Post on 23-Dec-2015
Aporte Trabajo colaborativo 3
2. Revisar la convergencia de las siguientes series
∑n=1
∞1
2n+1∑n=1
∞1n !
∑ 1
(2n+1)
Serie expansión de Taylor.
12−1
4n log (2 )+0(¿n2)¿
Serie Expansión de Laurent−1
log(2)¿¿¿
Límites de la serie en el infinito (convergencia)
limn→∞
1
1+2n=1
limn→∞
1
1+2n=0
La serie converge en los valores mostrados arriba
∑ 1n!
Serie expansión de Taylor
1+ yn+ 112
(6 y2−n2 )n2+¿
112n3 ¿+
n5(12 y5−20 y3 π2+ y π4−120 y2ψ ( 2) (1 )+20 π2ψ (2) (1 )−12ψ (4 ) (1 ))+ ¿1440
¿
0(n6)
Límite de la serie:
limn→∞ ( 1
n! )=0
Converge cuando n tiene a infinito, pero diverge cuando n tiende a infinito negativo.
5. Solución en forma de serie de potencias en torno a un punto ordinario
(x2+1 ) y +xy'-y=
Puesto que x2+1=0 , x=i ,−1 son puntos singulares, la solución en serie de potencias centradas en 0 convergerá al menos par lxI <1. Usando la solución en forma en serie de potencia de y, y’ e y”.
(x2+1 )∑n=2
∞
n (n−1 )cn xn−2+x∑
n=1
∞
ncn xn−1−∑
n=0
∞
cn xn
¿∑n=2
∞
n (n−1 ) cn xn+∑
n=2
∞
n (n−1 ) cn xn−2+∑
n=1
∞
ncn xn−∑
n=0
∞
cn xn
Primero hacemos que todos los sumatorios comiencen por la potencia más alta, que en este caso es x2, y separamos los términos “sobrantes”.
Ahora reidexamos:
¿2c2−c0+6c3 x+∑k=2
∞
[¿k (k−1 )ck+( k+2 ) ( k+1 ) ck+2+k ck−ck ]xk ¿
¿2c2−c0+6c3 x+∑k=2
∞
[¿ (k+1 ) (k−1 )ck+(k+2 ) ( k+1 ) ck+2] xk=0¿
De lo anterior, tenemos 2c2−c0=0,6c3=0 , y
(k+1 ) (k−1 ) ck+ (k+2 ) (k+1 ) ck+2=0
Así que c2=c0 /2 , c3=0 , ck+ 2=(1−k )ck /(k+2) . Luego:
c4=−14c2=
12.4
c0=−1
222 !c0
c5=−25c3=0
c6=−36c4=
32.4. 6
c0=−1.3
232 !c0
c7=−47c5=0
c8=−58c6=
−3.52.4.6.8
c0=−1.3. 5
24 4 !c0
c9=−69c7=0
c10=−710c8=
−3. 5. 72. 4.6. 8. 10
c0=−1. 3.5. 7
25 .5 !c0
y¿c0+c1 x+c2 x2+c3 x
3+c4 x4+c5 x
5
+c6 x6+c7 x
7+c8 x8+c9 x
9+c10 x10+…
¿ ⌊1+ 12x2− 1
22 2!x4+ 1.3
233 !x6−1. 3.5
24 4 !x8+1.3. 5.7
25 5!x10−… ⌋+c1 x
¿c0 y0(x)+c1 y1(x)
y0 ( x )=1+12x2+∑
n=2
∞
¿¿
y2 ( x )=x
Si se busca una solución en serie de potencias y(x) centradas en cero para y ”−(1+x ) y=0
Obtenemos c2=c0 /2 y la siguiente relación de recurrencia:
ck +2=ck+ck−1
(k+1)(k+2), k=1 ,2 ,3 ,…
Examinando la fórmula se ve que c3, c4, c5,… se expresan en términos de c1 y c2. Eligiendo primero c0≠o, c1=0 tenemos:
c2=12c0 y−−−→
c3=c1+c0
2.3=c0
2. 3=1
6c0
c4=c2+c1
3. 4=
c0
2.3. 4= 1
24c0
c5=c3+c2
4.5=c0
4.5=[ 1
6+ 1
2 ] 130c0 y así sucesivamente…
Y ahora elegimos c0=0, c1≠0, y entonces c2=12c0=0
c3=c1+c0
2.3=c0
2. 3=1
6c1
c4=c2+c1
3. 4=c0
3. 4= 1
12c1
c5=c3+c2
4.5=
c1
4.5.6= 1
120c1
La solución es:
y=c0 y0+c1 y1 , donde
y0 ( x )=1+12x2+ 1
6x3+ 1
24x4+ 1
30x5+…
y1 (x )=x+ 16x3+ 1
12x4+ 1
120x5+…
Que convergen para todo x.