Post on 06-Jan-2017
75:12 ANÁLISIS NUMÉRICO ITurnos:
Angel MenéndezMiguel Cavaliere
Pablo Tarela
PROGRAMA
1. Errores en el Análisis Numérico2. Resolución de Sistemas Algebraicos
Lineales3. Raíces de ecuaciones4. Aproximación de funciones5. Integración y Diferenciación Numéricas6. Resolución Numérica de Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias
ERRORES EN EL ANÁLISIS NUMÉRICO
1. Fuentes de errores2. Expresión de los errores3. Propagación de errores de entrada4. Estimación de errores de truncamiento5. Generación y propagación de errores de
redondeo6. Estabilidad del problema y del algoritmo7. Estimación de errores mediante
perturbaciones experimentales
ERRORES EN EL ANÁLISIS NUMÉRICO
1. Fuentes de errores2. Expresión de los errores3. Propagación de errores de entrada4. Estimación de errores de truncamiento5. Generación y propagación de errores de
redondeo6. Estabilidad del problema y del algoritmo7. Estimación de errores mediante
perturbaciones experimentales
FUENTES DE ERRORES
1. Errores de entrada2. Errores de truncamiento3. Errores de redondeo4. Otras fuentes de error
FUENTES BÁSICASDATOS
(ENTRADA)PROCESO
PRECISIONRESULTADOS
(SALIDA)
PROCESO DE CALCULO
PROCESO IDEAL
Exactos ExactosInfinitoInfinita
Con errores Con erroresInfinitoInfinita
ERRORES DE ENTRADA
Exactos FinitoERRORES DE TRUNCAMIENTO
Con erroresInfinita
ERRORES DE REDONDEO
Exactos InfinitoFinita Con errores
OTRAS FUENTES
1. Errores en el modelo2. Errores humanos
ERRORES EN EL ANÁLISIS NUMÉRICO
1. Fuentes de errores2. Expresión de los errores3. Propagación de errores de entrada4. Estimación de errores de truncamiento5. Generación y propagación de errores de
redondeo6. Estabilidad del problema y del algoritmo7. Estimación de errores mediante
perturbaciones experimentales
EXPRESIÓN DE LOS ERRORES
1. Error absoluto y relativo2. Cotas de error3. Sistemas de números4. Decimales y dígitos significativos5. Redondeo simétrico y truncado
EXPRESIÓN DE LOS ERRORES
aδ Error absoluto
exacto aâa δ+=
aaraδ
=
Error relativo
exacto arâa−
=1
aΔ Cota de error
absoluto aâa Δ±=
âaRa
Δ=
Cota de error
relativo
( )aRâa ±= 1
EXPRESIÓN DE LOS ERRORES
1. Error absoluto y relativo2. Cotas de error3. Sistemas de números4. Decimales y dígitos significativos5. Redondeo simétrico y truncado
DECIMALES Y DÍGITOS SIGNIFICATIVS
t â t decimales significativos
≥ 1 1 decimal medianamente significativo (t+1º)
Ultimo dígito significativo en posición 10-t
≤ 0
1 dígito medianamente significativo en posición 10-t-1
0,5 E(-t-1) < Δa < 0,5 x E(-t)
ERRORES EN EL ANÁLISIS NUMÉRICO
1. Fuentes de errores2. Expresión de los errores3. Propagación de errores de entrada4. Estimación de errores de truncamiento5. Generación y propagación de errores de
redondeo6. Estabilidad del problema y del algoritmo7. Estimación de errores mediante
perturbaciones experimentales
PROPAGACIÓN DE ERRORES DE ENTRADA
1. Propagación en operaciones elementales
2. Fórmula general de propagación3. Cancelación de términos
PROPAGACIÓN EN OPERACIONES ELEMENTALES
Y δ y Δ y x1 + x2 δ x1 + δ x2 Δ x1 + Δ x2
x1 - x2 δ x1 - δ x2 Δ x1 + Δ x2
x1 * x2 r1 + r2 R1 + R2
x1 / x2 r1 - r2 R1 + R2
FÓRMULA GENERAL DE PROPAGACIÓN
)(),...,( 21 PFxxxFy n ==
j
n
j Pj
xxFy δδ
1∑= ∂
∂=
j
n
j Pj
xxFy Δ∂∂
=Δ ∑=
1
ERRORES EN EL ANÁLISIS NUMÉRICO
1. Fuentes de errores2. Expresión de los errores3. Propagación de errores de entrada4. Estimación de errores de truncamiento5. Generación y propagación de errores de
redondeo6. Estabilidad del problema y del algoritmo7. Estimación de errores mediante
perturbaciones experimentales
ESTIMACIÓN DE ERRORES DE TRUNCAMIENTO
1. Criterio general2. Cancelación de términos
CRITERIOy y Δy
∑∞
=1iia
∑=
N
iia
1
1+Na
)()( 11 xfhxf −+
)( 1xf ′ 2)(
2
1hxf ′′
)(xf
[ ] )(xf N
[ ] [ ] )()(1 xfxf NN −+
ERRORES EN EL ANÁLISIS NUMÉRICO
1. Fuentes de errores2. Expresión de los errores3. Propagación de errores de entrada4. Estimación de errores de truncamiento5. Generación y propagación de errores de
redondeo6. Estabilidad del problema y del algoritmo7. Estimación de errores mediante
perturbaciones experimentales
GENERACIÓN Y PROPAGACIÓN DE ERRORES DE REDONDEO
1. Representación de números reales2. Unidad de máquina3. Propagación4. Gráfica de procesos
REPRESENTACIÓN INTERNAâ = m x 10q 0,1 ≤ ⎜m⎜ < 1 q entero
Error relativo Unidad de máquina Redondeo 0,5 x 10-t+1 simétrico
=≤− ua
aâ 10-t+1 truncado
GRÁFICA DE PROCESOSx
y
zop
fx
fy
u1
xz op y=
= +rz fx rx rfy +y 1u
xf
F
zx
=z F (x)
1ur=zr fx +x u1
F' (x)=xf xy
ERRORES EN EL ANÁLISIS NUMÉRICO
1. Fuentes de errores2. Expresión de los errores3. Propagación de errores de entrada4. Estimación de errores de truncamiento5. Generación y propagación de errores de
redondeo6. Estabilidad del problema y del algoritmo7. Estimación de errores mediante
perturbaciones experimentales
ESTABILIDAD DEL PROBLEMA Y DEL ALGORITMO
1. Factores de amplificación para datos de entrada
2. Número de condición del problema3. Factor de amplificación para redondeo4. Número de condición del algoritmo5. Condición de estabilidad del algoritmo
FACTORES DE AMPLIFICACIÓN DE ERRORES DE ENTRADA
op + - * /
f1 yx1
yx1
1
1
f2 y
x2
yx2−
1
-1
21 xopxy =
2211 xfxfry +=
FÓRMULA GENERAL
),...,( 21 nxxxFy =
i
M
iij
n
jjy ugrfr
11∑∑==
+=
∑∑==
=+=M
iiuuj
n
jjy gFuFRfR
11 ;
NÚMEROS DE CONDICIÓN
1∑=
=n
jjP fc
P
uA c
Fc =
aceptable numérico mientocondiciona :uRcA <<
ERRORES EN EL ANÁLISIS NUMÉRICO
1. Fuentes de errores2. Expresión de los errores3. Propagación de errores de entrada4. Estimación de errores de truncamiento5. Generación y propagación de errores de
redondeo6. Estabilidad del problema y del algoritmo7. Estimación de errores mediante
perturbaciones experimentales
ESTIMACIÓN DE ERRORES MEDIANTE PERTURBACIONES
EXPERIMENTALES
1. Errores de entrada y estabilidad del problema
2. Errores de redondeo y estabilidad del algoritmo
ESTRATEGIA
DATOS(ENTRADA)
PROCESOPRECISION
RESULTADOS(SALIDA)
PROCESO DE CALCULO
CALCULO INICIAL
Medios MediosFinitoFinita (t)
Perturbados Perturbados
CONDICIONAMIENTO DEL PROBLEMA
FinitoCONDICIONAMIENTO DEL ALGORITMO
Finita (2t)
FinitoFinita (t)
Medios Perturbados