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AritméticaNúmeros fraccionarios
AritméticaLibro del Maestro
José Luis Moreno ArandaGrupo Mathematiké, SA de CV
Libros ElectrónicosTodos los Derechos Reservados
2006
141Libro del Maestro
Concepto de fracción
Llamamos concepto de fracción a la unidad dividida en un número de partes que son iguales en cantidad, tamaño y forma.
La condición necesaria y suficiente para que un número de partes de una unidad sea fracción de la unidad es que todas sean homogéneas, es decir idénticas en can-tidad, tamaño y forma.
Figura 1.29 Fracciones homogéneas
Concepto de unidad de una fracción
La unidad de una fracción es la totalidad que dividimos en un número de partes. La unidad de una fracción puede ser simple o compuesta.
Llamamos unidad simple al número 1, a cualquier figura geométrica sin impor-tar su tamaño o forma, a cualquier unidad de medición.
Llamamos unidad compuesta a cualquier número natural mayor a 1, a cualquier número fraccionario, a cualquier conjunto formado de una unidad de medición, a cualquier conjunto de figuras geométricas iguales, objetos o personas.
Números FraccionariosPrimer Nivel
Medios, tercios y cuartos
142 Números Fraccionarios
Figura 1.30 Unidad de una fracción
Unidad simple Unidad compuesta
Medios, tercios y cuartos
Las fracciones básicas que el niño, utilizando sus sentidos, debe entender, demos-trar y desarrollar la habilidad para identificarlas y crearlas son: medios, tercios y cuartos.
La representación simbólica, es decir, la notación matemática de una fracción, significa el número de partes que tomamos, del número total de partes en las cuales se ha dividido la unidad.
Figura 1.31 Fracciones básicas y su notación
1 1 112
13
13
13
1212
12
14
14
14
14
A cada mitad le llamamosun medio, una de dos partes,
que se representa como:
13
A cada tercera parte le llamamosun tercio, una de tres partes,
que se representa como:
14
A cada cuarta parte le llamamosun cuarto, una de cuatro partes,
que se representa como:unidadnúmero de partes
unidadnúmero de partes
unidadnúmero de partes
un medio un tercio un cuarto
No importa la forma en la cual dividamos la unidad para formar una fracción, ya que la única condición es que las partes sean iguales.
143Libro del Maestro
Figura 1.32 Diferentes formas de las fracciones básicas
12
12
12
12 1
212
12
12
12
12
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13 1
313
13
14
14
14
14
14
14
14
14 1
414
14
14
14
14
141
414
14
14
14
Rompecabezas de fracciones básicasMaterial didáctico complemento del libro de texto de primer año
El uso de los tres rompecabezas de fracciones básicas permite a los estudiantes entender y demostrar el concepto de fracción, así como desarrollar su ingenio e imaginación:
Figura 1.33 Rompecabezas de fracciones básicas
12
12
12
12
13
13
13
14
1 4
14
14
14
14 1
4
14
1 2
12
13
13
14
14
14
14
14 1
4
1 4
12
14
1 2
13
144 Números Fraccionarios
Juego de fracciones. Medios, tercios, cuartosMaterial didáctico. Juegos de primer nivel
Este paquete de material didáctico ha sido diseñado para que el estudiante se fami-liarice con el concepto de fracción y entienda y demuestre las fracciones un medio, un tercio y un cuarto.
Las instrucciones para utilizar el material como juego de fracciones se encuen-tran al final de este libro.
Figura 1.34 Juego de fracciones básicas
141
4
14
14
14
1 4
14
1 2
1
13
13
1
11
2
13
13
13
13
14
14
14
14
12
13
145Libro del Maestro
Unidad de una fracción
Recordemos que la condición necesaria y suficiente para que al dividir lo que he-mos definido como unidad forme fracciones, es que todas las partes en la cual se divide sean iguales en cantidad, forma y tamaño.
La principal dificultad que los estudiantes tienen al estudiar el concepto de frac-ción, es no tener muy claro cuál es la unidad que genera las fracciones. Debemos estar seguros que antes de iniciar el estudio de una fracción, hayamos definido claramente a la unidad.
La unidad puede ser simple o compuesta y se define como:
• Un número que no necesariamente debe ser 1.• Un conjunto de objetos.• Cualquier figura geométrica o conjunto de figuras geométricas sin importar su
tamaño o forma.• Una unidad de medición que puede ser diferente de 1.
Quintos, sextos, séptimos y octavos
Para permitir a los estudiantes utilizar sus sentidos, y de esta manera entender y de-mostrar que lo entendido es cierto, utilizamos figuras geométricas conocidas como unidad de las fracciones.
Números FraccionariosSegundo Nivel
Quintos, sextos, séptimos y octavos
146 Números Fraccionarios
Figura 2.35 Quintos, sextos, séptimos y octavos
15
15 1
5
15
15
16
16
16
16
16
16
17
17
17
17
17
17
17 1
8
18
18 1
8181
818
18
15
16
17
unidadnúmero de partes
unidadnúmero de partes
unidadnúmero de partes
un quinto un sexto un séptimo
18
unidadnúmero de partesun octavo
Rompecabezas de fraccionesMaterial didáctico complemento del libro de texto de segundo año
Figura 2.36 Rompecabezas de fracciones
15
16
16
16
16
16
16
18
1 8
18
18
18
18
1 8
18
1 5
15
15
15
15
1 7
17
17
17
17
17
17
15
15
15
15
1 6
16
1 6
16
16
16
17
17
17
1 7
17
17
171
8
18
18
18
18 18
18
18
13
13
13
161 6
16
16
16
16
15
15
15
15
1 5
16
16
1 6
16
16
131
3
13
15
15
15
15
15
16
147Libro del Maestro
Juego de fracciones. Quintos, sextos, séptimos y octavosMaterial didáctico. Juegos de segundo nivel
Este juego tiene como objetivo, que los estudiantes, utilizando sus sentidos e ima-ginación, entiendan y demuestren el concepto de unidad de una fracción, así como también las fracciones: quintos, sextos, séptimos y octavos.
Las instrucciones para utilizar el material como juego de fracciones se encuen-tran al final de este libro.
Figura 2.37 Juego de fracciones
15
15
15
15
16
16
16
1 6
1 6
16
1616
16
17
17
17
1 7
17
17
17
171
7
17
17
17
1 81 8
18
18
18
18
18
18
1
1
1
1 181
6
17
Fracciones de metro
De igual manera que fraccionamos una figura geométrica, también podemos hacer-lo con el metro.
En el caso del metro, la unidad puede ser simple o compuesta.
Unidad simple1 metro = 1 m
Unidad compuesta10 decímetros = 10 dm100 centímetros = 100 cm
148 Números Fraccionarios
Figura 2.38 Fracciones de metro
1 0centímetros1 decímetro
cm2 dm
0 21 2 3 4
56 7 8 9
centímetros cm1 2 3 4
56 7 8 9
3 0centímetros3 decímetros
cm4 dm
0 41 2 3 4
56 7 8 9
centímetros cm1 2 3 4
56 7 8 9
5 0centímetros5 decímetros
cm6 dm
0 61 2 3 4
56 7 8 9
centímetros cm1 2 3 4
56 7 8 9
7 0centímetros7 decímetros
cm8 dm
0 81 2 3 4
56 7 8 9
centímetros cm1 2 3 4
56 7 8 9
9 0centímetros9 decímetros
cm10 dm
0 101 2 3 4
56 7 8 9
centímetros cm1 2 3 4
56 7 8 9
15 m = 2 dm = 20 cm
25 m = 4 dm = 40 cm
12 m = 5 dm = 50 cm
35 m = 6 dm = 60 cm
45 m = 8 dm = 80 cm
55 m = 1 m = 10 dm = 100 cm
Fracciones de hora
Para fraccionar una hora también podemos utilizar como unidad, una simple o una compuesta.
Unidad simple1 hora = 1 hr
Unidad compuesta60 minutos = 60 min
Figura 2.39 Fracciones de hora
060
Mathematiké
1
121
2
3
45
67
8
9
1011
2 3 4 56
78
910
11121314151617
1819
2021
2223
242526272829303132333435
3637
3839
4041
424344
454647484950
5152
535455 56 57 5958
34
hora = 45 minutos
060
Mathematiké
1
121
2
3
45
67
8
9
1011
2 3 4 56
78
910
11121314151617
1819
2021
2223
242526272829303132333435
3637
3839
4041
424344
454647484950
5152
535455 56 57 5958
12
hora = 30 minutos
14
hora = 15 minutos
060
Mathematiké
1
121
2
3
45
67
8
9
1011
2 3 4 56
78
910
11121314151617
1819
2021
2223
242526272829303132333435
3637
3839
4041
424344454647484950
5152
535455 56 57 5958
149Libro del Maestro
Fracciones de minuto
De hecho, fraccionar una hora o un minuto resulta igual, ya que en ambos la unidad compuesta es 60.
Unidad simple1 minuto = 1 min
Unidad compuesta60 segundos = 60 seg
Figura 2.40 Fracciones de minuto
060
Mathematiké
1 2 3 4 56
78
910
11121314151617
1819
2021
2223
242526272829303132333435
3637
3839
4041
424344
454647484950
5152
535455 56 57 5958
34
minuto = 45 segundos
060
Mathematiké
1 2 3 4 56
78
910
11121314151617
1819
2021
2223
242526272829303132333435
3637
3839
4041
424344
454647484950
5152
535455 56 57 5958
12
minuto = 30 segundos
14
minuto = 15 segundos
060
Mathematiké
1 2 3 4 56
78
910
11121314151617
1819
2021
2223
242526272829303132333435
3637
3839
4041
424344454647484950
5152
535455 56 57 5958
150 Números Fraccionarios
Concepto de suma y resta de fracciones
Solamente las fracciones que son del mismo tamaño, es decir, que tienen el mismo denominador, se pueden sumar y restar.
Utilizando el material didáctico, complemento del libro de texto de tercer año, los niños deben entender y demostrar este concepto.
Suma y resta de fraccionesMaterial didáctico complemento del libro de texto de tercer año
Figura 3.53 Demostración del concepto de la suma de fracciones
1 81 8
18
18
18
18
18
1 81 8
18
18
18
18
18+
112
1121
12
1 121 12
112
112
112 1
12
112
1121
12
1 121 12
112
112 1
12
112= + =
3 48 8+ 3 4 7
8 8 8+ =
5 412 12
+ 5 4 912 12 12
+ =
Números FraccionariosTercer Nivel
Concepto de suma y resta de fraccionesClasificación de las fracciones
151Libro del Maestro
Clasificación de las fracciones
Los números fraccionarios o racionales es el conjunto de los números que se expre-san como el cociente de dos números enteros.
Los números fraccionarios se clasifican como:
1. Fracción simple. El numerado y el denominador son números enteros.2. Fracción compleja. El numerador y el denominador a su vez también son
fracciones.3. Fracción propia. El numerador es menor que el denominador.4. Fracción impropia. El numerador es mayor que el denominador.5. Fracción mixta. Un entero con una fracción propia.
Figura 3.54 Clasificación de las fracciones
35
Fracción simple
Fracción simple
15
15 1
5
15
15
16
16
16
16
16
16 2
6
Fracción compleja
3526
Fracción propiaUn entero
18
18
18 1
8181
818
18
88
18
18
18 1
8181
818
18
58
58
58
Fracción impropia138
Fracción mixta
FracciónEntero
138
= 1
= 1 + = 1
Notación de fracción mixta
Si al sumar dos fracciones el resultado es una fracción impropia –el numerador es mayor que el denominador–, es decir, el número de partes que obtenemos es mayor que la unidad, entonces formamos una unidad y utilizamos la notación mixta para expresar el resultado.
Con el material didáctico, complemento del libro de texto, hacemos la demos-tración como se muestra en la figura 3.54.
152 Números Fraccionarios
Notación de fracción mixtaMaterial didáctico complemento del libro de texto de tercer año
Figura 3.55 Demostración de la notación de fracción mixta
116
1161
16116
1 161 16
1 16
116
116
116 1
16
116
116
116116
116
116
116
116 1
16
116
116
116116
116
116
1161
16116
1 161 16
1 16
116
116
116 1
16
116
116
1161
16116
1 161 16
1 16
+ = +
13 916 16
+ 13 9 22 16 6 6 61 116 16 16 16 16 16 16
+ = = + = + =
En matemáticas siempre utilizamos la notación más compacta posible, por eso al expresar una fracción en notación mixta no usamos el símbolo de más, sin embar-go, sabemos que es una suma.
Figura 3.56 En la notación de fracción mixta no usamos el símbolo de más
121 2
141
4
14 1
4
12+1
4
14 1
4+
2 1 1 11 12 2 2 2+ = + =
4 3 3 31 14 4 4 4+ = + =
Procedimiento para expresar fracciones impropias en notación de fracción mixta
El denominador indica el número de partes en las cuales la unidad ha sido dividida, por lo cual, cuando el numerador y el denominador son iguales, sabemos que la fracción representa la unidad.
Expresar una fracción impropia en notación mixta, consiste en representar la fracción como una suma de dos fracciones, una de las cuales representa una o varias unidades, y la otra es una fracción propia, es decir, el numerador es menor que el denominador.
153Libro del Maestro
Figura 3.57 Fracción impropia expresada en notación mixta
18
18
18 1
8181
818
18
18
18
18 1
8181
8
18181
8
18181
818
18
18
18
18 1
8181
818
18
18
18
18 1
8181
818
18
112
112
112
1121
12
1 121 12
112
112
112 1
12
112
112
112
112
1121
12
1 121 12
112
112
112 1
12112
112
112
112 1
12
112
112
112
112 1
12
112
Fracción impropia
Fracción propia
Fracción mixta
1 unidad
Entero1212
512
512
512
1712 = + = 1 + = 1
= +
= +
Fracción impropia
Fracción propia
Fracción mixta
2 unidades
Entero168
38
38
38
198 = + = 2 + = 2
Suma y resta de fracciones con diferente denominador. Común denominador
Cuando las fracciones son de diferente tamaño, es decir, tienen diferentes denomi-nadores, no se pueden sumar o restar.
Para sumar o restar fracciones que no tienen el mismo tamaño –el mismo deno-minador– primero debemos hacerlas del mismo tamaño –común denominador– y después efectuar la suma o resta.
Los alumnos deben entender y demostrar la suma y resta de fracciones con dife-rente denominador. El material didáctico, complemento del libro de texto de tercer año de primaria, nos permite hacer estas demostraciones, en forma sencilla.
154 Números Fraccionarios
Suma y resta de fracciones con diferente denominadorMaterial didáctico complemento del libro de texto de tercer año
Figura 3.58 Demostración de la suma de fracciones con diferente denominador
1 21
4
14
14
14
141
4+ =
14
+ =
1 12 4+ 1 1 2 1
2 4 4 4+ = +
2 1 34 4 4+ =
Fracciones del mismo tamañoComún denominador
Fracciones del mismo tamañoComún denominador
14
14 1
4
112
112
112
1121
12
1 121 12
112
112
112 1
12
112
1121
12
1 121 12
112
112
112 1
12
112
112
112
112
112
112
112
112
112
112
112
+ = +1
12
112
= +
3 54 12+ 3 5 9 5
4 12 12 12+ = +
9 5 14 12 2 2112 12 12 12 12 12
+ = = + =
Usando el material didáctico, complemento del libro de texto de tercer año, así como también, el juego de fracciones de tercer nivel, los estudiantes deben desarro-llar la habilidad para hacer sumas de fracciones sencillas mentalmente.
Al desarrollar la habilidad para efectuar sumas de fracciones mentalmente, el alumno va descubriendo, que hacer las fracciones del mismo tamaño –calcular el común denominador–, es equivalente a multiplicar el numerador y el denominador por la misma cantidad.
1 1 1 2 1 2 1 32 4 2 2 4 4 4 4
3 5 3 3 5 9 5 14 12 2 214 12 4 3 12 12 12 12 12 12 12
×+ = + = + =
××
+ = + = + = = + =×
155Libro del Maestro
Fracciones equivalentes
Cuando multiplicamos el numerador y el denominador por la misma cantidad, for-mamos fracciones equivalente, es decir, que representan la misma porción de la unidad.
Figura 3.59 Fracciones equivalentes1 2
18
1 81 8
18
= =
141
4
14
116116
116
116
1161
16
116
1 161 16
1 16
116
116
1 1 4 42 2 4 8
×= =
×3 3 4 124 4 4 16
×= =
×
Simplificación de fracciones
Simplificar fracciones significa generar fracciones equivalentes al aplicar la opera-ción inversa de la multiplicación, es decir, se divide el numerador y el denominador por el mismo número diferente de cero.
Figura 3.60 Simplificar fracciones genera fracciones equivalentes
816
=
Ocho de dieciséis
48
=
Cuatro de ocho
24
=
Dos de cuatro
12
Uno de dos
816
=
82162
= 48
816
= 48
4
8
48
= 12
2
42
1
→ →Mentalmente efectuamos la divisióndel numerador y el denominadorpor el mismo número
Dividimos el numerador y el denominador por el mismo número para simplificar las fracciones u obtener las fracciones equivalentes.
156 Números Fraccionarios
Algoritmo para sumar y restar fracciones
Es importante recordar que sólo las fracciones que tienen el mismo tamaño, se pue-den sumar y restar, es decir, son aquellas que tienen el mismo denominador.
El algoritmo para sumar y restar fracciones se desarrolla de dos formas:
1. Método rápido2. Método tradicional
Método rápido
El método que llamamos rápido para sumar o restar fracciones, consiste en multi-plicar el numerador y el denominador de una o varias fracciones por la misma can-tidad, con el objeto de hacer todas las fracciones del mismo tamaño, es decir, que todas tengan un común denominador, y después sumar o restar los numeradores.
El método tradicional lo explicaremos en el siguiente nivel de abstracción.
Números FraccionariosTercer Nivel
El algoritmo de la suma y resta de fracciones
157Libro del Maestro
Procedimiento para sumar y restar fracciones utilizando el método rápido
Efectuar sumas y restas usando el método rápido consiste de cuatro pasos:
1. Encontrar el mínimo común denominador.2. Multiplicar el numerador y el denominador por la cantidad adecuada para que
todas las fracciones tengan el mismo denominador.3. Sumar y restar los numeradores.4. Si es posible expresar el resultado en notación mixta y simplificar.
Figura 3.61 Método rápido para sumar o restar fracciones
3 9 5 3 2 9 5 4 6 9 20 35 32 3 3 32 28 16 4 8 2 16 4 4 16 16 16 16 16 16 16 16
× ×+ + = + + = + + = = + = + =
× ×
2 3 2 2 3 4 3 75 10 5 2 10 10 10 10
×+ = + = + =
×3 5 3 3 5 9 5 44 12 4 3 12 12 12 12
×− = − = − =
×
multiplicamos el numeradory el denominador
multiplicamos el numeradory el denominador
sumamos losnumeradores
multiplicamos el numeradory el denominador
sumamos losnumeradores
restamos losnumeradores
22
Pasos para crear el algoritmo de la suma y resta de fracciones
Tercer nivel de abstracción1. Utilizando imágenes visuales de las fracciones, calcular mentalmente el común
denominador, sumar o restar las fracciones usando el método rápido, y si es posible, el resultado se expresa en notación mixta. Por último, se simplifica.
2. Utilizando notación de fracción, calcular mentalmente el común denominador, sumar o restar las fracciones usando el método rápido, y si es posible, el resul-tado se expresa en notación mixta. Por último, se simplifica.
Cuarto nivel de abstracción3. Utilizando notación de fracción, calcular mentalmente el común denominador,
sumar o restar las fracciones usando el método tradicional, y si es posible, el resultado se expresa en notación mixta. Por último, se simplifica.
Quinto nivel de abstracción4. Calcular el mínimo común denominador aplicando el teorema fundamental de
la aritmética.5. Sumar o restar fracciones utilizando tanto el método rápido como el tradicio-
nal. Se aplica el teorema fundamental de la aritmética para calcular el mínimo común denominador, y si es posible, el resultado se expresa en notación mixta y se simplifica.
158 Números Fraccionarios
El algoritmo de la suma y resta de fracciones. Primer paso
Utilizando imágenes visuales de las fracciones, calcular mentalmente el común denominador, sumar o restar las fracciones usando el método rápido, y si es posible, el resultado se expresa en notación mixta. Por último, se simplifica.El material didáctico, complemento del libro de texto de tercer año de primaria, y el juego de fracciones de tercer nivel, han sido diseñados para que los estudiantes, utilizando imágenes visuales, entiendan, demuestren y desarrollen la habilidad para sumar y restar fracciones sencillas.
Mediante el uso de esta estrategia pedagógica, permite que los conceptos estu-diados sean un conocimiento significativo.
Juego de suma de fraccionesMaterial didáctico. Juegos de tercer nivel
Este juego ha sido diseñado para que los alumnos, mediante el uso de sus sentidos, entiendan y demuestren los conceptos de: fracción, suma de fracciones, común denominador y fracciones equivalentes, así como también, desarrollen la habilidad para aplicarlos.
La estrategia pedagógica consiste en permitirles a los estudiantes que formen imágenes de las fracciones en su mente, para que el conocimiento sea significati-vo.
Las instrucciones para utilizar el material como juego de suma de fracciones y como cartas flash se encuentran al final de este libro.
159Libro del Maestro
Figura 3.62 Juego de suma de fracciones
23
3 12
+
56
112
+
214
37
+
533
4
37
32
76
713
816
82
1616
1616
×
+=
+=
+=
×
51
3
4
15
12
52
57
816
82
1616
1616
×+
=+
=+
=
×
52
3
4
17
17
21
1415
168
168
216
1616
×+
=+
=+
=×
41
34
5
232322684
14714721414147 ×+=+=+==
×
37
58
316
+
18
516
+
116
78
+
38
716
+
49
3
4
5352310313
8168216161616
×+
=+
=+
=
×
50
3 4 5
23
23
42
1214
7
164
164
416
1616
8
×
+=
+
=+
==
×
1
2 3
54
Respu
estasincorre
ct
as
516
14
+
216
34
+
314
47
+
42
3
4
3 4 3 4 2 3 8 1114 7 14 7 2 14 14 14
×+ = + = + =
×
112
34
+38
3
4
5
1 3 1 3 3 1 9 10 512 4 12 4 3 12 12 12 6
×+ = + = + = =
×
El algoritmo de la suma y resta de fracciones. Segundo paso
Utilizando notación de fracción, calcular mentalmente el común denominador, sumar o restar las fracciones usando el método rápido, y si es posible, el resul-tado se expresa en notación mixta. Por último, se simplifica.De manera mental calculamos el mínimo común denominador (mcd) y para hacer que todos los denominadores de las fracciones que queremos sumar o restar sean el mcd, multiplicamos y dividimos el numerador y denominador por el mismo nú-mero.
Figura 3. 63 Suma y resta de fracciones utilizando el método rápido
7 3 7 3 3 7 9 16 4 3 1 1 11 112 4 12 4 3 12 12 12 3 3 3 3 3
×+ = + = + = = = + = + =
×
2 5 2 2 5 3 4 15 19 18 1 1 13 33 2 3 2 2 3 6 6 6 6 6 6 6
× ×+ = + = + = = + = + =
× ×
9 9 9 2 9 18 9 97 14 7 2 14 14 14 14
×− = − = − =
×4 3 4 3 3 4 9 13
15 5 15 5 3 15 15 15×
+ = + = + =×
22
22
33
33
33
160 Números Fraccionarios
El algoritmo de la suma y resta de fracciones. Tercer paso
Utilizando notación de fracción, calcular mentalmente el común denominador, sumar o restar las fracciones usando el método tradicional, y si es posible, el resultado se expresa en notación mixta. Por último, se simplificaEl método tradicional es una aplicación del método corto, que permite efectuar las sumas y restas utilizando únicamente una raya de quebrado.
Efectuar sumas y restas de números fraccionarios usando este método requiere de cuatro pasos:
1. Encontrar el mínimo común denominador.2. Dividir el mínimo común denominador entre cada uno de los denominado-
res y el resultado multiplicarlo por el numerador.3. Sumar o restar los numeradores.4. Si es posible expresar el resultado en notación mixta y simplificar.
Figura 4.81 Método tradicional para sumar y restar fracciones
25
34
710
4×2 + 5×3 + 2×7+ + = = = = 1208 + 15 + 14
203720
1720
205
204
2010
45
2
Números FraccionariosCuarto Nivel
El algoritmo de la suma y resta de fracciones
161Libro del Maestro
Figura 4.82 Método tradicional para sumar y restar fracciones
615
910
1730
9×3 + 17×1 − 6×230
27 + 17 − 1230+ − = = = = = + = 1 + = 144 − 12
303230
230
115
115
3030
3010
3030
3015
31
2
57
928
5×4 − 9×128
20 − 928− = = = 11
28287
2828
41
Juego de suma de fraccionesMaterial didáctico. Juegos de cuarto nivel
Este paquete de material didáctico ha sido diseñado para que el estudiante, utili-zando sus sentidos, entienda, demuestre y desarrolle la habilidad para aplicar los conceptos de: fracción, fracción equivalente, suma de fracciones con diferente de-nominador y fracciones mixtas. Consiste de dos estrategias pedagógicas que deben utilizarse de acuerdo a la siguiente secuencia:1. El juego de lotería usando las barajas y los tableros para que el estudiante se
familiarice con el concepto de fracción y la suma de fracciones con denomina-dores diferentes.
2. La suma de fracciones cuando los denominadores son diferentes utilizando so-lamente las barajas para que el alumno entienda y demuestre los conceptos de suma de fracciones con diferentes denominadores, fracciones equivalentes y fracciones mixtas.Las instrucciones para utilizar el material como juego de multiplicaciones y
como cartas flash se encuentran al final de este libro.
162 Números Fraccionarios
Figura 4.83 Juego de suma de fracciones
12
3
86
1618
3417
2416
4848
4824
+=
+=
=
59
12
34
129
2427
513
1
11
241648
4848
4816
+=
+=
==
63
1
2
53
109
1918
1236
3636
+=
+=
61
12
34
24
67
189
1818
3612
1
11
2412
2424
2424
2
189
33
62
1
11
2412
44
44
2+
=+
==
=
+=
+=
==
54
2356
+
49
23 +
312
23+
13715
+
101523
+
1456
+46
24+
3438
+2
6
34
+
361218
+
5916
18+
812824
+
1824
912+
3206
15+
824
616+
1424 1216+
912
1024
+
12
13+
1
2
1 1 3 2 52 3 6 6 6+ = + =
1
23
12+
1
2
3
2 1 4 3 7 113 2 6 6 6 6+ = + = =
5
13
24+
1
2
3
1 2 4 6 10 53 4 12 12 12 6+ = + = =
9
14
13+
1
2
1 1 3 4 74 3 12 12 12+ = + =
13
1
2
3
4
25
45
93
11
13
66
66
62
+=
+=
==
6
12
3
42461011
939999 +=+==
10
123
4
24
6
28
88
164
1
11
312
1212
1212
3
28
22
411
312
33
33
+=
+=
==
+=
+=
=
14
1234246
212
1212
246
11
1
318
1818
1818
3
212
22
41
1
318
33
33
+=
+=
=
=
+=
+=
=
15
1
2
3
15
310
131
14
612
1212
12+
=+
==
4
1234 42
86
142
1
1
1
64
1212
1212
6
+=
+=
=
=
8
12
3
33
63
911
48
88
88
+=
+=
=
12
1
2
3
23
49
131
16
412
1212
12
+=
+=
=
16
412
718+
1
2
3
4 7 12 14 26 1312 18 36 36 36 18
+ = + = =
57
1
2
3
2
4
6
88
168
241
1224
2424
24
88
21
31
1224
33
3
+=
+=
=
+=
+=
=
50
215
120+
1
2
2 1 8 3 1115 20 60 60 60
+ = + =
58
1
2
3
36
924
3311
2015
6060
6020
+=
+=
=
62
316
924+
1
2
3
3 9 9 18 27 916 24 48 48 48 16
+ = + = =
55
1
2
34
246
168
1616
328
11
1
2412
2424
2424
316
82
24
11
2412
33
33
+=
+=
==
+=
+=
=
64
Respu
estasincorre
ct
as
1
2 3
76
54
23
1218+
23
812 +
518312
+1624
812+
1224916
+
816
1224+
34
23+12
151620+
163Libro del Maestro
El algoritmo de la suma y resta de fracciones. Cuarto paso
Calcular el mínimo común denominador aplicando el teorema fundamental de la aritméticaEl teorema fundamental de la aritmética establece que todos los números no primos se obtienen de la multiplicación de números primos. Por lo tanto, si descompone-mos un número en los factores –números primos– que lo forman, es posible cono-cer todos los números que lo dividen en forma exacta, los cuales son:
1. Cada uno de los números primos que lo forman.2. El producto de todas las posibles combinaciones de estos números primos.
Tomamos los números 6, 8, 12, 18, 36 y 72 para demostrar que se dividen en forma exacta entre sus factores primos y todas las posibles combinaciones de ellos. Esto se muestra en la tabla 5.5
Números FraccionariosQuinto Nivel
El algoritmo de la suma y resta de fracciones
164 Números Fraccionarios
Tabla 5.5 Los factores primos y sus posibles combinaciones
6 2 3 62
3 63
2 66
1
8 2 2 2 82
4 8
= × → = → = → =
= × × → = →
1 vez 1 vez
3 veces
442 8
81
12 2 2 3 122
6 123
4 124
3 126
2 12
= → =
= × × → = → = → = → = →2 veces 1 vez 112
1
18 2 3 3 182
9 183
6 186
3 189
2 1818
1
=
= × × → = → = → = → = → =1 vez 2 veces
336 2 2 3 3 362
18 363
12 364
9 366
6 369
= × × × → = → = → = → = → =2 veces 2 veces
44
3612
3 3618
2 3636
1
72 2 2 2 3 3 72
→ = → = → =
= × × × × →3 veces 2 veces
2236 72
324 72
418 72
612 72
89 72
98
7212
6 7218
4 7224
= → = → = → = → = → =
→ = → = → = 33 7236
2 7272
1→ = → =
Definición de mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo, mcm, de un conjunto de número enteros, es el número entero más pequeño que se divide en forma exacta entre todos los elementos del conjunto.
Al estudiar con detenimiento la tabla anterior, nos damos cuenta que el mínimo común múltiplo de 6, 8, 12, 18, 36 y 72 es 72 porque los primos que lo forman, 3 veces 2 y 2 veces 3, también componen a los demás números, lo que hace que todos ellos dividan en forma exacta a 72.
En la figura 5.27 se muestra el procedimiento para descomponer en sus factores primos los números 9, 12, 18 y 24.
Figura 5.32 Procedimiento para descomponer números en sus factores primos
931
33
2 veces12631
223
2 veces18931
233
2 veces
2412631
2223
3 veces
Los factores primos comunes a 9, 12, 18 y 24 son 2 y 3. Creamos un número que contenga 3 veces el 2 y 2 veces el 3. Este número es el mínimo común múltiple porque es divisible entre 9, 12, 18 y 24, ya que está formado de los factores primos de estos números. Este procedimiento se muestra en la figura 5.28.
165Libro del Maestro
Figura 5.33 Procedimiento para calcular el mínimo común múltiplo
9 = 3 × 3 12 = 2 × 2 × 3 18 = 2 × 3 × 3 24 = 2 × 2 × 2 × 3
2 veces2 veces
2 veces
2 veces
mcm = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 72
3 veces
3 veces
Comprobamos que 72 es el mínimo común múltiplo porque se divide en forma exacta entre 9, 12, 18 y 24.
729
8 7212
6 7218
4 7224
3= = = =
Algoritmo para encontrar el mínimo común múltiplo
El algoritmo para encontrar el mínimo común múltiplo aplicando el teorema funda-mental de la aritmética, consiste en determinar los factores primos que son comu-nes a todos los números.
Este procedimiento consta de cinco pasos:1. Descomponer los números en sus factores primos.2. Si alguno de los factores primos se repite en el mismo número, se cuenta la
cantidad de veces que lo hace.3. De los factores primos que no se repiten en ninguno de los números, se elige un
representante de cada uno de ellos.4. De los factores primos que sí se repiten –paso 2– escogemos el grupo que apa-
rece más veces.5. El mínimo común múltiplo –mcm– es el producto de los factores primos selec-
cionados.
Figura 5.34 Algoritmo para encontrar el mínimo común múltiplo
421
22
2 veces12631
223
2 veces1 vez1 vez
1 vez
1 vez
1 vez
1 vez1 vez 1 vez
1 vez
1551
35
2 veces201051
225
4 = 2 × 2 12 = 2 × 2 × 3 15 = 3 × 5 20 = 2 × 2 × 5
2 veces 2 veces
2 veces
2 veces
mcm = 2 × 2 × 3 × 5 = 60
166 Números Fraccionarios
Comprobamos que 60 es el mínimo común múltiplo porque se divide en forma exacta entre 4, 12, 15 y 20.
604
15 6012
5 6015
4 6020
3= = = =
Definición de mínimo común denominador
El mínimo común denominador, mcd, es el mínimo común múltiplo –mcm– de los denominadores de una suma o resta de fracciones.
El algoritmo de la suma y resta de fracciones. Quinto paso
Sumar o restar fracciones utilizando tanto el método rápido como el tradicio-nal. Se aplica el teorema fundamental de la aritmética para calcular el mínimo común denominador, y si es posible, el resultado se expresa en notación mixta y se simplifica.
Figura 5.35 Suma y resta de fracciones utilizando el método rápido
8421
222
3 veces931
33
2 veces168421
2222
3 veces4 veces
2412631
2223
4 veces 2 veces
mcm = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 144
7 19 5 3F16 24 9 8
= + + −
716
1924
59
38
+ + −F =7 × 916 × 9=
63144=
19 × 624 × 6+
5 × 169 × 16+ +
114144 +
80144 −
54144
3 × 188 × 18−
F =257144 −
54144 +
59144 = 1 +
59144
59144=
203144 =
144144
= 1
167Libro del Maestro
Figura 5.36 Suma y resta de fracciones utilizando el método tradicional
31
3 1 vez 1 vez 1 vez 1 vez1 vez1 vez1 vez
1051
25
1551
35
2171
37
1 vez
mcm = 2 × 3 × 5 × 7 = 210
11 5 10 8F10 3 21 15
= + + −
1110
53
1021
815
+ + −F =11 × 21 + 5 × 70 + 10 × 10 − 8 × 14
210=231 +350 +100 − 112
210=
F =681 − 112
210569210 +
149210 = 2 +
149210
149210=
420210
= 2=
168 Números Fraccionarios
Juego de suma y resta de fraccionesMaterial didáctico. Juegos de quinto nivel
Este paquete de material didáctico ha sido diseñado para que el estudiante, median-te el uso de sus sentidos, entienda, demuestre y desarrolle la habilidad para utilizar dos conceptos: el de la suma y resta de fracciones y el del mínimo común denomi-nador. También ayuda al alumno a desarrollar la habilidad para realizar mentalmen-te sumas y restas de fracciones.
Los alumnos deben calcular el mínimo común denominador mentalmente y realizar las sumas y restas de fracciones utilizando el método rápido.
Las respuestas pueden ser simplificadas y/o expresadas en forma de notación mixta, por lo cual el participante también practica y desarrolla la habilidad para hacer multiplicaciones y divisiones mentalmente.
Figura 5.37 Juego de suma y resta de fracciones
1
2
2 110 5
=
1
2
10 514 7
=
1
3
4
5
28 4 2 11 1 124 24 12 6
= = =
1
2
3
4 2 124 12 6
= =
1
2
3 16 2=
1
3
4
22 4 21 118 18 9
= =
1
3
4
27 6 21 121 21 7
= =
1
2
3
6 3 118 9 3
= =
Respu
estasincorre
ct
as
1
2 3
54
34
524+
12
721+
12
314+
12
314+
79
318+
15
620+
814
12−
710
12− 2
446+ 22
2434−
59
1218+ 2
316− 3
71821+ 12
1826−
920 76 109
43188 154 135
169Libro del Maestro
Concepto de la multiplicación de fracciones
Cuando estudiamos el concepto de la multiplicación, demostramos que multiplicar dos números enteros es equivalente a sumar en forma rápida el área de un rectán-gulo. Así, creamos las tablas de multiplicar y posteriormente desarrollamos, paso a paso, el algoritmo que nos permite multiplicar dos números sin importar la cantidad de cifras que los componen.
Figura 5.38 Concepto de la multiplicación de números enteros
Área = 20 u2 = 20 cuadritos
5 × 4 = 204 × 5 = 20
5
1u2 1u2 1u2 1u2 1u2
1u2 1u2 1u2 1u2 1u2
1u2 1u2 1u2 1u2 1u2
1u2 1u2 1u2 1u2 1u2
1 1 1 1 11
1
1
1
4
Un rectángulo cuya base mide 5 unidades lineales y su altura 4 unidades lineales, tiene un área de 20 unidades cuadradas, es decir 20 cuadritos.
Números FraccionariosQuinto Nivel
Multiplicación y división de fracciones
170 Números Fraccionarios
Multiplicar números fraccionarios consiste en sumar en forma rápida las frac-ciones de área que forman un cuadrado o un rectángulo. La diferencia con la mul-tiplicación de números enteros consiste en que tomamos 1 u2.
Figura 5.39 Tomar 1 u2
5
1u2 1u2 1u2 1u2 1u2
1u2 1u2 1u2 1u2 1u2
1u2 1u2 1u2 1u2 1u2
1u2 1u2 1u2 1u2 1u2
1 1 1 1 11
1
1
1
4
1
11u2
Fraccionamos la base y la altura de 1 u2 para formar fracciones de área.
Figura 5.40 Fraccionar la base y la altura de 1 u2 en 5 partes
Área Total = 1 u2 = 1 cuadrito
1
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
1
Al igual que multiplicar números enteros, multiplicar geométricamente fracciones consiste en sumar el área formada por la base y la altura que se especifican.
171Libro del Maestro
Figura 5.41 Multiplicación de fracciones
1225
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
Área formada por es:
Por lo tanto:
De donde probamos que:
y15
15
15
45
35
× = 45
35
15
15
15
15
45
35
+125
+125
+125
+125
+125
+
125
+125
+125
+125
+125
+125
1225
1225
× = 45
35
=
4 × 3 = 12
5 × 5 = 25
×45
35
Multiplicar geométricamente
Figura 5.42 Multiplicación de fracciones
3556
Área formada por es:
Por lo tanto:
De donde probamos que:
y
17
17
17
17
17
57
18
18
18
18
18
18
18
78
57
78
× = 57
78
3556
3556
× = 57
78
5 × 7 = 35
7 × 8 = 56
1
1
156
156
156
156
156
156
156
156
156
156
156
156
156
156
156
156
156
156
156
156
156
156
156
156
156
156
156
156
156
156
156
156
156
156
156
×57
78
Multiplicar geométricamente
172 Números Fraccionarios
Algoritmo para la multiplicación de fracciones
El algoritmo para la multiplicación de fracciones es muy sencillo, ya que como se demostró geométricamente, simplemente multiplicamos los numeradores y los denominadores.
Figura 5.43 Algoritmo para la multiplicación
711
35× 21
55=Numerador
Denominador
7 × 3 = 21
11 × 5 = 55
Notación de la división de fracciones
La división de fracciones puede expresarse de dos formas diferentes:
1. Utilizando notación de fracción, es decir, haciendo una fracción de fracciones.2. Utilizando el símbolo de división.
Al utilizar la notación de fracción, los estudiantes deben poner claramente la raya de quebrado principal para evitar confusiones.
Figura 5.44 División de fracciones en notación de fracción
3479
1182315
Raya de quebrado principalNumerador Dividendo
Denominador Divisor
La división de fracciones también se indica utilizando el símbolo de división.
Figura 5.45 División de fracciones con símbolo de división
34 3
479
79
118 11
82315
2315
÷
Numerador
Denominador
Dividendo
Divisor
÷
173Libro del Maestro
Concepto de la división de números enteros
La interpretación geométrica de la división de números enteros se puede abordar desde dos maneras que son equivalentes.
1. La primera consiste en considerar el denominador como el número de áreas en las que dividimos el área total. Dividir 30 entre 5 y obtener como resultado 6, significa que tenemos un área de 30 cuadritos y la dividimos en 5 áreas de igual tamaño, de 6 cuadritos cada una, como se muestra en la figura 5.40.
Figura 5.46 Primera interpretación de la división geométrica de números enteros
305
Área = 30 cuadritos 5 áreas de 6 cuadritoscada una
= 6
Área total
Número deáreas formadas
Tamaño de cada una delas áreas formadas
2. La segunda manera consiste en considerar el denominador como el tamaño de las nuevas áreas que formamos al dividir el área total. Dividir 30 entre 5 y ob-tener como resultado 6, significa que tenemos un área de 30 cuadritos y forma-mos 6 áreas de 5 cuadritos cada una, como se muestra en la figura 5.41.
Figura 5.47 Segunda interpretación de la división geométrica de números enteros
305
= 6
Área = 30 cuadritos 6 áreas de 5 cuadritoscada una
Área totalNúmero de
áreas formadasTamaño de cada unade las áreas formadas
Para estudiar el concepto de la división de fracciones, y demostrar el algoritmo, utilizamos la segunda interpretación.
174 Números Fraccionarios
Concepto de la división de fracciones
La división es la operación inversa de la multiplicación. Multiplicar geométrica-mente consiste en sumar en forma rápida el área que forman las fracciones. Por lo tanto, utilizando la segunda interpretación de la división geométrica de números enteros, dividir geométricamente fracciones consiste en separar el área total que tenemos –dividendo– en conjuntos de fracciones de área de menor tamaño.
Figura 5.48 División geométrica de fracciones
225
Tamaño del área =
Número deáreas = 5
15
15
15
15
15
15
15
125
125
÷ = Dividir geométricamente
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
102510
25 225
225
1025
225
El área total es , la dividimos en áreas de tamaño
y formamos un total de 5 áreas
÷ = = 5
102510
25 225
= = = 5
10252
25
225
Área total
Tamaño de cada unade las áreas formadas
Número de áreas formadas
Extre
mos
Med
ios 10 × 25
25 × 225050
Efectuar la división de fracciones geométricamente, es equivalente a multiplicar los extremos de la fracción por lo medios.
175Libro del Maestro
Figura 5.49 División geométrica de fracciones
13
13
13
16
16
16
16
16
16
19
÷ = Dividir geométricamente
121812
18
218
218
19
19
1218
19
El área total es , la dividimos en áreas de tamaño =
y formamos un total de 6 áreas
÷ = = 6
121812
18 19
= = = 6
121819
19
Área total
Tamaño de cada unade las áreas formadas
Número de áreas formadas
Extre
mos
Med
ios 12 × 9
18 × 1122
Número deáreas = 6
Tamaño del área = =
118
118
118
118
118
118
118
118
118
118
118
118
118
118
118
118
118
118
118
118
118
118
118
118
Algoritmo para la división de fracciones
El algoritmo que utilizamos para dividir fracciones se aplica de dos formas:
1. Cuando la división está expresada como la división de dos fracciones.2. Cuando utilizamos el símbolo de la división.
176 Números Fraccionarios
Algoritmo para la división de fracciones utilizando notación de fracción
Al aplicar el concepto de la división, hemos demostrado geométricamente que di-vidir dos fracciones es equivalente a multiplicar los extremos –numerador del nu-merador y denominador del denominador– y dividirlos entre la multiplicación de los medios –denominador del numerador y numerador del denominador–, como se muestra en la figura 5.44.
Figura 5.50 División de fracciones utilizando notación de fracción
= = =
9124
10Extre
mos
Med
ios 9 × 10
12 × 49048
158= =
7538Ex
trem
osM
edio
s 7 × 85 × 3
5615
Demostración aritmética del algoritmo para la división de fracciones utilizando notación de fracción
La demostración aritmética se hace mediante la aplicación del concepto de las frac-ciones equivalentes, que también puede enunciarse como: al multiplicar el numera-dor y el denominador de una fracción por la misma cantidad diferente de cero crea-mos una fracción equivalente. Es decir, multiplicar el numerador y el denominador por la misma cantidad diferente de cero no altera la fracción.
Figura 5.51 Demostración aritmética de la división de fracciones usando notación de fracciones
= = = =
7538Ex
trem
osM
edio
s
7 × 5 × 85
3 × 5 × 88
7 × 81
3 × 51
7 × 83 × 5
5615
= = = =
2974Ex
trem
osM
edio
s
2 × 9 × 49
7 × 9 × 44
2 × 41
7 × 91
2 × 47 × 9
863
Algoritmo para la división de fracciones utilizando símbolo de divisiónLa ley de la tortilla
Al algoritmo que se utiliza para efectuar la división de fracciones cuando se emplea el símbolo de división, en México le llamamos la ley de la tortilla. Tiene este nom-bre porque para realizar la división es necesario voltear la fracción que está en el denominador, al igual que volteamos las tortillas al calentarlas.
Para hacer la demostración nos apoyamos en la división de fracciones utilizan-do notación de fracción.
177Libro del Maestro
Figura 5.52 Demostración de la división de fracciones usando el símbolo de división
= ÷ = × = =
7538Ex
trem
osM
edio
s 5615
Cambiamos el símbolode ÷ por el de ×
Volteamos el denominadoro divisor
38
75
75
7 × 85 × 3
863
2 × 49 × 7
83 = ÷ = × = =
2974Ex
trem
osM
edio
s
Cambiamos el símbolode ÷ por el de ×
Volteamos el denominadoro divisor
74
29
29
47
Hemos demostrado que cambiar el símbolo de división por el de multiplicación y voltear el denominador, es equivalente a multiplicar los extremos y dividirlos entre la multiplicación de los medios.
Multiplicación y división de fraccionesMaterial didáctico complemento del libro de texto de quinto año
Figura 5.53 Multiplicación y división de fracciones
112
1 18
19
19
1 9
1 9
19
141
4
1 4
1 4
136
136
1 36
1 361 36
1 36
1 36
16
16
1 61 6
1 6
16
112112
1 12
1 12
112
112
118
118
118
118
118
118
118
118
118
118
1 18
1 181
18
118
13
13
12
12
14
14
14
14
16
16
16
16
16
16
13
1 3 1 3
1 21 2
1 3
1 4 1 4 1 4 1 4
1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6
19
1 9
1 36
136
1 36 136
178 Números Fraccionarios
Juego de suma y resta de fraccionesMaterial didáctico. Juegos de sexto nivel
Este paquete de material didáctico ha sido diseñado para que el estudiante entienda y demuestre el concepto de mínimo común denominador así como también desa-rrolle la habilidad para realizar mentalmente sumas y restas de fracciones.
Este juego es un instrumento que también ayuda a los alumnos a practicar las tablas de multiplicar, de dividir y la simplificación de fracciones, así como la con-versión de una fracción a notación mixta y viceversa.
En este juego pueden participar de uno a cinco estudiantes. Se puede jugar en dos niveles diferentes de dificultad.
Las instrucciones para utilizar el material como juego de multiplicaciones y como cartas flash se encuentran al final de este libro.
Figura 6.38 Juego de suma y resta de fracciones
1
2 3
2 43 56 69
177 134 12594
Respu
estasincorre
ct
as
1
79
1
3
19 4115 15
=
1
724
1
310
1
3
65 23142 42
=
1
940
1
172
1
2
10 524 12
=
45
12−1
349+ 2
338−2
335+
78
56+
89
78−
19
58−
35
14−
14
16+ 5
825−5
657+
179Libro del Maestro
La caja de pandoraMaterial didáctico. Juegos de sexto nivel
Este paquete de material didáctico ha sido diseñado para que el estudiante entienda y demuestre el concepto de las operaciones básicas de números enteros y fraccio-narios y desarrolle la habilidad para realizarlas mentalmente.
Este juego es un instrumento que también ayuda a los alumnos a practicar las tablas de multiplicar, de dividir y la simplificación de fracciones, así como la con-versión de una fracción a notación mixta y viceversa.
En este juego pueden participar de uno a cuatro estudiantes. Las operaciones que aparecen en las cartas están clasificadas en cuatro grados de dificultad.
Las instrucciones para utilizar el material como juego de multiplicaciones y como cartas flash se encuentran al final de este libro.
Figura 6.39 La caja de pandora
0 1 2
3 4 5
6 7 8
9 10 11
3 Impar
2
1
14 − 9
321 = 74
46 × 8
355
1
44
1
7
1
25
25
+
40
1
2 2 45 5 5+ =
2
9 × 4
89
2
36
2824
616+
125
2
3
4
8 6 16 18 34 1724 16 48 48 48 24
+ = + = =
32224
34−
3
5× =30
157
3
6
31418
59−
177
3
4
4 218 9
=
4
8 34
209
4
6
2 14 48 4
+ =
434
48+ 5
4412
23−5
253
7
9
10
11
56 8 4 24 4 412 12 6 3
= = =