SOLUCIONARIO 3RA CALIFICADA MA 133

Huacasi Vargas Esteban 20131238E

1. Calcule el volumen del solido acotado por la intersección de los cilindros circulares rectos

x2+ y2=a2 ; x2+ z2=a2

SOLUCIÓN:

Por simetría calculemos el volumen de la porción:

V TOTAL=16V '=16∫0

π2

∫0

a

rcosθ r dr dθ=16 a3

3∫0

π2

cosθdθ=16 a3

3

Por el volumen del prismoide tenemos:

V8

=H6

(S A+SB+4 SR ) → V8

= R6 (R2+0+4 3R2

4 )

El volumen acortado por la intersección de los cilindros es:

V TOTAL=16a3

3

V=163

a3

2. Sea la integral triple I=∭S

(x2+ y2+z2)dz dy dx , siendo

S=( x ; y ; z )∈R3/ x>0 , y>0 ,−√4−x2− y2< z< 12

√4− x2− y2Escriba los límites de la integral en coordenadas rectangulares y coordenadas cilíndricas.

SOLUCION:

Graficando la región en el plazo tridimensional:

I=∭S

(x2+ y2+z2)dz dy dx=∫0

2

∫0

√4− x2

∫−√4− x2− y2

12 √4− x2− y2

(x2+ y2+ z2)dzdy dx

En coordenadas cilíndricas:

Haciendo x=r cosθy=r senθ

z=z → J (r , θ , z )=r dz dr dθ

I=∫0

π2

∫0

2

∫−√4−r2

12 √4−r2

(r2+z2)dz dr dθ

3. Sea un segmento esférico de una base cuya altura mide h y el radio de la superficie que acota la esfera mide R. Exprese el volumen del segmento esférico en coordenadas esféricas, en coordenadas cilíndricas y en coordenadas rectangulares.

SOLUCION:

a. Coordenadas esféricas

Haciendo x=ρ senφ cosθy=ρ senφsenθ

z=ρ cosφ → J (r , θ , z )=ρ2 senφ dzdθ dφ

V=∫0

2π

∫0

sin−1 ( R−hR

)

∫(R−h)sec (arc cos(( R−h

R )))

R

ρ2 senφdρ dφ dθ

b. Coordenadas cilíndricas

Haciendo x=r cosθy=r senθ

z=z → J (r , θ , z )=r dz dr dθ

V=∫0

2π

∫0

√R2−h2

∫R−h

√R2−r 2

r dz dr dθ

c. Coordenadas rectangulares

V= ∫−√R2+h2

√R 2+h2

∫−√R 2+h2−x2

√R2+h2− x2

∫R−h

√ R2+h2− y2

dz dy dx

4. Indique el valor de la siguiente integral I=∬Ω

1( x2+ y2+1)10

dx dy , siendo:

Ω=( x ; y )∈R2/x2+ y2≥1˄ x ≥0˄ y≥0 SOLUCIÓN:

Haciendo x=r cosθy=r senθ

→ J (r , θ )=r dr dθ

Ω¿=0≤r ≤1; 0≤ θ ≤π2

I=I=∬Ω

1( x2+ y2+1)10

dx dy=∫∫Ω¿

rdθ dr(r2+1)10

I=π2∫0

1r dr

(r2+1)10=π4log 2

5. Evalue la siguiente integral ∬R

ex2+ y2+xy dA, siendo

R=( x ; y )∈R2/x2+ y2+xy<1

6. Si f ( x ; y )=esen (x+ y ) y ⅅ¿ [−π ; π ] x [−π ;π ], demuestre que :

1e

≤14π 2

∬ⅅ

f ( x ; y ) dA ≤ e

SOLUCION:

De la propiedad:

Sea f(x,y) funciones continuas sobre una región, si m ≤ f (x , y )≤ M ∀ x , y∈ A

entonces m Aárea ≤∬A

f (x , y )dA ≤ M Aá rea.

En el problema:

e−1≤esen (x+ y )≤e

4 π 2e−1≤esen ( x+ y )≤4 π 2e

→e−1

4 π2≤ esen (x+ y ) ≤

e4 π2

7. Use la definición de la integral doble, para evaluar la integral doble:

∬R

( x2+ y ) dxdy

siendo R=¿

SOLUCION:

Sea f una función de dos variables definida sobre una región cerrada R del plano xy. Entonces

la integral doble de f sobre R, denotada por ∬R

F(x , y)se define como:

∬R

f ( x , y )dA= lim‖P‖→0

∑k=1

n

f (xk¿ , yk

¿)∆ Ak

∆ x=1−04

=14

∆ y=2−02

=1∆ A=14

S4,2=14∑i=1

4

∑j=1

2

f (Pij)=14 ( 9764 + 33

64+ 10364

+ 4164

+ 5764

+ 12164

+ 10564

+ 8164 )=2.5

8. Sea 𝕋 la transformación definida por la regla de correspondencia

( x ; y ; z )=T (u ; v ; w )= (u2+v ;u−v ;w )y sea 𝔼 el tetraedro con vértices (0;0;0) , (0;1;0) y (1;0;0).Dibuje las regiones de integración en los dos casos y encuéntrese el volumen de (𝔼).

SOLUCION:

Calculamos el jacobiano:

J (u , v , w )=|∂ x∂ u

∂ x∂ v

∂ x∂ w

∂ y∂ u

∂ y∂ v

∂ y∂ w

∂ z∂ u

∂ z∂ v

∂ z∂ w

|=|2u 1 01 −1 00 0 1|=2u+1

Expresamos el volumen en coordenadas rectangulares:

V=∭Ω

dzdy dx=∫0

1

∫0

1− x

∫0

1−x− y

dz dy dx=16

Usando la transformación planteada:

V=∫

∫

∫

16(2u+1)dw dv du

9. Calcule el volumen del solido acotado por las superficies:

x2

a2+ y2

b2+ z2

c2=1 , x2

a2+ y2

b2= z2

c2

Fundamente su respuesta.

SOLUCION:

S1: x2

a2+ y2

b2+ z2

c2=1

S2 :x2

a2+ y2

b2= z2

c2

De S1∩S2: z=c √22

Proyectamos al plano x-y:

V=∭Ω

dzdy dx=8∫0

a√2

∫0

b√2− x2

a2

∫c √22

c √1− x2

a2−

y2

b2

dz dydx=¿

10.¿Cuál es la geodésica sobre la superficie esférica? Fundamente su respuesta.

La distancia entre dos puntos cualesquiera sobre una esfera tiene como valor:

ds=√(dx)2+(dy)2+(dz )2

Haciendo x=ρ senφ cosθy=ρ senφsenθ

z=ρ cosφ →J (r , θ , z )=ρ2 senφ dzdθ dφ

En la expresión:

(ds )2=(d ρ)2+ ρ2(dθ)2+ρ2 sen2φ (dφ)2

Siendo la geodésica la menor distancia entre dos puntos, mantendremos constante el radio ρ, por tanto dρ=0.

Entonces el elemento de línea sobre la superficie de la esfera está dado por:(ds )2=ρ2(dθ)2+ρ2 sen2φ (dφ)2

ds=ρ√(dθ)2+sen2φ (dφ)2

s= ρ∫1

2

√( dθdφ

)2

+sen2φ dφ

Siendo s la distancia entre 2 puntos de una superficie esférica, usaremos la expresión de Euler del cálculo variacional siendo la función:

F=√( dθdφ

)2

+sen2φ

Usaremos la notación: θφ=dθdφ

→ F=√θφ2+sen2φ

En la 2da forma de Euler:

√θφ2+sen2φ−θφ

∂∂θφ

√θφ2+sen2φ=K=cte .sen2φ=K √θφ

2+sen2φ

Reordenamos:dφdθ

= K csc2θ

√1−K csc2θ

Despejando para φ y llevando a cabo la integración obtenemos la siguiente relación:

φ=sin−1[ ctg(θ)α ]+cSiendo α 2=1−K2

K2

ctg (θ )=α sen (φ−c )