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7/25/2019 Actividad Entregable 2.INV.operATIVA
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Nombre de la asignatura: Investigacin Operativa I
Parcial de estudio : Segundo
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Nombre de la asignatura: Investigacin Operativa I
Parcial de estudio : Segundo
IntroduccinDualidad.Un problema de maximizacin en programacin lineal puede ser asociado con otro problema
lineal pero de minimizacin y viceversa.
Esta asociacin de los dos problemas se conoce como "dualidad" o "problema dual".
El estudio del problema dual tiene un inters matemtico-econmico porque:
Nos permite entender mejor el mtodo de la programacin lineal. Puede ayudar a disminuir el tamao de un modelo lineal, con el consiguiente ahorro de trabajo al
resolverlo a travs del dual. Es una herramienta adicional para realizar los anlisis posoptimales. Complementa y da una fcil interpretacin econmica de las variables, coeficientes de la funcin
objetiva y trminos independientes de las restricciones.
Empezaremos estableciendo las caractersticas duales, luego la expresin matemtica de ellas, parapasar luego a las aplicaciones ms sobresalientes.
Definiremos como problema "primal o primario" al modelo matemtico que tenemos como punto departida; y problema "dual" al que surge por asociacin con el anterior.
Caractersticas principales de la dualidad
a) Si el primal implica maximizacin, el dual es minimizacin y viceversa.b) Los coeficientes de la funcin objetivo del dual estn formados por los trminos independientes de
las restricciones del primal.c) El dual tiene restricciones como variables tiene el primal.d) Si las restricciones del primal son tipo , las restricciones del dual sern del tipo y viceversa.
e) Los trminos independientes del dual estn formados por los coeficientes de la funcin objetivo delprimal.
f) El coeficiente de la variable j.-exima en la restriccin j-exima del primal se transforma en elcoeficiente de la variable j-exima de la restriccin j-exima de la restriccin j-exima del dual.
"mximo del primal = mnimo del dual"PRIMAL DUAL
sprincipale
iablesdeNmerop
pj
X
ni
bXA
NESRESTRICCIO
XCZMAX
OBJETIVOFUNCION
J
iJij
p
j
JJ
p
j
var
),.........3,2,1(
0
).,.........3,2,1(
:
1
1
=
=
=
=
=
=
sprincipale
iablesdeNmeron
ni
Y
pj
CYA
NESRESTRICCIO
YbZMIN
OBJETIVOFUNCION
i
jIji
n
j
ii
n
j
var
)...,.........3,2,1(
0
).,.........3,2,1(
:
1
1
=
=
=
=
=
=
Xj= Variables primalesYj= Variables duales
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Asesora didcticaDurante este segundo periodo, usted revisar los captulos III y IV del texto gua Investigacin operativa,
Tomo I, en los temas relacionados con el problema dual y el problema de transporte ,contenidosque le servirn para desarrollar la actividad. Adicionalmente, usted dispondr de ejemplos relacionadoscon el tema de estudio en esta asesora.
Solucin del dual a travs del primal
Una de las aplicaciones de la dualidad existente en programacin lineal es la posibilidad de obtener lasolucin de un modelo lineal a partir o por inspeccin de la solucin de su dual o de su primal.
Esto significa que habiendo resuelto un problema, implcitamente est resuelto el otro.
Entonces, esto da la posibilidad de trabajar con aquel modelo que tenga menor nmero de restricciones,disminuyendo por tanto el tiempo de solucin.
Con un anlisis sencillo estableceremos las relaciones entre la solucin ptima del primal y la solucinptima de su dual.
Relacin entre las funciones objetivas ptimas
Utilizando la notacin matricial podremos expresar un modelo de maximizacin, como:
Z (MAX) = Ci XiPRIMAL RESTRICCIONES:
AX b
En donde;
Ci= matriz de una sola fila.Xi = matriz de una sola columna (variables primales).A = matriz de los coeficientes tecnolgicos.B = matriz de una sola columna que representa a los trminos independientes.
A este corresponde un dual:
Z (MIN) = btyDUAL RESTRICCIONES
ATY CT
Donde:
bT = traspuesta de bY = matriz de una sola columna (variables duales)AT = es la traspuesta de ACT = traspuesta de C
Supongamos que X sea una solucin factible cualquiera, reemplazando en el primal tenemos
CX = XTCT XT (ATY), porque CT ATYPero, XT (ATY) = (AX)TY
Luego: CX (AX) TY
A su vez: AX b (AX)T bT
O lo que es lo mismo: Z(MAX) Z(MIN)
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Lo que significa que Z(MAX) no puede sobrepasar el valor de Z(MIN), y esta a su vez no puede sermenor que Z(MAX).
Una vez desarrollado el problema primal podemos obtener los valores de las variables principales y deholgura del dual de la siguiente manera:
Las variables ptimas principales del dual son numricamente iguales al valor absoluto de loscorrespondientes elementos de las variables de holgura que se encuentran en la fila del criterio simplexen la tabla ptima del primal.
Las variables ptimas de holgura del dual son numricamente iguales al valor absoluto de loscorrespondientes valores de las variables principales del primal que se encuentran en la columna de bnen la tabla ptima del primal.
Problema de transporte. Una de las primeras aplicaciones de las tcnicas de programacin lineal hasido la formulacin y solucin del problema de transporte. El problema de transporte bsico fueplanteado originalmente por Hutcholky y posteriormente presentado en detalle por Koopmans. Laformulacin de programacin lineal y el mtodo sistemtico asociado de solucin fue dada por primeravez por Dantring.
El modelo de transporte (o modelo de distribucin) es un conjunto importante de un problema deoptimizacin de redes. Ha sido aplicado a algunos problemas de negocios, tales como el control y diseode plantas de fabricacin, determinacin de territorios de ventas y localizacin de centros de distribucinde territorios de ventas, y localizacin de centros de distribucin y almacenaje. Tremendos ahorros detiempo y costos se han logrado a travs de la eficiente ruta de envo de mercancas desde los puntos deexistencia hasta los puntos de demanda.
La meta y distribuciones del modelo de transpor te
La meta de un modelo de transporte es MINIMIZAR el costo total de envo de un producto desde lospuntos de existencia hasta los puntos de demanda bajo las siguientes restricciones:
Funcin objetivo
ijij
n
j
n
i
XC== 11
Restricciones
jyilostodosParaX
njbX
niaX
ij
jij
n
i
iij
n
j
0
).,,.........2,1(
).,..........,2,1(
1
1
==
==
=
=
Xij es la cantidad asignada desde el origen (i) hasta el destino (j).Cij es el costo o ganancia de asignar una unidad desde el origen (i) hasta el destino (j).ai son las cantidades disponibles en cada origen.bj son las cantidades requeridas en cada destino.
Con frecuencia se hace referencia a estos valores como requerimientos de contorno.
El problema de transporte puede enunciarse de la siguiente manera:
Tiene un nmero (m) de orgenes y (n) destinos, se trata de transportar al menor costo posibledeterminadas cantidades de artculos, mercaderas, etc., entre dichos orgenes y destinos.
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Actividades de aprendizaje
Actividad de aprendizaje 2.1.
Planteamiento
El texto gua tiene como complemento el CD para que resuelva los problemas en la computadora. Eltema se refiere a la solucin del problema dual.
Del texto gua Investigacin operativa, Tomo I, de los problemas propuestos del captulo III, pgina238, (problemas 60, 70 y 66), plantee el problema primal, luego el problema dual, a continuacinresuelva el dual a travs de la tabla simplex, encuentre la solucin del problema dual y el primal.
Objetivo Formular problemas de distribucin como modelo de transporte.
Orientacionesdidcticas
Ya se analiz cmo un problema de maximizacin est asociado matemticamente a otros deminimizacin, y cmo matemticamente el problema dual puede extraerse del primal.
Los dos problemas: primaly dualson en realidad modelos de alguna situacin fsica de uso ptimode recursos. Por tanto, es natural que estos problemas deban tambin estar asociados en suinterpretacin econmica.
La interpretacin econmica nos permite:
- Explicar por qu las desigualdades de las restricciones se invierten.
- Dar una interpretacin del papel de los Cj y bi en uno y otro problema.
La interpretacin econmica de la dualidad se basa directamente en la interpretacin msfrecuente del problema primal (problema de programacin lineal en nuestra forma estndar).
Interpretacin del problema dual
Para ver cmo esta interpretacin del problema primal conduce a una interpretacin econmica delproblema dual, observe que W es el valor de Z (ganancia total) en la iteracin actual. Como
,2211 ... mmybybybW +++=
Cadaii yb puede interpretarse como la contribucin a la ganancia por disponer de b, unidades del
recurso ien el problema primal. As,
La variable yse interpreta como la contribucin a la ganancia por unidad del recurso ( ),,...,2,1 mii = cuando se usa el conjunto actual de variables bsicas para obtener la solucin primal.
En otras palabras, los valores de iy los valores de*
iy en la solucin ptima no son otra cosa que los
precios sombra.
Criterios deevaluacin Desarrollo de ejercicios y la evaluacin de los mismos.
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Actividad de aprendizaje 2.2.
Planteamientos
Resuelva mediante el mtodo de la esquina del noroeste el siguiente problema:
PROBLEMA 1
Resuelva el siguiente problema de transporte y encuentre la solucin ptima al menor costo.
A B C D DisponibleC1 10 15 14 8 60C2 7 12 8 14 90C3 14 12 7 9 120
Requerimientos 40 70 90 70
Para resolver el ejercicio, debe encontrar el nmero de envos, la matriz de existencia, luego la matrizde costos indirectos y la matriz de eleccin, no olvide que el problema termina cuando en la matriz deeleccin todos sus elementos son ceros o negativos.
Resuelva por el mtodo del costo mnimo el siguiente problema.
PROBLEMA 2
A B C D DisponibleC1 10 15 14 8 70C2 7 12 8 14 100C3 14 12 7 9 130
Requerimientos 40 80 100 90
Utilizando el programa del CD, resuelva el siguiente problema de transporte.
PROBLEMA 3
A B C D DisponibleC1 10 15 14 8 90C2 7 12 8 14 110C3 14 12 7 9 140
Requerimientos 50 80 100 90
Objetivo Hallar planes factibles de envo con el mnimo de transporte.
PROBLEMAS DE MINIMIZACIN (DEMANDA = OFERTA)
Para conocer mejor la metodologa de la aplicacin de la regla partiremos del ejercicio.
EJERCICIO 1
Una empresa industrial cuenta con tres centros de distribucin de sus productos, el C 1dispone de 12toneladas, el C2dispone de 17 Tn. y el C3de 9 Tn. Con estas existencias (38 Tn.) se debe abastecer acuatro centros de consumo ubicados a diferentes distancias, que requieren de las siguientescantidades: el CCAdemanda 6 Tn, el CCBdemanda 7 Tn., el CCCdemanda 11 Tn. y el CCDdemanda14 Tn.
Los costos originales por unidad son los siguientes:
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Orientacionesdidcticas
Centro deconsumo.
Centro de destino
A B C D
C1 4 6 5 2C2 3 7 4 5C3 6 5 2 7
Se trata de encontrar el plan ptimo de distribucin al menor costo.
Formulacin del problema
1) Funcin objetivo
Las variables de la funcin objetivo son las siguientes:
X1+ X2 + X3 + X4X5 + X6 + X7 + X8
X9 + X10+ X11+ X12
Donde Xij representa la cantidad que debe enviar el centro de distribucin (i) al centro de consumo (j).
Los coeficientes de la funcin objetivo corresponden a los costos originales unitarios conocidos:(Matriz de costos).
Z(MIN) = COSTO TOTAL
Z(MIN) = 4X1+ 6X2 + 5X3 + 2X4+3X5+ 7X6 + 4X7 + 5X8 +6X9+ 5X10+ 2X11+ 7X12
2) Restricciones o limitaciones
Para formar las restricciones o limitaciones nos guiamos por la oferta de los centros de distribucin(12, 7 y 9) y la demanda de cada centro de consumo (6, 7, 11 y 14) .
X1+X2+X3+X4 = 12X5+X6+X7+X8 = 17
X9+X10+X11+X12 = 9X1 +X5 +X9 = 6
X2 +X6 +X10 = 7X3 +X7 +X11 = 11
X4 +X8 +X12 = 14No negatividad XJ 0
Hemos obtenido un sistema de 7 ecuaciones con 12 incgnitas, que puede resolverse mediante elmtodo simplex, aunque resulta muy extenso y complejo, ms an cuando si se trata de mayorparticipacin de ecuaciones o incgnitas.
Geoge Dantring plantea la solucin a este problema aplicando el mtodo de la Regla de Noroeste, laque consiste en lo siguiente:
a) Iniciamos las asignaciones en la esquina Noroeste o sea la superior izquierda de la matriz,calculando o comparando los mnimos (aj) y (bj) (cantidades ofrecidas por los centros deproduccin y los requerimientos por los consumidores).
b) Se debe asignar el mximo posible de unidades desde el centro de distribucin 1 al centro deconsumo A, luego si quedan disponibilidades se va asignando al centro de consumo B y assucesivamente hasta agotar las existencias.
Nmero de envos
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Para determinar el nmero de envos aplicamos la frmula siguiente:
N. DE ENVOS = M + N - 1
M = Nmero de filas
N = Nmero de columnas
En el caso que nos ocupa el nmero de envos es igual a:
ENVOS: = 3 + 4 1
ENVIOS =6
En el presente problema la DEMANDA es igual a la OFERTA, es decir las existencias son iguales a losrequerimientos.
DEMANDA = OFERTA
PRIMERA SOLUCIN
MATRIZ DE EXISTENCIA
Esta matriz se forma con las asignaciones que se van a enviar (6 en total).
6 6 121 11 5 17
9 96 7 11 14
El centro de distribucin 1 enva al centro de consumo A, 6 unidades que es lo que requiere, de las 12le quedan 6 que las enva al centro de consumo B que necesita 7, por lo tanto, el centro de distribucin2 asigna 1 unidad al centro de consumo B para completar su demanda y le quedan a CD 2, 16unidades, de las cuales 11 enva al centro de consumo C que es lo que requiere y las 5 restantesasigna al centro de consumo D que necesita 14, para completar su demanda recibe 9 del centro dedistribucin 3.
Esta primera distribucin es ya una respuesta, pero no necesariamente la ptima. Si a estascantidades asignadas las multiplicamos por sus correspondientes costos unitarios de envo obtenemosla funcin de costo total 1.
COSTO TOTAL = Z (MIN)
CT1= 4x6 + 6x6 + 7x1 + 4x11 + 5x5 + 7x9CT1 = 199
SEGUNDA SOLUCIN
Para encontrar una nueva solucin es necesario emplear la metodologa de carcter iterativo, esto es,encontrar aproximaciones sucesivas mediante el algoritmo de lamatriz de costos indirectos.
MATRIZ DE COSTOS INDIRECTOS
Debemos obtener la matriz de costos indirectos partiendo de los costos unitarios originalescorrespondientes a las cantidades ya asignadas en la matriz de existencia de la primera solucin.
4 67 4 5
7
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En lugar de la cantidad enviada 6 del centro de distribucin 1 al centro de consumo A colocamos sucorrespondiente costo unitario original 4, lo mismo hacemos con las restantes.
De los costos unitarios originales reemplazados escogemos el menor (4) que actuar de pivote elmismo que ir siempre en la parte superior esquinera sin importar donde se encuentre el menor costo
original, debemos encontrar los semipivotes, luego por sumatorias en correspondencia a la fila ycolumna respectiva hallamos los restantes.
A = B +C
Partimos de la siguiente igualdad:
A = Valores de las filas y columnas interioresB = Resultado de las columnasC = Resultado de las filas
A11 A12 A13 A14A21 A22 A23 A24A31 A32 A33 A34
B1 B2 B3 B4
A11= 4 A12 = 6 A13 = 3 A14 = 4 C1= 4 PIVOTEA21= 5 A22 = 7 A23 = 4 A24= 5 C2= 5 SEMIPIVOTEA31= 7 A32 = 9 A33 = 6 A43= 7 C3= 7 SEMIPIVOTEB1= 0 B2 = 2 B3 = 1 B4= 0
Matriz de costos indirectos4 6 3 4 (4*)5 7 4 5 57 9 6 7 70 2 -1 0
MATRIZ DE ELECCINLa matriz de eleccin nos permite ir seleccionando alternativas, se la obtiene de la diferencia entre lamatriz de costos indirectos y la matriz de costos originales.
ME = MCI -MCO
Matriz costos indirectos Matriz costos originales Matriz de eleccin4 6 3 4 4 6 5 2 0 0 -2 25 7 4 5 - 3 7 4 5 = 2 0 0 07 9 6 7 6 5 2 7 1 4 (4) 0
De la matriz de eleccin seleccionamos el mayor valor positivo de las cifras obtenidas, en este caso (4)(el de menor costo). Esto implica que debe asignarse una cantidad alfa () desde el centro dedistribucin 3 al centro de consumo C.
Al asignar la cantidad en la casilla A33(nuevo envo), se alteran las sumas del rengln y columna alcual pertenece, por tanto, es necesario restar, a fin de que no altere el esquema general.
Para encontrar el valor de alfa y arribar a una nueva solucin, obviamente el valor ser 9, pues nopodemos restar una cantidad mayor a 9, es decir, se toma la menor de las restas.
Matriz de existencia (nueva)6 6
1 11 5 9
El valor de alfa altera a 11, 5 y 9Matriz de existencia
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Puntaje por actividad
El tutor de la asignatura
6 61 11-
5+
9-6 6 12
1 2 14 179 9
6 7 11 149 - = 0 = 9
Las cantidades asignadas multiplicamos por los costos originales y obtenemos la segunda funcinobjetivo de costo total que ser menor que el primer costo.
CT2 = 4x6 + 6x6 + 7x1 + 4x2 + 5x14 + 2x9CT2= 163
Criterios deevaluacin Desarrollo de ejercicios y la evaluacin de los mismos.
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Actividades de aprendizaje
PuntajeActividad de aprendizaje 2.1. 8Actividad de aprendizaje 2.2. 12
20
En caso de que el examen sea estrictamente necesaria la consu lta detablas, frmulas, esquemas o grficos, estos sern incluidos como parte
del examen o en un anexo .
El examen ser sin consulta.