5 6 1

3 15

63

5 2

6. 6. 6. 6. 6. 10 36

5 4

60 1

10 16

−

−=

−

−=

7. 7. 7. 7. 7. 2 18

6

6 2 1

6 1

6 2

6

6 12

36

6 2 3

62 3

2−

−=

−

−= = =

⋅=

8. 8. 8. 8. 8. −

−=

−

−= =

315

7

3 35 1

7 13

357

3 5

9. 9. 9. 9. 9. −

−=

−

−= = = = = =

27

3

27 1

3 1

273

9 3 3 3 34

4

4

44 4 24

24

12

10. 10. 10. 10. 10. −

−=

−

−= = = = = =

300

12

300 1

12 1

30012

25 5 5 5 54

4

4

44 4 24

24

12

EJERCICIO 257

1. 1. 1. 1. 1. 2 3 1

5 2 1

7 1

7

+ −

− −

+ −+ i

2. 2. 2. 2. 2. − − −

− + −

− + −− +

4 5 1

2 8 1

6 3 1

6 3 i

3. 3. 3. 3. 3. 12 11 1

8 7 1

20 4 1

20 4

− −

+ −

− −− i

4. 4. 4. 4. 4. 5 1

7 2 1

9 7 1

21 10 1

21 10

+ −

+ −

+ −

+ −+ i

5. 5. 5. 5. 5. 3 2

5 8

10 13

2 3

−−

− +

− +

i

i

i

i

6. 6. 6. 6. 6. 1

4 3

2 5

5 2 7

−+

+

+ +

i

i

i

i

7. 7. 7. 7. 7.

( )( )( )

2 2

4 3

6 2 1 3 1

6 2 3

6 2 3

+ −

− −

+ − − −

+ −

+ −

i i

i

8. 8. 8. 8. 8.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

7 5

2 9

4 16

3 2 5 1 9 1 16 1

3 2 5 3 4

3 2 5

3 2 5 1

+ −

− −

− + −

+ + − − − + −

+ + − +

+ + +

+ + +

i i i

i i

i

EJERCICIO 258

1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )( ) ( )

7 2 1 7 2 1

7 7 2 2 1

7 2

14

− − + + −

= + + − + −= ⋅=

2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )( ) ( )

− − − + − + −

= − − + − + −= − ⋅= −

5 3 1 5 3 1

5 5 3 3 1

5 2

10

3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )( ) ( )

9 3 9 3

9 9 3

9 2

18

+ + −

= + + −= ⋅=

i i

i i

4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( )( ) ( )

− − − + − + −

= − − + − + −= − ⋅= −

7 5 1 7 5 1

7 7 5 5 1

7 2

14

5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )( ) ( )

8 3 2 8 3 2

8 8 3 3 2 1

8 2

16

− − + + −

= + + − + −= ⋅=

6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( )( ) ( )2 3 2 3

2 2 3

2 2

+ + −

= + + −

=

i i

i i

EJERCICIO 259

1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )3 2 1 5 3 1

3 2 1

5 3 1

2 5 1

2 5

− − − + −

− −

− − −

− − −− − i

2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )8 4 1 3 10 1

8 4 1

3 10 1

5 14 1

5 14

+ − − − −

+ −

− + −

+ −+ i

3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )− − − − − − −

− − −

+ + −

+ −+

1 1 7 8 1

1 1

7 8 1

6 7 1

6 7i

4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( )4 7 1 5 3 1

4 7 1

5 3 1

1 4 1

1 4

− − − − −

− −

− + −

− − −− − i

5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )15 4 1 8 7 1

15 4 1

8 7 1

7 3 1

7 3

− − − − −

− −

− + −

+ −+ i

6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( )11 80 1 3 50 1

11 80 1

3 50 1

8 130 1

8 130

+ − − − −

+ −

− + −

+ −+ i

7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( )

( )( )( )

5 25 3 6

5 25

3 6

2 25 1 6

2 5 6

2 11

2 11

− − − +

− −− −

+ − − −

+ − −

+ −−

i

i

i

i i

i

i

8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( )

( )( )

4 5 2 3

4 5

2 3

2 5 1 3 1

2 5 3

2 5 3

+ − − + −

+ −

− − −

+ − − −

+ −

+ −

i i

i

9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

2 5 1 3 6 1

2 5

3 6

2 3 5 6

2 3 11

2 3 11

− − − + −

−

− −

− + − −

− + −

− −

i

i

i i

i

i

10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( )

( )( )( )

8 7 7 3

8 7

7 3

15 7 1 3 1

15 7 3

15 7 3

− − − − + −

− −

− −

+ − − − −

+ − −

− +

i i

i

EJERCICIO 260

1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )

( ) ( )

2 1 2 1

2 1 2 1

2 2 1 1 1

2 1

2

− − − + −

− − − − −

= − + − − −

= − −= − i

2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )

( ) ( )

7 3 1 7 3 1

7 3 1 7 3 1

7 7 3 3 1

6 1

6

+ − − − −

+ − − + −

= − + + −

= −= i

3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )

( ) ( )

− − − − − + −

− − − + − −

= − + + − − −

= − ⋅ −= −

3 7 1 3 7 1

3 7 1 3 7 1

3 3 7 7 1

7 2 1

14i

4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( )

( ) ( )

− + − − − − −

− + − + + −

= − + + + −

= −

=

5 2 5 2

5 2 5 2

5 5 1 1 2 1

2 2 1

2 2i

5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )

( ) ( )

2 3 2 3

2 3 2 3

2 2 1 1 3 1

2 3 1

2 3

+ − − − −

+ − − + −

= − + + −

= −

= i

6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( )− − − − − + −

− − − + − −

− − −

+ − −

− − = − −

= −

5 4 2 5 4 2

5 4 2 5 4 2

5 4 2

5 4 2

8 2 8 2 1

8 2i

EJERCICIO 261

1. 1. 1. 1. 1.

( )( )

3 4 1

5 3 1

15 20 1

9 1 12 1

15 29 1 12 1

15 29 12

3 29

2

− −

− −

− −

− − + −

− − + −− −−

i

i

2. 2. 2. 2. 2.

( )( )

4 7 1

3 2 1

12 21 1

8 1 14 1

12 29 1 14 1

12 29 14

2 29

2

+ −

− − −

− − −

− − − −

− − − − −− − +

−i

i

3. 3. 3. 3. 3.

( )( )

7 4

5 9

35 5 4 1

7 9 1 4 9 1

35 10 1 21 1 36 1

35 10 21 6

41 11

2

− −

+ −

− −

+ − − −

− − + − − −− + ++

i i

i

4. 4. 4. 4. 4.

( )( )

8 9

11 25

88 11 9 1

8 25 1 9 25 1

88 33 40 15 1

88 7 15

103 7

2

− −

+ −

− −

+ − − −

− + − −+ ++

i i

i

i

5. 5. 5. 5. 5.

( )( )

3 2

5 2

15 5 2 1

3 2 1 2 2 1

15 2 2 1 4 1

15 2 2 2

17 2 2

2

+ −

− −

+ −

− − − −

+ − − −

+ +

+

i

i

6. 6. 6. 6. 6.

( )( )

( )( ) ( )

4 3

5 2

20 5 3 1

4 2 1 2 3 1

20 5 3 4 2 6 1

20 5 3 4 2 6

20 6 5 3 4 2

2

+ −

− −

+ −

− − − −

+ − − −

+ − +

+ + −

i i

i

i

7. 7. 7. 7. 7.

( )( )

( )( ) ( )

2 5

3 2

6 3 5 1

2 2 1 5 2 1

6 15 4 10 1

6 15 2 10

6 10 15 2

2

+ −

+ −

+ −

+ − + −

+ + + −

+ + −

− + +

i i

i i

i

8. 8. 8. 8. 8.

( )( )

5 3

5 2 3

25 5 3 1

2 5 3 1 2 9 1

5 15 2 15 6 1

5 3 15 6

3 15 1

2

+ −

+ −

+ −

+ − + −

+ + + −

+ −

−

i i

i

i

EJERCICIO 262

1. 1. 1. 1. 1. ( )( )

( )( )

1 1

1

1 1

1 1

1 1 2

2

2

− +

= −

= − −

= − −= + =

i i

i

2. 2. 2. 2. 2. ( )( )( )( )[ ]

3 2 1 3 2 1

3 2 1

9 4 1

9 4 13

22

+ − − −

= − −

= − −

= + =

3. 3. 3. 3. 3. ( )( )( ) ( )

( )[ ]( )[ ]

2 5 2 5

2 5

2 25 1

2 25 1

2 25 27

2 2

2

− +

= −

= − −

= − −

= + =

i i

i

4. 4. 4. 4. 4. ( )( )( ) ( )

( ) ( )[ ]( )[ ]

2 3 4 2 3 4

2 3 4

4 3 16 1

12 16 1

12 16 28

2 2

2

+ −

= −

= − −

= − −

= + =

i i

i

5. 5. 5. 5. 5. ( )( )( )( )

( )[ ]( )[ ]

5 2 5 2

25 2

25 2 1

25 2 1

25 2 1

25 2 27

2

2

2

− − + −

= − −

= − −

= − −

= − −

= + =

6. 6. 6. 6. 6. ( )( )( )( )

( )[ ]

− − − − + −

= − −

= − −

= − −

= + =

9 5 9 5

81 5

81 5 1

81 5 1

81 5 86

2

2

EJERCICIO 263

1. 1. 1. 1. 1.

( )( )

1 1

1 1

1 1

1 1

1 2 1 1

1 1

1 2 1

1 1

2

2

2

2

+ −− −

⋅+ −+ −

=+ − + −

− −=

+ −+

= =i i

i

2. 2. 2. 2. 2.

( )( )

3 1

3 1

3 1

3 1

9 6 1 1

9 1

9 6 1

9 1

8 6

10

4 3

52

+ −− −

⋅+ −+ −

=+ − + −

− −=

+ −+

=+

=+i i i

3. 3. 3. 3. 3.

( )( ) ( )[ ]

5 3 1

3 4 1

3 4 1

3 4 1

15 29 1 12 1

9 4 1

15 29 12

9 16 1

3 29

252

− −+ −

⋅− −− −

=− − + −

− −=

− −− −

=−i i

4. 4. 4. 4. 4. 8 5

7 6

7 6

7 6

56 83 30

49 36

56 83 30

49 36

26 83

85

2

2

−+

⋅−−

=− +

−=

− −+

=−i

i

i

i

i i

i

i i

5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )

( )

( )

4 3

5 4 3

5 4 3

5 4 3

20 21 3 1 4 3 1

25 4 3 1

20 21 3 12

25 48

8 21 3

73

2

2

+ −− −

⋅+ −+ −

=+ − + −

− −

=+ −

− −=

+i i

6. 6. 6. 6. 6.

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 5

4 2 5

4 2 5

4 2 5

4 2 9 2 5 1 2 5 1

16 2 5 1

8 9 10 10

32 5

9 10 2

37

2 2

2 2

+ −− −

⋅+ −+ −

=+ − + −

− −

=+ −

+=

−i i

EJERCICIO 265

1. 1. 1. 1. 1. 3 5 2 0

5

3

2

30

5

3

2

35

3

25

36

25

36

2

3

5

6

25 24

36

5

6

1

65

6

1

65 1

61

5 1

6

4

6

2

3

2

2

2

2

2

1

2

x x

xx

xx

xx

x

x

x

x

x

− + =

− + =

− = −

− + = −

−

=

−

− = ±

= ±

=+

=

=−

= =

2. 2. 2. 2. 2. 4 3 22 0

3

4

22

43

4

9

64

11

2

9

64

3

8

352 9

64

2

2

2

2

x x

xx

xx

x

+ − =

+ =

+ + = +

+

=

+

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación

x

x

x

x

+ = ±

= − ±

= − + = =

=− −

= − = −

38

36164

3

8

19

83 19

8168

2

3 198

228

114

1

2

3. 3. 3. 3. 3. x x

x x

x

x

x

x

x

2

2

2

1

2

11 24

11121

4

121

424

11

2

121 96

4

11

2

25

411

2

5

211 5

2

6

23

11 5

2

16

28

+ = −

+ + = −

+

=

−

+ = ±

= − ±

=− +

=−

= −

=− −

=−

= −

4. 4. 4. 4. 4.

( )

x x

x x

x x

x

x

x

x

x

2

2

2

2

1

2

16 63

16 63

16 64 64 63

8 1

8 1

8 1

8 1 9

8 1 7

= −

− = −− + = −

− =− = ±

= ±= + == − =

5. 5. 5. 5. 5. 12 4 9 0

9 12 4

9 12 4

12

9

4

94

3

4

9

4

9

4

9

2

30

2

30

2

3

2

2

2

2

2

2

1 2

x x

x x

x x

xx

xx

x

x

x x

− − =

− + =

− = −

− = −

− + = −

−

=

− =

= =

6. 6. 6. 6. 6.

( )( )( )

5 7 90 0

7 7 4 5 90

2 5

7 49 1 800

10

7 1 849

10

7 43

107 43

10

50

105

7 43

10

36

103

2

2

1

235

x x

x

x

x

x

x

− − =

=± − −

=± +

=±

=±

=+

= =

=−

= − = −

.

.

7. 7. 7. 7. 7.

( )( )( )

6 222

6 222 0

1 1 4 6 222

2 6

1 5 329

121 73

121 73

12

74

126

1 73

12

72

126

2

2

2

116

2

x x

x x

x

x

x

x

x

= +

− − =

=± +

=±

=±

=+

= =

=−

=−

= −

.

8. 8. 8. 8. 8.

( )( )( )

x x

x x

x

x

x

x

x

+ =

− − =

=± − −

=± +

=±

=+

= =

=−

=−

= −

11 10

10 11 0

1 1 4 10 11

2 10

1 1 440

201 21

201 21

20

22

201

1 21

20

20

201

2

2

2

1110

2

9. 9. 9. 9. 9.

( ) ( )( )( )

49 70 25 0

70 70 4 49 25

2 49

70 4 900 4 900

9870

98

5

7

2

2

1 2

x x

x

x

x x

− + =

=± −

=± −

= = =

. .

10. 10. 10. 10. 10.

( ) ( )( )( )

12 7 64 0

7 12 64 0

12 12 4 7 64

2 7

12 144 1 792

14

12 1 936

14

12 44

14

12 44

14

32

142

12 44

14

56

144

2

2

2

127

2

x x

x x

x

x

x

x

x

x

− + =

− + + =

=− ± − −

−

=− ± +

−

=− ±

−

=− ±

−

=− +

−= − = −

=− −

−=

−−

=

.

.

11. 11. 11. 11. 11.

( ) ( ) ( )( )

x x

x x

x

x

x

x

x

2

2

2

1

2

15 56

15 56 0

15 15 4 1 56

2 1

15 225 224

215 1

215 12

142

7

15 1

2

16

28

= −

+ + =

=− ± −

=− ± −

=− ±

=− +

=−

= −

=− −

=−

= −

12. 12. 12. 12. 12.

( ) ( )( )( )

32 18 17 0

18 18 4 32 17

2 32

18 324 2 176

64

18 2 500

6418 50

6418 50

64

32

64

1

218 50

64

68

641

2

2

1

21

16

x x

x

x

x

x

x

x

+ − =

=− ± − −

=− ± +

=− ±

=− ±

=− +

= =

=− −

=−

= −

.

.

13. 13. 13. 13. 13.

( ) ( ) ( )( )

176 121 64

64 176 121 0

176 176 4 64 121

2 64

176 30 976 30 976

128176

1281

2

2

2

1 238

x x

x x

x

x x

= +

− + =

=± −

=± −

= = =

. .

14. 14. 14. 14. 14.

( ) ( )( )( )

8 5 36

36 8 5 0

8 8 4 36 5

2 36

8 64 720

72

8 784

72

8 28

72

8 28

72

20

72

5

18

8 28

72

36

72

1

2

2

2

2

1

2

x x

x x

x

x

x

x

x

x

+ =

− + + =

=− ± − −

−

=− ± +

−

=− ±

−

=− ±

−

=− +

−= − = −

=− −

−=

−−

=

15. 15. 15. 15. 15.

( ) ( ) ( )( )

27 12 7 0

12 12 4 27 7

2 27

12 144 756

54

12 900

5412 30

54

18

54

1

312 30

54

42

54

7

9

2

2

1

2

x x

x

x

x

x

x

+ − =

=− ± − −

=− ± +

=− ±

=− +

= =

=− −

=−

= −

16. 16. 16. 16. 16.

( ) ( ) ( )( )

15 25 2

25 15 2 0

15 15 4 25 2

2 25

15 225 200

50

15 25

5015 5

50

20

50

2

515 5

50

10

50

1

5

2

2

2

1

2

x x

x x

x

x

x

x

x

= +

− + =

=± −

=± −

=±

=+

= =

=−

= =

17. 17. 17. 17. 17.

( ) ( ) ( )( )

8 2 3 0

2 2 4 8 3

2 8

2 4 96

16

2 100

162 10

162 10

16

12

16

3

42 10

16

8

16

1

2

2

2

1

2

x x

x

x

x

x

x

x

− − =

=± − −

=± +

=±

=±

=+

= =

=−

=−

= −

18. 18. 18. 18. 18.

( ) ( )( )( )

105 2

2 105 0

1 1 4 2 105

2 2

1 1 840

4

1 841

41 29

41 29

4

28

47

1 29

4

30

47

2

2

2

1

212

= +

+ − =

=− ± − −

=− ± +

=− ±

=− ±

=− +

= =

=− −

=−

= −

x x

x x

x

x

x

x

x

x

EJERCICIO 266

1. 1. 1. 1. 1. ( )

( ) ( )( )( )

x x x

x x x

x x x

x x

x

x

x

x

x

+ = +

+ = +

+ − − =

− − =

=± − − −

=± +

=±

=+

= =

=−

=−

= −

3 5 3

3 5 3

3 5 3 0

2 3 0

2 2 4 1 3

2 1

2 4 12

22 4

22 4

2

6

23

2 4

2

2

21

2

2

2

2

1

2

2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

3 3 2 4 4

9 6 16

9 22 0

9 9 4 1 22

2 1

9 169

29 13

2

4

22

9 13

2

22

211

2

2

2

1

2

x x x

x x

x x

x

x

x

x

− = + −

− = − ++ − =

=− ± − −

=±

=− +

= =

=− −

=−

= −

3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

9 1 3 5 3 2

9 1 3 15 6

9 1 2 9

0 2 8 10

8 8 4 2 10

2 2

8 64 80

48 12

48 12

4

20

45

8 12

4

4

41

2

2 2

2

2

2

1

2

x x x x

x x x x

x x x

x x

x

x

x

x

x

+ = − − − +

+ = − − + ++ = + −

= − −

=± − − −

=± +

=±

=+

= =

=−

=−

= −

4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

2 3 5 23

4 12 9 10 25 23 0

3 22 7 0

22 22 4 3 7

2 3

22 400

622 20

622 20

6

42

67

22 20

6

2

6

1

3

2 2

2 2

2

2

1

2

x x

x x x x

x x

x

x

x

x

x

− − + =−

− + − − − + =− + =

=± −

=±

=±

=+

= =

=−

= =

5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )

( ) ( )( )( )

25 2 7 81

25 100 100 14 49 81

24 114 132 0

4 19 22 0

19 19 4 4 22

2 4

19 361 352

819 3

819 3

8

16

82

19 3

8

22

82

2 2

2 2

2

2

2

1

234

x x

x x x x

x x

x x

x

x

x

x

x

+ = − −

+ + = − + −+ + =

+ + =

=− ± −

=− ± −

=− ±

=− +

=−

= −

=− −

=−

= −

6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

3 2 6 23 3

3 6 6 23 69

3 30 75 0

10 25 0

10 10 4 1 25

2 1

10 100 100

210

25

2

2

2

2

1 2

x x x x

x x x x

x x

x x

x

x

x x

− − − = −

− − + = −

− + =

− + =

=± − −

=± −

= = =

7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )

7 3 5 1 5 2

7 21 5 5 5 10

7 16 5 4 10

17 16 0

17 17 4 1 16

2 1

17 225

2

17 15

2

17 15

2

2

21

17 15

2

32

216

2 2

2 2 2

2 2

2

2

1

2

x x x x x

x x x x x

x x x x

x x

x

x

x

x

x

− − − = − +

− − + = − −

− − = − −

− + − =

=− ± − − −

−

=− ±

−

=− ±

−

=− +

−=

−−

=

=− −

−=

−−

=

8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )

x x x

x x x x x x

x x x

x x

x x

x

x

x

x

− − − = − −

− + − + − = − + −

− = − −

− − =

− − =

=± − − −

=±

=+

= =

=−

=−

= −

5 6 2 3 118

10 25 12 36 4 12 9 118

2 11 4 12 109

4 14 98 0

2 7 49 0

7 7 4 2 49

2 2

7 441

47 21

4

28

47

7 21

4

14

43

2 2 2

2 2 2

2

2

2

2

1

212

9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( )

( ) ( )( )( )

5 2 3 1 60 0

25 20 4 9 6 1 60 0

15 26 57 0

26 26 4 15 57

2 15

26 676 3 420

3026 64

3026 64

30

90

303

26 64

30

38

301

2 2 2

2 2 2

2

2

1

2415

x x x

x x x x x

x x

x

x

x

x

x

− − + − − =

− + − − − − − =− − =

=± − − −

=± +

=±

=+

= =

=−

=−

= −

.

10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( )

( ) ( )( )( )

x x

x x x x x x

x x

x x

x

x

x

x

x

+ − − =

+ + + − + − + − =

+ − =

− − + =

=± − − −

−

=±−

=±−

=+−

=−

= −

=−−

=−−

=

4 3 343

12 48 64 9 27 27 343 0

21 21 252 0

12 0

1 1 4 1 12

2 1

1 49

2

1 7

2

1 7

2

8

24

1 7

2

6

23

3 3

3 2 3 2

2

2

2

1

2

11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

x x x x

x x x x x x x x

x x

x

x

x

x

+ − − = + +

+ + + − + − + = + +

+ + =

=− ± −

=− ± −

=− +

=−

= −

=− −

=−

= −

2 1 3 4 8

6 12 8 3 3 1 3 4 8

6 5 1 0

5 5 4 6 1

2 6

5 25 24

125 1

12

4

12

1

35 1

12

6

12

1

2

3 3

3 2 3 2 2

2

2

1

2

12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )( )

5 4 3 5 2 1 20 2 27

25 40 16 6 7 5 20 40 27

19 47 21 20 40 27

7 6 0

7 7 4 1 6

2 1

7 49 24

2

7 25

2

7 5

2

12

26

7 5

2

2

21

2

2 2 2

2 2

2

2

1

2

x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x

x

x

x

x

x

− − + − = − +

− + − − + = − +

− + = − +

− − − =

=± − − − −

−

=± −

−

=±−

=+

−=

−= −

=−

−=

−= −

EJERCICIO 267

1. 1. 1. 1. 1.

( ) ( )x x

x

x

x

x

x

2

2

1

2

3 2 0

3

2

3

42

3

2

9

42

3

2

1

43

2

1

2

4

22

3

2

1

2

2

21

− + =

= −−

±−

−

= ± −

= ±

= + = =

= − = =

2. 2. 2. 2. 2.

( ) ( ) ( )

x x

x

x

x

x

x

2

2

1

2

2 15 0

2

2

2

415

1 1 15

1 4

1 4 5

1 4 3

− − =

= −−

±−

− −

= ± += ±= + == − = −

3. 3. 3. 3. 3.

( ) ( )

x x

x x

x

x

x

x

x

2

2

2

1

2

19 88

19 88 0

19

2

19

488

19

2

361

488

19

2

9

419

2

3

2

22

211

19

2

3

2

16

28

= −− + =

= −−

±−

−

= ± −

= ±

= + = =

= − = =

4. 4. 4. 4. 4.

( ) ( )

x x

x x

x

x

x

x

x

2

2

2

1

2

4 285

4 285 0

4

2

4

4285

2 4 285

2 289

2 17 15

2 17 19

+ =+ − =

= − ± − −

= − ± +

= − ±= − + == − − = −

5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )

( )

5 1 2 2 7 8

5 5 4 14 8 0

9 8 0

9

2

9

48

92

814

8

9

2

49

49

2

7

2

2

21

92

72

162

8

2

2 2

2

2

1

2

x x x x

x x x x

x x

x

x

x

x

x

− − − = −

− − + + =

+ + =

= − ± −

= − ± −

= − ±

= − + =−

= −

= − − =−

= −

6. 6. 6. 6. 6. ( )

( ) ( ) ( )

x x x

x x x

x x

x

x

x

x

x

2

2

2

2

1

2

7 6 59

7 6 59 0

8 65 0

8

2

8

465

4 16 65

4 9

4 9 13

4 9 5

− + = +

− − − − =

− − =

= −−

±−

− −

= ± += ±= + == − = −

8. 8. 8. 8. 8. ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

x x x

x x

x x

x

x

x

x

x

− + − − =

− − + − =− − =

= −−

±−

− −

= ± +

= ±

= + = =

= − =−

= −

2 2 7 1 21

4 7 7 21 0

7 18 0

7

2

7

418

7

2

49

418

7

2

121

47

2

11

2

18

29

7

2

11

2

4

22

2

2

2

1

2

9. 9. 9. 9. 9. ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 5 7 3

2 3 10 7 21

10 11 0

10

2

10

411

5 25 11

5 36

5 6 11

5 6 1

2

2 2

2

2

1

2

x x x x

x x x x

x x

x

x

x

x

x

− − + = +

− − + = +− − =

= −−

±−

− −

= ± +

= ±= + == − = −

10. 10. 10. 10. 10. ( )( ) ( )( )

( ) ( )

x x x x x

x x x x x

x x

x x

x

x

x

x

x

− + − − + − + =

+ − − − + − + =

− − + =

+ − =

= − ± − −

= − ± +

= − ±

= − + = =

= − − =−

= −

1 2 2 3 4 14 0

2 2 5 12 14 0

5 24 0

5 24 0

5

2

5

424

5

2

25

424

5

2

121

45

2

11

2

6

23

5

2

11

2

16

28

2 2

2

2

2

1

2

7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x x x x

x x x x x x

x x x x

x x

x

x

x

x

x

− + + = − −

− + + + = − + −

+ + = + −− − =

= −−

± − −

= ± +

= ±

= + = =

= − =−

= −

1 11 199 3 2

2 1 11 199 3 4 4

9 200 2 4 4

5 204 0

5

2

5

4204

5

2

25

4204

5

2

841

45

2

29

2

34

217

5

2

29

2

24

212

2 2 2

2 2 2

2 2

2

2

1

2

EJERCICIO 268

1. 1. 1. 1. 1.

( ) ( )( )( )

x xmcm

x x

x x

x

x

x

x

x

2

2

2

2

1

2

5 2

3

1010

2 5 3

2 5 3 0

5 5 4 2 3

2 2

5 25 24

45 7

45 7

4

12

43

5 7

4

2

4

1

2

− = =

− =− − =

=± − − −

=± +

=±

=+

= =

=−

=−

= −

2. 2. 2. 2. 2.

( ) ( )( )( )

413 3

22

8 26 3

8 3 26 0

3 3 4 8 26

2 8

3 9 832

163 29

163 29

16

32

162

3 29

16

26

161

2

2

2

1

258

xx

mcm x

x x

x x

x

x

x

x

x

− = =

− =

− − =

=± − − −

=± +

=±

=+

= =

=−

=−

= −

3. 3. 3. 3. 3. ( )( )

( ) ( )

x xx mcm

x x x

x x x

x x

x

x

x

x

2

2

2

2

2

1

2

6 23 5 6

3 18 5

3 18 90

21 90 0

21

2

21

490

21

2

81

421

2

9

2

30

215

21

2

9

2

12

26

− = − =

− = −

− = −

− + =

= −−

±−

−

= ±

= + = =

= − = =

4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )

1

44

2

55

1

553

20

5 4 8 5 4 53

5 20 8 40 4 212 0

4 13 152 0

13 13 4 4 152

2 4

13 169 2 432

8

13 51

813 51

8

38

84

13 51

8

64

88

2

2

2

2

2

134

2

x x x

mcm

x x x

x x x

x x

x

x

x

x

x

− + − = −

=

− + − = −

− + − − + =

− + + =

=− ± − −

−

=− ± +

−

=− ±

=− +

−=

−= −

=− −

−=

−−

=

.

5. 5. 5. 5. 5.

( ) ( ) ( )

5 1

21 2

5 12

1 2

5 10 2

2 10 0

2

2

2

410

1 1 10

1 11

1 11

1 11

2

2

2

1

2

x xmcm x

xx mcm x

x x x x

x x

x

x

x

x

x

−+

= = +

+

− = + =

+ − = +

− − =

= −−

±−

− −

= ± +

= ±

= +

= −

6. 6. 6. 6. 6.

( )

( ) ( )

15 11 51

15 11 5

4 5 0

4

2

4

45

2 4 5

2 3

2 3 1

2 3 5

22

2

2

2

1

2

x

x

xmcm x

x x x

x x

x

x

x

x

x

−+

= − =

− + = −

+ − =

= − ± − −

= − ± += − ±= − + == − − = −

7. 7. 7. 7. 7. ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

8

3 5

5 1

13 3 5 1

8 1 5 1 3 5 3 3 5 1

8 8 15 22 5 9 24 15

23 30 5 9 24 15

14 6 20 0

2 2 2

2 2

2

x

x

x

xmcm x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x

++

−+

= = + +

+ + − + = + +

+ + + − = + +

+ − = + ++ − =

( ) ( )( )( )x

x

x

x

=− ± − −

=− ±

=− ±

=− +

= =

=− −

=−

= −

6 6 4 14 20

2 14

6 1156

28

6 34

286 34

28

28

281

6 34

28

40

281

2

1

237

.

8. 8. 8. 8. 8.

( )( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

1

2

1

1

1

6

6 2 1

6 1 6 2 2 1

6 6 6 12 3 2

6 3 2

0 3 4

3

2

3

44

3

2

9

44

3

2

25

4

3

2

5

23

2

5

2

8

24

3

2

5

2

2

21

2

2

2

2

1

2

x x

mcm x x

x x x x

x x x x

x x

x x

x

x

x

x

x

−−

−=

= − −

− − − = − −

− − + = − += − +

= − −

= −−

±−

− −

= ± +

= ± = ±

= + = =

= − =−

= −

9. 9. 9. 9. 9. ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

12 3

5

2

1010 5

10 5 10 2 3 5 2

10 50 20 30 3 10

10 80 3 10

0 13 90

13

2

13

490

2

2

2

2

−−+

=−

= +

+ − − = + −

+ − + = + −

− + = + −

= + −

= − ± − −

x

x

xmcm x

x x x x

x x x x

x x x

x x

x

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

9. Continuación9. Continuación9. Continuación9. Continuación9. Continuación

x

x

x

x

x

= − ± +

= − ±

=−

±

=−

+ = =

=−

− =−

= −

13

2

169

490

13

2

529

413

2

23

213

2

23

2

10

25

13

2

23

2

36

218

1

2

10. 10. 10. 10. 10. ( )

( ) ( )

( ) ( )( )( )

x

x

x

xmcm x

x x x x

x x x x

x x

x

x

x

x

x

x

−= −

+=

− = − +

− = − −

− + + =

=− ± − −

−

=− ± +

−

=±

−

=− ±

−

=− +

−=

−= −

=− −

−=

−−

=

135

10 5 3

13 5 10 5 3

13 5 50 30

4 37 30 0

37 37 4 4 30

2 4

37 1 369 480

8

37 1 849

8

37 43

8

37 43

8

6

8

3

4

37 43

8

80

810

22

2

2 2

2

2

1

2

.

.

11. 11. 11. 11. 11. ( )( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

x

x

x

xmcm x x

x x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x

x

x

x

x

x x

−−

−= = −

− − − = −

− − + = −

− + − = −

= − +

=− − ± − −

=± −

=±

=± ⋅

=±

=±

=+

=−

2

2 5

22 2

2 2 2 2 5 2

2 2 4 4 5 10

2 2 8 8 5 10

0 5 18 8

18 18 4 5 8

2 5

18 324 160

10

18 164

10

18 2 41

10

18 2 41

10

9 41

5

9 41

5

9 41

5

2 2 2

2 2 2

2

2

2

1 2;

12. 12. 12. 12. 12. ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

4

1

1 3

4

20

312 1

12 4 3 1 1 3 4 1 20

48 9 12 3 80 80

23 68 3 0

68 68 4 23 3

2 23

68 4 624 276

46

68 4 900

46

68 70

46

68 70

46

2

46

1

23

68 70

46

138

463

2

2

2 2 2

2

2

1 2

x

x

x xmcm x

x x x x x

x x x x x

x x

x

x

x x

−−

−= = −

− − − = −

+ − + = −− + + =

=− ± − −

−

=− ± +

−=

− ±−

=− ±

−

=− +

−=

−= − =

− −−

=−−

=

. .

;

13. 13. 13. 13. 13. ( )( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( )

3 1 2

2 1

7

60 6 2 1

6 2 1 3 1 6 2 7 2 1 0

6 6 5 1 12 14 7 0

36 30 6 12 14 7 0

10 23 6 0

23 23 4 10 6

2 10

23 529 240

2023 289

2023 17

2023 17

204020

223 17

20

2 2 2

2 2 2

2

2

1 2

x

x

x

xmcm x x

x x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x

x

x

x x

−−

−− = = −

− − − − − =

− + − − + =

− + − − + =

− + =

=± −

=± −

=±

=±

=+

= = =−

; = =620

310

14. 14. 14. 14. 14.

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

5 8

1

7 4

2

2 5 8 7 4 1

5 2 16 7 11 4

0 2 13 20

13 13 4 2 20

2 2

13 169 160

4

13 9

4

13 3

413 3

4

16

44

13 3

4

10

4

5

22

2 2

2

2

1 212

x

x

x

x

x x x x

x x x x

x x

x

x

x x

−−

=−

+

+ − = − −

+ − = − +

= − +

=± −

=± −

=±

=±

=+

= = =−

= = =;

15. 15. 15. 15. 15.

( )( )( )( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

x

x

x

x

mcm x x

x x x x

x x x x

x x

x x

x

x

x x

+−

−−+

=

= − +

+ + − − − =

+ + − + − =− + + =

− − =

=± − − −

=± +

=±

=±

=+

= = =−

=−

= −

3

2 1

5 1

4 70

2 1 4 7

3 4 7 5 1 2 1 0

4 19 21 10 7 1 0

6 26 20 0

3 13 10 0

13 13 4 3 10

2 3

13 169 120

6

13 289

6

13 17

613 17

6

30

65

13 17

6

4

6

2

3

2 2

2

2

2

1 2;

16. 16. 16. 16. 16.

( )( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

1

4

1

6

1

1

6 4 1

6 1 4 1 64

6 6 3 4 24 6

3 2 24 6

9 22 0

9

2

9

422

9

2

81

422

9

2

169

4

9

2

13

29

2

13

2

4

22

9

2

13

2

22

211

2

2

2

2

1 2

−− =

+

= − +

+ − − + = −

+ + − − = −

+ + = −

+ − =

= − ± − −

= − ± + = − ± =−

±

=−

+ = = =−

− =−

= −

x x

mcm x x

x x x x

x x x x

x x x

x x

x

x

x x;

17. 17. 17. 17. 17. ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

x

x

x

xmcm x x

x x x x x x

x x x x x x

x x

x x

x

x

x x

++

−++

= = + +

+ + − + + = + +

+ + − − − = + +

= + += + −

= − ± − −

= − ± + = − ± = − ±= − + = = − − = −

4

5

2

3

1

2424 5 3

24 3 4 24 2 5 5 3

24 168 288 24 168 240 8 15

48 8 15

0 8 33

8

2

8

433

4 16 33 4 49 4 7

4 7 3 4 7 11

2 2 2

2

2

2

1 2;

18. 18. 18. 18. 18. ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( )

5

1

6

13 8 1

40 48 1 29 1

40 48 48 29 29

29 48 117 0

48 48 4 29 117

2 29

48 2 304 13 572

58

48 126

58

48 126

58

174

583

48 126

58

78

581

258

2

2

2

2

2

1 21029

x xmcm x

x x

x x

x x

x

x

x x

−−

+= = −

− − = −

− + = −

− − + =

=− − ± − −

−

=± +

−=

±−

=+

−=

−= − =

−−

=−−

=

. .

;

19. 19. 19. 19. 19. ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )

x

x

x

x

x

xmcm x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x

x x x

−+

++−

=++

= + − +

− − + + + + + = + + −

− + + + + + + = + −

+ − − + + + + + + + + = − + −

+ + + =

1

1

1

1

2 9

31 1 3

1 1 3 1 1 3 2 9 1 1

2 1 3 2 1 3 2 9 1

3 2 6 3 3 2 6 3 2 2 9 9

2 6 2 6

2 2 2

3 2 2 3 2 2 3 2

3 2 2 9 2 9

0 3 4 15

3 2

2

x x x

x x

+ − −

= − −

( ) ( )( )( )x

x

x x

=± − −

=± +

=±

=±

=+

= = =−

=−

= −

4 4 4 3 15

2 3

4 16 180

6

4 196

6

4 14

64 14

6

18

63

4 14

6

10

61

2

1 223

20. 20. 20. 20. 20. ( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

3

2

1

2

1

12 2 1

3 2 1 2 1 2 2

3 3 6 3 2 4

2 6 8 4

6 4 0

6

2

6

44 3 9 4 3 13

3 13 3 13

2 2 2

2 2

2

2

1 2

x x xmcm x x x

x x x x x x

x x x x x

x x x

x x

x

x x

+−

−=

+= + − +

− + − + + = + −

− − − − − = −

− − = −

− − =

= −−

±−

− − = ± + = ±

= + = −;

EJERCICIO 269

1. 1. 1. 1. 1. ( )( )

x x

x x

x x

2

1 2

6 0

3 2 0

3 2

− − =

− + == = −

2. 2. 2. 2. 2.

( )( )

x x

x x

x x

x x

2

2

1 2

7 18

7 18 0

9 2 0

9 2

+ =

+ − =

+ − == − =

3. 3. 3. 3. 3.

( )( )

8 65

8 65 0

13 5 0

13 5

2

2

1 2

x x

x x

x x

x x

− = −

+ − =

+ − == − =

4. 4. 4. 4. 4.

( )( )

x x

x x

x x

x x

2

2

2 2

1 2

108 3

3 108 0

108 2

54 2 2 3 3

27 3 12 9 3

9 3

3 3

1

12 9 0

12 9

= −

+ − =

⋅ −− =

+ − == − =

5. 5. 5. 5. 5.

( ) ( )

( )( )

( )( )

2 7 4 0

2 7 2 8 0

2 8 2 1

20

4 2 1 0

4 0 2 1 0

41

2

2

2

1 2

x x

x x

x x

x x

x x

x x

+ − =

+ − =

+ −=

+ =+ = − =

= − =

6. 6. 6. 6. 6.

( ) ( )

( )( )

( )( )

6 10 11

6 11 10 0

6 11 6 60 0

6 15 6 4

3 20

2 5 3 2 0

2 5 0 3 2 0

5

22

2

3

2

2

2

112 2

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

= −+ − =

+ − =

+ −⋅

=

+ − =+ = − =

= − = − =

7. 7. 7. 7. 7.

( ) ( )

( )( )

( )( )

20 27 14

20 27 14 0

20 27 20 280 0

20 35 20 8

5 40

4 7 5 2 0

74

125

2

2

2

134 2

x x

x x

x x

x x

x x

x x

− =− − =

− − =

− +⋅

=

− + =

= = = −

8. 8. 8. 8. 8.

( ) ( )

( )( )

( )( )

7 15 30

30 7 15 0

30 7 30 450 0

30 25 30 18

5 60

6 5 5 3 0

6 5 0 5 3 0

6 5 5 3

5

6

3

5

2

2

2

1 2

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

= −

+ − =

+ − =

+ −⋅

=

+ − =+ = − =

= − =

=−

=

9. 9. 9. 9. 9.

( ) ( )

( )( )

( )( )

60 8 157

8 157 60 0

8 157 8 480 0

8 160 8 3

80

20 8 3 0

20 0 8 3 0

20 8 3

3

8

2

2

2

1

2

= +

+ − =

+ − =

+ −=

+ − =+ = − == − =

=

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( )

( )( )

x x x

x x x

x x

x x

x x

x x

− − − =

− − + − =

− + =

− − =− = − =

= =

1 5 2 2

5 10 2 0

6 8 0

4 2 0

4 0 2 0

4 2

2

2

1 2

11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

− − + =−

− + − − − + =

− − + =

+ − =

+ − =

+ −=

2 2 3 80

4 4 4 12 9 80 0

3 16 75 0

3 16 75 0

3 16 3 225 0

3 25 3 9

30

2 2

2 2

2

2

2

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

11. Continuación11. Continuación11. Continuación11. Continuación11. Continuación

( )( )3 25 3 0

3 25 0 3 0

3 25 3

25

38

2

113

x x

x x

x x

x

+ − =+ = − == − =

= − = −

12. 12. 12. 12. 12.

( ) ( )

( )( )

( )( )

6 9 4

33

18 27 4

4 27 18 0

4 27 4 72 0

4 24 4 3

40

6 4 3 0

6 0 4 3 0

6 4 3

3

4

22

2

2

2

1

2

x xmcm x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

− = − =

− = −

− + =

− + =

− −=

− − =− = − == =

=

13. 13. 13. 13. 13.

( )( )

x

xx

xmcm x

x x

x x

x x

x x

x x

++ = =

+ + =+ − =

+ − =+ = − == − =

2 74

2 74

72 0

9 8 0

9 0 8 0

9 8

2

2

1 2

14. 14. 14. 14. 14. ( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

xx

mcm

x x

x x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

+ −−

= =

+ − − =

+ + − + − =+ + =

+ + =

+ +=

+ + =+ = + == − = −

=−

= −

22 5

33 3

3 2 2 5 9

3 12 12 2 5 9 0

3 10 8 0

3 10 3 24 0

3 6 3 4

30

2 3 4 0

2 0 3 4 0

2 3 4

4

31

2

2

2

2

2

1

213

15. 15. 15. 15. 15. ( )( ) ( )( )

( )( )

x

xx

xmcm x

x x x x x

x x x x x

x x

x x

x x

x x

−+ =

+= −

+ − = + −

+ − = + −

− + =

− − =− = − == =

2

3 15

44 2

4 4 2 3 15 2

4 4 8 3 9 30

13 30 0

10 3 0

10 0 3 0

10 3

2 2

2

1 2

16. 16. 16. 16. 16. ( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

6

4

4 5

1212 4

72 48 4 5 4

72 48 192 5 20

5 44 192 0

5 44 5 960 0

5 60 5 16

50

12 5 16 0

12 0 5 16 0

12 5 16

16

53

2

2

2

1

215

x xmcm x x

x x x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

−− = = −

− − = −

− + = −

− − =

− − =

− +=

− + =− = + == = −

=−

= −

17. 17. 17. 17. 17. ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

x x

x x x x x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

− − − =

− + − − + − + − =

− − =

− − =

− + =− = + == = −= = −

2 3 37

6 12 8 9 27 27 37 0

3 15 18 0

3 15 3 54 0

3 18 3 3 0

3 18 0 3 3 0

3 18 3 3

6 1

3 3

3 2 3 2

2

2

1 2

18. 18. 18. 18. 18. ( )( ) ( ) ( )( )

( )( )

x

x

xmcm x

x x x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

−+

− =+

= +

− − + = + +

− − − = + ++ + =

+ + =+ = + == − = −

1

12

3

33 1

3 1 6 1 3 1

3 3 6 6 4 3

7 12 0

4 3 0

4 0 3 0

4 3

2

2

1 2

19. 19. 19. 19. 19.

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

4 1

2 3

2 1

6 5

6 5 4 1 2 1 2 3

24 14 5 4 8 3

20 6 8 0

10 3 4 0

10 3 10 40 0

10 8 10 5

2 50

5 4 2 1 0

5 4 0 2 1 0

5 4 2 1

4

5

1

2

2 2

2

2

2

1 2

x

x

x

x

x x x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

−+

=++

+ − = + +

+ − = + +

+ − =

+ − =

+ − =

+ −⋅

=

+ − =+ = − == − =

=−

=

20. 20. 20. 20. 20.

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

3 2

45

9 14

1212

3 3 2 60 9 14

9 6 60 9 14

9 45 14 0

9 45 9 126 0

9 42 9 3

3 30

3 14 3 1 0

3 14 0 3 1 0

3 14 3 1

14

3

1

34

2

2

2

1 2

123

x x

xmcm x

x x x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

+= −

+=

+ = − +

+ = − −

− + =

− + =

− −⋅

=

− − =− = − == =

= =

=

EJERCICIO 270

1. 1. 1. 1. 1.

( )( )x ax a

x a x a

x a x a

x a x a

2 2

1 2

2 35 0

7 5 0

7 0 5 0

7 5

+ − =

+ − =+ = − == − =

2. 2. 2. 2. 2.

( ) ( )( )( )

10 36 37

10 37 36 0

37 37 4 10 36

2 10

37 2 809

20

37 53

2037 53

20

16

20

4

537 53

20

90

20

9

2

2 2

2 2

2 2

2

1

2

x a ax

x ax a

xa a a

xa a a a

xa a a a

xa a a a

= −

+ − =

=− ± − −

=− ±

=− ±

=− +

= =

=− −

=−

=−

.

3. 3. 3. 3. 3.

( ) ( )( )( )

a x abx b

a x ab a x a b

a x ab a x ab

a x ab a x ab

a x ab a x ab

xab

ax

ab

a

xb

ax

b

a

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

1 2 2 2

1 2

2 0

2 0

2 0

2 0 0

2

2

2

+ − =

+ − =

+ − =

+ = − =

= − =

=−

=

= − =

4. 4. 4. 4. 4.

( ) ( ) ( )( )( )

89 42 22

42 89 22 0

89 89 4 42 22

2 42

89 4 225

84

89 65

8489 65

84

24

84

2

789 65

84

154

84

11

6

2 2

2 2

2 2

2

1

2

bx x b

x bx b

xb b b

xb b b

xb b b b

xb b b b

= +

− + =

=− − ± − −

=±

=±

=−

= =

=+

= =

.

5. 5. 5. 5. 5.

( )( )

x ax a

x ax a

x a x a

x a x a

x a x a

2 2

2 2

1 2

20

20 0

5 4 0

5 0 4 0

5 4

+ =

+ − =

+ − =+ = − =

= − =

6. 6. 6. 6. 6.

( ) ( )

( )( )

( )( )

2 3

2 3 0

2 2 6 0

2 3 2 2

20

2 3 0

2 3 0 0

2 3

3

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1 2

x abx a b

x abx a b

x ab x a b

x ab x ab

x ab x ab

x ab x ab

x ab x ab

xab

x ab

= +

− − =

− − =

− +=

− + =− = + == = −

= = −

7. 7. 7. 7. 7.

( ) ( )( )( )

( ) ( )

b x abx a

b x abx a

b x ab b x a b

b x ab b x ab

b b

bx a bx a

bx a bx a

bx a bx a

xa

bx

a

b

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

1 2

2 3

2 3 0

2 3 0

30

3 0

3 0 0

3

3

+ =

+ − =

+ − =

+ −⋅

=

+ − =+ = − =

= − =

= − =

8. 8. 8. 8. 8.

( ) ( )( ) ( )

x ax bx ab

x ax bx ab

x x a b x a

x b x a

x b x a

x b x a

2

2

1 2

0

0

0

0 0

+ − =

+ − − =

+ − + =

− + =− = + =

= = −

9. 9. 9. 9. 9.

( ) ( )( ) ( )

x ax ab bx

x bx ax ab

x x b a x b

x b x a

x b x a

x b x a

2

2

1 2

2 6 3

3 2 6 0

3 2 3 0

3 2 0

3 0 2 0

3 2

− = −

+ − − =

+ − + =

+ − =+ = − == − =

10. 10. 10. 10. 10. ( )( ) ( )

( )( )

3 2 4 2 0

3 2 2 2 0

2 3 2 0

2 0 3 2 0

2 3 2

2

2

3

2

1 2

x mx nx mn

x x m n x m

x m x n

x m x n

x m x n

xm

xn

− + − =

− + − =

− + =− = + =

= = −

= = −

11. 11. 11. 11. 11.

( ) ( )( )( ) ( )

( )( )

x a bx ab

x a b x a

x a x a b x a

x a b x a

x a b x a

x a b x a

2 2

2 2

1 2

0

0

0

0

0 0

− − − =

− − + =

+ − − + =

− − + =− − = + =

= + = −

12. 12. 12. 12. 12. ( )

( ) ( )( )( )

abx x b a

abx bx ax

abx ax bx

ax bx bx

bx ax

bx ax

bx ax

xb

xa

2

2

2

1 2

2 2

2 2 0

2 2 0

2 2 0

2 1 0

2 0 1 0

2 1

2 1

− − =

− + − =

+ − − =

+ − + =

+ − =+ = − =

= − =

=−

=

13. 13. 13. 13. 13.

( ) ( ) ( )

( )

( )

x ax a b

xa a a b

xa a a b a b

xa b a b

a b

xa b a b

a b

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1

2

2 0

2 2 4

2

2 4 4 4

2

2 2

2

2 2

2

2

2

2 2

2

2

2

− + − =

=− − ± − −

=± − +

=±

=+

=+

= +

=−

=−

= −

14. 14. 14. 14. 14. ( )

( ) ( ) ( )( )( )

( )

( )

4 4

4 4 4 0

4 4 4 4 4

2 4

4 16 16 64

8

4 64

8

4 8

8

4 8

8

4 2

8

2

2

4 8

8

4 2

8

2

2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

1

2

x x b b m

x bx b m

xb b b m

xb b b m

xb m b m

xb m b m b m

xb m b m b m

− + =

− + − =

=− − ± − − −

=± − +

=±

=±

=+

=+

=+

=−

=−

=−

15. 15. 15. 15. 15.

( ) ( ) ( )

( )

( )

x b a ax

x ax b a

xa a b a

xa a b a a b

xa b a b

a b

xa b a b

a b

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1

2

4 4 0

4 4 0

4 4 4 4

2

4 16 4 16

2

4 2

2

4 2

2

2 2

22

4 2

2

2 2

22

− + − =

− − + =

=− − ± − − − +

=± + −

=±

=+

=+

= +

=−

=−

= −

16. 16. 16. 16. 16. ( )

( ) ( )( )( )

x a x a

x ax x a

x x a x a

x a x

x a x

x a x

2

2

1 2

2 2

2 2 0

2 0

2 0

0 2 0

2

− + = −

− − + =

− − − =

− − =− = − =

= =

17. 17. 17. 17. 17. ( )

( ) ( )( )( )

x x a a

x x ax a

x x a x

x x a

x x a

x x a

2

2

1 2

2 4 3 48

8 6 48 0

8 6 8 0

8 6 0

8 0 6 0

8 6

+ − =

+ − − =

+ − + =

+ − =+ = − =

= − =

18. 18. 18. 18. 18.

( )( ) ( )( )( )

x x m m

x m x m

x m x m x m

x m x m

x m x m

x m x m

2 2

2 2

1 2

2 2

2 2 0

2 0

2 0

2 0 0

2

− = +

− − − =

+ − − + =

− − + =− − = + =

= + = −

19. 19. 19. 19. 19. ( )

( ) ( )( )( )

x m x m m

x xm xm m

x x m m x m

x m x m

x m x m

x m x m

2 2 5

2 3 2 5

3 2 3

3 2

3 2

13

22

2 2

2 2 0

2 0

2 0

0 2 0

2

+ − =

+ − − =

+ − + =

+ − =

+ = − =

= − =

20. 20. 20. 20. 20.

( ) ( )( )( )

6 15 2 5

6 2 15 5 0

2 3 5 3 0

3 2 5 0

3 0 2 5 0

3 2 5

3

5

2

2

2

1 2

x ax bx ab

x bx ax ab

x x b a x b

x b x a

x b x a

x b x a

xb

xa

− = −

− − + =

− − − =

− − =− = − == =

= =

21. 21. 21. 21. 21.

( ) ( )

( )( )

( )( )

3

4 2 20 4

3 2 2 0

2 3 2 0

2 3 2 4 0

2 4 2

20

2 2 0

2 0 2 0

2 2

2

2

2 2

2 2

2 2

1

2

x a x

amcm a

ax a x

x ax a

x a x a

x a x a

x a x a

x a x a

x a x a

xa

+ − = =

+ − =

− − =

− − =

− +=

− + =− = + == = −

= −

22. 22. 22. 22. 22.

( ) ( )

( ) ( )( )( )

2

2

2

3

3 2 2 2

6 3 4 2 0

3 2 2 2 0

2 3 2 0

2 0 3 2 0

2 3 2

2

2

3

2

2

2 2

1 2

x b bx b

x

x x b bx b

x bx bx b

x x b b x b

x b x b

x b x b

x b x b

xb

xb

−=

−

− = −

− − + =

− − − =

− − =− = − =

= =

= =

23. 23. 23. 23. 23.

( )( ) ( )( ) ( )

( )( )

a x

a x

a x

a xmcm a x

a x a x a x a x a x

a ax x a ax x a x

a ax x

x ax a

x a x a

x a x a

x a x a

+−

+−+

= − = −

+ + + − − = − −

+ + + − + =− +

− − =

+ − =

+ − =+ = − =

= − =

24

2 4

2 3 2 4 4

6 0

6 0

3 2 0

3 0 2 0

3 2

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

1 2

24. 24. 24. 24. 24. ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

( )( ) ( )

x

x

a

a

a x a x

x a a x a

x a a x a

xa a a a

a

xa a a a

a

xa a a a

a

xa a a

a

a a a

a

xa a a

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 4 3 2

2 2 2

2 2 22 2

1

2 2

1 2 2

2 2 1

2 4

2 4 0

4 2 4

2 2 4

8 16

2 2 4

8 16

4 8

4

4 2

4

4 2

4

−=

−

− = −

− = −

− − + =

=− − ± − − −

−

=± − +

−

=± − +

−

=± −

−=

± −−

=+ −( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )

4 2

2 4

4 2

2 2

4 2 2

4

4 2

4

4 2 2

2

2

2 2

a

a a

a

a a

a

a

xa a a

a

a

a

a

a

−=

−−

=−

−=

=− −

−=

−=

−

25. 25. 25. 25. 25.

( ) ( )( )( )

xx a

a mcm ax

ax a x a x

ax x a a x

x ax a ax

ax x a

ax x a

ax x a

xa

x a

+ = + =

+ = +

− + − =

− − − =

− − =− = − =

= =

= =

2 12

2 2

2 2 0

1 2 1 0

1 2 0

1 0 2 0

1 2

12

2 2

2 2

1 2

26. 26. 26. 26. 26. ( )( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

2 2

44

4 2 4 2

8 4 4 4 2 2

6 2 4 0

3 2 0

3 3 6 0

3 3 3 2

30

3 2 0

0 3 2 0

3 2

2

3

2 2 2

2 2

2 2

2 2

1

2

x b

b

x

x b

x

bmcm b x b

x b x b bx x x b

x bx b bx x bx

x bx b

x bx b

x b x b

x b x b

x b x b

x b x b

x b x b

xb

−−

+= = +

− + − = +

+ − − = +

− − =

− − =

− − =

− +=

− + =− = + =

= = −

= −

EJERCICIO 271

1. 1. 1. 1. 1. 3 48

16

16

4

2

2

x

x

x

x

=

=

== ±

2. 2. 2. 2. 2. 5 9 46

5 55

11

11

11

2

2

2

x

x

x

x

x

− =

=

=

=

= ±

3. 3. 3. 3. 3. 7 14 0

2 0

2

2

2 1

2

2

2

2

x

x

x

x

x

x i

+ =

+ =

= −

= −

= −

= ±

4. 4. 4. 4. 4. 9 0

9

9

9

3

2 2

2 2

22

2

x a

x a

xa

xa

xa

− =

=

=

=

= ±

5. 5. 5. 5. 5. ( )( )x x

x

x

x

x

x

+ − = −

− = −

=

=

= ⋅

= ±

5 5 7

25 7

18

18

3 2

3 2

2

2

2

6. 6. 6. 6. 6. ( )( )2 3 2 3 135 0

4 9 135 0

4 144

36

36

6

2

2

2

x x

x

x

x

x

x

− + − =

− − =

=

=

== ±

7. 7. 7. 7. 7. ( )( ) ( )3 2 2 4 8

3 12 8 16 8

2 28 0

2 28

14

14

2

2 2

2

2

2

x x x x

x x x x

x

x

x

x

+ − = − +

− = − + +

− ==

=

= ±

8. 8. 8. 8. 8. x x

x

x

x

x

+

−

=

− − =

=

= ±

= ±

1

3

1

3

1

3

1

9

1

30

4

9

4

92

3

2

2

9. 9. 9. 9. 9. ( )( ) ( )( )2 1 2 4 1 5 0

2 3 2 3 4 5 0

7 0

7

7 1

7

2 2

2

2

x x x x

x x x x

x

x

x

x i

− + − + − + =

+ − − − + + =

+ == −

= −

= ±

10. 10. 10. 10. 10. 5

21

67

1212

30 2 7

28 7

4

4

2

2 22

2

2

2

x xmcm x

x

x

x

x

x

− = =

− =

=

=

=± =

11. 11. 11. 11. 11. ( )( )( )( ) ( )( )

2 3

3

2

13 1

2 3 1 2 3

2 5 3 5 6

3 0

3

3

2 2

2

2

x

x

x

xmcm x x

x x x x

x x x x

x

x

x

−−

=−−

= − −

− − = − −

− + = − +

− =

=

= ±

12. 12. 12. 12. 12. x x x

x x x

x

x

x

x

x

2 2 2

2 2 2

2

2

2

5

3

4 1

5

14 1

150

5 25 12 3 14 1 0

3 27 0

3 27

9

9

3

−+

−−

−=

− + − − + =

− =

=

=

== ±

13. 13. 13. 13. 13.

( ) ( ) ( ) ( )2 3

1

27 2

2 2 3 2 1 7 2

2 4 3 6 1 7 14

5 14

9

9

3

2

2

2 2

2

2

xx

xmcm x

x x x x x

x x x x x

x

x

x

x

− −+

−= − = −

− − − − + =− −

− − + − − =− ++ =

=

== ±

14. 14. 14. 14. 14.

( ) ( )3

3

4 12 4 1

3 4 1 3 2 4 1

12 6 8 2

4 4

1

1

1

22

2 2

2 2

2

2

−−

= = −

− − = −

− = −==

== ±

xmcm x

x x

x x

x

x

x

x

EJERCICIO 272

1. 1. 1. 1. 1.

( )

x x

x x

x x

x x

x

2

2

1

2

5

5 0

5 0

0 5 0

5

=

− =

− == − =

=

2. 2. 2. 2. 2.

( )

4 32

4 32 0

4 8 0

4 0 8 0

0 8

2

2

1 2

x x

x x

x x

x x

x x

= −

+ =

+ == + == = −

3. 3. 3. 3. 3.

( )

x x x x

x x

x x

x x

x x

2 2

2

1

2

3 3 4

0 2

0 2 1

0 0 2 1

1 21

2

− = −

= −

= −= = −

= ⇒ =

4. 4. 4. 4. 4. ( )

( )

5 4 2 2

5 4 2 4

5 2 0

5 2 0

0 5 2 0

5 2

2

5

2

2

2

1

2

x x

x x

x x

x x

x x

x

x

+ = +

+ = +

− =

− == − =

=

=

7. 7. 7. 7. 7. ( )( ) ( )( )

( )

4 1 2 3 3 1

8 10 3 2 3

7 8 0

7 8 0

0 7 8 0

7 8

8

71

2 2

2

1

2

217

x x x x

x x x x

x x

x x

x x

x

x

x

− + = + −

+ − = + −+ =

+ == + =

= −

= −

= −

5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )

( )

x x

x x x x

x x

x x

x x

x

x

− − + =−

− + − − − + =

− − =

+ == + =

= −

=−

= −

3 2 5 16

6 9 4 20 25 16 0

3 26 0

3 26 0

0 3 26 0

3 26

26

38

2 2

2 2

2

1

223

6. 6. 6. 6. 6.

( )

x xmcm

x x

x x

x x

x x

x

2

2

1

2

3

9

6

3

212

4 2 18 18

2 2 1 0

2 0 2 1 0

0 2 1

1

2

−−

= =

− + =

− == − == =

=

8. 8. 8. 8. 8. ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( )

x

x

x

xmcm x x

x x x x x x

x x x x x x

x x

x x

x x

x

+−

−+−

= = − −

+ − − + − = − −

− − − − + = − +

= +

= += + =

= −

1

1

4

21 1 2

1 2 4 1 1 2

2 3 4 3 2

0

0 1

0 1 0

1

2 2 2

2

1

2

EJERCICIO 273

1. 1. 1. 1. 1.

( ) ( )

( )( )

x x

x x

x x

x x x

x x

x x

x

x chazo sol extraña

x

x sol que satisface

+ + =

+ = −

+ = −

+ = − +

= − +

= − −− =

= →− =

= →

4 1 5

4 1 5

4 1 5

4 1 25 10

0 14 24

0 12 2

12 0

12

2 0

2

2 2

2

2

1

2

Re

2. 2. 2. 2. 2.

( ) ( )

( )( )

2 1 3 7

7 1

7 1

49 14 1

15 50 0

10 5 0

10 0

10

5 0

5

2 2

2

2

1

2

x x x

x x

x x

x x x

x x

x x

x

x chazo sol extraña

x

x sol que satisface

− − = −

− = −

− = −

− + = −

− + =

− − =− =

= →− =

= →

Re

3. 3. 3. 3. 3.

( )

( ) ( )

( )( )

5 1 3 4

5 1 3 16

5 1 2 5 14 3 3 16

2 5 14 3 14 6

5 14 3 7 3

5 14 3 49 42 9

0 4 56 52

0 14 13

0 13 1

13 0

13

1 0

1

2

2

2

22 2

2 2

2

2

1

2

x x

x x

x x x x

x x x

x x x

x x x x

x x

x x

x x

x

x chazo por sol extraña

x

x sol que satisface

− + + =

− + + =

− + + − + + =

+ − = −

+ − = −

+ − = − += − += − +

= − −− =

= →− =

= →

Re

4. 4. 4. 4. 4.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

2 5 1

2 1 5

4 1 2 5 5

3 6 2 5

3 6 2 5

9 36 36 4 20

9 40 16 0

9 40 9 144 0

9 36 9 4

90

4 9 4 0

4 0

4

9 4 0

9 4

4

9

2 2

2 2

2

2

2

1

2

x x

x x

x x x

x x

x x

x x x

x x

x x

x x

x x

x

x sol que satisface

x

x

x chazo por sol extraña

− + =

= + +

= + + + +

− = +

− = +

− + = +

− + =

− + =

− −=

− − =− =

= →− =

=

= → Re

5. 5. 5. 5. 5.

( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

2 1 3 3

2 1 3 3

2 1 9 6 3 3

13 6 3

6 3 13

36 3 169 26

36 108 169 26

0 62 61

0 61 1

61 0

61

1 0

1

2 2

2 2

2

2

2

1

2

x x

x x

x x x

x x

x x

x x x

x x x

x x

x x

x

x chazo por sol extraña

x

x sol que satisface

− + + =

− = − +

− = − + + +

− = − +

+ = −

+ = − +

+ = − +

= − +

= − −− =

= →− =

= →

Re

6. 6. 6. 6. 6.

( ) ( )

( ) ( )( )

x x x

x x x

x x x x x

x x x

x x x x

x x x x

− + + − =

− + + =

− + − − + + =

− − = +

− − = + +

− − = + +

3 2 1 2 0

3 2 1 2

3 2 2 5 3 2 1 4

2 2 5 3 2

4 2 5 3 4 4

8 20 12 4 4

2 2

2

22 2

2 2

2 2

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

6. Continuación6. Continuación6. Continuación6. Continuación6. Continuación

( ) ( )

( )( )

( )( )

7 24 16 0

7 24 7 112 0

7 28 7 4

70

4 7 4 0

4 0 4

7 4 0

7 44

7

2

2

1

2

x x

x x

x x

x x

x x sol factible

x

x x sol inadmisible

− − =

− − =

− +=

− + =− = ⇒ = →

+ =

= − ⇒ = − →

7. 7. 7. 7. 7.

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

5 1 3 2

5 1 2 3

5 1 2 10 2 2 3

2 10 2 8 4

8 4 2 10 2

4 2 1 2 10 2

4 2 10 2

16 16 4 10 2

6 14 4 0

6 14 6 24 0

6 12 6 2

60

2 6 2 0

2 2

2

2

2

2

2 22

2 2

2

2

x x x

x x x

x x x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

x

− − − =

− − = −

− − − + = −

− − = − +

− = −

− = −

− = −

− + = −− + =

− + =

− −=

− − =− =

= →− =

=

= →

2 0

2

6 2 0

6 2

1

3

1

2

x sol factible

x

x

x sol inadmisible

8. 8. 8. 8. 8.

( ) ( )

( )

3 1 5 16 1

3 1 2 15 5 5 16 1

2 15 5 8

15 5 4

15 5 16

0 5

0 5

0

5 0

5

2

2

22

2

2 2

2

1

2

x x x

x x x x x

x x x

x x x

x x x

x x

x x

x sol admisible

x

x sol admisible

+ + = +

+ + + + = +

+ =

+ =

+ =

= −

= −= →

− == →

9. 9. 9. 9. 9.

( ) ( )

( )( )

2 4 3 3

2 4 3 9

4 3 9 2

4 3 81 36 4

0 4 40 84

0 10 21

0 7 3

7 0

7

3 0

3

2 2

2

2

2

1

2

x x

x x

x x

x x x

x x

x x

x x

x

x chazo por

sol inadmisible

x

x sol aceptada

+ − =

+ − =

− = −

− = − +

= − +

= − +

= − −− =

= →

− == →

Re

10. 10. 10. 10. 10.

( )( ) ( )

( )( )

xx

x x

x x

x x

x x

x

x sol admisible

x

x sol admisible

+ ++

=

+ + = +

+ = +

− + =

− − =− =

= →− =

= →

36

35

3 6 5 3

9 5 3

7 6 0

1 6 0

1 0

1

6 0

6

2

2 2

2

1

2

11. 11. 11. 11. 11.

( )( ) ( )

( )( )

xx

x x

x x

x x x

x x

x x

x

x sol admisible

x

x sol admisible

+ =

+ =

+ =

+ + =

− + =

− − =− =

= →− =

= →

45

4 5

4 5

8 16 25

17 16 0

16 1 0

16 0

16

1 0

1

2

2 2

2

2

1

2

12. 12. 12. 12. 12.

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

2 78

7

2 7 7 8

2 7 15

4 28 30 225

3 2 225 0

3 2 3 675 0

3 27 3 25

30

9 3 25 0

9 0 9

3 25 025

3

2 2

22 2

2 2

2

2

1

2

x xx

x x x

x x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

x x sol aceptada

x x sol inadmisible

= + ++

+ = + +

+ = +

+ = + +− − =

− − =

− +=

− + =− = ⇒ = →

+ = ⇒ = − →

13. 13. 13. 13. 13.

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

x x x

x x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x sol aceptada

x x sol rechazada

+ + =

+ + =

+ =

+ =

− − =

− − =

− +=

− = ⇒ = →

+ = ⇒ = − →

8 2

8 4

8 3

8 9

9 8 0

9 1 9 72 0

9 9 9 8

90

1 0 1

9 8 08

9

2 2

2

2

2

1

2

14. 14. 14. 14. 14.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

6 7 12 1 0

6 7 12 1

6 2 42 7 12 1

2 42 12 12

42 6 6

42 36 72 36

0 37 71 6

37 71 37 222 0

37 74 37 3

370

2 37 3 0

2 0 2

37 3 0

37

2 2

2

2

22 2

2 2

2

2

1

− + + − + =

− + + = +

− + − − + + = +

− − = −

− − = −

− − = − +

= − −

− − =

− +=

− + =− = ⇒ = →

+ =

=

x x x

x x x

x x x x x

x x x

x x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

x x sol aceptada

x

x − ⇒ = − →33

372x sol inadmisible

EJERCICIO 274

11. 11. 11. 11. 11. x x

x y

2 4 3 0

0 3

1 0

2 1

3 0

1 8

− + =

−

−

12. 12. 12. 12. 12. x x

x y

2 6 8 0

0 8

1 3

2 0

3 1

4 0

− + =

−

sol x x: 1 22 4= =

sol x x: 1 21 3= =

13. 13. 13. 13. 13. x x

x y

2 2 3 0

0 3

1 4

2 3

3 0

1 0

− − =

−−−

−

sol x x: 1 21 3= - =

14. 14. 14. 14. 14. x x

x y

2 4 3 0

0 3

1 0

2 1

3 0

1 8

+ + =

−− −−

sol x x: 1 23 1= − = −

15. 15. 15. 15. 15. x x

x x

x y

2

2

6

6 0

0 6

1 4

2 0

3 6

1 6

3 0

= −

+ − =

−−

− −−

sol x x: 1 23 2= - =

16. 16. 16. 16. 16. x x

x x

x y

2

2

2 1

2 1 0

0 1

1 0

2 1

3 4

1 4

= −

− + =

−

17. 17. 17. 17. 17. x x

x y

2 8 16 0

0 16

2 4

4 0

6 4

+ + =

−−−

sol x x: 1 2 4= = -

18. 18. 18. 18. 18. x

x y

2 4 0

1 3

2 0

3 5

1 3

2 0

3 5

0 4

− =

−

− −−−

−

sol x x: 1 22 2= - =sol x x: 1 2 1= =

21. 21. 21. 21. 21. 2 9 10 0

0 10

1 3

2 0

3 1

4 6

2x x

x y

− + =

22. 22. 22. 22. 22. 2 5 7 0

0 7

1 10

3 4

4 5

1 0

2x x

x y

− − =

−−−

−

sol x x: 1 2121 3=- =

sol x x: 1 2122 2= =

19. 19. 19. 19. 19. x x

x x

x y

2

2

3 10

3 10 0

0 10

3 10

5 0

1 6

2 0

= +

− − =

−−

− −−

sol x x: 1 22 5= - =

20. 20. 20. 20. 20. x x

x x

x y

2

2

4 4

4 4 0

0 4

1 1

2 0

3 1

1 9

− =−

− + =

−

sol x x: 1 2 2= =

EJERCICIO 275

1. 1. 1. 1. 1.

( )

( )( )

x N mayor

x N menor

x x

x x x

x x

x x

x x

x x

N mayor

N menor

→− →

+ − =

+ − + =

− + =− + =

− − == =

→− = →

º

º

º

º

9

9 53

81 18 53

2 18 28 0

9 14 0

7 2 0

7 2

7

9 7 2

2 2

2 2

2

2

1 2

2. 2. 2. 2. 2.

( )

x N positivo

xOtro Número

xx

x

x

x

x x

N positivo

Otro Número

→

→

=

=

=

= ±= = −→

= →

º

.

.

.

.

º

3

53

52 160

3 10 800

3 600

3 600

60 60

60

3 60

536

2

2

1 2

3. 3. 3. 3. 3.

( )

( )( )

x Edad de A

x Edad de B

x x

x x x

x x

x x

x x

x x

años Edad de A

años Edad de B

→− →

+ − =

+ − + =

− − =

− − =

− + == = −

→− = →

3

3 317

6 9 317

2 6 308 0

3 154 0

14 11 0

14 11

14

14 3 11

2 2

2 2

2

2

1 2

4. 4. 4. 4. 4.

( )

( )

x Un Número

x El otro Número

x x

x x

x

x

x

x x

Un Número

El otro Número

→→

− =

− =

=

=

= ±= = −

→= →

3

3 1 800

9 1 800

8 1 800

225

225

15 15

15

3 15 45

2 2

2 2

2

2

1 2

.

.

.

5. 5. 5. 5. 5.

( )

( )( )

x N buscado

x x

x x

x x

x x

x x

N buscado

→

− = −

− = −

− + =

− − == =→

º

º

2

2

2

1 2

9 8 2

9 8 16

8 7 0

7 1 0

7 1

7

6. 6. 6. 6. 6.

( )

( )( )

x N mayor

x N menor

x x

x x x

x x

x x

x x

N menor

N mayor

+ →→

+ − =

+ + − =

− − =

− + == = −→

+ = →

1

1 57 3

2 1 57 3

56 0

8 7 0

8 7

8

8 1 9

2

2

2

1 2

º

º

º

º

7. 7. 7. 7. 7.

( )

( )( )

( )( )

x L o

x Ancho

Area x x

x x

Doble del area x x

x x x x

x x x x

x x

x x

x x

m m m L o

m Ancho

+ →→

= +

= +

= +

+ + = +

+ + = +

− − =

− + == = −+ = →

→

4

4

4

2 8

8 4 2 8

12 32 2 8

4 32 0

8 4 0

8 4

8 4 12

8

2

2

2

2 2

2

1 2

arg

arg

8. 8. 8. 8. 8.

( ) ( )

( )( )

x N sa comp

xbs to cada saco

x x

x x x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

N sa comp

bs bs to cada saco

→

→

+= −

= + − +

= + − −

+ − =

+ − =

+ − == − =→

= →

º cos .

.. cos

. .

. .

.

º cos .

.. . cos

1 000

1 000

10

1 0005

1 000 10 1 000 5 10

10 10 10 5 50

5 50 10 0

10 2 000 0

50 40 0

50 40

40

1 000

4025

3 3 4 2

2 4

2

1 2

9. 9. 9. 9. 9.

( )

( )

4

4 860 625

16 860 625

17 860 625

50 625

50 625

225 225

4 225 900

900

225

2 2

2 2

2

2

1 2

x Costo caballo

x Costo arreos

x x

x x

x

x

x

x x

sucres Costo caballo

sucres Costo arreos

→→

+ =

+ =

=

=

= ±= = −

=→→

.

.

.

.

.

10. 10. 10. 10. 10.

( )( )( )( )

( ) ( )

( )( )( )( )

x N menor

x N mayor

x x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

N mayor

N menor

− →→

− + − =

− − =

− + =

− − =

− − =

− + =

− + =

= = −

→− = →

7

7 7 184

2 7 7 184

2 21 49 184

2 21 135 0

2 21 2 270 0

2 30 2 9 0

15 2 9 0

159

215

15 7 8

2

2

2

1 2

º

º

º

º

11. 11. 11. 11. 11.

( )

( )( )

x Edad de A

x Edad de B

x x

x x

x x

x x

x x

años Edad de A

años Edad de B

→− →

− =

− =

− + =

− − == =

→→

23

23 102

23 102

23 102 0

17 6 0

17 6

17

6

2

2

1 2

12. 12. 12. 12. 12.

( ) ( )

( )( )

x N de libros

xCosto c u

x x

x x x x

x x x x

x x

x x

x x

Libros

Costo c u

→

→

−= +

= − + −

= − + −

= − −

= − += = −→

= →

º

/

.

.

$ /

180

180

6

1801

180 180 6 6

180 180 1 080 6

0 6 1 080

0 36 30

36 30

36

180

365

2

2

1 2

13. 13. 13. 13. 13.

( )( )

x N de filas

xN soldados cada fila

xx

x x

x x

x x

x x

N de filas

N soldados

cada fila

→

→

− =

− =

= + −

= + −= − =→

= →

º

º

º

º

180

1808

180 8

0 8 180

0 18 10

18 10

10

180

1018

2

2

1 2

14. 14. 14. 14. 14.

( )( )

x Costo del reloj

x de xx

xx

x x

x x

x x

x x

soles Costo del reloj

→

=

+ =

+ =

+ − =

+ − == − =

→

%

.

.

2

2

2

2

1 2

100

10075

100 7 500

100 7 500 0

150 50 0

150 50

50

15. 15. 15. 15. 15.

( )( )

x Pers comp

xx

x x

x x

x x

x x

Pers comp el auto

→

− =

− =

+ − =

+ − == − =→

. .

.

.

.

. .

1 200194

1 200 194

194 1 200 0

200 6 0

200 6

6

2

2

1 2

16. 16. 16. 16. 16. x lojes comp

xCosto cada reloj

x

x

x

x

x

x x

lojes comp

Costo cada reloj

→

→

=

=

=

± == =−

→

= →

Re .

Re .

$12

192

192 3

4

768 3

256

256

16 16

16

19216

2

2

1 2

17. 17. 17. 17. 17.

( ) ( )

( )( )

x Libros comp

xCosto cada lib

x x

x x x x

x x x x

x x

x x

x x

Libros comp

Costo cada lib

→

→

+ =−

− + − =

− + − =

− − =

− + == = −→

= →

.

.

.

$ .

150

1501

150

5

150 5 5 150

150 750 5 150

5 750 0

30 25 0

30 25

30

150

305

2

2

1 2

18. 18. 18. 18. 18.

( )( )

x Libros comp

xx

x x

x x

x x

x x

Libros comp

→

− =

− =

+ − =

+ − == − =→

.

.

20010

200 10

10 200 0

20 10 0

20 10

10

2

2

1 2

19. 19. 19. 19. 19.

( ) ( )

( )( )

x Plumas comp

xecio c u

x x

x x x x

x x x x

x x

x x

x x

Plumas comp

ecio c u

→

→

− =+

+ − + =

+ − − =

+ − =

+ − == − =→

= →

.

Pr /

.

$ Pr /

24

241

24

4

24 4 4 24

24 96 4 24

4 96 0

12 8 0

12 8

8

24

83

2

2

1 2

20. 20. 20. 20. 20.

( ) ( )

( )( )

x Tiempo de recorrido

x x

x x x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

horas Tiempo de recorrido

→

+ =−

− + − =

− + − =

− − =

− − =

− + == = −

→

24020

240

2

240 2 20 2 240

240 480 20 40 240

20 40 480 0

2 24 0

6 4 0

6 4

6

2

2

2

1 2

21. 21. 21. 21. 21.

( ) ( )

( ) ( )

( )( )( )( )

x Caballos comp

xecio cada caballo

x x

x x x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

Caballos comp

ecio c caballo

→

→

+ =+

−

− + − =

− + − =

− − =− − =

− − =

− + =

− + =

= = −

→

= →

.

.Pr

. .

. .

. . .

.

.

.$ Pr /

2 000

2 00060

2 000 80

2

2 000 2 60 2 2 080

2 000 4 000 60 120 2 080

60 200 4 000 0

3 10 200 0

3 10 3 600 0

3 30 3 20 0

10 3 20 0

1020

310

2 000

10200

2

2

2

2

1 2

22. 22. 22. 22. 22.

( ) ( )

( ) ( )

( )( )( )( )

x N menor

x N ermedio

x N mayor

x

x

x

x x x

x x x

x x

x x

x x

x x

x x

N menor

N ermedio

N mayor

→+ →

+ →++

=

+ = +

+ = +

= − −

= − −

= − +

= − +

= =−

→+ = →+ = →

º

º int

º

º

º int

º

1

2

2

1

3

10

10 2 3 1

10 20 3 3

0 3 7 20

0 3 7 3 60

0 3 12 3 5

0 4 3 5

45

34

4 1 5

4 2 6

2

2

2

1 2

23. 23. 23. 23. 23. x Un N

xEl otro N

xx

x

x

x

x

x x

Un N

El otro N

→

→

=

=

=

=

± == =−

→

= →

º.

º.

º.

º.

180

180

1

180 54

720 5

144

144

12 12

12

18012

15

14

2

2

2

1 2

24. 24. 24. 24. 24.

( )( )( )

( )( )

x N naranjas comp

xCosto c naranja

xx

x x x

x x x x

x x

x x

x x

N naranjas comp

ctvs Costo c naranja

→

→

+

− =

+ − =

− + − =

− − =

− + == = −→

= →

º .

/

º .

. /

150

1501 5 150

150 5 150

150 750 5 150

5 750 0

30 25 0

30 25

30

150

305

2

2

1 2

25. 25. 25. 25. 25.

( )( )

x Costo del caballo

xx

x x

x x

x x

x x

Q Costo del caballo

→

+ =

+ =+ − =

+ − == − =

→

2

2

2

1 2

100171

100 17 100

100 17 100 0

190 90 0

190 90

90

.

.

.

26. 26. 26. 26. 26. x N mayor

xN menor

x

x x

x x

x x

→

→

= +

= +

= +

º

º352

3522

10352

3522

10352

704 10

2

2

ContinùaContinùaContinùaContinùaContinùa

26. Continuación26. Continuación26. Continuación26. Continuación26. Continuación

( )( )x x

x x

x x

N mayor

N menor

2

1 2

10 704 0

32 22 0

32 22

32

352

3211

− − =

− + == = −

→

= →

º

º

27. 27. 27. 27. 27.

( )( )( )

( )( )

x Long pieza mayor

x Long pieza menor

x x x x

x x x

x x x

x x

x x

x x

x x

m Long pieza mayor

m Long pieza menor

→− →

⋅ = − −

= − +

= − += − +

= − +

= − −= =

→− = →

.

.

.

.

.

.

20

9 20 20

9 400 40

3 600 360 9

0 8 360 3 600

0 45 450

0 30 15

30 15

15

20 15 5

2 2

2 2

2

2

1 2

28. 28. 28. 28. 28.

( ) ( )

( )( )

x Tiempo en horas

xVeloc del tren

x x

x x x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

Kmh Veloc del tren

→

→

=−

+

− = + −

− = + −

= − += − +

= − += = −

= →

200

200 200

110

200 1 200 10 1

200 200 200 10 10

0 10 10 200

0 20

0 5 4

5 4

200

540

2

2

2

1 2

.

.

29. 29. 29. 29. 29.

( ) ( )

( )( )

x Dias trabj

xValor del jornal

x x

x x x x

x x x x

x x

x x

x x

Dias trabj

col Valor del jornal

→

→

− =+

+ − + =

+ − − =

+ − =

+ − == − =→

= →

.

.

84

841

84

2

84 2 2 84

84 168 2 84

2 168 0

14 12 0

14 12

12

84

127

2

2

1 2

30. 30. 30. 30. 30.

( ) ( )

( )( )

x Personas que van

xValor c u

x x

x x x x

x x x x

x x

x x

x x

Personas que van

Valor c u

→

→

−− =

− − = −

− + = −

− − =

− + == = −

→

= →

90

90

31

90

90 3 90 3

90 3 90 270

3 270 0

18 15 0

18 15

18

90

185

2

2

1 2

/

$ /

31. 31. 31. 31. 31.

( )( )

x N buscado

xx

x x

x x

x x

x x

N buscado

→

− =

− =

+ − =

+ − == − =

→

º

º

845

84 5

5 84 0

12 7 0

12 7

7

2

2

1 2

32. 32. 32. 32. 32.

( ) ( )

( )( )

x Edad actual A

x x

x x

x x x

x x

x x

x x

años Edad actual A

→

− = +

− = +

− + = +

− + =

− − == =

→

6 6

6 6

12 36 6

13 30 0

10 3 0

10 3

10

2 2

2

2

1 2

33. 33. 33. 33. 33.

( ) ( )

( )( )

x Libros comp

xecio de c libro

x N de plumas

x x

x x x x

x x x x

x x

x x

x x

Libros comp

ecio c libro

→

→

− →

=−

−

− = − −

− = − +

− − =

− + == = −→

= →

.

Pr /

º

.

$ Pr /

40

2

40 40

21

40 2 40 2

40 80 40 2

2 80 0

10 8 0

10 8

10

40

104

2

2

1 2

EJERCICIO 276

1. 1. 1. 1. 1.

( )( )3 5 2 0

4 5 4 3 2 25 24 49

2

2 2

x x

b ac

ales y desiguales racionales

+ − =

− = − − = + =Re ,

2. 2. 2. 2. 2.

( ) ( ) ( )2 4 1 0

4 4 4 2 1 16 8 8

2

2 2

x x

b ac

ales y desiguales irracionales

− + =

− = − − = − =Re ,

3. 3. 3. 3. 3.

( ) ( ) ( )4 4 1 0

4 4 4 4 1 16 16 0

2

2 2

x x

b ac

ales e iguales

− + =

− = − − = − =Re

4. 4. 4. 4. 4.

( ) ( )( )3 2 5 0

4 2 4 3 5 4 60 56

2

2 2

x x

b ac

aginarias

− + =

− = − − = − = −Im

5. 5. 5. 5. 5.

( ) ( )( )x x

b ac

ales e iguales

2

2 2

10 25 0

4 10 4 1 25 100 100 0

− + =

− = − − = − =Re

6. 6. 6. 6. 6.

( ) ( )( )x x

b ac

ales y desiguales irracionales

2

2 2

5 5 0

4 5 4 1 5 25 20 45

− − =

− = − − − = + =Re ,

7. 7. 7. 7. 7.

( ) ( )( )2 9 7 0

4 9 4 2 7 81 56 25

2

2 2

x x

b ac

ales y desiguales racionales

− + =

− = − − = − =Re ,

8. 8. 8. 8. 8.

( ) ( ) ( )36 12 1 0

4 12 4 36 1 144 144 0

2

2 2

x x

b ac

ales e iguales

+ + =

− = − = − =Re

9. 9. 9. 9. 9.

( ) ( )( )4 5 3 0

4 5 4 4 3 25 48 23

2

2 2

x x

b ac

aginarias

− + =

− = − − = − =−Im

10. 10. 10. 10. 10.

( ) ( )( )x x

b ac

ales y desiguales irracionales

2

2 2

1 0

4 1 4 1 1 1 4 5

+ − =

− = − − = + =Re ,

11. 11. 11. 11. 11.

( ) ( )( )5 7 8 0

4 7 4 5 8 49 160 111

2

2 2

x x

b ac

aginarias

− + =

− = − − = − =−Im

12. 12. 12. 12. 12.

( ) ( )( )x x

b ac

ales y desiguales racionales

2

2 2

10 11 0

4 10 4 1 11 100 44 144

− − =

− = − − − = + =Re ,

EJERCICIO 277

1. 1. 1. 1. 1.

( )( )

x x

Suma

oducto

Si son raices

2 6 0

2 3 1

2 3 6

+ − =

+ − = −

− = −Pr

2. 2. 2. 2. 2. x x

Suma

No son raices

2 4 5 0

1 5 6

− − =+ =

3. 3. 3. 3. 3. 2 1 0

2

1

20

11

2

1

2

11

2

1

2

2

2

x x

xx

Suma

oducto

Si son raices

− − =

− − =

− =

−

= −Pr

4. 4. 4. 4. 4. 3 8 3 0

8

31 0

31

3

8

3

2

2

x x

xx

Suma

+ − =

+ − =

− + = −

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

4. Continuación4. Continuación4. Continuación4. Continuación4. Continuación

Producto

Si son raices

−

= −3

1

31

5. 5. 5. 5. 5. 5 11 2 0

115

25

0

215

95

2

2

x x

xx

Suma

No son raices

− + =

− + =

− =

6. 6. 6. 6. 6. 4 17 4 0

17

41 0

41

4

17

4

41

41

2

2

x x

xx

Suma

oducto

Si son raices

+ + =

+ + =

− − = −

− −

=Pr

7. 7. 7. 7. 7. 5 24 5 0

245

1 0

2

2

x x

x x

+ − =

+ − =

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

7. Continuación7. Continuación7. Continuación7. Continuación7. Continuación

Suma

No son raices

− − = −51

5

26

5

8. 8. 8. 8. 8.

( )

x x

Suma

oducto

Si son raices

2 3 28 0

4 7 3

4 7 28

+ − =− = −

− = −Pr

9. 9. 9. 9. 9. 6 2 0

6

1

30

1

2

2

3

1

61

2

2

3

1

3

2

2

x x

xx

Suma

oducto

Si son raices

+ − =

+ − =

− = −

−

= −Pr

10. 10. 10. 10. 10. 8 2 3 0

1

4

3

80

1

2

3

4

1

4

2

2

x x

x x

Suma

No son raices

− − =

− − =

− = −

EJERCICIO 278

1. 1. 1. 1. 1.

( )Suma

oducto

Luego x x

3 4 7

3 4 12

7 12 02

+ ==

− + =Pr

2. 2. 2. 2. 2. ( )

Suma

oducto

Luego x x

− + =− = −− − =

1 3 2

1 3 3

2 3 02

Pr

3. 3. 3. 3. 3.

( )Suma

oducto

Luego x x

− − = −

− − =

+ + =

5 7 12

5 7 35

12 35 02

Pr

4. 4. 4. 4. 4. ( )

Suma

oducto

Luego x x

− + =− = −− − =

10 11 1

10 11 110

110 02

Pr

5. 5. 5. 5. 5. Suma

oducto

Luego xx

x x

11

2

3

2

11

2

1

2

3

2

1

20

2 3 1 0

2

2

+ =

=

− + =

⇒ − + =

Pr

6. 6. 6. 6. 6. Suma

oducto

Luego xx

x x

− − = −

− −

=

+ + =

⇒ + + =

21

5

11

5

21

5

2

5

11

5

2

50

5 11 2 0

2

2

Pr

7. 7. 7. 7. 7. Suma

oducto

Luego xx

x x

32

3

7

3

32

32

7

32 0

3 7 6 0

2

2

− =

−

= −

− − =

⇒ − − =

Pr

8. 8. 8. 8. 8. Suma

oducto

Luego xx

x x

− − = −

− −

=

+ + =

⇒ + + =

23

2

7

2

23

23

7

23 0

2 7 6 0

2

2

Pr

9. 9. 9. 9. 9. Suma

oducto

Luego xx

x x

x x

− + =

−

= −

− − =

⇒ − − =

⇒ − − =

1

2

3

4

1

41

2

3

4

3

8

4

3

80

43

20

8 2 3 0

2

2

2

Pr

10. 10. 10. 10. 10. Suma

oducto

Luego xx

x x

− + = −

−

= −

+ − =

⇒ + − =

52

7

33

7

52

7

10

7

33

7

10

70

7 33 10 0

2

2

Pr

11. 11. 11. 11. 11. Suma

oducto

Luego x x

x x

65

3

13

3

65

310

13

310 0

3 13 30 0

2

2

− =

−

= −

− − =

⇒ − − =

Pr

12. 12. 12. 12. 12. Suma

oducto

Luego x x

x x

− − = −

− −

=

+ + =

⇒ + + =

21

8

17

8

21

8

1

4

17

8

1

40

8 17 2 0

2

2

Pr

13. 13. 13. 13. 13.

( )Suma

oducto

Luego x x

18 52 34

18 52 936

34 936 02

− = −

− = −

+ − =

Pr

14. 14. 14. 14. 14.

( )Suma

oducto

Luego x x

− − = −

− − =

+ + =

15 11 26

15 11 165

26 165 02

Pr

15. 15. 15. 15. 15.

( )Suma

oducto

Luego x x

0 2 2

0 2 0

2 02

+ ==

− =

Pr

16. 16. 16. 16. 16. Suma

oducto

Luego xx

x x

01

3

1

3

01

30

30

3 0

2

2

− = −

−

=

+ =

⇒ + =

Pr

17. 17. 17. 17. 17.

( )Suma

oducto

Luego x

5 5 0

5 5 25

25 02

− =

− = −

− =

Pr

18. 18. 18. 18. 18. Suma

oducto

Luego x

x

1

2

1

20

1

2

1

2

1

4

1

40

4 1 0

2

2

− =

−

= −

− =

⇒ − =

Pr

19. 19. 19. 19. 19.

( )Suma

oducto

Luego x x

7 7 14

7 7 49

14 49 02

+ ==

− + =Pr

20. 20. 20. 20. 20. Suma

oducto

Luego x x

x x

811

3

13

3

811

3

88

3

13

3

88

30

3 13 88 0

2

2

− =

−

= −

− − =

⇒ − − =

Pr

21. 21. 21. 21. 21. Suma

oducto

Luego x x

x x

− − = −

−

−

=

+ + =

⇒ + + =

5

6

9

2

16

35

6

9

2

15

4

16

3

15

40

12 64 45 0

2

2

Pr

22. 22. 22. 22. 22. Suma

oducto

Luego x x

x x

− + = −

−

= −

+ − =

⇒ + − =

11

2

2

7

73

1411

2

2

7

11

7

73

14

11

70

14 73 22 0

2

2

Pr

23. 23. 23. 23. 23.

( )Suma a a a

oducto a a a

Luego x ax a

2

2 2

2 0

2

2 2

− =

− = −

− − =

Pr

24. 24. 24. 24. 24. Sumab b b

oductob b b

Luego xb

xb

x bx b

− + = −

−

=

−

+ − =

⇒ + − =

2

3 4

5

122

3 4 6

5

12 60

12 5 2 0

2

22

2 2

Pr

25. 25. 25. 25. 25. Suma mm m

oducto mm m

Luego xm

xm

x mx m

− =

−

= −

− − =

⇒ − − =

2 2

2 2

2 20

2 0

2

22

2 2

Pr

28. 28. 28. 28. 28.

( )( )Suma

oducto

Luego x x

1 2 1 2 2

1 2 1 2 1

2 1 02

+ + − =

+ − = −

− − =

Pr

29. 29. 29. 29. 29.

( )( )Suma

oducto

Luego x x

2 5 2 5 4

2 5 2 5 1

4 1 02

+ + − =

+ − = −

− − =

Pr

30. 30. 30. 30. 30.

( )( )Suma

oducto

Luego x x

3 1 3 1 6

3 1 3 1 10

6 10 02

+ − + − − =

+ − − − =

− + =

Pr

26. 26. 26. 26. 26.

( )Suma b a b a

oducto b a b ab b

Luego x ax ab b

+ − =

− = −

− + − =

Pr 2

2 2 0

27. 27. 27. 27. 27.

( )

Sumaa b a b

oductoa b ab

Luego xa b

xab

x a b x ab

2 3

3 2

6

2 3 6

3 2

6 60

6 3 2 0

2

2

− =−

−

=

−

−−

− =

⇒ − − − =

Pr

EJERCICIO 279

1. 1. 1. 1. 1.

( )( )x x

x x

x x

2

1 2

11 30 0

6 5 0

6 5

− + =

− − == =

2. 2. 2. 2. 2.

( )

x x

x

x

x

x

x

x

2

2

1

2

33 260 0

33

2

33

4260

332

1 089 1 0404

33

2

49

433

2

7

233

2

7

2

26

213

33

2

7

2

40

220

+ + =

= − ± −

=−

±−

=−

±

=−

±

= − + =−

= −

=−

− =−

= −

. .

3. 3. 3. 3. 3.

( )( )x x

x x

x x

2

1 2

306 0

18 17 0

18 17

+ − =

+ − == − =

4. 4. 4. 4. 4.

( )( )x x

x x

x x

2

1 2

49 294 0

42 7 0

42 7

+ + =

+ + == − = −

5. 5. 5. 5. 5.

( )( )x x

x x

x x

2

1 2

6 247 0

19 13 0

19 13

− − =

− + == = −

6. 6. 6. 6. 6.

( ) ( )

( )( )( )( )

x x

x x

x x

x x

x x

x x

2

2

2

1 2

3

21 0

2 3 2 0

2 3 2 4 0

2 4 2 1 0

2 2 1 0

21

2

− − =

− − =

− − =

− + =

− + =

= = −

7. 7. 7. 7. 7.

( ) ( )

( )( )( )( )

x x

x x

x x

x x

x x

x x

2

2

2

1 2

22

38 0

3 22 24 0

3 22 3 72 0

3 18 3 4 0

6 3 4 0

64

3

+ + =

+ + =

+ + =

+ + =

+ + =

= − = −

8. 8. 8. 8. 8.

( ) ( )

( )( )( )( )

xx

x x

x x

x x

x x

x x

2

2

2

1 2

4

3

80

8 2 3 0

8 2 8 24 0

8 6 8 4 0

4 3 2 1 0

3

4

1

2

− − =

− − =

− − =

− + =

− + =

= = −

9. 9. 9. 9. 9.

( ) ( )

( )( )( )( )

x x

x x

x x

x x

x x

x x

2

2

2

1 2

95

76 0

7 95 42 0

7 95 7 294 0

7 98 7 3 0

14 7 3 0

143

7

+ − =

+ − =

+ − =

+ − =

+ − =

= − =

10. 10. 10. 10. 10.

( ) ( ) ( )( )

x x

x x

x

x

x

x

2

2

2

1

2

10

31 0

3 10 3 0

10 10 4 3 3

2 3

10 64

6

10 8

610 8

6

2

6

1

310 8

6

18

63

+ + =

+ + =

=− ± −

=− ±

=− ±

=− +

=−

= −

=− −

=−

= −

11. 11. 11. 11. 11.

( ) ( )

( )( )( )( )

x x

x x

x x

x x

x x

x x

2

2

2

1 2

31

40

3

200

40 31 6 0

40 31 40 240 0

40 16 40 15 0

5 2 8 3 0

2

5

3

8

− + =

− + =

− + =

− − =

− − =

= =

12. 12. 12. 12. 12.

( ) ( )

( )( )( )( )

xx

x x

x x

x x

x x

x x

2

2

2

1 2

6

5

90

18 3 10 0

18 3 18 180 0

18 15 18 12 0

6 5 3 2 0

5

6

2

3

+ − =

+ − =

+ − =

+ − =

+ − =

=−

=

13. 13. 13. 13. 13.

( ) ( )

( )( )( )( )

x x

x x

x x

x x

x x

x x

2

2

2

1 2

7

20

3

100

20 7 6 0

20 7 20 120 0

20 15 20 8 0

4 3 5 2 0

3

4

2

5

− − =

− − =

− − =

− + =

− + =

= =−

14. 14. 14. 14. 14.

( ) ( )

( )( )( )( )

xx

x x

x x

x x

x x

x x

2

2

2

1 2

21

54 0

5 21 20 0

5 21 5 100 0

5 25 5 4 0

5 5 4 0

54

5

− − =

− − =

− − =

− + =

− + =

= = −

15. 15. 15. 15. 15.

( ) ( )

( )( )( )( )

x x

x x

x x

x x

x x

x x

2

2

2

1 2

59

72

1

60

72 59 12 0

72 59 72 864 0

72 32 72 27 0

9 4 8 3 0

4

9

3

8

− + =

− + =

− + =

− − =

− − =

= =

16. 16. 16. 16. 16.

( ) ( ) ( )( )( )

( )

( )

x x

x

x

x

x

2

2

1

2

2 4 0

2 2 4 1 4

2 1

2 20

2

2 2 5

2

2 2 5

2

2 1 5

21 5

2 2 5

2

2 1 5

21 5

− − =

=− − ± − − −

=±

=±

=+

=+

= +

=−

=−

= −

17. 17. 17. 17. 17.

( ) ( ) ( )( )( )

( )

( )

x x

x x

x

x

x

x

2

2

2

1

2

114

0

4 4 11 0

4 4 4 4 11

2 4

4 64 3

84 8 3

8

4 8 3

8

4 1 2 3

8

1 2 3

2

1

23

4 8 3

8

4 1 2 3

8

1 2 3

2

1

23

− − =

− − =

=− − ± − − −

=± ⋅

=±

=+

=+

=+

= +

=−

=−

=−

= −

18. 18. 18. 18. 18.

( ) ( )( )( )

( )

( )

x x

x x

x

x

x

x

2

2

2

2 4

1

2

4

3

59

90

9 12 59 0

12 12 4 9 59

2 9

12 2 268

18

12 2 3 7

1812 18 7

18

12 18 7

18

6 2 3 7

18

2 3 7

3

2

37

12 18 7

18

6 2 3 7

18

2 3 7

3

2

37

+ − =

+ − =

=− ± − −

=− ±

=− ± ⋅ ⋅

=− ±

=− +

=− +

=− +

= − +

=− −

=− +

=− −

= − −

.

19. 19. 19. 19. 19.

( )( )x ax a

x a x a

x a x a

2 2

1 2

2 0

2 0

2

− − =

− + == = −

20. 20. 20. 20. 20.

( )( )x bx b

x b x b

x b x b

2 2

1 2

7 10 0

5 2 0

5 2

+ + =

+ + == − = −

21. 21. 21. 21. 21.

( ) ( )

( )( )( )( )

xmx m

x mx m

x m x m

x m x m

x m x m

xm m

xm

22

2 2

2 2

1 2

2 90

18 9 2 0

18 9 18 36 0

18 12 18 3 0

6 4 6 0

4

6

2

3 6

− − =

− − =

− − =

− + =

− + =

= = = −

EJERCICIO 280

1. 1. 1. 1. 1.

( ) ( ) ( )

( )( )

x x

x

x

x

x

x x x x

2

2

1

2

2

16 63 0

16 16 4 63

2

16 4

2

16 2

216 2

2

18

29

16 2

2

14

27

16 63 9 7

− + =

=− − ± − −

=±

=±

=+

= =

=−

= =

− + = − −

2. 2. 2. 2. 2.

( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]( )( )

x x

x

x

x

x

x x x x

x x

2

2

1

2

2

24 143 0

24 24 4 143

2

24 4

2

24 2

224 2

2

22

211

24 2

2

26

213

24 143 11 13

11 13

+ + =

=− ± −

=− ±

=− ±

=− +

=−

= −

=− −

=−

= −

+ + = − − − −

= + +

3. 3. 3. 3. 3.

( ) ( ) ( )

( )( )

x x

x

x

x

x

x x x x

2

2

1

2

2

26 155 0

26

2

26

4155

13 324 13 18

13 18 31

13 18 5

26 155 31 5

− − =

= −−

± − −

= ± = ±= + == − = −

− − = − +

4. 4. 4. 4. 4.

( ) ( )( )( )

( )

( )( )( )

2 6 0

1 1 4 2 6

2 2

1 49

4

1 7

41 7

4

6

4

3

21 7

4

8

42

2 6 23

22

22 3

22

2 3 2

2

2

1

2

2

x x

x

x

x

x

x x x x

xx

x x

+ − =

=− ± − −

=− ±

=− ±

=− +

= =

=− −

= − = −

+ − = −

+

=−

+

= − +

5. 5. 5. 5. 5.

( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )

12 5 2 0

5 5 4 12 2

2 12

5 121

24

5 11

245 11

24

6

24

1

45 11

24

16

24

2

3

12 5 2 121

4

2

3

124 1

4

3 2

3

12 4 1 3 2

12

4 1 3 2

2

2

1

2

2

x x

x

x

x

x

x x x x

x x

x x

x x

+ − =

=− ± − −

=− ±

=− ±

=− +

= =

=− −

=−

= −

+ − = −

+

=−

+

=− +

= − +

6. 6. 6. 6. 6.

( ) ( ) ( )( )

( )( )( )

5 41 8

41 41 4 5 8

2 5

41 1 521

10

41 39

1041 39

10

2

10

1

541 39

10

80

108

5 41 8 51

58

5 1 8

2

2

1

2

2

x x

x

x

x

x

x x x x

x x

+ +

=− ± −

=− ±

=− ±

=− +

= − = −

=− −

=−

= −

+ + = +

+

= + +

.

7. 7. 7. 7. 7.

( ) ( )( )( )

( )( )( )

6 7 10

7 7 4 6 10

2 6

7 289

12

7 17

127 17

12

10

12

5

67 17

12

24

122

6 7 10 65

62

6 5 2

2

2

1

2

2

x x

x

x

x

x

x x x x

x x

+ −

=− ± − −

=− ±

=− ±

=− +

= =

=− −

=−

= −

+ − = −

+

= − +

8. 8. 8. 8. 8.

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )

12 25 12

25 25 4 12 12

2 12

25 49

24

25 7

2425 7

24

32

24

4

325 7

24

18

24

3

4

12 25 12 124

3

3

4

12 3 4 4 3

12

3 4 4 3

2

2

1

2

2

x x

x

x

x

x

x x x x

x x

x x

− +

=− − ± − −

=±

=±

=+

= =

=−

= =

− + = −

−

=− −

= − −

9. 9. 9. 9. 9.

( ) ( ) ( )( )

( )( )

8 50 63

50 50 4 8 63

2 8

50 484

16

50 22

1650 22

16

28

16

7

450 22

16

72

16

9

2

8 50 63 87

4

9

2

4 7 2 9

2

2

1

2

2

x x

x

x

x

x

x x x x

x x

+ +

=± −

=− ±

=− ±

=− +

=−

= −

=− −

= − = −

+ + = +

+

= + +

10. 10. 10. 10. 10.

( ) ( ) ( )( )

( )( )

27 30 7

30 30 4 27 7

2 27

30 144

54

30 12

5430 12

54

18

54

1

330 12

54

42

54

7

9

27 30 7 271

3

7

9

3 1 9 7

2

2

1

2

2

x x

x

x

x

x

x x x x

x x

+ +

=− ± −

=− ±

=− ±

=− +

= − = −

=− −

= − = −

+ + = +

+

= + +

11. 11. 11. 11. 11.

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

30 61 30

61 61 4 30 30

2 30

61 121

60

61 11

6061 11

60

72

60

6

561 11

60

50

60

5

6

30 61 30 306

5

5

6

5 6 6 5

2

2

1

2

2

x x

x

x

x

x

x x x x

x x

− +

=− − ± − −

=±

=±

=+

= =

=−

= =

− + = −

−

= − −

12. 12. 12. 12. 12.

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )( )

11 153 180

153 153 4 11 180

2 11

153 31 329

22

153 177

22153 177

22

330

2215

153 177

22

24

22

12

11

11 153 180 11 1512

11

15 11 12

2

2

1

2

2

x x

x

x

x

x

x x x x

x x

− −

=− − ± − − −

=±

=±

=+

= =

=−

= − = −

− − = − +

= − +

.

13. 13. 13. 13. 13.

( )

( )( )( )( )

6

6

1

2

1

46

1

2

25

41

2

5

2

4

22

1

2

5

2

6

23

6 2 3

6 2 3

2

2

1

2

2

2

− −

+ −

= − ± − − = − ±

= − + = =

= − − = − = −

+ − = − +

− − = − +

x x

x x

x

x

x

x x x x

x x x x

14. 14. 14. 14. 14.

( ) ( ) ( )( )( )

5 9 2

9 9 4 2 5

2 2

9 121

4

9 11

4

9 11

4

20

45

9 11

4

2

4

1

2

2

2

1

2

− −

=− − ± − − −

−

=±−

=±−

=+−

=−

= −

=−−

=−−

=

x x

x

x

x

x

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

14. Continuación14. Continuación14. Continuación14. Continuación14. Continuación

( )( )( )

( )( )

5 9 2 2 51

2

5 2 1

5 1 2

2− − = − + −

= − + −

= + −

x x x x

x x

x x

15. 15. 15. 15. 15.

( ) ( )( )( )

( )( )( )( )

15 4 4

4 4 4 15 4

2 4

4 256

8

4 16

8

12

8

3

2

4 16

8

20

8

5

2

15 4 4 43

2

5

2

2 3 2 5

3 2 5 2

2

2

1

2

2

+ −

=− ± − −

−=

− ±−

=− +

−=

−= −

=− −

−=

−−

=

+ − = − +

−

= − + −

= + −

x x

x x

x

x

x x x x

x x

x x

16. 16. 16. 16. 16.

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )( )( )

4 13 12

12 13 4

13 13 4 12 4

2 12

13 361

24

13 19

24

32

24

4

313 19

24

6

24

1

4

12 13 4 124

3

1

4

3 4 1 4

4 13 12 4 3 1 4

2

2

2

1

2

2

2

+ −

− −

=− − ± − − −

=±

=+

= =

=−

=−

= −

− − = −

+

= − +

+ − = − +

x x

x x

x x

x

x

x x x x

x x

x x x x

17. 17. 17. 17. 17.

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

72 55 7

55 55 4 72 7

2 72

55 5 041

144

55 71

144

126

144

7

855 71

144

16

144

1

9

72 55 7 727

8

1

9

8 7 9 1

2

2

1

2

2

x x

x x

x

x

x x x x

x x

− −

=− − ± − − −

=±

=+

= =

=−

=−

= −

− − = −

+

= − +

.

18. 18. 18. 18. 18.

( ) ( )( )( )

( )( )( )( )

6 31 30

31 31 4 30 6

2 30

31 1 681

60

31 41

60

10

60

1

6

31 41

60

72

60

6

5

6 31 30 301

6

6

5

6 1 5 6

1 6 6 5

2

2

1

2

2

+ −

=− ± − −

−

=− ±

−

=− +

−=

−= −

=− −

−=

−−

=

+ − = − +

−

= − + −

= + −

x x

x

x

x

x

x x x x

x x

x x

.

19. 19. 19. 19. 19.

( ) ( )( )( )

( )( )( )

10 207 63

207 207 4 10 63

2 10

207 45 369

20207 213

20

6

20

3

10207 213

20

420

2021

10 207 63 103

1021

10 3 21

2

2

1

2

2

x x

x

x

x

x

x x x x

x x

+ −

=− ± − −

=− ±

=− +

= =

=− −

=−

= −

+ − = −

+

= − +

.

20. 20. 20. 20. 20.

( ) ( )

( )( )( )( )( )( )

100 15

15 100

15

2

15

4100

15

2

625

415

2

25

2

10

25

15

2

25

2

40

220

15 100 5 20

15 100 5 20

5 20

2

2

2

1

2

2

2

− −

+ −

= − ± − −

=−

±

=−

+ = =

=−

− =−

= −

+ − = − +

− − + =− − +

= − +

x x

x x

x

x

x

x

x x x x

x x x x

x x

21. 21. 21. 21. 21.

( ) ( )( )( )

( )( )( )

18 31 49

31 31 4 18 49

2 18

31 4 489

3631 67

36

36

361

31 67

36

98

36

49

18

18 31 49 18 149

18

1 18 49

2

2

1

2

2

x x

x

x

x

x

x x x x

x x

+ −

=− ± − −

=− ±

=− +

= =

=− −

=−

= −

+ − = − +

= − +

.

22. 22. 22. 22. 22.

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

6 2

4 6 2

2 6

49

12

7

12

8

12

2

37

12

6

12

1

2

6 2 62

3 2

3 2 2

2 2

2 2 2

1

2

2 2

x ax a

xa a a a a

xa a a a

xa a a

a

x ax a x a xa

x a x a

− −

=− − ± − − −

=±

=+

= =

=−

=−

= −

− − = −

+

= − +

23. 23. 23. 23. 23.

( ) ( )( )( )

( )( )( )

5 22 15

22 22 4 5 15

2 5

22 784

10

22 28

1022 28

10

6

10

3

522 28

10

50

105

5 22 15 53

55

5 3 5

2 2

2 2

2

1

2

2 2

x xy y

xy y y

xy y y

xy y y

y

xy y y

y

x xy y xy

x y

x y x y

+ −

=− ± − −

=− ±

=− ±

=− +

= =

=− −

= − = −

+ − = −

+

= − +

24. 24. 24. 24. 24.

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

15 32 7

32 32 4 15 7

2 15

32 1 444

30

32 38

3032 38

30

70

30

7

332 38

30

6

30 5

15 32 7 155

7

3

5 3 7

2 2

2 2

2

1

2

2 2

x mx m

xm m m

xm m m m

xm m m m

xm m m m

x mx m xm

xm

x m x m

− −

=− − ± − − −

=±

=±

=+

= =

=−

=−

= −

− − = +

−

= + −

.

EJERCICIO 282

1. 1. 1. 1. 1.

( )( )x

x x

x x

x x

x x

x i x

4

2 2

2 2

2 2

1 0

1 1 0

1 0 1 0

1 1

1 1

1

− =

+ − =

+ = − == − =

= ± − = ±= ± = ±

2. 2. 2. 2. 2.

( )( )

( ) ( )

x

x x x

x

x

x x

x

x

xi i

xi i

3

2

1

2

2

2

3

1 0

1 1 0

1 0

1

1 0

1

2

1

41

1

2

3

4

1

2

3 1

2

1

2

3

2

1 3

2

1

2

3

2

1 3

2

+ =

+ − + =+ == −

− + =

= −−

±−

−

= ± − = ±−

= + =+

= − =−

3. 3. 3. 3. 3.

( )( )( )( )( )

x

x

x x

x x x

x x

x x

x

x

x i

x i x i

4

4

2 2

2

1 2

2

2

3 4

81

81 0

9 9 0

3 3 9 0

3 0 3 0

3 3

9 0

9

9 1 9

3 3

=

− =

− + =

− + + =− = + =

= = −

+ =

= −

= ± − = ±= = −

4. 4. 4. 4. 4.

( )( )( )( )( )

x

x x

x x x

x x

x x

x

x

x i

x i x i

4

2 2

2

1 2

2

2

3 4

256 0

16 16 0

4 4 16 0

4 0 4 0

4 4

16 0

16

16 1 4

4 4

− =

− + =

+ − + =+ = − =

= − =

+ =

= −

= ± − = ±= = −

5. 5. 5. 5. 5. ( )( )( )

( ) ( )

x

x x x

x

x

x x

x

x i

x i x i

3

2

1

2

2

2 3

8 0

2 2 4 0

2 0

2

2 4 0

2

2

2

44

112

41

2 3 1

21 3

1 3 1 3

+ =

+ − + =+ == −

− + =

=− −

±−

−

= ± − = ±−

= +

= + = −

6. 6. 6. 6. 6.

( )( )( )( )( )

x

x x

x x x

x x

x x

x

x

x i

x i x i

4

2 2

2

1 2

2

2

3 4

625 0

25 25 0

5 5 25 0

5 0 5 0

5 5

25 0

25

25 1 5

5 5

− =

− + =

+ − + =+ = − == − =

+ =

= −

= ± − = ±= = −

7. 7. 7. 7. 7.

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

x

x x x

x

x

x x

x

x

x i

x i

3

2

1

2

2

2

3

64 0

4 4 16 0

4 0

4

4 16 0

4 4 4 1 16

2 1

4 16 64

2

4 48

2

4 4 3 1

22 2 3

4 48

2

4 4 3 1

22 2 3

+ =

+ − + =+ == −

− + =

=− − ± − −

=± −

=+ −

=+ −

= +

=− −

=− −

= −

8. 8. 8. 8. 8.

( )( )( )( )( )( )

x

x x

x x x x x x

x x

x x

x x

6

3 3

2 2

1 2

2

729 0

27 27 0

3 3 9 3 3 9 0

3 0 3 0

3 3

3 9 0

− =

− + =

− + + + − + =− = + == = −+ + =

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

8. Continuación8. Continuación8. Continuación8. Continuación8. Continuación

( )

( ) ( )

x

xi

xi

xi

x x

x

xi

xi

xi

=−

± −

=−

±−

=−

±

=− −

=− +

− + =

=− −

±−

−

= ±−

= ±

=+

=−

3

2

3

49

3

2

27 1

4

3

2

3 3

2

3 3 3

2

3 3 3

23 9 0

3

2

3

49

3

2

27 1

4

3

2

3 3

2

3 3 3

2

3 3 3

2

2

3 4

2

2

5 6

9. 9. 9. 9. 9.

( )( )

( )

x

x

x x x

x

x

x x

x

x

x i

x i

x i

3

3

2

1

2

2

2

3

8

8 0

2 2 4 0

2 0

2

2 4 0

2

2

2

44

1 3 1

1 3

1 3

1 3

=− =

− + + =− ==+ + =

=−

± −

= − ± −

= − ±

= − +

= − −

10. 10. 10. 10. 10.

( )( )

x

x

x x

x x

x x

x x i

x x i

x x i

4

4

2 2

2 2

2

1 3

2 4

64

64 0

8 8 0

8 8

2 2 8 1

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

=

− =

− + =

= = −

= ⋅ = −

= ± = ±

= =

= − = −

EJERCICIO 283

1. 1. 1. 1. 1.

( )( )( )( )( )( )

x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

4 2

2 2

1 2

3 4

10 9 0

9 1 0

3 3 1 1 0

3 0 3 0

3 3

1 0 1 0

1 1

− + =

− − =

+ − + − =+ = − =

= − =+ = − =

= − =

2. 2. 2. 2. 2.

( )( )x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

4 2

2 2

2 2

2 2

1 3

2 4

13 36 0

4 9 0

4 0 9 0

4 9

4 9

2 3

2 3

− + =

− − =

− = − =

= =

= ± = ±= == − = −

3. 3. 3. 3. 3.

( )( )( )( )( )( )

x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

4 2

2 2

1 2

3 4

29 100 0

25 4 0

5 5 2 2 0

5 0 5 0

5 5

2 0 2 0

2 2

− + =

− − =

+ − + − =+ = − =

= − =+ = − =

= − =

4. 4. 4. 4. 4.

( )( )x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

4 2

2 2

2 2

2 2

1 3

2 4

61 900 0

36 25 0

36 0 25 0

36 25

36 25

6 5

6 5

− + =

− − =

− = − =

= =

= ± = ±= == − = −

5. 5. 5. 5. 5.

( )( )( )( )( )

x x

x x

x x x

x x

x x

x

x

x i

x i x i

4 2

2 2

2

1 2

2

2

3 4

3 4 0

4 1 0

4 1 1 0

1 0 1 0

1 1

4 0

4

4 1 2

2 2

+ − =

+ − =

+ + − =+ = − == − =

+ =

= −

= − = ±= = −

6. 6. 6. 6. 6.

( )( )( )( )( )

x x

x x

x x x

x x

x x

x

x

x i x i

4 2

2 2

2

1 2

2

3 4

16 225 0

25 9 0

25 3 3 0

3 0 3 0

3 3

25 0

25 1

5 5

+ − =

+ − =

+ + − =+ = − =

= − =+ =

= ± −= = −

7. 7. 7. 7. 7.

( )( )( )( )( )

x x

x x

x x x

x x

x x

x

x

x i

x i x i

4 2

2 2

2

1 2

2

2

3 4

45 196 0

49 4 0

7 7 4 0

7 0 7 0

7 7

4 0

4

4 1 2

2 2

− − =

− + =

+ − + =+ = − =

= − =

+ =

= −

= − = ±= = −

8. 8. 8. 8. 8.

( )( )( )( )( )

x x

x x

x x x

x x

x x

x

x

x

x x

4 2

2 2

2

1 2

2

2

3 4

6 5 0

5 1 0

5 1 1 0

1 0 1 0

1 1

5 0

5

5

5 5

− + =

− − =

− + − =+ = − == − =

− =

=

= ±

= = −

9. 9. 9. 9. 9.

( ) ( )( )( )

( )( )

4 37 9 0

4 37 4 36 0

4 36 4 1 0

9 4 1 0

9 0 4 1 0

91

4

9

31

2

31

2

4 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2

1 3

2 4

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x x

x x

− + =

− + =

− − =

− − =

− = − =

= = ±

= ±

= =

= − = −

10. 10. 10. 10. 10.

( ) ( )( )( )

( )( )( )( )( )

9 40 16 0

9 40 9 144 0

9 36 9 4 0

4 9 4 0

2 2 9 4 0

2 0 2 0

2 2

9 4 0

4

92

3

2

3

4 2

2 2 2

2 2

2 2

2

1 2

2

3 4

x x

x x

x x

x x

x x x

x x

x x

x

x

x x

− + =

− + =

− − =

− − =

+ − − =+ = − =

= − =

− =

= ±

= = −

11. 11. 11. 11. 11.

( )( ) ( )( )

( )

25 9 16 0

25 9 16 0

9 9 4 25 16

2 25

9 1 681

50

9 41

509 41

50

32

50

16

25

16

25

4

5

4

59 41

50

50

501

1

4 2

2 2 2

2

2

2

2

1 2

2

3 4

x x

x x

x

x

x

x x x

x

x x i x i

+ − =

+ − =

=− ± − −

=− ±

=− ±

=− +

= =

= ± = = −

=− −

=−

= −

= ± − = = −

.

12. 12. 12. 12. 12.

( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )

4 11 3 0

4 11 4 12 0

4 12 4 1 0

3 4 1 0

3 0

3

3 3 1 3

3 3

4 1 0

2 1 2 1 0

2 1 0 2 1 0

1

2

1

2

4 2

2 2 2

2 2

2 2

2

2

1 2

2

3 4

x x

x x

x x

x x

x

x

x i

x i x i

x

x x

x x

x x

+ − =

+ − =

+ − =

+ − =

+ =

= −

= ± − = ± − = ±

= = −

− =

+ − =+ = − =

= − =

13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( )

( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )

2 1 3 80

4 4 1 6 9 80

3 10 88 0

3 10 3 264 0

3 22 3 12 0

3 22 4 0

3 22 2 2 0

2 0 2 0

2 2

3 22 0

22

3

22 1

3

22

3

3

3

66

3

22

2 2 2 2

4 2 4 2

4 2

2 2 2

2 2

2 2

2

1 2

2

2

3

4

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

x x x

x x

x x

x

x

x

x ii

x i

+ − − =

+ + − + − =+ − =

+ − =

+ − =

+ − =

+ + − =+ = − == − =

+ =

=−

= ±−

= ⋅ =

= −3

3

3

66

3⋅ =

− i

14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( )

( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )

x x x

x x x

x x

x x

x x

x x

x x x

x x

x x

x

xi

xi i

xi i

2 2 2

4 2 2

4 2

2 2 2

2 2

2 2

2

1 2

2

3

4

3 2 4 3 13

3 2 4 12 13

3 2 1 0

3 2 3 3 0

3 3 3 1 0

1 3 1 0

1 1 3 1 0

1 0 1 0

1 1

3 1 0

1

3 3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

+ = − +

+ = − +

− − =

− − =

− + =

− + =

+ − + =+ = − == − =

+ =

=−

= ±

= ⋅ =

= − ⋅ = −

EJERCICIO 284

1. 1. 1. 1. 1.

( )( )

( )( )( )

( )

( )( )( )( )

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x x x

x x

ver ejerc prob

x i

x i

x

x x x

ver ejerc prob

xi

xi

6 3

3 3

3 3

3 3

3 3

1 2

3

2

2

3

4

3

2

5 6

7 8 0

8 1 0

8 0 1 0

8 1

8 1

2 1

8 0

2 2 4 0

2 4 0

282 9

1 3

1 3

1 0

1 1

282 2

1 3

2

1 3

2

− − =

− + =

− = + =

= = −

= = −= = −

− =

− + + =

+ + =

= − +

= − −

+ =

+ − +

=+

=−

. .

. .

2. 2. 2. 2. 2.

( )( )x x

x x

x x

x x

x x

x x

6 3

3 3

3 3

3 3

3 3

3

30 81 0

27 3 0

27 0 3 0

27 3

27 3

3 3

+ + =

+ + =

+ = + =

= − = −

= − = −

= − = −

3. 3. 3. 3. 3.

( ) ( )( )( )

( )( )

8 15 2 0

8 15 8 16 0

8 16 8 1 0

2 8 1 0

2 0 8 1 0

21

8

21

2

2

6 3

3 2 3

3 3

3 3

3 3

3

3

3

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

+ − =

+ − =

+ − =

+ − =

+ = − =

= − =

= − =

= −

4. 4. 4. 4. 4.

( )( )( )( )( )( )

x x

x x

x x x x

x x

x x

x

8 4

4 4

2 2 2 2

2 2

41 400 0

25 16 0

5 5 4 4 0

5 0 4 0

5 4

2

− + =

− − =

+ − + − =

− = − =

= ± = ±= ±

5. 5. 5. 5. 5.

( )( )x x

x x

x x

x x

x x

10 5

5 5

5 5

5 5

33 32 0

32 1 0

32 0 1 0

32 1

2 1

− + =

− − =

− = − =

= == =

6. 6. 6. 6. 6.

( )( )x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x x x

− −

− −

− −

− −

− + =

− − =

− = − =

= =

= =

= =

± = ± =

= = − = = −

4 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

1 2 3 4

13 36 0

9 4 0

9 0 4 0

9 4

19

14

1

9

1

4

1

9

1

41

3

1

3

1

2

1

2; ; ;

7. 7. 7. 7. 7.

( )( )

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

− −

− −

− −

− −

− −

+ = −

+ + =

+ + =

+ = + =

= − = −

= − = −

−=

−=

= − = −

6 3

6 3

3 3

3 3

3 3

3 3

3 3

35 216

35 216 0

27 8 0

27 0 8 0

27 8

127

18

1

27

1

8

1

3

1

2

10. 10. 10. 10. 10.

( ) ( )

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

+ =

+ − =

+

−

=

+ = − =

= − =

= − == =

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2 2

6

6 0

3 2 0

3 0 2 0

3 2

3 2

9 4

9. 9. 9. 9. 9. x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

33

2

3

2

3

2

32

32

3 3

3 3

3

9 8 0

8 1 0

8 0 1 0

8 1

64 1

64 1

4

− + =

−

−

=

− = − =

= =

= =

= ==

12. 12. 12. 12. 12.

( )

2 5 2 0

4 5 2 4 0

2 4 2 1 0

2 2 1 0

2 0 2 1 0

2 2 1

21

2

21

1616

12

14

1

2

1

4

14

14

1

4

1

4

1

4

1

4

14 4

4

4

4

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

− + =

−

+ =

−

−

=

−

−

=

− = − =

= =

= =

= =

=

8. 8. 8. 8. 8.

( )( )

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

− −

− −

− −

− −

− −

= +

− − =

− + =

− = + =

= = −

= = −

=−

=

= = −

10 5

10 5

5 5

5 5

5 5

5 5

5 5

242 243

242 243 0

243 1 0

243 0 1 0

243 1

1243

11

1

243

1

1

1

31

11. 11. 11. 11. 11.

( )

3 16 5

3 16 5 0

9 16 3 15 0

3 15 3 1 0

3 15 0 3 1 0

15

3

1

3

51

3

251

9

12

1

2

12

12

1

2

1

2

22

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

= −

− + =

−

+ =

−

−

=

− = − =

= =

= =

= =

EJERCICIO 285

1. 1. 1. 1. 1.

( )

5 24

5 24

1

1

5 1

2

5 1

2

3 2

2

+

= −

==

=+

+−

= +

m

m

m

2. 2. 2. 2. 2.

( )

8 60

8 60

4

2

8 2

2

8 2

2

5 3

2

−

= −

==

=+

−−

= −

m

m

m

3. 3. 3. 3. 3.

( )

8 28

8 28

36

6

8 6

2

8 6

2

7 1

2

+

= −

==

=+

+−

= +

m

m

m

4. 4. 4. 4. 4.

( )

32 700

32 700

324 18

32 18

2

32 18

2

25 7

5 7

2

−

= −

= =

=+

−−

= −

= −

m

m

5. 5. 5. 5. 5.

( )

14 132

14 132

64 8

14 8

2

14 8

2

11 3

2

+

= −

= =

=+

+−

= +

m

m

6. 6. 6. 6. 6.

( )

13 88

13 88

81 9

13 9

2

13 9

2

11 2

2

+

= −

= =

=+

+−

= +

m

m

7. 7. 7. 7. 7.

( )

11 2 30

11 120

11 120 1

11 1

2

11 1

2

6 5

2

+

+

= − =

=+

+−

= +

m

8. 8. 8. 8. 8.

( )

84 18 3

84 972

84 972

6 084 78

84 78

2

84 78

2

81 3 9 3

2

−

−

= −

= =

=+

−−

= − = −

m

m .

9. 9. 9. 9. 9.

( )

21 6 10

21 360

21 360

81 9

21 9

2

21 9

215 6

2

+

+

= −

= =

=+

+−

= +

m

m

10. 10. 10. 10. 10.

( )

28 14 3

28 588

28 588

196 14

28 14

2

28 14

2

21 7

2

+

+

= −

= =

=+

+−

= +

m

m

11. 11. 11. 11. 11.

( )

14 4 6

14 96

14 96

100 10

14 10

2

14 10

2

12 2

2 3 2 2 3 2

2

2

−

−

= −

= =

=+

−−

= −

= ⋅ − = −

m

m

12. 12. 12. 12. 12.

( )

55 30 2

55 1 800

55 1 800

1 225 35

55 35

2

55 35

2

45 10 3 5 10

2

+

+

= −

= =

=+

+−

= + = +

.

.

.

m

m

13. 13. 13. 13. 13.

( )

73 12 35

73 5 040

73 5 040

289 17

73 17

2

73 17

2

45 28 3 5 2 7

2

−

−

= −

= =

=+

−−

= − = −

.

.m

m

14. 14. 14. 14. 14.

( )

253 60 7

253 25 200

253 25 200

38 809 197

253 197

2

253 197

2

225 28 15 2 7

2

−

−

= −

= =

=+

−−

= − = −

.

.

.

m

m

15. 15. 15. 15. 15.

( )

293 30 22

293 19 800

293 19 800

66 049 257

293 257

2

293 257

2

275 18 5 11 3 2

2

−

−

= −

= =

=+

−−

= − = −

.

.

.

m

m

16. 16. 16. 16. 16.

5

6

2

3

5

6

2

3

1

36

1

6

56

16

2

56

16

2

1

2

1

3

1 2

2 2

1 3

3 3

1

22

1

33

2

+

=

−

= =

=+

+−

= + = +

= +

m

m

17. 17. 17. 17. 17.

3

4

1

2

3

4

1

2

1

16

1

4

34

14

2

34

14

2

1

2

1

4

2

2

1

2

2

−

=

−

= =

=+

−−

= − = −

m

m

18. 18. 18. 18. 18.

9

16

1

8

9

16

1

8

49

256

7

16

916

716

2

916

716

2

1

2

1

16

2

2

1

4

2

+

=

−

= =

=+

+−

= + = +

m

m

19. 19. 19. 19. 19.

( )

6 4 2

6 32

6 32

4 2

6 2

2

6 2

2

4 2 2 2

2

+

+

= −

= =

=+

+−

= + = +

m

m

20. 20. 20. 20. 20.

( )

7 4 3

7 48

7 48 1

7 1

2

7 1

2

4 3 2 3

2

+

+

= − =

=+

+−

= + = +

m

21. 21. 21. 21. 21.

( )

8 2 7

8 28

8 28

36 6

8 6

2

8 6

2

7 1

2

+

+

= −

= =

=+

+−

= +

m

m

22. 22. 22. 22. 22.

( )

10 2 21

10 84

10 84

16 4

10 4

2

10 4

2

7 3

2

+

+

= −

= =

=+

+−

= +

m

m

23. 23. 23. 23. 23.

( )

18 6 5

18 180

18 180

144 12

18 12

2

18 12

2

15 3

2

+

+

= −

= =

=+

+−

= +

m

m

24. 24. 24. 24. 24.

( )

24 2 143

24 572

24 572

4 2

24 2

2

24 2

2

13 11

2

−

−

= −

= =

=+

−−

= −

m

m

25. 25. 25. 25. 25.

( )

30 20 2

30 800

30 800

100 10

30 10

2

30 10

2

20 10 2 5 10

2

−

−

= −

= =

=+

−−

= − = −

m

m

26. 26. 26. 26. 26.

( )

9 6 2

9 72

9 72

9 3

9 3

2

9 3

2

6 3

2

+

+

= −

= =

=+

+−

= +

m

m

27. 27. 27. 27. 27.

( )

98 24 5

98 2 880

98 2 880

6 724 82

98 82

2

98 82

2

90 8 3 10 2 2

2

−

−

= −

= =

=+

−−

= − = −

.

.

.

m

m

EJERCICIO 286

1. 1. 1. 1. 1.

( )a n r

u

= = = − == + = + =

7 9 10 7 3

7 8 3 7 24 31

2. 2. 2. 2. 2.

( )a n r

u

= = = − == + = + =

5 12 10 5 5

5 11 5 5 55 60

3. 3. 3. 3. 3.

( )a n r

u

= = = − == + = + =

9 48 15 12 3

9 47 3 9 141 150

4. 4. 4. 4. 4.

( )a n r

u

= = = − == + = + =

3 63 17 10 7

3 62 7 3 434 437

5. 5. 5. 5. 5.

( )a n r

u

= = = − = −

= + − = − =−

11 12 6 11 5

11 11 5 11 55 44

6. 6. 6. 6. 6.

( )a n r

u

= = = − = −

= + − = − =−

19 28 5 12 7

19 27 7 19 189 170

7. 7. 7. 7. 7. ( )( )

a n r

u

= = = − − − = −

= + − = − = −

3 13 5 1 4

3 12 4 3 48 45

8. 8. 8. 8. 8.

( )a n r

u

= = = − = −

= + − = − = −

8 54 0 8 8

8 53 8 8 424 416

9. 9. 9. 9. 9. ( )( )

a n r

u

= − = = − − =

= − + = − + =

7 31 1 3 4

7 30 4 7 120 113

10. 10. 10. 10. 10.

( )a n r

u

= − = = − == − + = − + =

8 17 12 2 10

8 16 10 8 160 152

111111. 1. 1. 1. 1. a n r

u

= = = − =

= +

= + = =

1

212

3

4

1

2

1

41

211

1

4

1

2

11

4

13

43 1

4

12. 12. 12. 12. 12. a n r

u

u

= = = − =

= +

= + = =

2

317

5

6

2

3

1

62

316

1

6

2

3

8

3

10

331

3

13. 13. 13. 13. 13. a n r

u

u

= = = − =

= +

= + = =

3

825

11

24

3

8

1

123

824

1

12

3

82

19

82 3

8

14. 14. 14. 14. 14. a n r

u

u

= = = − =

= +

= + = =

1

319

7

8

1

3

13

241

318

13

24

1

3

39

4

121

1210 1

12

15. 15. 15. 15. 15. a n r

u

= = = − =

= +

= + = =

7

227

21

4

7

2

7

47

226

7

4

7

2

91

2

98

249

16. 16. 16. 16. 16. a n r

u

u

= = = − = −

= + −

= − = − = −

7

936

1

3

7

9

4

97

935

4

9

7

9

140

9

133

914 7

9

17. 17. 17. 17. 17. a n r

u

u

= = = − = −

= + −

= − = − = −

2

715

1

8

2

7

9

562

714

9

56

2

7

126

56

110

56127

28

18. 18. 18. 18. 18. a n r

u

u

= − = = − + = −

= − + −

= − − = − = −

3

521

14

15

3

5

1

33

520

1

3

3

5

20

3

109

157 4

15

Los problemas de este ejercicio se resuelven aplicando la siguiente formula:Los problemas de este ejercicio se resuelven aplicando la siguiente formula:Los problemas de este ejercicio se resuelven aplicando la siguiente formula:Los problemas de este ejercicio se resuelven aplicando la siguiente formula:Los problemas de este ejercicio se resuelven aplicando la siguiente formula:u = a + (n - 1) r donde:u = a + (n - 1) r donde:u = a + (n - 1) r donde:u = a + (n - 1) r donde:u = a + (n - 1) r donde:u es el término enésimo ; a es el primer termino de la progresión ; n es la cantidad deu es el término enésimo ; a es el primer termino de la progresión ; n es la cantidad deu es el término enésimo ; a es el primer termino de la progresión ; n es la cantidad deu es el término enésimo ; a es el primer termino de la progresión ; n es la cantidad deu es el término enésimo ; a es el primer termino de la progresión ; n es la cantidad detérminos ; r es la razón de cambio.términos ; r es la razón de cambio.términos ; r es la razón de cambio.términos ; r es la razón de cambio.términos ; r es la razón de cambio.

19. 19. 19. 19. 19.

( )

a n r

u

= − = = − + = −

= − + − = − − = − = −

1

413

9

4

1

42

1

412 2

1

424

97

424 1

4

20. 20. 20. 20. 20. a n r

u

= − = = − + =

= − +

= − + = =

5

619

1

3

5

6

1

25

618

1

2

5

69

49

68 1

6

21. 21. 21. 21. 21. a n r

u

= = = − = −

= + −

= − = − = −

11

333

35

12

11

3

3

411

332

3

4

11

324

61

3201

3

22. 22. 22. 22. 22. a n r

u

u

= = = − = −

= + −

= − = − = −

14

541

27

10

14

5

1

1014

540

1

10

14

54

6

511

5

23. 23. 23. 23. 23. a n r

u

u

= − = = + =

= − +

= − + = =

3

526

3

10

3

5

9

103

525

9

10

3

5

45

2

219

1021 9

10

24. 24. 24. 24. 24. a n

r

u

u

= − =

= − + =

= − +

= − + =

4 19

2

34

10

3

4 1810

3

4 60 56

25. 25. 25. 25. 25. a n

r

u

u

= =

= − − = −

= + −

= − = − = −

3 39

5

43

17

4

3 3817

4

3323

2

317

21581

2

EJERCICIO 287

1. 1. 1. 1. 1.

( )

u r n

a

a

= = =

= −

= − =

202

715

20 142

7

20 4 16

2. 2. 2. 2. 2.

( )( )u n r

a

a

= − = == − −= − − = −

18 32 3

18 31 3

18 93 111

3. 3. 3. 3. 3.

( )

u n r

a

= = = − =

= −

= − = −

1 9 13

4

1

4

1 81

41 2 1

4. 4. 4. 4. 4. u n

Se plantea la ecuación

para encontrar la razón

r

r

r

= =

− =

− = −

− = −

253

7

253

2 7

2 7253

243

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

4. Continuación4. Continuación4. Continuación4. Continuación4. Continuación

( )

r

a

a

= =

= −

= − = =

4

6

2

325

36

2

3

25

3

12

3

13

34 1

3

5. 5. 5. 5. 5. a n u

r

= = =

= −−

= =

3 6 8

8 36 1

55

1

6. 6. 6. 6. 6.

( )a n u

r

= − = = −

=− − −

−= − = −

1 10 4

4 1

10 1

3

9

1

3

7. 7. 7. 7. 7. a n u

r

= = =−

=− −

−=

−= −

1

217

3

838

12

17 1

78

16

7

128

8. 8. 8. 8. 8. a n u

r

= = =−

= − −−

= − = −

5 18 80

80 518 1

8517

5

9. 9. 9. 9. 9.

( )a n u

r

= − = =

=− −−

= =

42 92 1 050

1 050 42

92 1

1 092

9112

.

. .

Para resolver los problemas de este ejercicio se utilizan las siguientes formulas:Para resolver los problemas de este ejercicio se utilizan las siguientes formulas:Para resolver los problemas de este ejercicio se utilizan las siguientes formulas:Para resolver los problemas de este ejercicio se utilizan las siguientes formulas:Para resolver los problemas de este ejercicio se utilizan las siguientes formulas:

( )a u n r ru a

nn

u a r

r= − − =

−−

=− +

11

Donde u es el término enésimo ; r es la razón de cambio ; n es la cantidad de términos ;Donde u es el término enésimo ; r es la razón de cambio ; n es la cantidad de términos ;Donde u es el término enésimo ; r es la razón de cambio ; n es la cantidad de términos ;Donde u es el término enésimo ; r es la razón de cambio ; n es la cantidad de términos ;Donde u es el término enésimo ; r es la razón de cambio ; n es la cantidad de términos ;a es el primer término de la progresión.a es el primer término de la progresión.a es el primer término de la progresión.a es el primer término de la progresión.a es el primer término de la progresión.

10. 10. 10. 10. 10. a u

r

n

= == − =

=− +

= =

4 30

6 4 2

30 4 2

2

28

214

11. 11. 11. 11. 11. a u

r

n

n

= =

= − =

=− +

=+

= =

5 18

163

513

18 513

13

1313

13

40313

40

12. 12. 12. 12. 12. a u

r

n

n

= =

= − =

=− +

=−

= = =

265

18

6265

45

18265

45

45

18225

45

68545

684

17

EJERCICIO 288

1. 1. 1. 1. 1.

( )

( )

( ) ( )

r

a n

u

u

s

s

= − == == += + =

=+

= =

19 15 4

15 8

15 7 4

15 28 43

15 43 8

258 4 232

2. 2. 2. 2. 2.

( )

( )( )

a n

r

u

u

s

s

= === += + =

=+

= =

31 19

7

31 18 7

31 126 157

31 157 19

23 572

21 786

..

3. 3. 3. 3. 3. ( )( )

( )( )

( )( )

a n r

u

u

s

s

= = = −

= + −= −

=−

= − = −

42 24 10

42 23 10

188

42 188 24

2

146 12 1 752.

4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( )

( )( )

( ) ( )

a n r

u

u

s

s

= − = == − += − + =

=− +

= =

10 80 4

10 79 4

10 316 306

10 306 80

2296 40 11 840.

5. 5. 5. 5. 5. ( )( )

( )( )

( )( )

a n r

u

u

s

s

= = = −

= + −= − = −

=−

= − = −

11 60 10

11 59 10

11 590 579

11 579 60

2

568 30 17 040.

6. 6. 6. 6. 6. ( )( )

( )( )

( )( )

a n r

u

u

s

s

= − = = −

= − + −= − − = −

=− −

= − = −

5 50 8

5 49 8

5 392 397

5 397 50

2

402 25 10 050.

7. 7. 7. 7. 7.

( )

( )

a n r

u

u

s

s

= = =

= +

= + =

=+

= =

1

29

1

21

28

1

2

1

24

9

212

92

9

245

222 1

2

8. 8. 8. 8. 8.

( )

( )

a n r

u

u

s

s

= = =

= +

= + =

=+

= =

3

1014

1

103

1013

1

10

3

10

13

10

8

53

1085

14

2133

1013 3

10

9. 9. 9. 9. 9.

( )

a n r

u

u

s

s

= = =

= +

= + =

=+

= = =

3

419

3

43

418

3

4

3

4

27

2

57

4

1934

574

219 15

2

285

21421

2

10. 10. 10. 10. 10. a n r

u

u

s

s

= = = −

= + −

= − = −

=−

= − = −

2

534

3

112

533

3

11

2

59

43

5

3425

435

21 394

101392

5

.

11. 11. 11. 11. 11. a n r

r

u

u

s

s

= = =

= − =−

=

= +

= + =

=+

= =

7

311

4

547

15

7

3

47 35

15

4

57

310

4

5

7

38

31

3

1173

313

2418

6692

3

12. 12. 12. 12. 12. a n

r

u

u

s

s

= =

= − = =

= +

= + =

=+

= =

13

446

73

20

13

4

8

20

2

513

445

2

5

13

418

85

4

46134

854

24 508

85631

2

.

13. 13. 13. 13. 13.

( ) ( )

a n r

u

s

= − = = + =

= − +

= − + =

=− +

= =

2 171

42

9

4

2 169

42 36 34

17 2 34

217 16 272

14. 14. 14. 14. 14. a n r

u

s

s

= − = = − + =

= − +

= −

=− −

= −

= − = −

5 1237

85

3

8

5 113

8

7

8

12 578

2

647

8

141

4351

4

EJERCICIO 289

1. 1. 1. 1. 1. u a n

r

Luego

= = =

= −−

= =

⇒ + =+ =+ =

÷

11 3 5

11 35 1

84

2

3 2 5

5 2 7

7 2 9

3 5 7 9 11. . . . .

2. 2. 2. 2. 2. u a m

r

Luego

= − = =

= − −+

= − = −

⇒ − =− =− =− =− =− =− = −

÷ − −

5 19 7

5 197 1

248

3

19 3 16

16 3 13

13 3 10

10 3 7

7 3 4

4 3 1

1 3 2

19 16 13 10 7 4 1 2 5. . . . . . . . .

3. 3. 3. 3. 3. u a n

r

Luego

= − = − =

= − +−

= − = −

⇒− − = −− − =−− − =−− − =−− − =−

÷ − − − − − − −

73 13 7

73 137 1

606

10

13 10 23

23 10 33

33 10 43

43 10 53

53 10 63

13 23 33 43 53 63 73. . . . . . .

4. 4. 4. 4. 4. u a m

r

Luego

= =− =

= ++

= =

⇒− + = −− + =−− + =

+ =÷ − − −

53 42 4

53 424 1

955

19

42 19 23

23 19 4

4 19 15

15 19 34

42 23 4 15 34 53. . . . . .

5. 5. 5. 5. 5. u a n

r

Luego

= − = − =

= − +−

= =

⇒− + = −− + =−− + =−− + =−− + =−

÷ − − − − − − −

9 81 7

9 817 1

726

12

81 12 69

69 12 57

57 12 45

45 12 33

33 12 21

81 69 57 45 33 21 9. . . . . . .

6. 6. 6. 6. 6. u a m

r

Luego

= = =

= −+

= =

⇒ + =

+ =

+ =

÷

÷

3 1 3

3 13 1

24

12

11

2

3

23

2

1

22

212

52

132

252

3

1 1 2 2 312

12

. . . . .

. . . . .

7. 7. 7. 7. 7. u a n

r

Luego

= = =

= −−

=

⇒ + =

+ =

+ =

+ =

÷

÷

12 5 6

12 56 1

75

575

325

325

75

395

395

75

465

465

75

535

5325

395

465

535

12

5 6 7 9 10 1225

45

15

35

. . . . . .

. . . . . .

8. 8. 8. 8. 8. u a m

r

Luego

= = − =

= ++

=

⇒− + = −

− + =−

− + = −

− + =

+ =

÷ − − − −

÷ − − − − −

3 4 5

3 45 1

76

476

176

176

76

53

53

76

12

12

76

23

23

76

116

4176

53

12

23

116

3

4 2 112

23

1 356

23

56

. . . . . . .

. . . . . . .

9. 9. 9. 9. 9. u a n

r

Luego

= = =

=−

−=

−= −

⇒ − =

− =

− =

− =

− =

÷

18

34

7

18

34

7 1

58

6548

34

548

3148

3148

548

1324

1324

548

716

716

548

13

13

548

1148

34

3148

1324

716

13

1148

18

. . . . . . .

10. 10. 10. 10. 10. u a m

r

Luego

= =− =

= ++

=

⇒− + = −

− + =

+ =

+ =

+ =

+ =

÷ − −

÷ − −

3 1 6

3 16 1

47

147

37

37

47

17

17

47

57

57

47

97

97

47

137

13

7

4

7

17

7

137

17

57

97

137

177

3

13

7

1

7

5

71 1 2 32

767

37

. . . . . . . .

. . . . . . . .

11. 11. 11. 11. 11. u a n

r

= − = =

=− −

−=

−= −

⇒ − =

− =

− =

18

23

7

18

23

7 1

19246

19144

23

19144

77144

77144

19144

2972

2972

19144

1348

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

11. Continuación11. Continuación11. Continuación11. Continuación11. Continuación13

48

19

144

5

365

3619

1441

14423

77144

2972

1348

536

1144

18

− =

− =

÷ −Luego . . . . . . .

12. 12. 12. 12. 12. u a m

r

Luego

= − = − =

= − ++

= −

⇒− − = −

− − =−

− − =−

− − =−

− − = −

− − =−

− − =−

÷ − − − − − − − − −

5 2 7

5 27 1

38

238

198

198

38

114

114

38

258

258

38

72

72

38

318

318

38

174

174

38

378

2 2 2 3 3 3 4 4 538

34

18

12

78

14

58. . . . . . . . .

13. 13. 13. 13. 13. u a n

r

Luego

=− = =

=− −

−=

−= −

⇒ − =

− =

− =

− =−

− − =−

− − = −

− − =−

− − =−

÷ − − − − − −

710

12

10

710

12

10 1

65

92

15

12

215

1130

1130

215

730

730

215

110

1

10

2

15

1

301

302

1516

16

215

310

310

215

1330

1330

215

1730

1

2

11

30

7

30

1

10

1

30

1

6

3

10

13

30

17

30

7

10. . . . . . . . . .

EJERCICIO 290

1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )

( )( )

a n r

u

u

s

s

= = == += + =

=+

= ⋅ =

7 20 7

7 19 7

7 133 140

7 140 20

2147 10 1 470.

2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )

( )( )

a n r

u

u

s

s

= = == += + =

=+

= ⋅ =

5 80 5

5 79 5

5 395 400

5 400 80

2405 40 16 200.

3. 3. 3. 3. 3. ( )( )

( )( )

a n r

u

u

s

s

= = == += + =

=+

= ⋅ =

9 43 10

9 42 10

9 420 429

9 429 43

2219 43 9 417.

4. 4. 4. 4. 4. ( )( )

( )( )

a n r

u

u

s

s

= = == += + =

=+

= ⋅ =

2 100 2

2 99 2

2 198 200

2 200 100

2202 50 10 100.

5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )

( )( )

a n r

u

u

s

s

= = == += + =

=+

= ⋅ =

9 100 2

9 99 2

9 198 207

9 207 100

2216 50 10 800.

6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( )

( )( )

a n r

u

u

s

s

s

s

= = == += + =

=+

= ⋅= ÷=

8 50 3

8 49 3

8 147 155

8 155 50

2163 25

4 075 100

40 75

.

$ ,

7. 7. 7. 7. 7.

( )( )

( )( )

32

10 32 2

10 31 2 72

10 72 32

21 312 10

131 20

→

= = == + =

=+

= ÷=

N normal de

dientes en la boca

de un adulto

a n r

u

s

s

s

º

.

$ ,

8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( )

( )( )

a n r

u

s

s

= = == + =

=+

= ⋅ =

77 72 11

77 71 11 858

77 858 72

2935 36 33 660.

9. 9. 9. 9. 9.

( ) ( )

( )( )

n

a r

u

u

s

s bs

= ⋅ == == += + =

=+

= ⋅ =

5 12 60

2 3

2 59 3

2 177 179

2 179 60

2181 30 5 430. .

10. 10. 10. 10. 10.

( ) ( )

( )( )

a r

Si n

u

u

Avanzó m en

el segundo

s Dis cia

recorrida en seg

s

s

s m

= ==

= += ÷

→

=+

= ⋅= ÷ =

600 25

8

600 7 25

775 100

7 75

8

8

600 775 8

21 375 4

5 500 100 55

,

º

tan

.

.

.

11. 11. 11. 11. 11. s n

x Ahorro el año

xAhorro el año

r xx x

Luego el año Ahorro

xx x

= =→

→

= − =

+ =

2 400 3

2

21

2 23

232

.

º

º

º :

ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

11. Continuación.11. Continuación.11. Continuación.11. Continuación.11. Continuación.

( )( )

( ) ( )

⇒ + + =

+ + ===

→ = =

= = = = =

= + =

= = == + =

xx

x

x x x

x

x

El año ahorrox

sucres

Para el año

a n rx

u sucres

Para el año

a n r

u sucres

2

3

22 400

2 3 4 800

6 4 800

800

12

800

2400

2

400 22

800

2400

400 1 400 800

3

400 3 400

400 2 400 1 200

.

.

.

º

º

º

.

12. 12. 12. 12. 12. 2 4º 22

3 7º 34

2 4º 3

3 22

3

2 22

11

11 3

3 7º 34

11 7º 34

7º 23

23 7º

4º

11 23

5 11 23

23 115 1

124

3

4º 3 11 3 14

2 22 4º 22 14 8

º

º

min

º º

tan

.

º min

min

min

º

min

min

. . .

min º

º min

y

y

El tér o medio entre

el y el es el

por to es una progresión

impar Luego el duplo

del tér o es

x tér o

x

x

Luego tér o

Como

es el tér o

Interpolación para conocer

el tér o

Donde n a u

r

tér o r

tér o

er

er

==

→==

→+ =+ =

=→

÷= = =

= −−

= =

→ + = + =→ − = − =

13. 13. 13. 13. 13. ( )( )

( )

n a r

u

u

s

s

= = == += + =

=+

= ⋅ =

32 5 3

5 31 3

5 93 98

5 98 32

2103 16 1 648$ .

14. 14. 14. 14. 14.

( )

a r n

u

u Km

s Km

= = − =

= + −

=−

= =

=+

=

50 5 8

50 711

2

100 77

2

23

211

50232

8

2246

12

12

15. 15. 15. 15. 15. 3 10

1 12

3 10 1 12

1 12 53

3 10 53

12

12

º º min

tan

º º,

min tan

º º º º

º º

º º

y tér os son

equidis tes a los

extremos y Luego

la suma de estos extremos

es igual a las suma de

los tér os equidis tes

como

+ = ++ =

⇒ + =

16. 16. 16. 16. 16.

( )n a u

r

térm

térm

térm

térm

térm

= = − = −

=− − −

−= − = −

→ − − = −→ − − = −→ − − = −→ − − = −→ − − = −

11 2 52

52 2

11 1

50

105

2 2 5 7

3 7 5 12

4 12 5 17

5 17 5 22

6 22 5 27

º .

º .

º .

º .

º .

21. 21. 21. 21. 21.

( )( )

( ) ( )

a r u

n

s

s

= = =

=− +

= =

=+

= =

51 2 813

813 51 2

2

764

2382

813 51 382

2864 191 165 024.

22. 22. 22. 22. 22. 5 31 9 59

5 31 59

59 31

5 1

28

47

10 59 7 66

11 66 7 73

12 73 7 80

º º

int

º .

º .

º .

→ →

= = =

= −−

= =

→ + =→ + =→ + =

erpolando

n a u

r

térm

térm

térm

23. 23. 23. 23. 23.

( )

n a u

a u

a u

Luego term

term colones

= = =+ = ++ =

==

3 12 500 20 500

12 500 20 500

33 000

2 2 33 000

2 16 500

. .

. .

.

º . .

º . .

17. 17. 17. 17. 17. a u r

n

n años

= = =

=− +

=

500 1 900 200

1 900 500 200200

8

.

.

18. 18. 18. 18. 18. n a u

r

r

= = =

= −−

= =

11 1 180 6 180

6 180 1 18011 1

5 00010

500

. .

. .

.$

19. 19. 19. 19. 19.

( )( )n u r

a

a soles

= = = −

= − −= + =

5 3 000 300

3 000 4 300

3 000 1 200 4 200

.

.

. . .

20. 20. 20. 20. 20.

( )( )

( )( )

( )( )

a r n

u

s

s

s

pies

= = == + =

=+

=

= =

= ÷ =

161 322 5

161 4 322 1 449

1 449 161 5

2

1 610 5

28 050

24 025

4 025 10 402 5

.

.

.

..

. ,

EJERCICIO 291

1. 1. 1. 1. 1.

( )( )

a n

r

u

u

u

= == ÷ =

=

== ⋅ =

−

3 7

6 3 2

3 2

3 2

3 64 192

7 1

6

2. 2. 2. 2. 2.

( )

a n

r

u

u

= =

= ÷ =

=

= =

−

1

38

3 1 3

1

33

3 729

8 1

6

3. 3. 3. 3. 3. a n

r

u

u

= =

= ÷ =

=

= = =

−

8 9

4 81

2

81

2

8

2

1

2

1

32

9 1

8 5

4. 4. 4. 4. 4. a n

r

u

u

= =

= ⋅ =

=

= =

−

1 6

4

25

5

2

2

5

12

5

2

5

32

3 125

6 1

5

5 .

5. 5. 5. 5. 5. a n

r

u

u

= =

= ÷ =

=

= =

−

3 7

2 32

3

32

3

2

3

64

243

7 1

6

5

6. 6. 6. 6. 6. a n

r

u

u

= =

= ⋅ =

=

= =

−

1

26

1

52

2

5

1

2

2

5

2

5

16

3 125

6 1

4

5 .

7. 7. 7. 7. 7. a n

r

u

u

= =

= ⋅ =

=

= = =

9

48

34

9

4

3

9

4

4

3

4

3

4 096

24316

7

6

5208243

.

8. 8. 8. 8. 8.

( )( )[ ]( )

a n

r

u

u

= − =

= ÷ − = −

= − −

= − − =

3 6

6 3 2

3 2

3 32 96

5

9. 9. 9. 9. 9. a n

r

u

u

= =

= − ÷ = −

= −

= =

3 9

1 31

3

31

3

1

3

1

2 187

8

7 .

10. 10. 10. 10. 10. a n

r

u

u

= =

= ⋅ =

=

=⋅

=

5

65

1

2

6

5

3

5

5

6

3

5

3

2 5

27

250

4

3

3

11. 11. 11. 11. 11.

( )a n

r

u

u

= =

= ÷ − = −

= −

= − = −

16 8

1 41

4

161

4

1

4

1

1 024

7

5 .

12. 12. 12. 12. 12.

( )

a n

r

u

u

= =

= − = −

= −

= − = −

3

48

1

32

2

3

3

4

2

3

2

3

32

729

7

5

6

13. 13. 13. 13. 13. a n

r

u

u

= − =

= −

= −

= − −

= −⋅

= − = −

3

55

3

2

5

3

5

2

3

5

5

2

3 5

2

375

1623

4

3

4716

14. 14. 14. 14. 14. a n

r

u

u

= − =

= − −

=

= −

= −⋅

= −

3

410

1

4

4

3

1

3

3

4

1

3

1

4 3

1

26 244

9

8 .

EJERCICIO 292

1. 1. 1. 1. 1. r u n

a

= = =

=

= = =

1

2

1

647

16412

1212

2

216

6

6

6

6

2. 2. 2. 2. 2. r u n

a a

= = =

=

= =⋅⋅

= =

2

3

64

2 1879

642 187

23

2323

2 3

2 3

3

2

3

48

6

7

8

8

6 8

8 7 2

.

.

3. 3. 3. 3. 3. r

u n

a

= ⋅ =

= =

=

= =⋅⋅

=

32

625

125

16

2

532

6256

3262525

2525

2 5

2 555

5

4

5

5

5 5

5 4

8. 8. 8. 8. 8. a u n

r

= = =

= = = =±

81

5127

1512

81

4 0961

414

66

66

.

9. 9. 9. 9. 9. a u n

r

= = =

= = = =±

625

161 5

162516

16

625

2

5

2

544

4

44

10. 10. 10. 10. 10. a u n

r

r

= =− =

=−

= − ⋅⋅

= − = −

27

64

2

818

281

2764

2 23 3

23

23

7

6

4 37

7

77

4. 4. 4. 4. 4. a u n

r

= = =

= = = =

2 64 6

642

22

2 25

65 55

5. 5. 5. 5. 5. a u n

r

= = =

= = = =±

1

3243 7

24313

729 3 36

6 66

6. 6. 6. 6. 6. a u n

r

r

= − = =

=−

= − = − = −

5 640 8

640

5

128 2 2

7

7 77

7. 7. 7. 7. 7. a u n

r

= = =

= = =

7292

32

6

32

7292

1

243

1

35 5

EJERCICIO 293

1. 1. 1. 1. 1.

( )

a n

r

u

s

s

= =

= ÷ =

=

=

=

=

−

−

= − − = =

6 5

3 61

2

61

26

1

16

3

8

38

12

6

12

1

93

162

93

811

4

58

2. 2. 2. 2. 2.

( )[ ]( )

( )

a n

r

u

u

s

s

= == − ÷ = −

= −

= − = −

=− − −

− −

=−

= −

4 6

8 4 2

4 2

4 32 128

128 2 4

2 1

252

384

5

3. 3. 3. 3. 3. a n

r

u

s

s

s

= =

= ÷ =

=

=

=

=

−

−

= − −

= = =

12 7

4 121

3

121

312

1

729

4

243

4243

13

12

13

1

8 744

729

3

2

26 232

1 45817 17

6

1 4461 458

241243

.

.

...

4. 4. 4. 4. 4.

[ ]

( )

a n

r

u

s

s

= =

= ⋅ =

= =

=−

−

= =

1

410

1

24 2

1

42 128

128 214

2 1

1 0234

255

9

34

.

5. 5. 5. 5. 5.

( )

( )

a n

r

u

s

s

s

s

= =

= ⋅ =

=

=

=

−

−

=−⋅

−

=−

−

= = =

9

48

3

2

4

9

2

3

9

4

2

3

2

3

23

23

94

23

1

2 3

3 23

6 305

2 9163

18 915

2 9166 6

7 5

5

5

5

8 8

6 2

1 4192 916

473972

.

.

.

...

6. 6. 6. 6. 6.

( )

( )[ ]( )

a n

r

u

s

s

= − =

= − = −

= − − = − = −

=− − +

− −

=−

= − = −

1

107

1

510 2

1

102

64

10

32

5325

2110

2 1

12910

3

129

304

6

310

7. 7. 7. 7. 7.

( )a n

r

u

s

s

= − =

= − ÷ − =

= −

= −

=−

+

−

=−

=−

= −

6 10

3 61

2

61

2

3

2

32

12

6

12

1

3 069512

12

6 138

51211

9

8

8

253256

..

8. 8. 8. 8. 8. a n

r

u

s

s

= =

= − ÷ = −

= −

= − = −

=− −

−

− −

= = = =

2 8

1 21

2

21

2

1

2

1

64

164

12

2

12

1

25512832

510

3841 1

7

6

126384

2164

9. 9. 9. 9. 9. a n

r

u

s

s

= =

= ÷ =

=

= =

=

−

−

=−

−=

3

26

13

2

2

3

3

2

2

3

2

3

16

81

1681

23

32

23

1

113

4

5 4

4

179486 17

162

10. 10. 10. 10. 10.

( )a n

r

u

s

s

s

= =

= ÷ − = −

= −

= − = −

=− −

−

− −

=−

−

= = =

9 6

1 31

3

91

3

1

3

1

27

127

13

9

13

1

7288143

2 184

3246 6

5

3

240324

2027

.

EJERCICIO 294

1. 1. 1. 1. 1.

( )( )( )

a u n

r

= = =

= = ±

± = ±

± ± =

± = ±÷ ÷ ± ±

5 3 125 5

3 125

525 5

5 5 25

25 5 125

125 5 625

5 25 125 625 3 125

4

.

.

: : : : .

2. 2. 2. 2. 2. a u m

r

= − = − =

=−−

= =

− ⋅ = −− ⋅ =−− ⋅ =−− ⋅ =−÷ ÷ − − − − − −

7 224 4

2247

32 2

7 2 14

14 2 28

28 2 56

56 2 112

7 14 28 56 112 224

5 5

: : : : :

3. 3. 3. 3. 3. a u n

r

= = =

= = = ±

±

= ±

± ±

=

±

= ±

± ±

=

±

= ±

÷ ÷ ± ± ±

128 2 7

2

128

1

2

1

2

1281

264

641

232

321

216

161

28

81

24

128 64 32 16 8 4 2

66

6

: : : : : :

4. 4. 4. 4. 4. a u n

r

= = =

= = =

=

=

=

=

÷ ÷

÷ ÷

9

2

16

276

162792

2

3

2

3

9

2

2

33

32

32

22

3

4

3

4

3

2

3

8

9

9

23 2

4

3

8

9

16

27

4 3 2 18

9

16

27

5

5

55

12

13

: : : : :

: : : : :

5. 5. 5. 5. 5. a u m

r

= = =

= = =

=

=

=

=

=

=

÷ ÷

22 187

646

2 187642

3

2

3

2

23

23

33

2

9

2

9

2

3

2

27

4

27

4

3

2

81

8

81

8

3

2

243

16

243

16

3

2

729

32

2 3 4 6 10 15 22 34

77

77

12

34

18

316

2532

1164

.

.

: : : : : : :

6. 6. 6. 6. 6. a u n

r

= = =

= = =

=

=

=

=

÷ ÷

4

9

27

2566

2725649

3

4

3

4

4

9

3

4

1

3

1

3

3

4

1

4

1

4

3

4

3

16

3

16

3

4

9

64

4

9

1

3

1

4

3

16

9

64

27

256

5

5

55

: : : : :

7. 7. 7. 7. 7. a u m

r

= = =

= = = ±

±

= ±

± ±

=

±

= ±

± ±

=

±

= ±

± ±

=

±

= ±

÷ ÷ ± ± ± ±

81

327

1328

1

2

1

2

81

24

41

22

21

21

11

2

1

2

1

2

1

2

1

4

1

4

1

2

1

8

1

8

1

2

1

16

8 4 2 11

2

1

4

1

8

1

16

1

32

8

88

: : : : : : : :

EJERCICIO 295

1. 1. 1. 1. 1. a r

s

= = ⋅ =

=−

= = =

212

12

14

2

114

234

83

2 23

2. 2. 2. 2. 2. a r

s

= = ⋅ =

=−

= =

12

16

213

12

113

1223

34

7. 7. 7. 7. 7. a r

s

= =− ⋅ =−

=+

= = =

225

12

15

2

115

265

106

123

8. 8. 8. 8. 8. a r

s

= − = −−

=

= −

−= − = −

= −

146

1437

14

137

1447

984

24 12

3. 3. 3. 3. 3. a r

s

= − = −−

=

= −

−= − = −

= −

525

25

5

125

535

253

8 13

4. 4. 4. 4. 4. a r

s

= − = − −

=

=−

−=

−= −

48

3

1

4

2

3

4

123

413

12

5. 5. 5. 5. 5. a r

s

= =

=

=−

= = =

3

4

1

4

4

3

1

3

34

113

3423

9

811

8

6. 6. 6. 6. 6. a r

s

= = ⋅ =

=−

= = =

16

17

667

16

167

1617

76

1 16

EJERCICIO 296

1. 1. 1. 1. 1. 6

10

6

100

6

1 000

6

10

6

100

10

6

1

10

610

11

10

610910

6

9

2

3

+ +

= =

=

=−

= = =

.!

a r

s

2. 2. 2. 2. 2. 12

100

12

10 000

12

1 000 000

12

100

12

10 000

100

12

1

100

12100

11

100

1210099100

12

99

4

33

+ +

= =

=

=−

= = =

. . .

.

!

a r

s

3. 3. 3. 3. 3. 159

1 000

159

1 000 000

159

10

159

10

10

159

1

10

15910

11

10

1591099910

159

999

53

333

3 6

3

3

3

3

3

3

. . .+

= =

=

=−

= = =

!

a r

s

4. 4. 4. 4. 4. 32

100

32

10 000

32

1 000 000

32

100

32

10 000

100

32

1

100

32100

11

100

3210099100

32

99

+ +

= =

=

=−

= =

. . .

.

!

a r

s

5. 5. 5. 5. 5. 144

10

144

10

144

10

144

10

144

10

10

144

1

10

14410

11

10

1441099910

144

999

16

111

3 6 9

3 6

3

3

3

3

3

3

+ +

= =

=

=−

= = =

!

a r

s

6. 6. 6. 6. 6. 3

10

5

100

5

1 000

5

100

5

1 000

100

5

1

10

5100

1110

5100910

5

90

1

18

3

10

1

18

64

180

16

45

+ +

= =

=

=−

= = =

= + = =

.

.

!

a r

s

s

7. 7. 7. 7. 7. 18

1001

101

101

101

1010

110

110

11

10

1109

10

1900

18

100

1

900

163

900

3 4

3 43

3 3

+ +

= = ⋅ =

=−

= =

= + =

!

a r

s

s

8. 8. 8. 8. 8. 3

10

18

10

18

10

18

10

18

10

10

18

1

100

1810

11

100

181099100

1

55

3

10

1

55

175

550

7

22

3 5

3 5

3

3 3

+ +

= =

=

=−

= =

= + = =

!

a r

s

s

9. 9. 9. 9. 9. 218

100

18

10

18

1018

100

18

10

100

18

1

100

18100

11

100

1810099100

2

11

22

11

24

11

4 6

4

+ + +

= =

=

=−

= =

= + =

!

a r

s

s

EJERCICIO 297

1. 1. 1. 1. 1.

( )

( )

a r

Para saber cuanto

gano el sábado n

u Lempiras

Para saber cuanto

gané de lunes a sábado

utilizo S para los

primeros tér os de

la progresión

Donde a r u

s Lempiras

= =

→ =

= =

÷ ÷= = =

=−

−=

2 2

6

2 2 64

6

2 4 8

2 2 64

64 2 2

2 1126

5

min

.

: : !

2. 2. 2. 2. 2.

( )( )

n r a

u

s

s

s

= = =

= =

=−

−= ÷=

20 2 1

1 2 524 288

524 288 2 1

2 1

1 048 575 100

10 485 75

19 .

.

. .

$ . ,

3. 3. 3. 3. 3. n r u

a balboas

= = =

=

= =

81

31

1

13

11

2 187

2 1877

.

.

4. 4. 4. 4. 4. n par

Como es una sucesión impar

los tér os equidis luego

la multiplicación del primer

y último tér o es igual

al producto entre el y el

tér o

Entonces la respuesta es

= →

=

9

3

7º

1216

Im

min tan,

min

º

min .

:

5. 5. 5. 5. 5. n u

tér o

Se encuentra la razón

para n entre el

y tér o

r

tér o

tér o

er

= =

= =

=

= = =

⋅ = →

⋅ = →

5881

3481

29

3 3

5

88129

3681

23

29

32

13

2

13

32

12

1

min

, º

º min .

º min

º min

6. 6. 6. 6. 6. a u n

r

tér o

= = =

= = =

⋅ = →

1

4

1

324

13214

1

8

1

2

1

322

1

166

3 3

º min

7. 7. 7. 7. 7. r u n

a

s

s

= = =

=

= =

=

−

−

=−

−=

2

3160 5

160

23

1601681

810

16023

810

23

1

2 110313

2 110

4

.

$ .

8. 8. 8. 8. 8. a u n

r

= = =

= = =

59 049 100 000 6

100 000

59 049

10

9

10

95

5

55

. .

.

.

9. 9. 9. 9. 9. r a n

u

s bs

= = =

=

= =

=

−

−=

−

−= =

1

324 300 6

24 3001

3

24 300

243100

10013

24 300

13

1

72 800323

72 800

236 400

5

.

..

. ..

. .

10. 10. 10. 10. 10.

( )( )

n a r

u

s

= = =

= =

=−

−= =

15 1 3

3 4 782 969

4 782 969 3 1

3 1

14 348 906

27 174 453

14 . .

. . . .$ . .

EJERCICIO 298

1. 1. 1. 1. 1. ( )Log

Log Log

532 0 184

532 0 184

2 72591 1 26482

1 99073

10 97 8881 99073

⋅= += +=⇒ =

,

,

, ,

,

,,

2. 2. 2. 2. 2. Log Log

Anti

191 7 432

2 28262 2 63548

4 9181

4 9181 82 814 4

,

, ,

,

log , . ,

+= +=⇒ =

3. 3. 3. 3. 3. Log Log Log0 7 0 013 0 9

1 84510 2 11394 1 95424

2 08672

10 0 008192 08672

, , ,

, , ,

,

,,

+ +

= + += −

⇒ =−

4. 4. 4. 4. 4. Log Log Log Log7 5 8 16 0 35 10 037

0 875061 0 911690 1 544068 4 001603

4 1 2 332422

5 332422

10 214 991 85

214 992

5 332422

, , , .

, , , ,

,

,

. ,

.

,

+ + +

= + + += − +=

⇒ =≅

5. 5. 5. 5. 5. Log Log Log Log Log

Anti

3 2 4 3 7 8 103 4 0 019

0 505149 0 633468 0 892094 2 014520 2 278753

2 323988 2 323988 210 857

, , , , ,

, , , , ,

, log , ,

+ + + +

= + + + += ⇒ =

6. 6. 6. 6. 6. Log Log

Anti

95 18 7 23

1 978317 0 859138

1 119179 1 119179 13 15767031 13 1577

, ,

, ,

, log , , ,

−= −= ⇒ = ≅

7. 7. 7. 7. 7. Log Log

Log Co

8 125 0 9324

8 125 0 9324

0 909823 0 030397

0 940220 10 8 714063 8 71410 940220

, ,

, log ,

, ,

, , ,,

−= += +

= ⇒ = ≅

8. 8. 8. 8. 8. Log Log

Co

Anti

7 653 95 12 354

7 653 95 12 354

3 883885 2 908192

2 792077 2 792077 619 55

. , ,

log . , log ,

, ,

, log , ,

−= +

= += ⇒ =

9. 9. 9. 9. 9. Log Log

Log Co

0 72183 0 0095

0 72183 0 0095

1 858434 2 022276

1 88071 10 75 981873 75 9821 88071

, ,

, log ,

, ,

, , ,,

−= +

= +

= ⇒ = ≅10. 10. 10. 10. 10. Log Log

Log Co

Anti

9 114 0 02

9 114 0 02

3 959709 1 698970

5 658679 5 658679 455 699 97 455 700

. ,

. log ,

, ,

, log , . , .

−= += += ⇒ = ≅

11. 11. 11. 11. 11. ( )( )

Log

Anti

2 10 2

10 0 301029

3 010299

3 010299 1 024

10 =

==

=

log

,

,

log , .

12. 12. 12. 12. 12. ( )( )( ) ( )

Log0 15 3 0 15

3 1 176091

3 1 3 0 176091

2 471727

10 0 00337499 0 003375

3

2 471727

, log ,

,

,

,

, ,,

=

=

= − += −

= ≅−

13. 13. 13. 13. 13. ( )( )

Log

Anti

18 65 4 18 65

4 1 270678

5 082715

5 082715 120 980 4916

120 980 5

4, log ,

,

,

log , . ,

. ,

=

==

=≅

14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( )( )( )( ) ( )

Log

Anti

2 0 084 0 168

2 0 168

2 1 225309

2 1 2 0 225309

1 549382 2 450618

10 0 028223963 0 028224

2 450618 0 028224

2 2

1 549382

⋅ =

=

=

= − +

= − =

= ≅=

−

, log ,

log ,

,

,

, ,

, ,

log , ,

,

15. 15. 15. 15. 15. ( )( )

Log

Anti

7 2 6 7 2

6 0 857332

5 143994

5 143994 139 313 75

6, log ,

,

,

log , . ,

=

==

=

16. 16. 16. 16. 16. Log

Anti

33

20 477121

20 238560

0 238560 1 7320483 1 73205

= = =

= ≅

log ,,

log , , ,

17. 17. 17. 17. 17. Log 22

30 301029

30 100343

10 1 259921

3

0 100343

= = =

=

log ,,

,,

18. 18. 18. 18. 18. Log

Anti

55

40 698970

40 174742

0 174742 1 495348 1 49535

4 = = =

= ≅

log ,,

log , , ,

19. 19. 19. 19. 19. Log 6363

51 799340

50 359868

10 2 290172

5

0 359868

= = =

=

log ,,

,,

20. 20. 20. 20. 20. Log

Anti

8158157

2 9111577

0 415879

0 415879 2 605431

7 = = =

=

log ,,

log , ,

EJERCICIO 299

1. 1. 1. 1. 1. Log co

Anti

515 78 19 6 13

2 711807 1 893151 1 212539

3 817497 3 817497 6 568 96 6 569

+ +

= + += → = ≅

log , log ,

, , ,

, log , . , .

2. 2. 2. 2. 2. Log co

Anti

23 054 934 5 8 164

1 36275 2 97058 4 0881

0 42143 0 42143 2 63894

, log , log .

, , ,

, log , ,

+ +

= + += → =

3. 3. 3. 3. 3. Log co co

Anti

8 14 9 73 0 6 7 8

0 91062 0 98811 0 22185 1 10791

1 22849 1 22849 16 923461 16 9235

, log , log , log ,

, , , ,

, log , , ,

+ + +

= + + += → = ≅

4. 4. 4. 4. 4. Log co co

Anti

513 4 9 132 85 3 10 764

2 71046 0 96057 2 06905 2 96802

0 7081 0 7081 5 10622

, log , log , log ,

, , , ,

, log , ,

+ + +

= + + += → =

5. 5. 5. 5. 5. Log co co

Anti

53 245 4 325 6 32 815 91 79

1 72628 3 63605 2 48392 2 03721

1 88346 1 88346 76 4645

, log . , log , log ,

, , , ,

, log , ,

+ + +

= + + += → =

6. 6. 6. 6. 6. Log co co

Anti

Como existe un signo negativo en la operación

entonces este afecta el resultado total luego

la respuesta final es

32 6 841 9 0 017 732 14

1 51322 2 92526 1 76955 3 135406

3 343436 3 343436 2 205 139151

2 205 14

, log , log , log ,

, , , ,

, log , . ,

,

. ,

+ + +

= + + += → =

≅ −

7. 7. 7. 7. 7. Log co co

Anti

El signo negativo se anula puesto que se

encuentra en el numerador y en el

deno ador luego la respuesta es positiva

95 36 0 14 83 7 2 936

1 97937 1 14613 2 07727 1 53224

1 26499 1 26499 0 054326

, log , log , log ,

, , , ,

, log , ,

min

+ + +

= + + += − → − =

8. 8. 8. 8. 8. Log co co

Anti

7 2 8 135 0 003 9 134 7

0 85733 0 91036 2 52288 4 03930

0 32987 0 32987 2 137333 2 13734

, log , log , log . ,

, , , ,

, log , , ,

+ + +

= + + += → =− ≅ −

9. 9. 9. 9. 9.

( ) ( )3 0 2 5 3 4 0 2

5 0 47712 4 1 30103

2 38561 2 79588

0 41027 10 0 3888

1 58973

0 58973 0 3888

5 4

0 41027

⋅ = +

= += −

= − → =

⇒ =

−

, log log ,

, ,

, ,

, ,

* ,

log , ,

,

En la tabla se busca

Anti

10. 10. 10. 10. 10.

( ) ( )

1

25

2

33

1

20 69897

2

30 47712

0 349485 0 31808

0 66757

0 66757 4 651199 4 6512

log log

, ,

, ,

,

log , , ,

+

= +

= +=→ = ≅Anti

11. 11. 11. 11. 11.

( ) ( ) ( )

1

52

1

23

3

45

1

50 30103

1

20 47712

3

40 69897

0 060206 0 23856 0 5242275

0 82299

0 82299 6 65257 6 6526

log log log

, , ,

, , ,

,

log , , ,

+ +

= + +

= + +=→ = ≅Anti

12. 12. 12. 12. 12.

( ) ( )8 3 5 5 6

8 0 47712 5 1 25181

3 81696 3 74095

0 07601

0 07601 1 19127 1 1913

log log ,

, ,

, ,

,

log , , ,

+

= += −=→ = ≅

co

Anti

13. 13. 13. 13. 13.

( ) ( )7 0 53 3 2 5

7 1 72428 3 1 60206

1 93004 1 19382

3 12386 10 0 000751865

4 87614

3 12386

log , log ,

, ,

, ,

, ,

* ,

,

+

= += − −

= − → =−

co

En la tabla se busca

14. 14. 14. 14. 14.

( ) ( )

2

53

5

32

2

50 47712

5

31 69897

0 190848 0 501717

0 310869 10 0 488799 0 4888

1 68914

0 310869

log log

, ,

, ,

, , ,

* ,

,

+

= +

= −

= − → = ≅−

co

En la tabla se busca

15. 15. 15. 15. 15. Log Log

Anti

7 86 8 142

0 89542 0 910622

1 806042

0 90302 0 90302 7 9987

, ,

, ,

,

, log , ,

+

= +

=

= → =

16. 16. 16. 16. 16. Log Log Log

Anti

932 5 813 6 0 0052

2 96965 2 91041 3 698972

3 579032

1 78952 1 78952 61 59138

, , ,

, , ,

,

, log , ,

+ +

= + +

=

= =

17. 17. 17. 17. 17. Log Log co co

Anti

93 7 104 2 8 35 7 3

2

1 97174 2 01787 1 07831 1 13668

22 2046

21 1023 1 1023 12 656174

, , log , log ,

, , , ,

,, log , ,

+ + +

=+ + +

= = → =

18. 18. 18. 18. 18. Log Log Log

Anti

23 725 9 182 7 184

31 37521 0 96294 0 85637

33 19452

31 06484 1 06484 11 610207

, , ,

, , ,

,, log , ,

+ +

=+ +

= = =−

19. 19. 19. 19. 19. Log Log co co

Anti

12 316 0 25 931 8 0 07

4

4 09047 1 39794 3 03068 1 15490

41 67399

40 41849 0 41849 2 621125

. , log , log ,

, , , ,

,, log , ,

+ + +

=+ + +

= = → =

20. 20. 20. 20. 20. Log co

Anti

56 813 22 1175

4 75446 5 655275

0 409735

0 081946 0 081946 1 20766

. log .

, ,

,, log , ,

+

=+

= = → =

21. 21. 21. 21. 21.

( )

( )

3

20 0316

3

20 1615

3

22 49969 0 79183

3

20 70848 1 06272 2 93728

10 0 086552

2 93728 0 08655625

1 06272

log , log ,

, ,

, , ,

,

log , ,

,

+

= +

= − = − =

==

−

co

Anti

22. 22. 22. 22. 22.

( ) ( )

3

43

2

35

3

40 47712

2

31 30103

0 35784 0 46598

0 10814 1 89186

1 89186 0 77958

log log

, ,

, ,

, ,

log , ,

+

= +

= −= − =

=

co

Anti

23. 23. 23. 23. 23. Log Co

Anti

15 4

7

1 17609 1 397947

0 57403

70 082

0 082 1 20782

+

=+

= =

=

log

, ,

,,

log , ,

24. 24. 24. 24. 24. Log Co

Anti

5 3

5

0 69897 1 522885

0 04437

0 04437 1 10756

+

=+

=

= −

log

, ,,

log , ,

25. 25. 25. 25. 25. ( )

( )

( )

6

55 8

6

50 69897 1 09691

6

50 20412 0 24494 1 75506

1 75506 0 568926 0 56893

Log Co

Anti

+

= +

= − = − =

= ≅

log

, ,

, , ,

log , , ,

26. 26. 26. 26. 26.

( ) ( )

( ) ( )

Log Co Log Co

Anti

3 5

2

5 7

3

3 0 47712 1 30103 2 0 69897 1 15490

6

3 0 22185 2 0 14613

60 6655 0 29226

60 95781

60 159635 1 840364

10 0 6924126

1 840364 0 69241

0 159635

++

+

=+ + +

=− + −

=− −

=−

= − =

==

−

log log

, , , ,

, ,

, ,

,, ,

,

log , ,

,

27. 27. 27. 27. 27.

( ) ( ) ( )

Log Log Log

Anti

2

7

3

5

0 2

3

15 0 30103 21 0 47712 35 1 30103

1054 51545 10 01952 24 46395

1059 92898

1050 094562 1 905438

1 905438 0 8043369 0 80434

+ +

=+ +

=+ −

=−

= − =

= ≅

,

, , ,

, , ,

,, ,

log , , ,

28. 28. 28. 28. 28.

( ) ( ) ( )

Log Log Co

Anti

32 14

2

59 3

3

317 6

4

6 1 50705 4 1 77305 3 3 49812

129 0423 7 0922 7 50564

128 62886

120 71907

0 71907 5 2368483 5 23685

, , log ,

, , ,

, , ,

,,

log , , ,

+ +

=+ +

=+ −

= =

= ≅

29. 29. 29. 29. 29.

( )

2 0 75 39 162 0 07 3 89

2

2 1 87506 1 59286 1 15490 1 41005

21 90793

20 953965 8 99425 8 9943

log , log , log , log ,

, , , ,

,, , ,

+ + +

=+ + +

= = = ≅

co co

30. 30. 30. 30. 30.

( ) ( ) ( )

3 0 2 2 0 3 4 0 05 3 25

2

3 1 30103 2 1 47712 4 1 30103 1 48812

23 0 90309 2 0 95424 5 20412 1 0 48812

21 54957

20 774785

0 774785 5 95366

log , log , log , log ,

, , , ,

, , , ,

,,

log , ,

+ + +

=+ + +

=− + − + + − +

= =

=

co co

Anti

EJERCICIO 300

1. 1. 1. 1. 1.

( ) ( )

36 2 3

36 2 2 2 3

2 0 301030 2 0 477121

0 60206 0 954242

36 1 556302

2 2= ⋅= +

= += +=

Log

Log

log log

, ,

, ,

,

2. 2. 2. 2. 2.

( )

75 3 5

75 3 2 5

0 477121 2 0 698970

0 477121 1 39794

75 1 875061

2= ⋅= +

= += +=

Log

Log

log log

, ,

, ,

,

3. 3. 3. 3. 3. 30 2 3 5

30 2 3 5

0 301030 0 477121 0 698970

30 1 477121

= ⋅ ⋅= + += + +=

Log

Log

log log log

, , ,

,

4. 4. 4. 4. 4.

( )

48 2 3

48 4 2 3

4 0 301030 0 477121

1 20412 0 477121

48 1 681241

4= ⋅= +

= += +=

Log

Log

log log

, ,

, ,

,

5. 5. 5. 5. 5.

( )

120 2 3 5

120 3 2 3 5

3 0 30103 0 477121 0 69897

0 90309 1 176091

120 2 079181

3= ⋅ ⋅= + +

= + += +=

Log

Log

log log log

, , ,

, ,

,

6. 6. 6. 6. 6.

( )

98 7 2

98 2 7 2

2 0 845098 0 30103

1 690196 0 30103

98 1 991226

2= ⋅= +

= += +=

Log

Log

log log

, ,

, ,

,

7. 7. 7. 7. 7.

( )

343 7

343 3 7

3 0 845098

343 2 535294

0 343 1 535294

3==

==

=

Log

Log

Log

log

,

,

, ,

8. 8. 8. 8. 8.

( ) ( )

225 5 3

225 2 5 2 3

2 0 69897 2 0 477121

1 39794 0 954242

2 352182

22 5 1 352182

2 2= ⋅= +

= += +==

Log

Log

log log

, ,

, ,

,

, ,

9. 9. 9. 9. 9.

( )( )( )

196 2 7

196 2 2 7

2 0 30103 0 845098

2 1 146128

2 292256

1 96 0 292256

2 2= ⋅

= +

= +

===

Log

Log

log log

, ,

,

,

, ,

10. 10. 10. 10. 10.

( )

875 5 7

875 3 5 7

3 0 69897 0 845098

2 09691 0 845098

2 942008

0 875 1 942008

3= ⋅= +

= += +=

=

Log

Log

log log

, ,

, ,

,

, ,

11. 11. 11. 11. 11.

( ) ( )

2 025 3 5

2 025 4 3 2 5

4 0 477121 2 0 69897

1 908484 1 39794

3 306424

202 5 2 306424

4 2.

. log log

, ,

, ,

,

, ,

= ⋅= +

= += +==

Log

Log

12. 12. 12. 12. 12.

( )

448 2 7

448 6 2 7

6 0 30103 0 845098

1 80618 0 845098

2 651278

44 8 1 651278

6= ⋅= +

= += +==

Log

Log

log log

, ,

, ,

,

, ,

16. 16. 16. 16. 16. 273

2737 3

0 845098 1 522879

0 367977

13

13

=

=

= +

= +=

Log

co

log

log log

, ,

,

17. 17. 17. 17. 17. 13143

11

13143

11143 11

2 155336 2 958607

13 1 113943

=

=

= +

= +=

Log

co

Log

log

log log

, ,

,

18. 18. 18. 18. 18. 25225

9

252259

225 9

2 352183 1 045757

25 1 397940

=

=

= +

= +=

Log

co

Log

log

log log

, ,

,

13. 13. 13. 13. 13.

( )

25

22 5

25 5

25 2 0 69897

1 39794

2 0 397940

12

2

12

= =

=

==

=

,

,

,

,

Log

Log

14. 14. 14. 14. 14. 132

1 5

15 3 5

15 3 5

0 477121 0 698970

1 176091

1 0 176091

12

12

= =

= ⋅= += +==

,

log log

, ,

,

,

Log

Log

15. 15. 15. 15. 15. 175

1 4

14 7 2

14 7 2

0 845098 0 30103

1 146128

1 0 146128

25

25

= =

= ⋅= += +==

,

log log

, ,

,

,

Log

Log

EJERCICIO 301

1. 1. 1. 1. 1.

( )

5 3

5 3

5 3

0 69897 0 477121

0 477121

0 698970 6826

x

xLog

x

x

x

===

=

= =

log

log log

, ,

,

,,

2. 2. 2. 2. 2. 7 512

7 512

7 512

2 709270 845098

3 205864

3 2059

x

xLog

x

x

x

=

==

= =

≅

log

log log

,,

,

,

3. 3. 3. 3. 3.

( )

0 2 0 0016

0 2 0 0016

0 2 0 0016

1 30103 3 20412

3 20412

1 30103

3

0 69897

0 20412

0 69897

4 29203 0 29203

4

, ,

, log ,

log , log ,

, ,

,

,

,

,

,

, ,

x

xLog

x

x

x

x

x

x

=

==

=

=

=−

−+

−= −=

4. 4. 4. 4. 4.

( )

9 0 576

9 0 576

9 1 76042

0 95424 1 76042

1 76042

0 95424

0 23958

0 95424

0 2510689

0 25107

x

xLog

x

x

x

x

x

x

===

=

=

=−

= −≅ −

,

log ,

log ,

, ,

,

,

,

,

,

,

5. 5. 5. 5. 5.

( )( )( )

3 729

3 729

1 3 729

1 0 477121 2 86273

1 6 00944

6 00944 1

5 00944 5

1

1

x

xLog

x

x

x

x

x x

+

+

==

+ =

+ =+ =

= −= ⇒ ≅

log log

, ,

,

,

,

6. 6. 6. 6. 6.

( )

5 625

5 625

2 5 2 79588

22 79588

0 69897

2 4 6

2

2

x

xLog

x

x

x x

−

−

=

=

− =

− =

− = ⇒ =

log

log ,

,

,

7. 7. 7. 7. 7.

( )( )( )

2 128

2 128

3 1 2 2 10721

3 1 0 30103 2 10721

3 1 7

3 6

2

3 1

3 1

x

xLog

x

x

x

x

x

+

+

==

+ =

+ =+ =

==

log

log ,

, ,

8. 8. 8. 8. 8.

( )( )( )

3 2 187

3 2 187

2 1 3 3 33985

2 1 0 477121 3 33985

2 1 7

2 8 4

2 1

2 1

x

xLog

x

x

x

x x

−

−

=

=

− =

− =− =

= ⇒ =

.

log .

log ,

, ,

9. 9. 9. 9. 9. 11 915

11 915

2 11 2 96142

22 961421 04139

2 2 84372

1 42186

2

2

x

xLog

x

x

x

x

=

==

=

==

log

log ,

,,

,

,

EJERCICIO 302

1. 1. 1. 1. 1. a u r

nLog Co

Log

n

n

= = = ÷ =

=+

+

=+

+

= + = + =

3 48 6 3 2

48 32

1

1 68124 1 522879

0 301031

1 2041190 30103

1 4 1 5

log

, ,

,

,,

2. 2. 2. 2. 2. a u r

nLog Co

Log

nLog co co

Log

n

n n n

= = =

=+

+

= + + +

= + + +

= + = + = ≅

224316

32

232

1

243 16 21 5

1

2 38461 2 79588 1 698970 176091

1

0 879460 176091

1 4 994 1 5 994 6

24316 log

log log,

, , ,,

,,

, ,

3. 3. 3. 3. 3. a u r

nLog Co

Log

n

n

= = = ÷ =

= + +

= + +

= + = + =

4 512 8 4 2

512 42

1

2 70927 1 397940 30103

1

2 10721

0 301031 7 1 8

log

, ,,

,

,

4. 4. 4. 4. 4. a u r

nLog Co

Log

nLog Co Co

Log Co

n

n

n

n

n

= = = =

=+

= + ++

= + ++

+

= +

= +=≅

62 048

8186

43

2 04881

6

43

2 048 81 64 3

3 31133 2 09151 1 22184

0 60206 1 5228791

0 624680 124939

1

4 999879 1

5 999879

6

.

.log

. log loglog

, , ,

, ,

,,

,

,

5. 5. 5. 5. 5. a u r

nLog Co

Log

nLog Co Co

Log

n

n

= = = =

=+

+

=+ +

+

=+ +

+

= + = + =

2625

8

5

22 5

6258

2

2 51

625 8 2

2 51

2 79588 1 09691 1 69897

0 397941

1 591760 39794

1 4 1 5

,

log

,

log log

,

, , ,

,

,,

EJERCICIO 303

1. 1. 1. 1. 1.

( )( )

( )

( )

c r t

C

C

Log C Log

Log C Log

Log C

Log C

Anti

= = =

= +

=

== +

= +=

=

500 0 06 3

500 1 0 06

500 1 06

500 1 06

500 3 1 06

2 69897 3 0 02531

2 7749

2 7749 595 51

3

3

3

,

,

,

,

log ,

, ,

,

log , $ ,

2. 2. 2. 2. 2.

( )( )

( )

c r t

C

Log C Log

Log C Log Log

Log C

Anti soles

= = =

= +

== +

= += +=

=

3 500 0 07 5

3 500 1 0 07

3 500 1 07

3 500 5 1 07

3 54407 5 0 02938

3 54407 0 1469

3 69097

3 69097 4 908 94

5

5

. ,

. ,

. ,

. ,

, ,

, ,

,

log , . ,

3. 3. 3. 3. 3.

( )( )

( )

c r t

C

Log C Log

Log Log

Log C

Anti bs

= = =

= +

== +

= += +=

=

8 132 0 09 10

8 132 1 0 09

8 132 1 09

8 132 10 1 09

3 91020 10 0 03743

3 91020 0 3743

4 2845

4 2845 19 253 070

10

10

. ,

. ,

. ,

. ,

, ,

, ,

,

log , . , .

4. 4. 4. 4. 4.

( )( )

( )

c r t

C

LogC Log

Log Log

LogC Anti

= = =

= +

== +

= += += =

930 0 035 7

930 1 0 035

930 1 035

930 7 1 035

2 9684829 7 0 0149403

2 9684829 0 01045821

3 073065 3 073065 1 183 2186

7

7

,

,

,

,

, ,

, ,

, log , $ . ,

5. 5. 5. 5. 5.

( )( )

( )

C t

r

C

Log C Log

Log Log

Log C

Anti

= =

= = = ⇒ =

= +

== +

= += +=

=

12 318 6

417

44 25

4 25

1000 0425

12 318 1 0 0425

12 318 1 0425

12 318 6 1 0425

4 0905402 6 0 018076

4 0905402 0 108456

4 1989962

4 1989962 15 812 34204

14

6

6

.

,,

,

. ,

. ,

. ,

, ,

, ,

,

log , $ . ,

6. 6. 6. 6. 6.

( )( )

( )

C t

r

C

Log C Log

Log

Log C

Anti sucres

= =

= = = ⇒ =

= +

== +

= += +=

=

24 186 7

511

25 5

5 5

1000 055

24 186 1 0 055

24 186 1 055

24 186 7 1 055

4 383564 7 0 0232524

4 383564 0 1627668

4 5463308

4 5463308 35 182 83244

12

7

7

.

,,

,

. ,

. ,

. log ,

, ,

, ,

,

log , . ,

7. 7. 7. 7. 7.

( )

( )

C t

r

Log C Log

Log

Anti

= =

= = = ⇒ =

== +

= += +=

=

54 293 5

315

43 75

3 75

1000 0375

54 293 1 0375

54 293 5 1 0375

4 734743 5 0 015988

4 734743 0 07994

4 814683

4 814683 65 265 399

34

5

.

,,

,

. ,

. log ,

, ,

, ,

,

log , $ . ,

8. 8. 8. 8. 8.

( )( )

( )

c t r

C

Log C Log

Log

Log C Anti C

= = = =

= +

= += +

= += += =

800 40 03

20 015

800 1 0 015

800 1 0 015

800 4 1 015

2 90309 4 0 00647

2 90309 0 02588

2 92897 849 09

4

4

,,

,

,

log ,

, ,

, ,

, log $ ,

9. 9. 9. 9. 9.

( )

( )

c t r

C

Log C Log

Anti

= = = = =

= += +

= += +=

=

90012

34

0 04

40 01

900 1 0 01

900 4 1 01

2 954242 4 0 004321

2 954242 0 017284

2 971526

2 971526 936 54

4

,,

,

log ,

, ,

, ,

,

log , $ ,

10. 10. 10. 10. 10.

( )

( )

r C t

c

Log c co

Log c

Anti

= = =

=+= +

= += −=

=

0 05 972 60 4

972 60

1 0 05

972 6 4 1 05

2 987934 4 1 978811

2 987934 0 084756

2 903178

2 903178 800 16

4

, ,

,

,

log , log ,

, ,

, ,

,

log , $ ,

11. 11. 11. 11. 11.

( )

( )

C t

r

c

Log c co

Anti

= =

= = = ⇒ =

=+

= +

= += −=

=

1 893 5 6

49

24 5

4 5

1000 045

1 893 5

1 0 045

1 893 5 6 1 045

3 277265 6 1 980883

3 277265 0 114702

3 162563

3 162563 1 454 02

12

6

. ,

,,

,

. ,

,

log . , log ,

, ,

, ,

,

log , $ . ,

12. 12. 12. 12. 12.

( )

( )

C r t

c

Logc co

Logc

Anti Q

= = =

=+= +

= += −

== ≅

54 198 16 0 08 7

54 198 16

1 0 08

54 198 16 7 1 08

4 733984 7 1 966576

4 733984 0 233968

4 500016

4 500016 31 623 9 31 624

7

. , ,

. ,

,

log . , log ,

, ,

, ,

,

log , . , . .

13. 13. 13. 13. 13. c r C

tLog Log

Log

t

t años

= = =

= −

= −

= = ≅

600 0 03 695 56

695 56 6001 03

2 842334 2 7781510 012837

0 0641830 012837

4 9998 5

, ,

,,

, ,,

,,

,

14. 14. 14. 14. 14.

( )

c C r

tLog

Log

t

t años

= = =

=−

+

=−

= =

1 215 1 709 61 0 05

1 709 61 1 215

1 0 05

3 232897 3 084576

0 021189

0 148321

0 0211897

. . , ,

. , log .

,

, ,

,

,

,

15. 15. 15. 15. 15.

( )

( )

( )

c t C

Log r

Log r

Log r

Anti

r

r

= = =

+ =−

+ =−

+ = =

=+ == ⇒

800 4 1 048 63

11 048 63 800

4

13 020622 2 903089

4

10 117533

40 029384

0 029384 1 07

1 1 07

0 07 7

. ,

log . , log

, ,

,,

log , ,

,

, %

16. 16. 16. 16. 16.

( )

( )

c t C

Log rLog Log

Log r

Anti

r

r

= = =

+ =−

=−

+ ==

+ == ⇒

6 354 4 7 151 46

17 151 46 6 354

43 854394 3 803047

4

1 0 012836

0 012836 1 03

1 1 03

0 03 3

. . ,

. , .

, ,

,

log , ,

,

, %

17. 17. 17. 17. 17.

( )

( )

c r t

C

Log C Log

Anti

Los ereses producidos represen

la diferencia entre la suma inicial y lo

que se ha convertido

Intereses producidos

= = = + =

= += +

= += +=

=

⇒ = −=

900 0 05 21

32 33333

900 1 0 05

900 2 33333 1 05

2 954242 2 33333 0 0211892

2 954242 0 049441

3 003683

3 003683 1 008 52

1 008 52 900

108 52

2 33333

, ,

,

, log ,

, , ,

, ,

,

log , . ,

int tan

. ,

$ ,

,

EJERCICIO 304

1. 1. 1. 1. 1.

( )( )( )

( )( )

c r t

a

Log Log

Anti

Log a co

Anti

= = =

=−

=

==

== + + += + + +=

=

40 000 0 05 10

40 000 0 05 1 05

1 05 1

1 05 10 1 05

10 0 0211892

0 211892

0 211892 1 62889

40 000 0 05 1 62889 0 62889

4 602059 2 69897 0 211892 0 2014253

3 7143463

3 7143463 5 180 21

10

10

10

. ,

. , ,

,

, ,

,

,

log , ,

log . log , log , log ,

, , , ,

,

log , $ . ,

2. 2. 2. 2. 2.

( )( )( )

( )( )

c r t

a

Log

Anti

Log a co

Anti soles

= = =

=+

+ −

=

==

== + + += + + +=

=

85 000 0 03 12

85 000 0 03 1 0 03

1 0 03 1

1 03 12 1 03

12 0 012837

0 154044

0 154044 1 425761

85 000 0 03 1 425761 0 425761

4 929418 2 477121 0 154044 0 370834

3 931417

3 931417 8 539 2

12

12

12

. ,

. , ,

,

, log ,

,

,

log , ,

log . log , log , log ,

, , , ,

,

log , . ,

3. 3. 3. 3. 3.

( )( )( )

( )( )

c r t

a

Log

Anti

Log a co

Anti

= = =

=+

+ −

=

==

== + + += + + +=

=

600 000 0 05 20

600 000 0 05 1 0 05

1 0 05 1

1 05 20 1 05

20 0 0211892

0 423784

0 423784 2 65328

600 000 0 05 2 65328 1 65328

5 778151 2 69897 0 423784 1 781653

4 682558

4 682558 48 145 75

20

20

20

. ,

. , ,

,

, log ,

,

,

log , ,

log . log , log , log ,

, , , ,

,

log , $ . ,

4. 4. 4. 4. 4.

( )( )( )

( )( )

c r t

a

Log

Anti

a co

Anti bs

= = =

=+

+ −

=

==

== + + += + + +=

=

5 000 000 0 06 30

5 000 000 0 06 1 0 06

1 0 06 1

1 06 30 1 06

30 0 025306

0 75918

0 75918 5 7435

5 000 000 0 06 5 7435 4 7435

6 69897 2 778151 0 75918 1 323901

5 5602

5 5602 363 245 2

30

30

30

' . ,

' . , ,

,

, log ,

,

,

log , ,

log log ' . log , log , log ,

, , , ,

,

log , . , .

5. 5. 5. 5. 5.

( )( )( )

( )

c r t

a

a bs

a

a

a

a bs

NOTA

Vr que aparece

en la tabla de erés compuesto

decreciente para el en años

Vr que aparece

en la tabla de erés compuesto

para el a años

= = == ⋅= ≅

=−

=

=

= ≅

→

→

3 000 0 06 5

3 000 0 237396

712 188 712 19

3 000 0 06 1 06

1 06 1

180 1 338226

0 338226

240 88068

0 338226

712 1885367 712 19

0 237396

6% 5

1 338226

6% 5

5

5

. ,

. ,

, , .

. , ,

,

,

,

,

,

, , .

:

, .

int

.

, .

int

.

6. 6. 6. 6. 6. c r t

a

a bs

= = == ⋅=

12 000 0 07 12

12 000 0 125902

1 510 824

. ,

. ,

. , .

7. 7. 7. 7. 7. c r t

a

a sucres

= = == ⋅=

350 000 4 3

350 000 0 363773

127 320 55

12. %

. ,

. ,

8. 8. 8. 8. 8. c r t

a

a soles

= = == ⋅=

425 000 6% 10

425 000 0 135868

57 743 9

.

. ,

. ,

9. 9. 9. 9. 9. c r t

a

a bs

= = == ⋅=

90 750 5% 25

90 750 0 070952

6 438 894

.

. ,

. , .

10. 10. 10. 10. 10. c r t

a

a bs

= = == ⋅= ≅

73 550 5 30

73 550 0 068805

5 060 60775 5 060 61

12. %

. ,

. , . , .

11. 11. 11. 11. 11. c r t

a

a sucres

= = == ⋅= ≅

473 000 3 9

473 000 0 131446

62 173 958 62 173 96

12. %

. ,

. , . ,

12. 12. 12. 12. 12.

( )( )( )

( )( )

c r t

a

a soles

a

Log

Anti

Log a Log co

Anti soles

= = == ⋅=

=−

=

==

== + + += + + +=

=

45 800 4% 30

45 800 0 057830

2 648 614

45 800 0 04 1 04

1 04 1

1 04 30 1 04

30 0 017033

0 51099

0 51099 3 243321

45 800 0 04 3 243321 2 243321

4 660865 2 60206 0 510989 1 649108

3 423022

3 423022 2 648 61

30

30

30

.

. ,

. ,

. , ,

,

, log ,

,

,

log , ,

. log , log , log ,

, , , ,

,

log , . ,

EJERCICIO 305

1. 1. 1. 1. 1.

( )( ) ( )( )

( )

c r t

i

Log

Anti

Log i Log co

Anti

= = =

=+ − +

=

==

== + += + +=

=

30 000 0 06 9

30 000 0 06

1 0 06 1 0 06

1 06 10 1 06

10 0 02531

0 2531

0 2531 1 791018

30 000 0 06 0 731018

4 477121 2 778151 0 136072

3 391344

3 391344 2 462 38

10

10

. ,

. ,

, ,

, log ,

,

,

log , ,

. log , log ,

, , ,

,

log , $ . ,

2. 2. 2. 2. 2.

( )( )

( )

c r t

i

En la tabla de erés

compuesto

Log i Log co

Anti sucres

= = =

=−

== + += + +=

=

90 000 0 04 20

90 000 0 04

1 04 1 04

1 04 2 278768

90 000 0 04 1 238768

4 95424 2 60206 1 90701

3 4633

3 4633 2 906 03

21

21

. ,

. ,

, ,

int

, ,

. log , log ,

, , ,

,

log , . ,

3. 3. 3. 3. 3.

( )( )( )

( )

c r t

i

Log

Anti

Log i Log co

Anti

= = =

=−

=

==

== + += + +=

=

200 000 0 05 40

200 000 0 05

1 05 1 05

1 05 41 1 05

41 0 0211892

0 868757

0 868757 7 391915

200 000 0 05 6 341915

5 30103 2 69897 1 19777

3 19777

3 19777 1 576 79

41

41

. ,

. ,

, ,

, log ,

,

,

log , ,

. log , log ,

, , ,

,

log , $ . ,

4. 4. 4. 4. 4.

( )( )

( )

c r t

i

Log i co

Anti

= = =

=−

→= + += + +=

=

40 000 0 06 25

40 000 0 06

1 06 1 06

1 06 4 549383

40 000 0 06 3 489383

4 60206 2 778151 1 457251

2 837462

2 337462 687 79

26

26

. ,

. ,

, ,

, ,

log . log , log ,

, , ,

,

log , $ ,