MÉTODO DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES

Miguel A. Sánchez Bravo

Introducción

� La estabilidad y el funcionamiento transitorio de unsistema está directamente relacionado con laubicación en el plano s de las raíces de la ecuacióncaracterística ó polos de lazo cerrado.

� Si los parámetros del sistema varían, las raíces de la� Si los parámetros del sistema varían, las raíces de laecuación característica también sufrirán variación ensu ubicación en el plano s. La gráfica deldesplazamiento de las raíces características en elplano s cuando cierto parámetro del sistema varía, sedenomina lugar geométrico de las raíces (LGR).

Introducción

� El método del LGR fue desarrollado por W.R.Evans(1948) , se trata de un método gráfico para dibujar elLGR sobre el plano s.

� El LGR permite conocer información acerca de lascaracterísticas de funcionamiento del sistema en lazocaracterísticas de funcionamiento del sistema en lazocerrado. En el diseño de sistemas, este métodopermite seleccionar el controlador adecuado y ajustaruno o más parámetros para obtener la ubicaciónnecesaria de las raíces características con la finalidadde cumplir con las especificaciones de funcionamientorequeridas.

Introducción

� Luego que el diseño se completa y todos losparámetros están fijados, pueden existir otrosparámetros de la planta que cambian o se alejan desus valores nominales. Por ejemplo, los componentesresistivos e inductivos de un sistema de potenciaresistivos e inductivos de un sistema de potenciaeléctrico varían al cambiar la carga. Para asegurar siel sistema opera de forma fiable bajo estascondiciones, es necesario analizar este efecto de loscambios de parámetros, mediante la técnica del lugargeométrico de las raíces.

Introducción

� El bosquejo del LGR se puede obtener con laaplicación de algunas reglas simples. Para trazarlo enforma exacta se puede emplear algún programa.

� Es importante conocer las bases del LGR, suspropiedades, así como la forma de interpretar lospropiedades, así como la forma de interpretar losgráficos para fines de análisis y diseño.

� Cuando más de un parámetro varía, el LGR resultantese denomina contorno de las raíces , los cualesposeen las mismas propiedades del LGR.

Condiciones Básicas del LGR

� Sea la ecuación característica de un sistema: q(s) = 1 + F(s) = 0 � F(s) = - 1

Como F(s) está en función de la variable s , que es compleja, es necesario que:

F(s) = 1 : Condición de magnitud ó de módulo F(s) = 1 : Condición de magnitud ó de módulo F(s) = 180º + 360ºk : Condición de ángulo

k = 0, ±1, ±2, …� Los valores de s que cumplen las condiciones de

ángulo y magnitud, son las raíces características delsistema ó polos de lazo cerrado.

Condiciones Básicas del LGR

� La condición de ángulo permite determinar lastrayectorias del LGR.

� Los valores del parámetro que varía se determinanmediante la condición de magnitud.

� En general : F(s) = KP(s) � En general : F(s) = KP(s) (s + z1)(s + z2)…(s + zm)

P(s) = -----------------------------------(s + p1)(s + p2)…(s + pn)

donde K es el parámetro a variar

Condiciones Básicas del LGR

� Si un punto s = s1 pertenece al LGR debe cumplir con:� Condición de magnitud:

(s1 + z1)(s1 + z2)…(s1 + zm) K|P(s1)| = K ------------------------------------ = 1

(s1 + p1)(s1 + p2)…(s1 + pn)(s1 + p1)(s1 + p2)…(s1 + pn)Por lo tanto, K se puede evaluar en un punto del LGRdividiendo el producto de las longitudes de losvectores desde los polos de P(s) a si por el productode las longitudes de los vectores desde los ceros deP(s) a si .

Condiciones Básicas del LGR

� Condición de ángulo ( K ≥ 0 ) ∟P(s1) = ∑ ∟(si + zi) - ∑ ∟(si + pi) = 180°+ k.360°

k = 0, ± 1, ± 2, …

De otro modo, si la suma de los ángulos de losDe otro modo, si la suma de los ángulos de losvectores desde los ceros de P(s) a si ,menos la sumade los ángulos de los vectores desde los polos de P(s)a si es igual a 180° + k.360°, entonces el punto s ipertenece al LGR.

Condiciones Básicas del LGR

� En el caso del sistema realimentado:

G(s)+

-

F(s) = GLA(s) = G(s)H(s)

H(s)

F(s) = GLA(s) = G(s)H(s)

Se observa, que las características de funcionamiento delsistema en lazo cerrado se estudian a partir del conocimientode la ubicación de los polos y ceros de la función de transferenciaen lazo abierto.

Construcción del LGR

� Para un sistema con realimentación negativa con el parámetro a variar K, tal que K > 0:� 1º Escribir la ecuación característica:

1 + F(s) = 0 y reordenarla, si es necesario, para que aparezca el parámetro de interés K, como factor en la forma: parámetro de interés K, como factor en la forma:

1 + KP(s) = 0 � 2º Localizar los polos y ceros de P(s) en el plano s, con

marcas apropiadas: los polos con “ x “ y los ceros con “o” .

� 3º Aplicar las reglas que se presentan a continuación, las que están basadas en la condición de ángulo.

Reglas para trazar el bosquejo del LGR

� 1º Puntos de comienzo y finalización.El LGR está formado por ramas que empiezan (K=0) en los polos de P(s) y terminan (K=oo) en los ceros de P(s) ó en el infinito. Tiene tantas ramas independientes como el máximo entre el ramas independientes como el máximo entre el número de polos (nP) y el de ceros (nZ) de P(s).

� 2º Simetría .El LGR es simétrico con respecto al eje real del plano s, pues la raíces complejas deben aparecer como pares de raíces conjugadas complejas.

� 3º LGR sobre el eje real.Pertenecen al LGR aquellos segmentos del eje real que tienen a su derecha un número total de polos mas ceros de P(s) que sea impar.

� 4º Ángulos de salida y de llegada.

Reglas para trazar el bosquejo del LGR

Los ángulos de salida de polos y ángulos de llegada a ceros denotan el ángulo de la tangente del LGR cerca del polo ó cero, según corresponda. Se calculan escogiendo un punto s1 que pertenezca al LGR muy cercano al polo ó cero y se aplica la condición de ángulo en dicho punto.Si el punto de partida es un polo múltiple, se debe considerar un ángulo para cada polo. Si la llegada es un cero múltiple se realizaun procedimiento similar.

Reglas para trazar el bosquejo del LGR

Ejemplo de cálculo de ángulo de salida

φ1 – ( θsal + θ2 ) = 180°

arctan (5/1) – (θsal + 90°) = 180°

78.7°- ( θsal + 90°) = 180°

θsal = 168.7°

Reglas para trazar el bosquejo del LGR

� 5º Ramas que terminan en el infinito.Si nZ < nP , entonces N = (nP – nZ) ramas deben terminar en el infinito. Estas ramas se dirigen hacia el infinito a lo largo de asíntotas a medida que K tiende a infinito. Si hay dos o mas ramas que van al infinito, las rectas asíntotas parten de un punto del eje real dado por:asíntotas parten de un punto del eje real dado por:

Sumatoria de parte real Sumatoria de parte rea l de los polos de P(s) de los ceros de P(s )

c0 = -------------------------------------------------------------------------nP – nZ

Los ángulos que forman con el eje real son determinados por: ( 2q + 1 ) . 180º

θq = --------------------- , q = 0, 1, 2, … ,(nP – nZ – 1) nP - nZ

Reglas para trazar el bosquejo del LGR

� 6º Intersección de ramas con el eje imaginario. Si hubiere se calcula aplicando el criterio de R - H a la ecuación característica. También se le puede hallar, sustituyendo s = jw en la ecuación característica y resolviéndola.

� 7º Puntos de ruptura en el LGR.Corresponden a puntos donde hay raíces múltiples. Es decir donde dos o mas ramas se encuentran y se separan. Se les determina mediante el siguiente procedimiento:� De la ecuación característica despejar : K = - 1 / P(s)� Resolver : dK / ds = 0� Las soluciones de esta ecuación son puntos de ruptura si

pertenecen al LGR y el valor de K asociado es real y positivo.

Reglas para trazar el bosquejo del LGR

� 8º Cálculo de valores de K sobre el LGR. El valor de K en cualquier punto s1 sobre el LGR puede determinarse mediante la condición de magnitud:

Producto de distancias desde los polos de P(s) a s 1Producto de distancias desde los polos de P(s) a s 1

K = --------------------------------------------------------------------------Producto de distancias desde los ceros de P(s) a s 1

� NOTA:La experiencia en trazar el LGR aplicando las reglas, es de gran valor en la interpretación del gráfico obtenido por computadora.

Ejemplo:

1. Trace el LGR del sistema de la figura cuando K > 0. Indique elrango de estabilidad.

2. Describa como evolucionará la respuesta transitoria del sistemasegún K aumenta desde 0 hasta infinito.

3. Encuentre el valor de K para el cual las raíces dominantestengan una relación de amortiguamiento de 0.707.tengan una relación de amortiguamiento de 0.707.

Solución

1. Ecuación característica:1 + K ( 1 / ( s ( s + 2 ) ( s + 6 ) ) ) = 0

P(s)� P(s) tiene 3 polos ubicados en 0, -2 y -6. No tiene ceros finitos.

n = 3 , n = 0 np = 3 , nz = 0 � Puntos de comienzo y finalización: Hay tres ramas que

empiezan (K=0) en los polos de P(s) y finalizan (K=∞) en elinfinito.

� Existe simetría respecto al eje real.� LG sobre eje real: En los segmentos comprendidos en: (-∞,-6] y

en [-2,0].

Solución

� Asíntotas: Son 3, cuyos ángulos serán 60°, 180°y -60°.Parten del eje real de: с0 = (( 0 - 2 – 6 ) – 0 ) / 3 = -2.67

� Puntos de ruptura: Se despeja: K = - 1 / P(s) = - s (s+2) (s+6)y se resuelve:dK/ds = 0 � - ( 3s2 + 16s + 12 ) = 0de donde, las soluciones son -4.43 y -0.9. Como la primera nopertenece al LGR, se elimina. Por lo que el punto de ruptura estáen -0.9, donde el valor de K = 0.9 ( 1.1 ) ( 5.1 ) = 5.

� Intersección con eje imaginario: Resolviendo la ecuacióncaracterística con s = jw: jw (jw+2) (jw+6) = - Kse obtiene: w = 0 , K = 0 (origen del plano s)

w = 3.46 , K = 96 ( intersección con eje imaginario )

Solución

Es estable : 0 < K < 96

Solución

2. Análisis:Con K=0, sistema marginalmente estable (una raíz en el origen)

Solución

� Con 0 < K < 5: Hay 2 raíces reales dominantes entre [-2,0], mientras que la tercera raíz se ubica a la izquierda de -4. La respuesta del sistema será del tipo sobreamortiguado.

Solución

� Con K = 5: Las 2 raíces dominantes coinciden en el punto deruptura. La tercera se va alejando hacia -∞. La respuesta es tipocríticamente amortiguada.

Solución

� Con 5 < K < 96: Las dos raíces pasan a ser complejasconjugadas por lo que su respuesta será tipo subamortiguada.Inicialmente el sobreimpulso a una entrada escalón serápequeño y el tiempo de establecimiento algo superior a 4 seg,pero al ir aumentando K, las raíces se van acercando al ejeimaginario y aumenta el tiempo de establecimiento y elimaginario y aumenta el tiempo de establecimiento y elporcentaje de sobreimpulso.

� Con K = 96: La respuesta es marginalmente estable (sistemaoscilará).

Solución

Solución

Solución

3. Para que las raíces dominantes tengan una relación deamortiguamiento de 0.707, el ángulo que forman respecto alorigen será θ = cos-1(0.707). Trazando esta línea sobre el LGR,la solución para el valor de K será la intersección (-0.8+j0.8)

Solución

Aplicando condición de magnitud:K = 5.26x1.44x1.13 / 1 = 8.56

Comentario sobre el LGR

� Un cambio en la ubicación de polos ó ceros de P(s) puede producir modificaciones significativas en la gráfica. A continuación se muestra como el cambio de ubicación de un cero, hace que el gráfico presente aspectos bastante diferentes. aspectos bastante diferentes. En este ejemplo

( s + a ) P(s) = ---------------------------------

s ( s + 1 ) ( s2 + 6s + 18 )

Comentario sobre el LGR

Efectos de añadir polos y ceros a GH

� En general, la adición de polos a la FTLA : G(sH(s) en un sistema realimentado en el lado izquierdo del plano s tiene el efecto de mover el LGR original hacia el lado derecho del plano s , limitando la estabilidad del sistema en lazo cerrado.estabilidad del sistema en lazo cerrado.

� La adición de ceros tiene el efecto contrario .� Para el diseño de controladores es necesario conocer

estos efectos.� Veamos un ejemplo.

Efectos de añadir polos y ceros a GH

1)()(

+=

τs

KsHsG

Gráficos para funciones típicas

11 +τs

• Estable para K>0

)1)(1()()(

++=

ττ ss

KsHsG

Gráficos para funciones típicas

)1)(1()()(

21 ++=

ττ sssHsG

• Estable para K>0

)1)(1)(1()()(

+++=

τττ sss

KsHsG

Gráficos para funciones típicas

•Inestable para valores altos de K•Puede estabilizarse reduciendo la ganancia K

)1)(1)(1()()(

321 +++=

τττ ssssHsG

KsHsG =)()(

Gráficos para funciones típicas

ssHsG =)()(

• Integrador Ideal• Estable

)()(+

=τK

sHsG

Gráficos para funciones típicas

)1()()(

1 +=

τsssHsG

• Sistema servo elemental• Inherentemente Estable

)1)(1()()(

21 ++=

ττ sss

KsHsG

Gráficos para funciones típicas

•Puede desestabilizarse aumentando la ganancia K

)1)(1( 21 ++ ττ sss

)1()()(

+= τsKsHsG a

Gráficos para funciones típicas

•Siempre Estable

)1)(1()1(

)()(21 ++

+=ττ

τsss

sKsHsG a

2)()(s

KsHsG =

Gráficos para funciones típicas

2)()(s

sHsG =

•Integrador Ideal doble•Marginalmente Estable (Inherentemente Inestable)•Debe ser siempre compensado

)1()()(

12 +

=τss

KsHsG

Gráficos para funciones típicas

)1( 1 +τss

•Inherentemente Inestable•Debe ser siempre compensado

12 )1(

)1()()(

ττ

++= a

ss

sKsHsG

Gráficos para funciones típicas

•Sistema Siempre Estable para todas las ganancias

1

1

ττ >a

3)()(s

KsHsG =

Gráficos para funciones típicas

s

•Inherentemente Inestable

3

)1()()(

s

sKsHsG a += τ

Gráficos para funciones típicas

s

•Inherentemente Inestable

3

)1)(1()()(

s

ssKsHsG ba ++= ττ

Gráficos para funciones típicas

s

•Condicionalmente Estable•Puede desestabilizarse reduciendo la ganancia K

)1)(1)(1)(1()1)(1(

)()(4321 ++++

++=ττττ

ττsssss

ssKsHsG ba

•Condicionalmente Estable•Puede desestabilizarse

Gráficos para funciones típicas

•Puede desestabilizarse aumentando la ganancia K hasta un punto donde se vuelve a estabilizar.•Para ganancias K muy altas se convierte definitivamente en inestable

)1)(1()1(

)()(21

2 +++=ττ

τsss

sKsHsG a

Gráficos para funciones típicas

•Condicionalmente Estable•Para ganancias K a partir de determinado valor se convierte en inestable

Uso del MATLAB para LGR

� Para trazar el LGR y hacer cálculos se tienen los comandos: rlocus : calcula y grafica. rlocfind : calcula el valor de la ganancia en cualquier punto del gráfico. punto del gráfico. sgrid : traza las líneas para z = cte. y wn = cte. pzmap : calcula y grafica los polos y ceros de una F.T.

� Con la interfase gráfica (GUI) rltool se realiza el cálculo de controladores en los problemas de diseño.