1

Ordenación, Clasificación

• Introducción

• Algoritmos

• Complejidad

2

Introducción

• Ordenación o clasificación es el proceso de reordenar un conjunto de objetos en un orden específico. El propósito de la ordenación es facilitar la búsqueda de elementos en el conjunto ordenado.

• Existen muchos algoritmos de ordenación, siendo la diferencia entre ellos las ventajas de unos sobre otros en la eficiencia en tiempo de ejecución.

3

Introducción

• Los métodos de ordenación se pueden clasificar en dos categorías:

– ordenación de ficheros y – ordenación de arrays.

También suele llamarse ordenamiento externo e interno, debido a que los ficheros se guardan en la memoria externa (lenta) mientras que los arrays se almacenan en la memoria rápida del ordenador (interna). En esta sección sólo se aborda el ordenamiento interno.

4

Introducción

• El problema del ordenamiento puede establecerse mediante la siguiente ación:

Dados los elementos:

Ordenar consiste en permutar esos elementos en un orden:

tal que dada una función de ordenamiento f:nkkk aaa ,,,

21

)()()(21 nkkk afafaf

naaa ,,, 21

5

Introducción

• Normalmente, la función de ordenamiento no es evaluada de acuerdo a una regla de computación determinada, pero se guarda como un componente explícito (campo) de cada item (elemento). El valor de ese campo se llama la llave del item.

• Un método de ordenamiento es estable si el orden relativo de elementos con igual llave permanece inalterado por el proceso de ordenamiento.

• Se entiende que los métodos de ordenamiento buscan un uso eficiente de la memoria por lo que las permutaciones de elementos se hará in situ, es decir, usando el mismo contenedor original.

6

Introducción

• En lo que sigue se considera que la estructura lineal (array, lista, vector o secuencia) a ordenar se representa por un array de objetos (números enteros):

int a[ ] = new int[MAX];

• siendo MAX el número máximo de elementos del array. El orden de los elementos después de la ordenación se considera ascendente.

7

Algoritmo burbuja

• Es un método caracterizado por la comparación e intercambio de pares de elementos hasta que todos los elementos estén ordenados.

• En cada iteración se coloca el elemento más pequeño (orden ascendente) en su lugar correcto, cambiándose además la posición de los demás elementos del array.

8

Algoritmo burbuja

Datosoriginales 1ª iter. 2ª 3ª 4ª36 6 6 6 624 36 10 10 1010 24 36 12 126 10 24 36 2412 12 12 24 36

9

Algoritmo burbuja

Datosoriginales 1ª iter. 2ª 3ª 4ª36 6 6 6 624 36 10 10 1010 24 36 12 126 10 24 36 2412 12 12 24 36

10

Algoritmo burbuja

Datosoriginales 1ª iter. 2ª 3ª 4ª36 6 6 6 624 36 10 10 1010 24 36 12 126 10 24 36 2412 12 12 24 36

11

Algoritmo burbuja

Datosoriginales 1ª iter. 2ª 3ª 4ª36 6 6 6 624 36 10 10 1010 24 36 12 126 10 24 36 2412 12 12 24 36

12

Algoritmo burbuja

Datosoriginales 1ª iter. 2ª 3ª 4ª36 6 6 6 624 36 10 10 1010 24 36 12 126 10 24 36 2412 12 12 24 36

13

Algoritmo burbuja

for(i=n;i>0;i--)

for(j=0;j<i-1;j++)

if (a[j] > a[j+1])

{

t=a[j];

a[j] = a[j+1];

a[j+1]=t;

ninterc++;

}

14

Algoritmo sacudida (shakesort)

• Es una mejora del algoritmo de burbuja en el que se registra la ocurrencia de un intercambio y el índice del último intercambio y se alterna la dirección de las pasadas consecutivas. Con ello una burbuja liviana en el lado “pesado” y una pesada en el lado “liviano” quedarán en orden en una pasada simple.

15

Algoritmo sacudida (shakesort) l=1; r=n-1; k=n-1; do { for(j=r; j>=l; j--) if (a[j-1]>a[j]) { t=a[j-1]; a[j-1] = a[j]; a[j]=t; k=j; ninterc++; }

l=k+1; for(j=l; j<=r; j++) if (a[j-1]>a[j]) { t=a[j-1]; a[j-1] = a[j]; a[j]=t; k=j; ninterc++; } r=k-1; } while (l<r);

16

Algoritmo inserción

• Este método es usado por los jugadores de cartas. Los elementos están divididos conceptualmente en una secuencia destino y una secuencia fuente . En cada paso, comenzando con i=2 e incrementando i en uno, el elemento i-ésimo de la secuencia fuente se toma y se transfiere a la secuencia destino insertándolo en el lugar adecuado.

• En otras palabras, en el i-ésimo paso insertamos el i-ésimo elemento a[i] en su lugar correcto entre a[1], a[2],…., a[i-1], que fueron colocados en orden previamente.

17

Algoritmo inserción

Arrayoriginal: 44 55 12 42 94 18 06 67i=2 44 55 12 42 94 18 06 67

i=3 12 44 55 42 94 18 06 67

i=4 12 42 44 55 94 18 06 67

i=5 12 42 44 55 94 18 06 67

i=6 12 18 42 44 55 94 06 67

i=7 06 12 18 42 44 55 94 67

i=8 06 12 18 42 44 55 67 94

18

Algoritmo inserción

Arrayoriginal: 44 55 12 42 94 18 06 67i=2 44 55 12 42 94 18 06 67

i=3 12 44 55 42 94 18 06 67

i=4 12 42 44 55 94 18 06 67

i=5 12 42 44 55 94 18 06 67

i=6 12 18 42 44 55 94 06 67

i=7 06 12 18 42 44 55 94 67

i=8 06 12 18 42 44 55 67 94

19

Algoritmo inserción

Arrayoriginal: 44 55 12 42 94 18 06 67i=2 44 55 12 42 94 18 06 67

i=3 12 44 55 42 94 18 06 67

i=4 12 42 44 55 94 18 06 67

i=5 12 42 44 55 94 18 06 67

i=6 12 18 42 44 55 94 06 67

i=7 06 12 18 42 44 55 94 67

i=8 06 12 18 42 44 55 67 94

20

Algoritmo inserción

Arrayoriginal: 44 55 12 42 94 18 06 67i=2 44 55 12 42 94 18 06 67

i=3 12 44 55 42 94 18 06 67

i=4 12 42 44 55 94 18 06 67

i=5 12 42 44 55 94 18 06 67

i=6 12 18 42 44 55 94 06 67

i=7 06 12 18 42 44 55 94 67

i=8 06 12 18 42 44 55 67 94

21

Algoritmo inserción

Arrayoriginal: 44 55 12 42 94 18 06 67i=2 44 55 12 42 94 18 06 67

i=3 12 44 55 42 94 18 06 67

i=4 12 42 44 55 94 18 06 67

i=5 12 42 44 55 94 18 06 67

i=6 12 18 42 44 55 94 06 67

i=7 06 12 18 42 44 55 94 67

i=8 06 12 18 42 44 55 67 94

22

Algoritmo inserción

Arrayoriginal: 44 55 12 42 94 18 06 67i=2 44 55 12 42 94 18 06 67

i=3 12 44 55 42 94 18 06 67

i=4 12 42 44 55 94 18 06 67

i=5 12 42 44 55 94 18 06 67

i=6 12 18 42 44 55 94 06 67

i=7 06 12 18 42 44 55 94 67

i=8 06 12 18 42 44 55 67 94

23

Algoritmo inserción

Arrayoriginal: 44 55 12 42 94 18 06 67i=2 44 55 12 42 94 18 06 67

i=3 12 44 55 42 94 18 06 67

i=4 12 42 44 55 94 18 06 67

i=5 12 42 44 55 94 18 06 67

i=6 12 18 42 44 55 94 06 67

i=7 06 12 18 42 44 55 94 67

i=8 06 12 18 42 44 55 67 94

24

Algoritmo inserción

Arrayoriginal: 44 55 12 42 94 18 06 67i=2 44 55 12 42 94 18 06 67

i=3 12 44 55 42 94 18 06 67

i=4 12 42 44 55 94 18 06 67

i=5 12 42 44 55 94 18 06 67

i=6 12 18 42 44 55 94 06 67

i=7 06 12 18 42 44 55 94 67

i=8 06 12 18 42 44 55 67 94

25

Algoritmo inserción

for(i=1;i<n;i++) { j=i-1; t=a[i]; while (j>=0 && t<a[j]) { a[j+1] = a[j]; j=j-1; } a[j+1]=t; }

26

Algoritmo selección

• En éste método, en el i-ésimo paso seleccionamos el elemento con la llave de menor valor, entre a[i],…, a[n] y lo intercambiamos con a[i]. Como resultado, después de i pasadas, el i-ésimo elemento menor ocupará a[1],…, a[i] en el lugar ordenado.

27

Algoritmo selección

Arrayoriginal: 44 55 12 42 94 18 06 67i=2 06 55 12 42 94 18 44 67

i=3 06 12 55 42 94 18 44 67

i=4 06 12 18 42 94 55 44 67

i=5 06 12 18 42 94 55 44 67

i=6 06 12 18 42 44 55 94 67

i=7 06 12 18 42 44 55 94 67

i=8 06 12 18 42 44 55 67 94

28

Algoritmo selección

Arrayoriginal: 44 55 12 42 94 18 06 67i=2 06 55 12 42 94 18 44 67

i=3 06 12 55 42 94 18 44 67

i=4 06 12 18 42 94 55 44 67

i=5 06 12 18 42 94 55 44 67

i=6 06 12 18 42 44 55 94 67

i=7 06 12 18 42 44 55 94 67

i=8 06 12 18 42 44 55 67 94

29

Algoritmo selección

Arrayoriginal: 44 55 12 42 94 18 06 67i=2 06 55 12 42 94 18 44 67

i=3 06 12 55 42 94 18 44 67

i=4 06 12 18 42 94 55 44 67

i=5 06 12 18 42 94 55 44 67

i=6 06 12 18 42 44 55 94 67

i=7 06 12 18 42 44 55 94 67

i=8 06 12 18 42 44 55 67 94

30

Algoritmo selección

Arrayoriginal: 44 55 12 42 94 18 06 67i=2 06 55 12 42 94 18 44 67

i=3 06 12 55 42 94 18 44 67

i=4 06 12 18 42 94 55 44 67

i=5 06 12 18 42 94 55 44 67

i=6 06 12 18 42 44 55 94 67

i=7 06 12 18 42 44 55 94 67

i=8 06 12 18 42 44 55 67 94

31

Algoritmo selección

Arrayoriginal: 44 55 12 42 94 18 06 67i=2 06 55 12 42 94 18 44 67

i=3 06 12 55 42 94 18 44 67

i=4 06 12 18 42 94 55 44 67

i=5 06 12 18 42 94 55 44 67

i=6 06 12 18 42 44 55 94 67

i=7 06 12 18 42 44 55 94 67

i=8 06 12 18 42 44 55 67 94

32

Algoritmo selección

Arrayoriginal: 44 55 12 42 94 18 06 67i=2 06 55 12 42 94 18 44 67

i=3 06 12 55 42 94 18 44 67

i=4 06 12 18 42 94 55 44 67

i=5 06 12 18 42 94 55 44 67

i=6 06 12 18 42 44 55 94 67

i=7 06 12 18 42 44 55 94 67

i=8 06 12 18 42 44 55 67 94

33

Algoritmo selección

Arrayoriginal: 44 55 12 42 94 18 06 67i=2 06 55 12 42 94 18 44 67

i=3 06 12 55 42 94 18 44 67

i=4 06 12 18 42 94 55 44 67

i=5 06 12 18 42 94 55 44 67

i=6 06 12 18 42 44 55 94 67

i=7 06 12 18 42 44 55 94 67

i=8 06 12 18 42 44 55 67 94

34

Algoritmo selección

Arrayoriginal: 44 55 12 42 94 18 06 67i=2 06 55 12 42 94 18 44 67

i=3 06 12 55 42 94 18 44 67

i=4 06 12 18 42 94 55 44 67

i=5 06 12 18 42 94 55 44 67

i=6 06 12 18 42 44 55 94 67

i=7 06 12 18 42 44 55 94 67

i=8 06 12 18 42 44 55 67 94

35

Algoritmo selección for(i=0;i<n-1;i++) { k=i; t=a[i]; for (j=i+1; j<n; j++) { if (a[j] < t) { t= a[j]; k=j; } a[k]= a[i]; a[i]= t; } }

36

Algoritmo rápido (Quicksort)• La ordenación rápida se basa en el hecho que los

intercambios deben ser realizados preferentemente sobre distancias grandes.

• El algoritmo a seguir es el mismo que se aplica cuando se quiere ordenar un gran montón de exámenes:

– Seleccionar un valor de división (L por ejemplo) y dividir el montón en dos pilas, A-L y M-Z. Después se toma la primera pila y se subdivide en dos, A-F y G-L por ejemplo. A su vez la pila A-F puede subdividirse en A-C y D-F. Este proceso continúa hasta que las pilas sean suficientemente pequeñas para ordenarlas fácilmente. El mismo proceso se aplica a la otra pila.

37

Algoritmo rápido (Quicksort)

• En este caso se toma un elemento x del array (el del medio por ejemplo), se busca en el array desde la izquierda hasta que >x, lo mismo se hace desde la derecha hasta encontrar <x.

• Después se intercambia esos elementos y se continúa ese proceso hasta que los índices se encuentren en la mitad del array. Se aplica el mismo proceso para la porción izquierda del array entre el extremo izquierdo y el índice derecho y para la porción derecha entre el extremo derecho y el último índice izquierdo.

38

Algoritmo rápido (Quicksort)

• Descripción del algoritmo:

1) Dividir : Si la secuencia S tiene 2 o más elementos, seleccionar un elemento x de S como pivote. Cualquier elemento arbitrario, como el último, puede servir. Elimiar los elementos de S dividiéndolos en 3 secuencias:

L, contiene los elementos de S menores que x

E, contiene los elementos de S iguales a x

G, contiene los elementos de S mayores que x

2) Recursión: De forma recursiva ordenar L y G

3) Vencer: Finalmente, colocar nuevamente los elementos en S en orden, primero insertar los elementos de L, después E, y los elementos de G.

39

Idea de Quick Sort

1) Selección: tomar un elemento

2) Dividir: reordenar los elementos tal que x va a su posición final E

3) Recursión y Vencer: ordenar recursivamente

40

Arbol Quicksort

41

Arbol Quicksort

42

Arbol Quicksort

43

Arbol Quicksort

44

Arbol Quicksort

45

Arbol Quicksort

46

Arbol Quicksort

47

Arbol Quicksort

48

Arbol Quicksort

49

Arbol Quicksort

50

Arbol Quicksort

51

Arbol Quicksort

52

... Arbol Quicksort (final)

53

Quicksort In-Place

Paso Dividir: l recorre la secuencia desde la izquierda, y r desde la derecha

Se realiza un intercambio cuando l está en un elemento mayor que el pivote y r está en uno menor al pivote.

54

In Place Quick Sort (contd.)

Un intercambio con el pivote completa el paso dividir cuando r < l

55

Algoritmo rápido (Quicksort)

void qsort(int izq, int der, int a[])

{ int i, ult, m, tmp;

if (izq >= der) return; tmp= a[izq]; m= (izq+der)/2; a[izq]= a[m]; a[m]=tmp; ult=izq;

for (i=izq+1;i<=der;i++) if (a[i] < a[izq]) { tmp= a[++ult]; a[ult]= a[i]; a[i]=tmp; } tmp= a[izq]; a[izq]= a[ult]; a[ult]=tmp; qsort(izq,ult-1,a); qsort(ult+1,der,a);}

56

Ordenación directa por base (radix sort)

• A diferencia de otros métodos, radix sort considera la estructura de las llaves.

• Se asume que las llaves están representadas en un sistema de numeración M (M=radix), e.g., si M=2, las llaves están representadas en binario.

• Toma ventaja de la posición de cada dígito individual en la clave. Hay dos versiones de la ordenación radix: MSD (most significant digit), LSD (least significant digit).

• La ordenación se realiza comparando los bits en cada posición.

57

Ejemplo Radix sort

Conjunto a ordenar: { 33, 60, 5, 15, 25, 12, 45, 70, 35, 7}

frente colacola_digitos[0] 60 70cola_digitos[1]cola_digitos[2] 12cola_digitos[3] 33cola_digitos[4]cola_digitos[5] 5 15 25 45 35cola_digitos[6]cola_digitos[7] 7cola_digitos[8]cola_digitos[9]

58

Ejemplo Radix sort

Conjunto a ordenar: { 33, 60, 5, 15, 25, 12, 45, 70, 35, 7}

frente colacola_digitos[0] 05 07cola_digitos[1] 12cola_digitos[2] 25cola_digitos[3] 33 35cola_digitos[4]cola_digitos[5] 45cola_digitos[6] 60cola_digitos[7] 70cola_digitos[8]cola_digitos[9]

59

Radix sort directo

Se examinan los bits de derecha a izquierda

for k=0 to b-1 ordenar el array de forma estable tomando solo el bit k

60

Radix sort en enteros

La ordenación resultante es estable:

61

Análisis de Tiempo de Ejecución

• Los algoritmos de burbuja, inserción, selección corren en O(n2).

• El algoritmo quicksort, montones corren en O(nlogn)• El algoritmo radix sort es O(n)