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7/17/2019 100412 173 Trabajo Fase 2 Oscar
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Trabajo Colaborativo Fase 2
Ecuaciones Diferenciales100412_173
Oscar Javier Jones ZrateC!"i#o$ %12&44&0
Tutora$ 'enifer Eli(abet) *alin"o
+,-.E/-DD ,C-O, -E/T ' D-T,C--,*E,-E/- -,D+T/-
CED *+J-//io)ac)a Octubre 02 2015
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INTRODUCCION
Mediante este producto que presentaremos con los diferentes aportes del equipo de trabajo 10041!1"#
del curso ecuaciones diferenciales de la uni$ersidad nacional abierta % a distancia UN&D estaremos
poniendo en pr'ctica la aplicaci(n de los diferentes contenidos de la unidad del m(dulo
correspondiente al curso de ecuaciones difereciales) despejando las dudas correspondientes con los
aportes indi$iduales % la asesoria del tutor a la aplicaci(n de los ejercicios de la fase su*eridos en la
*uia inte*radora de acti$idades+
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O,-.TI/O
Determinar el operador que anula una ecuaci(n diferencial
Diferenciar entre una ecuaci(n lineal omo*2nea con coeficiente constante a una ecuaci(n
lineal no omo*2nea+
Identificar soluciones de ecuaciones diferenciales
Desarrollar ecuaciones diferenciales con el m2todo de coeficientes indeterminados+
Resol$er ecuaciones diferenciales por el m2todo de $ariaci(n de par'metros+
&cti$idad indi$idual
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Cada estudiante debe esco*er del listado de ejercicios propuesto un ejercicio de cada tem'tica %desarrollarlo de forma indi$idual+
Tem'tica3 ecuaciones diferenciales de orden superior
Nota3 Del punto 1 cada estudiante debe esco*er un literal a desarrollar) los dem's puntos a 56 se
deben distribuir entre el *rupo para ser desarrollados+1. Indique cu'les de las si*uientes ecuaciones son diferenciales lineales omo*2neas con
coeficientes constantes % cu'les son diferenciales lineales no omo*2neas % resu2l$alas+
A. y ´ ´ +2 y ´ −8 y=0
7a ecuaci(n diferencial es omo*2nea
Transformamos en la ecuaci(n au8iliar
m2+2m−8=0
9actori:amos) talque dos n;meros que sumados den % multiplicados den <=
(m−4)(m+2)=0
7a primera ra>: tiene $alor de3 m1=−4
7a se*unda ra>: tiene $alor de3 m2=2
7a soluci(n ser>a3
yh=c1 e−4 x+c2 e
2 x
Como y (0 )=0, y' (0 )=−1
.ntonces
y (0 )=c1 e−4∗0+c2 e
2∗0=0
⇒c1+c2=0
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⇒c1=−c2
7ue*o
y ' h=−4 c1e−4 x+2c2 e
2 x
.ntonces
y ' (0)=−4c1 e−4∗0+2c2e
2∗0=−1
⇒−4 c1+2c
2=−1
⇒4 c1=2c
2+1
ustitu%endo % despejando
4 c1=2c
2+1
⇒4 c1=−2c1+1
⇒6c1=1
⇒c1=
1
6
.ntonces
c1=−c2
⇒c2=−c1
⇒c2=−1
6
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B. y ´ ´ +8 y ´ +16 y=0
.l polinomio caracter>stico es3 ?@= @15A0ʎ ʎ
@46? A 0ʎ
ʎ₁A ʎ₂A <4
7a soluci(n *eneral es3 γ= C₁ е
−4 x
+C₂ е
−4 x
. χ
,usquemos C₁ % C₂
B 06 A C₁ е0
@C₂ 06 е0
C₁ A 0
e a%a B BA <4C₁ е−4 x
@C₂ е−4 x
< 4E е−4 x
7ue*o3 B 06A <4C₁ е0
@C₂ е0
< 4 (0)е0
A <1
A <406+ 1 @ C₂+ 1< 0A<1 C₂A <1
9inalmente3 F A 0+ е−4 x
@ <16 е−4 x
E
F A < е−4 x
E
C. y ´ ´ +2 y ´ − y=0
,
Donde %06A0) %G06A<1
.l polinomio caracter>stico es3 ?@ <1A0ʎ ʎ
Aʎ
−2±√ 22−4(1)(−1)2(1) A
−2±√ 4+4
2 A
−2±√ −8
2
Aʎ
−2±2√ 2
2 A <1 ±√ 2
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ʎ₁A < 1@ √ 2 % ʎ₂A <1< √ 2
7ue*o F A C₁ е(−1+√ 2) χ
@ C₂ е−(1+√ 2) χ
Hallamos aora C₁ % C₂3
F 06 A C₁ е−(1−√ 2) .0 @ C₂ е−(1+√ 2 ).0
A 0
C₁@C₂ A 0 ① C₂ A <C₁
FA <1@ √ 2 6 C₁ е−(1−√ 2) x
@ <1< √ 2 6 е−(1+√ 2) x
+C₂
ustitu%endo3
F 06 A <1@ √ 2 6 C₁ е0
@ <1< √ 2 6 е0
+C₂A <1
<1 C₁@ √ 2 C₁<C₂< √ 2 C₂ A <1②
7ue*o3 <C₁@ √ 2 C ₁ <<C₁6< √ 2 <C₁6 A <1
<C₁@ √ 2 C₁@C₁@ √ 2 C₁A <1
√ 2 C₁ A < 1
C₁ A−1
2√ 2
C₁A <√ 2
4 ③
C₂ A < C₁ A < <√ 24 6 A
√ 24
9inalmente3 F A <√ 2
4 е(−1+√ 2) x
< е(−1−√ 2) x
6
D. 3 y ´ ´ +14 y ´ +58 y=0
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y=e λx
→3 λ2
e λx+14 λ e
λx+58e λx=0→ (3 λ
2+14 λ+58 ) e λx=0
3 λ2+14 λ+58=0→ λ=
−14±√ 196−696
2 (3 ) =
−14±10 i √ 5
6 =
−7
3 ±
5
3 i√ 5
y=c1 e(−73+53
i√ 5) x+c2 e(−73−5
3i√ 5) x
y=e
−7
3 x {c
1[cos ( 53 √ 5 x )+isin (53 √ 5 x )]+c2[cos( 53 √ 5 x)−isin( 53 √ 5 x )]}
y (1 )=c1+c2=0,
E. y ´ ´ −4 y ´ +4 y=0
Donde %16A1) %G16A1
.l polinomio caracter>stico es:
?< 4 @ 4 A 0ʎ ʎ
< 6? A 0ʎ
ʎ₁ A ? A ʎ
7a soluci(n es de la forma3
B A C₁ е2 X
@ C₂ E е2 X
Calculemos aora C₁ % C₂3
B 16 A C₁ е2(1)
@ C₂ 16 е2(1)
A 1
?+C₁@?+C₂ A 1 ①
,usquemos F A C₁ е2 x
@ C₂E е2 x
@₂ е2 x
B 16AC₁ е2(1)
@C₂ 16 е2(1)
@C₂ е2(1)
A 1
C₁ е2
@C₂ е2
@C₂ е2
A 1
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C₁ е2
@#C₂ е2
A 1 ②
Tenemos el sistema3
C₁ е2
@C₂ е2
A 1 ①
C₁ е2
@#C₂ е2
A 1 ②
Multiplicando ① por <6 % umando con ②) queda3
−2C ₁е2−2C ₂е ²=−2
2C ₁е2+3C ₂е ²=1
C ₂е2=−1
C₂ A < е
−2
&ora3 C₁? @ е−2
6 ? A 1
C₁?<1 A 1
C₁ A1+1
е ²
C₁
A е
−2
9inalmente3
F A е−2
+ е2 x
@ < е−2
6 E е2 x
F A е2 x−2
< E е2 x−2
2. Resuelva el problema de valor inicial:
2 y' ' +3 y
' −2 y=14 x2−4 x−11
!"#=", y'
!"#="
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$. a. Resolver la si%uien&e ecuaci'n di(erencial por el m)&odo de variaci'n de par*me&ros:
y' ' + y=sec
2 x
. Resolver la si%uien&e ecuaci'n di(erencial por el m)&odo de coe(icien&es inde&erminados:
y'' +3 y
' +2 y=3 x+1
7a ecuaci(n au8iliar ser>a3
m2+3m+2=0
7a soluci(n de la ecuaci(n cuadr'tica es3
(m+1)(m+2)=0
Jor lo tanto las ra>ces son3
m1=−1; m2=−2
Notamos que3
h( y)3 x+1
Jor lo tanto3
Y p= Ax+B
Deri$amos dos $eces Y p
Y p= Ax+B
Y ' p= A
Y ' ' p=0
Reempla:ando en 1) tenemos3
0+3 A+2 ( Ax+B )=3 x+1
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3 A+2 Ax+2B=3 x+1
2 Ax+ (3 A+2B )=3 x+1
De aqu>
2 A=3
de donde
A=3
2
De donde 3 A+2B=1
Reempla:amos A por3
2
olucionamos de donde B=−7
4
Reempla:amos los $alores de A % B
Y p= Ax+B
Obteniendo3
Y p=3
2 x+(−7
4 )
Y p=3
2 x−
7
4
Y c=c1 e−2 x+c2 e
− x
Jor lo tanto la soluci(n de la ecuaci(n diferencial dad por y= yc+ y p
Y c=c1 e
−2 x
+c2 e
− x
+
3
2 x−
7
4
. De&ermine un operador di(erencial -ue anule a:
a. x+ xe
b. e senx−e cosx
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. Resolver la si%uien&e ecuaci'n di(erencial:
x2 y
' ' + x y' + y=0
7a transformamos a una ecuaci(n diferencial omo*2nea de coeficiente constante mediante la
sustituci(n+
x=et ⇒ t =ln x
¿ dy
dx=e
−t dy
dt ;
d2 y
d t 2
¿e−2t d
2 y
d t
2 −
dy
dt
Reempla:ando
¿e2t ∗e
−2 t (d2
y
d t 2−
dy
dt )+et ∗e
−t dy
dt + y=0
implificamos
d2 y
d t 2 −
dy
dt +
dy
dt + y=0
.cuaci(n diferencial omo*2nea de coeficiente constante
d2 y
d t 2 + y=0
Jolinomio
p(m )m2+1=0
⇒m1=i ; m2=−i
istema) soluci(n cos t sin t % soluci(n al ejemplo
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y=c1cos ( t )+c2 sen (t ) ;dendet =ln x
y=c1cos ( ln x )+c
2sen ( ln x )
Una masa que pesa 4 lb) estira un resorte # pul*adas al lle*ar al reposo en equilibrio % se le aplica una
$elocidad de K piesLse* diri*ida acia abajo+ Despreciando todas las fuer:as de amorti*uaci(n o
e8ternas que puedan estar presentes) determine la ecuaci(n de mo$imiento de la masa junto con su
amplitud) periodo % frecuencia natural+ Cu'nto tiempo transcurre desde que se suelta la masa asta que
pasa por la posici(n de equilibrio
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umatoria de fuer:as3
.cuaci(n 1 f −f h=0
.cuaci(n le% de Neton6 f =ma
.cuaci(n # le% de Hooe6 f h=−kx
ustitu%endo la ecuaci(n % ecuaci(n # en la ecuaci(n 1+
ma−(−kx )=0
Despreciamos todas las fuer:as de amorti*uaci(n o e8ternas que puedan estar presentes+
d2 x
d t 2 =a
m d
2 x
d t 2 +kx=0
d2 x
d t 2 +
k
m x=0 ;donde w
2= k
m
d2 x
d t 2 +w
2 x=0
d2+w
2=0
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d2=w
2
d1 ,d 2=±iw
7a soluci(n es3
x(t )= Acos wt +Bsin wt
abemos que3
w=2f y!"ew=√ k
m
I*ualando tenemos3
2f = k m
Jara el resorte3
f =1
2 √ k
m
.l periodo de oscilaci(n del resorte es3
1
# =
1
2 √
k
m
# = 2
√ k
m
= 2
√ k
√ m
=
2
1
√ k
√ m
.ntonces3
# =2 √ m
√ k =2 √ m
k
7a soluci(n es3
x(t )= Acos wt +Bsin wt
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Cuando el sistema est' en equilibrio x(0)=0 en el momento en que se le aplica una fuer:a) se tiene
una $elocidad inicial de $(0)=√ 2 pies /se%
0= Acos(0)+B sin(0)
.ntonces3
A=0
Deri$ando x(t )
d x(t )
dt =$(t )=− Awsin wt +Bwcos wt
√ 2=− Aw sin(0)+Bwcos(0)
√ 2=Bw
.ntonces3
B=√ 2
w = √ 2
√ k
m
B=√ 2m
√ k =√ 2m
k
7a soluci(n ser'3
x(t )=√2m
k sinwt
Tambi2n3
x(t )=√2m
k sin√ k
m t
k .s la constante de elasticidad del resorte+
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ituaci(n % soluci(n planteada3
.nunciado3 .l mo$imiento de un sistema masa-resorte con amorti*uaci(n est' re*ido por la ecuaci(n
diferencial3
0P
=++ xdt dxb
dt xd
.n donde)160 = x
)060Q = x
+ .ncuentre la ecuaci(n del mo$imiento para los si*uientes casos3
Caso 13 Mo$imiento subamorti*uado35=b
+
Caso 23 Mo$imiento cr>ticamente amorti*uado310=b
+
Caso 33 Mo$imiento sobreamorti*uado3 14=b
+
Solución:
Caso 1:
5=b
7a ecuaci(n caracter>stica es3
Como son ra>ces complejas conju*adas se usa3
x (t )=c1 e&t cos t +c2 e
&t sin t
0P =++ λ λ b
) cu%as ra>ces son
i4#
10055
±−=
−±−
7a ecuaci(n de mo$imiento tiene la forma3
t eC t seneC t x t t #cos#6 4
4
1
−−+=
++−= − 6#cos##6Q 1
4
1 t C t senC et x t
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6##cos4 1
#t senC t C e
t +−
−
Jara160 = x
%060Q = x
) se tiene el sistema31
1 C = )
14#0 C C +−=
Jor tanto31
1 =C
%
4#
=C
Con las condiciones iniciales se debe reempla:ar en la ecuaci(n % su deri$ada para allar la soluci(n+
9inalmente) la ecuaci(n de mo$imiento tiene la forma3
6#cos4
##6 4
t t senet x t
+= −
Caso 2:
10=b
7a ecuaci(n caracter>stica es3
Como es ra>ces i*uales se usa3
x (t )=c1 e λ1 t +c2t e
λ1 t
0P =++ λ λ b
) cu%as ra>ces son
P
1001010
=−±−
7a ecuaci(n de mo$imiento tiene la forma3
t t t et C C teC eC t x
P
1
P
P
166 +=+=
t t et C C eC t xP
1P
6P6Q +−=
Jara160 = x
%060Q = x
) se tiene el sistema31
1 C =
)1
P0 C C −=
Jor tanto31
1 =C
%P
=C
9inalmente) la ecuaci(n de mo$imiento tiene la forma36P16 Pt et x
t
+=
Caso 3:
14=b
7a ecuaci(n caracter>stica es3
Como es de ra>ces diferentes se usa3
x1(t )=e
λ 1 t y x2
(t )=e λ2 t
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a+0P =++ λ λ b
) cu%as ra>ces son
4"
1001414
±−=−±−
7a ecuaci(n de mo$imiento tiene la forma3
t t eC eC t x
64"
64"
16 −−+−
+=
t t
eC eC t x64"
64"
164"64"6Q −−+− −−++−=
Jara160 = x
%060Q = x
) se tiene el sistema3
11 C C +=
64"64"0 1 −−++−= C C
Jor tanto34=
4"41
+=C
%4=
4"4
−=C
t t eet x
64"64"
4=
4"4
4=
4"46
+−−−
−+
+=
CONC7UION.
Con los aportes de los diferentes inte*rantes del *rupo colaborati$o se lo*r( la construcci(n de este
producto) adquiriendo las destre:as en resol$er ecuaciones diferenciales lineales omo*2neas % no
omo*2neas con coeficientes constantes) desarrollando tambi2n por el m2todo de $ariaci(n de
par'metros as> como el m2todo de coeficientes indeterminados encontr'ndose en capacidad de asociar
9inalmente) la ecuaci(n de mo$imiento tiene la forma3
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problemas de la $ida cotidiana como el ejercicio de una masa % un resorte con una $elocidad
determinada) % la $erificaci(n de todo lo que ocurre con un amorti*uador en los estados
subamorti*uado) cr>ticamente amorti*uado % sobreamorti*uado aplicando lo $isto en la unidad +
R.9.R.NCI& ,I,7IOSR&9IC&
SOM. N) Ricardo+ 016+ .cuaciones Diferenciales+ Jalmira3 UN&D+ 9R&NU.T ,) -osep+ 01#6+ .cuaciones Diferenciales Ordinarias % en Diferencias 9initas+
.spaVa3 UN.D<Tortosa+
J7&TT) Otto+ 1W"46+ .cuaciones Diferenciales Ordinarias+ .ditorial Re$ert23 ,arcelona+
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