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ACCIONES HORIZONTALES ABSORBIDAS POR LO MUROS
Hipótesis:Las deformadas de cada muro son curvas afinesTodos los muros tienen igual modulo de elasticidad , la misma altura e igualescondiciones de apoyoPodemos reemplazar la rigidez por el momento de inercia de cada muro
Distribución de las acciones horizontales
F
V0 V0
b
C.T.
N
F
MO
S
a
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Método del centro de Torsión
Centro de torsión: Es un punto tal, que una fuerza que pasa por el,
solamente provoca traslaciones de los muros, paralelas a la direcciónde la misma.Un momento cuyo eje de rotación coincide con el centro de torsiónprovoca solamente rotaciones de los muros.
F1 F2 F = F1 + F2
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21111 I.r..SK .r..SH"
N!N!
S = coeficiente de proporcionalidad
22222 I.r..SK .r..SH" N!N!
Condición de equilibrio:
2211 rHrHM ""§ §!
Reemplazando
'H
1 y
'H
2 : de todos los muros
J
M
rIrI
MS
SrIrIM
!
!N
N!
§ §
§ §
222
211
222
211
de donde
J
IrMH
J
IrMH
"2
" 22111 !
H
a
r 1
N
r1
r 2
.T.
2
1¶
X
Y
r 2
"H1 2¶
"H2
M H
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X A
YC
XD YT
XT
T
X' A
X'D
H''B
H' A
I'YA
H'' YA I*XC H'XC H''XC
X'
Y'
I'B H'B
I*YD
H'YD
H''YD
YB
Y'C
Y'B
X
Y
D
B
A
C
M
H Y
H X
H
§
§!
*
yi I
i.x*
yi I
T x
§
§!
*
.*
xi I
i y
xi I
y
*
*.'
xi I
xi I x H
xi H
7!
§!
*
*.
yi I
y I y
¡
yi
¡
J
xi I
i y M
xi
¢
*..!
J
yi I
i x M
yi M
*..
!
§ ! 2).(*2).(*
i x
yi I
i y
xi I J
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Método de la rigidez
Analicemos uno de los tabiques deun conjunto. En la forma matricial: ? A ? A
¼
¼¼
½
»
¬
¬¬«
U
(
(
!(
¼¼
¼¼
½
»
¬¬
¬¬«
! y
x
y
x
M
H
H
H
yH
xH
M
r i
B
r i
i
xi
yi
x
i
x cosi
y
y sen i
i
x
y
H¶i
i
Z
Xi
Hi = H¶i + H¶¶i
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iiiixi Ir.ysencosH UE(E(!
El esfuerzo absorbido por el muro i será:
itg
yzisezr i
iiE
!E!
ise
itg
yiseiseser iiii E
E
E!EE!
iiiii cosyser EE! xi
xi - z
i
r i z
i
i
yi
x
iix cosHH E7!
iiy senHH E7!
ii r.HM 7!
iiiii x r ysen x I E UE(E(7! cos.cos
Reemplazando en las ecuaciones anteriores
el valor de Hi
iiiii y senr ysen x I H EUE(E(7! .cos
iiiii r r ysen x I .cos UE(E(7!
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xiiiiiiii H r I y sen I x I !EU7(EE7(E7 coscoscos2
Operando:
yiiiiiii H senr I y sen I x sen I !U7(E7(EE7 2cos
M r I yr sen I xr I iiiiiiii !U7(E7(E7 2cos
Si llamamos:
iix cosII E! 2
iiy seII E! 2
iiixy cossenII EE!
2iit rII !
iiixt rcosII E!
iiiyt serII E!
Con lo cual quedan así:
x xt xy x H I y I x I !U7(7(7
y yt y xy H I y I x I !U7(7(7
M I y I x I t yt x !U7(7(7
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(52)
Podemos escribir esta expresión en forma matricial:
? AI ? A( = ? AM
Donde cada término será:
? AI = ¼¼¼
½
»
¬¬¬«
tytxt
ytyxy
xtxyx
III
III
III
? AH = ¼¼¼
½
»
¬¬¬«
M
H
H
y
x
obtenemos:
? A!( ? AH ? A 1I
Finalmente:
? Aii IH ! ? A
iii r;sen;cos EE ? A!( ? AiI ? Aiii r;sen;cos EE ? AH ? AI
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Para aplicar cualquiera de los métodos de distribución de esfuerzos debemos calcular el momento de inercia del elemento resistente.
En el caso de muros macizos es inmediato
12
3ba
I !
q f
H
b
a
La flecha en el extremo será:
IE
Hq
f 8
2
!
DETERMINACION DEL MOMENTO DE INERCIA DE UN MURO
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Muro con una fila de agujeros
IE8
HV
I
mc
IIE
HV
f
3
ba
30
2
00
1
2
E
]
!
Muros perforados
V0
Ia I b
q
E
¶f 1
h
H
z
Ie
f 2
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Para simplificar, podemos suponer un muro macizo de momento de inercia Ie,cuya flecha en el extremo es:
e
3
IE8
HV
f
0
2 !
Si hacemos f = f 2, obtendremos el valor de:
116
2
E
]!
ba
0e
II
mc
II
2a
a
Ia
cg2c
b
Ib
Y g
Ia = momento de inercia aIb = momento de inercia b
a= área de la sección a
b = área de la sección b y coeficientes
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Determinaremos el centro de gravedad de las secciones llenas tomandomomentos respecto al centro de gravedad de b
gbaa y.c. ;;!; 2
y g =
ba
a c.
;;
; 2
El momento estático de la sección b respecto al centro de gravedad de la seccióntotal será:
m = b. y
g =
baba
ba cc..
;;
!;;
;;
11
22
El momento de inercia del conjunto será (por Steiner ):
I = Ia + Ib + b. yg2 + a (2c ± yg)2
I = Ia + Ib + 2mc
Coeficiente = W.H
h.a
c
m
I
II
i'EW
3ba
!32
W = coeficienteh : altura del pisoE¶ = modulo elástico del dintelE = módulo elástico del muro0 = coeficiente de Tabla cuando = 0
= HZ
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En la Tabla se entra con = 0 y = W H
H
Z! ^
H
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DEFORMACIONES EN TABIQUES LINEALES PARA CARGAS APLICADASEN LOS PISOS.
Deformaciones por flexión
F
P U =
I E
h M
..2
.=
I E
h P
..2
.2
F
P H =
3
.2.
..2
. h
I E
h M
F £ H =
I E
h M
..3
.2
= I E
h P
..3
.3
F
M U = h
I E
M .
.
F
M H =
2
hh
I ¤
¥
F ¦
H=
I E
h M
..2
.2
h
h
P
U
HP
23
ME.I = P.h
E.I
H TM
U
M
ME.I
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Muro sometido a la acción de la fuerza
IIIdd 3323 HH!
!3d deformación absoluta a nivel
!2d deformación absoluta a nivel 2
!HI3 deformación relativa producida por P y M en el piso
!HII3 deformación relativa producida por la rotación del piso inferior
h4
h3
h2
h11
d1
1 2
2
¶3
3́
d2
d2
3
2
1
0
V4
V3
V2
V1
V0 V10 b
1
2
3
4
Vi
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I
hM
I
h.VI
)
)!H
23
233
333
3 3213
h.II ..!H
¹¹
º
¸
©©
ª
¨
)
)!.
I
hM
I
hV 112
111
2¹
¹
º
¸
©
©
ª
¨
)
)
!.
I
hM
I
hV 222
222
2
La deformación relativa a nivel será:
321
233
333
33323
hI
hM
I
hVIII ..)
)
!HH!H
Generalizando
hi.i.I
hM
I
hVi
iiiiIIi
Iii §
U)
)
!HH!H1
1
23
23
4
3
2
1
0
d1 "2H
'2H
1+2
"3H d2
'3H
d4'4H
'3H
'2H
'1H d1
d2
d3
c
4H
c3H
c2H
c1H
cd4
cd3
cd2
cd1
D m D m D m D m
l v p l p l v p l p
l ó l ó
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Deformaciones por corte
E;
!HG
hV c
3
333
Generalizando
La deformación relativa es:
coeficiente for ado
sec. Rectang 1.2
Perfiles 2 a unidad e ectr.
E;
!HG
hV
i
iic
i
La deformación absoluta es :
ci
m
u
cid H7!
! 1
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=2 m
2
EI = 334000 = 3,34. 05;
P =P2 = P3
= P4
= 0, MNh =h2 = h
3= h
4= 4 M
b = 10 ME = 20000 MN/m2
G = 8000 MN/m2
L = 0,20 mI = 16,7 m4
D
Ejemplo
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NIVEL 1
000038
3,00000287
,000000958
,010.34,3
4.4,2
10.34,3.2
4.4,0
2 55
2
11
2
11
1 !!!! E I
hM
E I
hV F
.
!!!!H 00005750000025550103432
442
103433
440
23 5
2
5
3211
311
1,,
.,.
.,
.,.
.,
EI
hM
EI
hVF
cm,m, 008400000840 !!
NIVEL 2
0000216,00000144,0000072,010.34,3
4.2,1
10.34,3.2
4.3,0
2 55
2
22
2
222 !!!!
E I
h M
E I
h§
.
!!!! 4,0000383,010.34,3.2
4.2,1
10.34,3.3
4.3,0
23 5
2
5
3
11
222
322
2 h E I
h M
E I
h f ̈
.H
cmm 02,000020,00001532,00000287,00000192,0 !!!
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NIVEL 3
00000958,000000479,000000479,010.34,3
4.4,0
10.34,3.2
4.2,0
2 55
233
2
333 !!!!
E I
h M
E I
h©
.
4.0000216,00000383,010.34,3.2
4.4,0
10.34,3.3
4.2,0)(
23 5
2
5
3
121
2
33
3
333 !! h
E I
h M
E I
h
..H
cmm 0262,0000262,00002396,00000958,00000128,0 !!!
NIVEL 4
4.0000216,00000383,000000958,010.34,3.3
4.1,0)(
3 5
3
3321
3
444 !! h
E I
hV F UUUU
cmm 0284,0000284,00002779,0000006388,0 !!!
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Analicemos un muro aislado de altura H, donde se aplica una carga q repartidauniforme horizontal
2
206H.
dx.x.dxP
HH
C E!E!E!H ´´GAA.G.
H.C
2
2
E!H 21,!E
EI.
H.qf
8
4
!H Establecemos la relación entre :y Cf HH
21
2
8 2
4
,.H.
A.G..
EI.
H.
C
f !H
HE,G 40! L.tA !
1212
23L.AL.t
I !!
2
22
4
21
402
8
12¹ º
¸©ª
¨!!
H
H
L
H
,.H.q
A..,..
L.A.E.
.H.q
C
f
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Trazamos un grafico colocando en abscisa H/L y en ordenadasC
f
H
H
para H/L = 1 Cf H!H ; Para H/L = 2 Cf H!H 4
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En cuanto a la deformación por corte, debemos hacer una corrección
CCH
K!H
11
p,2511 !K
factor de reducción por abertura
Ao
= área e la abertura del piso
!K
A = área total del piso
A
Ap O
!
Aplicación de las formulas en muros perforados
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M0
h
0300
012
baE
M
h
!E
E!HE
a0
b0
Modulo edométricoLa masa del sueloafectada por
esfuerzossignificativos no varíadurante la aplicaciónde la carga.
Rotación de la base
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Modelo edométrico
TIPO de suelo Pe t/m3 E0 t/m2
Arena 1,8 2000 a 5000
Arena 1,9 5000 a 10000
Grava sin arena 1,6 10000 a 20000
Limo 1,8 300 a 1000
Arcilla dura 1,9 500 a 1000
Arcilla blanda 1,7 100 a 250
Pe = peso específico
Los valores de E0 debencorregirse multiplicando por .
Esta deformación se suma alas de flexión y corte y setiene en cuentaespecialmente en caso deacción sísmica.TOTAL
= f +
c+
Coeficiente correcto
1 0,82
1,5 0,68
2 0,50
3 0,40
.b
.a
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DETERMINACION DE SOLICITACIONES EN MUROS
Muros Macizos
F A a la fuerza que absorbe el muro A
Esta fuerza es la resultante de una cargauniformemente repartida q cuyo momento es:
2
2H.q
M !
La carga concentrada será
22
2H.H
.M H. AA !!!
Podemos determinar 1 y 2
Por lo tanto es una parábola.
12
bdI y
I
MN3
!{;
!W 21
H/2
q
Q A
d
b
1
2
A
UR A
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MUROS PERFORADOS
Método de Fuentes
Hipótesis:Dos puntos A1 y B1 ubicados en las fibras medias de los muros parciales situados enun plano horizontal antes de la deformación permanecen en el mismo plano horizontal ytienen el mismo desplazamiento después de deformados.Una sección plana de los muros ( A1C1 a B1D1) perpendicular a la fibra mediapermanece plano y perpendicular a la deformada después de las deformación.
h
21
z
2c
z
A1
1
2c
a
1
1
h
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Al deformarse la estructura, el dintel se flexiona y podemos suponer que estáempotrada en C1 y D1 con lo cual:
i E
a F
h
..32
2
3
¹ º
¸©ª
¨
!(
La fuerza que provoca la deformación será:
33
12
82
3
a
.i.E.
a
.i.E.F hh (
!(
!h( = desplazamiento relativo entre C
1y D
1
i = momento de inercia del dintel
Tomamos momento respecto a C1
N
(!U
(!! a
h
21
...6
2
.
a
i E a F M
h
C
U
! .
..621
a
a E M C
N
1
B1
h
C1
a
F
1
/2
/2
F
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La rotación por M es
I E
h K
I E
M h
.
..
.
1 U!
La rotación por P:
I.E
h.P
2
2
Tomamos momentos respecto a A1:
aa
.i.E.a.
a
.i.E.a.M
hhA
(!
(!
! N
NN
3316
2
12
2
U!U
! ..
...63
2
1 K a
ai E M
A
N
Momento producido por el dintel en A1 en función de la rotación.
Si trazamos las tangentes a la elástica en cada piso, obtendremos en susintersecciones con la vertical ángulos U . La variación de U entre cada piso será(U(fig. 38).
Por efecto de la carga P en el punto 1 obtendremos un diagrama de momentos.
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El momento enel punto 2 será:La rotación
en 2 será
Podemos escribir una ley general:
M2 = P.h ±K. U1
U1 = U2 + I
h P
.2
.2
- I .
.K . U1.h = U2 + I E
hV
.2
.2
2-
I E .
1. K . U1.h
M3 = P.2.h + P.h ± K. U1 ± K. U2 = V2.h + M2 ± K.( U1 ± U2 ) U2 = U3 +
I E
h P
..2
)..2(2
+ I E
M
.
2 .h - K.( U1 + U ) I E
h
.
U2 = U3 + I E
hV
..2
. 22 +
I E
M
.
2.h - K .( U1 + U2 )
I E
h
.
Mn Mn 1 Vn 1 ± .( U1 U Un 1
Un 1 Un I E
hV n
..2
.2
1
+ I
M n
.
1
.h - K .( U1 + U2 + ... +Un-1 I .
P
P
1
2
3
M 3
M2
1
2
P
P
V = 2P2
h
h
h
h
P
P
2
(U
4
0
KU1
KU2
KU3
M V
V = P
V = 3P 3
1
+
-
M el
stica
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ACCIONES HORIZONTALES SOBRE PORTICOS
ESTRUCTURAS RIGIDAS
P4
h4
h3
h2
h1
M ElásticaV
P3
P2
P1
N
Las columnas son más rígidas que los entrepisos y la estructura sedeforma como un muro macizo.
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ESTRUCTURAS FLEXIBLES
Hipótesis dedeformada
F
h4
h3
h2
h1
ElásticoM
fórmula de BLUME
Si p > 0,10 estructura flexibleSi p < 0,10 estructura rígidaSi 0,01 < p < 0,10 es un caso
intermedio
p = índice de r otación = rigidez de la viga
rigidez de la columna
p = §§
/hI
/lI
c
v Iv = momento de iner cia de las vigas
Ic = momento de iner cia de las columnas
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Deformación de flexión en estructuras flexibles
a
b
c
C
V2c
V2c
P4
P3
P2
P1
V2c
h4
h3
h2
h1
c
ent 2
ent 1
iso 2
V4
V3
V2
V1
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El desplazamiento de cada sector será:
rigidez cK
EI
h
V
EI
hV
EI
hV
EI
h
V
EI
hV
2cc
ccc
c
!H
!H
!
!!¹ º ¸©
ª¨
!H
¹ º ¸
©ª¨
!H
2
12
1224
2
3
2
3
2
2
32
2
32
2
32
2
32
2
32
2
Generalizando:
Si entre el punto i-1 e i existe una columna:
columnacadaderigidezK
K
V
K K .VV
ijm
j
ij
ii
m
jijijij
m
j
m
jijiji
!!H
H!H!!
§
§§ §
!
!! !
1
11 1
1
2
i - 1
i
nm
VimVijVi2Vi1
Vi
j21
m = número total de columnas j = número genérico de columnasn = número total de pisosi = número genérico de pisos
h2/2
V2c
2
1
/2 /2
V2c
V2c
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Si lo que buscamos es el valor de ijV reemplazamos el valor anterior
i
ij
ijijiij V
K
K K .V
§
!H!
CT
CM
MT
Pi
x
Deben coincidir el centro demasa que es el centro degravedad de las masas deledificio solo el nivel i.Llamamos CT (centro detorsión) al punto que es elcentro de gravedad de lasrigideces de todas lascolumnas.
La fuerza horizontal siempre se aplica en el CM
pero la estructura tiende a girar alrededor delCT
produciendo unMT
mediante una excentricidadTN
.Si Pi pasa por CT
, solamente habrá una traslación y MT
= 0.
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DETERMINACION DE SOLICITACIONESMétodos "exactos"Cualquiera de los métodos de cálculo conocidos: Rotaciones, Fuerzas y lossimplificados Cross, Kani, etc.
Métodos aproximadosEstos métodos pueden ser útiles para un predimensionamiento o una verificación rápidade los cálculos realizados por computadora.-
Hipótesis básicas:-Las fuerzas horizontales se reparten proporcionalmente a los momentos de inercia
de cada pilar -Los pilares están empotrados en las losas-No se tienen en cuenta los esfuerzos axiales en los pilares
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iiii .K h
I.E.Q
i
H!H!3
12
K i = rigidez de piso
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Método de BOWMAN
un pórtico de dos vanos y n pisos
La fuerza actuante en el nudo será §n
i
Hi
.
Hi entrepiso
piso i
i
kinivel
§
§
!
!!
III
j
i
n
j
i
ii
K
H
.K Q
1
1
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Si tomamos como valor de la rigidez el momento de inercia de la columna (E = cte;h = cte. En cada piso):
§§ !
!
!
n
j
iIII
j
i
ii H
I
IQ
1
1
(de cada columna)
Columna de borde:
iIIIiA h,.M
i50!
11 501 ! i
IIIiA h,.M
i
1!
iiVAAA MMM
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Columna interna:
1!(
ii BB MMM
iIIiB h,.QM
i50!
11 501 !
iIIiB h,.QM
i
Las rigideces de una viga doblemente empotrada serán:
1
1
1
4
L
I.E.K
ii !
2
2
2
4
L
I.E.K
ii !
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Los coeficientes de distribución serán:
21
1
1ii
i
K K
K
!K
21
2
2ii
i
K K
K
!K
M.M BV (K! 11 M.M BV (K! 22
Las operaciones se simplifican para hallar por cuanto al hacer el cociente de los K seanulan el número 4 y E, por lo cual:
1K y 2K
1
1
1 L
IK
ii !
2
2
2
L
IK
ii !
21
11
21
1
L/IL/I
L/I
ii
i
!K21
2
21
12
L/ii
i
IL/I
L/I
!K
diagrama de momentosdel sector analizado
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Verificación de la Estabilidad h.R M v !
P1
P2 P3
P4
± cargas verticalesEl momento de vuelco será :Llamamos a la sección transversal de cada columna.El baricentro de las áreas será:
;
i
iiG
x
x 7;
7;!
di = distancia deleje neutro a lafibra considerada
Suponemos la estructura como una viga empotrada y queel diagrama de tensiones es triangular:
i
ivi
I
dM!W
Pero también se cumplirá quela tensión por compresión otracción de la columna es:
i
ii
´P
;!W
i
i
i
ivi
´P
I
dM
;!sW
ii
ivi .
I
dM´P ;!
De donde el esfuerzo enla columna será: Siendo
§!
;!4
1
2
i
iii dI
iiit ´!
Estos valores debemos sumarlos
algebraicamente a los Pi provocadospor las cargas verticales
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NÚCLEO MUROS PARALELOS
Es un fenómeno de flexión compuestaO = centro de gravedad de las inerciasde muros y núcleo.Hipótesis: los pisos no se deforman enplano horizontalComo la fuerza externa actúa a una
distancia d de O, aparece un momentode torsión.Cada elemento abosberá una parte deH.
H4
x3
x2
x1
I2
x4
I4
1
1
H1 H2
H
H3
§
§§§
!
!
!R
!R
!X
2
2
ii
i
ii
iii
xII
IA
xv xx.I
Mt.H
I
H
I
.Mt
A
H(En lugar de áreastomamos lasinercias)
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MUROS PORTICOS EN PLANO PARALELOS
Se debe buscar el equilibrio entre pórticos y pantallas, sustituyendo lospórticos por un sistema de fuerzas, función de desplazamiento impuesto a
los pórticos por las pantallas.En primera aproximación se pueden calcular el giro y desplazamiento decada piso con las fórmulas correspondientes
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MUROS PORTICOS EN UN MISMO PLANO