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8/11/2019 Actividad 4 GrupalA B
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Actividad Grupal Nº 4
Integrantes :Cabrera, Lourdes
Sosa, Marcelo
Actividad 4- Parte A
• Modelo 3. Ejemplos 19 y 20 del material de lectura obligatorio, responden al mismo modelo donde
las matrices y sus potencias se suman, pre o post multiplican por una matri !ila o columna de unos
para obtener nue"as matrices #ue brindan la in!ormaci$n re#uerida. %parece la matri de
probabilidades.
Ejemplo 19:
La gr&!ica dada describe la siguiente situaci$n'
(1 (2 , (3 y () representan cuatro puntos o tambi*n cuatro posiciones di!erentes entre las cuales puede
mo"erse una part+cula de !orma aleatoria-.
El mo"imiento aleatorio de la part+cula est& dado por las siguientes situaciones'
desde uno de los e(tremos s$lo puede mo"erse /acia el interior-. En particular, si est& en (1 s$lo puede
mo"erse a (2 y, si se encuentra en () , s$lo puede mo"erse a (3 .
esde un punto medio puede mo"erse tanto a derec/a como a i#uierda. En particular desde (2 puede
mo"erse tanto a (1 como a (3 con la misma probabilidad.
La part+cula debe mo"erse del punto en #ue se encuentra.
Complejiando: %l Ejemplo le sumamos una posibilidad de mo"imiento /acia X
5
eniendo en cuenta los mo"imientos de!inidos de los e(tremos X
5 y X
1 solo tiene posibilidad de un solo
mo"imiento, /acia X
4 o X
2 respecti"amente, esto seria un 100 de posibilidades de mo"erse a ese
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punto. Esto lo "emos en la relaci$n !ila a columna, por ej !ila X 1 columna
X 2 . espues sabemos #ue
tanto X
2 como X
3 y X
4 pueden mo"erse a i#uierda o derec/a, esto implica un 0 de probabilidad
de mo"erse a un lado o al otro. 4ara el resto de las combinaciones la probalidad es 0. El total de
probabilidades de cada !ila es igual al 100.
X 1 X 2 X 3 X 4 X 5
X 1 0 100 0 0 0
X 2
0 0 0 0 0
X 3 0 0 0 0 0
X 4 0 0 0 0 0
X 5
0 0 0 100 0
E(presamos el 100 como la unidad y representamos los "alores de esta tabla de doble entrada por medio
de una matri. La entrada ij indica la probabilidad de mo"erse desde i /acia j, por ejemplo tenemos el "alor
1 de probalidad de mo"ernos de la !ila 1 a la columna 2, esto ser+a el 100 de probabilidad de mo"imiento
desde la part+cula 51 /acia la part+cula 52.
La misma in!ormaci$n la podemos representar por medio de la matri transpuesta, solo #ue en este caso
una entrada ij nos indica la probabilidad de mo"erse /acia i desde j , por ejemplo "emos #ue /ay una
posibilidad 61007 de ir /acia la !ila ) desde la columna . 100 de probabilidad de mo"imiento de la
particula 5 /acia la part+cula 5).
A =
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!a matri transpuesta calculada con "iris:
En estas matrices, "emos entonces cual es la probabilidad de mo"imiento de una particula a otra en 1 solo
mo"imiento.
Si #ueremos saber la probabilidad de mo"imientos entre particulas pasando por otra, o sea en 2
mo"imientos, podemos "er en la tabla los siguientes ejemplos'
• 1. Las posibilidades por ejemplo de ir de X
1 a X
3 .
e acuerdo a lo estudiado en los ejemplos, el resulado del producto de las posiciones
X 1 X
2∗ X 2 X 3 , nos dar& las probabilidades #ue tenemos de llegar a X
3 en dos mo"imientos,
eso es pasando por un punto. Este cuadro nos muestra #ue tenemos un "alor de 8 o sea 0 de
probabilidades de mo"erse la particula en dos mo"ientos a X
3 desde X
1 .
X 1 X 2 X 3 X 4 X 5
X 1
0 1 0 0 0
X 2 12 0 12 0 0
X 3 0 12 0 12 0
X 4
0 0 12 0 12
X 5 0 0 0 1 0
• 2. 4odemos probar otro caso, por ejemplo de X 3 a
X 1 en dos mo"imientos. :emos #ue
tenemos 8 de probabilidades de ir a X 2 desde
X 3 , y desde X 2 8 de probabilidades de
mo"erse a X 1 ' en este caso el producto nos #uedar+a determinado por la posici$n
X 3 X
2∗ X
2 X
1⇒1 /2∗1/2=1 /4 o sea la particula tiene un 2 probabilidades de mo"erse
desde X 3 a X
1 en dos mo"imientos.
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• 3. Si #ueremos saber cuantas probabilidades de #ue la particula se mue"a de X 5 a
X 1 en )
mo"imientos, obser"amos en la tabla #ue la particula se puede mo"er de X 5 a
X 4 de a#ui a
X 3 y de *ste a X 2 para llegar a X 1 . Son ) mo"imientos y del producto de
1∗1/2∗1/2∗1/2 obtenemos 1;, #ue es un 12. de probabilidad de #ue la particula se
mue"a de X
5 a X
1 en ) mo"imientos. Mas adelante se lo puede comprobar en la matri A4
.
Si calculamos todos los "alores posibles de la tabla, estar+amos calculando todas la !ilas por todas las
columnas esto seria, si la matri #ue !ormamos la llamamos %, estar+amos realiando el producto de A∗ A
y obtendr+amos A2
, a#ui "emos #ue el e(ponente representa la cantidad de mo"imientos #ue /ace la
particula para llegar a un punto, y el #e$ponente -1# la cantidad de puntos intermedios por los #ue pasa la
particula, para 2 mo"imientos, pasa solo por un punto 6particula7.
4odemos "eri!icarlo en la matri A2
"iris
%nline&c'ool
A2
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"ol(ranAlp'a
Entoces de A3
obtendr+amos las probabilidades de #ue un punto se mue"a a otro en 3 mo"imientos
pasando por 2 puntos.
"iris
%nline&c'ool
A2
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"ol(ranAlp'a
4odemos "alidar el ejemplo 3' las probabilidades #ue la particula se mue"a de X 5 a
X 1 en )
mo"imientos.
"iris
%nline&c'ool
A4
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"ol(ranAlp'a
An
La potencia )n# de A nos da in!ormaci$n probabil+stica acerca de la part+cula. Es probable entonces #ue la
misma se mue"a de un punto a otro en )n# mo"imientos aleatorios.
<a #ue debemos aplicar el producto de matrices para A
nxm el orden de la otra matri debe tener la misma
cantidad de !ilas #ue % de columnas, en este caso m.<a #ue la matri se multiplica con si misma para obtener las potencias de % , esta matri debe ser cuadrada
para poder cumplir con el re#uisito del orden de la matri necesario para aplicar el producto.
Ejemplo *+:
El gr&!ico describe las cone(iones directas de ser"idores #ue constituyen una intranet en el =>%. El !lujo de
tr&!ico para pa#uetes de in!ormaci$n entre un ser"idor y otro depende de "arios par&metros como tiempo
dedicado a comunicaciones, capacidad del e#uipo, "elocidad de la placa de red, entre otras? el !lujo est&
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especi!icado en la siguiente tabla de doble entrada'
X 1 X 2
X 3
X 4
X 1 0 30 30 )0
X 2
@0 0 0 30
X 3
30 20 0 0
X 4 0 0 0 100
Las !ilas representan el !lujo de tr&!ico de pa#uetes desde un ser"idor a otros representados por lascolumnas,
por ejemplo desde el ser"idor X 1 se en"ian 30 de pa#uetes a
X 2 , 30 de pa#uetes a X 3 y )0 de
pa#uetes a
X 4
.Aeemplaamos los "alores eliminando el y tomando #ue la unidad es el 100
X 1
X 2
X 3
X 4
X 1 0 0.3 0.3 0.)
X 2 0.@ 0 0 0.3
X 3
0.3 0.2 0 0.
X 4
0 0 0 1
a) Construya la matriz de probabilidades de transferencia de paquetes en un movimiento.
La matri % representa la probabilidad de trans!erencia de pa#uetes de un ser"idor a otro en un mo"imientoaleatorio.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete pase de X 2
a X 4
en tres movimientos aleatorios?
La A3
representa la probabilidad de #ue un pa#uete pase de un ser"idor a otro en tres mo"imientosaleatorios.
4or lo tanto la probabilidad #ue de X 2
pase a X 4
en tres mo"imientos es de
187
250=0.748
esto es
,4./ de pasar pa#uetes desde el ser"idor X 2 al ser"idor X
4 en 3 mo"imientos aleatorios.
A =
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c) ¿Qué información da la potencia cuatro de la matriz de probabilidades?
Aepresenta la probabilidad de #ue un pa#uete pase de un ser"idor a otro en ) mo"imientos aleatorios.
Las condiciones re#ueridas para este ejemplo son las mismas #ue para el ejemplo 19, ya #ue el caso essimilar, se trata de la cantidad de mo"imientos para ir de una particula a otra o como en este ejemplo la
probabilidad de de trans!erencia de un ser"idor a otro en n cantidad de mo"imientos.ambien debemos contar con matrices cuadradas por la e(plicaci$n ya dada.
Complejiando agregando un nodo $0 eliminando una relaci2n:
El nue"o !lujo #ueda e(presado en la siguiente tabla'
X 1 X 2 X 3
X 4
X 5
X 1
0 30 10 B0 0
X 2
30 0 0 )0 30
X 3
0 0 0 0 0
X 4
)0 20 20 0 20
X 5
0 30 0 @0 0
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Aeemplaamos los "alores eliminando el y tomando #ue la unidad es el 100
X 1
X 2
X 3
X 4
X 5
X 1
0 0,3 0,1 0,B 0
X 2
0,3 0 0 0,) 0,3
X 3
0, 0 0 0, 0
X 4
0,) 0,2 0,2 0 0,2
X 5
0 0,3 0 0,@ 0
a) Construya la matriz de probabilidades de transferencia de paquetes en un movimiento.
La matri % representa la probabilidad de trans!erencia de pa#uetes de un ser"idor a otro en un mo"imientoaleatorio.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete pase de X 2
a X 4
en tres movimientos aleatorios?
311
1000=0,311
? este resultado determina #ue e(iste una probabilidad de 311+/ de trans!erencia de
pa#uetes del ser"idos X 2
/acia el X 4
en 3 mo"imientos.
c) ¿Qué información da la potencia cuatro de la matriz de probabilidades?
A =
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En el caso del ejemplo anterior "emos #ue las probabilidades de trans!erencia de datos desde el ser"idor
X 2 /acia X
4? esta "e en cuatro mo"imientos aleatorios esta dada por el "alor '
487
1250=0.389
representa el 3.95/ de probabilidades de trans!erencia en ) mo"imientos.
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PA67E 8
Ejemplo *.
Entre los s+mbolos gr&!icos m&s sencillos en dos dimensiones, est&n las letras. >na letra dibujada en el
plano re#uiere de "arios puntos coordenados para de!inirse totalmente. 4or ejemplo, la letra de la !iguranecesita de oc/o puntos coordenados. :olcamos en una matri esos puntos 6"*rtices7, as+'
Las coordenadas mencionadas en la guia nos determinan el siguiente gr&!ico'
4ara obtener la letra N buscada debemos utiliar las siguientes coordenas'
Estas coordenadas en Diris, nos gra!ican la Letra '
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>tiliando la matri de trans!ormaci$n B calculamos con Diris y obtemos la matri trans!ormada' .
Aepresentamos la nue"a matri en Diris < "emos #ue la matri elegida caus$ un mo"imiento de re!le(i$ncon respecto al eje <.
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FGu* matri calcular+a y c$mo la usar+a con la matri del trans!ormado H, para obtener la matri de
coordenadas originalI Esto es, Fc$mo proceder+a, operando con matrices, para obtener las coordenadas dela letra originalI
Si 7 ;uestra inc$gnita es la matri ,la matri original para obtenrela despejamos '
:emos #ue multiplicando la in"ersa de la matri de trans!ormaci$n por H obtenemos la matri original.
%/ora tomando como Coordenadas la matri H y la matri de trans!ormaci$n )
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con J K 12
Estos mo"imientos se los conoce como cortes o tras#uilados-, En este caso se trata de una e(pansi$n alo largo del segundo eje o eje "ertical en un !actor N K 12.
Operamos con Diris'
ibujamos la nue"a matri obtenida.
%/ora gra!icamos la composici$n de la letra original y los 2 resultados obtenidos luego de aplicadas las
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trans!ormaciones a las matrices'
4or Pltimo aplicamos a la matri original las trans!ormaciones descriptas en la teor+a ampliatoria'
calculamos y gra!icamos con Diris'