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PROYECTO FIN DE CARRERA

Diagramas de nudos: casi alternancia y adecuación. Aplicaciones en ingeniería

Autor: Francisco Cordovilla Baró

Junio 2009

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Nudos y Diagramas

Implicaciones • sistemas dinámicos,• geometría algebraica,• grupos cuánticos,• física teórica,• etc.

Nudo (espacial

)

Diagrama

(plano)

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Problema de clasificación: ¿cuándo dos diagramas

representan el mismo nudo?

=

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Solución matemática: teoría de invariantes

Polinomio de Jones (Medalla Field en 1990).

VL(t) = t –4 + t –3 – t –1L =

Corchete de Kauffman (1987).

‹ › = – A –5 – A3 + A7

ancho ‹ › = 7 – (–5) = 12

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Estados de un diagrama

A

A

A A

B

A A

A

B B

A

A

A

B

B B

A

B B

B

B

Un estado s de un diagrama D es un etiquetado de cada uno de los cruces de D mediante una letra A ó B.

Los ocho estados posibles del Trébol

B A

B

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Estados como instrucción para suavizar el diagrama

Cada etiqueta A ó B es una instrucción para suavizar el cruce correspondiente.

BA

A B

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Estados extremos y número de círculos

|sAD| + |sBD| = 3 + 2 = 5

A

A

A

B

B

B|sBD| = 2

|sAD| = 3

Número de círculos de D = |sAD| + |sBD|

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El ancho del corchete de Kauffman

ancho (<D>) 2n + 2(|sAD| + |sBD|) – 4

Para diagramas alternantes el número de círculos es n + 2 y por tanto ancho (<D>) 4n.

El proyecto estudia esta cota para diagramas casi-alternantes y 2-casi-alternantes, analizando el número de círculos.

Número de círculos

Es conocida la siguiente cota superior del ancho de <D>:

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Diagramas alternantes y k-casi-alternantes

Diagrama alternante

Diagrama casi-alternante

Diagrama 2-casi-alternante

Cruce desalternador

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Teorema sobre diagramas 2-casi-alternantes

Sea D un diagrama conexo, reducido, fuertemente primo con n cruces.

Supongamos que D es 2-casi-alternante.

Sean c1 y c2 sus desalternadores.

Sea r el número de regiones que colindan simultáneamente con c1 y c2.

Se verifica entonces que r ≤ 3 y se tienen las siguientes igualdades:

• Si r = 0, 1 o bien r = 2 siendo las dos regiones colindantes de igual color, |sAD| + |sBD| = n - 2 .

• Si r = 3, o bien r = 2 siendo las dos regiones colindantes de distinto color, |sAD| + |sBD| = n.

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Ejemplo con r = 3, n = 9

|sAD| = 3 |sBD| = 6

Como predice el teorema,

|sAD| + |sBD| = 3 + 6 = 9 = n.

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Ejemplo con r = 2, mismo color, n = 10

Como predice el teorema,

|sAD| + |sBD| = 7 + 3 = 10 = n.

|sAD| = 7 |sBD| = 3

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Ejemplo con r = 2, distinto color, n = 8

|sAD| = 1 |sBD| = 5

Como predice el teorema,

|sAD| + |sBD| = 1 + 5 = 6 = n - 2.

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Ancho del corchete y diagramas adecuados

<D> = amAm + ... + aMAM

Se conocen las siguientes fórmulas:

M = n + 2|sAD| - 2

m = - n – 2|sBD| + 2

Por tanto ancho (<D>) 2n + 2(|sAD| + |sBD|) – 4

Si los hipotéticos coeficientes extremos am y aM no se anulan, entonces se tiene una igualdad en la fórmula anterior. ¿Cuándo ocurre esto?

Por ejemplo, en el caso de los llamados diagramas adecuados.

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Grafos convertiblesPartiendo del estado extremo sA de un diagrama D, se construye un grafo GD

A

=

Los grafos obtenidos por este procedimiento, o sea, los grafos de tipo GD

A son llamados grafos convertibles.

El proyecto contiene un anexo en donde se abunda en la caracterización de este tipo de grafos.

D sAD

GDA

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Independencia promedio de grafosTodo grafo G lleva asociado un número entero I(G), llamado independencia promedio.

aM = I(GDA)

am = I(GDB)

Teorema (Morton-Bae)

Gr (r hexágonos)

I(Gr) = r + 1

La independencia promedio del grafo vacío es 1.

r

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Diagramas adecuados y grafos convertibles

Adecuado

Luego para los diagramas adecuados

ancho (<D>) = 2n + 2(|sAD| + |sBD|) – 4

Alternante

+

Reducido

GAD= Ø

GBD= Ø

I(GDA) = 1

I(GDB) = 1

aM = 1

am = 1

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Aplicaciones basadas en la teoría de trenzas

Aplicaciones Bioquímica, criptografía, robótica, mecánica de fluidos, etc.

Trenza (espacial) Diagrama (plano) Clausura del diagrama

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Mecánica de fluidos: homogeneización

Mezclar homogéneamente dos fluidos

Distribuir homogéneamente una propiedad en un único fluido

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¿Cómo mezclan fluidos las trenzas ?

El hilo de líquido rosa se mezcla con el líquido azul siguiendo una trenza.

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Hay trenzas buenas y trenzas malas

Trenza periódica σ1 σ2 σ3 σ2

No mezcla bien.

Trenza pseudo-Anosovσ1 σ2

-1 σ3 σ2-1

Sí mezcla bien.

La entropía topológica mide si las trenzas mezclan bien o mal.

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El mezclador plateado

Mecanismo para el mezclado de fluidos

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VGAs en una planta industrialSe trata de diseñar sistemas de control para los VGAs que cumplan las siguientes tres especificaciones:

1. Los VGAs no deben colisionar con los obstáculos.

2. Los VGAs no deben colisionar entre si.

3. Los VGAs deben ser capaces de completar su trabajo con eficiencia, en relación a determinados parámetros.

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Desplazamiento de VGAs siguiendo una trenza

B A

BA

BA

BA

Una trenza contiene la información del posible movimiento simultáneo de varios VGAs, tantos como cuerdas tenga la trenza.

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Espacios de configuraciónEl tiempo es la variable z según la cual se desarrolla la trenza.

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FIN

MUCHAS GRACIAS

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Demostración del caso r = 1

Ya que D* es alternante y conexo sabemos que |sAD*| + |sBD*| = n + 2

Se prueba que :|sAD| = |sAD*| - 2

|sBD| = |sBD*| - 2

de modo que:

|sAD| + |sBD| = (n + 2) – 4 = n – 2.

D D*

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Caso r = 1 (continuación)

|sAD| = |sAD*| - 2

D D*

sAD sAD*

sAD sAD*