Transcript of ABACOM Boletín Matemático...Claudio Ibáñez S. par cipó en el rescate de los mineros de la mina...
ABACOM38.pubABACOM Boletín Matemático
Existe una antigua discusión acerca del nombre de la ciencia que
nos convoca: ¿Matemática o Matemáti- cas? En la vida diaria se usan
ambas in- distintamente: “voy a clase de ma- temática”, “estudio en
el Instituto de Matemáticas”, “reprobé matemá- tica”, “las
matemáticas son difíci- les”, etc., pero ¿cuál es la
correcta?
Vayamos a la fuente de nuestro idioma, el Diccionario de la Real
Academia Española (RAE). Aquí sólo existe el término matemática.
Sin embargo, reconocen que se usa matemáticas, con el mismo
signifi- cado.
matemática. (Del latín mathematca, y este
del griego τ µαθηµατικ, deri-
vado de µθηµα, conocimiento).
Ciencia deductiva que estudia
tractos, como números, figuras
con el mismo significado que en
singular.
Es obvio que debe ser matemáti- ca por su origen latino que es tal
cual, matemática. Además nunca decimos “las físicas” aunque
existan: la física clásica, la física moderna, la física cuántica,
por mencionar algunas. También en química tenemos: química orgáni-
ca, química analítica, química teó- rica, entre otras, pero no se
habla de las químicas, sólo en matemáti- ca se da esta
controversia.
Si nos vamos a otros idiomas, nos encontramos que en inglés, por
ejemplo, se usa mathematics con s final para la disciplina. En
francés la Academia Francesa da como entrada principal
mathématique, sin embargo, si se busca mathéma-
tiques lo lleva a esa misma entra- da, es decir, no la descalifica,
aun- que prefiere el singular.
Así, observamos que las autorida- des lingüísticas, lejos de
aclarar- nos este dilema nos confunden aún más. O sea, sin culpa ni
vergüen- za, podemos seguir usando indis- tintamente ambas
palabras.
Con esta edición iniciamos el año 10 de esta publicación y espera-
mos seguir fomentando en los (as) estudiantes el amor por la
matemá- tica...o... ¿las matemáticas?...
MAYO 2011MAYO 2011MAYO 2011MAYO 2011
AÑO 10 N°38AÑO 10 N°38AÑO 10 N°38AÑO 10 N°38 Editorial
¿MATEMÁTICA O MATEMÁTICAS? En esta edición
Visítanos en: www.uach.cl/abacom Contáctanos en:
abacom@uach.cl
pág Reflexiones
Cuerpos Sólidos ............................. .4
• Pitágoras y los Pitagóricos. ..... .6
• El Teorema de Pitágoras. ........ .7
Concurso • Desafío a tu Ingenio.. .............. .8
• Sopa Matemática .................... .8
Poesía Matemática ......................... .9
• Cantor y la Controversia del Infi-
nito ........................................... .9
• El Abrigo . . . ¿Realmente Abri-
• Matemáticos Somos Todos…..12
2
está muy arraigada y extendida. Se cree que los sexos
poseen dis&ntos es&los de comunicación, dis&ntas
habi-
lidades emocionales, que difieren en sociabilidad, que
las mujeres son más suges&onables, que los hombres
son más agresivos, que ellas son sensibles y ellos cere-
brales, que difieren en habilidades para negociar y en
sus es&los para liderar. El mí&co libro de John Gray
“Los
Hombres son de Marte y las Mujeres de Venus” se ha
transformado en un credo. En Chile, el libro “Viva la Dife-
rencia” de Pilar Sordo, elabora sobre este mismo exten-
dido estereo&po.
Pero, ¿cuál es la realidad? Janet Hyde, psicóloga, Ph. D.,
de la Universidad de Wisconsin, se ha dedicado a inves&-
gar empíricamente estas diferencias. Su conclusión es
una sola. No existen mayores diferencias entre hombres
y mujeres en ninguna de las variables relevantes inves&-
gadas: hombres y mujeres somos del mismo planeta.
El mundo de la educación, y el de las matemá&cas en
par&cular, no están ajenos a estos estereo&pos. Los
pa-
dres, los educadores y los mismos alumnos, &enden a
creer que ellas no son tan buenas para las matemá&cas
como ellos.
publicados en la pres&giosa revista Science el 2006
(“Gender similari&es in mathema&cs and science”.
Science, 314, 599-600.) y el 2008 (“Gender similari&es
characterize math performance”. Science, 321, 494-495)
concluyen que no existe respaldo empírico para sostener
que hombres y mujeres difieren en habilidad matemá&-
ca. Esta creencia es sólo un mito.
Aunque falsas, las creencias estereo&padas sobre hom-
bres y mujeres nos hacen pagar enormes costos de dis-
criminación por género. En el caso de las matemá&cas,
puede hacer que padres y profesores no se fijen en niñas
altamente talentosas para los números, pensando que
entre ellas hay muy poco talento matemá&co que descu-
brir, o que padres y maestros abandonen tempranamen-
te los esfuerzos para mejorar el aprendizaje de alumnas
que, por dificultades dis&ntas a sus habilidades, estén
logrando bajo rendimiento en matemá&cas. Por otra
parte, pensar que las niñas no son buenas matemá&cas
no sólo va corroyendo la confianza de ellas para tener
éxito en este ramo, sino que, además, va deteriorando
su vocación para seguir carreras matemá&camente
orientadas.
No se debe olvidar que las expecta&vas y creencias de
padres y profesores acerca de sus hijos y alumnos im-
pactan, para bien o para mal, en el desempeño escolar
de éstos y en su futuro.
(*) Psicólogo, Director Ejecuvo del Instuto Chileno de
Inteli-
gencia Emocional ( www.psicologiaposiva.cl )
Claudio Ibáñez S. parcipó en el rescate de los mineros de la
mina San José, experiencia que plasmó en su libro “LOS 33 DE
ATACAMA Y SU RESCATE Psicología Posiva en acción y algu-
nas historias no contadas”.
ABACOM Boletín Matemático
Publicación destinada a Estudiantes y Profesores de Enseñanza
Media. Proyecto auspiciado por la Facultad de Ciencias de la
Ingeniería de la Universidad
Austral de Chile.
Director: Juan Leiva V. / Director Alterno: Víctor Alvarado A. /
Redacción Periodística: Carolina Leiva C./ Colaboradora: Andrea
Cárcamo B. / Web Master: Edinson Contreras R.
Centro de Docencia de CCBB / Facultad de Ciencias de la Ingeniería
UACh. / Casilla 567 Valdivia. E.mail: abacom@uach.cl / Fono
(63)221828 / Fax (63)293730
www.uach.cl/abacom
REFLEXIONES
1
ABACOM Boletín Matemático
El Agua y su Importancia (II parte) Luz Alegría Aguirre, Patricio
Ruiz-Tagle Correa (*)
El Agua en el Hombre
El 65% del peso del ser humano y el 90% de su cerebro es agua, con
un contenido salino del 0,9%. Esto equivale a unos 45 litros de
agua, que se encuentra en el interior de las células (agua
intracelular) o fuera de ellas (agua ex- tracelular). En este caso
puede formar parte del líquido intersticial que baña las células o
de los líquidos circulan- tes, en especial el plasma sanguíneo. El
agua intracelular representa un 50% de la masa corpo- ral magra
(unos 25 litros) y el agua extracelular el 20% de la misma (unos 16
litros), porcentaje que se reparte en- tre el líquido intersticial
(15%) y el líquido circulante (5%). Entre los dos compartimentos de
agua en el organismo, hay un continuo intercambio en cuyo
equilibrio influye, entre otros factores, las variaciones de pH y
la diferencia de la presión osmótica de la membrana celular. La
pérdida diaria de agua del organismo depende de facto- res
fisiológicos, ambientales, etc., y su valor medio es
aproximadamente de 2.600 mL, repartidos en la orina (1.200 mL),
heces (200 mL), sudor (360 mL) y respiración (840 mL). La sed
constituye el mecanismo fundamental mediante el cual el organismo
regula el mantenimiento del nivel de agua necesario para el
organismo, siendo el RIÑÓN el órgano encargado de conservar el
equilibro hídrico me- diante la reducción o aumento de la cantidad
de agua eli- minada por la orina. El agua en estado natural no es
pura, sino que lleva en disolución elementos minerales indispen-
sables para el buen funcionamiento del organismo y, en particular,
de la célula (sales minerales de sodio, potasio, calcio y magnesio,
como las más importantes); por ello, la alteración del equilibrio
hídrico está estrechamente rela- cionado con la alteración del
equilibrio salino.
Escasez de agua en el mundo
En 1990, 20 países sufrían escasez de agua. En 1996, ya eran 26
(230 millones de personas), según la Organización de las Naciones
Unidas para la Agricultura y la Alimenta- ción (FAO) . El número de
países con problemas de agua puede elevarse a 41 en el año 2020. El
Programa de las Naciones Unidas para el Medio Ambiente (PNUMA) cal-
cula que de aquí al año 2027, aproximadamente un tercio
de los habitantes del mundo sufrirá seria escasez de agua. Las
razones para ello son evidentes: la mayor demanda sobre los
recursos de agua dulce provocada por las cre- cientes poblaciones
humanas; el empeoramiento de la cali- dad de los recursos acuíferos
existentes debido a la conta- minación y las necesidades creadas
por la dinámica expan- sión tanto industrial como agrícola.
¿Se puede convertir agua salada en agua
destilada? En estos momentos de la historia de la humanidad el hom-
bre se plantea migrar de las energías derivadas de recursos fósiles
hacia energías “más limpias” y energías renovables.
Watercone es un desalinizador solar que es capaz de con- vertir el
agua salada en agua pura y fresca. Es fácil de usar y de llevar de
un lado a otro. La tecnología es bastante simple. Las restricciones
vienen dadas por el volumen que es capaz de convertir cada
dispositivo, en con- creto, 1.6 litros al día pero suficiente para
llevar el agua al tercer mundo. Según UNICEF, cada día mueren 5.000
niños por el consumo de agua no apta para el ser humano. Water-
cone aparenta ser un cono simple que consiste en dejar agua salada
que se va evaporando y por efecto de la condensa- ción se convierte
en agua consumible. No es muy costoso montar este sistema, bastaría
con plástico resistente a los rayos ultravioletas.
(*) Profesores del Área de Química del Centro de Docencia de
Ciencias Básicas de la Facultad de Ciencias de la
Ingeniería de la Universidad Austral de Chile
MA Y O 2 0 1 1
4
Nociones previas
Un cuerpo sólido ocupa una porción cerrada del espacio y está
limitado por superficies planas o curvas. Un cuerpo sólido puede
ser: Poliedro: si sólo lo limitan superficies planas; Cuerpo
redondo: si está limitado por superficies curvas o por superficies
curvas y planas. En los poliedros distinguimos: Caras (los
polígonos que lo
forman), Aristas (los lados de los polígonos), Vértices (los puntos
donde concurren las aristas). Además tenemos: Ángulos planos (sus
lados son dos aristas convergentes), Ángulos diedros (sus caras son
dos semiplanos con una arista común), Ángulos poliedros (formados
por tres o más caras convergentes en un vér- tice).
Los poliedros pueden ser cóncavos o convexos. Los polie- dros que
tienen alguna cara sobre la cual no se pueden apoyar, se les llama
poliedros cóncavos, y los otros, se
denominan poliedros convexos.
Entre todos los poliedros que existen hay unos especial- mente
importantes por sus propiedades y presencia en nuestra vida diaria:
los poliedros regulares.
POLIEDROS REGULARES Un poco de Historia
Desde la época de los griegos, un polígono regular en el plano, se
ha entendido como un polígono inscrito en una circunferencia, cuyos
lados tienen igual longitud: trián- gulo equilátero, cuadrado,
pentágono regular, hexágono regular y así sucesivamente, para
cualquier número n de lados, con n no inferior a tres.
Así, existen infinitos polígonos regulares, los que se pue- den
caracterizar por dos propiedades: Todos sus lados son congruentes y
sus ángulos tiene igual medida. En el espacio tridimensional, nada
nos impide preguntar- nos si existe algo equivalente, que podríamos
llamar po- liedro regular. Un poliedro regular es un poliedro cuyas
caras son todas polígonos regulares congruentes entre sí y tanto
sus
ángulos diedros como sus ángulos poliedros son iguales. Un poliedro
regular está inscrito en una esfera, y está formado por las caras,
las aristas, que corresponden a los lados de los polígonos
regulares, y los vértices, a los cuales concurren las aristas del
poliedro. Para que estas condiciones se cumplan, el poliedro debe
ser convexo, puesto que en los poliedros cóncavos, los ángulos
diedros no son todos iguales.
A diferencia de los polígonos regulares, no existen infini- tos
poliedros regulares. Sólo hay cinco, que se denominan Sólidos
Platónicos, en honor a Platón (siglo IV a.C.), por haber sido
descritos por él en uno de sus Diálogos, El Timeo (Lo cierto es que
no se sabe en qué época llegaron a conocerse. Algunos
investigadores asignan el cubo, el tetraedro y el dodecaedro a
Pitágoras y el octaedro con
el icosaedro a Teeteto (415-369 a.C.)).
Solidos Platónicos
Usando álgebra, ahora deduciremos que sólo existen 5 poliedros
regulares. Consideremos un poliedro regular y sean p el número de
lados de cada cara y q el número de caras que concurren a cada
vértice del sólido. Así, cada poliedro regular tiene asociado un
par de núme- ros (p,q), con p, q ≥ 3.
Poliedro Convexo Poliedro Cóncavo
Ángulo Diedro Ángulo Poliedro
En la edición N°10 de ABACOM se trató el tema “CUERPOS SÓLIDOS
Formas a nuestro alrededor”. En este número iniciamos el estudio de
Cuerpos Sólidos, en forma más extensa.
5
ABACOM Boletín Matemático
Por ejemplo, al cubo se le asocia (4,3), pues cada cara (cuadrado)
tiene p = 4 lados y el número de caras (o de aristas) que concurren
en un vértice es q = 3. Uniendo los p vértices de un polígono
regular de p lados
con el centro de la circunferencia circunscrita se obtie- nen p
triángulos de modo que el ángulo plano interior en cada vértice del
polígono regular es:
(p 180º - 2x180º)/p = (p – 2) 180º/p . En un poliedro regular, en
cada vértice se forma un án- gulo poliedro de medida [(p –
2)180º/p]q. Dicho ángulo es menor que el ángulo plano completo pues
está inscrito en una esfera, de modo que:
[(p – 2) 180 / p] q < 2x180 ⇒
⇒(p – 2) q < 2p
⇒ (p – 2)(q – 2) < 4
• (p – 2)(q – 2) = 1 ⇒
⇒ p = q = 3
En este caso las caras son triángulos (p = 3) y concurren 3 (q = 3)
en cada vértice. El poliedro así obtenido es el Tetraedro:
• (p – 2)(q – 2) = 2 ⇒
⇒( p – 2 = 1, q – 2 = 2) ó ( p – 2 = 2, q – 2 = 1)
⇒(p = 3, q = 4) ó (p = 4, q = 3)
Se obtienen dos poliedros: uno formado por triángulos (p = 3),
concurriendo 4 (q = 4) en cada vértice (Octaedro) y el otro en que
concurren 3 cuadrados en cada vértice (p = 4, q = 3) (Hexaedro o
Cubo)
• (p – 2)(q – 2) = 3 ⇒
⇒(p – 2 = 1, q – 2 = 3) ó (p – 2 = 3, q – 2 = 1)
⇒(p = 3, q = 5) ó (p = 5, q = 3)
Se obtienen dos poliedros: uno con 5 triángulos que concu-
rren en cada vértice (p = 3, q = 5) (Icosaedro) y en el otro 3
pentágonos en cada vértice (p = 5, q = 3) (Dodecaedro).
En la tabla siguiente se resume la información anterior:
FÓRMULA DE EULER
La fórmula de Euler establece que en todo poliedro con- vexo, el
número de vértices menos el número aristas más el número de caras
es siempre constante igual a dos. Sean v el número de vértices, a
el número de aristas y c el número de caras en cualquier poliedro
convexo. Entonces la relación de Euler es:
v - a + c = 2 Este resultado fue observado por Descartes en 1640,
pero el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) realizó la
demostración en 1752. Entre las consecuencias más importantes de la
fórmula de Euler tenemos que: • No puede existir un poliedro
convexo con menos de
seis aristas, cuatro caras y cuatro vértices.
• La suma de los ángulos de todas las caras de un polie- dro
convexo es igual a tantas veces cuatro ángulos rectos, como el
número de vértices del poliedro dismi- nuido en dos.
(p,q)
Caras
Nombre del Poliedro
(3,5) Triángulo 5 Icosaedro
(5,3) Pentágono 3 Dodecaedro
Dodecaedro
Nació en Samos, Jonia, alrededor del año 580 a.C. Se destacó en
matemáticas, astro- nomía, filosofía y música. Se tienen pocos
detalles de su vida, tampoco ha llegado hasta nosotros ningún
escrito de los aportes que hizo. Su padre fue Mnesarco, un mer-
cader de vino de Tiro, Fenicia, y su madre Pythais, nativa de
Samos. Pitágoras pasó
sus primeros años en Samos, pero después viajó mucho con su padre,
con quien regre- só a Tiro donde recibió su primera instruc- ción.
Aprendió a tocar la lira, a hacer poe- sía y a recitar a Homero.
Thales de Mileto fue quien infundió en Pitágoras su interés en las
matemáticas y la astronomía, aconse- jándole viajar a Egipto para
aprender más sobre estas disciplinas. Pitágoras fundó una escuela
semirreligiosa y semicientífica en Crotón (actual Crotona, en
Italia) que tenía muchos seguidores, a quienes se les conocía como
Los Pitagóri-
cos. El símbolo de la Escuela de Pitágoras y por medio del cual se
reconocían entre sí, era el pentágono estrellado, que ellos
lla-
maban pentalfa (cinco alfas). Pitágoras se casó con Téano, quien
integra- ba la escuela pitagórica y fue una destacada matemática.
Después de la muerte de Pitá- goras, ella continuó dirigiendo la
escuela junto con sus dos hijas. Debido a la influencia política
que tuvo la Escuela en esa época, la que era contraria a las ideas
democráticas existentes, se produ- jo, tal vez, después del año 500
a.C. una revuelta contra ellos, siendo maltratados e incendiadas
sus casas. Pitágoras se vio obligado a huir a Tarento, situada al
sur de Italia. Algunos piensan que un año más tarde murió asesinado
en otra revuelta po- pular en Metaponto.
Juan Leiva Vivar
MA Y O 2 0 1 1
El Primer Matemático Puro Pitágoras de Samos es descrito
frecuentemente como el primer ma- temático puro. Es una figura
extremadamente importa nte en el desa- rrollo de las matemáticas,
aunque es poco lo que se conoce de sus logros matemáticos. También
destacó en Astronomía, Filosofía y Música. Fundó y dirigió una
sociedad semirreligios a y semicientífi- ca, Los Pitagóricos,
quienes seguían un código secr eto, que hasta hoy hace de Pitágoras
una figura misteriosa.
Pitágoras fundó una escuela filosófica y religiosa en Crotón, la
que tenía muchos seguidores. Vivían en comunidad, no tenían
propiedades personales y eran vegetarianos. Recibían enseñanzas del
propio Pitágoras y obedecían reglas estrictas. Algunas de las
creencias de los Pitagóricos eran: 1. En su nivel más profundo, la
realidad
es de naturaleza matemática.
purificación espiritual.
con lo divino.
místico.
observar estricta lealtad y guardar ac-
titud secreta.
Tanto hombres como mujeres eran admiti- dos como miembros de la
Sociedad; en efecto, varias de las mujeres pitagóricas se
convirtieron después en filósofas famosas. Los Pitagóricos
estudiaban matemáticas, pero no como un grupo de investigación en
matemáticas en una universidad u otra ins- titución moderna. No
había problemas abiertos que tuvieran que resolver, y de ninguna
manera estaban interesados en tratar de formular o resolver
problemas matemáticos. Más bien Pitágoras estaba interesado en los
principios de las matemá- ticas, el concepto de número, el
concepto
de triángulo o de otras figuras geométricas, y de la idea abstracta
de demostración. En su escuela afirmaban que la estructura del
universo era aritmética y geométrica e hicieron contribuciones
extraordinarias a las matemáticas, aunque es difícil determi- nar
cuáles fueron aportes personales de Pitágoras. Algo del legado
matemático que dejaron los Pitagóricos, se menciona a continua-
ción: • La suma de los ángulos interiores de un
triángulo es igual a dos ángulos rectos. También la generalización
para un polí- gono con n lados: la suma de sus ángu- los interiores
es (2n – 4) ángulos rectos y la suma de sus ángulos exteriores es
igual a cuatro ángulos rectos.
• El Teorema de Pitágoras (ver pág. 7). • Construcción de figuras
geométricas de
un área dada y construcción geométrica de expresiones
algebráicas.
• El descubrimiento de los irracionales. • Los cinco sólidos
regulares.
Pitágoras y los Pitagóricos
ABACOM Boletín Matemático
El Teorema de Pitágoras Quizás uno de los pocos teoremas que casi
todos (as) los(as) alumnos(as) conocen, es el Teorema de Pitágoras.
Su enunciado es el siguiente:
Pero si preguntamos por su demostración, son muy pocos(as) quienes
conocen alguna. Existen muchas demostraciones de este teore- ma. E.
Scott Loomis, un profesor de matemáticas de Cleveland, Ohio (EEUU),
durante 20 años, entre 1907 y 1927, coleccionó y clasificó 230 de-
mostraciones del famoso teorema, las que publi- có en su libro La
Proposición de Pitágoras. En una segunda edición, publicada en
1940, el nú- mero de demostraciones aumentó a 370. En las ediciones
6 a 10 de ABACOM, se mostra- ron siete demostraciones, entre ellas
la que dio Euclides en su obra Los Elementos, que es la siguiente:
Sea ABC triángulo rectángulo cuyo ángu- lo recto está en el vér-
tice C. Construimos tres cuadrados, uno en cada lado del trián-
gulo. Por C trazamos una perpendicular al lado AB, obteniéndose los
puntos J y K. Se cumplen las si- guientes relaciones: Área
rectángulo AHKJ = 2 Área triángulo AHC (misma base AH y altura AJ).
Área cuadrado EACD = 2 Área triángulo EAB (misma base EA y altura
AC). Pero los triángulos AHC y ABE son congruentes (dos lados y
ángulo comprendido iguales), así: Área rectángulo AHKJ = Área
cuadrado EACD En forma análoga se prueba que: Área rectángulo KIBJ
= Área cuadrado BFGC. Sumando la últimas dos igualdades se
obtiene:
c2 = a2 + b2.
Tríos Pitagóricos Un trío pitagórico está formado por tres nú-
meros enteros positivos (a, b, c) tales que:
c2 = a2 + b2. Por ejemplo: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17) son tríos
pitagóricos. Si (a, b, c) es un trío pitagórico, también lo es un
múltiplo de él: (ka, kb, kc), pues: (ka)2 + (kb)2 = k2(a2 + b2) =
k2c2 = (kc)2 . Pero, ¿cómo hallar otros tríos pitagóricos? Dados m,
n dos números enteros positivos tales que m > n, con ellos se
puede formar el trío pitagórico (a, b, c), donde: a = m2 - n2, b =
2mn, c = m2 + n2. En efecto: a2 + b2 = (m2 - n2)2 + (2mn)2
= m4 - 2m2 n2 + n4 + 2m2n2
= m4 + 2m2 n2 + n4 = (m2 + n2)2 = c2 .
Por ejemplo, para m = 7, n = 3, se obtiene el trío: (40, 42, 58),
que es pitagórico, ya que:
402 + 422 = 582. El Teorema General de Pitágoras El teorema de
Pitágoras tiene una versión más general, llamada Teorema General de
Pitágoras o Teorema del Coseno (ver ABACOM 32). El enunciado
es:
Para el triángulo de la figura, el teorema afirma que:
c2 = a2 + b2 - 2abcosC. Observe que si el triángulo es rectángulo
en C, se obtie- ne el Teorema de Pitágoras, ya que cosC = cos90° =
0, es decir:
c2 = a2 + b2
EL TEOREMA DE PITÁGORAS
“En un triángulo rectángulo, el cuadrado del lado mayor
(hipotenusa) es igual a la suma de los cuadrados de otros dos lados
(catetos)”.
“En un triángulo cualquiera, el cuadrado de cualquier lado es igual
a la suma de los cuadra- dos de los otros dos lados menos el doble
del producto de estos lados multiplicado por el co- seno del ángulo
que ellos forman”.
MA Y O 2 0 1 1
8
soConcursoConcursoConcursoConcursoConcur-
Problema 1: ¿Cuáles son los signos?
Coloca signos matemáticos ade- cuados (+, -, x, :, , log, etc.)
entre los números, para obtener los resultados indicados:
Números Resultado 0 0 0 6 1 1 1 6 2 2 2 6 3 3 3 6 4 4 4 6 5 5 5 6 6
6 6 6 7 7 7 6 8 8 8 6 9 9 9 6
10 10 10 6
El regalo de Bodas
Tomás y Marta van a contraer matrimonio. Como regalo de bo- das 4
amigos le harán 4 transfe- rencias de fondos de 55, 89, 233 y 377
Euros.
Usando esta sucesión de núme- ros, otros dos amigos quieren hacerle
dos transferencias más: una entre 89 y 233 Euros y la otra mayor
que 377 , ¿de qué monto
deben ser estas transferencias
para mantener la sucesión?
PROBLEMAS EDICIÓN Nº 38
EDICIÓN Nº 38
Te proponemos que descubras diez (10) palabras relacionadas con
Cuerpos Sóli- dos . Pueden encon- trarse en forma verti- cal,
horizontal o en diagonal, de arriba hacia abajo (o vice- versa), de
izquierda a derecha (o viceversa).
B O R D E A R T E T
L M I P S U J A S E
E P O I G L O S T O
O V A R E F S E R R
T E B A D U R D P E
E R O M I N E R O M
A T S I R A I Y C O
P I M D X S T L H B
O C C E M A S V I U
R E H A C I O N O C
Envía tus soluciones (indicando Nombre, Colegio y Curso) a A B A C
O M Boletín Matemático
Casilla 567 Valdivia · Fax (63) 293730 email: abacom@uach.cl
Recepción de soluciones hasta el 8 de Julio de 2011
El Teorema de Pitágoras en China
El Teorema de Pitágoras era conocido en China, al menos en el siglo
II a.C. probable- mente con la demostración dada por Eucli- des. La
obra más importante de la historia científica china es, sin duda,
Chui Chang Suan Shu (La matemática en nueve capítulos), d e C h u a
n Tsanom (200 a.C.). El capítulo nueve trata del Teorema de Pitá-
goras. La figura muestra la misma cons- trucción que hizo Euclides
en su demostración.
El Teorema de Pitágoras y los Ex- traterrestres
En el siglo XIX, Gauss, el destacadísimo ma- temático francés,
propuso construir en Sibe- ria una gigantesca figura con el
diagrama de la demostración euclídea del Teorema de Pi- tágoras.
Así … “los alienígenas, habitantes de la Luna o Marte, podrán verla
con sus te- lescopios deduciendo así que existen seres inteligentes
acá en la Tierra”. Este proyecto fue citado por Julio Verne en su
novela De la Tierra a la Luna.
9
ANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS
MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICAS
El famosísimo físico Al-
bert Einstein (1879-1955) era de una sencillez y lógi- ca
admirables. Se cuenta que cierta vez en que se vio sorprendido por
un inesperado aguacero, Eins- tein, se quitó el sombrero y lo metió
debajo de su abri- go. Alguien, que lo obser-
vaba, le preguntó por qué había hecho aquello. El respondió: “la
lluvia me estropeará el sombrero, pero … no el pelo”. En otra
ocasión un perio- dista le preguntó: “¿me puede usted explicar la
relatividad?”; a lo que Einstein respondió: “me
puede usted explicar como se fríe un huevo?”. El pe- riodista lo
mira extrañado y le contesta: “pues sí, sí que puedo…”, y Einstein
replicó: "bueno, pues há- galo, pero imaginando que yo no sé lo que
es un hue- vo, ni un sartén, ni el acei- te, ni el fuego..."
LA LÓGICA DE EINSTEIN
´ Poesía Matemát icaPoes ía Matemát icaPoes ía Matemát icaPoes ía
Matemát ica
EL UNO Y EL DOS
Graves autores contaron que en el país de los Ceros el Uno y el Dos
entraron; y, desde luego, trataron de medrar y hacer dineros.
Pronto el Uno hizo cosecha, pues a los Ceros honraba con amistad
muy estrecha, y dándoles la derecha, así el valor aumentaba.
Pero el Dos tiene otra cuerda, ¡todo es orgullo maldito!
Y con táctica tan lerda, los ceros pone a la izquierda, y así no
medraba un pito.
En suma, el humilde Uno llegó a hacerse millonario, mientras el Dos
importuno por su orgullo cual ninguno no pasó de un
perdulario.
Luego ved con maravilla en esta fábula ascética, que el que más
baja más brilla, y el que se exalta se humilla hasta en la misma
Aritmética.
En la edición 35 de ABACOM se hizo ver la relación existente entre
la matemática y la literatura, en particular con la poe- sía. Allí
también se destacó la labor literaria de Lionel Henríquez, profesor
de matemática de nuestra universidad y poeta. Ahora presentamos una
fábula del escritor español Cayetano Fernández (1820 - 1901) que se
relaciona con la aritmética:
Georg Cantor (1845- 1918), matemático ruso, hizo notables
descubrimien- tos acerca de la estructura de la recta real y del
infini-
to. Su aritmética transfinita encontró mucho rechazo: Henri
Poincaré, dijo que la teoría era “una enfermedad” de la que algún
día llegarían las matemáticas a curarse; Leopold Kronecker, uno de
los maestros de Cantor, le calificó de “charlatán cien- tífico”,
“renegado” y “corruptor de la juventud” y hasta Santo Tomás de
Aquino, consideraba que tal noción comportaba un desa- fío directo
a la naturaleza
única, infinita y absoluta de Dios. En 1877 al encontrar una
biyección entre los puntos de la recta y del plano ex- clamó “¡Lo
veo, pero no lo creo!”. Lo envió a una re- vista científica para su
pu- blicación, pero Kronecker, editor de esa revista, blo- queó la
publicación. Cantor, ofendido, nunca más envió trabajos para esa
revista. Cantor comenzó a sufrir crisis maníaco-depresivas
cada vez más fuertes hasta finalmente morir, posible- mente sin
saber de la im- portancia de sus descubri- mientos. David Hilbert
dijo: “del Paraíso que nos ha creado Cantor nadie nos echará” y
Bertrand Russell, rectificó su desaprobación inicial diciendo que
el descubri- miento de Cantor es “probablemente el más im- portante
que la época puede ostentar”.
CANTOR Y LA CONTROVERSIA DEL INFINITO
MA Y O 2 0 1 1
10
EL ABRIGO . . .
¿REALMENTE ABRIGA?
¿Qué diría usted si le asegurasen que su abrigo no calien- ta?
Pensaría, como es natural, que le están tomando el pe- lo. Pero, ¿y
si empezaran a demostrarle esta afirmación con una serie de
experimentos? Haga por ejemplo lo si- guiente: Mire cuantos grados
marca un termómetro y envuélvalo en su abrigo. Al cabo de una hora,
sáquelo. Se convencerá de que no se ha calentado ni en cuarto de
grado: lo que antes marcaba, marca ahora. Ahí tiene una prueba de
que el abrigo no calienta. Incluso se podría sospechar que el abri-
go enfría. Tome dos frasquitos con hielo; envuelva uno de ellos en
el abrigo y deje el otro sin tapar en la habitación. Cuando se haya
derretido el hielo en este último, abra el abrigo: verá que el
hielo que había en él apenas ha comen- zado a fundirse. Por lo
tanto, el abrigo no sólo no ha calen- tado el hielo, sino que al
parecer incluso lo ha enfriado, retardando su licuación. ¿Qué puede
objetarse a esto? ¿Cómo desmentir estas conclusiones? De ningún
modo. El abrigo realmente no calienta, si se entiende por
“calentar” dar calor. Una lámpara calienta, una estufa calienta, el
cuerpo humano calienta, porque to- dos estos cuerpos son fuentes de
calor. Pero el abrigo, en este sentido de la palabra, no calienta
nada. El abrigo no da calor, sino que se limita a impedir que el
calor de nuestro cuerpo salga de él. He aquí por qué los animales
de sangre caliente (homotermos), cuyo cuerpo es fuente de calor, se
sentirán más calientes con el abrigo que sin él. Pero el ter-
mómetro no genera calor propio y, por eso, su temperatura no varía
aunque lo envolvamos en el abrigo. El hielo en- vuelto en el abrigo
conserva más tiempo su baja tempera- tura, porque éste es muy mal
conductor del calor e impide que llegue hasta el hielo el calor
exterior, es decir, el ca- lor del aire que hay en la habi- tación.
Así, pues, a la pregunta de que si abriga (o calienta) un abri- go,
se debe responder que el abrigo sólo sirve para que nos calentemos
nosotros mismos. Lo más exacto sería decir, que nosotros calentamos
el abrigo, y no él a nosotros.
CIENCIA ENTRETE:
La tradicional sección Matemática Entrete, a contar de esta
edición, la ampliamos a Ciencia Entrete, dando así cabida a
curiosidades y situaciones hu- morísticas de otras ciencias, en
particular de la Física y la Química.
La Tira Rasgada
Una tira de papel de unos 20 a 30 centímetros de longitud y unos 3
a 5 centímetros de ancho puede servir de material para un problema
entretenido. Corte o rasgue la tira en dos puntos, como en la foto
y pregúntele a alguien qué ocurrirá con ella si se tira de sus
extremos en sentidos opuestos
Se romperá en tres partes en los puntos en que está rasgada -
responderán. Después de recibir esta contestación, propóngale a su
camarada que haga la prueba. Se convencerá con sorpresa de su
error: la tira se rompe en dos partes nada más. Este experimento
puede repetirse tantas veces co- mo se quiera, tomando tiras de
distintos tamaños y haciendo rasgaduras de diferente profundidad,
pero nunca se conseguirá obtener más de dos trozos. La tira se
rompe por donde es más débil, confirmando el refrán: “el hilo
siempre se corta por lo más delga- do”. El secreto está en que en
los dos cortes o ras- gaduras, por mucho que se procure hacerlos
igua- les, uno será inevitablemente más profundo que el otro,
aunque esto no se note a simple vista. Esta parte de la tira, como
es la más débil, comenzará a romperse primero. Y una vez que
empiece a rom- perse, se romperá hasta el fin, ya que cada vez se
debilita más. Seguramente se sentirá usted satisfe- cho cuando sepa
que al hacer este simple experi- mento ha entrado en una rama de la
ciencia muy seria e importante para la técnica. Esta rama de la
ciencia se llama Resistencia de Materiales.
11
EL EFECTO DOPPLEREL EFECTO DOPPLER
El Efecto Doppler, es un fenómeno físico que se aprecia cuando una
fuente de ondas se mueve. Para un obser- vador en reposo la fre-
cuencia de las ondas es mayor cuando la fuente se acerca y menor
cuando se aleja. Por ejemplo, un automóvil en movimiento
emite
un sonido (ruido del motor), el que apreciamos como un sonido más
agudo (de mayor frecuencia) cuando se acerca y más grave (de menor
frecuencia) cuando se aleja. Esto da lugar a ese sonido tan
característico de los autos de Fórmula 1 cuando pasan frente a las
cámaras. El nombre de este fenómeno se debe a Christian Doppler,
mate- mático austríaco quien lo descubrió en 1842. El efecto
Doppler no sólo se aplica a los sonidos, funciona con todo tipo de
ondas. Esto incluye la luz. Un profesor explicaba este fenómeno a
sus alumnos, cuando uno de ellos, que prestaba mucha atención a la
charla, levanta la mano y dice: – Profesor, es muy fácil comprobar
este fenómeno para el caso de
la luz. – ¿Cómo sería? – le pregunta el profesor. – Muy fácil –
responde el alumno – cuando es de noche, las luces
de los vehículos se ven blancas cuando se acercan y rojas cuan- do
se alejan …
H
U
M
O
R
Evaluación
A un alumno se le pide que efectúe la suma de los nú- meros seis
(6) y siete (7). Su respuesta es:
Al corregir su trabajo, el comentario que se entregó fue el
siguiente:
1. La grafía del número seis es del todo correcta. 2. Se puede
apreciar lo mismo con el siete. 3. El signo más nos dice que
comprendió cabalmente
que se trata de una suma. 4. En cuanto al resultado vemos que el
uno es correcto. 5. El segundo dígito, efectivamente, no es
ocho.
Bueno, si hacemos un corte vertical, observamos que el alumno ha
escrito dos números tres simétri- cos. Elegimos el bueno porque se
ve que su inten- ción era buena.
El conjunto de estas observaciones evidencia que:
• La actitud del alumno es positiva (lo intentó). • Los
procedimientos son correctos (los elementos
están ordenados correctamente). • En conceptos, sólo se equivocó
parcialmente en
uno de los seis elementos que forman el ejercicio. Esto es casi
sobresaliente.
En consecuencia podemos otorgarle un "Notable" y decir que
"Progresa Adecuadamente".
No te esfuerces … Ya no hay química entre nosotros ...
… No encuentro el sentido de la vida ...
¿Buscaste en Google?
MA Y O 2 0 1 1
¿En qué consiste la Psicología Posi- tiva? La psicología
tradicional se enfoca principalmente en los déficits, trastor- nos
y problemas de las personas. Esto queda muy bien ilustrado por lo
que pasa en los colegios. Los niños son enviados al psicólogo
cuando presen- tan algún tipo de problema, sea éste de aprendizaje,
emocional, o de ambos tipos. Los psicólogos se han posiciona- do
como profesionales expertos en problemas. El año 1998, el connotado
psicólogo norteamericano Martín E.P. Seligman , al asumir como
Presidente de la Asociación Norteamericana de Psicólogos, llamó la
atención sobre este sesgo de la psicología hacia lo negativo. Su
propuesta fue que la psi- cología, sin abandonar lo logrado acer-
ca de los trastornos de las personas, debía ocuparse del estudio de
las virtu- des, de las fortalezas y de las emocio- nes positivas de
las personas. Así nace la Psicología Positiva , que también puede
definirse como el estudio cientí- fico del bienestar y de la
felicidad.
Muchos alumnos de Enseñanza Me- dia tienen prejuicios y miedos a la
hora de estudiar matemáticas y ren- dir pruebas. ¿Cómo puede ayudar
la Psicología Positiva a tener éxito en los estudios? El miedo es
una emoción negativa que bloquea nuestra mente y nos hace
retroceder frente a los desafíos. La clave está en activar
emociones positi- vas como la confianza, el entusiasmo y la
perseverancia. Para activar estas emociones es muy importante tener
un
para qué, en especial frente a los estu- dios. Cuando un alumno no
sabe para qué estudia matemática (o cualquier otro ramo, o el
estudiar en general), entonces el estudio resulta absurdo, es
decir, un sin sentido. En cambio, cuan- do se construye un sentido
para hacer algo, entonces nuestras emociones positivas se activan.
En este aspecto los profesores juegan un rol clave. Los docentes no
pueden dar por sentado que los alumnos “deben” tener claro para qué
estudiar. Muchas veces no es así y es rol del profesor ayudar a que
el estudio ad- quiera sentido y significado para los alumnos. Si
esto no se logra, es difícil que los alumnos exhiban entusiasmo
para hacerlo. Esto es lo que también se llama motivación y si hay
un rol cla- ve del profesor es el de ser un hábil motivador de sus
alumnos.
Muchos alumnos de 4° Año Medio sueñan con la posibilidad de
ingresar a la Universidad, ¿qué pueden hacer antes de ser
universitarios para sen- tirse más seguros y así poder superar las
nuevas exigencias? Las personas tienen mucho potencial, muchas
fortalezas para enfrentar situa- ciones nuevas. Si los jóvenes
literalmen- te sueñan con ingresar a la universidad, si esto es
realmente un anhelo para ellos, no tendrán mayores problemas en
esta nueva situación. No digo que no vayan a existir dificultades.
El camino hacia los objetivos está plagado de difi- cultades. Pero
este no es el tema, sino cuánto entusiasmo tenemos por lograr
nuestros objetivos. Si tenemos entusias- mo estamos al otro lado,
porque de aquí surge la fuerza para superar las dificul- tades que
se encuentran en el camino. A quien persigue sus sueños siempre le
irá bien, porque tiene lo más fundamen- tal: un por qué para
luchar. Cuando las personas hacemos cosas, como estu- diar algo
para satisfacer a los papás, lo más probable es que carezcamos de
la energía y entusiasmo para ir con fuerza hacia adelante. Sólo
nuestros sueños, nuestros propios sueños y no los sue- ños ajenos,
son los que hacen vibrar a las personas y vivir para hacerlos
reali- dad.
Matemáticos somos
todos
A mediados de marzo, en el diario El Mercurio, apareció el artículo
titulado Matemáticos somos todos , del perio- dista Nicolás Luco
Rojas. A continua- ción un extracto de este artículo:
Conozco al académico de la Universidad de Chile Dr. Roberto Araya
quien, cual un mo- derno Quijote, hace años trabaja con juegos para
preescolares y escolares que llegan a chupar las matemáticas como
manjar blanco. Roberto se ufana de tener a niños de 8 años
resolviendo ecuaciones de segundo grado. Da gusto que hoy crean en
él. La semana pasada, en el Centro de Investigación Avanzada en
Educación de la U. de Chile, el Dr. Araya participó en un seminario
sobre estrategias creativas para que la matemática sea algo tan
popular como Shakira. Yo tuve buenos profesores del ramo, como
Mario Sepúlveda, liquidado después por un cáncer. Él me desafió a
calcular a qué hora entre las 14 y las 15 horas el minutero alcanza
el mismo punto que el horario. Tenía 16 años y lo resolví. Hasta
hoy, como ven, me ufano de ello. No le tengo miedo a la matemática.
Pero uno avanza por el mundo y se encuentra con quienes dicen "yo
soy negado para las matemáticas". (Hay otros que dicen "yo soy
negado para el deporte" o "negado para el inglés"... ¡puras
amputaciones!) Nadie es negado para las matemáticas, estoy
convencido. Hay algunos, tal como dice el libro The Math
Gene de Keith J. Devlin, que tienen especial aptitud. Pero todos
somos matemáticos. Todos hacemos matemática. Bajar por la es-
calera del metro es una operación de cálculo; hacer una maleta sin
que nada se nos quede afuera, requiere pensamiento matemático;
cocinar un guiso complicado, con diferentes ingredientes y tiempos
de cocción, es mate- mática. Se nos pueden haber olvidado las
tablas, pero el ojo humano está siempre calculando. Como cuando un
lolo me hace un "finito" con su auto para asustarme, con un
complejo cálculo de velocidades y distancias. Necesitamos
reconciliarnos con esos cálculos numéricos; hacer sudokus, dicen,
ayuda a espantar el Alzheimer.
oticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticias
Psicólogo Claudio Ibáñez: