Post on 11-Nov-2015
description
CALCULO DIFERENCIAL
TRABAJO COLABORATIVO 2
Presentado por:
FRANCISCO LUIS ACOSTA HERNANDEZ Cod: 85477661
DIANA CAROLINA GUILLEN Cod: 1016008862
DANIEL ALBERTO NOREA Cod:
LUIS CARLOS NAVARRO Cod: 91471734
Grupo: 100410_586
Tutor:
ROBILSON LEONEL VELASCO
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA
COLOMBIA
2015
INTRODUCCIN
El clculo diferencial es una parte del anlisis matemtico que consiste en el estudio de
cmo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio
en el clculo diferencial es la derivada. Una nocin estrechamente relacionada es la de
diferencial de una funcin.
La nocin de lmite tiene mltiples acepciones. Puede tratarse de una lnea que separa dos
territorios, de un extremo a que llega un determinado tiempo o de una restriccin o
limitacin.
A continuacin vamos a ver una serie de ejercicios, en donde estaremos resolviendo lmites
y continuidad de una funcin.
DESARROLLO
Resuelva los siguientes lmites:
1) Cancelar los factores comunes
2
2 2
2 5 + 6=
4 2 2
4 10 + 6=
0
0
Entonces resolvemos por factorizacin
2
2 2
2 5 + 6=
( 2)( + 1)
( 3)( 2)=
( + 1)
( 3)
Sustituyendo la variable
2
( + 1)
( 3)=
(2 + 1)
(2 3) =
3
1
2) Por mtodo de conjugacin
0
9 + 3
=
3 3
0=
0
0
Entonces resolvemos por conjugacin
0
9 + 3
=
9 + 3
.
9 + + 3
9 + + 3=
(9 + )2
+ (3)2
. (9 + + 3)=
9 + 9
. (9 + + 3)
=
. (9 + + 3)=
1
9 + + 3
Ahora sustituyendo la variable:
0
1
9 + + 3=
1
9 + 3=
1
6
3) Por el mtodo de conjugacin
2
3 2 + 5
3 + 6 =
3 3
6 + 6=
0
0
Entonces resolvemos por conjugacin
2
3 2 + 5
3 + 6 =
3 2 + 5
3 + 6 .
3 + 2 + 5
3 + 2 + 5 =
(3)2 (2 + 5)2
(3 + 6)(3 + 2 + 5)
= 9 2 5
(3 + 6)(3 + 2 + 5)=
4 2
(3 + 6)(3 + 2 + 5)
= (2 + )(2 )
3( + 2)(3 + 2 + 5)=
(2 )
3(3 + 2 + 5)
Sustituyendo la variable
2
2
3(3 + 2 + 5)=
2 (2)
3 (3 + (2)2 + 5)=
4
3(3 + 3)=
4
18=
2
9
4) Sustituyendo variable
2
( + )2 2
=
( + (2))2 2
2=
(3)2 2
2=
82
2= 4
5) Lmite trigonomtrico
0
7
2=
7(0)
2(0)=
0
0
0
7
2=
772
1
=7
7 . 2=
7 .7
7
7 . 2 .2
2
= (lim
07) (lim
0 7
7 )
(lim 0
7) . (lim 0
2) . (lim 0
22 )
= (lim
07)
(lim 0
2)=
0
7
2=
7
2
6) Limit trigonomtrico
0
1
=
1 1
0=
0
0
0
1
1 +
1 + =
0
2
(1 + )=
0
1 +
0
0
1 + = 1
0
2= 0
7) Limites hacia el infinito
22 3
5 + 3=
22 3
5 + 3=
22 3
5 +
3
=
22 32
5 +3
= 2
2
32
5 +3
2
3
5 +3
= 0 0
5 + 0=
0
5= 0
8)
lim
(3
43)
3
123
= lim
(1
4)
3
123
Revisando la teoria vemos que: ,
entonces:
lim
(1
4)
3
123
= (1
4)
lim
3
123
Aqu operamos el exponente multiplicando y dividiendo entre x a la 3
(1
4)
lim
3
123
= (1
4)
lim
3
3123
3 = (1
4)
lim
11
32
Aplicamos el lmite
(1
4)
lim
11
32
= (1
4)
102
= (1
4)
12
Como , entonces
(1
4)
12
= 412 = 4 = 2
9)
Qu valor de n hace que la siguiente funcin sea continua?
= {2 5 3
32 2 > 3
Determinamos la continuidad de cada funcin dada en x = 3.
Limite por la izquierda
lim3
2 5 = 6 5
Limite por la derecha
lim3+
32 2 = 27 3 2 = 25 3
Igualamos los resultados y despejamos n
6 5 = 25 3
6 + 3 = 25 + 5
9 = 30
=30
9=
10
3
Luego, para que la funcin sea continua debe cumplirse que:
=10
3
= {
20
3 5 3
32 10
3 2 > 3
Graficamente se determna que efectivamente en x=3 se da la contnuidad (linea punteada)
Grafica elaborada en Matemtica de Microsoft
EJERCICIO 10
Hallar los valores de a y b para que la siguiente funcin se sea continua.
= {2x2 + 1 para x 2
ax b para 2 < x < 13x 6 para x 1
Determinamos la continuidad de la funcin dada de acuerdo a que:
lim2
= lim2+
y lim1
= lim1+
Desarrollamos
lim2
22 + 1 = lim2+
lim1
= lim1+
3x 6
9 = 2 = 3
= 2 9 = 3 +
Igualamos las dos ecuaciones y operamos
2 9 = 3 +
2 = 3 + 9
3 = 12
= 4
Sustituimos b en la segunda ecuacin
= 3 4
= 1
La funcin quedara:
= {2x2 + 1 para x 2
4x + 1 para 2 < x < 13x 6 para x 1
Graficamente se determna que efectivamente en x=-2 y x=1 se da la continuidad (lineas
punteadas)
Grafica elaborada en Matemtica de Microsoft
CONCLUSIONES
De todo esto podemos decir que lo que a veces nos parece complicado de las
matemticas, como en esta rama del Clculo diferencial, realmente es muy fcil si le
ponemos un poco de empeo para entender, algo que es tan fundamental para nosotros
como estudiantes de Ingeniera.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS.
Stewart, J., Redlin, L., Watson, S., (2012). Preclculo, matemtica para el clculo.
Mxico D.F. Pg. 784 - 800. Disponible en
http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2222/libro.php?libroId=331#
Galvn, D. y otros (2012), Clculo diferencial: un enfoque constructivista para el
desarrollo de competencias mediante la reflexin y la interaccin. Mxico DF. Pg. 128
239. Disponible en: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2222/libro.php?libroId=319#