Post on 18-Feb-2016
description
MOVIMIENTO PERIÓDICO: es un movimiento en el que se
repiten todas las características del mismo en un tiempo
determinado.
MOVIMIENTO OSCILATORIO: es aquel movimiento
periódico en el que la partícula se desplaza de un lado a
otro de la posición de equilibrio.
MOVIMIENTO VIBRATORIO: es el movimiento oscilatorio
en el que las oscilaciones son relativamente rápidas.
PERIODO (T): es el tiempo empleado en realizar un ciclo
completo, es decir, en volver a la situación inicial.
MOVIMIENTO PERIÓDICO Y OSCILATORIO
FRECUENCIA (ν): es el número de ciclos que se completan
en un segundo.
ELONGACIÓN [x(t), y(t)]: es la distancia que separa a la
partícula de la posición de equilibrio en un instante
dado. (x → horizontal; y → vertical).
AMPLITUD (A): es la elongación máxima, es decir, la
máxima distancia que se separa la partícula de la
posición de equilibrio.
MOVIMIENTO PERIÓDICO Y OSCILATORIO
𝜈 =1
𝑇; 𝑠−1 = 𝐻𝑧
Es el más sencillo dentro de los movimientos vibratorios.
Es un movimiento periódico en el que la partícula se
desplaza a ambos lados de la posición de equilibrio. Se
caracteriza porque es un movimiento con aceleración
variable.
Esta aceleración está producida por una fuerza
recuperadora que es proporcional al desplazamiento,
pero de sentido contrario.
Al móvil que describe este movimiento se le llama
oscilador armónico.
M.V.A.S.
La fuerza va a ser máxima en los extremos
𝑥 = 𝐴 𝑜 𝑥 = −𝐴 . Como esto es así, la aceleración también
será máxima en dichos puntos.
La fuerza en 𝑥 = 0 va a ser 0, entonces, la aceleración
también se anulará en el punto de equilibrio.
Podemos decir que la aceleración es variable en función de
la posición de la partícula.
Si hablamos de la velocidad: 𝑣 = 0 𝑒𝑛 𝑥 = 𝐴 𝑦 𝑥 = −𝐴
𝑣 → 𝑚𝑎𝑥 𝑒𝑛 𝑥 = 0
LEY DE HOOK
𝐹 = −𝑘 · 𝑥
Movimiento vertical:
𝐹 = −𝑘 · 𝑦 = 𝑚 · 𝑎 = 𝑚 ·𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
−𝑘 · 𝑦 = 𝑚 ·𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
𝑚 ·𝑑2𝑦
𝑑𝑡2+ 𝑘 · 𝑦 = 0
Ecuación diferencial, no sabemos resolver este tipo de
ecuaciones, pero en este caso se ve casi a simple vista lo
que vamos a obtener…
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO
𝑦 = 𝐴 · sin𝜅
𝑚· 𝑡
Además, 𝜅
𝑚= 𝜔 (velocidad angular)
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO
Comprueba que se
cumple la ecuación
¿Y si hubiese una constante sumando/restando en el
argumento del seno…?
¿Y si en vez del seno usamos un coseno…?
Donde 𝑦 → 𝑒𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (𝑚)
𝐴 → 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 (𝑚)
𝜔 → 𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑜 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑟𝑎𝑑
𝑠
𝜑0 → 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑟𝑎𝑑 .
𝐷𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑡0
𝑦 = 𝐴 · sin 𝜔𝑡 + 𝜑0
𝑦 = 𝐴 · cos 𝜔𝑡 + 𝜑0
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO
𝜔 =2𝜋
𝑇= 2𝜋𝜈 =
𝜅
𝑚
CAMBIO DE UNIDADES:
RADIANES → GRADOS
3′2𝜋 𝑟𝑎𝑑 ⟶ 3′2 · 1800 = 5760
sin 5760 ≈ −0′9
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO
Suponemos que tenemos una
masa colgada de un muelle
como en la figura. Cuando lo
dejamos estar, la masa está
en reposo (izq.). Esa es su
posición de equilibrio.
Contraemos el muelle 2 cm y
soltamos, dejando que la
masa oscile libremente
(despreciamos rozamiento
con el aire).
Queremos calcular la fase
inicial.
EJEMPLO
Como es un movimiento vibratorio armónico simple cumplirá
la Ley de Hook:
𝐹 = −𝑘 · 𝑥
Conocemos la solución que se obtiene para estos casos:
𝑦 = 𝐴 · sin 𝑤𝑡 + 𝜑0
En este caso, en el momento inicial (t = 0) la elongación es
𝑦 0 = −2 𝑐𝑚 y la amplitud 𝐴 = 2 𝑐𝑚 ; sustituimos en la
fórmula y despejamos:
−2 = 2 · sin 𝑤 · 0 + 𝜑0
−2 = 2 · sin 𝜑0
EJEMPLO
Obviamente, para conseguir que el 2 valga -2 sólo nos falta
un signo menos:
sin 𝜑0 = −1
𝜑0 = sin−1 −1 = −𝜋
2𝑟𝑎𝑑
EJEMPLO
𝜑0 = −𝜋
2𝑟𝑎𝑑
Vamos a distinguir dos puntos (azules y morados)
REPRESENTACIÓN
Si 𝑦 = 𝐴 · sin 𝑤𝑡 + 𝜑0 y además 𝜑0 = 0:
𝑦1 = 𝐴 · sin 𝜔𝑡1 + 𝜑0
Diferencia de fase:
∆𝜑 = 𝜔𝑡2 + 𝜑0 − 𝜔𝑡1 + 𝜑0
𝑦2 = 𝐴 · sin 𝜔𝑡2 + 𝜑0 ∆𝜑 = 𝜔𝑡2 − 𝜔𝑡1
REPRESENTACIÓN
∆𝜑 = 𝜔 𝑡2 − 𝑡1
Observamos dos situaciones importantes y significativas en
función del valor que tome esta diferencia de fase
∆𝜑 = 2𝜋 · 𝑛; 𝑛 = 0, 1, 2, 3, … los puntos están en FASE, es
decir, tienen la misma elongación y tendencia, y su distancia
es el Periodo (o un múltiplo del mismo).
∆𝜑 = (2𝑛 + 1)𝜋; 𝑛 = 0, 1, 2, 3, … los puntos están es
OPOSICIÓN DE FASE, es decir, tiene la misma elongación,
tendencia contraria y su distancia es el Periodo (o un
múltiplo del mismo).
REPRESENTACIÓN
∆𝜑 = 𝜔 𝑡2 − 𝑡1
𝑣 =𝑑𝑦
𝑑𝑡=
𝑑 𝐴 sin 𝜔𝑡 + 𝜑0
𝑑𝑡
𝑣𝑚𝑎𝑥 → cos 𝜔𝑡 + 𝜑0 = ±1
sin 𝜔𝑡 + 𝜑0 = 0 ⇒ 𝐴 sin 𝜔𝑡 + 𝜑0 = 𝑦 = 0
VELOCIDAD DE VIBRACIÓN DEL M.V.A.S.
𝑣 = 𝐴𝜔 cos 𝜔𝑡 + 𝜑0
𝑣𝑚𝑎𝑥 = ±𝐴𝜔 ¡¡¡ocurre en la Posición de Equilibrio!!!
𝑣𝑚𝑖𝑛 → cos 𝜔𝑡 + 𝜑0 = 0
sin 𝜔𝑡 + 𝜑0 = ±1 ⇒ 𝐴 sin 𝜔𝑡 + 𝜑0 = 𝑦 = ±𝐴
VELOCIDAD DE VIBRACIÓN DEL M.V.A.S.
𝑣𝑚𝑖𝑛 = 0 ¡¡¡ocurre en los extremos del movimiento!!!
𝑣 = 𝐴𝜔 cos 𝜔𝑡 + 𝜑0
VELOCIDAD DE VIBRACIÓN DEL M.V.A.S.
𝑣 = 𝜔 𝐴2 − 𝑦2
𝑣 = 𝐴𝜔 cos 𝜔𝑡 + 𝜑0 = 𝐴𝜔𝐴2 − 𝑦2
𝐴2= 𝜔 𝐴2 − 𝑦2
sin2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1
cos 𝜔𝑡 + 𝜑0 = 1 − sin2 𝜔𝑡 + 𝜑0
sin 𝜔𝑡 + 𝜑0 =𝑦
𝐴
cos 𝜔𝑡 + 𝜑0 = 1 −𝑦2
𝐴2
𝑎 =𝑑𝑣
𝑑𝑡=
𝑑 𝐴𝜔 cos 𝜔𝑡 + 𝜑0
𝑑𝑡
𝑎𝑚𝑎𝑥 → sin 𝜔𝑡 + 𝜑0 = ±1 ⇒ 𝑦 = 𝑦𝑚𝑎𝑥 = ±𝐴
ACELERACIÓN DEL M.V.A.S.
𝑎 = −𝐴𝜔2 sin 𝜔𝑡 + 𝜑0 𝑎 = −𝜔2𝑦
𝑎𝑚𝑎𝑥 = ±𝐴𝜔2 ¡¡¡ocurre en los extremos del movimiento!!!
𝑎𝑚𝑖𝑛 → sin 𝜔𝑡 + 𝜑0 = 0 ⇒ 𝑦 = 0
ACELERACIÓN DEL M.V.A.S.
𝑎 = −𝐴𝜔2 sin 𝜔𝑡 + 𝜑0 𝑎 = −𝜔2𝑦
𝑎𝑚𝑖𝑛 = 0 ¡¡¡ocurre en la Posición de Equilibrio!!!
Se compone de un cuerpo que
cuelga de un hilo de masa
despreciable y que se desplaza
ligeramente de su posición de
equilibrio.
Este mecanismo describe un
m.v.a.s.
La fuerza a la que se encuentra
sometido el péndulo es la
fuerza de la gravedad.
EL PÉNDULO SIMPLE
Vamos a calcular la fuerza total
a la que se ve sometido el
péndulo para entender así su
movimiento.
𝑃𝑥 = 𝑃 · sin 𝜃 = −𝑚𝑔 sin 𝜃
𝑃𝑦 = 𝑃 · cos 𝜃 = 𝑚𝑔 cos 𝜃
𝑇 = −𝑃𝑦
𝐹 = 𝑃𝑥 + 𝑃𝑦 + 𝑇 = 𝑃𝑥 + 𝑃𝑦 − 𝑃𝑦
EL PÉNDULO SIMPLE
𝐹 = 𝑃𝑥
Como θ va a ser muy pequeño si
queremos tratar al péndulo como
un m.v.a.s. (si las oscilaciones
son muy grandes no podemos
despreciar el rozamiento y deja
de serlo)
𝜃 ≈ 0 ⇒ sin 𝜃 ≈ 𝜃
𝑃𝑥 = −𝑚𝑔𝜃
𝜃 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜=
𝑥
𝐿
EL PÉNDULO SIMPLE
𝐹 =−𝑚𝑔
𝐿𝑥
Fuerza proporcional al desplazamiento pero de sentido contrario
Podemos calcular la aceleración
a la que se ve sometido:
𝐹 = 𝑚𝑎
𝑎 =𝐹
𝑚=
−𝑚𝑔𝐿
𝑥
𝑚
EL PÉNDULO SIMPLE
𝑎 =−𝑔
𝐿𝑥
Y podemos calcular la frecuencia
de oscilación del péndulo, ya que
conocemos la aceleración de
cualquier m.v.a.s:
𝑎 = −𝜔2𝑥
𝜔2 =−𝑎
𝑥=
𝑔𝐿
𝑥
𝑥=
𝑔
𝐿
EL PÉNDULO SIMPLE
𝜔 =𝑔
𝐿
Y por último, podemos calcular la
relación más importante que
vamos a ver para un péndulo
simple, su periodo:
𝑇 =2𝜋
𝜔=
2𝜋
𝑔𝐿
EL PÉNDULO SIMPLE
𝑇 = 2𝜋𝐿
𝑔
𝑥 𝑡 = 𝐴 · sin 𝜔𝑡 + 𝜑0
Ejemplo: Calcula el desfase inicial en t = 0
𝜃0 = 100 𝜃 = 100
𝜃 𝑡 = 𝜃0 · sin 𝜔𝑡 + 𝜑0
100 = 100 · sin 0 + 𝜑0
sin 𝜑0 = 1 𝜑0 = sin−1(1)
ECUACIONES DE MOVIMIENTO
𝜃 𝑡 = 𝜃0 · sin 𝜔𝑡 + 𝜑0
𝜑0 =𝜋
2
En el m.v.a.s. se ponen en juego dos
tipos de energía:
La energía cinética
La energía potencial
ENERGÍA DEL OSCILADOR ARMÓNICO
(Modelo de Einstein)
𝐸𝐶 =1
2𝑚𝑣 2 =
1
2𝑚 𝐴𝜔 cos 𝜔𝑡 + 𝜑0
2 =1
2𝑚𝐴2𝜔2 cos2 𝜔𝑡 + 𝜑0 =
=1
2𝑚𝐴2
𝑘
𝑚cos2 𝜔𝑡 + 𝜑0 =
1
2𝑘𝐴2 1 − sin2 𝜔𝑡 + 𝜑0 =
=1
2𝑘 𝐴2 − 𝐴2sin2 𝜔𝑡 + 𝜑0 =
1
2𝑘 𝐴2 − 𝑥2
ENERGÍA CINÉTICA DEL M.V.A.S.
𝐸𝐶 =1
2𝑘 𝐴2 − 𝑥2 ; 𝐽
𝑆𝑖 𝑥 = 0 → 𝐸𝐶𝑚á𝑥=
1
2𝑘𝐴2
𝑆𝑖 𝑥 = ±𝐴 → 𝐸𝐶𝑚𝑖𝑛= 0
Podemos calcular la energía potencial porque las fuerzas
elásticas son fuerzas conservativas.
𝑊 = −∆𝐸𝑃
Calculamos primero el trabajo:
𝑊 = 𝐹 · 𝑑𝑥𝑥2
𝑥1
= −𝑘 · 𝑥 · 𝑑𝑥 = −𝑘 · 𝑥2
2 𝑥2
𝑥1
𝑥2
𝑥1
=1
2𝑘𝑥1
2 −1
2𝑘𝑥2
2
𝑊 = −∆𝐸𝑃 = 𝐸𝑃1− 𝐸𝑃2
=1
2𝑘𝑥1
2 −1
2𝑘𝑥2
2
ENERGÍA POTENCIAL DEL M.V.A.S.
𝑊 = −∆𝐸𝑃 = 𝐸𝑃1− 𝐸𝑃2
=1
2𝑘𝑥1
2 −1
2𝑘𝑥2
2
Consideramos EP = 0 cuando x = 0; es decir, en la posición
de equilibrio:
ENERGÍA POTENCIAL DEL M.V.A.S.
𝐸𝑃 =1
2𝑘𝑥2; 𝐽
𝑆𝑖 𝑥 = 0 → 𝐸𝑃𝑚𝑖𝑛 = 0
𝑆𝑖 𝑥 = ±𝐴 → 𝐸𝑃𝑚á𝑥 =1
2𝑘𝐴2
𝐸𝑚 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃 =1
2𝑘 𝐴2 − 𝑥2 +
1
2𝑘𝑥2 =
1
2𝑘𝐴2 −
1
2𝑘𝑥2 +
1
2𝑘𝑥2
ENERGÍA MECÁNICA DEL M.V.A.S.
𝐸𝑚 =1
2𝑘𝐴2; 𝐽
𝑆𝑖 𝑥 = 0 → 𝐸𝑃𝑚𝑖𝑛 = 0 𝑦 𝐸𝐶𝑚á𝑥=
1
2𝑘𝐴2 ⇒ 𝐸𝑀 =
1
2𝑘𝐴2
𝑆𝑖 𝑥 = ±𝐴 → 𝐸𝑃𝑚á𝑥 =1
2𝑘𝐴2 𝑦 𝐸𝐶𝑚𝑖𝑛
= 0 ⇒ 𝐸𝑀 =1
2𝑘𝐴2
Un objeto de 0 ’5 kg describe un m.v.a.s. de periodo 2 s y una
amplitud A = 0 ’1 m. Calcula la energía potencial, cinética y
mecánica para una elongación de 5 cm. ¿Cuáles son sus valores
en los extremos y en el punto de equilibrio?
EJEMPLO
𝐸𝐶 =1
2𝑘 𝐴2 − 𝑥2
𝐸𝑃 =1
2𝑘𝑥2
𝐸𝑚 =1
2𝑘𝐴2
Vamos a necesitar calcular la constante k,
para eso nos dan T:
𝜔 =2𝜋
𝑇=
𝑘
𝑚
𝑘 = 𝑚4𝜋2
𝑇2
Sustituimos los datos:
𝑘 = 0′5𝑘𝑔 ·4𝜋2
2𝑠 2 = 4′93𝑘𝑔
𝑠2 = 4′93𝑁
𝑚
Un objeto de 0 ’5 kg describe un m.v.a.s. de periodo 2 s y una
amplitud A = 0 ’1 m. Calcula la energía potencial, cinética y
mecánica para una elongación de 5 cm. ¿Cuáles son sus valores
en los extremos y en el punto de equilibrio?
EJEMPLO
Calculamos las energías en x = 0’05m
𝐸𝐶 =1
2· 4′93
𝑁
𝑚· 0′1𝑚 2 − 0′05𝑚 2 = 1′85 · 10−2𝐽
𝐸𝑃 =1
2· 4′ 93
𝑁
𝑚· 0′05𝑚 2 = 6′16 · 10−3𝐽
𝐸𝑚 =1
2· 4′ 93
𝑁
𝑚· 0′1𝑚 2 = 2′47 · 10−2𝐽
Un objeto de 0 ’5 kg describe un m.v.a.s. de periodo 2 s y una
amplitud A = 0 ’1 m. Calcula la energía potencial, cinética y
mecánica para una elongación de 5 cm. ¿Cuáles son sus valores
en los extremos y en el punto de equilibrio?
EJEMPLO
Calculamos las energías en los extremos (x = ± A):
𝐸𝐶 = 0
𝐸𝑃 = 𝐸𝑚 = 2′47 · 10−2𝐽
Calculamos las energías en el punto de equilibrio (x = 0):
𝐸𝐶 = 𝐸𝑚 = 2′47 · 10−2𝐽
𝐸𝑃 = 0
En los movimientos
vibratorios existen fuerzas
no conservativas como la
fuerza de rozamiento que
hacen que la energía
disminuya. Esta pérdida
de energía se traduce en
una disminución de
Amplitud.
𝐸 =1
2𝑘𝐴2
AMORTIGUAMIENTO
Para evitar el amortiguamiento se debe comunicar al sistema
energía con la misma frecuencia de vibración. A esta frecuencia se
la conoce como frecuencia de RESONANCIA.