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Lógica Proposiciona
l
Trabajo Práctico Nº 1Lógica Proposicional
1) Para describir los diversos restaurantes de la ciudad, denotemos con p: “la comida es buena” ; con q: “el servicio es bueno” y con r: “el restaurante es de tres estrellas”. Escribir simbólicamente las siguientes proposiciones : a)- La comida es buena o el servicio es bueno, o ambas cosas b)-La comida es buena o el servicio es bueno, pero no ambas cosas. c)-La comida es buena y el servicio no. d)- No sucede que tanto la comida sea buena como que el restaurante sea de tres
estrellas e)- Si tanto la comida como el servicio son buenos, entonces el restaurante es de
tres estrellas. f)- No es cierto que ser de tres estrellas siempre signifique buena comida y buen
servicio.
2) Denotemos con p “el clima es agradable” y con q “vamos de día de campo”. Traducir las siguientes proposiciones al lenguaje coloquial. a) p q b) p q c) q p d) (p q)
3) Construir las tablas de verdad de los siguientes esquemas proposicionales:
a) (p q) p c) (q p) ( p q) e) (p q) (r)b) p (p q) d) (r r)
4) Los valores de verdad de las proposiciones p; q; y r; y s son respectivamente
V ; F ; F y V. Obtener los valores de verdad de : i) [( p q ) r] s ii) r (s p) iii) (p r) (r s)
5) Determinar en cada caso si la información que se da es suficiente para conocer el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. En caso afirmativo, justificarlo.
i) (p q) r ; r es V ii) (p q) ( p q) ; q es V
6) Determinar, si es posible, el valor de verdad de las siguientes proposiciones : a) (p q) q si p q es Falso b) p (p q) si p q es Verdad c) [ (p q) q] q si p es Verdad y q es Verdad
7) Simplificar las siguientes proposiciones: a) ( p q) b) (p q) ( p q) c)
(p q)
8) Negar los siguientes esquemas proposicionales y obtener expresiones equivalentes.i) q r iii) p (q r) ii) (p q) r iv) (p q) ( p q)
9) Determinar si las siguientes proposiciones son leyes lógicas : i) ( p q ) r iii) p [ p q ] ii) [ (p q) (q r) ] (p r) iv) (p r) (r p)
10) Cierto país está habitado por personas que siempre dicen la verdad o que siempre mienten, y que responderán preguntas solo con “si” o “no”. Un turista llega a una bifurcación en el camino, una de cuyas ramas conduce a la Capital y la otra no. No hay un letrero que diga qué camino seguir, pero hay un nativo, el señor z, parado en la bifurcación. ¿ Qué única pregunta deberá hacerle el turista para determinar qué camino seguir?.
PROPOSICION es una expresión de la cual se puede decir que es verdadera o que es falsa
“El Gral. San Martín cruzó la cordillera de los Andes” es una proposición
verdadera
“Manuel Belgrano compuso el Himno Nacional” es una proposición falsa
pero de la expresión: ¿ Vendrás hoy ? no puede decirse que sea verdadera,
ni falsa; entonces, ésta no es una proposición.
Vamos a denotar a las proposiciones con las letras minúsculas p, q, r, s, t, u . . .
Entonces :
p : El Gral. San Martín cruzó la cordillera de los Andesq : Manuel Belgrano compuso el Himno Nacional
1 a b1 a b
1 e1 e
1 c d1 c d
1 f1 f
2 a b2 a b
2 c d2 c d
NEGACIONSi queremos negar una proposición debemos anteponer expresiones como No es cierto que . . .; No sucede que . . .; o insertar convenientemente en la expresión . . . NO . . . . así, la proposición
“No es cierto que el Gral. San Martín cruzó la cordillera de los Andes”
es equivalente a decir : “El Gral. San Martín NO cruzó la cordillera de los Andes”
Simbólicamente se antepone a la letra que denota la proposición,
el símbolo ó - también puede usarse
p : No es cierto que el Gral. San Martín cruzó la cordillera de los Andes
p : El Gral. San Martín NO cruzó la cordillera de los Andes
1 e1 e 1 f1 f
2 a b2 a b 2 c d2 c d
1 a b1 a b
1 c d1 c d
CONECTORES LOGICOS
Para vincular las proposiciones vamos a valernos de los conectores lógicos; ellos son:
conjuncióndisyunción incluyentedisyunción excluyenteimplicación doble implicaciónMediante el uso de los conectores y símbolos
sintácticos (paréntesis, corchetes, llaves), podemos vincular dos o mas proposiciones
entre sí
1 a b1 a b
1 c d1 c d
1 e1 e 1 f1 f
2 a b2 a b 2 c d2 c d
Dadas las proposiciones : P : El jueves es el examen q : El viernes viajo
Podemos escribir las proposiciones compuestas :
p q
“El jueves es el examen o el viernes viajo, o ambas cosas”
p q
“El jueves es el examen o el viernes viajo, pero no ambas cosas”
p q
“El jueves es el examen implica que el viernes viajo” o
“Si el jueves es el examen, entonces el viernes viajo”p q
“El jueves es el examen si y solo si el viernes viajo p q
“El jueves es el examen y el viernes viajo”
1 e1 e 1 f1 f
2 a b2 a b 2 c d2 c d
1 a b1 a b
1 c d1 c d
1) a) En la expresión “La comida es buena o el servicio es bueno, o ambas
cosas”
Las proposiciones involucradas son p : La comida es buena q : el servicio es bueno
La expresión simbólica es :
están vinculadas con el conector o ; debe considerarse que al final se especifica que pueden suceder ambas cosas
el conector que corresponde es DISYUNCION INCLUYENTE ( )
1 b) En la expresión “La comida es buena o el servicio es bueno, pero no ambas cosas”
Las proposiciones involucradas son p : La comida es buena q : el servicio es bueno
La expresión simbólica es :
están vinculadas con el conector o ; debe considerarse que al final se especifica que no pueden suceder ambas cosas
corresponde el conector de DISYUNCION EXCLUYENTE ( )
p q
p q o p q 1e1e1 c-d1 c-d 1f1f
ProposiciProposiciónón
NegaciónNegación
OperacionOperacioneses
EjemplosEjemplos
1 c) En la expresión “La comida es buena y el servicio no es bueno“
Las proposiciones involucradas son: p : La comida es buena q : el servicio es bueno
p y q están vinculadas con el operador y el operador que corresponde ahora es CONJUNCION ( )
pero la proposición “el servicio es bueno” está negada
q
La expresión simbólica es : p q1 d) En la expresión : No sucede que tanto la comida sea buena como que el restaurante sea de tres estrellas” Las proposiciones involucradas son: p : La comida es buena
r : El restaurante es de tres estrellas“pero el “que tanto“ es la negación de toda la expresión
No es negación
La expresión simbólica es :
(p r)en ella, el “como que” sugiere una conjunción ( p r )
1e1e 1f1f
ProposiciProposiciónón
NegaciónNegación
OperacionOperacioneses
EjemplosEjemplos
1 e) En la expresión :
Si tanto la comida como el servicio son buenos, entonces el restaurante es de tres estrellas.
Las proposiciones involucradas son : p : La comida es buena q : El servicio es bueno r : El restaurante es de tres estrellas
La expresión simbólica es :
donde aparecerán involucradas dos proposiciones: la primera llamada antecedente y la otra llamada consecuente
Si (antecedente) entonces (consecuente)vamos a detectar ahora cual es el antecedente y cual es el consecuente de la implicación.
El antecedente es : Si (tanto la comida como el servicio son buenos)
p qEl consecuente es : entonces (el restaurante es de tres estrellas)
r( p q ) r
La forma es :
El Si . . . . . . . entonces . . . . . . nos hace pensar en la implicación
1f1f
ProposiciProposiciónón
NegaciónNegación
OperacionOperacioneses
EjemplosEjemplos
1 f) En la expresión :No es cierto que si el restaurante es de tres estrellas siempre signifique buena comida y buen servicio.
Las proposiciones involucradas son : p : La comida es buenaq : El servicio es bueno r : El restaurante es de tres estrellas
detectaremos ahora cual es el antecedente y el consecuente de la implicación
el consecuente es la conjunción
Aparecen aquí tres operacionesla primera es una negación que afecta a toda la expresión que continúase distingue también una implicación,
aunque no aparezca aquí el clásico “si . . . entonces . . . “ sino “si . . . .siempre significa . . . . “
el antecedente es la proposiciónr : el restaurante es de tres estrellas
[ r ( p q) ] p q : la comida es buena y el servicio es bueno
La expresión simbólica es :
ProposiciProposiciónón
NegaciónNegación
OperacionOperacioneses
EjemplosEjemplos
2 a) Si las proposiciones son : p : “el clima es agradable” q : “vamos de día de campo”
La proposición compuestap q es la conjunción de las proposiciones p con q
que en el lenguaje coloquial se expresa :
“el clima es agradable y vamos de día de campo”
La proposición compuestap q es la doble implicación de las proposiciones p con qque en el lenguaje coloquial se expresa :
“el clima es agradable si y solo si vamos de día de campo”
2 b) Si las proposiciones son : p : “el clima es agradable” q : “vamos de día de campo”
2 c-d2 c-d
ProposiciProposiciónón
NegaciónNegación
OperacionOperacioneses
EjemplosEjemplos
2 c) Si las proposiciones son : p : “el clima es agradable” q : “vamos de día de campo”
La proposición compuesta
q p es la implicación q implica p
que en el lenguaje coloquial se expresa :
“ Si vamos de día de campo entonces el clima es agradable”
La proposición compuesta
(p q) es la negación de la doble implicación de las proposiciones
p con qque en el lenguaje coloquial se expresa :“No es cierto que el clima es agradable si y solo si
vamos de día de campo”
2 d) Si las proposiciones son : p : “el clima es agradable” q : “vamos de día de campo”
ProposiciProposiciónón
NegaciónNegación
OperacionOperacioneses
EjemplosEjemplos
La primera operación que vamos a tratar es la negación
Tablas de Verdad
Si p es verdad , p es falso
Si p es falso , p es verdad
p pV FF V
La tabla de verdad de la conjunción de proposiciones se resuelve :
Verdadera si ambas proposiciones son
verdaderasFalsa si alguna o
ambas proposiciones son falsas
p q p qVV
V V
VF F
FFF
FF
3–4-53–4-5
66
3 a-b3 a-b
44 5 i5 i
6 i-ii6 i-ii
3 c-d3 c-d
3 e3 e
5 ii5 ii
6 iii6 iii
La tabla de verdad de la disyunción de proposiciones se resuelve
p q p qVV
V V
VF V
VFF
FF
verdadera a si alguna o ambas proposiciones
son verdaderas
falsa si ambas proposiciones son
falsasLa tabla de verdad de la disyunción excluyente
de proposiciones se resuelve
p q p qVV
V F
VF V
VFF
FF
verdadera si las proposiciones tienen valores
de verdad diferentes
falsa si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad
3–4-53–4-5
66
3 a-b3 a-b 3 c-d3 c-d 3 e3 e
44 5 i5 i
6 i-ii6 i-ii
5 ii5 ii
6 iii6 iii
La tabla de verdad de la doble implicación se resuelve :
p q p qVV
V V
VF F
FVF
FF
verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdadfalsa las proposiciones tienen valor de verdad
diferente
La tabla de verdad de la implicación de proposiciones se resuelve
p q p qVV
V V
VF F
VVF
FF
verdadera si ambas proposiciones son
verdaderas
si el antecedente es falso, no importa el consecuente, la implicación es verdadera
falsa únicamente con antecedente (p)
verdadero y consecuente (q) falso
los términos los términos antecedenteantecedente – – consecuenteconsecuente se usan se usan
exclusivamente en ésta operaciónexclusivamente en ésta operación
3–4-53–4-5
66
3 a-b3 a-b 3 c-d3 c-d 3 e3 e
44 5 i5 i
6 i-ii6 i-ii
5 ii5 ii
6 iii6 iii
Las posibles combinaciones de valores de verdad entre dos proposiciones siempre se agotan en cuatro alternativas ; en caso que estén involucradas mas de dos proposiciones en una operación lógica, para averiguar la cantidad de alternativas posibles, usaremos la expresión : 2n donde n es la cantidad de proposiciones.
Si tengo que operar las proposiciones p ;
q y r, las combinaciones
posibles serán: 23 = 8
p q r resultado
V V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F
3–4-53–4-5
66
3 a-b3 a-b 3 c-d3 c-d
3 e3 e 44
5 i5 i
6 i-ii6 i-ii
5 ii5 ii
6 iii6 iii
3 a) Para hacer la tabla de verdad de ( p q )
p debemos resolver primero p q
p q p q (p q) p
V VV
V
VFF
VVF
F
F
V
FV
V
3 b) Para hacer la tabla de verdad de p ( p q )
debemos resolver primero p q
p q p q p (p q)
V VV
V
VFF
VVF
F
F
V
FV
V
considerando la considerando la columna columna p q obtenida como obtenida como
antecedente y la de antecedente y la de q como consecuente, como consecuente,
resolvemos la resolvemos la implicaciónimplicación
y con la columna y con la columna obtenida buscar el obtenida buscar el
resultado final.resultado final.
3 e3 e3 c-d3 c-d
Negación - Negación - ConjunciónConjunción
Implicación Implicación Doble Doble
ImplicaciónImplicación
Disyunción Disyunción Disyunción Disyunción ExcluyenteExcluyente
3 c) para resolver (q p) ( p q) debemos resolver por separado las implicaciones (q p) y ( p q) ; y luego buscar el resultado final
hallando una implicación entre esos dos resultados parciales
p qVV
V V
VF F
VVF
FF
VV
VF
V
VV
F
q p p q (q p) (p q)
3 d)3 d) Para resolver Para resolver ( r ( r r ) r ) debemos resolver primero debemos resolver primero ( r ( r r ) ; r ) ;
cuando r (antecedente) es cuando r (antecedente) es verdad, r (consecuente) verdad, r (consecuente)
también es verdadtambién es verdad,, idéntica idéntica situación cuando r es falso. situación cuando r es falso.
r rVF
V VF V
FF
y luego negar y luego negar ( r ( r r ) r )
r r ( r r )
3 e3 e
Negación - Negación - ConjunciónConjunción
Implicación Implicación Doble Doble
ImplicaciónImplicación
Disyunción Disyunción Disyunción Disyunción ExcluyenteExcluyente
3 e)3 e) En ( p En ( p q ) q ) ( ( r ) aparecen involucradas tres r ) aparecen involucradas tres proposiciones,la tabla de verdad debe contemplar todas las proposiciones,la tabla de verdad debe contemplar todas las posibles configuraciones de valores de verdad entre las tres posibles configuraciones de valores de verdad entre las tres
proposiciones. También proposiciones. También r rp q rp q rV V VV V VV V FV V FV F VV F VV F FV F FF V VF V VF V FF V FF F VF F VF F FF F F
rr FFVVFFVVFFVVFFVV
Luego se resuelve Luego se resuelve ( p ( p q )q )
p p q q VVVVFFFFFFFFFFFF
y finalmente y finalmente ( p ( p q ) q ) ( ( r ) r )
( p ( p q ) q ) ( ( r ) r ) VV
VVFFVVFFVV
FFVV
Negación - Negación - ConjunciónConjunción
Implicación Implicación Doble Doble
ImplicaciónImplicación
Disyunción Disyunción Disyunción Disyunción ExcluyenteExcluyente
4)4) Para resolver este ejercicio podemos confeccionar una tabla Para resolver este ejercicio podemos confeccionar una tabla de verdad solamente para los valores asignados a las de verdad solamente para los valores asignados a las
proposicionesproposicionesi) [(p i) [(p q) q) r] r] s se resuelve: s se resuelve:
p q r sp q r s
V F F VV F F V
p p q q
VV
(p (p q) q) r r
VV
[(p [(p q) q) r] r] s s
VV
ii) r ii) r (s (s p) se resuelve: p) se resuelve:
p r sp r s
V F VV F V
s s p p
VV
r r (s (s p) p)
VV
iii) (p iii) (p r) r) (r (r s) se s) se resuelve:resuelve:
p r sp r s
V F VV F V
ssFF
p p r r r r s s
VV FF
(p (p r) r) (r (r s)s)
FF
Negación - Negación - ConjunciónConjunción
Implicación Implicación Doble Doble
ImplicaciónImplicación
Disyunción Disyunción Disyunción Disyunción ExcluyenteExcluyente
Otra forma de resolverlo es usando tablas de verdad
5 i)5 i) Para saber el valor de verdad de Para saber el valor de verdad de (p q) r ; cuando r es V Debemos considerar que la operación principal es una
implicación, donde el consecuente ( r ) es verdad.
Repasamos la tabla de verdad de la Repasamos la tabla de verdad de la implicación:implicación:
p q p q V V V V F F F V V F F V
Vemos que la implicación es falsa solo cuando el consecuente es falso y el
antecedente verdadero.Si nuestro consecuente Si nuestro consecuente r es V, , no importa si p q es verdad o falso
p q rAnalizamos solamente cuando r es verdad
VVVVVVVV
V VV VV FV FV VV VV FV F
ahora resolvemos como ahora resolvemos como cualquier tabla de cualquier tabla de
verdadverdad
p qVVFFVVFF
(p q) rVVVVVVVV
(p q) r es verdad
Negación - Negación - ConjunciónConjunción
Implicación Implicación Doble Doble
ImplicaciónImplicación
Disyunción Disyunción Disyunción Disyunción ExcluyenteExcluyente
5 ii5 ii
5 ii) Para saber el valor de verdad de Para saber el valor de verdad de (p q) ( p q) cuando q es V
Otra forma de resolverlo es usando tablas de verdad
Debemos considerar que la operación principal es una doble implicación, donde las expresiones involucradas son (p q) y
( p q)si si q es V cualquier disyunción donde esté q, será cualquier disyunción donde esté q, será
verdad, luego verdad, luego (p q) es V
p q p qAnalizamos solamente
cuando q es verdadVVVV
V V F F
y p puede ser VVVV
p q FF
FF
al ser q “V” ; al ser q “V” ; q es F cualquier conjunción donde esté cualquier conjunción donde esté q , será , será falso, falso,
Las expresiones (p q) y ( p q) tienen diferentes valores de verdadluego : (p q) ( p q) es falso
p q (p q) ( p q)FFFF
FFFF
luego luego ( p q) es F
verdad
ó ó falsoVVVV
Negación - Negación - ConjunciónConjunción
Implicación Implicación Doble Doble
ImplicaciónImplicación
Disyunción Disyunción Disyunción Disyunción ExcluyenteExcluyente
6 i) p q es Falso solamente cuando p es V y q es F En (p q) q ; si p es V (p q) es V
nos queda una implicación de nos queda una implicación de antecedente verdadero y consecuente antecedente verdadero y consecuente falsofalso
entonces entonces (p q) q es falso
6 ii)6 ii) si p si p q es Verdad puede pasar que: q es Verdad puede pasar que: p sea V y q sea Vp sea V y q sea V p sea F y q sea Vp sea F y q sea V p sea F y q sea Fp sea F y q sea F
Para hallar Para hallar p p (p (p q) q) confeccionamos tabla confeccionamos tabla de verdad con las tres las de verdad con las tres las alternativasalternativas
posiblesposibles p q
V VV VF VF VF FF F
(p (p q)q)VV
FFVV
p p (p (p q) q)VVFFVV
Los valores de Los valores de verdad no son los verdad no son los
mismos para mismos para todas las todas las
situaciones situaciones
entonces entonces no es posible determinar el valor de no es posible determinar el valor de verdad verdad con los datos proporcionadoscon los datos proporcionados
Negación - Negación - ConjunciónConjunción
Implicación Implicación Doble Doble
ImplicaciónImplicación
Disyunción Disyunción Disyunción Disyunción ExcluyenteExcluyente
6 iii6 iii
6 iii) sabiendo que p es Verdad y q es Verdad para hallar [ (p q) q] q hacemos tabla de verdad para esos valores
p q qV VV V
sabiendo que sabiendo que q es es verdadverdad
FF
hallamos hallamos p q
p q V
luego hacemos luego hacemos (p q) q
(p q) q V
finalmente resolvemos finalmente resolvemos [ (p q) q] q
[ (p q) q] q
F
Resulta [ (p q) q] q Falso
Negación - Negación - ConjunciónConjunción
Implicación Implicación Doble Doble
ImplicaciónImplicación
Disyunción Disyunción Disyunción Disyunción ExcluyenteExcluyente
Para simplificar proposiciones apelaremos frecuentemente a : las Leyes de De Morgan
“La negación de una disyunción de proposiciones es equivalente a la conjunción de la negación de cada una de las proposiciones”
Simbólicamente Simbólicamente ( p q) p q
p q p
q p q (p q) p q ( p q) p q
V V F F V F F VV F F V V F F VF V V F V F F VF F V V F V V V
Podemos verificar la Podemos verificar la equivalencia con una tabla de verdad de la doble con una tabla de verdad de la doble implicaciónimplicación
Si la doble implicación de las dos Si la doble implicación de las dos expresiones resulta expresiones resulta verdad en cualquier
caso, las expresiones son equivalentes, las expresiones son equivalentes
7 a-b7 a-b
8 i-ii8 i-ii
7 c7 c
8 iii8 iii
8 iv8 iv
SimbólicamenteSimbólicamente ( p q) p q
“La negación de una conjunción de proposiciones es equivalente a la disyunción de la negación de cada una de las proposiciones”
p q p
q p q (p q) p q (p q) p q
V V F F V F F VV F F V F V V VF V V F F V V VF F V V F V V V
Podemos verificar la Podemos verificar la equivalencia con una tabla de verdad de la doble con una tabla de verdad de la doble implicaciónimplicación
Si la doble implicación de las dos Si la doble implicación de las dos expresiones resulta expresiones resulta verdad en cualquier
caso, las expresiones son equivalentes, las expresiones son equivalentes
7 a-b7 a-b
8 i-ii8 i-ii
7 c7 c
8 iii8 iii 8 iv8 iv
Otra equivalencia que nos conviene considerar es: “La implicación es equivalente a la negación del
antecedente disyunción el consecuente”
p q p p q p q (p q) p q
V V F V V V
V F F F F V
F V V V V V
F F V V V V
Simbólicamente Simbólicamente p q p q
Podemos verificar la Podemos verificar la equivalencia con una tabla de verdad de la doble con una tabla de verdad de la doble implicaciónimplicación
Si la doble implicación de las dos Si la doble implicación de las dos expresiones resulta expresiones resulta verdad en cualquier
caso, las expresiones son equivalentes, las expresiones son equivalentes
7 a-b7 a-b
8 i-ii8 i-ii
7 c7 c
8 iii8 iii
8 iv8 iv
p q p p q q q q p p (p (p q) q) (q (q p) p) p p q q (p q) [(p q) (q p)]V V V V V V VV F F V F F VF V V F F F VF F V V V V V
Otra equivalencia que nos conviene considerar es: “La doble implicación es equivalente a la
conjunción de las implicaciones recíprocas”
Simbólicamente Simbólicamente p q (p q) (q p)
Podemos verificar la Podemos verificar la equivalencia con una tabla de verdad de la doble con una tabla de verdad de la doble implicaciónimplicación
Si la doble implicación de las dos Si la doble implicación de las dos expresiones resulta expresiones resulta verdad en cualquier
caso, las expresiones son equivalentes, las expresiones son equivalentes
7 a-b7 a-b
8 i-ii8 i-ii
7 c7 c
8 iii8 iii 8 iv8 iv
7 a) ( p q)
La negación de una La negación de una disyunción de proposicionesdisyunción de proposiciones
es equivalente a la conjunciónes equivalente a la conjunción
de la negación de de la negación de p y de q
( p) ( q)
(en este caso las (en este caso las proposiciones de la proposiciones de la
disyunción son disyunción son p ; q )
Pero la negación de la negación de una proposición es la afirmación
Así el resultado final esAsí el resultado final es
p q
p q
7 b) (p q) ( p q)
la negación afecta solamente al primer la negación afecta solamente al primer paréntesisparéntesis
( p q)
eliminamos una de las expresiones (eliminamos una de las expresiones ( p p q) pues las dos son idénticas q) pues las dos son idénticas (propiedad de idempotencia)
p q
Así el resultado final esAsí el resultado final es p q
( p q)
y el resto de la operación se escribe y el resto de la operación se escribe igualigual
7 c7 c
7 c) (p q) tenemos la negación de una doble implicacióntenemos la negación de una doble implicación
[ (p q) (q p)]recuerde que recuerde que la doble implicación equivale a la conjunción de las implicaciones recíprocas
(p q) (q p)
[( p) q] [( q p)]
[( p) q] [( q) p] ( p q) ( q p)
Ley de De Morgan
la implicación equivale a la disyunción de la negación del antecedente con el
consecuentepor De Morgan
8) Para negar cualquier expresión, escribimos la expresión que queremos negar
8 i) La encerramos entre paréntesis,
q r
y anteponiendo el signo de negación, negamos todo lo que está comprendido en el paréntesis.
( q r )
(( ))
viene ahora la tarea de viene ahora la tarea de transformartransformar la expresión la expresión obtenida buscando una expresión equivalente (leyes de De obtenida buscando una expresión equivalente (leyes de De
Morgan)Morgan) ( q ) r q r
(p q) r
La encerramos entre corchetes, y anteponiendo el signo de negación, negamos todo lo que está comprendido en
el corchete
viene ahora la tarea de viene ahora la tarea de transformartransformar la expresión la expresión obtenida buscando una expresión equivalenteobtenida buscando una expresión equivalente
[ (p q) r ] [ (p q) r ] [ ( p q ) ] r
( p q ) r p q r
[ ]8 ii)8 ii) Para negar Para negar
8 iv8 iv8 iii8 iii
8 iii) escribimos la expresión que queremos negar
p (q r)La encerramos entre corchetes, y anteponiendo el signo de negación,
negamos todo lo que está comprendido en el corchete
viene ahora la tarea de viene ahora la tarea de transformartransformar la expresión la expresión obtenida buscando una expresión equivalenteobtenida buscando una expresión equivalente
[ p (q r ) ] p (q r) p [ ( q ) r ]
p [ ( q ) r ]
[ ]
p ( q r )
aplicamos ley de De aplicamos ley de De MorganMorgan
La implicación es la disyunción La implicación es la disyunción de la negación del antecedente de la negación del antecedente
con el consecuentecon el consecuente
8 iv8 iv
8 iv) escribimos la expresión que queremos negar
La encerramos entre corchetes, ( p q ) ( r q )
y negamos todo lo que está comprendido en el corchete
[ ( p q) ( r q ) ]
[[ ]]
viene ahora la tarea de viene ahora la tarea de transformartransformar la la expresión obtenida buscando una expresión obtenida buscando una
expresión equivalenteexpresión equivalenteLa doble implicación es la conjunción La doble implicación es la conjunción de las implicaciones recíprocasde las implicaciones recíprocas
{ [ ( p q) ( r q ) ] [ ( r q ) ( p q) ] }
La implicación es la disyunción La implicación es la disyunción de la negación del de la negación del antecedente con el antecedente con el
consecuenteconsecuente
{ [ ( p q) ( r q ) ] [ ( r q ) ( p q ) ] }
[ ( p q) ( r q ) ] [ ( r q ) ( p q ) ] [ ( p q) ( r q ) ] [ ( r q ) ( p q ) ]
[ ( p q) ( r q ) ] [ ( r q) ( p q ) ]
p p q q p p q q
Tautología o Ley LógicaTautología o Ley Lógica: es una proposición compuesta, cuyos valores de verdad son siempre verdad, cualquiera sean los valores de verdad de las proposiciones que la componen
Si los valores de verdad de la proposición compuesta son falsos, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que lo
componen, la proposición es una ContradicciónContradicción..
p q p q p p q
VVFF
VFVF
VVVF
VVVV
p p q
Es Es tautologíatautología
p q p
P q (p q)
(p q) p
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
V
V
F
V
F
F
F
F
F
F
9 i9 i 9 ii9 ii
9 iii-iv9 iii-iv
en este caso ( p q ) r
p q r p q ( p q ) rV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F
se realiza la tabla de verdad correspondiente
9 i) Para determinar si una proposición es ley lógica ó tautología,
si todos los valores de verdad de la columna de los resultados
fueran verdaderos, la proposición sería tautología
VVFFFFFF
VFVVVVVV
en la segunda fila en la segunda fila aparece un valor de aparece un valor de
verdad falsoverdad falsoesta proposición que tiene valores esta proposición que tiene valores de verdad verdadero y valores de de verdad verdadero y valores de verdad falso (según sea p y/ó q) verdad falso (según sea p y/ó q)
es una es una contingenciacontingencia
9 iii-iv9 iii-iv9 ii9 ii
p q r p q q r (p q) (q r) p r [ (p q) (q r) ] (p r)V V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F
toda la columna de resultados es verdadtoda la columna de resultados es verdad
9 ii) se realiza la tabla de verdad correspondiente
VFVVVFVV
VVFFVVVV
VFFFVFVV
VFVFVVVV
VVVVVVVV
[ (p q) (q r) ] (p r) es tautología
9 iii-iv9 iii-iv
9 iii) si p [ p q ] es tautología también podemos resolver con tabla de verdad
p q p q p [ p q ] VVFF
VFVF
VFFV
VFFF
La doble implicación es verdad cuando ambas La doble implicación es verdad cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad (las dos proposiciones tienen el mismo valor de verdad (las dos
falsas ó las dos verdad)falsas ó las dos verdad)La conjunción es falsa si una de las La conjunción es falsa si una de las proposiciones es falsa (o ambas) proposiciones es falsa (o ambas) esta proposición que tiene valores esta proposición que tiene valores de verdad verdadero y valores de de verdad verdadero y valores de verdad falso (según sea p y/ó q)verdad falso (según sea p y/ó q)
9 iv) 9 iv) (p r) (r p) p r p r r p (p r) (r p)VVFF
VFVF
VFVV
VVFV
VFFV
La implicación es falsa solo La implicación es falsa solo cuando el antecedente es cuando el antecedente es
verdadero y el consecuente es verdadero y el consecuente es falsofalsoesta proposición esta proposición tiene valores de tiene valores de
verdad verdadero verdad verdadero y valores de y valores de verdad falso verdad falso
(según sea p y/ó (según sea p y/ó q)q)
p [ p q ] es contingenciacontingencia
(p r) (r p) es contingenciacontingencia
10)10) El viajero se encuentra frente a El viajero se encuentra frente a dos caminos dos caminos
desea ir a la Capital, y el desea ir a la Capital, y el único que puede indicarle único que puede indicarle el camino correcto es el el camino correcto es el
Sr. ZSr. Z(que parece no estar muy (que parece no estar muy
dispuesto)dispuesto)Contesta las preguntas solo con “si” o con “no” y solo una pregunta
y si es mentiroso, miente y si es mentiroso, miente siempre . . . ¿ o siempre dice la siempre . . . ¿ o siempre dice la
verdad . . . ?verdad . . . ?Es un buen comienzo Es un buen comienzo diferenciar los caminos, al de la los caminos, al de la izquierda llamo camino A y al de la derecha camino Bizquierda llamo camino A y al de la derecha camino B
AABB
Supongamos que el camino A es el Supongamos que el camino A es el correctocorrecto
si el viajero señala el camino A y si el viajero señala el camino A y pregunta:pregunta:“Si yo le preguntara si este camino lleva a la Capital Ud. ¿ Qué me
respondería ?”Si es de los que dicen la verdad, Si es de los que dicen la verdad,
como es el camino correcto como es el camino correcto responderá . . .responderá . . .
SI !SI !
Porque si el viajero hiciera la pregunta Porque si el viajero hiciera la pregunta “¿ este es el camino que lleva a la “¿ este es el camino que lleva a la
Capital ?” piensa decir la verdad . . .Capital ?” piensa decir la verdad . . .
SI !SI !
SISISISI
AA BBfrente a la misma frente a la misma pregunta : Señalando el pregunta : Señalando el
camino Acamino A“Si yo le preguntara si este camino lleva a la Capital Ud. ¿ Qué me
respondería ?”Si el Sr. ZSi el Sr. Zes de los que mienten siempre dirá . . . es de los que mienten siempre dirá . . .
SI !SI !él sabe que el camino señalado es el correcto, él sabe que el camino señalado es el correcto, pero el pero el
viajero no pregunta por el caminoviajero no pregunta por el camino que lleva a la Capital , que lleva a la Capital , sino por una posible respuestasino por una posible respuesta a la pregunta “¿este es el a la pregunta “¿este es el camino que lleva a la Capital?” , recién entonces el Sr. Z dirá camino que lleva a la Capital?” , recién entonces el Sr. Z dirá
“no”. Pero tampoco perderá esta oportunidad de mentir y “no”. Pero tampoco perderá esta oportunidad de mentir y decir “si” sabiendo que luego, a la pregunta responderá “no”decir “si” sabiendo que luego, a la pregunta responderá “no”
NO NO !!
si el viajero preguntara (que no puede si el viajero preguntara (que no puede hacerlo) “¿este es el camino que lleva a la hacerlo) “¿este es el camino que lleva a la
Capital?” , él piensa mentir . . .Capital?” , él piensa mentir . . .
Aunque los dos Aunque los dos pensaron cosas diferentes, dijeron idéntica respuesta “SI”“SI” Independientemente de si el Sr. Z es mentiroso ó Independientemente de si el Sr. Z es mentiroso ó de los que dicen la verdad, responde SI, cuando de los que dicen la verdad, responde SI, cuando
se señala el camino correctose señala el camino correcto
SISI
SISI
Señalando ahora el Señalando ahora el camino B (camino camino B (camino
equivocado)equivocado)AA BB
frente a la misma frente a la misma pregunta :pregunta :
“Si yo le preguntara si este camino lleva a la Capital Ud. ¿ Qué me
respondería ?”
Si el Sr. ZSi el Sr. Z
NO NO !! NO !NO !
es de los que dicen la es de los que dicen la verdad siempre dirá . . . verdad siempre dirá . . .
porque si el viajero hiciera la pregunta porque si el viajero hiciera la pregunta “¿este es el camino que lleva a la “¿este es el camino que lleva a la
Capital?”, piensa decir la verdad . . .Capital?”, piensa decir la verdad . . .
Pero si el Sr. Z es mentiroso . . . .Pero si el Sr. Z es mentiroso . . . .
NONO
NONO
AA BBfrente a la misma frente a la misma pregunta : señalando el pregunta : señalando el
camino Bcamino B“Si yo le preguntara si este camino lleva a la Capital Ud. ¿ Qué me
respondería ?” dirá . . . dirá . . .
NO !NO !Z sabe que el camino señalado es el correcto, Z sabe que el camino señalado es el correcto, pero el pero el
viajero no pregunta por el caminoviajero no pregunta por el camino que lleva a la Capital , que lleva a la Capital , sino por una posible respuestasino por una posible respuesta a la pregunta “¿este es el a la pregunta “¿este es el
camino que lleva a la Capital?” , recién entonces dirá “si” camino que lleva a la Capital?” , recién entonces dirá “si” (para mentir). Pero tampoco perderá esta oportunidad de (para mentir). Pero tampoco perderá esta oportunidad de
mentir y decir que va a responder (la verdad),que el camino mentir y decir que va a responder (la verdad),que el camino no leva a la Capital””no leva a la Capital””
SI !SI !
si el viajero preguntara (que no puede si el viajero preguntara (que no puede hacerlo) “¿este es el camino que lleva a hacerlo) “¿este es el camino que lleva a
la Capital?” , él piensa mentir . . .la Capital?” , él piensa mentir . . .
Aunque los dos Aunque los dos pensaron cosas diferentes, dijeron idéntica respuesta “NO”“NO”
Independientemente de si el Sr. Z es mentiroso o Independientemente de si el Sr. Z es mentiroso o de los que dicen la verdad, responde NO si el de los que dicen la verdad, responde NO si el
camino señalado no es el correctocamino señalado no es el correcto
NONO
SISI
Como la respuesta a la preguntaEs la misma, independientementeEs la misma, independientemente
o del que miente . . .o del que miente . . .
“Si yo le preguntara si este camino lleva
a la Capital Ud. ¿ Qué me
respondería ?”
Así nuestro viajero, que Así nuestro viajero, que pudo pudo formular una sola pregunta que formular una sola pregunta que descifra el enigma,descifra el enigma, encontró el encontró el
camino correcto camino correcto Y hacia la Capital se Y hacia la Capital se
encamina, eso sí, algo encamina, eso sí, algo perturbado por el esfuerzoperturbado por el esfuerzo
que se trate del que dice la verdad . que se trate del que dice la verdad . . .. .